Latinski kvadrati - nasport.pmf.ni.ac.rs

Latinski kvadrati

1 Latinski kvadrati

Latinski kvadrati

Latinski kvadrati

Analiza pomocu modela slucajnih blokova se znatno komplikujekada broj blokova mora da se poveca.

Koriste se planovi kod kojih se svaki blok sastoji od jednejedinice, koje su sa svoje strane rasporedjene u vidu kvadratnetablice c × c.

Tablica se sastoji od c2 jedinica izmedju kojih se na slucajannacin razmesta c tretmana.

Latinski kvadrati

Latinski kvadrati

Analiza pomocu modela slucajnih blokova se znatno komplikujekada broj blokova mora da se poveca.

Koriste se planovi kod kojih se svaki blok sastoji od jednejedinice, koje su sa svoje strane rasporedjene u vidu kvadratnetablice c × c.

Tablica se sastoji od c2 jedinica izmedju kojih se na slucajannacin razmesta c tretmana.

Latinski kvadrati

Latinski kvadrati

Analiza pomocu modela slucajnih blokova se znatno komplikujekada broj blokova mora da se poveca.

Koriste se planovi kod kojih se svaki blok sastoji od jednejedinice, koje su sa svoje strane rasporedjene u vidu kvadratnetablice c × c.

Tablica se sastoji od c2 jedinica izmedju kojih se na slucajannacin razmesta c tretmana.

Latinski kvadrati

Latinski kvadratLatinski kvadrat je tablica kod koje se svaki tretman primenjujetacno jednom u svakoj vrsti i tacno jednom u svakoj koloni.

Primer

A B C A B C D A D B CB C A B A D C D C A BC A B C D B A C B D A

D C A B B A C D

Latinski kvadrati

Latinski kvadratLatinski kvadrat je tablica kod koje se svaki tretman primenjujetacno jednom u svakoj vrsti i tacno jednom u svakoj koloni.

Primer

A B C A B C D A D B CB C A B A D C D C A BC A B C D B A C B D A

D C A B B A C D

Latinski kvadrati

Latinski kvadratLatinski kvadrat je tablica kod koje se svaki tretman primenjujetacno jednom u svakoj vrsti i tacno jednom u svakoj koloni.

Primer

A B C A B C D A D B CB C A B A D C D C A BC A B C D B A C B D A

D C A B B A C D

Latinski kvadrati

Latinski kvadratLatinski kvadrat je tablica kod koje se svaki tretman primenjujetacno jednom u svakoj vrsti i tacno jednom u svakoj koloni.

Primer

A B C A B C D A D B CB C A B A D C D C A BC A B C D B A C B D A

D C A B B A C D

Latinski kvadrati

Latinski kvadratLatinski kvadrat je tablica kod koje se svaki tretman primenjujetacno jednom u svakoj vrsti i tacno jednom u svakoj koloni.

Primer

A B C A B C D A D B CB C A B A D C D C A BC A B C D B A C B D A

D C A B B A C D

Latinski kvadrati

Latinski kvadratLatinski kvadrat je tablica kod koje se svaki tretman primenjujetacno jednom u svakoj vrsti i tacno jednom u svakoj koloni.

Primer

A B C A B C D A D B CB C A B A D C D C A BC A B C D B A C B D A

D C A B B A C D

Latinski kvadrati

Prednostitri faktora se mogu izucavati u malom eksperimentudoprinosi smanjenju eksperimentalne greskepostupak statisticke analize je relativno jednostavan

NedostatakVeci broj tretmana zahteva i veci broj ponavljanja

Primenjuju se latinski kvadrati dimenzija uglavnom od 4× 4 do10× 10.

Latinski kvadrati

Prednostitri faktora se mogu izucavati u malom eksperimentudoprinosi smanjenju eksperimentalne greskepostupak statisticke analize je relativno jednostavan

NedostatakVeci broj tretmana zahteva i veci broj ponavljanja

Primenjuju se latinski kvadrati dimenzija uglavnom od 4× 4 do10× 10.

Latinski kvadrati

Prednostitri faktora se mogu izucavati u malom eksperimentudoprinosi smanjenju eksperimentalne greskepostupak statisticke analize je relativno jednostavan

NedostatakVeci broj tretmana zahteva i veci broj ponavljanja

Primenjuju se latinski kvadrati dimenzija uglavnom od 4× 4 do10× 10.

Latinski kvadrati

Prednostitri faktora se mogu izucavati u malom eksperimentudoprinosi smanjenju eksperimentalne greskepostupak statisticke analize je relativno jednostavan

NedostatakVeci broj tretmana zahteva i veci broj ponavljanja

Primenjuju se latinski kvadrati dimenzija uglavnom od 4× 4 do10× 10.

Latinski kvadrati

Prednostitri faktora se mogu izucavati u malom eksperimentudoprinosi smanjenju eksperimentalne greskepostupak statisticke analize je relativno jednostavan

NedostatakVeci broj tretmana zahteva i veci broj ponavljanja

Primenjuju se latinski kvadrati dimenzija uglavnom od 4× 4 do10× 10.

Latinski kvadrati

Prednostitri faktora se mogu izucavati u malom eksperimentudoprinosi smanjenju eksperimentalne greskepostupak statisticke analize je relativno jednostavan

NedostatakVeci broj tretmana zahteva i veci broj ponavljanja

Primenjuju se latinski kvadrati dimenzija uglavnom od 4× 4 do10× 10.

Latinski kvadrati

Prednostitri faktora se mogu izucavati u malom eksperimentudoprinosi smanjenju eksperimentalne greskepostupak statisticke analize je relativno jednostavan

NedostatakVeci broj tretmana zahteva i veci broj ponavljanja

Primenjuju se latinski kvadrati dimenzija uglavnom od 4× 4 do10× 10.

Latinski kvadrati

Standardan latinski kvadratLatinski kvadrat je standardnog oblika ako su u prvoj vrsti iprvoj koloni slova ili brojevi koji oznacavaju tretmane poredjanipo abecednom redu ili po rednim brojevima.

Primer

A B A B C A B C DB A B C A B C D A

C A B C D A BD A B C

Latinski kvadrati

Standardan latinski kvadratLatinski kvadrat je standardnog oblika ako su u prvoj vrsti iprvoj koloni slova ili brojevi koji oznacavaju tretmane poredjanipo abecednom redu ili po rednim brojevima.

Primer

A B A B C A B C DB A B C A B C D A

C A B C D A BD A B C

Latinski kvadrati

Standardan latinski kvadratLatinski kvadrat je standardnog oblika ako su u prvoj vrsti iprvoj koloni slova ili brojevi koji oznacavaju tretmane poredjanipo abecednom redu ili po rednim brojevima.

Primer

A B A B C A B C DB A B C A B C D A

C A B C D A BD A B C

Latinski kvadrati

Standardan latinski kvadratLatinski kvadrat je standardnog oblika ako su u prvoj vrsti iprvoj koloni slova ili brojevi koji oznacavaju tretmane poredjanipo abecednom redu ili po rednim brojevima.

