Matemática Básica (Ing.) 1 Sesión 14.3 Vectores en el espacio

Matemática Básica (Ing.) 1

Sesión 14.3

Vectores en el espacio.

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Vectores en el espacioEl concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural, con ligeros cambios, en el espacio.

Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores.

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Vectores en el espacio

El vector v = v1; v2; v3

v1; v2; v3

x

y

z

v1

v2

v3

v

ij

k

Se definen:

Vectores unitarioscanónicos i, j, k:

Vector cero o nulo:

0 = <0; 0; 0>

v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k

i = <1; 0; 0>j = <0; 1; 0>k = <0; 0; 1>

Matemática Básica (Ing.) 4

Vectores en el espacio

x

y

z

Q1

Q2

Q3

vi

jk

Q

P

P1

P2

P3

El vector v que estárepresentado por laflecha que va de P a Qes:

v = PQ = OQ - OP

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Vectores en el espacio

Un vector v se puede multiplicar por un escalar c de la de la siguiente manera:

cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3

v

cv0 < c < 1

cv

c > 1cv

c < -1

cv-1 < c < 0

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Vectores en el espacio: Propiedades

I gualdad: v

Adición v w ;

Sustracción v w

Magnitud v

Producto punto v w

Vector unitari

1

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

2 2 22 3

1 1 2 2 3 3

sí y solo sí

: ;

: ; ;

:

:

v w , v w y v w

v w v w v w

v w v w v w

v v v

v w v w v w

w

vo u v 0

v: ,

1 2 3 1 2 3Para los vectores ; ; y ; ; ,v v v w w w v w

:tiene se

Matemática Básica (Ing.) 7

Vectores en el espacio: Propiedades

Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:

donde es el ángulo que forman los vectores u y v

u

v

u v = v u

u (v + w)= u v + u w

c(u v) = (cu) v = u (cv)

0 u = 0 2

uuu

cosvuvu

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Son perpendiculares sí y solo sí u v = 0

La medida del ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:

vuvu

cos

Vectores en el espacio: Propiedades

Si u y v son vectores no nulos

u

v

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Ejercicio de cálculo con vectores

a) 3-2; 1; 4

b) 6; 0; -7 + -5; 5; 8

c) 1; -3; 4 – -2; -4; 5

d) |2; 0; -6|

e) 5; 3; -1 -6; 2; 3

Resuelva según el caso

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Producto vectorialDado los vectoresEl producto cruz o vectorial u v es:

u v1 2 3 1 2 3; ; ; ;u u u y v v v

i j k

u v 1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

u v i j k2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v

Para ayudarnos a recordar la fórmula, usaremos la notación de determinante:

EjemploSi u = 4; -1; 2 y v = 1; -3; 2, halle u v.

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Propiedades del producto vectorialSi u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:

u v = – (v u)

c(u v) = (cu) v = u (cv) 0 u = u 0 = 0

0uu

u (v + w) = u v + u w

(v + w) u = v u + w u

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Propiedades del producto vectorial

j k = i

i j = k

k i = j

Respecto a los vectores unitarios i, j, k se tiene que:

x

y

z

i

jk

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Características del producto vectorialEl producto u v es ortogonal a u y v.

0 vvu

0 uvu

).(

).(u v

u

v

Si es el ángulo entre u y v (0 ), entonces:

|u v| = |u||v| sen senvh

u

v

área= b x h = |u||v|sen = |u v|

b

Matemática Básica (Ing.) 14

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 22, 24, 26, 28,30, 32 y 34 de la página 693.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

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