ล ำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์...

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ค ำน ำ แบบฝกทกษะเรอง ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต เลมท 1 เรอง ควำมหมำยของ

ล ำดบ จดท ำขนเพอประกอบกำรเรยนวชำคณตศำสตรเพมเตม ค33201 ส ำหรบนกเรยนชนมธยมศกษำปท 6 โดยจดกจกรรมกำรเรยนรควบคกนกบกำรจดกำรเรยนรโดยใชรปแบบกำรสอนแบบรวมมอกนเรยนร เทคนค STAD ซงเปนรปแบบกำรเรยนรทจะชวยพฒนำนกเรยนใหประสบผลส ำเรจในกำรเรยนคอ พฒนำนกเรยนทำงดำนสตปญญำ ดำนสงคม โดยใหนกเรยนท ำงำนรวมกนเปนกลมเลกๆ ก ำหนดบทบำทของสมำชก นกเรยนแตละคนมควำมรบผดชอบในงำนของตน นกเรยนทเรยนเกงชวยเหลอนกเรยนทเรยนออน สนบสนนควำมคด ควำมส ำเรจซงกนและกน สำมำรถท ำงำนรวมกบผอนไดอยำงมควำมสข โดยนกเรยนจะตองค ำนงถงรำงวลหรอเปำหมำยของกลม ควำมหมำยของแตละบคคลในกลม และสมำชกแตละคนในกลมมโอกำสทจะชวยใหกลมประสบควำมส ำเรจเทำเทยมกน

แบบฝกทกษะนจะชวยสงเสรมกำรเรยนรใหผเรยนไดฝกฝนทกษะเพมเตม เพอใหเกดควำมรควำมเขำใจในบทเรยนเรองล ำดบอนนตและอนกรมอนนต ทกษะกระบวนกำรทำงคณตศำสตร และสงเสรมใหผเรยนมทศนคตทดตอกำรเรยน คณตศำสตร ภำยในเลมประกอบดวย ใบควำมร แบบฝกทกษะ และแบบทดสอบทำยวงจรปฏบตกำรจะมปรำกฏเฉพำะเลมท 3, เลมท 6, เลมท 8 และเลมท 9 ทโดยแบบฝกทกษะแตละเลมเนนทกษะกำรคดค ำนวณ ควำมสมเหตสมผล กำรเชอมโยงกบชวตประจ ำวน

กำรจดท ำแบบฝกทกษะไดส ำเรจลลวงไปดวยด ไดรบกำรสนบสนนสงเสรมจำกผอ ำนวยกำรโรงเรยนชยภมภกดชมพล คณะครโรงเรยนชยภมภกดชมพลทกทำน และขอบพระคณทกทำนทไดน ำแบบฝกทกษะคณตศำสตร เรอง เรองล ำดบอนนตและอนกรมอนนต ไปท ำกำรทดลองใชพรอมทงใหขอเสนอแนะ และค ำแนะน ำจนท ำใหแบบฝกทกษะคณตศำสตร เรอง เรองล ำดบอนนตและอนกรมอนนต ชนมธยมศกษำปท 6 ทง 9 เลมเสรจสมบรณ

ผจดท ำหวงเปนอยำงยงวำแบบฝกทกษะนจะเปนประโยชน ตอกำรจดกำรเรยนรวชำคณตศำสตรเพมเตม ระดบชนมธยมศกษำปท 6 ตอไป

มนตำ ปรำงคชยภม

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

สำรบญ

เรอง หนำ ค ำน ำ ก สำรบญ ข ค ำชแจงในกำรใชแบบฝกทกษะ 1 ขอตกลงในกำรท ำแบบฝกทกษะ 1 ค ำแนะน ำในกำรใชแบบฝกทกษะ 1 บทบำทนกเรยน 2 สำระส ำคญ 3 จดประสงคกำรเรยนร 3 สำระกำรเรยนร 3 ใบควำมรท 1.1 เรอง ควำมหมำยของล ำดบ 4 ตวอยำงเรอง ควำมหมำยของล ำดบ 5 แบบฝกทกษะท 1.1 11 แบบฝกทกษะท 1.2 13 ภำคผนวก 15 เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 16 เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2 18 บรรณำนกรม 20