Primer

A B A B C A B C DB A B C A B C D A

C A B C D A BD A B C

Latinski kvadrati

Standardan latinski kvadratLatinski kvadrat je standardnog oblika ako su u prvoj vrsti iprvoj koloni slova ili brojevi koji oznacavaju tretmane poredjanipo abecednom redu ili po rednim brojevima.

Primer

A B A B C A B C DB A B C A B C D A

C A B C D A BD A B C

Latinski kvadrati

Standardan latinski kvadratLatinski kvadrat je standardnog oblika ako su u prvoj vrsti iprvoj koloni slova ili brojevi koji oznacavaju tretmane poredjanipo abecednom redu ili po rednim brojevima.

Primer

A B A B C A B C DB A B C A B C D A

C A B C D A BD A B C

Latinski kvadrati

Dimenzija Broj standardnih Broj mogucihp × p s(p) m(p)

2× 2 1 23× 3 1 124× 4 4 5765× 5 56 1612806× 6 9408 812851200

Odnos jem(p) = p!(p − 1)!s(p)

Latinski kvadrati

Dimenzija Broj standardnih Broj mogucihp × p s(p) m(p)

2× 2 1 23× 3 1 124× 4 4 5765× 5 56 1612806× 6 9408 812851200

Odnos jem(p) = p!(p − 1)!s(p)

Latinski kvadrati

Transverzalan latinski kvadratLatinski kvadrat je transverzalan ako se svi tretmani javljaju usvakoj dijagonali po jedanput.

Primer

A B C DC D A BD C B AB A D C

Latinski kvadrati

Transverzalan latinski kvadratLatinski kvadrat je transverzalan ako se svi tretmani javljaju usvakoj dijagonali po jedanput.

Primer

A B C DC D A BD C B AB A D C

Latinski kvadrati

Transverzalan latinski kvadratLatinski kvadrat je transverzalan ako se svi tretmani javljaju usvakoj dijagonali po jedanput.

Primer

A B C DC D A BD C B AB A D C

Latinski kvadrati

Transverzalan latinski kvadratLatinski kvadrat je transverzalan ako se svi tretmani javljaju usvakoj dijagonali po jedanput.

Primer

A B C DC D A BD C B AB A D C

Latinski kvadrati

Dijagonalan latinski kvadratLatinski kvadrat je dijagonalan ako je jedan tretmanrasporedjen po dijagonali.

Primer

A B C A B C DC A B D A B CB C A C D A B

B C D A

Latinski kvadrati

Dijagonalan latinski kvadratLatinski kvadrat je dijagonalan ako je jedan tretmanrasporedjen po dijagonali.

Primer

A B C A B C DC A B D A B CB C A C D A B

B C D A

Latinski kvadrati

Dijagonalan latinski kvadratLatinski kvadrat je dijagonalan ako je jedan tretmanrasporedjen po dijagonali.

Primer

A B C A B C DC A B D A B CB C A C D A B

B C D A

Latinski kvadrati

Dijagonalan latinski kvadratLatinski kvadrat je dijagonalan ako je jedan tretmanrasporedjen po dijagonali.

Primer

A B C A B C DC A B D A B CB C A C D A B

B C D A

Latinski kvadrati

Dijagonalan latinski kvadratLatinski kvadrat je dijagonalan ako je jedan tretmanrasporedjen po dijagonali.

Primer

A B C A B C DC A B D A B CB C A C D A B

B C D A

Latinski kvadrati

Dvostruko dijagonalanLatinski kvadrat je dvostruko dijagonalan ako je po jednojdijagonali rasporedjen samo jedan tretman, a po drugojdijagonali samo neki drugi tretman.

Primer

A B A B C DB A B A D C

C D A BD C B A

Latinski kvadrati

Dvostruko dijagonalanLatinski kvadrat je dvostruko dijagonalan ako je po jednojdijagonali rasporedjen samo jedan tretman, a po drugojdijagonali samo neki drugi tretman.

Primer

A B A B C DB A B A D C

C D A BD C B A

Latinski kvadrati

Dvostruko dijagonalanLatinski kvadrat je dvostruko dijagonalan ako je po jednojdijagonali rasporedjen samo jedan tretman, a po drugojdijagonali samo neki drugi tretman.

Primer

A B A B C DB A B A D C

C D A BD C B A

Latinski kvadrati

Dvostruko dijagonalanLatinski kvadrat je dvostruko dijagonalan ako je po jednojdijagonali rasporedjen samo jedan tretman, a po drugojdijagonali samo neki drugi tretman.

Primer

A B A B C DB A B A D C

C D A BD C B A

Latinski kvadrati

Dvostruko dijagonalanLatinski kvadrat je dvostruko dijagonalan ako je po jednojdijagonali rasporedjen samo jedan tretman, a po drugojdijagonali samo neki drugi tretman.

Primer

A B A B C DB A B A D C

C D A BD C B A

Latinski kvadrati

Sistematski latinski kvadratLatinski kvadrat je sistematski ako se pri postavljanjueksperimenta javljaju neki uslovi koji moraju biti ispunjeni.

PrimerPo vrstama i kolonama, tretmani A i B treba da budu jedan dodrugog.

A B C D A B C DB A D C B A D CC D B A C D A BD C A B D C B A

Latinski kvadrati

Sistematski latinski kvadratLatinski kvadrat je sistematski ako se pri postavljanjueksperimenta javljaju neki uslovi koji moraju biti ispunjeni.

PrimerPo vrstama i kolonama, tretmani A i B treba da budu jedan dodrugog.

A B C D A B C DB A D C B A D CC D B A C D A BD C A B D C B A

Latinski kvadrati

Sistematski latinski kvadratLatinski kvadrat je sistematski ako se pri postavljanjueksperimenta javljaju neki uslovi koji moraju biti ispunjeni.

PrimerPo vrstama i kolonama, tretmani A i B treba da budu jedan dodrugog.

A B C D A B C DB A D C B A D CC D B A C D A BD C A B D C B A

Latinski kvadrati

Sistematski latinski kvadratLatinski kvadrat je sistematski ako se pri postavljanjueksperimenta javljaju neki uslovi koji moraju biti ispunjeni.

PrimerPo vrstama i kolonama, tretmani A i B treba da budu jedan dodrugog.

A B C D A B C DB A D C B A D CC D B A C D A BD C A B D C B A

Latinski kvadrati

Sistematski latinski kvadratLatinski kvadrat je sistematski ako se pri postavljanjueksperimenta javljaju neki uslovi koji moraju biti ispunjeni.

PrimerPo vrstama i kolonama, tretmani A i B treba da budu jedan dodrugog.

A B C D A B C DB A D C B A D CC D B A C D A BD C A B D C B A

Latinski kvadrati

Sistematski latinski kvadratLatinski kvadrat je sistematski ako se pri postavljanjueksperimenta javljaju neki uslovi koji moraju biti ispunjeni.

PrimerPo vrstama i kolonama, tretmani A i B treba da budu jedan dodrugog.

A B C D A B C DB A D C B A D CC D B A C D A BD C A B D C B A

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Izbalansiran latinski kvadratLatinski kvadrat je izbalansiran ako se u skupu latinskihkvadrata svaki tretman nalazi na svakoj od mogucih p2 pozicijau kvadratu.

