ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2...

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد

المطوع المخروطة/الفصل الثان

مستمم ثابت ف 𝟎 نمطة ثابتة ف المستوي ولكن (𝟏 𝟏 )لكن : المطع المخروط

الى بعدها عن المستمم (𝟏 𝟏 )مجموعة كل النماط الت نسبة بعد كل منها عن النمطة لذا فانالمستوي نفسه

هو مجموعة النمط أو تكون شكل هندس سمى بالمطع المخروط ( )تساوي عدد ثابت 𝟎

الت بعدها عن نمطة معلومة ساوي بعدها عن مستمم معلوم

: مفاهم أساسة تعن بها وه حث ان لكل شكل مخروط عدة

( )تسمى بإرة المطع المخروط (𝟏 𝟏 )النمطة الثابتة ①

( )سمى دلل المطع المخروط 𝟎 المستمم الثابت ②

حث أذا كان ( )تسمى باالختالف المركزي ( )النسبة ③

( 𝟏) (𝟏 ) نوع القطع مكافئ نوع القطع ناقص ( 𝟏) نوع القطع زائد

| 𝟐|المسافة بن البإرة والدلل = ④

تسمى (𝟎 ) ةثابت نمطةف المستوي والت كون بعدها عن ( ) هو مجموعة النمط : كافئالمطع الم

والذي سمى الدلل وهو ال حتوي البإرة ( ) مساوآ دائمآ لبعدها عن مستمم معلوم 𝟎 البإرة حث

ون بعدها عن نمطة معلومة مساوا لبعدها عن مستمم كهو مجموعة من النمط داخل مستوي والت أو بمعنى أخر

. معلوم

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور السنات

باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باستخدام

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏

( من تعرف القطع المكافئ )

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذذذرأس فذذذ x-axis) ) الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذ لمحذذذور السذذذناتهذذذ المعادلذذذة الماسذذذة للمطذذذع المكذذذافئ هذذذذ و

ومعادلذذذذة دللذذذذه (𝟎 ) بإرتذذذذه بذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حذذذذث "O"تسذذذذمى النمطذذذذة حذذذذثنمطذذذذة األصذذذذل

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات حث 𝟎 𝟒

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(yمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور الصادات

باستخدام التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏

√( 𝟎)𝟐 ( )𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذرأس فذ نمطذة ) )ات صذادوهذ ه المعادلة الماسة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذ لمحذور ال

حذث 𝟎 ومعادلة دلله ( 𝟎) برأس المطع المكافئ حث بإرته "O"األصل حث تسمى النمطة

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات 𝟒

أحداهما عندما كون على (𝟎 𝟎)نالحظ مما سبك انه وجد معادلتن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل

.والجدول أدنا وضح ذلن ور الصادي حالمحور السن واألخرى عندما كون على الم

( )عىدما كن عه محر انصاداث ( )عىدما كن عه محر انسىاث

( )البإرة تنتم لمحور الصادات ① ( )انبؤرة تىتم نمحر انسىاث ①

ومعادلة الدلل ( 𝟎) البإرة ② معادنت اندنم (𝟎 ) انبؤرة ②

𝟎 معادلة محور المطع ه③ 𝟎 معادنت محر انمطع ③

المحور السن وازيالدلل ④ انمحر انصاد اساندنم ④

التناظر حول محور الصادات⑤ انتىاظز حل محر انسىاث⑤

نصف الدللالمحور الصادي ⑥ المحور السن نصف الدلل⑥

𝟐 المانون ⑦ 𝟐 المانون ⑦ 𝟒 𝟒

: مالحظات عامة أشار البإرة عكس أشار الدلل والعكس صحح ❶

2p= المسافة بن البإرة والدلل ❷

كل نمطة تنتم للمطع المكافئ فه تحمك معادلته )أي أن المطع المكافئ مر بها ( ❸

المكافئ بعدها عن البإرة ساوي بعدها عن الدللكل نمطة تنتم للمطع ❹

𝟐 )رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممز الخاصة به ه ❺ 𝟒 𝟎) الجدول أدنا وضح تفاصل أكثر عن معادالت المطع المكافئ ❻

المعادلة البإرة الدلل المحور أتجا المطع التناظر

x-axis المن x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒 x-axis السار x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒

y-axis األعلى y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒 y-axis األسفل y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒

𝟐 ئ جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكاف /(1(مثال 𝟖

𝟐 الحل / 𝟖

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟐 )

𝟐 معادنت اندنيم

. والرأس ف نمطة األصل (3,0)ة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته جد معادل/(2(مثال

𝟔 𝟐الدلل ب ( معادلة ورأسه ف نمطة األصل . 𝟎

(𝟎 ) أ ( الحل / البؤرة (𝟎 𝟑)

