( 多元函数微分法及其应用 )

高等数学电子教案

武汉科技学院数理系

( 多元函数微分法及其应用 )



第八章多元函数微分法及其应用本章主要讨论二元函数的微分法及其应用 .

第一节多元函数的基本概念

一 . 平面点集 n 维空间

1. 平面点集

当在平面上引入一个直角坐标系后 , 平面上的点 P 与有序二元实数组 (x,y) 之间建立一一对应 . 这样我们把有序实数组和平面

上的点等同起来 . 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 .



坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 , 称为平面点集 ,

记作 E = {(x,y)|(x,y) 具有性质 P}.

称为点

})()(|),{(}|{),( 20

2000 yyxxyxppppU

)( 0,00 yxp

0p

p(x,y) 的全体 ,

),( 0 pU

邻域：与点的距离小于 δ 的

的 δ 邻域 , 记作



从几何图形看 , U(p0,δ) 表示以点δ

p0(x0,y0)

x

y

p E

为中心 ,δ>0 为半径的圆的内

部所有的点如果不强调邻域半径 δ,

用 U(p) 表示点 . 0P

)( 0,00 yxp

的邻域



内点外点边界点聚点

E

p

.

是 E 的内点 .

设 E 是平面上的一个点集 ,p 是平面上的一个点

如果存在点 p 的某一个邻域 U(p), 使 U(p) E,∈ 则

称 p 为 E 的内点 .( 如图 ). 显然 ,E 的内点属于 E, 但 E 的点不一定



外点如果存在点 P 的任一邻域 U(p), 使 U(p)∩E=φ, 则称 P

为 E 的外点 .

若点集 E 的点都是 E 的内点 , 则称 E 为开集 , 例如 , 点集

E1={(x,y)|4<

开集 .

若点 p 的任一邻域内既有属于 E 的点 , 又有不属于 E 的点 ( 点 p

本身可以属于 E 也可以不属于 E). 则称 p 为 E 的边界点 .E 的边

界点的全体称为 E 的边界 .

上面 E1 的边界是圆周 22 yx

22 yx

22 yx

<9} 中每个点都是 E1 的内点 , 因而 E1 为

=9=4 和



因此 , 点集 E 的聚点可以属于 E, 也可以不属于 E.

如果点 p 的任一邻域内总有无限多个点属于点集 E, 则称 p 为 E

的聚点 . 显然 E 的内点一定是 E 的聚点 ,E 的边界点也可能是 E

的聚点 . 例如 , 设

一点既是

2E

2E2E 2E 的聚点 . 并且它们不属于的边界点又是

={(x,y)|0<x+y≤1} 那么 , 直线 x+y=0 上的任



区域 .

闭区域 . 例如 {(x,y)|0≤x+y≤1}

开区域 ,( 它又有一边包含边界 ) 又不是闭区域

区域

若对于集合 D 内的任意两点都可以用完全位于 D 内的折线连接起来 , 则称集合 D 为连通集 . 连通的开集称为开区域 . 简称

例 ,

不是开区域 . 因为它不是开集 . 区域连同它的边界一起 , 称为

22 yx 1E

2E 2E

2E

既不是不是闭区域 ,( 因为它有一边不包含边界 ) 因而

={(x,y)|0<x+y≤1 }<9} 是开区域 ;={(x,y)|4<



{(x,y)|x+y>0} 是无界点集 .

若存在正实数 r, 使点集

表示 E 内的一切点到原点的距离不超过 r. 则称点集 E 为有界

点集 ; 否则 ( 表示找不到 r) 称为无界点集 . 例如1E 是有界开区域

, 其中 O 为坐标点 ,),( roUE ),( roUE



2. n 维空间

1. 定义设 n 为取定的一个自然数 , 我们用 Rn 表示 n 元有序

实数组

Rn=R× R×... × R={

Rn 中的元素 ,

),,,( 21 nxxx

),,,( 21 nxxx

),,,( 21 nxxx ),,,( 21 nxxx

的全体所构成的集合 , 即

|xi R,∈ i=1,2,..n}

也用 x 表示 , 即 x=

当所有的 xi=0(i=1,2…n) 时 , 称这样的元素为零元 , 记为 0 或 O.



称为坐标原点或 n 维零向量 .