Primer

A B CC A BB C A

C A BB C AA B C

B C AA B CC A B

1 2 33 1 22 3 1

A

3 1 22 3 11 2 3

B

2 3 11 2 33 1 2

C

Latinski kvadrati

Slucajan izbor latinskih kvadrata

Za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata odredjenedimenzije potrebno je znati sve moguce kvadrate te dimenzije.

Postupak za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata:slucajno se bira p razlicitih brojeva koji su manji od ilijednaki pslucajnim izborom parova brojeva (i , j), i , j ∈ {1,2, . . . ,p}odredjuju se koordinate tretmana koji se prvi rasporedjujevodi se racuna da se svaki tretman pojavljuje samo jednomu svakoj vrsti i svakoj koloni. Ako neki izabrani par brojevato narusava, on se odbacuje i bira se drugi par brojevapostupak se ponavlja za svaki sledeci tretman

Latinski kvadrati

Slucajan izbor latinskih kvadrata

Za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata odredjenedimenzije potrebno je znati sve moguce kvadrate te dimenzije.

Postupak za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata:slucajno se bira p razlicitih brojeva koji su manji od ilijednaki pslucajnim izborom parova brojeva (i , j), i , j ∈ {1,2, . . . ,p}odredjuju se koordinate tretmana koji se prvi rasporedjujevodi se racuna da se svaki tretman pojavljuje samo jednomu svakoj vrsti i svakoj koloni. Ako neki izabrani par brojevato narusava, on se odbacuje i bira se drugi par brojevapostupak se ponavlja za svaki sledeci tretman

Latinski kvadrati

Slucajan izbor latinskih kvadrata

Za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata odredjenedimenzije potrebno je znati sve moguce kvadrate te dimenzije.

Postupak za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata:slucajno se bira p razlicitih brojeva koji su manji od ilijednaki pslucajnim izborom parova brojeva (i , j), i , j ∈ {1,2, . . . ,p}odredjuju se koordinate tretmana koji se prvi rasporedjujevodi se racuna da se svaki tretman pojavljuje samo jednomu svakoj vrsti i svakoj koloni. Ako neki izabrani par brojevato narusava, on se odbacuje i bira se drugi par brojevapostupak se ponavlja za svaki sledeci tretman

Latinski kvadrati

Slucajan izbor latinskih kvadrata

Za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata odredjenedimenzije potrebno je znati sve moguce kvadrate te dimenzije.

Postupak za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata:slucajno se bira p razlicitih brojeva koji su manji od ilijednaki pslucajnim izborom parova brojeva (i , j), i , j ∈ {1,2, . . . ,p}odredjuju se koordinate tretmana koji se prvi rasporedjujevodi se racuna da se svaki tretman pojavljuje samo jednomu svakoj vrsti i svakoj koloni. Ako neki izabrani par brojevato narusava, on se odbacuje i bira se drugi par brojevapostupak se ponavlja za svaki sledeci tretman

Latinski kvadrati

Slucajan izbor latinskih kvadrata

Za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata odredjenedimenzije potrebno je znati sve moguce kvadrate te dimenzije.

Postupak za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata:slucajno se bira p razlicitih brojeva koji su manji od ilijednaki pslucajnim izborom parova brojeva (i , j), i , j ∈ {1,2, . . . ,p}odredjuju se koordinate tretmana koji se prvi rasporedjujevodi se racuna da se svaki tretman pojavljuje samo jednomu svakoj vrsti i svakoj koloni. Ako neki izabrani par brojevato narusava, on se odbacuje i bira se drugi par brojevapostupak se ponavlja za svaki sledeci tretman

Latinski kvadrati

Slucajan izbor latinskih kvadrata

Za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata odredjenedimenzije potrebno je znati sve moguce kvadrate te dimenzije.

Postupak za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata:slucajno se bira p razlicitih brojeva koji su manji od ilijednaki pslucajnim izborom parova brojeva (i , j), i , j ∈ {1,2, . . . ,p}odredjuju se koordinate tretmana koji se prvi rasporedjujevodi se racuna da se svaki tretman pojavljuje samo jednomu svakoj vrsti i svakoj koloni. Ako neki izabrani par brojevato narusava, on se odbacuje i bira se drugi par brojevapostupak se ponavlja za svaki sledeci tretman

Latinski kvadrati

Slucajan izbor latinskih kvadrata

Za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata odredjenedimenzije potrebno je znati sve moguce kvadrate te dimenzije.

Postupak za slucajan izbor jednog latinskog kvadrata:slucajno se bira p razlicitih brojeva koji su manji od ilijednaki pslucajnim izborom parova brojeva (i , j), i , j ∈ {1,2, . . . ,p}odredjuju se koordinate tretmana koji se prvi rasporedjujevodi se racuna da se svaki tretman pojavljuje samo jednomu svakoj vrsti i svakoj koloni. Ako neki izabrani par brojevato narusava, on se odbacuje i bira se drugi par brojevapostupak se ponavlja za svaki sledeci tretman

Latinski kvadrati

Mera rastojanja tretmanaMera rastojanja jednog tretmana je

d =1(p2

) (p2)∑

i=1

di ,

gde je di rastojanje izmedju svakog para tacaka koje sudodeljene tom tretmanu.

Mera rastojanja tretmana jeminimalna ako je tretman rasporedjen po dijagonalimaksimalna ako je raspored tretmana u obliku prstena

Latinski kvadrati

Mera rastojanja tretmanaMera rastojanja jednog tretmana je

d =1(p2

) (p2)∑

i=1

di ,

gde je di rastojanje izmedju svakog para tacaka koje sudodeljene tom tretmanu.

Mera rastojanja tretmana jeminimalna ako je tretman rasporedjen po dijagonalimaksimalna ako je raspored tretmana u obliku prstena

Latinski kvadrati

Mera rastojanja tretmanaMera rastojanja jednog tretmana je

d =1(p2

) (p2)∑

i=1

di ,

gde je di rastojanje izmedju svakog para tacaka koje sudodeljene tom tretmanu.

Mera rastojanja tretmana jeminimalna ako je tretman rasporedjen po dijagonalimaksimalna ako je raspored tretmana u obliku prstena

Latinski kvadrati

Mera rastojanja tretmanaMera rastojanja jednog tretmana je

d =1(p2

) (p2)∑

i=1

di ,

gde je di rastojanje izmedju svakog para tacaka koje sudodeljene tom tretmanu.

Mera rastojanja tretmana jeminimalna ako je tretman rasporedjen po dijagonalimaksimalna ako je raspored tretmana u obliku prstena

Latinski kvadrati

Mera rastojanja tretmanaMera rastojanja jednog tretmana je

d =1(p2

) (p2)∑

i=1

di ,

gde je di rastojanje izmedju svakog para tacaka koje sudodeljene tom tretmanu.

Mera rastojanja tretmana jeminimalna ako je tretman rasporedjen po dijagonalimaksimalna ako je raspored tretmana u obliku prstena

Latinski kvadrati

Mera rastojanja tretmanaMera rastojanja jednog tretmana je

d =1(p2

) (p2)∑

i=1

di ,

gde je di rastojanje izmedju svakog para tacaka koje sudodeljene tom tretmanu.