𝟑 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

___________________________

𝟔 𝟐 ب ( معادلة الدلل 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

𝟐 بإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ جد /(3(مثال ثم أرسمه 𝟒

الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒

𝟒 𝟒 𝟒

𝟒 𝟏

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟏)

𝟏 معادنت اندنيم

𝟐 4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√

𝟐 𝟏 𝟎

𝟐√ 2 𝟎

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟑√)المكافئ أذا علم أن بإرته جد معادلة المطع بؤستخدام التعرف /(4(مثال

ولذذتكن النمطذذة نمطذذة تنتمذذ الذذى منحنذذ المطذذع المكذذافئ ( ) ولذذتكن النمطذذة (𝟎 𝟑√) البذذإرة الحذذل /

فمن تعرف المطع المكافئ على الدلل ( )نمطة تماطع العمود المرسوم من ه ( 𝟑√ )

√( √𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( √𝟑)

𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

( √𝟑 )𝟐 𝟐 ( √𝟑 )

𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟑√𝟒

𝟐 𝟑 جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ /(5(مثال 𝟐𝟒 𝟎

الحل /

𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐 ( وقسم طرفي انمعادنت عهى 𝟑) 𝟐𝟒

𝟐 𝟖 𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

(𝟎 ) انبؤرة (𝟐 𝟎)

𝟐 معادنت اندنيم

. ف نمطة األصل هرأسو (𝟓 𝟎)جد معادلة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته /(6(مثال ورأسه ف نمطة األصل . 𝟕 ب ( معادلة الدلل

( 𝟎) أ ( الحل / البؤرة (𝟓 𝟎)

𝟓 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

___________________________

( بانمقاروت مع معادنت اندنيم) 𝟕 ب (

𝟕 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟕) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟖

ورأسه نمطة األصل ( 𝟒 𝟐) (𝟒 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ الذي مر بالنمطتن /(7(مثال

الحل /

ثابتة لم تتغر ( النمطتان متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة 𝟐 انمعادنت انماست نهمطع انمكافئ 𝟒

(𝟒 𝟐)وعض أحد انىمطته انهته تحممان معادنت انمطع انمكافئ ألو مز با نتكه انىمطت

(𝟒)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔

𝟖 𝟐

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟖

(𝟓 𝟑)جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر دلل المطع المكافئ بالنمطة /(8(مثال

الحل/

ما : االحتمانهتحدد انبؤرة , وجد أحتمالن للمعادلة الماسة للمطع المكافئ لعدم

ثانا : البإرة تنتم لمحور السنات أوال : البإرة تنتم لمحور الصادات

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟓

𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟓)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟑

𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟑)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

(𝟐 تمارين(𝟏

:جد المعادلة للمطع المكافئ ف كل مما ؤت ثم أرسم المنحن البان لها /1 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟓)البإرة ) أ (

الحل/

(𝟓 𝟎)

𝟓 𝒙 معادنت اندنيم 𝟓

𝒚 𝟒 𝟐 𝒚 𝟒(𝟓) 𝟐 𝒚 𝟐 المعادلة القاسة 𝟐𝟎

𝟐 𝟏 𝟎

2√ 2√5 𝟎

والرأس ف نمطة األصل (𝟒 𝟎)البإرة ) ب (

الحل/

(𝟎 𝟒)

𝟒 y معادنت اندنيم 4

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒(𝟒) 2 𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟏𝟔

4√2 4 𝟎

2 𝟎

والرأس ف نمطة األصل ( 𝟐√ 𝟎)البإرة ) ج (

الحل/

(𝟎 √𝟐 )

√𝟐 y معادنت اندنيم 𝟐√

𝑥 𝟒 2 𝑥 2 المعادلة القاسة (𝟐√)𝟒

2√2 2√√𝟐

√𝟐 𝟎

𝟑 𝟒 معادلة دلل المطع المكافئ ) د ( والرأس ف نمطة األصل 𝟎

الحل/

𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y 3

4معادنت اندنيم

4 البؤرة

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒 23 4

𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟑

√6 √𝟑 𝟎

𝟐 𝟎

:ف كل مما ؤت جد البإرة والرأس ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ /2 س

( ) 𝟐 𝟒

الحل/

𝟒 𝟒 𝑝 البؤرة(𝟏 𝟎)

( معادلة المحور) 𝟎 ( معادلة الدلل) 𝟏 الرأس(𝟎 𝟎)

( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟎

الحل/

𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟖 𝟒

𝟖 p

𝟑𝟐 (

𝟑𝟐 𝟎) البؤرة

دلةمعا المحور) 𝟎 ) 𝟏

𝟑𝟐( معادلة الدلل) الرأس(𝟎 𝟎)

والرأس ف نمطة األصل (𝟓 𝟐) (𝟓 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتن /3 س

𝟐 )والمانون البإرة تنتم لمحور السنات متناظرتان حول المحور السننمطتان ال ∵ الحل/ 𝟒 )

