View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Stereologi
Eva B. Vedel Jensen
Institut for Matematik
Science and Technology
Aarhus Universitet
Foredrag ved Matematiklærerdagen
18. marts 2016
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af volumen - æggedeler design
Æggedeler design
TU+mt , m ∈ Z, systematisk sæt af parallelle planer
(grå planer).
t er afstanden mellem naboplaner.
U er uniform i [0, t), så placeringen af planerne er tilfældig.
Lad Y ⊂ R3 med volumen V (Y ).
En central ("unbiased") estimator af V (Y ) er
V (Y ) = t∑m
A(Y ∩ TU+mt),
hvor A står for areal.
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Bevis for centralitet
Estimatoren er en funktion af U, V (Y ) = g(U). Middelværdien er
EV (Y ) =
∫ t
0
g(u) · fU(u) du
=
∫ t
0
t∑m
A(Y ∩ Tu+mt) ·1
tdu
=∑m
∫ t
0
A(Y ∩ Tu+mt) du
=∑m
∫ (m+1)t
mtA(Y ∩ Tv ) dv
=
∫ ∞−∞
A(Y ∩ Tv ) dv = V (Y ).
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Variansen af volumen estimatoren
Variansen af V (Y ) afhænger af formen af Y .
Systematiske planer giver sædvanligvis en mindre varians end
hvis planerne placeres uafhængigt af hinanden.
Under regularitetsbetingelser kan det vises, at V (Y ) er
asymptotisk supere�cient for t → 0.
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Mere om volumen estimatoren
Arealer kan estimeres med et systematisk sæt af kvadrater.
U
Y
D0
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af længde - Bu�on's nåleproblem
Bu�on's nåleproblem
T , systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret,
afstand t mellem nabolinier.
Y ⊂ R2, liniestykke i planen af længde L(Y ) < t.
N(Y ∩ T ), antal skæringer mellem Y og T (enten 0 eller 1).
Da gælder
P(N(Y ∩ T ) > 0) =2L(Y )
πt.
Normalt bruges dette resultat til at estimere π, men i stereologien
bruges resultatet i stedet til at estimere L(Y ).
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af længde i planen
T , systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret,
afstand t mellem nabolinier.
Y ⊂ R2, kurve i planen.
En central estimator af L(Y ) er
L(Y ) =π
2t N(Y ∩ T ).
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Bevis for centralitet
Lad Y = ∪iYi , hvor Yi er et liniestykke med L(Yi ) < t. Da gælder
EL(Y ) = E[π2t N(Y ∩ T )
]=
π
2t E
∑i
N(Yi ∩ T )
=π
2t∑i
EN(Yi ∩ T )
=π
2t∑i
P(N(Yi ∩ T ) > 0)
=π
2t∑i
2L(Yi )
πt
=∑i
L(Yi ) = L(Y ).
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af længde i rummet
UW
O
L(Y ) = 2t N(Y ∩ T )
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af over�ade areal - fakir design
Y
OD0
W
S(Y ) = 2A(D0)N(Y ∩ T )
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af over�ade areal - vertikale snit
p q
Vq, p
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af antal partikler
Antal partikler i et snit afhænger ikke kun af antallet i 3D,
men også af deres størrelse.
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af antal partikler
Antal i snit ∝ Antal i rummet × Middel partikel højde.
Lad TU være et plan med fast orientering og placering givet
ved U, der er uniform i et interval af længde D.
Lad Y1, . . . ,YN betegne N partikler med højder H(Yi ),i = 1, . . . ,N.
Da gælder
E#{i : TU ↑ Yi} ∝ N × H,
hvor H er middel partikel højden, H =∑
i H(Yi )/N.
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Bevis
For den ite partikel gælder
P(TU ↑ Yi ) = H(Yi )/D.
Heraf fås
E#{i : TU ↑ Yi} =∑i
P(TU ↑ Yi ) =∑i
H(Yi )/D =1
D×N × H.
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af antal partikler
Løsningen er at bruge 2 planer, en såkaldt disector.
De 2 planer betegnes TU , TU+h, hvor h > 0.
Lad p(i) være det 'øverste' punkt af Yi , i = 1, . . . ,N.
Vi tæller Yi , hvis partiklens øverste punkt falder mellem
planerne, dvs. U < p(i) < U + h.
Sandsynligheden for at Yi bliver talt er dermed
P(U < p(i) < U + h) = P(p(i)− h < U < p(i)) = h/D.
Sandsynligheden afhænger ikke af i .
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Estimation af partikel størrelser
Wicksell's problem: estimation af størrelsesfordeling af
kugleformede partikler ud fra observationer i snit.
Sandsynlighedstætheden g for fordelingen af de observerede
diametre af cirkulære snit opfylder
g(s) =s
m
∫ ∞s
1√t2 − s2
f (t) ds,
hvor f er den tilsvarende tæthed i 3D.
At �nde f udfra g er et 'ill-posed' inverst problem.
Den moderne stereologi beskæftiger sig med metoder til at
�nde størrelsesfordelingen af partikler af generel form.