Mera rastojanja tretmana jeminimalna ako je tretman rasporedjen po dijagonalimaksimalna ako je raspored tretmana u obliku prstena

Latinski kvadrati

Mera rastojanja tretmanaMera rastojanja jednog tretmana je

d =1(p2

) (p2)∑

i=1

di ,

gde je di rastojanje izmedju svakog para tacaka koje sudodeljene tom tretmanu.

Mera rastojanja tretmana jeminimalna ako je tretman rasporedjen po dijagonalimaksimalna ako je raspored tretmana u obliku prstena

Latinski kvadrati

PrimerOdrediti meru rastojanja tretmana A u latinskom kvadratu

A B C DB A D CC D A BD C B A

Resenje:Mesta tretmana A su(1,1) B C D

B (2,2) D CC D (3,3) BD C B (4,4)

Latinski kvadrati

PrimerOdrediti meru rastojanja tretmana A u latinskom kvadratu

A B C DB A D CC D A BD C B A

Resenje:Mesta tretmana A su(1,1) B C D

B (2,2) D CC D (3,3) BD C B (4,4)

Latinski kvadrati

PrimerOdrediti meru rastojanja tretmana A u latinskom kvadratu

A B C DB A D CC D A BD C B A

Resenje:Mesta tretmana A su(1,1) B C D

B (2,2) D CC D (3,3) BD C B (4,4)

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,1), (2,2)) =

√2

d2 = d((1,1), (3,3)) = 2√

2d3 = d((1,1), (4,4)) = 3

√2

d4 = d((2,2), (3,3)) =√

2d5 = d((2,2), (4,4)) = 2

√2

d6 = d((3,3), (4,4)) =√

2

Tada je mera rastojanja

d =10√

26≈ 2,36

Latinski kvadrati

PrimerOdrediti meru rastojanja tretmana A u latinskom kvadratu

B D A CA C B DC B D AD A C B

Resenje:Mesta tretmana A su

B D (1,3) C(2,1) C B D

C B D (3,4)D (4,2) C B

Latinski kvadrati

PrimerOdrediti meru rastojanja tretmana A u latinskom kvadratu

B D A CA C B DC B D AD A C B

Resenje:Mesta tretmana A su

B D (1,3) C(2,1) C B D

C B D (3,4)D (4,2) C B

Latinski kvadrati

PrimerOdrediti meru rastojanja tretmana A u latinskom kvadratu

B D A CA C B DC B D AD A C B

Resenje:Mesta tretmana A su

B D (1,3) C(2,1) C B D

C B D (3,4)D (4,2) C B

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Resenje:Odgovarajuca rastojanja sud1 = d((1,3), (2,1)) =

√5

d2 = d((1,3), (3,4)) =√

5d3 = d((1,3), (4,2)) =

√10

d4 = d((2,1), (3,4)) =√

10d5 = d((2,1), (4,2)) =

√5

d6 = d((3,4), (4,2)) =√

5

Tada je mera rastojanja

d =4√

5 + 2√

106

≈ 2,54

Latinski kvadrati

Matematicki model je oblika:

Xijk = m + µi + νj + θk + εijk , i , j , k ∈ {1,2, . . . ,p},

gde je Xijk rezultat merenja koji nastaje pod dejstvom i-te vrste,j-te kolone i k -tog tretmana,

p∑i=1

µi =

p∑j=1

νj =

p∑k=1

θk = 0

εijk su nezavisne slucajne promenljive sa N (0, σ2) raspodelom.

Latinski kvadrati

Matematicki model je oblika:

Xijk = m + µi + νj + θk + εijk , i , j , k ∈ {1,2, . . . ,p},

gde je Xijk rezultat merenja koji nastaje pod dejstvom i-te vrste,j-te kolone i k -tog tretmana,

p∑i=1

µi =

p∑j=1

νj =

p∑k=1

θk = 0

εijk su nezavisne slucajne promenljive sa N (0, σ2) raspodelom.

Latinski kvadrati

Matematicki model je oblika:

Xijk = m + µi + νj + θk + εijk , i , j , k ∈ {1,2, . . . ,p},

gde je Xijk rezultat merenja koji nastaje pod dejstvom i-te vrste,j-te kolone i k -tog tretmana,

p∑i=1

µi =

p∑j=1

νj =

p∑k=1

θk = 0

εijk su nezavisne slucajne promenljive sa N (0, σ2) raspodelom.

Latinski kvadrati

Matematicki model je oblika:

Xijk = m + µi + νj + θk + εijk , i , j , k ∈ {1,2, . . . ,p},

gde je Xijk rezultat merenja koji nastaje pod dejstvom i-te vrste,j-te kolone i k -tog tretmana,

p∑i=1

µi =

p∑j=1

νj =

p∑k=1

θk = 0

εijk su nezavisne slucajne promenljive sa N (0, σ2) raspodelom.

Latinski kvadrati

Efektiµi = mi•• −m je efekat i-te vrsteνj = m•j• −m je efekat j-te koloneθk = m••k −m je efekat k -tog tretmana

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu vrsta, tj.

H0V (µ1 = µ2 = · · · = µp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1V (µi 6= 0, za neko i ∈ {1,2, . . . ,p}).

Latinski kvadrati

Efektiµi = mi•• −m je efekat i-te vrsteνj = m•j• −m je efekat j-te koloneθk = m••k −m je efekat k -tog tretmana

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu vrsta, tj.

H0V (µ1 = µ2 = · · · = µp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1V (µi 6= 0, za neko i ∈ {1,2, . . . ,p}).

Latinski kvadrati

Efektiµi = mi•• −m je efekat i-te vrsteνj = m•j• −m je efekat j-te koloneθk = m••k −m je efekat k -tog tretmana

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu vrsta, tj.

H0V (µ1 = µ2 = · · · = µp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1V (µi 6= 0, za neko i ∈ {1,2, . . . ,p}).

Latinski kvadrati

Efektiµi = mi•• −m je efekat i-te vrsteνj = m•j• −m je efekat j-te koloneθk = m••k −m je efekat k -tog tretmana

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu vrsta, tj.

H0V (µ1 = µ2 = · · · = µp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1V (µi 6= 0, za neko i ∈ {1,2, . . . ,p}).

Latinski kvadrati

Efektiµi = mi•• −m je efekat i-te vrsteνj = m•j• −m je efekat j-te koloneθk = m••k −m je efekat k -tog tretmana

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu vrsta, tj.

H0V (µ1 = µ2 = · · · = µp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1V (µi 6= 0, za neko i ∈ {1,2, . . . ,p}).

Latinski kvadrati

Efektiµi = mi•• −m je efekat i-te vrsteνj = m•j• −m je efekat j-te koloneθk = m••k −m je efekat k -tog tretmana

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu vrsta, tj.

H0V (µ1 = µ2 = · · · = µp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1V (µi 6= 0, za neko i ∈ {1,2, . . . ,p}).

