第四篇 多元函数微分学第四篇 多元函数微分学

多元函数微分法多元函数微分法

在前面各章的学习中，我们讨论的函数都只限于一个自变量的函数，称为一元函数．在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数．

一 . 多元函数的概念

例如：矩形的面积 s=xy ，描述了面积 s 与长 x 、宽 y 这两个量之间的函数关系。又如，烧热的铁块中每一点的温度 T 与该点的位置之间有着密切的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标 (x,

y,x) 表示时，温度 T 由 x 、 y 、 z 这三个变量确定，如果进一步考虑到冷却过程，那么 T 还和时间 t 有关，即 T 由 x 、 y 、 x 、 t

四个变量所决定。以上例子中两个、三个、四个变量，分别称为二元、三元、四元函数，一般称为多元函数。

f

nR

nxxx ,,, 21 nR

f

定义 1 ： 的非空子集 D 到 R 的映射 f ，称为 D 上的一个点函数或 n 元函数。 D 称为这个函数的定义域。由以上定义，任意 p D ， p 为 ( ) y R,记为 y=f(p) ，称 为函数 f 的第 i 个变量。 Y 称为 f的因变量或 y 的自变量 的函数。又有：

nR

nxxx ,,, 21

ixnxxx ,,, 21

多元函数是一元函数的推广，因此它仍然保留了一元函数的许多性质。 一元函数 y=f(x) 定义 D ： R x ： D 中的一个点 p 的坐标将 P 扩大到平面或几何空间或 n 维抽象 n 维空间 的点，所以称 n 元有序实数组 ( ) 是 n 维空间 的一个点。由此可有

定义 2 ：如果独立变量 在它们的变化范围内任取一组值时，变量 y 按照一定的法则，总有一个实数与之对应，则 y 叫做 的 n 元函数，记为 y=f( ). 叫做自变量， y 叫做因变量，自变量 的变化范围叫做这个函数的定义域。当 n=1 时， y=f(p) 即为一元函数。 n 2 时， n 元函数称为多元函数。若强调一组 对应唯一的函数值时，函数称为单值函数。否则称为多元函数，今后一般的多元函数均为单值函数。

nxxx ,,, 21

nxxx ,,, 21

nxxx ,,, 21 nxxx ,,, 21

nxxx ,,, 21

nxxx ,,, 21

二： 二元函数的几何表示 二元函数 z=f(x,y) ，定义域 D 为 XOY 面上的某一区域 D 。对 P(x,y) D, 空间中有点 M(x,y,z) 与 P(x,y) 中的 (x,y) 对应，其中 z=f(x,y) 。这样， p 在 D 中变动时，M 也在空间中变动。 M 形成轨迹就是 z=f(x,y) 的图像，一般来说，它是一曲面。例如： z= 为半球面。

222 yxa

三： 点函数的极限三： 点函数的极限将一元函数微分法推广到多元函数，首先要将一元函数的极限推广将一元函数微分法推广到多元函数，首先要将一元函数的极限推广

到多元函数。到多元函数。一元函数的极限：一元函数的极限： y=f(x), f(x)=A, y=f(x), f(x)=A, 即对 即对 >0, >0,>0, >0, 当当0<|x- |< 0<|x- |< 时，时， |f(x)-A|< |f(x)-A|< 成立。称 成立。称 f(x)=A f(x)=A 或对 或对 >0, >0,

的一个去心邻域的一个去心邻域 N( , )N( , ) 当 当 x N( , ) x N( , ) 时，时， f(x) N(A, )f(x) N(A, ) 。。因此有，因此有，定义定义 33 ：设函数：设函数 f(p)f(p) 在点集在点集 DD 上有定义， 为上有定义， 为 DD 的聚点，的聚点， AA 是一个是一个

定常数，如果 定常数，如果 >0, >0>0, >0 ，当，当 p N ( , )p N ( , ) 时，恒有时，恒有 |f(p)-A|< |f(p)-A|< 成立成立则称则称 AA 是点函数是点函数 f(p)f(p) 当当 p p 时的极限，记为 时的极限，记为 f(p)=A f(p)=A 或记为或记为f(p) A (p ) f(p) A (p )

多元函数的极限经常遇到的形式为多元函数的极限经常遇到的形式为 n=2n=2 的情形。的情形。n=2n=2 ，， p=(x,y). f(p)p=(x,y). f(p) 记为记为 z=f(x,y), ( , )z=f(x,y), ( , )

N( , )={(x,y)|0< < } N( , )={(x,y)|0< < } ，，记记 pp ＝ 极限记为 ＝ 极限记为 f(x,y)=Af(x,y)=A 或或 f(x,y) A(p f(x,y) A(p

))

