แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ › news_file ›...

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรองอนพนธของฟงกชน ชนมธยมศกษาปท 6

รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ

นางสาวสภาภรณ แขงขน

ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการ โรงเรยนเทพศรนทร สมทรปราการ

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 6 ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ

ค าน า แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรองอนพนธของฟงกชน เปนสวนหนงของหนวยการเรยนรเรองแคลคลสเบองตน รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค33202 ประกอบดวยแบบฝกทกษะทงหมด 5 เลม ดงน เลมท 1 อนพนธของฟงกชน เลมท 2 การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตร เลมท 3 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ เลมท 4 อนพนธอนดบสง เลมท 5 การประยกตของอนพนธ โดยในแบบฝกทกษะแตละเลมจดท าขนเพอเปนสอประกอบการเรยนการสอนรายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค33202 ระดบชนมธยมศกษาปท 6 สอดคลองกบสาระการเรยนรคณตศาสตร มาตรฐานการเรยนร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 และหลกสตรของโรงเรยนเทพศรนทร สมทรปราการ ประกอบดวยผลการเรยนร จดประสงคการเรยนรเนอหาทครอบคลมทงดานความร ดานทกษะกระบวนการและดานคณลกษณะ ส าหรบแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 3 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ มจดมงหมายเพอใหผเรยนหาอนพนธของฟงกชนประกอบทก าหนดใหได สงเสรมใหผเรยนและผสนใจสามารถศกษาเนอหาและฝกทกษะทางคณตศาสตรกบโจทยทหลากหลาย อนท าใหผเรยนรจกคด วเคราะห สงเคราะหไดมากขน เกดความคงทนในการเรยนร เกดเจตคตทดตอวชาคณตศาสตร สามารถน าความรทไดรบไปประยกตใชในชวตประจ าวนและเปนพนฐานในการศกษาตอในระดบทสงขนตอไป มการเฉลยค าตอบอยางละเอยด ผเรยนสามารถวดผลและประเมนผลการเรยนรดวยตนเองไดในชดแบบฝกทกษะเลมน ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน จะเปนประโยชนตอการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร การคนควาหาความรของผเรยนและเปนประโยชนตอผสนใจ พรอมทงสามารถยกระดบคณภาพการศกษาในระดบชนมธยมศกษาปท 6 ใหมประสทธภาพยงขน สภาภรณ แขงขน

สารบญ เรอง หนา ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบครผสอน 1 ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบผเรยน 2 ขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 3 ผลการเรยนร จดประสงคการเรยนร สมรรถนะส าคญของผเรยน 4 แบบทดสอบกอนเรยน 5 ใบความรท 3.1 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ 9 แบบฝกทกษะท 3.1 16 ใบความรท 3.2 การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ (ตอ) 21 แบบฝกทกษะท 3.2 24 แบบทดสอบหลงเรยน 27 แบบบนทกคะแนน 31 บรรณานกรม 32 ภาคผนวก 33 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 34 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.1 35 เฉลยแบบฝกทกษะ 3.2 43 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 47

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 1

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ส าหรบครผสอน

1. ครผสอนศกษาการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2. ครผสอนศกษาและท าความเขาใจในเนอหา จดประสงคการเรยนรและการด าเนนการสอน เพอใหการจดกจกรรมการเรยนรเปนไปตามล าดบขนตอน 3. ครผสอนใหผเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเรองอนพนธของฟงกชนประกอบ 4. ครผสอนด าเนนกจกรรมการเรยนรตามล าดบขนตอน 5. ครผสอนใหค าแนะน าและความชวยเหลอผเรยนเมอเกดปญหา ตามความเหมาะสมและตามศกยภาพของผเรยนแตละคน 6. ครผสอนใหผเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเรองอนพนธของฟงกชนประกอบ 7. แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน ใชเวลาจดกจกรรมการเรยนการสอน จ านวน 2 ชวโมง