在解析几何中通过直角坐标系 ,

平面或空间中的点或向量建立一一对应 , 这样在

也称为

为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 , 在

2R 3R

nR

nR

nR

),,,( 21 nxxx ix

中的零元 0

中的一个点或一个 n 维向量 , 而称

中的元素

) 中的元素分别与( 或

X



ρ(x,y), 规定22

222

11 )(..)()(),( nn yxyxyxyx

2. 在 Rn 中定义线性运算 . 设 x=

y=

规定 x+y=

3. Rn 中点 x =

),,,( 21 nxxx

),,,( 21 nxxx

),,,( 21 nyyy

),,,( 21 nyyy

),,,( 21 nxxx

),,,( 2211 nn yxyxyx

为 Rn 中任意两个元素 ,λ R∈

之间的距离和点 y =

λx=



),()(..)()( 2222

211 yxyxyxyxyx nn

222

21 .. nxxxx

结合向量的线性运算 , 我们得到

中两点之间距离一致 .

显然 ,n=1,2,3 时 , 上述的规定与数轴上 , 直角坐标系下平面及空间

Rn 中元素 x=

为‖ x‖, 即

),,,( 21 nxxx 与零元 0 之间的距离 ρ(x,0), 记



,,...,, 2211 nn axaxaxax

由于线性运算和距离的引入 , 前面研究的邻域 , 内点 , 开集 ,

记作 x→a

4. Rn 中变元的极限

设 x=

‖x-a‖→0, 则称变元 x 在 Rn 中趋于固定元 a,

闭集等一系列概念都可定义 .

),,,( 21 nxxx ),,,( 21 naaa ∈Rn 如果a=



二 . 多元函数的概念

一对数值 (a,b) 时 , 面积 S 的对应值就随之确定了 .

1. 多元函数的定义在实际问题及科技活动中 , 经常遇到多个变量之间的依赖

关系 . 看下面的两个例子 .

例 1 椭圆的面积 S 取决于它的长 , 短半轴长 a 与 b, 它们之间有

如下关系

S=πab (a>0,b>0) 这里的 a,b 在一定范围内取定

我们从这里就可以得到二元函数的定义 .



, 数集 f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为该函数的值域 .

定义 1 设 D 是

的二元函数 , 通常记为 Z=f(x,y), (x,y) D ∈ 或

z=f(p) P D∈

其中点集 D 称为该函数的定义域 ,x,y 称为自变量 ,z 称为因变量

记 .

2R

fR

的一个非空子集 , 称映射 f:D→R 为定义在 D 上



类似地可以定义三元及三元以上的函数 . 三元函数记

u=f(x,y,z).

点函数 z=f(p)(p∈D) 是定义在点集 D 上的一个函数 . 这

里设 D 是平面点集 , 则 z=f(p) 定义的是一个二元函数 . 如果 D

是数轴上的点集 ( 或空间内的点集 ), 则 z=f(p) 定义的是一

元 ( 或三元 ) 函数 .



)1,2

(

2 |:,1)sin( zyxyz 求设

例 2 圆柱体的体积 V和它的底半径 R,高h的关系为 :V=πR2h

(R>0,h>0).

例 3

2111)12

sin(|: 2

)1,2

(

z解



在上述函数概念中 , 关键的两点为 : (1) 自变量 x,y 的变化范围 , 称为定义域 ; (2) 对应法则 , 即函数关系 . 关于函数概念 , 我们主要研究三方

面的问题 : (1)求函数的定义域 ; (2) 建立函数关系 ; (3)求函数值 .

o

x

y

z Z=f(x,y)

M

px

y



2. 二元函数的定义域 :

二元函数中自变量 x,y 的取值范围称为函数的定义域 .

围成平面区域的曲线称为该区域的边界 , 包括边界在内的区

域称为闭区域 ;不包括边界在内的区域称为开区域 ;包括部

分边界在内的区域称为半开区域 . 如果区域延伸到无穷远处 ,

称为无界区域 , 否则称为有界区域 .



3. 多元函数的定义域

函数的定义域与函数的实际意义有关 . 我们约定 :在没

有明确指出定义域 D 时 , 函数的定义域是使函数有定义的点

的全体 . 这样的定义域叫做函数的自然定义域 .

注意 :二元函数 z=f(x,y) 中 , 自变量在定义域内可以独立地

取值 , 即 x 取值与 y 取值没有必然联系 , 而且有可能出现 x可

以取不同的值 , 而 y 的值不变 , 或 y 可以取不同的值 , 而 x的值

是不变的情况 .