0

limxx

0x 0

limxx 0x

0x

0x

0p

0p

0p 0

limpp

0p

0p 0x 0y

0p 20

20 )()( yyxx

20

20 )()( yyxx

0

0

limyyxx

0p

二元函数的极限也称为二重极限。

0p 0x 0y

0p2

02

0 )()( yyxx 2

02

0 )()( yyxx 0

0

limyyxx

0p

多元函数的极限经常遇到的形式为多元函数的极限经常遇到的形式为 n=2n=2 的情形。的情形。n=2n=2 ，， p=(x,y). f(p)p=(x,y). f(p) 记为记为 z=f(x,y), ( , )z=f(x,y), ( , )

N( , )={(x,y)|0< < } N( , )={(x,y)|0< < } ，，记记 pp ＝ 极限记为 ＝ 极限记为 f(x,y)=Af(x,y)=A 或或 f(x,y) A(p f(x,y) A(p

))

§ 例题分析：

1.

求证 :

证明：对 ,

要证

因为

只须

令 即可

对 当 时，有

0

222211 yxyxyxy

sinx

siny,x

22yx

2

,,2

0

000

)y,x(flimyx

y

sinx

sinyxy,xf11

0

yxyxyxfz 11 sinsin)(),(

220 yxy,xf

对于二重极限，务必注意： 二重极限存在，是指 以任何方式趋近于 时，函数 都无限接近于 , 故若 是以某一特定方式趋近于 ；即使 无限接近于 A, 也不能断定 的极限存在。反过来，若当 以不同方式趋近于 时， 的极限不同，则可断定 的极限不存在。同理，当取某一特定路径时， 的极限不存在，则可确定 的极限不存在。这与一元函数的极限存在一定是左右极限存在且相等的道理相同。

y,xfz

y,xfz

y,xfz y,xfz

y,xfz

y,xfz

y,xfz

y,x

y,x

0A

00y,ox

00y,ox

0y,oxf

0

00

y,xflim

yx

y,x

例 2 ：证明： ，当

时极限不存在。证明：取 时的路径。

极限不存在。 得证。例 3 ：以知

00,y,x

0xy

0220

02222

yx,

yx,yx

xy

y,xf

2222

221

yxyx

yxcosy,xf

2222

221

0

0 yxyx

yxcosy,xf

y

xlim

21

00

62

222

00 x

lim

yxx

xsinlim

yx

求解：沿沿

极限不存在。四。多元函数的连续性：1 。一元函数的连续性： 在点 连续

多元函数的连续性： 在点 连续

000 ,k,kxy

pf 0x

00

xfxflimxx

pf0p

,x,y 00 00

00

limyx

021222

2

022

0

k

kxkx

kxlimxyx

xylim

kxyx

)y,x(flimyx

00

00

pfpflimpp

二元函数 在 连续 :

若 在 D 上每一点均连续，称 在 D 内连续 .2 。间断点： 在 不连续，称 为的间断点。以下情形的 为间断点：1 ） 在 处极限不存在2 ） 在 处无定义3 ）

y,xfz

00y,ox

pf 0p

0p

0p

0p

0p pf

00pfApflimpp

pf pf

pf

00pfApflimpp

3 。连续函数的性质。定理 1 （最值定理）： 在有界闭区域 D 上有定义，且在 D 上连续，则 , 使得 ,

称为 在 D 上的最小值和最大值 .

定理 2 （介值定理） 在有界闭区域 D 上连续，且m,M 分别为 在 D 上的最小值，最大值。若数 u满足 ，则 使得4.运算：多元连续函数的和，差，积均连续。分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合

21pfpfpfDp 有

pf

21pfpf ，

pf

Mum Dp 0

upf

0

pfDp,p

21

pf

函数也是连续的。多元初等函数在其定义区域上连续。五：本节例题1.已知 ， 若当 y=1 ， z=x 时，求 及 z.解： y=1 ， z=x 有 {

又

tf

1

11

xfyz

xfx 1 yxz

122

1222

111 xxxxxxf

tttf 22

ttxfz 22111

11 xfyyx

11 xfyyx

2. 求极限 .

1) 2)

3)

解 :1)

2 )

3)

1100

xy

xylim

yx

211

00

11

00

xylim

yxxy

xyxylim

yx

10101 原式

00

00

ylimyx

xylim

yx

原式

原式

221

10 yx

xylim

yx

x

xysinlim

yx

00

§2. 全微分与偏导数一。偏导数

回忆 y=f(x) 在 x0 的导数： f ‘(x0)=

对于多元函数来说，由于有 n 个变量，其偏导数即是对于某

一个自变量的导数，其它的自变量看成是不变的量的导

数，故有

定义 1 ：设 z=f(x,y) 在 P0 的某一领域上有定义，当自变量x 取

增量， ， y 不变， z 取得偏增量

x

xfxxfx

)()(lim 00

0

x

x),(),( 0000 yxfyxxfzx

若当 时，极限若当 时，极限 存在，此极限值称为存在，此极限值称为 z=f(x,y)z=f(x,y) 在在

PP00 处对处对 xx 的偏导数的偏导数 ,, 记为记为 f’f’xx(x(x00,,

yy00))