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 2

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ส าหรบผเรยน

1. ผเรยนศกษาการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2. ผเรยนศกษาจดประสงคการเรยนร เพอใหทราบวาตองรและปฏบตสงใดบางหลงจากจบบทเรยนแลว 3. ผเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเรองอนพนธของฟงกชนประกอบ เพอตรวจสอบความรเดมในเรองทเรยน จากนนตรวจค าตอบจากเฉลยในภาคผนวกทายเลมและบนทกคะแนน 4. ผเรยนศกษาเนอหาและตวอยางใหเขาใจละเอยด แลวท าแบบฝกทกษะตามล าดบขนตอน 5. หากผเรยนไมเขาใจหรอมปญหา ผเรยนสามารถซกถามปญหาตาง ๆ ปรกษาและแลกเปลยนองคความรจากเพอนหรอครผสอนไดตลอดเวลา 6. ผเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเรองอนพนธของฟงกชนประกอบ จากนนตรวจค าตอบจากเฉลยในภาคผนวกทายเลมและบนทกคะแนน เพอเปรยบเทยบกบคะแนนทดสอบกอนเรยน 7. หากยงมขอสงสยและไมเขาใจ ใหผเรยนกลบไปทบทวนบทเรยนจากแบบฝกทกษะอกครง 8. ผเรยนควรซอสตยตอตนเอง โดยไมเปดดเฉลยระหวางท าแบบฝกทกษะ เพอผเรยนจะไดพฒนาการเรยนรของตนเองอยางเตมความสามารถ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 3

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร

1. อานค าแนะน าส าหรบนกเรยน

2. ท าแบบทดสอบกอนเรยน

3. ศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร

4. ท าแบบทดสอบหลงเรยน

5. ศกษาแบบฝกทกษะชดตอไป

ประเมนผล

ไมผาน

ผาน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 4

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 3 เรอง อนพนธของฟงกชนประกอบ

ผลการเรยนร หาอนพนธของฟงกชนได จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. บอกความหมายของฟงกชนประกอบได 2. บอกกฎลกโซในการหาอนพนธของฟงกชนประกอบได 3. หาอนพนธของฟงกชนประกอบได ดานทกษะกระบวนการ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ ดานคณลกษณะ 1. มความซอสตย สจรต 2. มวนย 3. ใฝเรยนร 4. มงมนในการท างาน สมรรถนะส าคญของผเรยน 1. ความสามารถในการสอสาร 2. ความสามารถในการคด 3. ความสามารถในการแกปญหา

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 5

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง อนพนธของฟงกชนประกอบ

ค าชแจง 1. แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ จ านวน 10 คะแนน ใชเวลา 15 นาท 2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย (x) ลงชองตวเลอกทคดวาถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว ******************************************************************************

1. ก าหนดให y = (x + 1)2 แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. x + 1 ข. 2x + 1 ค. 2(x + 1)2 ง. 2x + 2

2. ก าหนดให y = (x4 - 3x2 + 1)15 แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 15(x4 - 3x2 + 1)14 ข. 15(x4 - 3x2 + 1)14 (4x3 - 6x) ค. 15(x4 - 3x2 + 1) ง. 15(x4 - 3x2 + 1) (4x3 - 6x)

3. ก าหนดให y = (3 – 5x2)-3 แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 42 )5x(330x-

ข. 42 )5x(330x

ค. 42 )5x(310x-

ง. 42 )5x(310x

4. ก าหนดให y = 4x- 2 แลว

dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 21

2 4)(x

x

ข. 21

2 4)(x

x

ค. 21

2 4)2(x

x

ง. 21

2 4)(x

4-2x

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 6

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

5. ก าหนดให y = 4 4 53x แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 4 34

3

5)(3x4

x

ข. 4 34

3

5)(3x4

3x

ค. 4 34

3

5)(3x

3x

ง. 4 34

3

5)(3x

12x

6. ก าหนดให y = (3x2 - 1)2 (x3 + 2) แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 24x3x72x30x63x 2346 ข. 24x3x72x30x63x 2346

ค. 24x6x72x30x63x 2346

ง. 24x6x-72x30x63x 2346

7. ก าหนดให f(x) = 32 4)(x1

แลว f'(x) ตรงกบขอใด

ก. 32 4)(x6x-

ข. 32 4)(x3x-

ค. 42 4)(x3x-

ง. 42 4)(x6x-

8. ก าหนดให f(x) = 14x

3)(2x 32

แลว f'(x) ตรงกบขอใด

ก. 14x)1x4(

3)2(2x3)12x)(2x(48x 32222

ข. 1x4

3)(2x43)12x)(2x(48x 32222

ค. 2

32222

)1x4(3)(2x23)12x)(2x(48x

ง. 14x

3)(2x3)12x)(2x(48x 32222

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 7

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

9. ก าหนดให f(x) = 5

27x3-5x

แลว f'(x) ตรงกบขอใด

ก. 21

3

2)(7x3)(5x 155

ข. 21

4

2)(7x3)105x)(5x - (155

ค. 6

3

2)(7x3)(5x 155

ง. 6

4

2)(7x3)105x)(5x - (155

10. ก าหนดให f(x) = 22x1

1

แลว f'(2) มคาตรงกบขอใด

ก. 55

1 ข.

