Skripta 2 Dio Grad

za 2. kolokvij

za Tehničko veleučilište u Zagrebu

Alemka Knapp

Elektrostatika

Coulombov zakon

Izmeñu dva točkasta naboja 1Q i 2Q na meñusobnoj udaljenosti r djeluje električna ili Coulombova sila iznosa:

29 CNm1092 −⋅=k je Coulombova konstanta

Električna sila izmeñu istoimenih naboja je odbojna, a izmeñu raznoimenih privlačna. Coulombova sila nastaje zato što naboj proizvodi električno polje u prostoru oko sebe, a ono djeluje silom na drugi naboj. Električno polje Električno polje je svojstvo prostora da djeluje silom na električne naboje. Jakost električnog polja u nekoj točki jednaka je sili kojom ono djeluje na jedinični pozitivni naboj ako ga stavimo u tu točku:

Električno polje točkastog naboja Q ima iznos:

Električni potencijal Električni potencijal je svojstvo prostora da u njemu električni naboji imaju potencijalnu energiju. Potencijal neke točke jednak je potencijalnoj energiji koju ima jedinični naboj ako ga stavimo u tu točku:

Električni potencijal u prostoru oko točkastog naboja Q je (pri čemu je integracijska konstanta izabrana tako da je 0=ϕ na beskonačnoj udaljenosti od naboja):

Potencijalna energija jednog točkastog naboja u polju drugog točkastog naboja na udaljenosti r (pri čemu je integracijska konstanta izabrana tako da je 0=

kada su naboji na beskonačnoj udaljenosti jedan od drugog) iznosi:r

Rad za premještanje naboja iz točke A u točku B

Da bismo naboj Q premjestili iz točke A u točku B u električnom polju, na naboj ćemo djelovati silom koja je jednaka električnoj, ali suprotnog smjera, tj.

elFFrr

−= . Tako se ne mijenja njegova kinetička energija, pa je rad sile Fr

na putu od A do B jednak promjeni potencijalne energije naboja (koja se računa kao umnožak naboja i potencijala):

)(),( AB

BAsBAQWW ϕϕ −==

Napon Napon izmeñu dviju točaka u električnom polju jednak je radu koji je potreban da bi se jedinični naboj premjestio iz jedne u drugu:

Iz prethodne jednadžbe vidi se da isto značenje ima i definicija „Napon je razlika potencijala“:

ABU ϕϕ −=

1. Izračunati omjer jakosti električne i gravitacijske sile u vodikovom

atomu.

Vodikov atom sastoji se od jezgre u kojoj se nalazi proton i elektrona koji (u najjednostavnijoj slici atoma) kruži oko jezgre. Izmeñu protona i elektrona djeluju električna sila i gravitacijska sila. Gravitacijska sila izmeñu dva tijela čije su mase 1m i 2m iznosi:

211 kgNm106762 −−⋅= ,G

N je gravitacijska konstanta

Električna (Coulombova) sila izmeñu dva točkasta naboja iznosi :

29 CNm1092 −⋅=k je Coulombova konstanta

Omjer električne i gravitacijske sile u vodikovom atomu možemo napisati kao:

C1061 19−⋅= ,e naboj protona i elektrona

kg10671 27−⋅= ,mp

masa protona

kg1019 31−⋅= ,me

masa elektrona

( ) 39

312711

103210191067110676

1061109⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

−−−

2. Dva naboja C102,1 7

−−−−⋅⋅⋅⋅====Q i C103 7

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====Q nalaze se na udaljenosti 1m.

a) Koliki su potencijal i električno polje u točki A koja se nalazi na

udaljenosti 40 cm od prvog naboja?

b) Koliki je rad potreban za premještanje naboja C1086 7

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,Q iz točke

A u točku B?