0xx

zxx

0lim

),(),(

00

0000

,,),(

yxyx x

z

x

f

x

yxf

若若 z=f(x,y)z=f(x,y) 在在 DD 上任意一点上任意一点 P(x,P(x,y)y)

均对 均对 xx 存在偏导，则在存在偏导，则在 PP 上形成上形成

对对 xx 的偏导函数，即的偏导函数，即

x

xfxxfx

)()(lim 00

0

x

f

从定义看，求 z=f(x,y) 对 x 的偏导数的偏微分法，实际上与一元函数的微分法是一致的。同理，可以得到其他的多元函数的偏导数， u=f(x1,x2,…xn)给 x1

以增量

i

x

i

x

x

nnxx

x

u

x

u

x

u

x

u

xxxfxxxxfu

i

以及

10

1

2,121

1

11

lim

),...(),...,(,

例 1 。 F(x,y)=x3+2x2y-y3 在点（ 1 ， 3 ）关于 x 与 y的偏导。解：

25)32(

15)43(

)3,1(

22

)3,1(

)3,1(

2

)3,1(

yxy

u

xyxx

u

例 2 。

)sin()cos(

)sin()cos(

)cos(

eeu

eeu

eu

解：

例例 33 。。 u=ln(1+x+yu=ln(1+x+y22+z+z33).). 求（求（ uuxx’+u’+uyy’+u’+uzz’)l(1,1,’)l(1,1,

1)1)

2

3

4

3

2

1

4

1

4

3)3.(

1

1

2

1)2.(

1

1

4

1

1

1

)1,1,1(

232

)1,1,1(32

)1,1,1(32

原式

解。

zzyxz

u

yzyxy

u

zyxx

u

二元函数偏导数的几何意义：二元函数偏导数的几何意义：

二元函数 二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 的图形是一曲面，将的图形是一曲面，将 yy固定为固定为 bb ，，则则

f(x,b)f(x,b) 就是就是 z=f(x,y)z=f(x,y) 与平面与平面 y=by=b 的交线，故的交线，故axx

bxf

),(

为交线在（ a,b) 处对 x轴的斜率

二。全微分

1 。全微分的概念： 一元函数 y=f(x),给 x 以增量 ),(, yxxfyx

类似的多元函数也有类似的多元函数也有 (( 以二元函数为例以二元函数为例 )) (1).(1).全增量全增量 ,z=f(x,y),z=f(x,y) 在点在点 P(x,y)P(x,y) 的某领域上的某领域上 有定义有定义 .. 对自变量对自变量 xx给增量 给增量 增量增量x ,y

给y

则 ),(),( yxfyyxxfz 称为 z=f(x,y) 在点 P(x,y)对

的全增量yx ,(2) 定义 : 如果函数 z=f(x,y) 在点 P(x,y) 的全增量z

可表示为 其中 A,B 与△ x, y△ 无关

△z=A x+B y+o(p)△ △

处的全微分，记作在点称为函数

处可微。在点则称

),(),(

),(,)()( 22

yxpyxfz

yBxAyxpzyxp

dz,dz, 或或 df(x,y),df(x,y), 即即 dz=dz= 同理可定义其他多元函数的全微分同理可定义其他多元函数的全微分 ..

yBxA

,

,)(

)(0),()(

),...,(

),,...(),,...,(

1

10

1

2

10

_

11

_

__

1021

i

n

ii

n

iii

i

n

iiii

i

n

ii

nn

nn

xAdu

uxAMu

AxxA

xAuMfMfu

xxxM

xxMxxxfu

的全微分。记为为可微，在称

为常数无关，与其中

若

例例 :: 考察考察 f(x,y)=xyf(x,y)=xy 在点在点 (( ), 00 yx 处的可微性

)),(,0lim

).(0

),.

).(0).(0

01.1.

.

))((

),(),(,

00

00

0000

00

00

0000

0000

yxyxfz

yBxA

yxxyzyxxydz

yxxyzyx

yxyx

yxyxxy

yxyyxx

yxfyyxxfzxyz

yx

，在（由连续性定义，又

处可微。在（

解：

处可微时，在 处一定连续。故有以下结处可微时，在 处一定连续。故有以下结论：论：f(x,y)f(x,y) 在点（在点（ x,yx,y ）可微，则一定在）可微，则一定在 (x,y)(x,y) 连连续。续。若若 f(x,y)f(x,y) 在在 DD 没一点处均可微，则说在没一点处均可微，则说在 DD 上上可微。可微。22 。可微的条件：（以二元函数。可微的条件：（以二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 为为例）例）由由 y=f(x)y=f(x) 可微大家知道，　　　 ，即可微大家知道，　　　 ，即那么那么 z=f(x,y)z=f(x,y) 的微分中的的微分中的 A=?,B=?A=?,B=?定理定理 11 ：： (( 可微的必要条件可微的必要条件 )) 若若 z=f(x,y)z=f(x,y) 在在 pp(x,y)(x,y) 处可微，那么，处可微，那么， z=f(x,y)z=f(x,y) 在点（在点（ x,yx,y ））处的偏导数 一定存在，且 处的偏导数 一定存在，且 证明：证明： zz 在在 p(x,y)p(x,y) 处可微处可微