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ค ำชแจงในกำรใชแบบฝกทกษะ

ขอตกลงในกำรใชแบบฝกทกษะ

กำรท ำแบบฝกทกษะเรอง ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต เลมท 1 เรอง ควำมหมำยของล ำดบเลมน จะท ำแบบฝกควบคไปกบกำรจดกจกรรมกำรเรยนรโดยใชรปแบบกำรสอนแบบรวมมอกนเรยนร เทคนค STAD ซงเปนรปแบบกำรเรยนรทจะชวยพฒนำนกเรยนใหประสบผลส ำเรจในกำรเรยนคอ พฒนำนกเรยนทำงดำนสตปญญำ ดำนสงคม โดยใหนกเรยนท ำงำนรวมกนเปนกลมเลกๆ ก ำหนดบทบำทของสมำชก นกเรยนแตละคนมควำมรบผดชอบในงำนของตน นกเรยนทเรยนเกงชวยเหลอนกเรยนทเรยนออน สนบสนนควำมคด ควำมส ำเรจซงกนและกน สำมำรถท ำงำนรวมกบผอนไดอยำงมควำมสข โดยสมำชกในกลมประกอบดวยนกเรยนเกง ปำนกลำง ออน และนกเรยนควรมควำมซอสตยตอตนเองไมเปดดเฉลยกอน เพรำะถำนกเรยนเปดดเฉลยกอนเทำกบวำนกเรยนลอกค ำตอบซงท ำใหนกเรยนไมไดทดสอบควำมรควำมเขำใจ

ค ำแนะน ำในกำรใชแบบฝกทกษะ

1. นกเรยนในกลมมบทบำทหนำททแตกตำงกนไป โดยชวยกนศกษำเอกสำรจำกแบบฝกทกษะ ควบคไปกบกำรจดกจกรรมกำรเรยนรโดยใชรปแบบกำรสอนแบบรวมมอกนเรยนร เทคนค STAD โดยมครคอยชแนะ

2. นกเรยนทกคนท ำแบบฝกทกษะ โดยภำยในกลมตองชวยเหลอซงกนและกน คนเกงชวยเหลอคนทมควำมสำมำรถทำงดำนคณตศำสตรนอยกวำ

3. เมอท ำแบบฝกทกษะเสรจ สมำชกภำยในกลมตองชวยกนตรวจค ำตอบจำกเฉลยทำยแบบฝกทกษะ และชวยกนแกไขเมอมค ำตอบผด

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

บทบำทนกเรยน

ครตองชแจงใหนกเรยนทรำบถงบทบำทของนกเรยน ดงน 1. หวหนำกลม มหนำทดงน

1) เปนผน ำในกำรปฏบตกจกรรมกลม โดยท ำหนำทอำนใบควำมรเพอใหทกคนท ำตำมค ำชแจงในกำรท ำกจกรรมใหเปนไปตำมขนตอน

2) ควบคมดแลกำรท ำกจกรรมและกจกรรมกลม ใหเปนไปดวยควำมเรยบรอย ไมสงเสยงดงรวบกวนกลมอน

3) ตรวจเชคควำมถกตองใหเรยบรอยหลงจำกเสรจสนกำรท ำกจกรรมกำรเรยนแลว 4) เปนผตดตอสอสำรกบครเมอมปญหำภำยในกลม 5) คอยกระตนใหสมำชกในกลมเหนควำมส ำคญของคะแนนกำรพฒนำของรำยบคคลและ

ของกลมเพอควำมรควำมเขำใจในกลมและควำมภำคภมในของทกคน 6) รวมอภปรำยและสรปผลกำรปฏบตกจกรรม

2. สมำชกกลม มหนำทดงน 1) ปฏบตกจกรรมดวยควำมตงใจและใหทนตำมก ำหนดโดยไมชวนเพอนคยหรอเลน 2) ศกษำใบควำมร แบบฝกทกษะ และปรกษำหำรอวธคดหำค ำตอบภำยในกลม 3) รวมอภปรำยและสรปผลกำรปฏบตกจกรรม

3. เลขำนกำร มหนำทคอ 1) บนทกสรปควำมรทไดรบในกำรอภปรำยกลม เพออธบำยควำมรทไดรบใหเพอนทยงไม