例 3 求下列函数的定义域 :

2

1arccos)2(,1)1(

22

yxzyxz

解 :(1) 要使根号内的数有意义 ,

因此函数的定义域为

{(x,y)| x+y-1≤0} 图形为右所示

x+y=1

x

y

(2) 要使2

1arccos

22 yx

有意义 ,必须 x2+y2-1≥0, 并且 512

1 2222

yxyx

y

x

55



多元函数的定义域的求法 :

要先写出构成部分的各简单函数的定义域 ,再联立不

等式组 , 即得到所求的定义域 .

其图形为以原点为中心 , 半径分别为 1 和 5

此函数的定义域为 {(x,y)|1≤x2+y2≤5}

分 , 包括两个圆

之间的部



o

x

y

z Z=f(x,y)

M

p

x

y

4. 二元函数的几何意义 :

设二元函数 z=f(x,y) 的定义域

xoy 平面上的某一区域 D, 对于

D 上的每一点 p(x,y), 在空间可以

作出一点 M(x,y,F(x,y)) 与它对应 .

当点 p(x,y) 在 D 中变动时 , 点 M(x,

y,F(x,y)) 就在空间作相应地变动

它的轨迹是一个曲面 .



例如线性函数 z=ax+by+c 是一个平面 . x2+y2+z2=a2 确定的函数

222 yxaz

点集 D={(x,y)|x2+y2≤a2} 为闭区域 . 当p

在 D 中

变动时 , 它对应的两个函数值 ,

分别表示两个图形 . 一个是上

半球面 ,另一个是下半球面 . 以后我们

讨论的函数是单值的 .

当遇到多值函数时 , 可分成几个单

值分支来讨论 .

p

p0(x0,y0)

x

y

z 222 yxaz

222 yxaz



1. 多元函数极限的定义

多元函数极限与一元函数存在形式上一致 , 但确实有着

本质区别 .先研究二元函数的极限

三多元函数的极限

0pp

)( 0,00 yxp

)( 0,00 yxp

0xx 0yy . 又因为时等阶于 ,

显然 ,

时的极限p(x,y)→

为其一聚点 .选择一动点 p(x,y).现在讨论当

∈D(1) 二元函数的极限设 z=f(x,y),



0,)()( 02

02

00 ppyyxxpp

直观定义 :和一元函数极限一样 , 如果在 p→p0 的过程中 , 对应

的函数值 f(x,y) 无限接近一个确定的常数 A. 就说A为当 p→p0 ,

或 x →x0 ,y →y0 Ayxfyxfyyxxpp

),(lim),(lim0

00

）或 0(

时的极限



p

p0(x0,y0)

p(x,y)ρ

0 x

y

例如 ),0,0(),(,),( 22 Oyxpyxyxf 当

现在我们用 ε--δ来定义这个概念 : ε--δ 语言定义设函数 z=f(x,y) 的

定义域为 D.p0(x0,y0) 是 D 的聚点 . 如果

对于任意给定的正数 ε, 总存在 δ>0, 2

02

00 )()(0 yyxxpp

0)(lim,0 22

00

222

yxyxyx

使适合不等式的一切点 p(x,y)∈D, 都 |f(x,y)－A|<ε成立 . 则称 A为函数

z=f(x,y). 当 x→x0,y→y0 时的极限 . 记作Ayxf

pp

),(lim

0



)0,(),(),(lim 0

0

0

ppAyxfAyxfyyxx

或

二元函数的极限称为二重极限 .

研究二元函数极限定义时 , 我们注意以下两点 :

(1) 不研究 p0(x0,y0)处的状态 ,仅研 p(x,y)→p0(x0,y0)

的过程中 , 函数 f(x,y) 的变化趋势 . 所以定义中规定 ,

函数 z=f(x,y) 在点 p0(x0,y0) 的某个邻域内有定义 , 但

不要求函数在点 p0(x0,y0) 有定义 .



(2)极限值 A应是一个确定的常数 , 它与 p(x,y) 趋近

p0(x0,y0) 的方式无关 . 也就是说 :p(x,y) 以任何方式趋

于 p0(x0,y0) 时 , 函数都无限接近于 A.