C1021 7

−⋅= ,Q

C103 7

−⋅−=Q

C1086 7

−⋅= ,Q

a) električni potencijal u prostoru oko točkastog naboja je:

29 CNm1092 −⋅=k – Coulombova konstanta

Q1 Q2 A

r1A r2A

r2B r1B

Ukupan potencijal u točki A je zbroj potencijala prvog naboja u točki A i potencijala drugog naboja u točki A:

121 +=+= ϕϕϕ

m401 ,r

A= – udaljenost 1. naboja od točke A

m602 ,rA= – udaljenost 2. naboja od točke A

V18004500270060

103109

1021109

79 −=−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

Iznos vektora električnog polja u prostoru oko točkastog naboja je:

Ukupno električno polje u točki A je vektorski zbroj električnog polja prvog naboja u točki A i električnog polja drugog naboja u točki A:

AAA 21 εεεrrr

+= Električno polje oba naboja u točki A je u istom smjeru, pa je iznos ukupnog električnog polja:

Qk +=+= εεε

V/m142507500675060

103109

1021109

79 =+=

⋅⋅+

⋅⋅=

−−

b) Rad za premještanje naboja 3Q iz točke A u točku B je:

)(3 ABBAQW ϕϕ −=

Potencijal u točki B je:

121 +=+= ϕϕϕ

m081140 22

1 ,,rB

=+= – udaljenost 1. naboja od točke B

m171160 22

2 ,,rB

=+= – udaljenost 2. naboja od točke B

( )V130823081000

103109

1021109

79 −=−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

J10353))1800(1308(1086 47 −−

→⋅=−−−⋅= ,,W

Q1 Q2 A 1εr

3. Naboji C1065 9

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,Q i C1043 9

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== ,Q smješteni su u dva vrha

jednakostraničnog trokuta stranice 0,2 m. Koliko je rad potreban za

premještanje naboja C104 8

−−−−⋅⋅⋅⋅====Q iz točke A u točku B?

C1065 9

−⋅= ,Q

C1043 9

−⋅−= ,Q

C104 8

−⋅=Q m20,a =

Rad za premještanje naboja 3Q iz točke A u točku B je:

)(3 ABBAQW ϕϕ −=

Potencijal u točki A je zbroj potencijala prvog naboja u točki A i potencijala drugog naboja u točki A:

121 +=+= ϕϕϕ

Udaljenosti naboja od točke A su: m2021 ,arr

( )V99153252

1043109

1065109

99 =−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

−−

Potencijal u točki B je:

121 +=+= ϕϕϕ

Udaljenosti naboja od točke B su:

m1021 ,a

m17302

32 ,avrB

( )V327177504

104,3109

1065109

99 =−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

−−

J10129)99327(104 68 −−

→⋅=−⋅= ,W

r2A r2B

4. Kapljica ulja mase kg10353 15−−−−⋅⋅⋅⋅, koja nosi na sebi naboj dva elektrona

lebdi u polju horizontalno postavljenih nabijenih ploča izmeñu kojih je razlika potencijala 820 V. Udaljenost ploča je 8 mm. Izračunati naboj

elektrona!

kg10353 15−⋅= ,m

Električno polje u prostoru izmeñu dviju nabijenih ploča je:

V/m1025000080

820===

Ukupna sila na kapljicu ulja koja lebdi izmeñu ploča je nula. Na kapljicu ulja djeluje gravitacijska sila prema dolje i električna sila u suprotnom smjeru.

0=+=eluk

FGFrrr

Iznosi ovih sila su jednaki:

elFG =

εQmg = Odavde možemo izračunati naboj kapljice ulja:

C10273102500

1010353 1915

⋅=⋅⋅

== ,,mg

Naboj elektrona je:

C106412

⋅=⋅

== ,,Q

Električne struje

Električna struja Električna struja je usmjereno gibanje naboja. U vodičima, jakost struje I jednaka je brzini protjecanja naboja kroz vodič:

→∆ 0lim

Kada je struja konstantna u vremenu, jakost struje jednaka je naboju koji proñe presjekom vodiča u jedinici vremena, pa možemo napisati:

Ohmov zakon

Ohmov zakon kaže da je jakost struje I koja teče kroz vodič proporcionalna naponu tj. razlici potencijala U na krajevima vodiča:

gdje je R – električni otpor vodiča. Zbrajanje otpora 1) serijski spojeni otpornici

Kada su otpornici spojeni u seriju kroz njih teče ista struja, a ukupan napon je zbroj napona na pojedinim otpornicima.