เขำใจฟงเพมเตม 2) เปนผแจกแบบฝกทกษะและรวบรวมน ำไปสงครเมอสมำชกทกคนท ำเสรจเรยบรอยแลว

3) เปนผอำนเฉลยแตละกจกรรมใหเพอนฟงเพอตรวจค ำตอบ 4) รวมอภปรำยและสรปผลกำรปฏบตกจกรรม

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

แบบฝกทกษะวชำคณตศำสตร ค33201 ชนมธยมศกษำปท 6

ทเนนกำรเรยนรแบบเทคนค STAD เรอง ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต เลมท 1 เรอง ควำมหมำยของล ำดบ

สำระส ำคญ

ล ำดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซต {1,2,3, ... ,n} หรอ มโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก เรยกล ำดบทมโดเมนเปนเซต {1,2,3, ... ,n} วำ ล ำดบจ ำกด (finite sequence) และเรยกล ำดบทมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก วำ ล ำดบอนนต (infinite sequence)

จดประสงคกำรเรยนร

1. นกเรยนสำมำรถบอกควำมหมำยของล ำดบได 2. นกเรยนสำมำรถบอกควำมหมำยของล ำดบจ ำกดและล ำดบอนนต

สำระกำรเรยนร

1. ควำมหมำยของล ำดบ 2. ควำมหมำยของล ำดบจ ำกดและล ำดบอนนต

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ใบควำมรท 1.1

เรอง ควำมหมำยของล ำดบ

บทนยำม ล ำดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3,...,n} หรอ มโดเมนเปนเซตของ

จ ำนวนเตมบวก เรยกล ำดบทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3,...,n} วำ ล ำดบจ ำกด (finite sequence) และเรยกล ำดบทมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก วำ ล ำดบอนนต (infinite sequence)

ในกำรเขยนล ำดบ จะเขยนเฉพำะสมำชกของเรนจเรยงกน กลำวคอ ถำ a เปน

ล ำดบซง a(1) = a1, a(2) = a2, a(3) = a3, a(n) = an,... แลว กรณ a เปนล ำดบจ ำกด เขยนแทนล ำดบดวย a1, a2, a3,...,an กรณ a เปนล ำดบอนนต เขยนแทนล ำดบดวย a1, a2, a3,..., an,… เรยก a1 วำ พจนท 1 ของล ำดบ a2 วำ พจนท 2 ของล ำดบ a3 วำ พจนท 3 ของล ำดบ

an วำ พจนท n ของล ำดบ หรอพจนทวไปของล ำดบ

กำรศกษำเรองล ำดบตอไปนจะกลำวถงเฉพำะล ำดบของจ ำนวนจรงเทำนน

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ศกษำตวอยำงกอนนะคะ

ตวอยำงท 1 ทบทวนควำมรเรองโดเมนและเรนจของฟงกชน

1) f1={(1,1),(2,4),(3,9)} f1เปนฟงกชน มโดเมนคอ {1, 2, 3} และเรนจคอ {1, 4, 9}

2) f2={(3,6),(4,7),(5,8)} f2เปนฟงกชน มโดเมนคอ {3, 4, 5} และเรนจคอ {6, 7, 8}

3) f3={(1,3),(2,4),…} f3เปนฟงกชน มโดเมนคอ {1, 2,…} และเรนจคอ {3, 4,… }

4) f4={(1,1),(2,3),(3,5),…} f4เปนฟงกชน มโดเมนคอ {1, 2, 3,…} และเรนจคอ {1, 3, 5,… }

5) f5 , / 2 1,x y y x x I f5เปนฟงกชน มโดเมนคอ {1, 2, 3,…} และเรนจคอ {3, 5, 7,… }

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ตวอยำงท 1 ทบทวนควำมรเรองโดเมนและเรนจของฟงกชน

6) f6 a,b / b 3 1,aa I f6เปนฟงกชน มโดเมนคอ {…, -1, 0, 1,…}

และเรนจคอ {…, -4, -1, 2,… }

7) f7 2, / 2 3x 2,x y y x x I f7เปนฟงกชน มโดเมนคอ {…, -3, -2, -1}

และเรนจคอ {…, 7, 0, -3}

8) f8 , / 3 ,x y y x x R f8เปนฟงกชน มโดเมนคอ R

และเรนจคอ R

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ศกษำตวอยำงกอนนะครบ

ตวอยำงท 2 ล ำดบและกำรเขยนฟงกชนในรปของล ำดบ

1. f1={(1,2),(2,-2),(3,2),(4,-2)}

f1 เปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3, 4} เขยนแทนล ำดบดวย 2, -2, 2, -2