3 25

1

ค. 3 25

1 ง.

551

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 8

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนแบบทดสอบกอนเรยน

คะแนนเตม คะแนนทได

10

เพอนๆ ตรวจสอบคะแนนกบเฉลยในภาคผนวก และบนทกคะแนนดวยนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 9

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ใบความรท 3.1

การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ

ขอใหนกเรยนพจารณาฟงกชนตอไปน y = g(u) = u5 u = f(x) = 2x4 + 3 จะได y = g(u) = g(f(x)) = u5 นนคอ y = (gof)(x) = (2x4 + 1)5 ฟงกชนดงกลาวเปนฟงกชนประกอบทเกดจากฟงกชน f และ g

อนพนธของฟงกชนประกอบสามารถหาไดกตอเมอสามารถหาอนพนธของฟงกชนทประกอบกนได ซงเรยกวา กฎลกโซ (Chain rule)

ถา f หาอนพนธไดท x และ g หาอนพนธไดท f(x) แลว gof หาอนพนธไดท x และ (gof)’(x) = g’(f(x)) f’(x) แสดงโดย ถา y = (gof)(x) = g(f(x)) แลว

dxdy

= df(x)d g(f(x))

dxd f(x)

ซงถาให u = f(x) และ y = (gof)(x) = g(f(x)) = g(u) แลว

dxdy

= df(x)d

g(f(x)) dxd

f(x)

= g(u)dud

(u)dxd

และ ถา u = f(x) และ y = g(u) แลว

dxdy

= dxdu

g(u) dud

หรอ

dxdy

= dxdu

dudy

ใชไดเฉพาะฟงกชนประกอบ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 10

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

พสจน จาก xyΔ

Δ =

hf(x)h)f(x

0h

lim x

yΔ

Δ =

0hlim h

f(x)h)f(x

= dxdy

ในท านองเดยวกน

uyΔ

Δ =

kf(u)k)f(u

0h

lim u

yΔ

Δ =

0hlim k

f(u)k)f(u

= dudy

และ 0h

lim x

uΔ

Δ =

dxdu

ดงนน xyΔ

Δ =

uyΔ

Δ

xuΔ

Δ

0h

lim dx

dy =

0hlim

xu

uyΔ

Δ

Δ

Δ

dxdy

= uyΔ

Δ

0hlim dx

du

dxdy

= uyΔ

Δ

xuΔ

Δ

0k

lim dx

dy =

0klim

xu

uyΔ

Δ

Δ

Δ

dxdy

= dxdu

0hlim du

dy

dxdy

= dxdududy

dxdy

= dudydxdu

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 11

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

สงทตองสงเกตเหน

กฎลกโซ (Chain rule) ถา u = f(x) และ y = g(u) แลว

dxdy

=

หมายเหต เราอาจมอง y ใหเปนฟงกชนประกอบทซอนกนหลาย ๆ ฟงกชนกได

จะพบวา dxdy

=

เทคนคการใชกฎลกโซกบฟงกชนประกอบทซอนกนหลายฟงกชน หลกการ 1. ก าหนดให y เปนฟงกชนประกอบทซอนกนหลาย ๆ ฟงกชน 2. ท าการดฟขางนอกกอนแลวจงดฟขางในไปเรอย ๆ จนถงเทยบตวแปร x

จะไดวา dxdy

= dsdu

dds

3. น าเอาผลดฟแตละสวนจากขอ 2 ทงหมดมาคณกนกจะได dxdy

dudy

dxdu

ดฟฟงกชนของ y หรอ g(u) ขางนอกกอน

ดฟฟงกชนของ u หรอ f(x) ขางใน

dx d

dudy

dsdu

dtds

ddv

dx d

ดฟจนถงเทยบตวแปร x

ดฟขางนอกกอน ดฟครงท 2 ดฟครงท 1 ดฟครงท 3

dudy

ขางนอก ขางใน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 12

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

สตรการหาอนพนธของฟงกชนประกอบ เรยกวา กฎลกโซ (chain rule)

สตร ถาฟงกชน f หาอนพนธไดท x และฟงกชน g หาอนพนธไดท f(x) แลวฟงกชน gof หาอนพนธไดท x และ (gof)’(x) = g’(f(x))f’(x)

