za 2. kolokvij

za Tehničko veleučilište u Zagrebu

Alemka Knapp

Elektrostatika

Coulombov zakon

Izmeñu dva točkasta naboja 1Q i 2Q na meñusobnoj udaljenosti r djeluje električna ili Coulombova sila iznosa:

29 CNm1092 −⋅=k je Coulombova konstanta

Električna sila izmeñu istoimenih naboja je odbojna, a izmeñu raznoimenih privlačna. Coulombova sila nastaje zato što naboj proizvodi električno polje u prostoru oko sebe, a ono djeluje silom na drugi naboj. Električno polje Električno polje je svojstvo prostora da djeluje silom na električne naboje. Jakost električnog polja u nekoj točki jednaka je sili kojom ono djeluje na jedinični pozitivni naboj ako ga stavimo u tu točku:

Q

Fr

r=ε

Električno polje točkastog naboja Q ima iznos:

2r

Qk=ε

Električni potencijal Električni potencijal je svojstvo prostora da u njemu električni naboji imaju potencijalnu energiju. Potencijal neke točke jednak je potencijalnoj energiji koju ima jedinični naboj ako ga stavimo u tu točku:

Q

Ep

=ϕ

Električni potencijal u prostoru oko točkastog naboja Q je (pri čemu je integracijska konstanta izabrana tako da je 0=ϕ na beskonačnoj udaljenosti od naboja):

Potencijalna energija jednog točkastog naboja u polju drugog točkastog naboja na udaljenosti r (pri čemu je integracijska konstanta izabrana tako da je 0=

pE

kada su naboji na beskonačnoj udaljenosti jedan od drugog) iznosi:r

QQkE

p

21=

2

21

r

QQkF

el=

r

Qk=ϕ

4

Rad za premještanje naboja iz točke A u točku B

Da bismo naboj Q premjestili iz točke A u točku B u električnom polju, na naboj ćemo djelovati silom koja je jednaka električnoj, ali suprotnog smjera, tj.

elFFrr

−= . Tako se ne mijenja njegova kinetička energija, pa je rad sile Fr

na putu od A do B jednak promjeni potencijalne energije naboja (koja se računa kao umnožak naboja i potencijala):

)(),( AB

F

BAsBAQWW ϕϕ −==

→

r

Napon Napon izmeñu dviju točaka u električnom polju jednak je radu koji je potreban da bi se jedinični naboj premjestio iz jedne u drugu:

Q

WU =

Iz prethodne jednadžbe vidi se da isto značenje ima i definicija „Napon je razlika potencijala“:

ABU ϕϕ −=

1. Izračunati omjer jakosti električne i gravitacijske sile u vodikovom

atomu.

Vodikov atom sastoji se od jezgre u kojoj se nalazi proton i elektrona koji (u najjednostavnijoj slici atoma) kruži oko jezgre. Izmeñu protona i elektrona djeluju električna sila i gravitacijska sila. Gravitacijska sila izmeñu dva tijela čije su mase 1m i 2m iznosi:

2

21

r

mmGF

Ng=

211 kgNm106762 −−⋅= ,G

N je gravitacijska konstanta

Električna (Coulombova) sila izmeñu dva točkasta naboja iznosi :

p

e

r

5

2

21

r

QQkF

el=

29 CNm1092 −⋅=k je Coulombova konstanta

Omjer električne i gravitacijske sile u vodikovom atomu možemo napisati kao:

epNep

N

g

el

mmG

ke

r

mmG

r

ek

F

F 2

2

2

2

==

C1061 19−⋅= ,e naboj protona i elektrona

kg10671 27−⋅= ,mp

masa protona

kg1019 31−⋅= ,me

masa elektrona

( ) 39

312711

2199

103210191067110676

1061109⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

−−−

−

,,,,

,

F

F

g

el

2. Dva naboja C102,1 7

1

−−−−⋅⋅⋅⋅====Q i C103 7

2

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====Q nalaze se na udaljenosti 1m.

a) Koliki su potencijal i električno polje u točki A koja se nalazi na

udaljenosti 40 cm od prvog naboja?

b) Koliki je rad potreban za premještanje naboja C1086 7

3

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,Q iz točke

A u točku B?