2. f2={(1,5),(2,10),(3,15),…} f2 เปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…} เขยนแทนล ำดบดวย 5, 10, 15,…

3. f3 , / 4 1,x y y x x I f3 เปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…} เขยนแทนล ำดบดวย 3, 7, 11,…

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ตวอยำงท 2 ล ำดบและกำรเขยนฟงกชนในรปของล ำดบ

4. 22 5na n เมอ 1,2,3,...n

na เปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…} เขยนแทนล ำดบดวย 7, 13, 23,…

5. f5 x, y / y , xx I f5 ไมเปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {…, -1, 0, 1, 2,…} ไมสำมำรถเขยนแทนล ำดบได

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ศกษำตวอยำงกอนนะครบ

ตวอยำงท 3 กำรเขยนล ำดบจ ำกดและล ำดบอนนต

1. f1 1 1 1

1,1 , 2, , 3, , 4,2 3 4

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3, 4}

เขยนแทนล ำดบดวย 1 1 11, , ,

2 3 4

2. f2={(1,0),(2,1),(3,2),…}

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…}

เขยนแทนล ำดบดวย 0, 1, 2,...

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ตวอยำงท 3 กำรเขยนล ำดบจ ำกดและล ำดบอนนต

3. f3 4x, y / y , x 1,2,3,...x

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…}

เขยนแทนล ำดบดวย 1, 16, 81,…

4. 2 5na n n เมอ 1,2,3,...,10n

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…,10}

เขยนแทนล ำดบดวย 5, 7, 11,…,95

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

แบบฝกทกษะท 1

เรอง ควำมหมำยของล ำดบ

ค ำชแจง ใหนกเรยนพจำรณำวำฟงกชนตอไปนเปนล ำดบหรอไม มโดเมนเซต

ของจ ำนวนใดและเขยนแทนล ำดบไดวำอยำงไร แลวเตมค ำตอบลงในชองวำงใหถกตองสมบรณ

1. f1 = {(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),…(7,9)} ………………………………………………….. ………………………………………………….. …………………………………………………..

2. f2 2, / 2,x y y x x I ………………………………………………….. ………………………………………………….. …………………………………………………..

3. 2 10na n เมอ 1,0,1,2,3,...n ………………………………………………….. ………………………………………………….. …………………………………………………..

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

4. f4 , / 2 3, 1,2,3x y y x x

………………………………………………….. ………………………………………………….. …………………………………………………..

5. 3 2 3 1na n n n เมอ n R ………………………………………………….. ………………………………………………….. …………………………………………………..

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

แบบฝกทกษะท 1.2

เรอง ควำมหมำยของล ำดบ

ค ำชแจง ใหนกเรยนท ำเครองหมำย ลงใน เพอแสดงวำล ำดบใดเปนล ำดบจ ำกดหรอล ำดบอนนต แลวใหเหตผลวำท ำไมจงเปนเชนนน เขยนแทนล ำดบดวยอะไร โดยเตมค ำตอบลงในชองวำงใหถกตอง

1. f1 1, 2 , 2,2 , 3, 6 , 4, 8 ,...

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

………………………………………………….. …………………………………………………..

2. f2={(1,7),(2,2),(3,-3),(4,-8)}

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

………………………………………………….. …………………………………………………..

3. f3 1

x, y / y , x 1,2,3,...,100x

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

………………………………………………….. …………………………………………………..

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

4. 2

1na n เมอ n I เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

………………………………………………….. …………………………………………………..

5. 4, 7, 10, 13, 16,… เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

………………………………………………….. …………………………………………………. .