ونعوضها ف المعادلة الماسة (𝟓 𝟐)النمطة نؤخذ لذاالمطع المكافئ مر بهما المعادلة الن انالنمطتان تحمم

(𝟓)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑 𝟐𝟓

𝟐 𝟒 𝟒 25

8 𝟐

𝟐𝟓

𝟐معادلة القطع المكافئ

والذرأس فذ نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه (𝟒 𝟑 )أذا كان دلل المطذع المكذافئ مذر بالنمطذة /4 س

تنتم ألحد المحورن

(𝟒 )والثان (𝟑 )هنان دلالن هما األول (𝟒 𝟑 )الدلل مر بالنمطة ∵ الحل/

ان هنان لطعان مكافئ

) البإرة تنتم لمحور السنات( المطع المكافئ األول 𝟑 𝟑

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐

ات(الثان ) البإرة تنتم لمحور الصادالمطع المكافئ 𝟒 𝟒

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟒) 𝟐 𝟏𝟔

𝟐 لطع مكافئ معادلته /5 س أرسم المطع وثم جد بإرته ودلله Aجد لمة (𝟐 𝟏)بالنمطة مر 𝟎 𝟖

( 𝟐 𝟏)النمطة بالمطع المكافئ مر ∵ الحل/

𝟐 ) تحمك معادلة المطع المكافئ ( 𝟐 𝟏)النمطة 𝟖 𝟎)

(𝟏)𝟐 𝟖(𝟐) 𝟎 A 6 𝟐 𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔) 6

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎 𝟐

𝟐 ( 𝟐 (بالمقارنة مع المعادلة القاسة 𝟒

𝟒𝒑𝟏

𝟐 𝒑

F( 𝑝) F 𝟏

𝟖 البؤرة

𝟖 معادلة الدلل

√𝟐

:باستخدام التعرف جد معادلة المطع المكافئ /6 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟕)البإرة ) أ (

الحل/

𝟕 𝒙 𝟕 معادلة الدلل

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟕)𝟐 (بتربع الطرفن) 𝟐( )

( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 ( 𝟕)𝟐

𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗

𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟐𝟖

1د / 2011وزاري

والرأس ف نمطة األصل 𝟑√ معادلة الدلل ) ب (

الحل/

√𝟑 𝑝 √𝟑

(𝟎 ) البؤرة (𝟑√ 𝟎)

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟎)𝟐 ( √𝟑)𝟐 √( )𝟐 ( √𝟑)

𝟐 (بتربع الطرفن)

𝟐 ( √𝟑)𝟐 ( √𝟑)

𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 𝟐√𝟑 𝟐√𝟑 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟑√𝟒

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة

: الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالةجد معادلة المطع المكافئ /مثال

(𝟎 𝟓)بإرته (1)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور السنات /انحم 𝟒

( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 𝟎

(𝟑 𝟎)بإرته (2)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

(𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

𝟔 𝟐معادلة دلله (3) 𝟎 /انحم

𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 البؤرة (𝟑 𝟎) 𝟑

𝟐 𝟒

𝟐 𝟒( 𝟑) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟏𝟐

𝟐√)مر بالنمطة بإرته تنتم لمحور الصادات و(4) 𝟏

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

𝟐√)النمطة 𝟏

𝟐 تنتم للمطع فه تحمك معادلته (

(√𝟐)𝟐 𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟒

جد معادلته ومعادلة دلله (𝟓√ 𝟏) (𝟓√𝟐 𝟏)مر بالنمطتن (5)

𝟐 معادنت ثابتة لم تتغر ( xالنمطتن متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة /انحم 𝟒

وعض أحد انىمطته ألو مز با ∴

(𝟐√𝟓)𝟐 𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 معادنت اندنيم 𝟓

𝟐 𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟐𝟎

(𝟒 𝟐)بؤرت تىتم نمحر انسىاث دنه مز بانىمطت (6)

𝟐 معادنت انمطع انمكافئ بؤرت تىتم نمحر انسىاث /انحم 𝟒

𝟐 ألن اندنم مطع األحداث انسى معادنت اندنم 𝟐 نذا فأن (𝟒 𝟐)دنه مز بانىمطت

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖

𝟐 رأس ومطت األصم بؤرت مزكش اندائزة انت معادنتا (7) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎

) =مزكش اندائزة / انحم (معامم )

𝟐 (معامم )

𝟐) =(

𝟐 ( 𝟒)

𝟐 = انبؤرة (𝟐 𝟎)= (

𝟐 انبؤرة تىتم نمحر انصاداث معادنت انمطع انمكافئ 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖

( 𝟏 𝟐 )مز بانىمطت 𝟎 دنه اس انمحر انصاد معادنت محري (8)