C1021 7

1

−⋅= ,Q

C103 7

2

−⋅−=Q

C1086 7

3

−⋅= ,Q

a) električni potencijal u prostoru oko točkastog naboja je:

r

Qk=ϕ

29 CNm1092 −⋅=k – Coulombova konstanta

Q1 Q2 A

B

1m

40cm

r1A r2A

r2B r1B

60cm

6

Ukupan potencijal u točki A je zbroj potencijala prvog naboja u točki A i potencijala drugog naboja u točki A:

AA

AAAr

Qk

r

Qk

2

2

1

121 +=+= ϕϕϕ

m401 ,r

A= – udaljenost 1. naboja od točke A

m602 ,rA= – udaljenost 2. naboja od točke A

( )

V18004500270060

103109

40

1021109

79

79 −=−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

−

,,

,A

ϕ

Iznos vektora električnog polja u prostoru oko točkastog naboja je:

2r

Qk=ε

Ukupno električno polje u točki A je vektorski zbroj električnog polja prvog naboja u točki A i električnog polja drugog naboja u točki A:

AAA 21 εεεrrr

+= Električno polje oba naboja u točki A je u istom smjeru, pa je iznos ukupnog električnog polja:

2

2

2

2

1

121

AA

AAAr

Qk

r

Qk +=+= εεε

V/m142507500675060

103109

40

1021109

2

79

2

79 =+=

⋅⋅+

⋅⋅=

−−

,,

,Aε

b) Rad za premještanje naboja 3Q iz točke A u točku B je:

)(3 ABBAQW ϕϕ −=

→

Potencijal u točki B je:

BB

BBBr

Qk

r

Qk

2

2

1

121 +=+= ϕϕϕ

m081140 22

1 ,,rB

=+= – udaljenost 1. naboja od točke B

m171160 22

2 ,,rB

=+= – udaljenost 2. naboja od točke B

( )V130823081000

171

103109

081

1021109

79

79 −=−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

−

,,

,B

ϕ

J10353))1800(1308(1086 47 −−

→⋅=−−−⋅= ,,W

BA

Q1 Q2 A 1εr

2εr

7

3. Naboji C1065 9

1

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,Q i C1043 9

2

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== ,Q smješteni su u dva vrha

jednakostraničnog trokuta stranice 0,2 m. Koliko je rad potreban za

premještanje naboja C104 8

3

−−−−⋅⋅⋅⋅====Q iz točke A u točku B?

C1065 9

1

−⋅= ,Q

C1043 9

2

−⋅−= ,Q

C104 8

3

−⋅=Q m20,a =

Rad za premještanje naboja 3Q iz točke A u točku B je:

)(3 ABBAQW ϕϕ −=

→

Potencijal u točki A je zbroj potencijala prvog naboja u točki A i potencijala drugog naboja u točki A:

AA

AAAr

Qk

r

Qk

2

2

1

121 +=+= ϕϕϕ

Udaljenosti naboja od točke A su: m2021 ,arr

AA===

( )V99153252

20

1043109

20

1065109

99

99 =−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

−−

,

,

,

,A

ϕ

Potencijal u točki B je:

BB

BBBr

Qk

r

Qk

2

2

1

121 +=+= ϕϕϕ

Udaljenosti naboja od točke B su:

m1021 ,a

rB

==

m17302

32 ,avrB

===

( )V327177504

1730

104,3109

10

1065109

99

99 =−=

⋅−⋅+

⋅⋅=

−−

,,

,B

ϕ

J10129)99327(104 68 −−

→⋅=−⋅= ,W

BA

Q1

Q2

A B

r1A

r2A r2B

r1B

a

8

4. Kapljica ulja mase kg10353 15−−−−⋅⋅⋅⋅, koja nosi na sebi naboj dva elektrona

lebdi u polju horizontalno postavljenih nabijenih ploča izmeñu kojih je razlika potencijala 820 V. Udaljenost ploča je 8 mm. Izračunati naboj

elektrona!

kg10353 15−⋅= ,m

mm8

V820

=

=

d

U

Električno polje u prostoru izmeñu dviju nabijenih ploča je:

V/m1025000080

820===

,d

Uε

Ukupna sila na kapljicu ulja koja lebdi izmeñu ploča je nula. Na kapljicu ulja djeluje gravitacijska sila prema dolje i električna sila u suprotnom smjeru.

0=+=eluk

FGFrrr

Iznosi ovih sila su jednaki:

elFG =

εQmg = Odavde možemo izračunati naboj kapljice ulja:

C10273102500

1010353 1915

−

−

⋅=⋅⋅

== ,,mg

Qε

Naboj elektrona je:

C106412

10273

219

19−

−

⋅=⋅

== ,,Q

e

εr

G

Fel

+

-_

d

Električne struje

Električna struja Električna struja je usmjereno gibanje naboja. U vodičima, jakost struje I jednaka je brzini protjecanja naboja kroz vodič:

dt

dQ

t

QI

t=

∆

∆=

→∆ 0lim

Kada je struja konstantna u vremenu, jakost struje jednaka je naboju koji proñe presjekom vodiča u jedinici vremena, pa možemo napisati:

t

QI =

Ohmov zakon

Ohmov zakon kaže da je jakost struje I koja teče kroz vodič proporcionalna naponu tj. razlici potencijala U na krajevima vodiča:

gdje je R – električni otpor vodiča. Zbrajanje otpora 1) serijski spojeni otpornici

Kada su otpornici spojeni u seriju kroz njih teče ista struja, a ukupan napon je zbroj napona na pojedinim otpornicima.