),( 0yxo

dxxfdy )('0

)('0xfA

yz

xz

, y

yzx

xzdz

故 ①故 ① 当①中 ， 当①中 ， 所以所以

所以 所以 类似多元函数 可微，则类似多元函数 可微，则 由以上定理知，可微则偏导数存在，若偏导由以上定理知，可微则偏导数存在，若偏导数存在，是否一定可微呢？答案是否定的。数存在，是否一定可微呢？答案是否定的。

)(oyBxAz ),(),( yxfyxxfzx

0y zxz )(, xoxAzxx

yzBA

x

xxA

x

zxxz

xx

同理,

)(limlim

00

yyzx

xzdz

),,(21 nxxxfu

n

n

nn xxzx

xzx

xzdu

21

举例： 在原点（举例： 在原点（ 00 ，， 00 ））

显然显然同理同理若若 f(x,y)f(x,y) 在（在（ 00 ，， 00 ）可微，则）可微，则

应是 的高阶无穷子。 应是 的高阶无穷子。而 不存在而 不存在所以，虽然所以，虽然 f(x,y)f(x,y) 在（在（ 00 ，， 00 ）处的偏导数）处的偏导数存在，但存在，但 f(x,y)f(x,y) 在（在（ 00 ，， 00 ）处不可微。故）处不可微。故有有 ::

0220

02222),(

yx

yxyx

xy

yxf

0limlim)0,0( 00

0

)0,0()0,(

0

'

xxxfxf

xxf

0)0,0(' yf

22 )()(

'' )()0,0(yx

yxyx yfxfyxfdzz

22 )()(

000

limlimyx

yx

yx

dzz

定理定理 22 ：： (( 可微的充分条件可微的充分条件 ) z=f(x,y)) z=f(x,y) 的偏导的偏导 在点 在点 p(x,y)p(x,y) 的某一领域内存在，且的某一领域内存在，且在点在点 pp 处连续，则处连续，则 z=f(x,y)z=f(x,y) 在在 p(x,y)p(x,y) 处可微处可微证明：证明：

应用一元函数的拉格朗日中值定理有：应用一元函数的拉格朗日中值定理有：

又由 在又由 在 p(x,y)p(x,y) 连续，所以有连续，所以有

同理：同理：

),(),,( '' yxfyxf yx

)],(),([)],(),([

),(),(

yxfyyxfyyxfyyxxf

yxfyyxxfz

yyyxfxyyxxfz yx ),(),( 2'

1'

),(' yxf x

)0(0,),(),(

),(),('

1'

'1

'

yxfyyxxf

yxfyyxxf

xy

xx

yxyyxfxyxfz

yxfyyxf

yx

yy

),(),(

)0(0,),(),(''

'2

'

而而

所以所以 z=f(x,y)z=f(x,y) 在在 p(x,y)p(x,y) 可微。可微。经常地，记经常地，记

的微分同样可记为： 的微分同样可记为：

dydxyx ,, 为

dydxdz yz

xz

),,(21 nxxxfu

nxu

xu

xu dxdxdxdu

n

21

21

)(),(),(

)(

)0(,0

''

oyyxfxyxfz

oyx

yx

yxyx

例题分析：例题分析：11 。 。 解：解：

22 。。解：解：

33解：解：

duxu yz 求,

xdzyxxdyzxdxyzxdu

xyxxzxyzxyzyzyz

yzzuyz

yuyz

xu

lnln

ln,ln,1

1

dzxxez y 求,3ln3

dyxedxedz yy )()3(

dzeyxxz yx 求,)sin(

dyeyxxdxeyxxyxdz yxyx ])cos([])cos()[sin(

ξ3. ξ3. 复合函数微分法复合函数微分法

一。连锁法则：一。连锁法则：定理定理 11 ：设函数：设函数 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y) 在点在点 (x,(x,y)y) 的偏导数存在，函数的偏导数存在，函数 z=f(u,v) z=f(u,v) 在相应于在相应于（（ x,yx,y ）的点）的点 (u,v)(u,v) 可微，则有：可微，则有：