Latinski kvadrati

Efektiµi = mi•• −m je efekat i-te vrsteνj = m•j• −m je efekat j-te koloneθk = m••k −m je efekat k -tog tretmana

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu vrsta, tj.

H0V (µ1 = µ2 = · · · = µp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1V (µi 6= 0, za neko i ∈ {1,2, . . . ,p}).

Latinski kvadrati

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu kolona, tj.

H0K (ν1 = ν2 = · · · = νp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1K (νj 6= 0, za neko j ∈ {1,2, . . . ,p}).

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu tretmana, tj.

H0T (θ1 = θ2 = · · · = θp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1T (θk 6= 0, za neko k ∈ {1, 2, . . . , p}).

Latinski kvadrati

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu kolona, tj.

H0K (ν1 = ν2 = · · · = νp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1K (νj 6= 0, za neko j ∈ {1,2, . . . ,p}).

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu tretmana, tj.

H0T (θ1 = θ2 = · · · = θp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1T (θk 6= 0, za neko k ∈ {1, 2, . . . , p}).

Latinski kvadrati

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu kolona, tj.

H0K (ν1 = ν2 = · · · = νp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1K (νj 6= 0, za neko j ∈ {1,2, . . . ,p}).

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu tretmana, tj.

H0T (θ1 = θ2 = · · · = θp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1T (θk 6= 0, za neko k ∈ {1, 2, . . . , p}).

Latinski kvadrati

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu kolona, tj.

H0K (ν1 = ν2 = · · · = νp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1K (νj 6= 0, za neko j ∈ {1,2, . . . ,p}).

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu tretmana, tj.

H0T (θ1 = θ2 = · · · = θp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1T (θk 6= 0, za neko k ∈ {1, 2, . . . , p}).

Latinski kvadrati

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu kolona, tj.

H0K (ν1 = ν2 = · · · = νp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1K (νj 6= 0, za neko j ∈ {1,2, . . . ,p}).

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu tretmana, tj.

H0T (θ1 = θ2 = · · · = θp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1T (θk 6= 0, za neko k ∈ {1, 2, . . . , p}).

Latinski kvadrati

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu kolona, tj.

H0K (ν1 = ν2 = · · · = νp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1K (νj 6= 0, za neko j ∈ {1,2, . . . ,p}).

Testiramo hipotezu da ne postoji razlika u dejstvu tretmana, tj.

H0T (θ1 = θ2 = · · · = θp = 0),

protiv alternativne hipoteze

H1T (θk 6= 0, za neko k ∈ {1, 2, . . . , p}).

Latinski kvadrati

Uvodimo statistike:

sredina i-te vrste X i•• =1p

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

sredina j-te kolone X •j• =1p

p∑i=1

p∑k=1

Xijk

sredina k -tog tretmana X ••k =1p

p∑i=1

p∑j=1

Xijk

sredina celog uzorka X =1p2

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

Latinski kvadrati

Uvodimo statistike:

sredina i-te vrste X i•• =1p

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

sredina j-te kolone X •j• =1p

p∑i=1

p∑k=1

Xijk

sredina k -tog tretmana X ••k =1p

p∑i=1

p∑j=1

Xijk

sredina celog uzorka X =1p2

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

Latinski kvadrati

Uvodimo statistike:

sredina i-te vrste X i•• =1p

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

sredina j-te kolone X •j• =1p

p∑i=1

p∑k=1

Xijk

sredina k -tog tretmana X ••k =1p

p∑i=1

p∑j=1

Xijk

sredina celog uzorka X =1p2

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

Latinski kvadrati

Uvodimo statistike:

sredina i-te vrste X i•• =1p

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

sredina j-te kolone X •j• =1p

p∑i=1

p∑k=1

Xijk

sredina k -tog tretmana X ••k =1p

p∑i=1

p∑j=1

Xijk

sredina celog uzorka X =1p2

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

Latinski kvadrati

Uvodimo statistike:

sredina i-te vrste X i•• =1p

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

sredina j-te kolone X •j• =1p

p∑i=1

p∑k=1

Xijk

sredina k -tog tretmana X ••k =1p

p∑i=1

p∑j=1

Xijk

sredina celog uzorka X =1p2

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

Xijk

Latinski kvadrati

Ocene

Parametar m ocenjujemo statistikom X

Parametar µi ocenjujemo statistikom X i•• − X

Parametar νj ocenjujemo statistikom X •j• − X

Parametar θk ocenjujemo statistikom X ••k − X

εijk zamenjujemo sa Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X

Dobijamo da je

Xijk − X =X i•• − X + X •j• − X

+ X ••k − X + Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X(1)

Latinski kvadrati

Ocene

Parametar m ocenjujemo statistikom X

Parametar µi ocenjujemo statistikom X i•• − X

Parametar νj ocenjujemo statistikom X •j• − X

Parametar θk ocenjujemo statistikom X ••k − X

εijk zamenjujemo sa Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X

Dobijamo da je

Xijk − X =X i•• − X + X •j• − X

+ X ••k − X + Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X(1)

Latinski kvadrati

Ocene

Parametar m ocenjujemo statistikom X

Parametar µi ocenjujemo statistikom X i•• − X

Parametar νj ocenjujemo statistikom X •j• − X

Parametar θk ocenjujemo statistikom X ••k − X

εijk zamenjujemo sa Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X

Dobijamo da je

Xijk − X =X i•• − X + X •j• − X

+ X ••k − X + Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X(1)

Latinski kvadrati

Ocene

Parametar m ocenjujemo statistikom X

Parametar µi ocenjujemo statistikom X i•• − X

Parametar νj ocenjujemo statistikom X •j• − X

Parametar θk ocenjujemo statistikom X ••k − X

εijk zamenjujemo sa Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X

Dobijamo da je

Xijk − X =X i•• − X + X •j• − X

+ X ••k − X + Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X(1)

Latinski kvadrati

Ocene

Parametar m ocenjujemo statistikom X

Parametar µi ocenjujemo statistikom X i•• − X

Parametar νj ocenjujemo statistikom X •j• − X

Parametar θk ocenjujemo statistikom X ••k − X

εijk zamenjujemo sa Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X

Dobijamo da je

Xijk − X =X i•• − X + X •j• − X

+ X ••k − X + Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X(1)

Latinski kvadrati

Ocene

Parametar m ocenjujemo statistikom X

Parametar µi ocenjujemo statistikom X i•• − X

Parametar νj ocenjujemo statistikom X •j• − X

Parametar θk ocenjujemo statistikom X ••k − X

εijk zamenjujemo sa Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X

Dobijamo da je

Xijk − X =X i•• − X + X •j• − X

+ X ••k − X + Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X(1)

Latinski kvadrati

Ocene

Parametar m ocenjujemo statistikom X

Parametar µi ocenjujemo statistikom X i•• − X

Parametar νj ocenjujemo statistikom X •j• − X

Parametar θk ocenjujemo statistikom X ••k − X

εijk zamenjujemo sa Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X

Dobijamo da je

Xijk − X =X i•• − X + X •j• − X

+ X ••k − X + Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X(1)

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Kvadriranjem (1) i sumiranjem po i , j , k = 1,2, . . . ,p dobijamo

Q = QV + QK + QT + QR,

gde jeQ =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X )2 ukupna suma kvadrataQV = p