III == 21

21 UUU +=

Napone na otpornicima 1R i 2R možemo napisati pomoću Ohmovog zakona kao:

11 IRU = , 22 IRU = Ukupan napon preko oba otpornika želimo napisati u obliku:

IRU = , gdje je R ukupan otpor serijskog spoja. Uvrstimo ove izraze u gornju jednadžbu:

21 IRIRIR += /: I Dobivamo formulu za zbrajanje serijski spojenih otpora: Ista formula vrijedi i za zbrajanje više otpora:

NRRRRR ++++= .....321

R2 I R1

U1 U2

U

R

UI =

21 RRR +=

10

2) paralelno spojeni otpornici Napon na paralelno spojenim otpornicima je jednak jer su otpornici s obje strane spojeni na istu točku:

UUU == 21

U strujnom čvoru gdje se vodič grana na dva vodiča ukupna struja dijeli se na struje 1I i 2I . Ukupna struja koja ulazi u čvor jednaka je ukupnoj struji koja izlazi iz čvora:

21 III +=

Koristeći Ohmov zakon možemo napisati:

1

1R

UI = ,

2

2R

UI =

Ukupnu struju želimo napisati u obliku:

R

UI = , gdje je R ukupan otpor paralelnog spoja.

Uvrstimo ove izraze u gornju jednadžbu:

21 R

U

R

U

R

U+= /:U

Dobivamo formulu za zbrajanje paralelno spojenih otpora:

Ista formula vrijedi i za zbrajanje više otpora:

NRRRRR

1...........

1111

321

++++=

Formulu za zbrajanje paralelno spojenih otpornika možemo napisati i na ovaj način:

21

12

21

111

RR

RR

RRR ⋅

+=+=

21

21

RR

RRR

+

⋅=

I2

R1

I

I1

R2

U

21

111

RRR+=

12. Električne struje

11

5. Izračunati ukupan otpor i jakosti struje u mreži.

Otpornici 2R i 3R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor možemo izračunati po formuli:

32

23

3223

111

RR

RR

RRR ⋅

+=+=

Ω=+

⋅=

+

⋅= 1

22

22

32

3223

RR

RRR

Otpornik 1R spojen je u seriju sa otporom 23R :

Ω=+=+= 211231123 RRR

Otpornici 4R i 5R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor:

Ω=+

⋅=

+

⋅= 2

63

63

54

5445

RR

RRR

Otpori 123R i 45R spojeni su paralelno, pa je ukupan otpor gornje i donje grane:

Ω=+

⋅=

+

⋅= 1

22

22

45123

4512312453

RR

RRR

Otpornik 6R spojen je serijski sa ostalim otpornicima, pa je ukupan otpor jednak:

Ω=+=+= 211612345 RRRuk

Unutarnji otpor izvora možemo promatrati kao da je spojen serijski sa ukupnim vanjskim otporom, pa možemo napisati Ohmov zakon u obliku:

( )unuk

RRI +=ε

V,

,R

R

R

R

RR

R

un

22

20

1

6

3

2

1

6

5

4

32

1

=

Ω=

Ω=

Ω=

Ω=

Ω==

Ω=

ε

I

R1

ε

R4

R5

R2

R3

R6

Ru

I45

I123

I4

I5

I2

I3 A B

C

12

Struja u mreži je:

A1=+

=unuk

RRI

ε

Da bismo izračunali struje u pojedinim granama moramo izračunati napon izmeñu točaka A i B:

V1112012266 =⋅−⋅−=⋅−⋅−=−−= ,,RIRIUUUunRAB un

εε

ili možemo napisati Ohmov zakon za otpor 12345R : VRIU

AB11112345 =⋅=⋅=

Struja koja teče kroz gornju granu je:

A502

1

123

123 ,R

UI AB ===

Struja koja teče kroz donju granu je:

A502

1

45

45 ,R

UI AB === ili

A5,05,0112345 =−=−= III Izračunajmo napon izmeñu točaka C i B:

V50150111231 ,,RIUUUUABABCB

=⋅−=⋅−=−= ili V5,015023123 =⋅=⋅= ,RIU

CB

Struja kroz otpornik 2R je:

A2502

50

2

2 ,,

R

UI CB ===

Struja kroz otpornik 3R je: A2502505021233 ,,.III =−=−=

Struja kroz otpornik 4R je:

A3303

1

4

4

•

=== ,R

UI AB

Struja kroz otpornik 5R je:

A6106

1

5

5

•

=== ,R

UI AB

12. Električne struje

13

6. Odredite ukupan otpor kombinacije otpora u mreži prikazanoj na slici.

Kolika je jakost struje? Kolika je jakost struje kroz otpornik R1 i kolika je

razlika potencijala izmeñu točaka B i C?