证明：证明：

yv

vz

yu

uz

yz

xv

vz

xu

uz

xz

),(),(, yxuyxxuuxxx

),(),( yxvyxxvv

f(u,v)f(u,v) 在（在（ u,vu,v ）可微，故）可微，故

均存在，故上式当 时的极限为 均存在，故上式当 时的极限为

))()(( 22 vuovuz vz

uz

xvuo

xv

vz

xu

uz

xz

))()(( 22

xv

xu

, 0x

xv

vz

xu

uz

xz

xv

xu

vu

vuo

xxvuo

x

xvuo

xxv

vz

xu

uz

xz

xz

x

0)()(limlim

limlim

22

)()(

))()((

0

))()((

0

))()((

00

22

2222

22

例 1 ： z= ,x=rcos ,y=rsin . 求 ， .

解： = =2xcos +2ysin =2rcos +2rsin =2r. = =2x(-rsin )+2yrcos =-2r cos sin +2r sin cos =0.

2 2x y z

r

z

z

r

z x z y

x r y r

2

2

z

z x z y

x y

2

2

以上规则称为连锁规则。如下图所示：对于复合函数的微分法，注意以下几点： 1. z=f(u.v),u=u(x).v=v(x). 则：

，这时 z 实际上是 x 的一元函数。 2.z=f(u,v,w).u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y). 则：

3.z=f(u,v,x).u=u(x,y),v=v(x,y). 则：

（令 w=x ）

dz z u z v

dx u x v x

z z u z v z w

x u x v x w x

z z u z v z w

y u y v y w y

z f u f v f w

x u x v x w x

= .这里的 是 z=f(u,v,x)=f(u(x,y),v(x,y),x) 中将 y看成是常量，

对 x 的偏导。而 是 z=f(u,v,x) 中将 u,v看成常量对 x 的偏导。这二者意义不一样。所以：

4. 实际上 , 也可以将 u=u(x,y),v=v(x,y)代入到 z=f(u,v) 中，变成 z 是 x,y 的函数，再对求偏导，效果应是一致的，只是用连锁规则会更简洁一些．例题解析：１． Z=arcsin ,y=x . 求　，　，　．　　解：　 ＝

f u f v f

u x v x x

z

x

f

x

z f u f v

y u y v y

y

x2 z

x

z

y

z

x

2

2

1

yx

yx

dz

dx

z

y

　　　　＝　　　　

　　　　＝　　　　　　　　　　　　　＝　　　　＋　　　　２ x=

2.z=uv+sinx,u=e ， v=cosxy. 求 　．

解： ＝ 　　＋ cosx =v +u[-sin(xy)] y+cosy　

2

1

1 ( )

xyx

dz

dx1

z z y

x y x

2

21 ( )

yxyx

2

1

1 ( )

xyx

2

1

1 x

x y z

x

z

x

z u z v

u x v x

x ye

=cosxy +e (-ysinxy)+cosx3.y=x . 求　．解：令 y=u ,u=x,v=x, 则：

　　＝　　　　　

　　　　　＝ vu　１＋ u lnu 1 =xx　 +x lnx =x (1+lnx)

4.z= ,f 为可微函数 ,验证 :

解 : 令 v=x –y ,z= =F(y.v)

x ye x y

x dy

dxv

dy

dx

y u y v

u x v x

1v v 1x x

x

2 2( )

y

f x y 2

1 1z z z

x x y y y

2 2( )

y

f v

所以 = = 2x,

= =

故 + =2 - + =

而 = 上式 . 得证 .

二 . 一阶微分形式不变性 :在一元函数中 ,y=f(x), dy=f ’(x)dx, y=f(u), u 是自变量时 , dy=f ’(u)du. u 是中间变量时 , u=u(x),dy=f ’(u)du

F v

v x

F

v

z

y

z

x

F v F

v y y

1( 2 )

( )

Fy

v f v

1

xz

x

1

yz

y

F

v

F

v

1

( )yf v

1

( )yf v

2 2

2 2 2 2

1 1( )( ) ( )

yz f x yy y yf x y yf v

即不论 u 是中间变量还是自变量 ,dy=f ’(u)du, 这就是一元函数二阶微分形式具有不变性 . 对于多元函数 ( 以二元函数为例 ).z=f(u,v).u,v 为自变量时 ,

dz= du+ dv

而当 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y) 时 , 因

dz= dx+ dy = ( )dx+( )dy

= [ dx+ dy]+ [ dx+ dy]

= du+ dv.

所以不论 u,v 是自变量 , 还是中间变量 ,z=f(u,v), 均有 dz= du+ dv

多元函数一阶全微分形式只有不变性 .

z

u

z

v

dz

dxz

y

z u z v

u x v x

z u z v

u y v y

z

u

u

x

u

y

z

v

u

x

u

y

z

u

z

v

z

u

z

v

§4 隐函数微分法一 . 一元函数隐函数微分法

设 y=f(x) 是由方程 F(x,y)=0 确定的隐函数 , 求 =f’(x).