∑pi=1(X i•• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na vrsteQK = p

∑pj=1(X •j• − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na koloneQT = p

∑pk=1(X ••k − X )2 suma kvadrata odstupanja u odnosu

na tretmaneQR =

∑pi=1∑p

j=1∑p

k=1(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

rezidualna suma kvadrata

Latinski kvadrati

Statistika Q/σ2 ima χ2 raspodelu sa p2 − 1 stepeni slobode.Statistika QV/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QK/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QT/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QR/σ

2 ima χ2 raspodelu sap2 − 1− 3(p − 1) = (p − 1)(p − 2) stepeni slobode.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0V tacna, statistika

F Vp−1,(p−1)(p−2) =

QV/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Latinski kvadrati

Statistika Q/σ2 ima χ2 raspodelu sa p2 − 1 stepeni slobode.Statistika QV/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QK/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QT/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QR/σ

2 ima χ2 raspodelu sap2 − 1− 3(p − 1) = (p − 1)(p − 2) stepeni slobode.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0V tacna, statistika

F Vp−1,(p−1)(p−2) =

QV/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Latinski kvadrati

Statistika Q/σ2 ima χ2 raspodelu sa p2 − 1 stepeni slobode.Statistika QV/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QK/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QT/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QR/σ

2 ima χ2 raspodelu sap2 − 1− 3(p − 1) = (p − 1)(p − 2) stepeni slobode.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0V tacna, statistika

F Vp−1,(p−1)(p−2) =

QV/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Latinski kvadrati

Statistika Q/σ2 ima χ2 raspodelu sa p2 − 1 stepeni slobode.Statistika QV/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QK/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QT/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QR/σ

2 ima χ2 raspodelu sap2 − 1− 3(p − 1) = (p − 1)(p − 2) stepeni slobode.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0V tacna, statistika

F Vp−1,(p−1)(p−2) =

QV/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Latinski kvadrati

Statistika Q/σ2 ima χ2 raspodelu sa p2 − 1 stepeni slobode.Statistika QV/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QK/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QT/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QR/σ

2 ima χ2 raspodelu sap2 − 1− 3(p − 1) = (p − 1)(p − 2) stepeni slobode.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0V tacna, statistika

F Vp−1,(p−1)(p−2) =

QV/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Latinski kvadrati

Statistika Q/σ2 ima χ2 raspodelu sa p2 − 1 stepeni slobode.Statistika QV/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QK/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QT/σ

2 ima χ2 raspodelu sa p − 1 stepeni slobode.Statistika QR/σ

2 ima χ2 raspodelu sap2 − 1− 3(p − 1) = (p − 1)(p − 2) stepeni slobode.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0V tacna, statistika

F Vp−1,(p−1)(p−2) =

QV/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Latinski kvadrati

Ako je realizovana vrednost f Vp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Vodbacuje.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0K tacna, statistika

F Kp−1,(p−1)(p−2) =

QK/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Ako je realizovana vrednost f Kp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Kodbacuje.

Latinski kvadrati

Ako je realizovana vrednost f Vp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Vodbacuje.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0K tacna, statistika

F Kp−1,(p−1)(p−2) =

QK/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Ako je realizovana vrednost f Kp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Kodbacuje.

Latinski kvadrati

Ako je realizovana vrednost f Vp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Vodbacuje.

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0K tacna, statistika

F Kp−1,(p−1)(p−2) =

QK/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Ako je realizovana vrednost f Kp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Kodbacuje.

Latinski kvadrati

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0T tacna, statistika

F Tp−1,(p−1)(p−2) =

QT/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Ako je realizovana vrednost f Tp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Todbacuje.

Latinski kvadrati

Pod uslovom da je nulta hipoteza H0T tacna, statistika

F Tp−1,(p−1)(p−2) =

QT/(p − 1)

QR/((p − 1)(p − 2))

ima Fiserovu raspodelu sa (p − 1, (p − 1)(p − 2)) stepenislobode.

Ako je realizovana vrednost f Tp−1,(p−1)(p−2) veca od ili jednaka

vrednosti Fp−1,(p−1)(p−2),1−α, tada se nulta hipoteza H0Todbacuje.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Tabela za model latinskog kvadrataIzvor Suma Stepeni Sredina F

kvadrata slobode kvadrataVrste QV p − 1 QV /(p − 1) F V

p−1,(p−1)(p−2)

Kolone QK p − 1 QK /(p − 1) F Kp−1,(p−1)(p−2)

Tretmani QT p − 1 QT /(p − 1) F Tp−1,(p−1)(p−2)

Greska QR (p − 1)(p − 2) QR/((p − 1)(p − 2))

Ukupno Q p2 − 1

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0V , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju vrsta.

Latinski kvadrati

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0K , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju kolona.

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0T , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju tretmana.

Latinski kvadrati

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0K , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju kolona.

Ukoliko odbacujemo nultu hipotezu H0T , tada zakljucujemo dapostoje razlike izmedju tretmana.

Latinski kvadrati

PrimerIspitivane su cetiri doze A, B, C, D insulina na zecevima, azatim je uporedjivan sadrzaj secera u krvi. Svakog dana jeispitivana svaka doza. Izvrsen je eksperiment slucajnimizborom latinskog kvadrata

B A C DD C B AA B D CC D A B

Rezultati su dati u mg glukoze na 100 cm3 krvi u fiksiranom

trenutku posle injekcije insulina

Redni broj Redni broj zecadana I II III IV

1. 47 90 79 502. 46 74 63 693. 62 61 58 664. 76 63 87 59

Sa pragom znacajnosti α = 0,05 ispitati da li postoje razlikemedju zecevima, dozama i danima.

Latinski kvadrati

Resenje:x<-scan()1: 47 90 79 505: 46 74 63 699: 62 61 58 6613: 76 63 87 5917:dani<-factor(rep(1:4,each=4))zecevi<-factor(rep(c(1,2,3,4),4))latinski<-factor(c("B","A","C","D","D","C","B","A","A","B","D","C","C","D","A","B"))

Latinski kvadrati

Resenje:x<-scan()1: 47 90 79 505: 46 74 63 699: 62 61 58 6613: 76 63 87 5917:dani<-factor(rep(1:4,each=4))zecevi<-factor(rep(c(1,2,3,4),4))latinski<-factor(c("B","A","C","D","D","C","B","A","A","B","D","C","C","D","A","B"))

Latinski kvadrati

Resenje:x<-scan()1: 47 90 79 505: 46 74 63 699: 62 61 58 6613: 76 63 87 5917:dani<-factor(rep(1:4,each=4))zecevi<-factor(rep(c(1,2,3,4),4))latinski<-factor(c("B","A","C","D","D","C","B","A","A","B","D","C","C","D","A","B"))

Latinski kvadrati

Resenje:x<-scan()1: 47 90 79 505: 46 74 63 699: 62 61 58 6613: 76 63 87 5917:dani<-factor(rep(1:4,each=4))zecevi<-factor(rep(c(1,2,3,4),4))latinski<-factor(c("B","A","C","D","D","C","B","A","A","B","D","C","C","D","A","B"))

Latinski kvadrati

Resenje:summary(aov(x∼zecevi+dani+latinski))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)zecevi 3 646.25 215.42 10.8613 0.0077302 **dani 3 217.25 72.42 3.6513 0.0830160 .latinski 3 1563.25 521.08 26.2731 0.0007535 ***Residuals 6 119.00 19.83

Razlike medju zecevima i dozama su statisticki znacajne, dokmedju danima nisu.