V12

Ω250

Ω2

Ω3

Ω1

4

3

2

1

=

=

=

=

=

U

,R

R

R

R

Otpornici 1R i 2R spojeni su paralelno, pa je njihov ukupan otpor:

Ω=+

⋅=

+

⋅= 750

31

31

21

2112 ,

RR

RRR

Otpornici 3R i 4R spojeni su serijski s otporom 12R , pa je ukupan otpor:

Ω=++=++= 325.0275.04312 RRRRuk

Ukupna struja u mreži je:

A43

12===

ukR

UI

Napon na otpornicima 1R i 2R je :

V375041221 =⋅=⋅=== ,RIUUUAB

Struja kroz otpornik 1R je:

A31

3

11

11 ====

R

U

R

UI AB

Napon izmeñu točaka B i C je: V82433 =⋅=⋅== RIUU

BC

R4 I2

R1

B A C

I

R3

U

I1

R2

14

7. Koliki je ukupan otpor kombinacije otpora u mreži prikazanoj na slici!?

Kolika je jakost struje? Kolika struje teče kroz otpornik R2, ako je napon

izvora 18 V?

V18

4

3

4

2

4

3

2

1

=

Ω=

Ω=

Ω=

Ω=

U

R

R

R

R

Otpornici 1R i 2R spojeni su serijski, pa je njihov ukupan otpor:

Ω=+=+= 6422112 RRR Otpornik 3R spojen je paralelno s otporom 12R , pa je njihov ukupan otpor:

Ω=+

⋅=

+

⋅= 2

36

36

312

312123

RR

RRR

Otpornik 4R spojen je serijski s otporom 123R , pa je ukupan otpor: Ω=+=+= 6424123 RRR

uk

A36

18===

ukR

UI

Napon izmeñu točaka A i B je

V623123 =⋅=⋅= RIUAB

Napon

ABU možemo izračunati i kao:

V6431844 =⋅−=⋅−=−= RIUUUUAB

Struja kroz otpornik 2R je:

A16

6

12

1212 =====R

UIII AB

R2

R4

R3

U

I

R1

I2

B A

Hidrostatika Tlak Tlak je omjer sile i površine na koju ta sila djeluje okomito.

S

Fp =

Hidrostatski tlak U tekućinama djeluje hidrostatski tlak koji dolazi od težine tekućine iznad mjesta na kojem mjerimo tlak. Tlak u tekućini na dubini h ispod površine iznosi:

ghptekρ=

gdje je: h – dubina ispod površine

tekρ – gustoća tekućine g – gravitacijsko ubrzanje Hidrostatski tlak u tekućini djeluje jednako na sve strane. Uzgon

Uzgon je sila kojom tekućina djeluje na tijelo koje je u nju uronjeno. Na tijelo u tekućini djeluje hidrostatski tlak sa svih strana. Tlakovi s bočnih strana su istog iznosa, te se poništavaju. Tlak koji djeluje s donje strane je veći od tlaka s gornje strane, pa je ukupna sila na tijelo prema gore.

Ukupna sila na tijelo je: gVhgShhgSSghSghSpSpU

tektektektektekρρρρρ =∆=−=−=−= )( 122112

p2

p1 h1 h2

h∆

h∆

S

16

Općenito formulu za uzgon možemo napisati u obliku:

gdje je: V ′ – uronjeni dio volumena ili volumen istisnute tekućine

tekρ – gustoća tekućine g – gravitacijsko ubrzanje U slučaju kada je tijelo djelomično uronjeno u tekućinu volumen V ′ koji dolazi u formuli za uzgon se razlikuje od volumena tijela V . U slučaju šupljeg tijela volumen V ′ najjednostavnije je odrediti kao volumen istisnute tekućine.

Prividna težina

Na tijelo uronjeno u tekućinu djeluju gravitacijska sila G i uzgon U . Ukupna sila na tijelo u tekućini se naziva prividna težina G′ .

UGG −=′ Koristeći izraze za težinu, uzgon, i gustoću tijela

V

m=ρ , ovu formulu možemo napisati u obliku:

gVgVgVmgGtektijtekρρρ ′−=′−=′

U G

V ′

V ′

gVUtek

ρ′=

13. Hidrostatika

17

8. U cijev oblika slova U nalivena je živa, a u drugi krak tekućina gustoće

1200 kg/m3. Visina stupca žive mjerena od dodirne površine je 2,5 cm.

Kolika je visina stupca tekućine?