对 F(x,y)=0 两边对 x 求导 , 将 y看成是中间变量 , =0.

例 : e -xy=0, 确定 y 是 x 的函数 . 求 .

解 : e -y-x =0 = .

二 . 由方程确定的隐函数

Th1.(隐函数存在定理 )

设 (n+1) 元函数 F(x ,x ,……,x ,u) 在点 p ( ) 的某一邻域上具有偏导数 , 且 F( )=0,F ’( ) 0,

则在 P 的某个邻域上 , 由方程 F(x ,x ,……,x ,u)=0 确定的唯一单值连续函数且具有连续偏导的 n 元函数 .

u=f(x ,x ,……,x ), 它满足条件 :

dy

dxdF

dx

xy

xy y y y

y

e x

1 2 n 0 1 2 0, ,......, ,nx x x u

1 2 0, ,......, ,nx x x u u 1 2 0, ,......, ,nx x x u

n 1 2 n

1 2 n

u =f( ) F[ , f( )]=0

而且有 : =-

事实上 : 将 F(x ,x ,……,x ,u)看成是复合函数 , 则两边对 x 求偏导 :

+ =0 =- =

这就是隐函数的求导公式 . 例 1: 设 , 决定 z=z(x,y), 求 , .

解 : = , F(x,y,z)= , =2x, =2z-4.

故 =- = .

0 1 2, ,......, nx x x

1 2, ,......, nx x x 1 2, ,......, nx x x

i

u

x

ix

u

F

F

1 2 n i

i

F

x

F

u

i

u

x

i

u

x

i

FxFu

ix

u

F

F

2 2 2 4 0x y z z z

x

z

y

z

x

x

z

F

F

2 2 2 4x y z z

xF zF

z

x

2

x

z 2

x

z

例 2: 2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny=0 决定 u=u(x,y,z). 求 . 解 : 令 F(x,y,z,u)=2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny

所以 =

=4cos(x+2y-3z-u )+cosy =2cos(x+2y-3z-u ) 2u 所以 =- 例 3: siny+e –xy =0, 决定 y=f(x). 求 . 解 : =-

=e –y , =cosy-2xy

所以 =

2 2 u

y

2 2

z

y

y

z

F

F

yF2

uF2

u

y

2

2

4cos( 2 3 ) cos

4 cos( 2 3 )

x y z u y

u x y z u

2x dy

dx

dy

dxx

y

F

F

xFx 2

yF

dy

dx

2

cos 2

xe y

y xy

同时对上述各题 , 也可直接对方程两边求偏导 ,但必须注意到其中一个变量是中间变量 .例如 : = ln , 决定 z=z(x,y), 求 .

解 : 两边对求 x偏导 . 有 :

=

故 =

三 . 由方程组确定的隐函数 一般情况下 : 当只有量 x,y 独立变化时 , 这方程组就

可以确定两个二元函数 u=u(x,y),v=v(x,y). 定理 2: (隐函数存在定理 ) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v), 在 p (x ,y ,u ,v ) 的某一邻域上是有连续的偏导

x

zy

z

z

x

2

zz x

xz

z

y2

( )y z

z x

z

x

z

x z

( , , , ) 0

( , , , ) 0

F x y u v

G x y u v

0 0 0 0 0

并且 F(p )=0,G(p )=0, 若由偏导组成的方程雅可比行列式

J= = , 当 J 时 , 则

在 p 的 N(p , ) 上唯一确定单值连续且只有连续的偏导的函数 u=u(x,y),v=v(x,y), 且 u =u(x ,y ),v =v(x ,y )

=- =-

=-

=-

0 0

( , )

( , )

F G

u v

F F

u vG G

u v

00p

0

0

F

G

0 0

0 0 0 0 0 0

u

x

1 ( , )

( , )

F G

J x v

x v

x v

u v

v v

F F

G G

F F

G G

v

x

1 ( , )

( , )

F G

J u x

u

y

1 ( , )

( , )

F G

J y v

，直接运用推导公式。实际运用中不必记公式

解出：

的方程关于

求偏导分别对

推导如下：

),(

),(1,

),(

),(1

,

0'''

0'''

