PROBABILITAS (PELUANG)

PROBABILITAS (PELUANG)

PENGERTIAN PROBABILITASDalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata

probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).

Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian Statistika kita akan mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan.

Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.

Pengertian Peluang

Kalau P = 0: Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau mustahil. Misalnya: timbulnya matahari di malam hari adalah mustahil, maka mempunyai peluang sama dengan 0.

Kalau P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin tidak terjadi. Misalnya: peluang darah mengalir di dalam badan orang yang masih hidup adalah 1.

Dalam kehidupan sehari-hari peristiwa-peristiwa yang kita jumpai mempunyai peluang antara 0 dan 1 (jarang yang tepat 0 atau tepat 1).

PROBABILITAS (PELUANG)

PENGERTIAN PROBABILITASDalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata

probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty).

Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian statistik kita akan mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan.

Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan , yaitu = 1- P.

Definisi Klasik (Classical Definition of Probability)

Apabila dalam sebuah ruang sampel yang berisi N buah titik sampel yang equally likely dan mutually exclusive terdapat a buah titik sampel yang menyokong suatu peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:

P(A) = a/N

Contoh 1:

Sebuah mata uang logam (coin) yang mempunyai dua permukaan (A dan B) dilemparkan ke atas satu kali, maka probabilitas munculnya permukaan A atau permukaan B di atas:

P(A) = ½ = 0,5 dan P(B) = ½ = 0,5.

Contoh 2:

Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama, dilemparkan satu kali, maka probabilitas munculnya satu permukaan di atas:

P(1) = 1/6; P(2) = 1/6

Contoh 3:

Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 52 kartu bridge yang ada, maka probabilitas akan terpilih:

a. Satu kartu berwarna hitam: P(H) = 26/52 = 0,5

b. Satu kartu King: P(K) = 4/52

Definisi Empirik atau Statistik (Empirical /Statistical Definition of

Probability)

Probabilitas ditentukan berdasarkan observasi, ditentukan berdasarkan pengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah terjadi

Apabila dari N buah rentetan peristiwa terdapat t buah peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai:

P(A) = Lim t/N

N→~

Contoh 1:

Berdasarkan pengalaman puluhan tahun lamanya di bidang kedokteran, dari 100 orang yang terkena penyakit kanker paru-paru, 99 orang meninggal. Pada suatu saat Tuan A terkena penyakit ini. Pertanyaan: Berapa peluang dia akan meninggal karena penyakit tersebut?

P(A) = 99/100 = 0,99

Definisi Subyektif (Subjective Definition of Probability)

Probailitas ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira peneliti. Jadi cara ini dipengaruhi oleh pribadi seseorang sehingga bersifat subyektif

Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)

1. Suatu peristiwa A yang pasti terjadi dan memenuhi: P(A) = 1

2. Suatu peristiwa A yang tidak mungkin terjadi dan memenuhi : P(A) = 0

3. Akibat dari hukum 1 dan 2 maka untuk setiap peistiwa A yang sembarang, akan memenuhi keadaan:

0 P(A) 1

4. Apabila A merupakan komplemen dari peristiwa A, maka berlaku:

P(A) = 1 - P(A) atau P(A) + P(A) = 1

5. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa, maka berlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)

6. ...........

Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)

6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka berlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B)

7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B/A)

8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B)

Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability)

6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka berlaku:

P(A U B) = P(A) + P(B)

7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B/A)

8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku:

P(A dan B) = P(A) * P(B)

MATHEMATICAL EXPECTATION (HARAPAN MATEMATIK)

Apabila P merupakan probabilitas dari seseorang untuk memperoleh suatu jumlah Q, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah PQ (Q dapat berupa jumlah barang maupun uang). Apabila suatu gejala deskrit yang diambil secara random diberi simbul X dengan harga-harga X1, X2, ……… Xn dan probabilitas untuk mendapatkan harga-harga tersebut P(X1), P(X2) ……… P(Xn) maka harapan matematik dari X dinyatakan dengan rumus:

E(Xi) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + ……. + Xn . P(Xn)

= X . P(X).

Contoh:

Apabila hujan terus-menerus, seorang penjual payung akan untung Rp. 80.000,00 seharinya, tetapi apabila cuaca baik dia akan rugi Rp. 20.000,00 seharinya. Berapa harapan matematiknya apabila probabilitas hari akan hujan adalah 0,4.

Jawab:

X1 = Rp. 80.000,00 dengan P(X1) = 0,4

X2 = Rp. 20.000,00 dengan P(X2) = 1 – 0,4 = 0,6

E(A) = P(X1) . X1 – P(X2) . X2

= 0,4(80.000) – 0,6(20.000)

= 32.000 – 12.000

= Rp. 20.000,00

Contoh:

Seorang pengusaha bakso akan membuka cabangnya di salah satu kampus UB atau UMM. Ia telah memperhitungkan dengan teliti dengan dibukanya cabang di UB akan menghasilkan Rp. 8.000.000,00 tiap tahun dengan kemungkinan 0,70, jika usahanya gagal ia akan menderita rugi tiap tahun Rp. 3.500.000,00.

Kemungkinan berhasil apabila ia membuka cabangnya di UMM adalah 60% dengan mendapatkan laba tiap tahun Rp. 9.000.000,00 bila gagal akan menderita rugi Rp. 3.000.000,00 tiap tahun. Di mana sebaiknya ia harus membuka cabang?