III == 21

21 UUU +=

Napone na otpornicima 1R i 2R možemo napisati pomoću Ohmovog zakona kao:

11 IRU = , 22 IRU = Ukupan napon preko oba otpornika želimo napisati u obliku:

IRU = , gdje je R ukupan otpor serijskog spoja. Uvrstimo ove izraze u gornju jednadžbu:

21 IRIRIR += /: I Dobivamo formulu za zbrajanje serijski spojenih otpora: Ista formula vrijedi i za zbrajanje više otpora:

NRRRRR ++++= .....321

R2 I R1

21 RRR +=

2) paralelno spojeni otpornici Napon na paralelno spojenim otpornicima je jednak jer su otpornici s obje strane spojeni na istu točku:

UUU == 21

U strujnom čvoru gdje se vodič grana na dva vodiča ukupna struja dijeli se na struje 1I i 2I . Ukupna struja koja ulazi u čvor jednaka je ukupnoj struji koja izlazi iz čvora:

21 III +=

Koristeći Ohmov zakon možemo napisati:

UI = ,

Ukupnu struju želimo napisati u obliku:

UI = , gdje je R ukupan otpor paralelnog spoja.

Uvrstimo ove izraze u gornju jednadžbu:

U+= /:U

Dobivamo formulu za zbrajanje paralelno spojenih otpora:

Ista formula vrijedi i za zbrajanje više otpora:

NRRRRR

1...........

Formulu za zbrajanje paralelno spojenih otpornika možemo napisati i na ovaj način:

RRR ⋅

12. Električne struje

5. Izračunati ukupan otpor i jakosti struje u mreži.

Otpornici 2R i 3R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor možemo izračunati po formuli:

RRR ⋅

⋅= 1

Otpornik 1R spojen je u seriju sa otporom 23R :

Ω=+=+= 211231123 RRR

Otpornici 4R i 5R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor:

⋅= 2

Otpori 123R i 45R spojeni su paralelno, pa je ukupan otpor gornje i donje grane:

⋅= 1

4512312453

Otpornik 6R spojen je serijski sa ostalim otpornicima, pa je ukupan otpor jednak:

Ω=+=+= 211612345 RRRuk

Unutarnji otpor izvora možemo promatrati kao da je spojen serijski sa ukupnim vanjskim otporom, pa možemo napisati Ohmov zakon u obliku:

( )unuk

RRI +=ε

I3 A B

Struja u mreži je:

Da bismo izračunali struje u pojedinim granama moramo izračunati napon izmeñu točaka A i B:

V1112012266 =⋅−⋅−=⋅−⋅−=−−= ,,RIRIUUUunRAB un

ili možemo napisati Ohmov zakon za otpor 12345R : VRIU

AB11112345 =⋅=⋅=

Struja koja teče kroz gornju granu je:

123 ,R

UI AB ===

Struja koja teče kroz donju granu je:

UI AB === ili

A5,05,0112345 =−=−= III Izračunajmo napon izmeñu točaka C i B:

V50150111231 ,,RIUUUUABABCB

=⋅−=⋅−=−= ili V5,015023123 =⋅=⋅= ,RIU

Struja kroz otpornik 2R je:

UI CB ===

Struja kroz otpornik 3R je: A2502505021233 ,,.III =−=−=

=== ,R

12. Električne struje

6. Odredite ukupan otpor kombinacije otpora u mreži prikazanoj na slici.

Kolika je jakost struje? Kolika je jakost struje kroz otpornik R1 i kolika je

razlika potencijala izmeñu točaka B i C?

Otpornici 1R i 2R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor:

⋅= 750

2112 ,

Otpornici 3R i 4R spojeni su serijski s otporom 12R , pa je ukupan otpor:

Ω=++=++= 325.0275.04312 RRRRuk

Ukupna struja u mreži je:

Napon na otpornicima 1R i 2R je :

V375041221 =⋅=⋅=== ,RIUUUAB

11 ====

Napon izmeñu točaka B i C je: V82433 =⋅=⋅== RIUU

7. Koliki je ukupan otpor kombinacije otpora u mreži prikazanoj na slici!?

Kolika je jakost struje? Kolika struje teče kroz otpornik R2, ako je napon

izvora 18 V?