0)),(),,(,,(

0)),(),,(,,(

),(

),(1

xu

GF

Jx

v

vx

GF

Jx

u

x

v

x

u

x

vG

x

uGG

x

vF

x

uFF

xyxvyxuyxG

yxvyxuyxF

vu

GF

Jy

v

vux

vux

.12

02

41

241

1,01)2(2

02

012

,,,0

0

),(),,(

2

2

y

vv

y

u

y

v

y

uu

y

uv

v

x

uuvx

v

x

v

x

vvu

x

vv

x

ux

v

x

uu

x

y

v

y

u

x

v

x

u

yvu

xvu

yxvvyxuu

求偏导：两边对

求偏导解：对方程组两边对

决定，求

是由方程组例：设

1

0222 zyx

zyx2. 确定了

解 : 两边对 x 求导

四 ; 反函数微分法则 : 若 在区间 I 上严格单调 , 可导且　 则　　　　的反函数　　　　　也可导 , 且　　　　　对于二元函数来说有定理３：（反函数微分法）设　　　　　　　　

uvyu

yu

yu uv 41

1122

uvu

yv

412

0222

01

dxdz

dxdy

dxdz

dxdy

zyx

.yzzx

dxdy

,yz

xydxdz

xfy xfy xfy

yx

vuyyvuxx ,,,

.,.. dxdz

dxdyxZzxYy 求

.'1'

xfy 0' xy

在点 (u,v) 的某一邻域上连续且有连续偏导，又

　　　　　　　　　　　则由

决定唯一一组连续单值函数函数 u,v 连续，且偏导也连续，且

推导如下：

上式两边对　 x 求偏导

,0,

,

vy

uy

vx

ux

vuyxJ

vy

Jxu

1

uy

Jxv

1

ux

Jyv

1

vx

Jyu

1

vuyy

vuxx

,

,

0,,,,

0,,,,

vuyyvuyxG

vuxxvuyxF

uy

Jxv

vy

Jxu

xv

vy

xu

uy

xv

vx

xu

ux

11 ,0

1

vuyy

vuxx

,

,

,,,, yxvvyxuu

例：由　　　　　确定的反函数例：由　　　　　确定的反函数

求求

解：方程组两边对解：方程组两边对 xx 求偏导，求偏导，

uvuy

vux 22 yxvvyxuu ,,,

xv

xu

,

xv

xu

xu

xv

xu

uv

vu

0

221

,22 222 vvuu

xu

.,.222

vuz

vuy

vux

yxzz 由设 ., yz

xz

求

.22 22xv

xu

xv

vz

xu

uz

xz uvuv

解：

22 2221

vvuv

xv

由由

vuy

vux 对 x 求偏导 21

0

1

xv

xu

xv

xu

xv

xu

yxyxvz

uz

xz zvuuv 2222

　　　　　　　　５．高阶偏导数　　在一元函数中：　　　　　　　　　是 x 的函数，

在可导的情况下，　　　　　　　　　 f 对 x 的二阶导

数．　　　　　 n阶导数．对于二元函数　　　　　　

来说，　　　仍是 x,y 的二元函数．因而考虑二阶偏导

数，乃至高阶的偏导数（在可导的情况下）．

xfy xfyx',

xfxf ''''

xf n yxfz ,

yz

xz

,

yxfz ,

,2

2

xz

xxz

zf yxxy

zyxz "2

zf xyyxz

xyz

"2

zf yyyz

yyz

"2

2

若　　仍可导，它是 x,y 的二元函数．故

zf xxxyz

xx

z'"

3

32

2

2

2

x

z

zf xyxxyxz

x

xyz

'"32

例例 11 ： ： , , 求二阶偏导求二阶偏导解：解：

一般地，我们称 为二阶混合偏导。一般地，我们称 为二阶混合偏导。上例中显然， ，这实际上我们有如下定理上例中显然， ，这实际上我们有如下定理定理定理 11 ：： z=f(x,y)z=f(x,y) 的两个混合偏导 在区域的两个混合偏导 在区域 DD 上连上连续，那么，在该区域上这两个二阶混合偏导数相等，以此续，那么，在该区域上这两个二阶混合偏导数相等，以此类推，对于高阶的情况，混合偏导在其连续时与求导的次类推，对于高阶的情况，混合偏导在其连续时与求导的次序无关。序无关。例如 （在其连续时）例如 （在其连续时）例例 22 ：：

xyeyxz )( 2241

21

2

2,

2

2

21

2

2

2,

2

y

zxeyxz

xexyzxye

x

z

xey

yzxyex

xz

，

''''yxxy ff 与xeff yxxy ''''

xyz

yxz

22与

'''''''''xxyyxxxyx fff

yxexyxzyxe

yxzyxe

xz

xyxzyxez

sin,sin,cos

,cos

32

3

求

例例 33 ： 其中： 其中 ff 是具有二阶连续偏导。是具有二阶连续偏导。

解：解：

.),,(2

22

yxzyxxyfz 求

]2[22]2[2

][22][2

][

,,

.2

),(.2,2

2'''''2''''2'