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

ภำคผนวก

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

เฉลย แบบฝกทกษะท 1.1

เรอง ควำมหมำยของล ำดบ

ค ำชแจง ใหนกเรยนพจำรณำวำฟงกชนตอไปนเปนล ำดบหรอไม มโดเมนเซตของจ ำนวนใดและเขยนแทนล ำดบไดวำอยำงไร แลวเตมค ำตอบลงในชองวำงใหถกตองสมบรณ

1. f1 = {(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),…(7,9)} f1 เปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…,7} เขยนแทนล ำดบดวย 3, 4, 5, 9

2. f2 2, / 2,x y y x x I

f2 เปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…} เขยนแทนล ำดบดวย -1, 2, 7,…

3. 2 10na n เมอ 1,0,1,2,3,...n na ไมเปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {-1,01, 2, 3,…} ไมสำมำรถเขยนแทนล ำดบได

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

4. f4 , / 2 3, 1,2,3x y y x x f4 เปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3} เขยนแทนล ำดบดวย 5, 7,3

5. 3 2 3 1na n n n เมอ n R

na ไมเปนล ำดบ เพรำะมโดเมนคอ {…,-1,01,…} ไมสำมำรถเขยนแทนล ำดบได

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

เฉลย แบบฝกทกษะท 1.2

เรอง ควำมหมำยของล ำดบ

ค ำชแจง ใหนกเรยนท ำเครองหมำย ลงใน เพอแสดงวำล ำดบใดเปนล ำดบจ ำกดหรอล ำดบอนนต แลวใหเหตผลวำท ำไมจงเปนเชนนน เขยนแทนล ำดบดวยอะไร โดยเตมค ำตอบลงในชองวำงใหถกตอง

1. f1 1, 2 , 2,2 , 3, 6 , 4, 8 ,...

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3, 4,…} เขยนแทนล ำดบดวย 2,2, 6, 8,...

2. f2={(1,7),(2,2),(3,-3),(4,-8)}

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3, 4} เขยนแทนล ำดบดวย 7, 2, -3, -8

3. f3 1

x, y / y , x 1,2,3,...,100x

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…,100} เขยนแทนล ำดบดวย 1 1 1

1, , ,...,2 3 100

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

4.

21na n เมอ n I

เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…} เขยนแทนล ำดบดวย 4, 9, 16,…

5. 4, 7, 10, 13, 16,… เปนล ำดบจ ำกด เปนล ำดบอนนต

เพรำะมโดเมนคอ {1, 2, 3,…} เขยนแทนล ำดบดวย 4, 7, 10, 13, 16,…

ไชโย...ถกหมดเลย

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]

บรรณำนกรม สถำบนสงเสรมกำรสอนวทยำศำสตรและเทคโนโลยกระทรวงศกษำธกำร.

หนงสอเรยนสำระกำรเรยนรเพมเตม คณตศำสตร ชวงชนท 4-6 เลม 5 ชนมธยมศกษำปท 6. พมพครงท 1. กรงเทพมหำนคร : โรงพมพสกสค. ลำดพรำว, 2553.

จกรนทร วรรณโพธกลำง. คมอสำระกำรเรยนรเพมเตมคณตศำสตร ม.6 เลม 5. กรงเทพมหำนคร : พ.ศ.พฒนำ จ ำกด, 2552.

ณรงค ปนนม, อ.จนดำ อยเปนสข. คมอ-เตรยมสอบคณตศำสตรเพมเตม ม.6 เลม 1 ชวงชนปท 4 (ม.4-ม.6) กรงเทพมหำนคร : ภมบณฑต, ม.ป.ป.

ทรงวทย สวรรณธำดำ. แบบฝกคณตศำสตรเพมเตม ชวงชนท 4 ม.6 ภำคเรยนท1. กรงเทพมหำนคร: แมคจ ำกด, 2549.

กรมวชำกำร. กำรสอนทเนนนกเรยนเปนศนยกลำง. กรงเทพมหำนคร : โรงพมพครสภำ ลำดพรำว, 2540.

“_______”. กำรจดกำรเรยนรแบบรวมมอ. กรงเทพมหำนคร: โรงพมพกำรศำสนำ, 2543.

จ ำรส อนสม. คมอคณตศำสตรเพมเตม ชนมธยมศกษำปท 6 ภำคเรยนท 1. กรงเทพมหำนคร : แมคจ ำกด, 2547.

ด ำรงค ทพยโยธำ. คมอตดตวเลอกคณตศำสตร ม.6 สรปเนอหำคณตศำสตร ม.6. กรงเทพมหำนคร : จฬำลงกรณมหำวทยำลย, 2543.

ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต [1]