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi
Lokal stereologi giver adgang til partikel størrelser i 3D.
Målinger på lokale snit anvendes.
T
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - eksempler i 2D
Cirkel
r
Areal = πr2
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - eksempler i 2D
Konveks form
rdf
Areal =∫ 2π0
12 r
2dφ = π
∫ 2π0
r2 dφ2π = πr2
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - eksempler i 2D
Ikke-konveks form
r0
r1
r2
Areal(skraveret område)=12(r20 + r22 − r21 )dφ
Areal= πr2
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - eksempel i 3D
w
r
dr
dv=r2drdw
Volumen= 4π3 r3
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - n dimensioner
Den generaliserede Blaschke-Petkantschin formel:
c(n − q − r , p − q − r)
∫X1
· · ·∫Xq
g(x1, . . . , xq)
q∏i=1
dxni
=
∫Lnp(r)
∫X1∩Lp
· · ·∫Xq∩Lp
g(x1, . . . , xq)
×∇r+q(e1, . . . , er , x1, . . . , xq)n−pq∏
i=1
dxpi dLnp(r)
n = 3, q = 1, r = 0, p = 1: volumen i 3D via lokale snit!
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - volumen i 3D
Isotropisk L1:23
∑x∈∂X∩L1(−1)
α(x)‖x‖3
Isotropisk L2, uniform G1 ⊆ L2 :
2A1
∑x∈∂(X∩L2)∩G1(−1)
α(x)∫ |x·ω|0
√v2 + ‖πL2L1x‖2dv
Vertikal L2, uniform G1 ⊆ L2, L1 ⊥ L1(0):π2A1
∑x∈∂(X∩L2)∩G1 ‖πL1x‖2
Isotropisk T2, uniform G1:
A2
∑x∈∂(X∩T2)∩G1(−1)
α(x)∫ |x·ω|0
F1,2
(t2
v2+‖πL⊥1
x‖2
)dv
Vertikal T2, uniform G1, L1 ⊆ L⊥1(0):
A2
∑x∈∂(X∩T2)∩G1(−1)
α(x)∫ |x·ω|0
F1,1
(t2
v2+‖π(L1(0)+L1)
⊥ x‖2
)dv
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - over�adeareal i 3D
Isotropisk L2, isotropisk L1 ⊆ L2:2π∑
x∈X∩L1(1+ cotβx(π2− βx))‖x‖2
Isotropisk T2, uniform and isotropisk G1:
2A2
∑x∈X∩T2∩G1 F1,2(t
2/‖x‖2)−1
Vertikal T2, uniform and isotropisk G1:
2A2
∑x∈X∩T2∩G1 F1,1(t
2/‖πL⊥1(0)
x‖2)−1
Isotropisk T2, G1||T2:
2A2
∑x∈X∩T2∩G1 F1,1(t
2/‖πL⊥1
x‖2)−1
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - længde i 3D
Isotropisk T2, uniform and isotropisk G2:
2A1
∑x∈X∩T2∩G2 F1,2(t
2/‖x‖2)−1
Vertikal T2, uniform and isotropisk G2:
2A1
∑x∈X∩T2∩G2 F1,1(t
2/‖πL⊥1(0)
x‖2)−1
Isotropisk T2, G2 ⊥ T2:
2A1
∑x∈X∩T2∩G2 F1,1(t
2/‖πL⊥1
x‖2)−1
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Lokal stereologi - antal i 3D
Isotropisk T2:∑x∈X∩T2 F1,2(t
2/‖x‖2)−1
Vertikal T2:∑x∈X∩T2 F1,1(t
2/‖πL⊥1(0)
x‖2)−1
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Avanceret statistisk billedanalyse
Antal kan bestemmes med større præcision, hvis synsfelter
computer-styres til informative områder (her det granulære cellelag,
vist blå).
6 Proportionator Sampling and Estimation
Figure 3. Estimating total number of granule cells in rat cerebellum. The blue granule cell layer is clearly visible
at 1.25X (upper left panel). The area of interest is delineated coarsely and partitioned into fields of view. The upper
right panel shows the fields of view with their assigned weight on a grey-scale. Middle left panel shows the distribution
of sampled fields (yellow rectangles) for the proportionator, the selected fields of view are almost surely in the granule
cell layer. As shown in the middle right panel!sampling with the traditional SURS!such fields of view may or may not
hit the blue region. The lower two panels are examples of counting at 100X magnification (oil lens).
Total number of GFP orexin neurons in mice brain
Two brains were studied from mature transgenic mice, where orexin neurons in lateral hypothalamus and
adjacent perifornical area could be visualized in situ by expression of enhanced green fluorescent protein
(Burdakov et al. 2006). Brains had been immersion fixed in 4% phosphate-buffered formaldehyde for a
few hours, cryo-protected and frozen in liquid nitrogen. The brains were cut exhaustively using a
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Rumlig statistik
Lokale skaleringsmodeller (selv-similære)
Eva B. Vedel Jensen 18. marts 2016, Matematiklærerdagen
Recommended