( 𝟏 𝟐 )اندنم اس انمحر انصاد مز بانىمطت /انحم

اندنم مطع األحداث انسى انسانب انبؤرة تمع عه األحداث انسى انمجب

𝟐 معادنت انمطع انمكافئ 𝟒 نذا ف تحمم ( 𝟏 𝟐 )انمطع مز بانىمطت

𝟐 𝟒 (𝟏)𝟐 𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖 𝟏

𝟐 𝟒 𝟏

𝟖 𝟐

𝟐 معادلة القطع المكافئ

(𝟏𝟎) وحداثلطعت طنا 𝟒 مطع مه انمستمم (9) /انحم

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 رأسي انقطع انمكافئ (𝟓 𝟒)(𝟓 𝟒)

𝟐 معادنت انمطع انمكافئ انتىاظز حل محر انسىاث تحمم (𝟓 𝟒)انىمطت 𝟒

𝟐 𝟒 (𝟓)𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐𝟓

𝟏𝟔

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓

جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالة /مثال

𝐳بإرته الصغة الدكارتة للعدد (1) 𝟒+𝟐𝐢

𝟐 𝐢

/انحم

𝐳 𝟒 𝟐𝐢

𝟐 𝐢×𝟐 𝒊

𝟐 𝒊 𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐

𝟓 𝟏𝟎

𝟓 الصغة الدكارتة (𝟎 𝟐 ) 𝟐

( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) البؤرة 𝐩 𝟐

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚𝟐 𝟖𝒙 معادلة القطع المكافئ

(3,4)بإرته تنتم ألحد المحورن ودلله مر بالنمطة (2) 𝒑وجد دلالن ولم حدد الي المحورن وازي (3,4)مطة الدلل مر بالن ∵ /انحم 𝟑 𝒑 𝟒

مما عن وجدود لطعان مكافئان (𝟎 𝟑 )والثانة (𝟒 𝟎)وجد بإرتان االولى

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚𝟐 𝟏𝟐𝒙 معادلة القطع المكافئ األول

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒚 معادلة القطع المكافئ انثاوي

mثم أوجد لمة 𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)حث ABCمر برإوس المثلث (3)

تمع أما ف الربع األول أو الرابع (m,2)النمطة ∵ /انحم

للربع األول لك تحمك المطع (m,2)النمطة

𝒙𝟐البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝟒𝒑𝒚

فه تحممه (𝟒 𝟐 )المطع مر بالنمطة ∵

( 𝟐)𝟐 𝟒𝒑(𝟒) 𝒑 𝟒

𝟏𝟔 𝐩

𝟒 𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒

𝟒 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 معادنت انقطع

المطعتمع على المطع لذا فه تحمك معادلة (m,2)النمطة ∵ (𝟐)𝟐 𝐦 𝐦 𝟒

𝟐𝒚 √𝟑رأسه نمطة األصل ومعادلة دلله (4) 𝟎 /نحم ا

𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲 √𝟑

𝟐 𝐩

√𝟑

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒 √𝟑

𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝟐√𝟑𝒚 معادلة القطع المكافئ

: : ف كل مما ؤت جد البإرة ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ 1س

( ) 𝟐 𝟖

( ) 𝟐 𝟒 𝟎

( ) 𝟐 𝟐𝟖 𝟎

والرأس ف نمطة األصل فجد معادلته علما أن بإرتــــــه (𝟓 𝟐 ): أذا كان دلل المطع المكافئ مر بالنمطة 2س

تنتم ألحد المحورن

معادلة المطع المكافئ الذي :: ف كل مما ؤت جد 3س

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟕 ))أ( بإرته

𝟑 𝟐)ب( معادلة الدلل له والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

والرأس ف نمطة األصل . (𝟔 𝟑))ج( بإرته تنتم لمحور السنات ومر بالنمطة

والرأس ف نمطة األصل . (𝟓 𝟒 ))د( بإرته تنتم لمحور السنات و دلله مر بالنمطة

𝟑√ 𝟐الدلل له )ب( معادلة والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

:ة المطع المكافئ الذي بؤستخدام التعرف جد معادل: 4س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟒) بإرته ) أ ( 𝟓 ) ب ( معادلة الدلل والرأس ف نمطة األصل 𝟎

: ) الرأس ف نمطة األصل (نالصالمطع ال

البإرتذان تسذمان ثذابتتن نمطتذن عذن منهذا نمطة أي بعدي مجموع كون الت ( ) المستوي نماط مجموعة هو

( 𝟐) تساوي لمته ثابتا عددا تساوي

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐 √( )𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐(𝟎 )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒)

√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

( ) ( )حث أن

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 وبإرتا ه (𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 رأسا المطع النالص هما

بذذذنفس األسذذذلوب مكننذذذا أجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذ

𝟐وبإرتذذذذذا هذذذذذ ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا حذذذذث أن 𝟏

𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )

الحظ الشكل التال :

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐طول المحور الكبر ②

𝟐طول المحور الصغر ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

𝟐 دائما كون ⑤ 𝟐 𝟐

االختالف المركزي ⑥

√ 𝟐 𝟐

𝟐 √ )ولمة (𝟏 )حث الحظ أنه كون 𝟐 )

مساحة المطع النالص ⑦

√ 𝟐 محط المطع النالص ⑧ 𝟐+ 𝟐

𝟐 )حث أن

𝟐𝟐

النسبة بن طول محوره ⑨𝟐

( ) هو واألصغر ( )هو واألكبر ( ) أو ( ) أما هو الثان فاإلحداث صفر إحداثاتها أحد بنمطة المطع مر أذا ⑩

أدنا :الحظ الجدول ⑪

لطع نالص بإرتا على محور السنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات

المعادلة 𝟐

𝟐المعادلة 𝟏

𝟐 𝟏

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 البإرتان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 البإرتان

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 الرأسان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 الرأسان

المركزي واالختالفتن والرأسن ف كل مما ؤت جد طول كل من المحورن وأحداث كل من البإر (/9مثال )

① 𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 ② 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐

(1)الحل

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص 𝟐

𝟐 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) طول المحور الكبر وحدة 𝟏𝟎

𝟐 𝟐(𝟒) طول المحور الصغر وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) البعد البؤري وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓)𝟏

𝟓االختالف المركزي 𝟏

(2)الحل

𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 ×

𝟒 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟑 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟏 𝟐

(𝟏𝟑)

𝟗 𝟐

𝟒 𝟏

(𝟏𝟑)

(𝟒𝟗)

𝑎 𝟒

𝟗 2

𝟑 𝟐

𝟑 𝑎

√𝟑 𝟐 b 𝑎 𝟐

𝟗 𝟏

𝟗 2

𝟑 c

𝟐 𝟐 𝟐

𝟑 طول المحور الكبر وحدة

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟑

√𝟑 طول المحور الصغر وحدة

𝟏 𝟎 𝟐

𝟑 𝟐 𝟎

𝟑𝟏 الرأسان 𝟎

𝟑 𝟐 𝟎

𝟑 البؤرتان

( ) 𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟏

𝟐 االختالف المركزي 𝟏

ــــا النمطـــــتـــان ـورأس (𝟎 𝟑)𝟏 (𝟎 𝟑 )𝟐 ـص الذي بإرتــــــا ـــــة المطع النالـــجد معادل (/10مثال ) ومركز نمطة االصل . (𝟎 𝟓)𝟏 (𝟎 𝟓 )𝟐

الحل/

⇐ البإرتان والرأسان معان على محور السنات والمركز ف نمطة األصل ∵ 𝟐

𝟐 𝟏

𝟑 𝑪 𝟗 𝟐

𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝑪 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐 𝟏 𝟔

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 معادلة القطع الناقص

اإلحداثنـن نطبك محورا على المحورـــــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وـجد معادل (/11مثال )

ثم وحدة,(𝟏𝟐)ادات جزءا طوله وحدات ومن محور الص (𝟖)ـنات جزءا طوله محور السمن ومطع جد المسافة بن البإرتن ومساحة منطمته ومحطه .

الحل/

المحور الكبر 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔 (البؤرة تقع على الصادات)

المحور الصغر 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2 6

𝟏𝟔

2 𝒚

𝟑𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎

𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓

𝟐𝐜 ( انمسافت بيه انبؤرتيه) 𝟓√𝟒

انمساحت (وحدة مربعة ) 24 (4)(6)

انمحيط 2 √ 2 2

22 √

𝟑𝟔 𝟏𝟔

22 √

𝟓𝟐

𝐩 (وحدة ) 𝟐𝟔√2

االختالف المركزي 𝟐√𝟓

𝟔 √𝟓

𝟐 لتكن (/21مثال ) 𝟒 𝟐 ــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتــــــــهة لطع نالـــــــص ممعادلـــ 𝟑𝟔

1د / 2015وزاري جد لمة (𝟎 𝟑√) الحل/

𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝟑𝟔 𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟏

(𝟑𝟔 ) 𝟐

𝟗 𝟏

المانون تنتم لمحور السنات (𝟎 𝟑√)البإرة ∵ 𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

√𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝑎

𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝟗 𝟑

𝟑𝟔

𝟏𝟐

𝟑𝟔

𝟏𝟐 𝐤 𝟑

ـــنات والمسافة بن األصل وبإرتا على محور الســــص الذي مركز نمطة ـــة المطع النالـجد معادل (/31مثال )

وحدة . (𝟐)والفرق بن طول المحورن وحدات (𝟔) البإرتن الحل/

𝟐 𝟔 c 3

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟏 𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