จากสตร ถา u = f(x), y = g(u) = g(f(x)) และ dudy

, dxdu

หาคาไดแลว

dxdy

= dudydxdu

เพอความสะดวกในการหาฟงกชนประกอบ สามารถหาไดจากสตร y = un

dxdy

= nun – 1 dxdu

ไปศกษา ตวอยางกน จ าสตร

ใหไดนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 13

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ตวอยางท 1 ก าหนดให y = (3x2 - 7)5 จงหา dxdy

วธท า จาก y = (3x2 - 7)5 ให u = 3x2 - 7 จะได y = (3x2 - 7)5 = u5

dxdy

= dxdu

dudy

= 7)(3xdxd

) (udud 25

= 5u4 (6x) = 30xu4 = 30x(3x2 - 7)4

ดงนน dxdy

= 30x(3x2 - 7)4

ตวอยางท 2 ก าหนดให y = 2t4t1 จงหา dxdy

วธท า จาก y = 2t4t1 = 21

)2t4t(1

ให u = 2t4t1

จะได y = 21

)2t4t(1 = 2

1u

dxdy

= dxdu

dudy

= )t4t-(1dxd

) (udud 22

1

= 2t)(-4 (u)21 2

1

n ช ถ

n - 1

dxdu

แทนคา u = 73x2

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 14

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

= 21

u

2) - (t

= u2 - t

= 2t4t1

2- t

ดงนน dxdy

= 2t4t1

2- t

ตวอยางท 3 ก าหนดให y = 23 2x)-(x1

จงหา dxdy

วธท า จาก y = 23 2x)-(x1

= (x3 – 2x)-2

ให u = x3 – 2x จะได y = (x3 – 2x)-2 = u-2

dxdy

= dxdu

dudy

= )2x-(xdxd

) (udud 32

= 2)-(3x 2u- 23

= 3

2

u6x - 4

= 33

2

2x)(x6x - 4

ดงนน dxdy = 33

2

2x)(x6x - 4

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 15

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ตวอยางท 4 ก าหนดให s = (2t3 + t)-3 จงหา dtds

วธท า จาก s = (2t3 + t)-3 ให u = 2t3 + t จะได s = (2t3 + t)-3 = u-3

dtds

= dtdu

duds

= t)(2tdtd

) (udud 33-

= (-3u- 4 )(6t + 1) = (-18t - 3) u- 4

= 4u3) (18t-

= 4

3 t) (2t3) (18t

ดงนน dtds

= 4

3 t) (2t3) (18t

เขาใจแลว...ลองไปท าแบบฝกทกษะกนนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 16

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

แบบฝกทกษะ 3.1 ค าชแจง จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน (ขอละ 1 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน)

1. y = (5x + 1)2 วธท า จาก y = (5x + 1)2 ให u = 5x + 1 จะได y = u2

dxdy

= dxdu

dudy

= dxd

(.......) dud

(……………….)

= .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = ..............................................................................................

ดงนน dxdy

= ........................................

2. y = (1 – 4x3)6

วธท า จาก y = (1 – 4x3)6

ให u = ………...…….. จะได y = ………...……..

dxdy

= ………...……..

= .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = ..............................................................................................

ดงนน dxdy

= ........................................

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 17

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

3. y = (x2 + 3x – 5)3 วธท า.................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ดงนน dxdy

= ........................................

4. s = (7t5 – 3t2 + t) -4 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ดงนน dtds

= ........................................

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 18

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

5. s = 32

2 1)(t ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

6. y = 32xx2

วธท า จาก y = 32xx2 = 21

2 3)2x(x ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 19

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

7. y = 3 2x4x ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

8. f(x) = 23 2)x(x1

วธท า จาก f(x) = y = 23 2)x(x1

= 23 2)x(x

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 20

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

9. f(x) = 1x

12

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

10. f(x) = 3 25x1

1

จงหา f’(1)

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................. ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