22

)2

1()(0

2

102

222222 xx

yx

xy

yx

xyyxxy

2

)(lim22x

yx yx

xy

)0.(1

sin)(),( 2222

22

yxyx

yxyxf

例 4 求极限

例 5 设

证明 0),(lim0,0

yxfyx

0)2

1(lim)(lim

22

22

x

yx

x

yx yx

xy



证明 : 2222

2222

22 1sin0

1sin)( yx

yxyx

yxyx

成立

化成一元函数求极限2

22

2222 1

sin1

sin)(022

yx

yxyx

有界量和无穷小的乘积为无穷小

,)()(0).,0( 20

20

22 yyxxyx

2222

22 1sin)( yx

yxyx

01

sin)(lim..01

sin,022

22

0

22

2

yx

yx

两边夹当



例 6 考察函数 f(x,y)=00

0

22

2222

yx

yxyx

xy的极限

解 : (1) 当点 p(x,y)沿 x 轴趋于点 (0,0) 时 ,

00lim)0,(lim00

xx

xf 这是一种特殊的趋近方式

(2) 当点 p(x,y)沿 y 轴趋近点 (0,0) 时

00lim),0(lim00

yy

yf 这也是一种特殊的趋近方式

(3) 当点 p(x,y)沿直线 y=kx 趋近点 (0,0) 时

2222

2

022

00 1

limlimk

k

xkx

kx

yx

xyx

kxyx

随着 k 的不同 ,极限值也不同 . 所以 ),(lim00

yxfyx

不存在



例 8 求 : x

xy

yx

)sin(lim

20

221lim)sin(

lim)sin(

lim:20

0,2,0

20

yt

t

x

xyyt

tyxtxy

yx

解

例 7 求 :xy

xy

yx

11lim

00

2

1

11

1lim

)11(

11lim

11lim:

00

00

00

xyxyxy

xy

xy

xy

yx

yx

yx

解



20. 关于二元函数极限的说明首先所谓的二重极限存在 . 是指 p 以任何方式 ( 或沿任何径 )

趋于 p0 时函数的极限都要存在 , 且相等于常数 A. 因此 , 当p 以

某一特殊方式 . 例如沿某一条 ( 也可能是几条 ) 直线或曲线无

限接近 p0 时 , 即使函数无限接近某一确定的常数 A,还不能由

此判断该函数存在极限 . 这就是说当 p沿某一特定方式趋向

p0 时 ,f(x,y) 的极限不存在 , 或 p沿某两条特定的方式趋向p0

时 , 函数极限存在但不相等 . 则该函数极限不存在 .



p0-p p

而一元函数中 p 趋向 p0 的方式只有两种 . 一是沿 x 轴某一方向

趋近二是左 ,右方向

四 . 多元函数的连续性

定义 4: 设多元函数 f(p) 定义在 D 上 ,,p0 是 D 的聚点 .p∈D,

如果当 p→p0 时函数 f(p) 的极限存在 , 且等于该函数在点 p0处

的函数值 , 即)()(lim 0

0

pfpfpp

就称函数 f(p) 在点 p0处连续 .



如果函数 f(p) 在点集M的各点处都连续 , 就称函数 f(p)在M

上连续 . 可以证明 : 一切多元初等函数在其定义域内是连续的 .

若函数 f(x,y) 在点 P0(x0,y0) 不连续 , 则 p0 称为函数的间断

点 . 这里指出如果在开区域 ( 或闭区域 )D 内某些孤立点 , 或者

沿 D 内某些曲线 , 函数 f(x,y)没有定义但在 D 内其余部分 ,函

数都有定义 , 那么这些孤立点或这些曲线上的点 , 都是函数

f(x,y) 的不连续点 , 即间断点 .



例 9 求 .11

lim00

xy

xy

yx

和闭区间上一元函数的性质相似 , 在有界闭区域上多元

函数也有下列主要性质 .

性质 1(最值定理 ) 在有界闭区域上的多元连续函数 , 在该

闭区域上必定达到它的最大值与最小值 .

2)11(lim11

)11(lim

11lim

00

00

00

xyxy

xyxy

xy

xy

yx

yx

yx



性质 2(介值定理 ) 在有界闭区域上的多元连续函数 , 如

果取得两个不同的函数值 , 则它在该区域上取得介于这两

个值之间的任何值至少一次 .

性质 3( 一致连续性定理 ) 在有界闭区域 D 上的多元连续

函数必定在 D 上一致连续 .性质 3表示若 f(P) 在有界闭区域 D 上连续 , 则对于任意给定

1p 2p

1p 2p

的正整数 ε, 总存在正数 δ, 使对于 D 上的任意两点

只要当 | |<δ 时都有



|f(P1)-f(P2)|<ε 成立 .