Otpornici 1R i 2R spojeni su serijski, pa je njihov ukupan otpor:

Ω=+=+= 6422112 RRR Otpornik 3R spojen je paralelno s otporom 12R , pa je njihov ukupan otpor:

⋅= 2

312123

Otpornik 4R spojen je serijski s otporom 123R , pa je ukupan otpor: Ω=+=+= 6424123 RRR

Napon izmeñu točaka A i B je

V623123 =⋅=⋅= RIUAB

ABU možemo izračunati i kao:

V6431844 =⋅−=⋅−=−= RIUUUUAB

1212 =====R

UIII AB

Hidrostatika Tlak Tlak je omjer sile i površine na koju ta sila djeluje okomito.

Hidrostatski tlak U tekućinama djeluje hidrostatski tlak koji dolazi od težine tekućine iznad mjesta na kojem mjerimo tlak. Tlak u tekućini na dubini h ispod površine iznosi:

ghptekρ=

gdje je: h – dubina ispod površine

tekρ – gustoća tekućine g – gravitacijsko ubrzanje Hidrostatski tlak u tekućini djeluje jednako na sve strane. Uzgon

Uzgon je sila kojom tekućina djeluje na tijelo koje je u nju uronjeno. Na tijelo u tekućini djeluje hidrostatski tlak sa svih strana. Tlakovi s bočnih strana su istog iznosa, te se poništavaju. Tlak koji djeluje s donje strane je veći od tlaka s gornje strane, pa je ukupna sila na tijelo prema gore.

Ukupna sila na tijelo je: gVhgShhgSSghSghSpSpU

tektektektektekρρρρρ =∆=−=−=−= )( 122112

p1 h1 h2

Općenito formulu za uzgon možemo napisati u obliku:

gdje je: V ′ – uronjeni dio volumena ili volumen istisnute tekućine

tekρ – gustoća tekućine g – gravitacijsko ubrzanje U slučaju kada je tijelo djelomično uronjeno u tekućinu volumen V ′ koji dolazi u formuli za uzgon se razlikuje od volumena tijela V . U slučaju šupljeg tijela volumen V ′ najjednostavnije je odrediti kao volumen istisnute tekućine.

Prividna težina

Na tijelo uronjeno u tekućinu djeluju gravitacijska sila G i uzgon U . Ukupna sila na tijelo u tekućini se naziva prividna težina G′ .

UGG −=′ Koristeći izraze za težinu, uzgon, i gustoću tijela

m=ρ , ovu formulu možemo napisati u obliku:

gVgVgVmgGtektijtekρρρ ′−=′−=′

gVUtek

ρ′=

13. Hidrostatika

8. U cijev oblika slova U nalivena je živa, a u drugi krak tekućina gustoće

1200 kg/m3. Visina stupca žive mjerena od dodirne površine je 2,5 cm.

Kolika je visina stupca tekućine?

kg/m1200

kg/m13600

Promatrat ćemo živu koja se nalazi u cijevi s jedne i druge strane do iste visine. Kada je živa u ravnoteži tlakovi koji djeluju s lijeve i desne strane na gornju površinu žive su isti:

21 pp =

Tlak 1p je zbroj hidrostatskog tlaka žive koja se nalazi iznad dodirne površine i atmosferskog tlaka (hidrostatski tlak zraka). Tlak 2p je zbroj hidrostatskog tlaka tekućine i atmosferskog tlaka.

attektekatHgHgpghpgh +=+ ρρ

Možemo uzeti da je atmosferski tlak jednak s obje strane isti jer je razlika visina stupca zraka s lijeve i desne strane zanemariva u odnosu na visinu atmosfere.

tektekHgHgghgh ρρ =

Iz ove jednadžbe možemo izračunati visinu stupca tekućine:

m28301200

025013600,

htek p1 p2

9. U cijev oblika slova U polumjera 1 cm nalivena je živa. U jedan krak

dolijemo 40 g vode, a u drugi 100 g alkohola.

a) Kolika je razlika visina stupca žive u dva kraka?

b) Kolika je razlika gornjih nivoa vode i alkohola?

a) Promatrat ćemo živu koja se nalazi u cijevi s jedne i druge strane do iste visine. Tlakovi koji djeluju s lijeve i desne strane na gornju površinu žive su isti:

21 pp =

Tlak 1p je zbroj hidrostatskog tlaka žive koja se nalazi iznad dodirne površine, hidrostatskog tlaka vode i atmosferskog tlaka. Tlak 2p je zbroj hidrostatskog tlaka alkohola i atmosferskog tlaka.

atalkalkatOHOHHgHgpghpghgh +=++ ρρρ

Nakon što kratimo atmosferski tlak i podijelimo jednadžbu s g dobivamo:

alkalkOHOHHgHghhh ρρρ =+

Visinu stupca vode i alkohola možemo izračunati iz njihove mase: hrVm ⋅⋅=⋅= πρρ 2

m12700101000

ππρ

m3980010800

ππρ

Visine stupca vode i alkohola možemo uvrstiti u gornju jednadžbu i izračunati visinu stupca žive:

39808001270100013600 ,,hHg

⋅=⋅+⋅

m0140,hHg=

b) Razlika gornjih nivoa žive i alkohola je:

m2570)127,0014,0(398,0)(2

,hhhhOhHgalk

=+−=+−=∆

kg/m800

kg/m1000

kg/m13600

13. Hidrostatika

10. Kolika je težina mramorne kuglice mase 10 g u eteru?

kg/m730

kg/m2800

Na kuglicu koja se nalazi u tekućini djeluju težina i uzgon. Ukupna sila na kuglicu (prividna težina) G′ je:

etρ′−=′

−=′

Možemo najprije izračunati volumen kuglice (u ovom slučaju je VV =′ ):

36 m105732800

010 −⋅=== ,,m

Zatim možemo izračunati prividnu težinu kuglice: N0740107301057310010 6 ,,,gVmgG

et=⋅⋅⋅−⋅=′−=′ ⋅−ρ

11. Komad željeza pliva u živi. Koliki je dio njegovog volumena uronjen u

živu?

kg/m7900

kg/m13600

Kada tijelo pliva u tekućini njegova prividna težina jednaka je nula:

=−=′ 0

Uvrstimo izraze za težinu i uzgon:

gVmgHg

ρ′=

gVgVHgFe

ρρ ′=

HgFeVV ρρ ′=

Udio volumena uronjen u tekućinu dobivamo kao:

58013600

Fe ===′

U živu je uronjeno 58% volumena željeza.

12. Koliki teret možemo staviti na drvenu splav mase 1500 kg, a da pri tom

teret ostane iznad vode?

kg/m1000

kg/m700

kg1500

Teret i splav plivaju na vodi, pa je njihova prividna težina jednaka nula:

=−=′ 0

Uvrstimo izraze za gravitacijsku silu i uzgon:

gVgmmOHspltspl 2

)( ρ=+

Uzgon djeluje samo na splav jer se teret nalazi izvan vode. Najprije možemo izračunati volumen splavi:

3m142700

spl===

te zatim masu tereta: kg64015001000142

2=−⋅=−= ,mVm

splOHspltρ

Toplina i temperatura

Unutar čvrstih tijela i fluida molekule i atomi se gibaju i meñusobno djeluju silama. Unutarnja energija je zbroj kinetičkih energija unutarnjega gibanja molekula i atoma te potencijalnih energija njihova meñudjelovanja u nekom tijelu ili volumenu fluida. Toplina je dio unutarnje energije koji može prijeći s jednoga tijela na drugo zbog razlike u temperaturi. Kad su dva tijela u kontaktu, toplina prelazi s toplijeg na hladnije dok se ne uspostavi ravnoteža. Temperatura je mjera odstupanja od toplinske ravnoteže. U idealnom plinu, u kojemu se unutarnja energija sastoji samo od kinetičke energije molekula, temperatura je proporcionalna prosječnoj kinetičkoj energiji po molekuli. Temperatura izražena u Celzijevim stupnjevima i u Kelvinima je povezana na slijedeći način:

15273C)((K) ,tT +°= Toplinsko rastezanje čvrstih tijela i tekućina

Kada ih zagrijavamo, većina čvrstih tijela i tekućina se rasteže, tj. povećavaju im se dimenzije, odnosno volumen. Linearno rastezanje tijela Ako se promatra rastezanje tijela ili tekućine samo u jednoj dimenziji, ono se naziva linearnim rastezanjem. Rastezanje ovisi o vrsti materijala i približno je proporcionalno povećanju temperature za manje temperaturne intervale: l - duljina tijela na temperaturi T