Sri Sulasmiyati

DISTRIBUSI BINOMIAL

Ciri-ciri Distribusi Binomial

Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: Sukses atau Gagal.

Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p.

Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas)

Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu.

RUMUS

P(x,n) = P)-(1 P Xn x-nx

....1!!

! xNx ppxNx

NxXP

x = 0, 1, 2, ...., N0 < p < 1

Keterangan Rumus n = Banyaknya peristiwa p = Besarnya peluang

terjadinya sukses ! = faktorial n! = n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1) 0! = 1 1! = 1

Misal : 3! = 3x2x1 = 6

Contoh 1Dua buah mata uang dilempar

satu kaliHitunglah: a. Probabilitas tidak

diperolehnya permukaan Bb. Probabilitas memperoleh

satu permukaan Bc. Probabilitas memperoleh

duapermukaan B

Dik : n = 2; X = 0, 1, 2a. Probabilitas tidak mendapat

permukaan B P(0;2) =

= 0,25

b. Probabilitas satu permukaan B P(1;2) =

= 0,50

0,25 x 1 x )(2!0!

2 0,5 x 0,5 x 02 20

0,50 x 0,50 x )(1!1!

2 0,5 x 0,5 x 12 11

c. Probabilitas mendapat 2 permukaan B

P(2;2) =

= 0,25

1 x 0,25 x 1 x )(0!2!

2 0,5 x 0,5 x 22 02

Contoh 2 Kalau 3 buah mata uang dilemparkan

satu kali. Hitunglah Probabilitas memperoleh:

a. Tidak ada permukaan B b. 1 permukaan B c. 2 permukaan B d. 3 permukaan B e. Paling sedikit 1 permukaan B f. Paling banyak 2 permukaan B

Dik: n = 3; X = 0, 1, 2, 3

a. P(0;3) == 0,125

b. P(1;3) =

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,125 x 1 x )(3!0!

3! 0,53 x 0,5 x 03 0

0,25 x 0,5 x )(2!1!

3! 0,5 x 0,5 x 13 21

0,25 x 0,5 x )(2!1!

3! 0,5 x 0,5 x 13 21

0,25 x 0,5 x )(2!1!

3! 0,5 x 0,5 x 13 21

= 0,375

c. P(2;3) =

= 0,375

d. P(3;3) =

= 0,125

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 0,5 x )(2!1!

3! 0,5 x 0,5 x 13 21

0,25 x 0,5 x )(2!1!

3! 0,5 x 0,5 x 13 21

0,25 x 0,5 x )(1!2!

3! 0,5 x 0,5 x 23 12

0,25 x 0,5 x )(1!2!

3! 0,5 x 0,5 x 23 12

x1 0,125 x )(0!3!

3! 0,50 x 0,53 x 33

e.P(x≥1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)

= 1 - P(x=0) = 1 - 0,125 = 0, 875

f. P(x ≤ 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

= 0,125 + 0,375 + 0,375

= 0,875

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 1 x )(3!0!

3! 0,5 x 0,5 x 03 02

0,25 x 0,5 x )(2!1!

3! 0,5 x 0,5 x 13 21

0,25 x 0,5 x )(2!1!

3! 0,5 x 0,5 x 13 21

0,25 x 0,5 x )(1!2!

3! 0,5 x 0,5 x 23 12

Sri Sulasmiyati

PengertianDistribusi peristiwa yang jarang terjadi (distribution of rare events) adalah distribusi kemungkinan teoritis dengan variasi random discrete. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusi binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan P (Probabilitas sukses) sangat kecil.

RUMUSP(X) =

!x e . μ -ux

= n . p

X = variabel random discrete 0,1,2,3 ……..X! = X . (X – 1) . (X – 2) ….. 2 . 1

e = bilangan irrational yang besarnya 2,718280! = 1

Contoh

Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalas iklan tersebut 0,00002.

Ditanyakan :a. Berapa orangkah diharapkan akan

membalas iklan tersebut?b. Berapa kemungkinannya bahwa yang

membalas iklan tersebut hanya seorang?

c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas?

Dik: n = 100.000, p =0,00002

a. μ = n . p = 100.000 . 0,00002 = 2 Rata-rata ada 2 orang yang

membalas iklan tersebut.

jawaban

b. P(x=1) = 1!e 2 -21

=

1(0,13534) 2

1(0,13534) 2

1(0,13534) 2

c. P(x=0)=

= 0,27068

0!e 2 -20

1(0,13534) 1

= =0,13534

Contoh2Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit

TBC adalah 0,001. Dari 2.000 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitas :

Tiga orang akan matiYang mati tidak lebih dari satu orang

Lebih dari dua orang mati

Dik: n = 2.000, p = 0,001 = 2.000 x 0,001 = 2

a. P(x=3)= = = 0,18045

b. P(x≤1) = P(0) + P(1) =

3!e )2( -23

1 . 2 . 3(0,13534) . 8

P(x=0) =0!

e )2( -20 = 0,13534

P(x=1) =1!

e )2( -21

= 0,4060

0,40600,27068

= 0,27068

c. P(X > 2) = 1 - P(2) P(1) P(0)

P(x=2) = 2!e )2( -22

0,27068=

Jadi P(X > 2) = 1 – (0,13534 + 0,27068 + 0,27068)

= 1 – 0,67670 = 0,3233

Mean dan Standard Deviasi Poisson

= n . P

= p .n