这里我们补充三个内容 : (1) 求二元函数的表达式 . 这方面的问题有二种情况 , 一

是已知函数 f(x,y) 的表达式 ,求复合函 f[φ(x,y),ψ(x,y)]

的表达式 , 这情况比较简单 .只需要把 φ(x,y),ψ(x,y) 分

别替换 f(x,y) 中的 x,y 即可 .



),,(),0()ln(),(.1 22 yxyxfyxyxxyxf 求已知例

另一种是它的反问题 , 即已知 f[φ(x,y),ψ(x,y)] 求 f(x,y).

其一般的方法是令 u= φ(x,y),v= ψ(x,y), 从中解出 x,y,

代入 f[φ(x,y),ψ(x,y)]中 , 把 u,v 换成 x,y 即可 , 但有时不

能从 u,v中解出 x,y 时 ,往往需要用凑成 φψ的函数 .

., 的表达式并把它表示称为 yx

.:这是第一种情况分析

)4ln())()(ln(),( 22 xyyxyxyxyxyxyxf

)ln(2)ln( 2 yxyx



.),(),0(),(:2 22 的表达式求设例 yxfxyxx

yyxf

v

uvy

v

uxv

x

yuyx

1,

1,:令分析

)1(1

1)

1()

1(),( 222

vv

vu

v

uv

v

uvuf

y

yxyxf

1

1),( 2

x

yx

yx

xyxyxyxyx

x

yyxf

222 )())((),(

y

yxyxf

x

y

x

yyx

1

1),()1(

1

1)( 22



( 一 ) 求二元函数极限的方法 1. 化二元函数为一元函数极限

例 3 求11

lim00

yx

yx

yx

.0,0,0, tyxtyx 时则当令

2)11(

lim11

lim11

lim00

00

t

tt

t

t

yx

yxtt

yx



)0()1

1(lim5

2

),(),(

a

xyyx

x

ayx求例

2. 应用二元函数极限的夹逼准则计算

夹逼准则 :若 g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y), 且

limg(x,y)=limh(x,y)=A, 则 limf(x,y)=A.

ax

yyyxy

x

xyxy ayxayx

yxy

x

xyyx

x1

)1(

1lim

)(lim,])

11[()

11(

),(),(),(),(

)(

2

ayx

x

ayx

t

t

txyxy

ayxe

xye

txy

1

),(),(),(),(

2

)1

1(lim)1

1(lim)1

1(lim



x

xy

yx

sinlim7

00

计算极限例

注意 : 这里不能把x

xysiny

xy

xy

sin

该定义域为 x≠0, 该定义域为 x,y 同时≠ 0如果 x→0,y→a 就可以采用这个方法 .

本题采用的是两边夹的方法 .

0limsin

limsin

0|sin

|sin00

00

yx

xyy

x

xyy

x

xyy

x

xyxyxy

yx

yx

变成



3. 利用连续函数的函数值即是极限值性质 .( 一切多元初等函

数在其定义域内都是连续函数 )

2ln)ln(

lim822)0,1(),(

yx

ex y

yx例

因为分子 , 分母是多元初等函数 , 当 x→1,y→0 时恰好在它的定

义域内 , 所以我们用它的函数值表示它的极限值 .

( 二 ) 证明二元函数极限不存在的方法

证明二元函数极限不存在我们也有几种方法 ,

(1)证明 (x,y)沿某一路线趋于点 (x0,y0) 时 ,f(x,y) 的极限

不存在 .



(2)证明 (x,y)沿不同路线趋于点 (x0,y0) 时 ,f(x,y) 的极限存

在 , 但趋于不同的值 .

(3)利用二次极限存在 , 但不相等 .

),(limlim),(limlim0000

yxfyxfxxyyyyxx



例 9 证明极限

证明 :当 (x,y)沿 x 轴 ( 即 y=0) 趋向于点 (0,0) 时 , 原式 =0 当 (x,y)沿 y=x 的直线趋向于点 (0,0) 时 ,

10

lim)(

lim4

4

0222

22

00

x

x

yxyx

yxxy

yx

由于 f(x,y)沿不同的路线趋向于点 (0,0) 时的极限不相同 ,故

它极限不存在 .