ئ بإرته بإرة المطـــع المكافــــــل وأحدى لذي مركز نمطــــــة األصـــص اـــة المطع النالــجد معادل (/41مثال )

𝟐 وحدات . (𝟏𝟎)وطول محور الصغر ساوي 𝟎 𝟏𝟐 : من المطع المكافئ المعطى الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 ( البورة 3)

𝟑 (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏 البإرتان :المطع النالص ⇐

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟐𝟓 𝟗 2 𝑎 𝟑𝟒 2

𝟑𝟒

𝟐 𝑦

𝟐𝟓( معادلة القطع الناقص) 𝟏

بؤستخدام التعرف , جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : (/51مثال )

𝟔والعدد الثابت (𝟎 𝟐)𝟏 (𝟎 𝟐 )𝟐 . الحل/

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟑)

√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐)𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐

𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒)

𝟑√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟗 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓)

𝟗 𝟐

𝟓 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

مالحظة

لرسم لطع نالص ولكن المطع 𝟐

𝟐 نتبع الخطوات التالة : 𝟏

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن النمطتن ①

( 𝟎)𝟐 ( 𝟎)𝟏 نعن النمطتن ②

بالترتب حتى تكون منحن متصل 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 نصل بن النماط األربعة ③

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن البإرتن ④

(𝟐 تمارين(𝟐

واالخذتالفثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن والمطبذن والمركذز عذن كذل مذن البذإرتن والرأسذن /1 س

: نهمطع انىالصت انمبىت معادالتا ف كم مما أتالمركزي

ⓐ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

الحل/

(𝟏𝟐)

𝟏 𝑎 𝟏 2 𝑎 𝑏 𝟏

𝟐 2 b

√𝟐

𝟐𝒂 𝟐(𝟏) طىل انمحىرانكبير ) وحدة 𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐طىل انمحىرانصغير ) وحدة 𝟐√ )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟏

√𝟐

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐انمسافت بي انبؤرتيه ) وحدة 𝟐√ )

الرأسان (𝟎 𝟏 )𝟐 (𝟎 𝟏)𝟏

𝟏 𝟏

√𝟐 𝟎 𝟐

√𝟐 البؤرتان 𝟎

𝟏 𝟎 𝟏

√𝟐 𝟐 𝟎

√𝟐 القطبن(طرفا المحور الصغر)

االختالف المركزي

√𝟐

√𝟐 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر

ⓑ 𝟗 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟏𝟕

(𝟏𝟏𝟕)بالمسمة على الحل/

𝟏𝟑 𝟐

𝟗 𝟏 𝑎 𝟏𝟑 2 𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗 2 b 𝟑

𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ىرانكبيرانمح ) وحدة طىل )

𝟐 𝟐(𝟑) طىل انمحىرانصغير ) وحدة 𝟔 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐

𝟐 𝟐(𝟐) انمسافت بي انبؤرتيه ) وحدة 𝟒 )

الرأسان (𝟎 𝟏𝟑√ )𝟐 (𝟎 𝟏𝟑√)𝟏

البؤرتان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐) 𝟏

القطبن (𝟑 𝟎)𝟐 (𝟑 𝟎) 𝟏

االختالف المركزي

√𝟏𝟑 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر

: ؤتجد المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز ف نمطة األصل ف كل مما /2 س

وحدة (𝟏𝟐)وطول محور الكبر ساوي (𝟎 𝟓) و (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان )أ(

الحل/

𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟐𝟓

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏 𝟐

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟏𝟏( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟒 وتماطع مع محور السنات عند (𝟐 𝟎)البإرتان هما )ب(

الحل/

𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 ( البؤرتان تنتمان الى محور الصادات)

𝟐 (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 )تمثل المطبن وه 𝟒 عند مع محور السنات نمط التماطع 𝟏𝟔 ⇐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝒂 𝟐𝟎 𝟐

𝟏𝟔

𝟐 y

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

على الترتبوحدة 𝟏 𝟓 عددنمحور الكبر بال نهات أحدى بإرته تبعد عن ج()

الحل/

𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗 2

𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓

وهما :لمعادلة المطع النالص هنان حالتن

عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝟐 y

𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

عندما البإرتان تنتم لمحور الصادات

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

االختالف المركزي )د(𝟏

𝟐 وحدة طولة (𝟏𝟐) وطول محور الصغر

الحل/

𝟐 c 𝟐

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟑𝟔 𝟐

𝟒 𝟐 𝒂

𝟏𝟒𝟒 𝟐

4𝒂𝟐 44 𝒂𝟐 3𝒂𝟐 44 𝟐 𝟒𝟖

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝟒𝟖

𝟐 y

𝟑𝟔 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

وحدة (3)وحدات ونصف محور الصغر ساوي (𝟖)المسافة بن بإرته تساوي )هـ(

الحل/

𝟐 (𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2 9

𝟐 𝟖 𝟒 c2 6

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟗 𝟏𝟔 𝟐 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝟐𝟓

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

السنات عندما البإرتان تنتم لمحور

𝟐 y

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

: باستخدام التعرف جد معادلة المطع النالص أذا علم /3 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل (𝟑 𝟎)ورأسا النمطتان (𝟐 𝟎)إرتا النمطتان ب .