0l - duljina tijela na temperaturi 0T

0TTT −=∆ - promjena temperature α - koeficijent linearnog rastezanja materijala Volumno rastezanje tijela

Volumen tijela ili tekućine na temperaturi T jednak je:

)1(0 TVV ∆+= γ

)1(0 Tll ∆+= α

V - duljina tijela na temperaturi T

0V - duljina tijela na temperaturi 0T

0TTT −=∆ - promjena temperature

γ - koeficijent volumnog rastezanja Za čvrsta tijela koeficijent volumnog rastezanja možemo dobiti iz koeficijenta linearnog rastezenja:

Kad je član 1ppT∆α , druga dva člana u gornjem izrazu možemo zanemariti , te izraz za volumen napisati u obliku:

Odavde vidimo da vrijedi: αγ 3=

13. Čeličnu šipku čija je duljina na temperaturi 0ºC jednaka 3 metra zagrijemo do temperature 60ºC. Koliko je relativno produljenje šipke? Kolika je duljina šipke na 60ºC? Koeficijent linearnog rastezanja za čelik je 16 K1012 −−⋅ .

16 K1012 −−⋅=α m30 =l

K6012 =−=∆ ttT Duljinu šipke pri promjeni temperature za T∆ dobivamo po formuli:

)1(0 Tll ∆⋅+= α Relativno produljenje šipke je:

000720601012 6

l=⋅⋅=∆⋅=

∆⋅⋅=

∆ −αα

ili %0720,

Duljina šipke na temperaturi 60ºC je: m0023)0007201(3)1(0 ,,Tll =+⋅=∆⋅+= α

))()(331()1()1()1()1( 323

0000 TTTlTlTlTlTlV ∆+∆+∆+=∆+=∆+∆+∆+= λαααααα

)1()31( 0

0 TVTlV ∆+=∆+≈ γα

14. Staklena boca ima volumen 2000 cm3 pri temperaturi 0ºC. Na temperaturi 0ºC boca je do ruba napunjena alkoholom. Koliko će alkohola isteći iz boce kad ju ugrijemo na 40ºC.

0 cm2000=V K40=∆T

13 K101351 −−⋅= ,alkγ

15 K1090 −−⋅= ,st

α 15 K10723 −−⋅=⋅= ,

ststαγ

Volumen alkohola na temperaturi 40ºC dobivamo po formuli:

0 cm2091)401013511(2000)1( =⋅⋅+⋅=∆⋅+= −,TVValk

γ Volumen stakla na na temperaturi 40ºC je:

0 cm2002)4010721(2000)1( =⋅⋅+⋅=∆⋅+= −,TVVst

γ Volumen alkohola koji će isteći iz boce je:

3cm8920022091 =−=−=∆stalk

Količina toplina. Specifični toplinski kapacitet Toplina koju trebamo dovesti (ili odvesti) tijelu mase m da bismo mu povisili (ili smanjili) temperaturu za T∆ jednaka je:

gdje je c specifični toplinski kapacitet tijela. Kada su dva (ili više) tijela u kontaktu toplina će prelaziti s jednog na drugo tijelo dok se ne postigne termička ravnoteža. U izoliranom sustavu ukupna izmjena topline izmeñu tijela je nula.

0...21 =+++N

QQQ 15. Komad bakra mase 500 g i temperature 200ºC baci se zajedno s komadom željeza mase 1 kg i temperature 250ºC u litru vode temperature 20ºC. Za koliko će porasti temperatura vode? Specifični toplinski kapacitet bakra je 380 J/K, specifični toplinski kapacitet željeza je 460 J/K, a vode 4190 J/K. Cu Fe H2O Masu vode možemo dobiti iz volumena i gustoće. Gustoća vode je 3kg/m1000=ρ .

gk1101000 3

33 =⋅=⋅= −Vm ρ Ukupna izmjena topline izmeñu ova tri tijela (koja smatramo izoliranim sustavom) je nula.