Latinski kvadrati

Resenje:summary(aov(x∼zecevi+dani+latinski))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)zecevi 3 646.25 215.42 10.8613 0.0077302 **dani 3 217.25 72.42 3.6513 0.0830160 .latinski 3 1563.25 521.08 26.2731 0.0007535 ***Residuals 6 119.00 19.83

Razlike medju zecevima i dozama su statisticki znacajne, dokmedju danima nisu.

Latinski kvadrati

Resenje:summary(aov(x∼zecevi+dani+latinski))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)zecevi 3 646.25 215.42 10.8613 0.0077302 **dani 3 217.25 72.42 3.6513 0.0830160 .latinski 3 1563.25 521.08 26.2731 0.0007535 ***Residuals 6 119.00 19.83

Razlike medju zecevima i dozama su statisticki znacajne, dokmedju danima nisu.

Latinski kvadrati

ZadatakZa proucavanje cetiri vrsta djubriva (A, B, C, D) na prinosepsenice, posmatraju se cetiri vrste psenice i cetiri parcele.Svaka parcela je podeljena na cetiri jednaka dela. Svakaparcela je podeljena na cetiri jednaka dela i koristi se planlatinskog kvadrata

Vrsta Parcelapsenice 1 2 3 4

1 35, 5A 24, 5B 14, 7C 35, 5D

2 14, 5B 6, 2C 13, 7D 24, 5A

3 14, 1C 16, 2D 34, 3A 19, 7B

4 15, 0D 64, 5A 34, 6B 19, 0C

Za α = 0,01 ispitati da li postoje razlike u odnosu na vrstudjubriva i u odnosu na vrstu psenice.

Latinski kvadrati

ZadatakEksperimentalni rezultati su dati u tabeli, a tretmane A, B, C i Dtreba rasporediti u latinski kvadrat dimenzije 4× 4 koji jestandardan i u kome tretman A ima najmanju mogucu merurastojanja

7 20 10 911 18 6 108 15 14 98 13 11 16

Ispitati da li postoji znacajan uticaj vrsta, kolona i tretmana zaα = 0,05.

Latinski kvadrati

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama se javljaju kadanisu poznati svi eksprimentalni rezultati.

Da bi mogao da se ispita uticaj vrsta, kolona i tretmana morajuda se ocene vrednosti koje nedostaju.

Pretpostavimo da nedostaje jedan podatak xij i oznacimo ga sau.

Latinski kvadrati

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama se javljaju kadanisu poznati svi eksprimentalni rezultati.

Da bi mogao da se ispita uticaj vrsta, kolona i tretmana morajuda se ocene vrednosti koje nedostaju.

Pretpostavimo da nedostaje jedan podatak xij i oznacimo ga sau.

Latinski kvadrati

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama se javljaju kadanisu poznati svi eksprimentalni rezultati.

Da bi mogao da se ispita uticaj vrsta, kolona i tretmana morajuda se ocene vrednosti koje nedostaju.

Pretpostavimo da nedostaje jedan podatak xij i oznacimo ga sau.

Latinski kvadrati

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama

Latinski kvadrati sa nepotpunim informacijama se javljaju kadanisu poznati svi eksprimentalni rezultati.

Da bi mogao da se ispita uticaj vrsta, kolona i tretmana morajuda se ocene vrednosti koje nedostaju.

Pretpostavimo da nedostaje jedan podatak xij i oznacimo ga sau.

Latinski kvadrati

Neka je V zbir p − 1 poznatih vrednosti u i-toj vrsti.Neka je K zbir p − 1 poznatih vrednosti u j-toj koloni.Neka je T zbir p − 1 poznatih vrednosti iz tretmana gde senalazi vrednost koja nedostaje.Neka je G zbir p2 − 1 poznatih vrednosti u eksperimentu.

Za ocenu podatka u uzima se vrednost koja minimizira sumuqR:

qR =

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

+(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

Latinski kvadrati

Neka je V zbir p − 1 poznatih vrednosti u i-toj vrsti.Neka je K zbir p − 1 poznatih vrednosti u j-toj koloni.Neka je T zbir p − 1 poznatih vrednosti iz tretmana gde senalazi vrednost koja nedostaje.Neka je G zbir p2 − 1 poznatih vrednosti u eksperimentu.

Za ocenu podatka u uzima se vrednost koja minimizira sumuqR:

qR =

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

+(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

Latinski kvadrati

Neka je V zbir p − 1 poznatih vrednosti u i-toj vrsti.Neka je K zbir p − 1 poznatih vrednosti u j-toj koloni.Neka je T zbir p − 1 poznatih vrednosti iz tretmana gde senalazi vrednost koja nedostaje.Neka je G zbir p2 − 1 poznatih vrednosti u eksperimentu.

Za ocenu podatka u uzima se vrednost koja minimizira sumuqR:

qR =

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

+(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

Latinski kvadrati

Neka je V zbir p − 1 poznatih vrednosti u i-toj vrsti.Neka je K zbir p − 1 poznatih vrednosti u j-toj koloni.Neka je T zbir p − 1 poznatih vrednosti iz tretmana gde senalazi vrednost koja nedostaje.Neka je G zbir p2 − 1 poznatih vrednosti u eksperimentu.

Za ocenu podatka u uzima se vrednost koja minimizira sumuqR:

qR =

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

+(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

Latinski kvadrati

Neka je V zbir p − 1 poznatih vrednosti u i-toj vrsti.Neka je K zbir p − 1 poznatih vrednosti u j-toj koloni.Neka je T zbir p − 1 poznatih vrednosti iz tretmana gde senalazi vrednost koja nedostaje.Neka je G zbir p2 − 1 poznatih vrednosti u eksperimentu.

Za ocenu podatka u uzima se vrednost koja minimizira sumuqR:

qR =

p∑i=1

p∑j=1

p∑k=1

(Xijk − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

+(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X )2

Latinski kvadrati

Dalje je

0 =∂qR

∂u= 2(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X ),

odakle dobijamo jednacinu

u =V + u

p+

K + up

+T + u

p− 2

G + up2 .

Resavanjem jednacine po u dobijamo ocenu

u =p(V + K + T )− 2G

(p − 1)(p − 2).

Latinski kvadrati

Dalje je

0 =∂qR

∂u= 2(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X ),

odakle dobijamo jednacinu

u =V + u

p+

K + up

+T + u

p− 2

G + up2 .

Resavanjem jednacine po u dobijamo ocenu

u =p(V + K + T )− 2G

(p − 1)(p − 2).

Latinski kvadrati

Dalje je

0 =∂qR

∂u= 2(u − X i•• − X •j• − X ••k + 2X ),

odakle dobijamo jednacinu

u =V + u

p+

K + up

+T + u

p− 2

G + up2 .