3

3

kg/m1200

kg/m13600

cm52

=

=

=

tek

Hg

Hg,h

ρ

ρ

Promatrat ćemo živu koja se nalazi u cijevi s jedne i druge strane do iste visine. Kada je živa u ravnoteži tlakovi koji djeluju s lijeve i desne strane na gornju površinu žive su isti:

21 pp =

Tlak 1p je zbroj hidrostatskog tlaka žive koja se nalazi iznad dodirne površine i atmosferskog tlaka (hidrostatski tlak zraka). Tlak 2p je zbroj hidrostatskog tlaka tekućine i atmosferskog tlaka.

attektekatHgHgpghpgh +=+ ρρ

Možemo uzeti da je atmosferski tlak jednak s obje strane isti jer je razlika visina stupca zraka s lijeve i desne strane zanemariva u odnosu na visinu atmosfere.

tektekHgHgghgh ρρ =

Iz ove jednadžbe možemo izračunati visinu stupca tekućine:

m28301200

025013600,

,hh

tek

HgHg

tek=

⋅=

⋅=

ρ

ρ

Hg

hHg

htek p1 p2

tek

18

9. U cijev oblika slova U polumjera 1 cm nalivena je živa. U jedan krak

dolijemo 40 g vode, a u drugi 100 g alkohola.

a) Kolika je razlika visina stupca žive u dva kraka?

b) Kolika je razlika gornjih nivoa vode i alkohola?

a) Promatrat ćemo živu koja se nalazi u cijevi s jedne i druge strane do iste visine. Tlakovi koji djeluju s lijeve i desne strane na gornju površinu žive su isti:

21 pp =

Tlak 1p je zbroj hidrostatskog tlaka žive koja se nalazi iznad dodirne površine, hidrostatskog tlaka vode i atmosferskog tlaka. Tlak 2p je zbroj hidrostatskog tlaka alkohola i atmosferskog tlaka.

atalkalkatOHOHHgHgpghpghgh +=++ ρρρ

22

Nakon što kratimo atmosferski tlak i podijelimo jednadžbu s g dobivamo:

alkalkOHOHHgHghhh ρρρ =+

22

Visinu stupca vode i alkohola možemo izračunati iz njihove mase: hrVm ⋅⋅=⋅= πρρ 2

m12700101000

04022

2

2

2,

,

,

r

mh

OH

OH

Oh=

⋅=

⋅=

ππρ

m3980010800

1022

,,

,

r

mh

alk

alk

alk=

⋅=

⋅=

ππρ

Visine stupca vode i alkohola možemo uvrstiti u gornju jednadžbu i izračunati visinu stupca žive:

39808001270100013600 ,,hHg

⋅=⋅+⋅

m0140,hHg=

b) Razlika gornjih nivoa žive i alkohola je:

m2570)127,0014,0(398,0)(2

,hhhhOhHgalk

=+−=+−=∆

cm1

g100

g40

kg/m800

kg/m1000

kg/m13600

2

2

3

3

3

=

=

=

=

=

=

r

m

m

alk

OH

alk

OH

Hg

ρ

ρ

ρ

h

r

Hg

Hgh

alkh

p2

alk

p1 oH

h2

OH2

r

13. Hidrostatika

19

10. Kolika je težina mramorne kuglice mase 10 g u eteru?

3

3

kg/m730

kg/m2800

g10

=

=

=

et

mr

m

ρ

ρ

Na kuglicu koja se nalazi u tekućini djeluju težina i uzgon. Ukupna sila na kuglicu (prividna težina) G′ je:

gVmgG

UGG

etρ′−=′

−=′

Možemo najprije izračunati volumen kuglice (u ovom slučaju je VV =′ ):

36 m105732800

010 −⋅=== ,,m

Vmr

ρ

Zatim možemo izračunati prividnu težinu kuglice: N0740107301057310010 6 ,,,gVmgG

et=⋅⋅⋅−⋅=′−=′ ⋅−ρ

11. Komad željeza pliva u živi. Koliki je dio njegovog volumena uronjen u

živu?

3

3

kg/m7900

kg/m13600

=

=

Fe

Hg

ρ

ρ

Kada tijelo pliva u tekućini njegova prividna težina jednaka je nula:

UG

UGG

=

=−=′ 0

Uvrstimo izraze za težinu i uzgon:

gVmgHg

ρ′=

gVgVHgFe

ρρ ′=

HgFeVV ρρ ′=

Udio volumena uronjen u tekućinu dobivamo kao:

58013600

7900,

V

V

Hg

Fe ===′

ρ

ρ

U živu je uronjeno 58% volumena željeza.

U G

G U

V ′

20

12. Koliki teret možemo staviti na drvenu splav mase 1500 kg, a da pri tom

teret ostane iznad vode?

3

3

kg/m1000

kg/m700

kg1500

2=

=

=

OH

drv

splm

ρ

ρ

Teret i splav plivaju na vodi, pa je njihova prividna težina jednaka nula:

UG

UGG

=

=−=′ 0

Uvrstimo izraze za gravitacijsku silu i uzgon:

gVgmmOHspltspl 2

)( ρ=+

Uzgon djeluje samo na splav jer se teret nalazi izvan vode. Najprije možemo izračunati volumen splavi:

3m142700

1500,

mV

drv

spl

spl===

ρ,

te zatim masu tereta: kg64015001000142

2=−⋅=−= ,mVm

splOHspltρ

G U

mt

mspl

Toplina i temperatura

Unutar čvrstih tijela i fluida molekule i atomi se gibaju i meñusobno djeluju silama. Unutarnja energija je zbroj kinetičkih energija unutarnjega gibanja molekula i atoma te potencijalnih energija njihova meñudjelovanja u nekom tijelu ili volumenu fluida. Toplina je dio unutarnje energije koji može prijeći s jednoga tijela na drugo zbog razlike u temperaturi. Kad su dva tijela u kontaktu, toplina prelazi s toplijeg na hladnije dok se ne uspostavi ravnoteža. Temperatura je mjera odstupanja od toplinske ravnoteže. U idealnom plinu, u kojemu se unutarnja energija sastoji samo od kinetičke energije molekula, temperatura je proporcionalna prosječnoj kinetičkoj energiji po molekuli. Temperatura izražena u Celzijevim stupnjevima i u Kelvinima je povezana na slijedeći način:

15273C)((K) ,tT +°= Toplinsko rastezanje čvrstih tijela i tekućina

Kada ih zagrijavamo, većina čvrstih tijela i tekućina se rasteže, tj. povećavaju im se dimenzije, odnosno volumen. Linearno rastezanje tijela Ako se promatra rastezanje tijela ili tekućine samo u jednoj dimenziji, ono se naziva linearnim rastezanjem. Rastezanje ovisi o vrsti materijala i približno je proporcionalno povećanju temperature za manje temperaturne intervale: l - duljina tijela na temperaturi T

0l - duljina tijela na temperaturi 0T

0TTT −=∆ - promjena temperature α - koeficijent linearnog rastezanja materijala Volumno rastezanje tijela

Volumen tijela ili tekućine na temperaturi T jednak je:

)1(0 TVV ∆+= γ

)1(0 Tll ∆+= α

22

V - duljina tijela na temperaturi T

0V - duljina tijela na temperaturi 0T

0TTT −=∆ - promjena temperature

γ - koeficijent volumnog rastezanja Za čvrsta tijela koeficijent volumnog rastezanja možemo dobiti iz koeficijenta linearnog rastezenja:

Kad je član 1ppT∆α , druga dva člana u gornjem izrazu možemo zanemariti , te izraz za volumen napisati u obliku:

Odavde vidimo da vrijedi: αγ 3=

13. Čeličnu šipku čija je duljina na temperaturi 0ºC jednaka 3 metra zagrijemo do temperature 60ºC. Koliko je relativno produljenje šipke? Kolika je duljina šipke na 60ºC? Koeficijent linearnog rastezanja za čelik je 16 K1012 −−⋅ .

16 K1012 −−⋅=α m30 =l

K6012 =−=∆ ttT Duljinu šipke pri promjeni temperature za T∆ dobivamo po formuli:

)1(0 Tll ∆⋅+= α Relativno produljenje šipke je:

000720601012 6

0

0

0

0

0

,Tl

Tl

l

ll

l

l=⋅⋅=∆⋅=

∆⋅⋅=

−=

∆ −αα

ili %0720,

Duljina šipke na temperaturi 60ºC je: m0023)0007201(3)1(0 ,,Tll =+⋅=∆⋅+= α

))()(331()1()1()1()1( 323

0

33

0000 TTTlTlTlTlTlV ∆+∆+∆+=∆+=∆+∆+∆+= λαααααα

)1()31( 0

3

0 TVTlV ∆+=∆+≈ γα

23

14. Staklena boca ima volumen 2000 cm3 pri temperaturi 0ºC. Na temperaturi 0ºC boca je do ruba napunjena alkoholom. Koliko će alkohola isteći iz boce kad ju ugrijemo na 40ºC.

3

0 cm2000=V K40=∆T

13 K101351 −−⋅= ,alkγ

15 K1090 −−⋅= ,st

α 15 K10723 −−⋅=⋅= ,

ststαγ

Volumen alkohola na temperaturi 40ºC dobivamo po formuli:

33

0 cm2091)401013511(2000)1( =⋅⋅+⋅=∆⋅+= −,TVValk

γ Volumen stakla na na temperaturi 40ºC je:

35

0 cm2002)4010721(2000)1( =⋅⋅+⋅=∆⋅+= −,TVVst

γ Volumen alkohola koji će isteći iz boce je:

3cm8920022091 =−=−=∆stalk

VVV

24

Količina toplina. Specifični toplinski kapacitet Toplina koju trebamo dovesti (ili odvesti) tijelu mase m da bismo mu povisili (ili smanjili) temperaturu za T∆ jednaka je:

,

gdje je c specifični toplinski kapacitet tijela. Kada su dva (ili više) tijela u kontaktu toplina će prelaziti s jednog na drugo tijelo dok se ne postigne termička ravnoteža. U izoliranom sustavu ukupna izmjena topline izmeñu tijela je nula.