คะแนน

เพอนๆ ตรวจสอบความถกตอง จากเฉลยในภาคผนวก และบนทกคะแนน

ดวยนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 21

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ใบความรท 3.2

การหาอนพนธของฟงกชนประกอบ (ตอ) การหาอนพนธของฟงกชนประกอบทกลาวมา อาจมบางกรณทฟงกชนทก าหนดใหอยในรปฟงกชนผสมระหวางฟงกชนประกอบกบฟงกชนทอยในรปผลบวก ผลตาง ผลคณ ผลหาร หรอรากท n ของฟงกชนพหนาม ซงเราสามารถหาอนพนธของฟงกชนดงกลาว โดยใชสตรการหาอนพนธของฟงกชนประกอบและสตรการหาอนพนธของฟงกชนทง 8 สตร ตามทไดเรยนมากอนหนานแลว ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 5 ก าหนดให f(x) = (2x2 - 1)(5x + 1)3 จงหา f’(x) วธท า จาก f(x) = y = (2x2 - 1)(5x + 1)3

จะได f’(x) = (2x2 - 1) dxd

(5x + 1)3 + (5x + 1)3 dxd

(2x2 - 1)

= (2x2 - 1) [(3)(5x + 1)2 (5)] + (5x + 1)3 (4x) = 15(2x2 - 1)(5x + 1)2 + 4x(5x + 1)3 ดงนน f’(x) = 15(2x2 - 1)(5x + 1)2 + 4x(5x + 1)3

จะพบวา ฟงกชนดงกลาวอยในรปผลคณ ดงนน การหาอนพนธของผลคณเราท าไดดงน

dxdy

= f(x)dxd

g(x) + g(x) dxd

f(x)

f(x) g(x)

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 22

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ตวอยางท 6 ก าหนดให f(x) = 3

2

5)(3x1)(6x

จงหา f’(x)

วธท า จาก f(x) = y = 3

2

5)(3x1)(6x

f'(x) = 23

3223

]5)[(3x

5)(3xdxd

1)(6x1)(6xdxd

5)(3x

= 6

223

5)(3x(3)]5)3(3x[1)(6x1)(6)][2(6x5)(3x

= 6

223

5)(3x5)(3x1)9(6x5)12)(3x(72x

ดงนน f’(x) = 6

223

5)(3x5)(3x1)9(6x5)12)(3x(72x

จะพบวา ฟงกชนดงกลาวอยในรปผลคณ ดงนน การหาอนพนธของผลหารเราท าไดดงน

dxdy

= 2[g(x)]

g(x)dxd

f(x)f(x)dxd

g(x)

f(x)

g(x)

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 23

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ตวอยางท 7 ก าหนดให f(x) = 2x-9

1 จงหา f’(-1)

วธท า จาก f(x) = y = 2x-9

1 =

21

2 )x(9

1

f'(x) = 22

12

21

221

2

])x[(9

)x(9dxd

(1)(1)dxd

)x(9

= )x(9

2x)()x(921

(1)(0))x(9

2

21

221

2

= 21

22 )x - )(9x(9

x

= 23

2 )x - (9

x

= 3 22 )x(9

x

ดงนน f’(-1) = 3 22 )1)((9

1

= 41

ไปท าแบบฝกทกษะ กนตอนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 24

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

แบบฝกทกษะ 3.2 ค าชแจง จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน (ขอละ 2 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน)

1. y = (x - 1)5 (3x + 1)2

วธท า จาก y = (x - 1)5 (3x + 1)2

จะได dxdy

= (x - 1)5 dxd

................... + .................... dxd

(x - 1)5

= .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = ..............................................................................................

ดงนน dxdy

= ........................................

2. y = 32xx

x4

2

วธท า จาก y = 32xx

x4

2

= 21

4

2

3)2x(x

x

= .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = .............................................................................................. = ..............................................................................................

ดงนน dxdy

= ........................................

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 25

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

3. y = 4

8

2)(8x5)(7x

วธท า..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

4. s = 7

t21t34

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 26

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

5. f(x) = (5x – x2)2 (1 + 2x3)3 จงหา (1)f'

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

คะแนน

เพอนๆ ตรวจสอบความถกตอง จากเฉลยในภาคผนวก และบนทกคะแนน

ดวยนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 27

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

แบบทดสอบหลงเรยน เรอง อนพนธของฟงกชนประกอบ

ค าชแจง 1. แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ จ านวน 10 คะแนน ใชเวลา 15 นาท 2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย (x) ลงชองตวเลอกทคดวาถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว ******************************************************************************

1. ก าหนดให y = (x + 1)2 แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. x + 1 ข. 2x + 1 ค. 2x + 2 ง. 2(x + 1)2

2. ก าหนดให y = (x4 - 3x2 + 1)15 แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 15(x4 - 3x2 + 1) ข. 15(x4 - 3x2 + 1)14 ค. 15(x4 - 3x2 + 1) (4x3 - 6x) ง. 15(x4 - 3x2 + 1)14 (4x3 - 6x)

