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§9 . 6 多元函数微分学的几何应用. 一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线. 一、一元向量值函数及其导数. 引例 : 已知空间曲线 的参数方程 :. 的 向量方程. 此方程确定映射. , 称此映射为一元向量. 值函数. 即 是. 对 上的动点 M ,. 的终点 M. 此 轨迹称为向量值函数的 终端曲线. 的轨迹 ,. 要用向量值函数研究曲线的 连续性 和 光滑性 ,就需要引进向 量值函数的极限、连续 和 导数的概念. 定义 : 给定数集 D R , 称映射. - PowerPoint PPT Presentation
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§9. 6 多元函数微分学的几何应用• 一、一元向量值函数及其导数• 二、空间曲线的切线与法平面• 三、曲面的切平面与法线
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一、一元向量值函数及其导数引例 : 已知空间曲线 的参数方程 :
],[)()()(
ttztytx
))(),(),(()(),,,( ttttfzyxr 记
的向量方程 ],[),( ttfr
M
r
x
z
yO
对 上的动点 M , 即 是此方程确定映射 3R],[: f , 称此映射为一元向量
,显然 OMr r 的终点 M
的轨迹 ,此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
值函数 .
要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性,就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念 .
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定义 : 给定数集 D R , 称映射 nDf R: 为一元向量值函数(简称向量值函数) , 记为
Dttfr ),(定义域
自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关 ,
进行讨论 .
则设 ,)),(),(),(()( 312 Dttftftftf 极限:连续:导数:
))(lim),(lim),(lim()(lim 3210000
tftftftftttttttt
)()(lim 00
tftftt
))(),(),(()( 321 tftftftf ttfttftf
tt Δ)()(lim)( 00
00
因此下面仅以 n = 3 的情形为代表
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向量值函数的导数运算法则 : (P91)
设 vu, 是可导向量值函数 ,
)(t 是可导函数 , 则OCt d
d)1( )()]([)2( dd tuctuct
)()()]()([)3( dd tvtutvtut
)()()()()]()([)4( dd tuttuttutt
)()()()()]()([)5( dd tvtutvtutvtut
)()()()()]()([)6( dd tvtutvtutvtut
C 是常向量 , c 是任一常数 ,
)()()()7(d
d tuttut
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向量值函数导数的几何意义 :在 R3 中 , 设 Dttfr ),( 的终端曲线为 ,
切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停
M
x
z
yO
rΔ
)( 0tf
tr
ΔΔ)Δ(),( 00 ttfONtfOM
N)()Δ(Δ 00 tfttfr
)(ΔΔlim 0
0
tftr
tt
表示终端曲线在 t0 处的切向量 , 其指向与 t 的增长方向一致 .
)( 0tf
, 则0)( 0 tf设
r
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向量值函数导数的物理意义 :
设 )(tfr 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量 , 则有 )()( tftv
)(tva )(tf
).(lim,)(sin)(cos)(4π
tfktjtittft
求例 1. 设
速度向量:加速度向量:
解: ktjtittftttt 4
π4π
4π
4π
lim)sinlim()coslim()(lim
kji4π
22
22 ))(( 4
πf
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例 2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于
解 :
)62,34,1()( 22 tttttfr 的点处的单位切向量 .
故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致
另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 )31,
32,
32(
= 6
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二、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面 .
T
M
置 .
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
))(),(),(()( ttttf :给定光滑曲线
在
))(),(),(()( ttttf
点法式可建立曲线的法平面方程利用
时,不同时为,,则当 0 点 M (x, y, z) 处的切向量及法平面的法向量均为
点向式可建立曲线的切线方程
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1. 曲线方程为参数方程的情况
因此曲线 在点 M 处的000 zzyyxx
)( 0t )( 0t )( 0t
,),,( 0000 ttzyxM 对应上的点设则 在点 M 的导向量为
))(( 00 xxt )()( 00 yyt 0))(( 00 zzt
法平面方程
))(),(),(()( 0000 ttttf
M
)( 0tf
不全)(),(),( 000 ttt
给定光滑曲线
为 0,
切线方程
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例 4. 求曲线 32 ,, tztytx 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程 .
,3,2,1 2tztyx 解: 点 (1, 1, 1) 对应于故点 M 处的切向量为 )3,2,1(T因此所求切线方程为
111 zyx1 2 3
法平面方程为)1( x )1(2 y 0)1(3 z
即 632 zyx
)()(: xz
xy
思考 : 光滑曲线
的切向量有何特点 ?
),,1( T
答 :
)()(:
xzxy
xx
切向量
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三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点
0tt 设 对应点 M,
切线方程为)()()( 0
0
0
0
0
0
tzz
tyy
txx
不全为 0 . 则 在且
点 M 的切向量为
任意引一条光滑曲线
下面证明 :
此平面称为 在该点的切平面 .
上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上 .
))(,)(,)(( 000 tttT M
T
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)(),,( 0000 xxzyxFx
曲面 在点 M 的法向量 :
法线方程 000 zzyyxx
)(),,( 0000 yyzyxFy
0))(,,( 0000 zzzyxFz
切平面方程
),,( 000 zyxFx ),,( 000 zyxFy ),,( 000 zyxFz
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
过 M 点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线 . M
T
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))(,( 000 xxyxfx
曲面
时 ,
zyxfzyxF ),(),,(则在点 ),,,( zyx故当函数 ),( 00 yx
法线方程
令
有在点 ),,( 000 zyxΣ
特别 , 当光滑曲面 的方程为显式
在点 有连续偏导数时 ,
)(),( 000 yyyxf y 0zz
切平面方程法向量 )1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx
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法向量
用
将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx ,, yx ff
法向量的方向余弦:
表示法向量的方向角 , 并假定法向量方向
分别记为 则
向上 ,
)1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx
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例 6. 求球面 14222 zyx 在点 (1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程 .
解 : 令
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有 :
切平面方程 )1(2 x即
法线方程 321 zyx
)2(4 y 0)3(6 z
1 2 3
法向量 )2,2,2( zyxn )6,4,2()3,2,1( n
即321zyx ( 可见法线经过原点,即球心 )
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1. 空间曲线的切线与法平面
切线方程 000 zzyyxx
法平面方程))(( 00 xxt
1) 参数式情况 .
)()()(
:tztytx
空间光滑曲线切向量
内容小结
)( 0t )( 0t )( 0t
)()( 00 yyt 0))(( 00 zzt
))(,)(,)(( 000 tttT
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空间光滑曲面曲面 在点
法线方程),,( 000
0zyxF
xx
x
),,( 000
0zyxF
yy
y
),,( 000
0zyxF
zz
z
)(),,()(),,( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx
1) 隐式情况 .
的法向量
0))(,,( 0000 zzzyxFz
切平面方程
2. 曲面的切平面与法线
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx
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空间光滑曲面
)(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面方程
法线方程1),(),(
0
00
0
00
0
zz
yxfyy
yxfxx
yx
,1
cos,1
cos2222
yx
y
yx
x
ff
f
ff
f
2) 显式情况 .
法线的方向余弦
2211cos
yx ff
法向量 )1,,( yx ffn
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