0...21 =+++N

QQQ 15. Komad bakra mase 500 g i temperature 200ºC baci se zajedno s komadom željeza mase 1 kg i temperature 250ºC u litru vode temperature 20ºC. Za koliko će porasti temperatura vode? Specifični toplinski kapacitet bakra je 380 J/K, specifični toplinski kapacitet željeza je 460 J/K, a vode 4190 J/K. Cu Fe H2O Masu vode možemo dobiti iz volumena i gustoće. Gustoća vode je 3kg/m1000=ρ .

gk1101000 3

33 =⋅=⋅= −Vm ρ Ukupna izmjena topline izmeñu ova tri tijela (koja smatramo izoliranim sustavom) je nula.

0321 =++ QQQ Uvrštavanjem izraza za toplinu potrebnu za zagrijavanje tijela dobivamo:

0333222111 =∆+∆+∆ TcmTcmTcm Konačnu temperaturu smjese označit ćemo sa τ , pa ovaj izraz možemo napisati u obliku:

0)()()( 333222111 =−+−+− tcmtcmtcm τττ Uvrstimo zadane veličine u gornji izraz:

0)20(41901)250(4601)200(38050 =−⋅+−⋅+−⋅⋅ τττ, Odavde možemo izračunati konačnu temperaturu smjese:

C, °= 948τ Temperatura vode povisi se za C,t °=∆ 9283

J/K460

C250

kg1

2!

2

2

=

°=

=

c

t

m

J/K4190

C20

1011

3

3

333

3

=

°=

=== −

c

t

mdmlV

J/K380

C200

kg50g500

1!

1

1

=

°=

==

c

t

,m

TmcQ ∆=

25

Prijenos topline

Energija se prenosi iz područja više u područje niže temperature na 3 načina:

voñenje topline (kondukcija) strujanje (konvekcija) zračenje (radijacija)

Voñenje topline

Kod voñenja topline samo sredstvo miruje, energija se prenosi od molekule do molekule. Toplina se voñenjem prenosi u čvrstim tijelima. Fourierov zakon voñenja topline Promatramo stacionarno voñenje topline kroz štap duljine x∆ i poprečnog presjeka S . Pretpostavljamo da temperatura duž štapa od jednog do drugog kraja linearno pada. Temperature na krajevima štapa su 1T i 2T .

Toplina koja proñe kroz poprečni presjek štapa u vremenu t jednaka je:

Stx

TQ

∆

∆−= λ ,

gdje je: λ – koeficijent toplinske vodljivosti materijala

12 TTT −=∆ – razlika temperatura na krajevima štapa Predznak – je zbog toga što se toplina prenosi u smjeru suprotnom od smjera

porasta temperature, tj. 0>Q za 0<∆

∆

x

T.

1T

2T

T

xx∆

x∆

1T 2TQ

S

26

Toplinski tok Toplinski tok je toplina koja proñe presjekom štapa u jedinici vremena:

Sx

T

t

Q

∆

∆−==Φ λ

Gustoća toplinskog toka Gustoća toplinskog toka je toplinski tok po jedinici površine:

x

T

Sq

∆

∆−=

Φ= λ

Izraz za toplinski tok možemo napisati i u obliku:

S

x

TS

x

T

λ

λ∆

∆−=

∆

∆−=Φ ,

R

T∆−=Φ

gdje ćemo veličinu:

S

xR

λ

∆=

nazvati toplinskim otporom.

27

16. Betonski zid debeo 30 cm prekriven je s unutrašnje strane izolacijskim slojem debljne 2 cm i toplinske vodljivosti W/mK0502 ,=λ . Kolika je gustoća toplinskog toka kroz zid ako je temperatura unutrašnje površine zida 20ºC, a vanjske 0ºC? Toplinska vodljivost zida je W/mK311 ,=λ .

Ct

Ct

°=

°=

20

0

2

1

W/mK050

W/mK31

2

1

,

,

=

=

λ

λ

cm2

cm30

2

1

=∆

=∆

x

x

Gustoća toplinskog toka je dana izrazom:

x

Tq

∆

∆−= λ

a) Gustoća toplinskog toka kroz zid jednaka je gustoći toplinskog toka kroz izolacijski sloj:

21 qq =

2

22

1

11

x

T

x

T

∆

∆−=

∆

∆− λλ

2

22

1

11

)()(

x

tt

x

tt

∆

−=

∆

−λλ ,

gdje je t temperatura na graničnoj površini zida i izolacijskog sloja. Uvrstimo zadane veličine u gornju formulu:

020

)20(050

30

)0(31

,

t,

,

t,

−=

−

Odavde možemo izračunati temperaturu na graničnoj površini: C327 °= ,t

Gustoća toplinskog toka kroz zid je jednaka:

2

1

111 W/m731

30

)0327(31

)(,

,

,,

x

ttq −=

−−=

∆

−−= λ

b) Zadatak možemo riješiti i pomoću toplinskog otpora:

S

xR

⋅

∆=λ

1x∆ 2x∆

1t 2tt

28

Toplinski tok Φ kroz sloj toplinskog otpora R na čijim je površinama temperaturna razlika T∆ se može napisati u obliku:

R

T∆=Φ

Toplinski tok je jednak kroz oba sloja:

21 Φ=Φ

2

2

1

1

R

T

R

T ∆−=

∆−

2

121R

RTT ∆=∆

Zbroj promjena temperature na pojedinim slojevima jednak je ukupnoj razlici temperature izmeñu vanjske i unutrašnje strane zida.