الحل/

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 ( حسب التعرف) 𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 √( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐(𝟑)

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐(𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒

𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒)

𝟑√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟗 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒𝟓 ( 45 )

5 𝑦2

9 ( معادلة القطع الناقص)

ⓑ والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذنات ومركذز فذ (𝟏𝟎)والعذدد الثابذت وحذدة (𝟔) المسافة بذن البذإرتن

.نمطة االصل

الحل/

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) 𝟑 𝟔 𝟐

الراسان(𝟎 𝟓 ) 𝟓 𝟏𝟎 𝟐

على تعرف المطع النالص وباالعتماد

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟓)

√( 𝟑)𝟐 𝟐 √( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎

√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

𝟐 𝟔 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐

𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒)

𝟓√( 𝟑)𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐𝟓 𝟑

𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)

25 𝑦2

6 ( معادلة القطع الناقص)

بإرتذذه هذذ بذذإرة المطذذع المكذذافئ ىجذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل واحذذد /4 س

𝟐 )الذي معادلته (𝟑√ 𝟑√𝟐)علما ان المطع النالص مر بالنمطة (𝟎 𝟖

: المطع المكافئ ف الحل/

𝟐 𝟖 ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ( البورة

المطع النالص :ف

𝟎 𝟐)البإرتان ) ( 𝟐 𝟎 𝟐 والمانون هو ( ⇐𝒙𝟐

𝟐 𝟏

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟑√ 𝟑√𝟐)النمطة

𝟐√𝟑( )

√𝟑( )

𝟐 𝟏

𝟏𝟐

𝟐 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟒 ①( ( وعىض في

𝟐 𝟑𝟏𝟐 (𝒃𝟐 𝟒 ) (𝒃𝟐 𝟒 𝟐 ) 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒃𝟐 𝟒𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟐)( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝟏𝟔

𝟐 𝒚

𝟏𝟐 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐 همل 𝟏

وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذنات ومذذذر جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل /5 س

(𝟐 𝟔) (𝟒 𝟑)بالنمطتن

المانون هو ⇐على محور السنات البإرتان ∵ الحل/𝒙𝟐

𝟐 𝟏

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟐 𝟔)النمطة ∵

(𝟔)𝟐

(𝟐)

𝟐 𝟏

𝟑𝟔

𝟐 𝟐 𝟏

𝟒 𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟒 𝟑)النمطة ∵

(𝟑)𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ②) 𝟐

وبحل المعادلتن انا بالطرح نحصل على المعادلة التالة

𝟐 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐𝟗 𝒂 𝟐 𝟐𝟗

①( ( وعىض في

𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝟐𝟗

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟗

𝟒 𝟐 𝟒 𝟏𝟖𝟎 𝟗

𝟒𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟐( 𝟐 ) 𝟐𝟎 𝟎 𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟓

𝟐 𝒚

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذ وبإرتذذذا لــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصـــــذذذـة المطذذذع النالــــــذذذـد معادلـــــذذذـج /6 س

𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟐

𝟐 )المنحن ∵ الحل/ 𝟐 𝟎 مطع المحور الصادي (𝟏𝟔 𝟑 ⇐

𝟐 𝟏𝟔 𝐲 𝟒

𝟒 𝟎)البإرتان ) (𝟎 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 والمانون هو ( ⇐𝒙

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

المعطىمن المطع المكافئ

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑

𝐱 𝐩 𝒙 دنيم انقطع انمكافئ 𝟑 وقطت انتماس (𝟎 𝟑 )

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟎 𝟑 )النمطة ∵

( 𝟑)

𝟐 (𝟎)𝟐

𝒂 𝟏

𝒃 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗

𝑎2 𝑏2 𝑐2 9 6 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝟐 𝒚

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

ل ــذـنات ومركذز فذ نمطذة األصـذــــــــتنتمذ الذى محذور الس الذذي بإرتذا د معادلة المطع النذالص ـــــــــج /7 س

𝟐 وطذذول محذذور الكبذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغر ومطذذع المطذذع المكذذافئ عنذذد النمطذذة التذذ 𝟎 𝟖

(𝟐 )احداثها السن

المانون هو تنتم لمحور السنات البإرتان ∵ الحل/ ⇐𝒙𝟐

𝟐 𝟏

طول المحور الكبر ضعف طول المحور الصغر ∵

𝟐 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

(𝟐 )المعطى نعوض لمة من المطع المكافئ

𝟐 𝟖 𝟎 𝟐 𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒

تنتم للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فه تحمك معادلة المطع النالص النقطتان (𝟒 𝟐 ) (𝟒 𝟐 )