3. ก าหนดให y = (3 – 5x2)-3 แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 42 )5x(330x-

ข. 42 )5x(310x-

ค. 42 )5x(310x

ง. 42 )5x(330x

4. ก าหนดให y = 4x- 2 แลว

dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 21

2 4)(x

x

ข. 21

2 4)(x

x

ค. 21

2 4)2(x

x

ง. 21

2 4)(x

4-2x

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 28

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

5. ก าหนดให y = 4 4 53x แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 4 34

3

5)(3x4

x

ข. 4 34

3

5)(3x

3x

ค. 4 34

3

5)(3x4

3x

ง. 4 34

3

5)(3x

12x

6. ก าหนดให y = (3x2 - 1)2 (x3 + 2) แลว dxdy

ตรงกบขอใด

ก. 24x3x72x30x63x 2346 ข. 24x3x72x30x63x 2346

ค. 24x6x72x30x63x 2346

ง. 24x6x-72x30x63x 2346

7. ก าหนดให f(x) = 32 4)(x1

แลว f'(x) ตรงกบขอใด

ก. 32 4)(x6x-

ข. 32 4)(x3x-

ค. 42 4)(x6x-

ง. 42 4)(x3x-

8. ก าหนดให f(x) = 14x

3)(2x 32

แลว f'(x) ตรงกบขอใด

ก. 14x

3)(2x3)12x)(2x(48x 32222

ข. 1x4

3)(2x43)12x)(2x(48x 32222

ค. 2

32222

)1x4(3)(2x23)12x)(2x(48x

ง. 14x)1x4(

3)2(2x3)12x)(2x(48x 32222

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 29

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

9. ก าหนดให f(x) = 5

27x3-5x

แลว f'(x) ตรงกบขอใด

ก. 6

3

2)(7x3)(5x 155

ข. 6

4

2)(7x3)105x)(5x - (155

ค. 21

3

2)(7x3)(5x 155

ง. 21

4

2)(7x3)105x)(5x - (155

10. ก าหนดให f(x) = 22x1

1

แลว f'(2) มคาตรงกบขอใด

ก. 3 25

1 ข.

551

ค. 3 25

1 ง.

551

เกงมากเลยนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 30

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนแบบทดสอบหลงเรยน

คะแนนเตม คะแนนทได

10

เพอนๆ ตรวจสอบคะแนนกบเฉลยในภาคผนวก และบนทกคะแนนดวยนะ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 31

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

แบบบนทกคะแนน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 3 เรอง อนพนธของฟงกชนประกอบ

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได คดเปนรอยละ ผลการประเมน แบบทดสอบกอนเรยน 10 แบบทดสอบหลงเรยน 10

ผลการพฒนา

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได คดเปนรอยละ ผานเกณฑ *

ไมผานเกณฑ **

แบบฝกทกษะ 3.1 10 แบบฝกทกษะ 3.2 10

รวม 20

สรปผลการประเมน

ผานเกณฑการประเมน ไมผานเกณฑการประเมน

เกณฑการประเมน *ผลการพฒนา หมายถง คะแนนแบบทดสอบหลงเรยนมากกวาคะแนนแบบทดสอบกอนเรยน *ผานเกณฑ หมายถง ในแตละแบบฝกทกษะผเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะไดคะแนน รอยละ 80 ขนไปของคะแนนเตม **ไมผานเกณฑ หมายถง ในแตละแบบฝกทกษะผเรยนท าแบบฝกทกษะไดคะแนนนอยกวา รอยละ 80 ของคะแนนเตม

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 32

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

บรรณานกรม ทรงวทย สวรรณธาดา. (2555). คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ: บรษท แมคเอดดเคชน จ ากด. พพฒนพงศ ศรวศร. คมอ คณตศาสตรเพมเตม ม.4 – 6 เลม 6. กรงเทพฯ: บรษท ส านกพมพ เดอะบคส จ ากด. รงสรรค มณเลก และประทมพร ศรวฒนกล. (2550). สอการเรยนรสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ม.6 เลม 2 สมบรณแบบ. กรงเทพฯ: พมพครงท 1. โรงพมพวฒนาพานช จ ากด. ศกดสน แกวประจบ. (2555). หนงสอคมอเสรมรายวชา คณตศาสตรเพมเตม ม. 4 - 6 เลม 6. กรงเทพฯ: เยลโล การพมพ. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2557). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร 6 ชนมธยมศกษาปท 4 – 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรตามหลกสตร แกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. . (2557). คมอครรายวชาเพมเตม คณตศาสตร 6 ชนมธยมศกษาปท 4 – 6 กลมสาระ

การเรยนรคณตศาสตรตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว.