0321 =++ QQQ Uvrštavanjem izraza za toplinu potrebnu za zagrijavanje tijela dobivamo:

0333222111 =∆+∆+∆ TcmTcmTcm Konačnu temperaturu smjese označit ćemo sa τ , pa ovaj izraz možemo napisati u obliku:

0)()()( 333222111 =−+−+− tcmtcmtcm τττ Uvrstimo zadane veličine u gornji izraz:

0)20(41901)250(4601)200(38050 =−⋅+−⋅+−⋅⋅ τττ, Odavde možemo izračunati konačnu temperaturu smjese:

C, °= 948τ Temperatura vode povisi se za C,t °=∆ 9283

J/K460

J/K4190

=== −

J/K380

kg50g500

TmcQ ∆=

Prijenos topline

Energija se prenosi iz područja više u područje niže temperature na 3 načina:

voñenje topline (kondukcija) strujanje (konvekcija) zračenje (radijacija)

Voñenje topline

Kod voñenja topline samo sredstvo miruje, energija se prenosi od molekule do molekule. Toplina se voñenjem prenosi u čvrstim tijelima. Fourierov zakon voñenja topline Promatramo stacionarno voñenje topline kroz štap duljine x∆ i poprečnog presjeka S . Pretpostavljamo da temperatura duž štapa od jednog do drugog kraja linearno pada. Temperature na krajevima štapa su 1T i 2T .

Toplina koja proñe kroz poprečni presjek štapa u vremenu t jednaka je:

∆−= λ ,

gdje je: λ – koeficijent toplinske vodljivosti materijala

12 TTT −=∆ – razlika temperatura na krajevima štapa Predznak – je zbog toga što se toplina prenosi u smjeru suprotnom od smjera

porasta temperature, tj. 0>Q za 0<∆

1T 2TQ

Toplinski tok Toplinski tok je toplina koja proñe presjekom štapa u jedinici vremena:

∆−==Φ λ

Gustoća toplinskog toka Gustoća toplinskog toka je toplinski tok po jedinici površine:

∆−=

Φ= λ

Izraz za toplinski tok možemo napisati i u obliku:

∆−=

∆−=Φ ,

T∆−=Φ

gdje ćemo veličinu:

nazvati toplinskim otporom.

16. Betonski zid debeo 30 cm prekriven je s unutrašnje strane izolacijskim slojem debljne 2 cm i toplinske vodljivosti W/mK0502 ,=λ . Kolika je gustoća toplinskog toka kroz zid ako je temperatura unutrašnje površine zida 20ºC, a vanjske 0ºC? Toplinska vodljivost zida je W/mK311 ,=λ .

W/mK050

W/mK31

Gustoća toplinskog toka je dana izrazom:

∆−= λ

a) Gustoća toplinskog toka kroz zid jednaka je gustoći toplinskog toka kroz izolacijski sloj:

21 qq =

∆−=

∆− λλ

−λλ ,

gdje je t temperatura na graničnoj površini zida i izolacijskog sloja. Uvrstimo zadane veličine u gornju formulu:

)20(050

Odavde možemo izračunati temperaturu na graničnoj površini: C327 °= ,t

Gustoća toplinskog toka kroz zid je jednaka:

111 W/m731

)0327(31

ttq −=

−−=

−−= λ

b) Zadatak možemo riješiti i pomoću toplinskog otpora:

∆=λ

1x∆ 2x∆

1t 2tt

Toplinski tok Φ kroz sloj toplinskog otpora R na čijim je površinama temperaturna razlika T∆ se može napisati u obliku:

T∆=Φ

Toplinski tok je jednak kroz oba sloja:

21 Φ=Φ

T ∆−=

∆−

RTT ∆=∆

Zbroj promjena temperature na pojedinim slojevima jednak je ukupnoj razlici temperature izmeñu vanjske i unutrašnje strane zida.