TTT ∆=∆+∆ 21 Uvrstimo 1T∆ u gornji izraz:

TTR

RT ∆=∆+∆ 2

2

12

Iz ovog izraza možemo izraziti 2T∆ :

TRR

RT ∆

+=∆

21

22

Toplinski tok možemo napisati u obliku:

2121

2

22

2 1

RR

TT

RR

R

RR

T

+

∆−=∆

+⋅−=

∆−=Φ

ukR

T∆−=Φ

Toplinski tok možemo izračunati kao omjer ukupne razlike temperature preko oba sloja i ukupnog toplinskog otpora koji je zbroj toplinskih otpora pojedinih slojeva. Isti rezultat vrijedi iza više slojeva. Izračunajmo gustoću toplinskog toka:

)()()(

2

2

1

1

2

2

1

121

λλλλ

xx

T

S

x

S

xS

T

RRS

T

RS

T

Sq

uk∆

+∆

∆−=

∆+

∆

∆−=

+

∆−=

⋅

∆−

Φ=

2W/m731)

050

020

31

30(

20,

,

,

,

,q −=

+

−=

29

17. Kolika količina topline proñe kroz betonski zid površine 20 m2 i debljine 10 cm na čijim se objema stranama nalazi sloj žbuke debljine 2 cm za 30 minuta? Temperaturna razlika izmeñu vanjske i unutrašnje površine zida je 20ºC. Toplinska vodljivost betona je W/mK31,

b=λ , a toplinska vodljivost žbuke je

W/mK80,ž=λ .

m020cm2

m10cm10

31

2

,xx

,x

==∆=∆

==∆

W/mK31,b=λ

W/mK80,ž=λ

CT °=∆ 30 2m20=S

s1800min30 ==t Gustoća toplinskog toka je jednaka kroz sva tri sloja:

321 qqq ==

3

33

2

22

1

11

x

T

x

T

x

T

∆

∆−=

∆

∆−=

∆

∆− λλλ

Budući da je

žλλλ == 31 i 31 xx ∆=∆ iz jednadžbe:

3

33

1

11

x

T

x

T

∆

∆=

∆

∆λλ dobivamo da je 13 TT ∆=∆ .

Iz jednadžbe:

2

22

1

11

x

T

x

T

∆

∆=

∆

∆λλ

možemo izraziti 1T∆ :

22

2

2

1

121 3250

10

31

80

020T,

,

,

,

,T

x

xTT ∆=⋅∆=

∆⋅

∆∆=∆

λ

λ

Zbroj promjena temperature na pojedinim slojevima jednak je ukupnoj razlici temperature izmeñu vanjske i unutrašnje strane zida.

TTTT ∆=∆+∆+∆ 321 Uvrstimo u ovaj izraz 13 TT ∆=∆ i 21 3250 T,T ∆=∆ :

TTT ∆=∆+∆ 212 TTT, ∆=∆+∆⋅ 2232502

Odavde možemo izračunati: C2182 °=∆ ,T

2x∆ 3x∆

3t∆

1x∆

1t∆ 2t∆

30

C9513 °=∆=∆ ,TT Gustoća toplinskog toka se može izračunati iz izraza:

2

2

22 W/m3236

10

21831 ,

,

,,

x

Tq −=−=

∆

∆−= λ

Toplina koja proñe kroz betonski zid za 30 min jednaka je:

J105181800203236 6⋅=⋅⋅== ,,qStQ

b) Zadatak možemo riješiti i pomoću toplinskog otpora:

S

xR

⋅

∆=λ

Toplinski tok Φ kroz sloj toplinskog otpora R na čijim je površinama temperaturna razlika T∆ se može napisati u obliku:

R

T∆=Φ

Kada imamo više slojeva, njihovi se toplinski otpori mogu zbrojiti i toplinski tok možemo napisati u obliku:

321

321

RRR

TTT

R

T

uk++

∆+∆+∆=

∆=Φ ,

gdje je T∆ ukupna temperaturna razlika izmeñu vanjske i umutarnje površine zida. Možemo izračunati toplinski otpor za svaki pojedini sloj:

K/W00125,0208,0

02,0131 =

⋅=

⋅

∆==

S

xRR

žλ

K/W0038,0203,1

1,022 =

⋅=

⋅

∆=

S

xR

bλ

K/W0405,0321 =++= RRRRuk

Toplinski tok kroz zid je jednak:

W47270405,0

30==

∆=Φ

ukR

T

Toplina koja prolazi kroz zid za 30 min je: J1051818004727 6

⋅=⋅=⋅Φ= ,tQ