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 33

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

ภาคผนวก

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 34

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

ขอ ก ข ค ง 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 35

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

เฉลยแบบฝกทกษะ 3.1

1. y = (5x + 1)2 วธท า จาก y = (5x + 1)2 ให u = 5x + 1 จะได y = u2

dxdy

= dxdu

dudy

= 1)(5xdxd

) (udud

2

= 2u(5) = 10u = 10(5x + 1) = 50x + 10

ดงนน dxdy

= 50x + 10

2. y = (1 – 4x3)6

วธท า จาก y = (1 – 4x3)6

ให u = 1 – 4x3 จะได y = u6

dxdy

= dxdu

dudy

= dxd

) (udud 6 (1 – 4x3)

= 6u5 (-12x2)

= -72x2u5

= -72x2 (1 – 4x3)5

ดงนน dxdy

= -72x2 (1 – 4x3)5

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 36

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

3. y = (x2 + 3x – 5)3 วธท า จาก y = (x2 + 3x – 5)3 ให u = x2 + 3x – 5 จะได y = u3

dxdy

= dxdu

dudy

= dxd

) (udud 3 (x2 + 3x – 5)

= 3u2 (2x + 3)

= (6x + 9) u2

= (6x + 9)(x2 + 3x – 5)2

ดงนน dxdy = (6x + 9)(x2 + 3x – 5)2

4. s = (7t5 – 3t2 + t) -4 วธท า จาก s = (7t5 – 3t2 + t) -4 ให u = 7t5 – 3t2 + t จะได s = u-4

dtds

= dtdu

duds

= dtd

) (udud 4- (7t5 – 3t2 + t)

= -4u- 5 (35t4 – 6t + 1)

= (- 140t4 + 24t - 4) u-5

= 5

4

u424t140t-

= 525

4

t)3t(7t424t140t-

ดงนน dtds

= 525

4

t)3t(7t424t140t-

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 37

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

5. s = 32

2 1)(t

วธท า จาก s = 32

2 1)(t ให u = t2 – 1

จะได s = 32

u

dtds

= dtdu

duds

= dtd

) (udud 3

2 (t2 – 1)

=

31

u32

(2t)

= )(u34t 3

1

= 31

3u

4t

= 3 2 1t3

4t

ดงนน dtds

= 3 2 1t3

4t

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 38

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

6. y = 32xx2

วธท า จาก y = 32xx2 = 2

12 )( 32xx

ให u = x2 - 2x + 3

จะได y = 21

u

dxdy

= dxdu

dudy

= dxd

) (udud 2

1 (x2 - 2x + 3)

=

21

u21

(2x - 2)

= 21

u

1x

= 32xx

1x

2

ดงนน dxdy

= 32xx

1x

2

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 39

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

7. y = 3 2x4x

วธท า จาก y = 3 2x4x = 31

2 )x(4x ให u = 4x + x2

จะได y = 31

u

dxdy

= dxdu

dudy

= dxd

) (udud 3

1 (4x + x2)

= 32

u31

(4 + 2x)

= 32

3u

2x4

= 3 22 )x(4x3

2x4

ดงนน dxdy

= 3 22 )x(4x3

2x4

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 40

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

8. f(x) = 23 2)x(x1

วธท า จาก y = f(x) = 23 2)x(x1

= 23 2)x(x

ให u = x3 – x + 2 จะได f(x) = 2u

(x)f' = dxdu

dudy

= dxd

) (udud 2 (x3 – x + 2)

= 32u- (3x2 - 1)

= 3

2

u26x

= 33

2

2)x(x26x

ดงนน (x)f' = 33

2

2)x(x26x

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 41

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

9. f(x) = 1x

12

วธท า จาก f(x) = y = 1x

12

= 21

2 1)(x

ให u = x2 + 1

จะได f(x) = 21

u

กฎลกโซ จะได (x)f' = dxdu

dudy

= dxd

(udud

) 21

(x2 + 1)

= 23

u21

(2x)

= 23

u

x

= 32 )1x(

x

ดงนน (x)f' = 32 )1x(

x

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 42

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

10. f(x) = 3 25x1

1

จงหา (1)f'