Resavanjem jednacine po u dobijamo ocenu

u =p(V + K + T )− 2G

(p − 1)(p − 2).

Latinski kvadrati

Sada se primenjuje analiza disperzija s tim sto se za 1smanjuje broj stepeni slobode kod ukupne sume kvadrata isume kvadrata greske.

Ako nedostaju dve ili vise vrednosti, tada se primenjuje slicaniterativni postupak koji je objasnjen kod modela slucajnihblokova sa nepotpunim informacijama uz primenu prethodneformule.

Kod analize disperzija broj stepeni slobode kod ukupne sumekvadrata i sume kvadrata greske se smanjuje za broj podatakakoji nedostaju.

Latinski kvadrati

Sada se primenjuje analiza disperzija s tim sto se za 1smanjuje broj stepeni slobode kod ukupne sume kvadrata isume kvadrata greske.

Ako nedostaju dve ili vise vrednosti, tada se primenjuje slicaniterativni postupak koji je objasnjen kod modela slucajnihblokova sa nepotpunim informacijama uz primenu prethodneformule.

Kod analize disperzija broj stepeni slobode kod ukupne sumekvadrata i sume kvadrata greske se smanjuje za broj podatakakoji nedostaju.

Latinski kvadrati

Sada se primenjuje analiza disperzija s tim sto se za 1smanjuje broj stepeni slobode kod ukupne sume kvadrata isume kvadrata greske.

Ako nedostaju dve ili vise vrednosti, tada se primenjuje slicaniterativni postupak koji je objasnjen kod modela slucajnihblokova sa nepotpunim informacijama uz primenu prethodneformule.

Kod analize disperzija broj stepeni slobode kod ukupne sumekvadrata i sume kvadrata greske se smanjuje za broj podatakakoji nedostaju.

Latinski kvadrati

PrimerIzabrana su cetiri radnika koji su u cetiri perioda obradjivali nekipredmet na cetiri nacina. Rad je ocenjen ocenama od 1 do 15.Izvrsen je eksperiment slucajnim izborom latinskog kvadrata:

C B D AD C A BA D B CB A C D

i dobijeni su rezultati:Period

Radnik I II III IV1. 12 9 8 72. 6 7 6 93. 5 u 6 94. 11 8 7 8

Sa pragom znacajnosti α = 0,05 ispitati da li postoji znacajanuticaj nacina obrade na eksperimentalne rezultate.

Latinski kvadrati

Dobijamo da je

V =5 + 6 + 9

3= 6,67

K =9 + 7 + 8

3= 8

G =11815

= 7,87

Nedostaje podatak kod D tretmana, tako da je

T =8 + 6 + 8

3= 7,33

Ocena nepoznate vrednosti je

u =4 · (6,67 + 8 + 7,33)− 2 · 7,87

3 · 2= 12,04.

Latinski kvadrati

Dobijamo da je

V =5 + 6 + 9

3= 6,67

K =9 + 7 + 8

3= 8

G =11815

= 7,87

Nedostaje podatak kod D tretmana, tako da je

T =8 + 6 + 8

3= 7,33

Ocena nepoznate vrednosti je

u =4 · (6,67 + 8 + 7,33)− 2 · 7,87

3 · 2= 12,04.

Latinski kvadrati

Dobijamo da je

V =5 + 6 + 9

3= 6,67

K =9 + 7 + 8

3= 8

G =11815

= 7,87

Nedostaje podatak kod D tretmana, tako da je

T =8 + 6 + 8

3= 7,33

Ocena nepoznate vrednosti je

u =4 · (6,67 + 8 + 7,33)− 2 · 7,87

3 · 2= 12,04.

Latinski kvadrati

Resenje:Tabela je sada oblika

PeriodRadnik I II III IV

1. 12 9 8 72. 6 7 6 93. 5 12, 04 6 94. 11 8 7 8

Tabela analize disperzija je

Stepeni Suma SredinaIzvor slobode kvadrata kvadrata F Pr(> F )

radnici 3 8.740 2.913 0.432 0.7394period 3 11.320 3.773 0.559 0.6647

tretmani 3 14.280 4.760 0.706 0.5883greska 5 33.721 6.744

Latinski kvadrati

Resenje:Tabela je sada oblika

PeriodRadnik I II III IV

1. 12 9 8 72. 6 7 6 93. 5 12, 04 6 94. 11 8 7 8

Tabela analize disperzija je

Stepeni Suma SredinaIzvor slobode kvadrata kvadrata F Pr(> F )

radnici 3 8.740 2.913 0.432 0.7394period 3 11.320 3.773 0.559 0.6647

tretmani 3 14.280 4.760 0.706 0.5883greska 5 33.721 6.744

Latinski kvadrati

Grcko-Latinski kvadrati

Latinski kvadrat moze da se uopsti pri identifikovanju i trecegsmetajuceg faktora.

Uopstavanje se postize preklapanjem dva latinska kvadrata, pricemu se kod jednog latinskog kvadrata umesto latinskih slovakoriste grcka.

Takvi latinski kvadrati nazivaju se grcko-latinski kvadrati.

Latinski kvadrati

Grcko-Latinski kvadrati

Latinski kvadrat moze da se uopsti pri identifikovanju i trecegsmetajuceg faktora.

Uopstavanje se postize preklapanjem dva latinska kvadrata, pricemu se kod jednog latinskog kvadrata umesto latinskih slovakoriste grcka.

Takvi latinski kvadrati nazivaju se grcko-latinski kvadrati.

Latinski kvadrati

Grcko-Latinski kvadrati

Latinski kvadrat moze da se uopsti pri identifikovanju i trecegsmetajuceg faktora.

Uopstavanje se postize preklapanjem dva latinska kvadrata, pricemu se kod jednog latinskog kvadrata umesto latinskih slovakoriste grcka.

Takvi latinski kvadrati nazivaju se grcko-latinski kvadrati.

Latinski kvadrati

Primeri grcko-latinskih kvadrata

Aα Bγ CβBβ Cα AγCγ Aβ Bα

Bγ Dα Cβ AδCδ Aβ Bα DγAα Cγ Dδ BβDβ Bδ Aγ Cα

Nema veliku primenu u praksi.

Latinski kvadrati

Primeri grcko-latinskih kvadrata

Aα Bγ CβBβ Cα AγCγ Aβ Bα

Bγ Dα Cβ AδCδ Aβ Bα DγAα Cγ Dδ BβDβ Bδ Aγ Cα

Nema veliku primenu u praksi.

Latinski kvadrati

Primeri grcko-latinskih kvadrata

Aα Bγ CβBβ Cα AγCγ Aβ Bα

Bγ Dα Cβ AδCδ Aβ Bα DγAα Cγ Dδ BβDβ Bδ Aγ Cα

Nema veliku primenu u praksi.

Latinski kvadrati

Primeri grcko-latinskih kvadrata

Aα Bγ CβBβ Cα AγCγ Aβ Bα

Bγ Dα Cβ AδCδ Aβ Bα DγAα Cγ Dδ BβDβ Bδ Aγ Cα

Nema veliku primenu u praksi.