Элементы молекулярно-кинетической теории идеального...

Элементы Элементы молекулярно-молекулярно-кинетической кинетической

теории теории идеального газаидеального газа

Основная задача Основная задача молекулярно-кинетической молекулярно-кинетической

теории:теории:• вывести законы поведения макросистем из законов

движения и взаимодействия их структурных элементов (атомов и молекул);

• выразить макроскопические наблюдаемые величины через микроскопические параметры (массу, размеры, скорость молекул и т.п.)

Давление идеального газаДавление идеального газа(вывод основного уравнения (вывод основного уравнения

МКТ)МКТ)• Давление идеального газа на

стенки сосуда – результат упругих соударений молекул со стенками.

• Величина давления численно равна импульсу, передава-емому молекулами единице площади стенки за единицу времени.Вычислим этот импульс!

Давление идеального газаДавление идеального газа(вывод основного уравнения (вывод основного уравнения

МКТ)МКТ)

Молекула массой mi, движущаяся со скоростью vi, при абсолютно упругом ударе о стенку под углом αi к нормали передаёт стенке импульс Δpi= 2mivi┴=2mivi cosi

Давление идеального газаДавление идеального газа(вывод основного уравнения (вывод основного уравнения

МКТ)МКТ) Средняя сила, с которой

молекула действует на стенку:

fi=Δpi /τi ;

τi – время между двумя последовательными ударами молекулы о стенку;

τi= ℓi /vi =2R cosαi /vi

таким образом,fi=mivi

2 /R.

Давление идеального газаДавление идеального газа(вывод основного уравнения (вывод основного уравнения

МКТ)МКТ)Давление, оказываемое всеми N молекулами газа на стенки сосуда

(S=4πR2 – площадь стенки сферического сосуда, V=4πR3/3 – объём):

,32

32

3

2

41

31

2

1 EnVEN

V

E

R

vm

S

fP

N

ii

N

iii

N

ii

<E> – средняя кинетическая энергия молекул; n=N/V – число молекул в единице объёма (концентрация молекул).

Мы получили основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа, выражающее макроскопический параметр (давление) через микроскопические параметры (концентрацию молекул и их среднюю кинетическую энергию).

Основное уравнение Основное уравнение МКТ:МКТ:

EnP32

Молекулярно-кинетический Молекулярно-кинетический смысл температурысмысл температуры

Перепишем уравнение состояния идеального газа так, чтобы была видна зависимость давления от концентрации молекул. m0 – масса одной молекулы газа; N – общее количество молекул; NA – число молекул в 1 моле (число Авогадро).

;0

0 RTNmNmPV

A ;T

NR

VNP

A;RT

MmPV

)молекулияконцентрац(чтоВспоминая, nVN

и обозначая kNR

A (постоянная Больцмана; k=1,38·10-23Дж/К),

P=nkT.

окончательно получаем

Молекулярно-кинетический Молекулярно-кинетический смысл температурысмысл температуры

Сравнивая два выражения для давления идеального газа:

EnP32

и P=nkT,видим, что средняя кинетическая энергия молекул

при их хаотическом движении пропорциональна абсолютной температуре газа.

Иными словами, температура есть мера

средней кинетической энергии молекул.

Молекулярно-кинетический Молекулярно-кинетический смысл температурысмысл температуры

EnP32

P=nkT,kTE

23

Мы рассматривали молекулы идеального газа как материальные точки, т.е. учитывали только поступательное движение.

Больцман доказал теорему о равнораспределении энергии теплового движения по степеням свободы:

kTiE2

Основные понятия теории Основные понятия теории вероятностейвероятностей

1.1. Вероятность дискретной случайной величины

;NNXP i

i

Xi – одно из k возможных значений случайной величины;Ni – количество выпадений этого значения в серии из N испытаний

k

iiNN

1

Для равномерного распределенияk

XP i1)(

Основные понятия теории Основные понятия теории вероятностейвероятностей

1.2. Среднее значение дискретной случайной величины (математическое ожидание)

k

i

iii N

XNXMX1

k

iiiXP

1

Основные понятия теории Основные понятия теории вероятностейвероятностей

2.1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины

Вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю!P(xo) =

0Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал значений растёт вместе с протя-жённостью этого интервала!xxfxxxP )();( 000

f(x) – плотность вероятности случайной величины

Для равномерного распределения const1)(

ab

xf

Основные понятия теории Основные понятия теории вероятностейвероятностей

2.1. Плотность вероятности непрерывной случайной величины [продолжение]

Вероятность попадания случайной величины в конечный интервал значений:

2

1

)();( 21

x

x

dxxfxxP

Основные понятия теории Основные понятия теории вероятностейвероятностей

2.2. Среднее значение (математическое ожидание) непрерывной случайной величины:

b

a

dxxfxx )((f(x)dx – вероятность попадания случайной величины в интервал [x; x+dx))

Среднеквадратичное значение непрерывной случайной величины:

b

aêâñð dxxfxxxx )(; 222

..

Распределение Распределение БольцманаБольцмана

Барометрическая формула: ;e)( 0RTMgz

z

учитывая, что ρ=m0n, M=m0NA, R=NAk,получим

.e)(0

0kT

gzm

nzn

m0gz=EП ; m0gh=E;

Число молекул, находящихся выше некоторого уровня h:

h h

kTghm

kTgzm

gmkTndzndxzn

hzN

;ee)(

)(00

0

00

kTE

Ï EEN

e~)(

Распределение Распределение БольцманаБольцмана

Распределение Распределение БольцманаБольцмана

Больцман показал, что независимо от рода потенциального поля

концентрация частиц экспоненциально зависит от их потенциальной энергии:

.)()( 21

1

2 kTEE

eEnEn

Распределение Распределение МаксвеллаМаксвелла

При соударениях молекул (~109 раз в секунду при н.у.!):• сохраняется полная кинетическая энергия;• сохраняется распределение молекул по скоростям

(количество молекул, скорости которых лежат в произвольно выбранном интервале).

Из общих соображений следует, что в состоянии динамического равновесия:

• все направления движения молекул равновероятны;• доля покоящихся молекул крайне мала;• доля очень быстрых молекул также очень мала…

Распределение Распределение МаксвеллаМаксвелла

,)( 22

20

kTvm

eAvvf

.2

423

0

kTmA

Распределение Распределение МаксвеллаМаксвелла

Характерные скорости молекул:1. Наиболее вероятная скорость:

;0âåðvdvdf ;2

0mkTvâåð

2. Средняя (средняя арифметическая) скорость:

;)(0

dvvfvv ;8

0mkTv

3. Среднеквадратичная скорость:

;2.. vv êâñð ;)(

0

22

dvvfvv .3

0.. m

kTv êâñð

Распределение Распределение МаксвеллаМаксвелла

vве

р

<v>

<v> ≈ 1.13vвер ;

vср.кв.

vср.кв.

≈1,22vвер .

Распределение Распределение МаксвеллаМаксвелла