222

22

00 )(

limyxyx

yx

yx

不存在



这里我们举两个例子说明二重极限和二次极限之间区别例 10

考察函数 f(x,y)=00

0

22

2222

yx

yxyx

xy

的极限

解 : (1) 固定 y≠0, 点 p(x,y)沿 x 轴趋于点 (0,y) 时 ,

00

0lim),(lim

200

y

yyxf

xx

可见二次极限是存在它为 0

0limlim),(limlim220000

yx

yxyxf

xyxy



(2) 固定 x≠0, 点 p(x,y)沿 y 轴趋于点 (x,0) 时 ,

00

0lim),(lim

200

x

xyxf

xy 可见二次极限是存在的它为 0

(3) 当点 p(x,y)沿直线 y=kx 趋近点 (0,0) 时

2222

2

022

00 1

limlimk

k

xkx

kx

yx

xyx

kxyx

随着 k的不同 ,极限值也不同 . 所以 ),(lim00

yxfyx

不存在

0limlim),(limlim220000

yx

yxyxf

yxyx

这例子说明尽管两个二次极限存在且相等 , 但二重极限却不

存在



这说明二重极限与二次极限没有什么必然的联系 , 即二重极限

的存在不能保证二次极限的存在 , 而两个二次极限的存在 , 并且

相等 , 也不能保证二重极限的存在但当二重极限和二次极限都

存在时 , 它们必相等 , 即有 ),(lim0

0

yxfyyxx

),(limlim00

yxfyyxx

定理若存在二重极限

则它们必相等 .

与二次极限 ( 之一 )



证明 :因为二重极限的存在 , 设 Ayxfyyxx

),(lim0

0

20

20 )()(0 yyxx

时有 |f(x,y)-A|<ε (1)

又由于二次极限的存在 , 对上述 P(x0,y0) 的邻域中的任意 x,

存在极限 )(),(lim0

xyxfyy

在 (1)式中 ,令 y→y0, 得到 Ax)( 即证明

),(lim),(limlim),(limlim,)(lim0

000000

yxfyxfAyxfAxyyxxyyxxyyxxxx

ε>0, 存在 δ>0, 使得当

即对任意



由定理可得到两个推理 :当 (x,y)→(x0,y0) 时

(1) 如果函数 f(x,y) 的二重极限和它的两个二次极限均存在 ,

则这些极限都相等

(2) 如果两个二次极限都存在 , 但不相等 , 则二重极限必不存在 .

(3) 二元函数的连续性二元函数的连续的概念及性质和一元函数相似 . 但要注意 ,若

二元函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 关于 x 或 y 都连续 , 但 f(x,y) 在点

(x0,y0) 不一定连续 . 例如 , 函数



f(x,y)=00

02

22

2222

yx

yxyx

xy

我们先证明函数 f(x,y) 关于 x 轴是连续的 (1)先固定 y=b≠0, 则在平面 y=b 上得到 x 的函数

)(2

),()(22

xbx

xbbxfxg

它是处处有定义的有理函数 , 因此它是连续的 . 当 y=0 时 ,f(x,0)=0

也是连续的 . 于是 , 当变量 y 固定时 , 函数 f(x,y) 对于变量 x 是连续

的 , 同理可证明函数 f(x,y) 对于变量 y 也是连续的 .



2222

2

022

00 1

22lim

2lim

k

k

xkx

kx

yx

xyx

kxyx

(2) 当函数 f(x,y) 在 x,y≠0 时是初等函数 , 且有定义 ,它

是连续的 . 但当 (x,y)→(0,0) 点时 ,x→0,y=kx→0 时

同一元函数的情形相同 , 对于多元初等函数 , 在它的定义的

地方都是连续的 . 在几何上 , 一元函数连续 , 它的图象是一根

连绵不断的曲线 , 而二元函数的图象是一张既没有断层又没

有“细眼”的曲面 . 因此 , 关于多元函数的连续性讨论 , 主要是

.)0,0(),()0,0(01

2,0

2不连续在点由连续的定义知 yxff

k

kk



求极限的方法除了上面讲的三点外 , 其方法可用定义求 ,

利用运算法则求 , 可作变量代换 , 用一元函数中的已知极限求 ,

可利用连续函数性质求 , 可进行分母有理化等 .

分段函数在分段点处的连续性讨论 ,方法是根据函数在一

点连续的定义 .

同学在学习二元函数的理论时 , 要多注意它和一元函数的

联系和类比 , 在学过的一元函数的理论是学习二元函数的基

础 , 但二元函数毕竟比一元函数复杂 , 存在一些本质上的差异 .

学习时应该时刻注意比较它们的异同 .

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( 多元函数微分法及其应用 )