2

222

2

22

22

2

xfxyfxyfxxfxyfyyf

yv

vf

yu

vuf

xyvf

xyv

vuf

yu

uf

yuf

y

yxz

yxz

xyz

vuvf

uf

xyvf

yuf

xv

vf

xu

uf

xz

vufzvyxuxy

uvuuvuvuuu

的二元函数仍是

令

例例 44 ：隐函数的高阶偏导的求法。：隐函数的高阶偏导的求法。设设解：设解：设

3

2

22

3

2

222

1

1

1

1

1'11'1'

)()()(

)()(

)()()(

)(

)(

)1()(

),(

,

,,

),,(ln

,),,(,ln

2

2

2

2

2

2

2

'

'

22

2

2

2

zx

z

zx

x

zx

zzxy①

zx

z

zx

x

zx

zzzx

zx

zzx

yxzzx

①

FFF

zyxF

yxzz

xyyzz

yz

yz

xyz

xyyzxz

xzz

xz

xz

xz

xz

xyyzz

zzx

yyz

xzz

zzx

zF

Fxz

yyz

zy

yyzy

zzzx

yz

zx

xyz

xz

yz

zx

z

x

的偏导：求对

仍求偏导：仍是隐函数，对

求确定

xyz

xz

yz

zx yxzz

2

2

2

,),,(,ln 求确定

ξ6.ξ6. 方向导数方向导数 我们知道偏导数是函数在坐标轴方向上的变化 我们知道偏导数是函数在坐标轴方向上的变化率，是实际中我们经常要设法求得函数在其他特定率，是实际中我们经常要设法求得函数在其他特定方向上的变化率，这即是本节所要讨论的方向导数。方向上的变化率，这即是本节所要讨论的方向导数。

定义定义 11 ：设矢量 的方向角为 ，函数：设矢量 的方向角为 ，函数 u=f(x,y,u=f(x,y,z)z)在点 的某个领域上有定义，如果极限在点 的某个领域上有定义，如果极限

此极限称为此极限称为 f(x,y,z)f(x,y,z) 在点 处沿着方向 的方向导数，在点 处沿着方向 的方向导数，

记为记为

从定义上可以看出， 是函数从定义上可以看出， 是函数 f(x,y,z)f(x,y,z) 当点当点 pp 沿沿着端点为 ，方向为 的射线趋于 时的变化率。着端点为 ，方向为 的射线趋于 时的变化率。在 ，在 ， u=f(x,y,z)u=f(x,y,z) 沿沿 xx轴正向的方向导数。轴正向的方向导数。

l

l0p

0p0p

l

),,( 0000 zyxp ,,

存在

),,()cos,cos,cos(lim 000000

0

zyxfzyxf

))()()((, 20

20

20

0

zzyyxxpl

f

其中

)0,0,0(0p

0pl

f

定理定理 11 ：： f(x,y,z)f(x,y,z) 在点 处的偏导数都连续，在点 处的偏导数都连续，则对于任何矢量 则对于任何矢量 存在，且 存在，且

证明：由于证明：由于 ff 的偏导数连续的偏导数连续

zf

yf

xf

kjizyxf

pfx

fxfff

l

fx

xp

,,),,(

)()0,0,0()0,0,0(

lim)0,0,0()0,0,0(

lim 0'

00

0

的方向导数为，，沿着方向

),,( 0000 zyxp

0

),cos,cos,(cospl

fll

方向导数

coscoscos0000 pl

f

pl

f

pl

f

pl

f

则

的方向导数为，，沿着方向

.cos,cos,cos

)(

),,(),,(

coscoscos

,,),,(

'''

000000

0000

zyx

ozfyfxf

zyxfzzyyxxff

zf

yf

xf

kjizyxf

zyx

pl

f

pl

f

pl

f

pl

f

对于二元函数来说，若对于二元函数来说，若 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 处的偏导在 处的偏导数连续，则只须令数连续，则只须令 z=0, z=0, 即可即可

例例 11 ： ，求： ，求 ff 在点 沿方在点 沿方向 的方向导数向 的方向导数解：解： ff 在 可微，在 可微， 的方向余弦 的方向余弦

coscoscos

),,()cos,coscos(lim

)(coscoscos

),,()cos,coscos(

'''

000000

0

'''

000000

zyx

zyx

fff

zyxfzyxf

offf

zyxfzyxf

，

，

),( 000 yxp

2

32),,( zyxzyxf )111(0 ，，p)122( ，，

l0p 3)(,2)(,1)( 0

'0

'0

' pfpfpf zyx

l3

1cos

3

2cos

3

2

144

2cos

，，

例例 2:2: 求 在 处，沿 方向的方向求 在 处，沿 方向的方向导数， 为（导数， 为（ 22 ，， 33 ））解：解：

3

1

3

13

3

221

3

2

0

）（）（

pl

f

22 yxz )1,1(0p 10 pp

1p

5

6

5

4

5

2cos

5

2cos,

5

1

2)12(

1cos

)2,1(22

22

10

00

ppy

z

x

z

pp

，，