成都理工大学工程技术学院 1

§9． 6 多元函数微分学的几何应用• 一、一元向量值函数及其导数• 二、空间曲线的切线与法平面• 三、曲面的切平面与法线

成都理工大学工程技术学院 2

一、一元向量值函数及其导数引例 : 已知空间曲线 的参数方程 :

],[)()()(

ttztytx

))(),(),(()(),,,( ttttfzyxr 记

的向量方程 ],[),( ttfr

M

r

x

z

yO

对 上的动点 M , 即 是此方程确定映射 3R],[: f , 称此映射为一元向量

，显然 OMr r 的终点 M

的轨迹 ,此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .

值函数 .

要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念 .

成都理工大学工程技术学院 3

定义 : 给定数集 D R , 称映射 nDf R: 为一元向量值函数（简称向量值函数） , 记为

Dttfr ),(定义域

自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关 ,

进行讨论 .

则设 ,)),(),(),(()( 312 Dttftftftf 极限：连续：导数：

))(lim),(lim),(lim()(lim 3210000

tftftftftttttttt

)()(lim 00

tftftt

))(),(),(()( 321 tftftftf ttfttftf

tt Δ)()(lim)( 00

00

因此下面仅以 n = 3 的情形为代表

成都理工大学工程技术学院 4

向量值函数的导数运算法则 : (P91)

设 vu, 是可导向量值函数 ,

)(t 是可导函数 , 则OCt d

d)1( )()]([)2( dd tuctuct

)()()]()([)3( dd tvtutvtut

)()()()()]()([)4( dd tuttuttutt

)()()()()]()([)5( dd tvtutvtutvtut

)()()()()]()([)6( dd tvtutvtutvtut

C 是常向量 , c 是任一常数 ,

)()()()7(d

d tuttut

成都理工大学工程技术学院 5

向量值函数导数的几何意义 :在 R3 中 , 设 Dttfr ),( 的终端曲线为 ,

切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停

M

x

z

yO

rΔ

)( 0tf

tr

ΔΔ)Δ(),( 00 ttfONtfOM

N)()Δ(Δ 00 tfttfr

)(ΔΔlim 0

0

tftr

tt

表示终端曲线在 t0 处的切向量 , 其指向与 t 的增长方向一致 .

)( 0tf

, 则0)( 0 tf设

r

成都理工大学工程技术学院 6

向量值函数导数的物理意义 :

设 )(tfr 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量 , 则有 )()( tftv

)(tva )(tf

).(lim,)(sin)(cos)(4π

tfktjtittft

求例 1. 设

速度向量：加速度向量：

解： ktjtittftttt 4

π4π

4π

4π

lim)sinlim()coslim()(lim

kji4π

22

22 ))(( 4

πf

成都理工大学工程技术学院 7

例 2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于

解 :

)62,34,1()( 22 tttttfr 的点处的单位切向量 .

故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致

另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 )31,

32,

32(

= 6

成都理工大学工程技术学院 8

二、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面 .

T

M

置 .

空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位

))(),(),(()( ttttf ：给定光滑曲线

在

))(),(),(()( ttttf

点法式可建立曲线的法平面方程利用

时，不同时为，，则当 0 点 M (x, y, z) 处的切向量及法平面的法向量均为

点向式可建立曲线的切线方程

成都理工大学工程技术学院 9

1. 曲线方程为参数方程的情况

因此曲线 在点 M 处的000 zzyyxx

)( 0t )( 0t )( 0t

,),,( 0000 ttzyxM 对应上的点设则 在点 M 的导向量为

))(( 00 xxt )()( 00 yyt 0))(( 00 zzt

法平面方程

))(),(),(()( 0000 ttttf

M

)( 0tf

不全)(),(),( 000 ttt

给定光滑曲线

为 0,

切线方程

成都理工大学工程技术学院 10

例 4. 求曲线 32 ,, tztytx 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程 .

,3,2,1 2tztyx 解： 点 (1, 1, 1) 对应于故点 M 处的切向量为 )3,2,1(T因此所求切线方程为

111 zyx1 2 3

法平面方程为)1( x )1(2 y 0)1(3 z

即 632 zyx

)()(: xz

xy

思考 : 光滑曲线

的切向量有何特点 ?

),,1( T

答 :

)()(:

xzxy

xx

切向量

成都理工大学工程技术学院 11

三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点

0tt 设 对应点 M,

切线方程为)()()( 0

0

0

0

0

0

tzz

tyy

txx

不全为 0 . 则 在且

点 M 的切向量为

任意引一条光滑曲线

下面证明 :

此平面称为 在该点的切平面 .

上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上 .

))(,)(,)(( 000 tttT M

T

成都理工大学工程技术学院 12

)(),,( 0000 xxzyxFx

曲面 在点 M 的法向量 :

法线方程 000 zzyyxx

)(),,( 0000 yyzyxFy

0))(,,( 0000 zzzyxFz

切平面方程

),,( 000 zyxFx ),,( 000 zyxFy ),,( 000 zyxFz

)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx

过 M 点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线 . M

T

成都理工大学工程技术学院 13

))(,( 000 xxyxfx

曲面

时 ,

zyxfzyxF ),(),,(则在点 ),,,( zyx故当函数 ),( 00 yx

法线方程

令

有在点 ),,( 000 zyxΣ

特别 , 当光滑曲面 的方程为显式

在点 有连续偏导数时 ,

)(),( 000 yyyxf y 0zz

切平面方程法向量 )1),,(),,(( 0000 yxfyxfn yx

成都理工大学工程技术学院 14

法向量

用

将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx ,, yx ff

法向量的方向余弦：

表示法向量的方向角 , 并假定法向量方向

分别记为 则

向上 ,

)1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx

成都理工大学工程技术学院 15

例 6. 求球面 14222 zyx 在点 (1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程 .

解 : 令

所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有 :

切平面方程 )1(2 x即

法线方程 321 zyx

)2(4 y 0)3(6 z

1 2 3

法向量 )2,2,2( zyxn )6,4,2()3,2,1( n

即321zyx ( 可见法线经过原点，即球心 )

成都理工大学工程技术学院 16

1. 空间曲线的切线与法平面

切线方程 000 zzyyxx

法平面方程))(( 00 xxt

1) 参数式情况 .

)()()(

:tztytx

空间光滑曲线切向量

内容小结

)( 0t )( 0t )( 0t

)()( 00 yyt 0))(( 00 zzt

))(,)(,)(( 000 tttT

成都理工大学工程技术学院 17

空间光滑曲面曲面 在点

法线方程),,( 000

0zyxF

xx

x

),,( 000

0zyxF

yy

y

),,( 000

0zyxF

zz

z

)(),,()(),,( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx

1) 隐式情况 .

的法向量

0))(,,( 0000 zzzyxFz

切平面方程

2. 曲面的切平面与法线

)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx

成都理工大学工程技术学院 18

空间光滑曲面

)(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx

切平面方程

法线方程1),(),(

0

00

0

00

0

zz

yxfyy

yxfxx

yx

,1

cos,1

cos2222

yx

y

yx

x

ff

f

ff

f

2) 显式情况 .

法线的方向余弦

2211cos

yx ff

法向量 )1,,( yx ffn

成都理工大学工程技术学院 19

成都理工大学工程技术学院 20