วธท า จาก f(x) = y = 3 25x1

1

= 31

2 )5x(1

ให u = 1 - 5x2

จะได f(x) = 31

u

(x)f' = dxdu

dudy

= dxd

) (udud 3

1

(1 - 5x2)

= 34

u31

(-10x)

= 34

3u

10x

= 3 42 )5x-(13

10x

ดงนน (1)f' = 3 42 )5(1)-(13

10(1)

= 245

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 43

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

เฉลยแบบฝกทกษะ 3.2

1. y = (x - 1)5 (3x + 1)2

วธท า จาก y = (x - 1)5 (3x + 1)2

จะได dxdy = (x - 1)5

dxdy (3x + 1)2 + (3x + 1)2

dxdy (x - 1)5

= (x - 1)5 (2)(3x + 1)(3) + (3x + 1)2 (5)(x - 1)4(1) = (6)(x - 1)5 (3x + 1) + (5)(3x + 1)2 (x - 1)4 = [(x - 1)4 (3x + 1)] [6x – 6 + 15x + 5] = [(x - 1)4 (3x + 1)] (21x – 1)

= (x - 1)4 (63x2 + 18x – 1)

ดงนน dxdy = (x - 1)4 (63x2 + 18x – 1)

2. y = 32xx

x4

2

วธท า จาก y = 32xx

x4

2

= 21

4

2

3)2x(x

x

จะได dxdy

= 22

14

21

42221

4

]3)2x[(x

3)2x(xdxd

)(x)(xdxd

3)2x(x

=22

14

321

4221

4

]3)2x(x[

2)(4x3)2x(x21

)(x(2x)3)2x(x

= 32xx

1)(2x3)2x)(x(x(2x)3)2x(x4

321

4221

4

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 44

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

= 32xx

)x(2x3)(2x)2x(x4

254

= 32xx

x2x6x4x2x4

2525

= 32xx

6x3x4

2

ดงนน dxdy

= 32xx

6x3x4

2

3. y = 4

8

2)(8x5)(7x

วธท า จาก y = 4

8

2)(8x5)(7x

จะไดdxdy

= 24

4884

]2)[(8x

2)(8xdxd

5)(7x5)(7xdxd

2)(8x

= 8

3874

2)(8x(8)2)(4)(8x5)(7x(7)5)(8)(7x2)(8x

= 8

3874

2)(8x2)(8x5)(7x)32(5)(7x2)(56)(8x

=

8

73

2)(8x5)(4)(7x2)(7)(8x5)(7x2)8(8x

= 5

7

2)(8x20)28x14(56x5)8(7x

= 5

7

2)(8x34)(285)8(7x X

ดงนน dxdy

= 5

7

2)(8x34)(285)8(7x X

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 45

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

4. s = 7

2t13t4

วธท า จาก s = 7

2t13t4

ก าหนดให u = 2t13t4

จะได s = 7u

dtds

=

2t13t4

dtd

)(udud 7

=

26

2t)(1

2t)(1dtd

3t)(43t)(4dtd

2t)(1u7

=

26

2t)(12)3t)((42t)(3)(1

u7

= 6

2t13t4

7

22t)(16t86t3

= 6

2t13t4

7

22t)(111

= 8

6

2t)(13t)77(4

ดงนน dtds

= 8

6

2t)(13t)77(4

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 46

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

5. f(x) = (5x – x2)2 (1 + 2x3)3 จงหา (1)f' วธท า จากf(x) = (5x – x2)2 (1 + 2x3)3

จะไดf’(x) = (5x – x2)2 dxd

(1 + 2x3)3 + (1 + 2x3)3 dxd

(5x – x2)2

= (5x – x2)2 (3)(1 + 2x3)2 (6x2) + (1 + 2x3)3 (2)(5x – x2)(5 – 2x) = 18x2 (5x – x2)2 (1 + 2x3)2 + (1 + 2x3)3 (5x – x2)(10 – 4x) ดงนน (1)f' = 18 (5 – 1)2 (1 + 2)2 + (1 + 2)3 (5 – 1)(10 – 4) = )6)(4(27(9))16(18 = 2,592 + 648 = 3,240

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 47

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

ขอ ก ข ค ง 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง อนพนธของฟงกชน เลมท 3 อนพนธของฟงกชนประกอบ 48

ชนมธยมศกษาปท 6 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 6 รหสวชา ค 33202 จดท าโดย นางสาวสภาภรณ แขงขน