TTT ∆=∆+∆ 21 Uvrstimo 1T∆ u gornji izraz:

RT ∆=∆+∆ 2

Iz ovog izraza možemo izraziti 2T∆ :

RT ∆

Toplinski tok možemo napisati u obliku:

∆−=∆

+⋅−=

∆−=Φ

T∆−=Φ

Toplinski tok možemo izračunati kao omjer ukupne razlike temperature preko oba sloja i ukupnog toplinskog otpora koji je zbroj toplinskih otpora pojedinih slojeva. Isti rezultat vrijedi iza više slojeva. Izračunajmo gustoću toplinskog toka:

)()()(

λλλλ

∆−=

∆−

2W/m731)

,q −=

17. Kolika količina topline proñe kroz betonski zid površine 20 m2 i debljine 10 cm na čijim se objema stranama nalazi sloj žbuke debljine 2 cm za 30 minuta? Temperaturna razlika izmeñu vanjske i unutrašnje površine zida je 20ºC. Toplinska vodljivost betona je W/mK31,

b=λ , a toplinska vodljivost žbuke je

W/mK80,ž=λ .

m020cm2

m10cm10

==∆=∆

W/mK31,b=λ

W/mK80,ž=λ

CT °=∆ 30 2m20=S

s1800min30 ==t Gustoća toplinskog toka je jednaka kroz sva tri sloja:

321 qqq ==

∆−=

∆− λλλ

Budući da je

žλλλ == 31 i 31 xx ∆=∆ iz jednadžbe:

∆λλ dobivamo da je 13 TT ∆=∆ .

Iz jednadžbe:

∆λλ

možemo izraziti 1T∆ :

121 3250

xTT ∆=⋅∆=

∆⋅

∆∆=∆

Zbroj promjena temperature na pojedinim slojevima jednak je ukupnoj razlici temperature izmeñu vanjske i unutrašnje strane zida.

TTTT ∆=∆+∆+∆ 321 Uvrstimo u ovaj izraz 13 TT ∆=∆ i 21 3250 T,T ∆=∆ :

TTT ∆=∆+∆ 212 TTT, ∆=∆+∆⋅ 2232502

Odavde možemo izračunati: C2182 °=∆ ,T

2x∆ 3x∆

1t∆ 2t∆

C9513 °=∆=∆ ,TT Gustoća toplinskog toka se može izračunati iz izraza:

22 W/m3236

21831 ,

Tq −=−=

∆−= λ

Toplina koja proñe kroz betonski zid za 30 min jednaka je:

J105181800203236 6⋅=⋅⋅== ,,qStQ

b) Zadatak možemo riješiti i pomoću toplinskog otpora:

∆=λ

Toplinski tok Φ kroz sloj toplinskog otpora R na čijim je površinama temperaturna razlika T∆ se može napisati u obliku:

T∆=Φ

Kada imamo više slojeva, njihovi se toplinski otpori mogu zbrojiti i toplinski tok možemo napisati u obliku:

∆+∆+∆=

∆=Φ ,

gdje je T∆ ukupna temperaturna razlika izmeñu vanjske i umutarnje površine zida. Možemo izračunati toplinski otpor za svaki pojedini sloj:

K/W00125,0208,0

02,0131 =

K/W0038,0203,1

1,022 =

K/W0405,0321 =++= RRRRuk

Toplinski tok kroz zid je jednak:

W47270405,0

∆=Φ

Toplina koja prolazi kroz zid za 30 min je: J1051818004727 6

⋅=⋅=⋅Φ= ,tQ

Skripta 2 Dio Grad

Documents

OBLIGACIJE Opci Dio Skripta

Skripta(2 Dio)

Skripta Kemija Drva - 2. Dio

Skripta Opće dio klaznenog pravo

Ae Skripta 3 Dio

Skripta III. Dio

Obligacije-posebni Dio Skripta

Krivično Procesno Pravo - Posebni Dio - Skripta

Skripta - Obrada Materijala i - i Dio

Krvično Pravo Posebni Dio Skripta- Milena

Grad Skripta

Fitopatoloski Dio-Vjezbe Skripta

skripta AK3, dio Biluš

Skripta(1 Dio)

Skripta Iz Kaznenog Prava- Opci Dio

KRIVIČNO PROCESNO PRAVO - posebni dio (skripta)

Skripta Za Soo1.Dio

Interna skripta INŽENJERSTVO POVRŠINA 2.dio

Skripta(1 Dio) ar

Skripta Kemija Drva- 1. Dio (1)