( 𝟐)𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟒 𝟐

𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐

𝟐 𝟏

𝟏𝟔

𝟏 𝟏𝟕

𝟐 𝟏𝟕

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟏𝟕) 𝟐 𝟔𝟖

𝟔𝟖

𝟐 𝒚

𝟏𝟕ادلةمع القطع الناقص) 𝟏 )

𝟐 معادلته لطع نالص /8 س 𝟐 محوره نمطة االصل ومجموع مربع طول و مركز 𝟑𝟔

𝟐 واحد بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي معادلته (𝟔𝟎)ساوي ما لمة كل من 𝟑√𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟑√𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص √𝟑( 𝟎 √𝟑) ( 𝟎 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝒙𝟐

(𝟑𝟔

) 𝟏

𝒂 𝟐 𝟑𝟔

𝒉 𝟐

𝟑𝟔

𝟔𝟎مجموع مربع طول محوره = ∵

(𝟐 )𝟐 (𝟐 )𝟐 𝟔𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟓 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟐 3 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟗

𝒂 𝟐𝟑𝟔

𝟑𝟔 𝟒

𝒃 𝟐𝟑𝟔

𝟑𝟔 𝟔

دى بإرتذه هذ بذإرة المطذع ـــذـل واحـذـــــــة االصـــــــذـنمط الذذي مركذز ص ــذـة المطذع النالــذـد معادلـــذـج /9 س

𝟐 المكافئ .وحدة (𝟑𝟔)ومجموع طول محوره 𝟐𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑𝟔 𝒙

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃

𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏𝟖 )𝟐 𝟐 36 𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 36

𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟏𝟎𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

تنتمذ للمطذع النذالص والنمطذة (𝟎 𝟒)𝟐 (𝟎 𝟒 )𝟏 الذذي بإرتذه جذد معادلذة المطذع النذالص /10 س

1د / 0142وزاري .وحدة (𝟐𝟒) ساوي 𝟐 𝟏 بحث أن محــــــط المثلث

الحل/

𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)

𝟒 𝐂𝟐 𝟏𝟔

∵ النالص : وحدة وحسب تعرف المطع (𝟐𝟒)ساوي 𝟐 𝟏 محــــــط المثلث

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 (معادلة ① ) 𝟐𝟒

𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐(𝟒) ( المسافة بن البؤرتن) وحدة 𝟖

𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (حسب تعرف القطع الناقص )

نحصل على ما ل : وبالتعوض ف (معادلة ① )

𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 6 𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟖

⇐ بإرتا المطع النالص المانون (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 ) 𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝟐 𝟏

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

أمثلة أضافة محلولة جد معادلة المطع النالص الذي : لكل مما ؤت/ مثال

ⓐ األصل نمطة ومركز ( 𝟏𝟎 وحدات) الكبر المحور وطول (𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑 ) بإرتا

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

ⓑ األصل نمطة ومركز ( 𝟖 وحدات) الصغر المحور وطول (𝟔 𝟎) (𝟔 𝟎) رأسا

𝟐 𝟖 𝟒 𝟔

𝟑𝟔

𝟐 𝑥

𝟐 𝟑

𝟒 𝟒 𝟑 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓

𝟐𝟓

𝟐 𝑥

𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏

ⓓ ثم جد مساحته ومحطه (𝟎 𝟒 ) (𝟑 𝟎)ومر بالنمطتن األصل نمطة مركز

𝟒 𝟑 𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝑦

2 2 √

𝟏𝟔 𝟗

2 2 √

𝟐𝟓

2 (وحدة ) 𝟐√5

ⓔ 𝟖 𝟐نمطت تماطع المستمم ؤحدى مر بوأحد لطبه مركز نمطة األصل

( )ألجاد لم (𝟎 )ثم نجعل ( )جد لم نثم (𝟎 )ألجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖 ) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎 )

𝟖 𝟒 𝒙

𝟐 𝑦

𝟐( القانون ) 𝟏

𝟏𝟔

𝟐 𝑦

𝟔𝟒( معادلة القطع الناقص) 𝟏

ⓕ محذور وطذول (𝟏𝟎 وحدات)والبعذد الثابذت لذه السذنات محذور على نطبك الكبر ومحور األصل نمطة مركز

(𝟔 وحدات) الصغر

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

ⓖ ومركز نمطة األصل والنسبة بن طول محوره تساوي (𝟑 𝟎)أحدى بإرته(𝟒

𝟑 𝟐

𝟐 𝟒𝟓 𝒃

𝟒𝟓

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 6

𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒂 𝟐𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝒂𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔

𝟐𝟓

𝟐 𝑥

ⓗ المركزي واختالفه األصل نمطة ومركز (𝟎 𝟒) بإرته أحدى (𝟏

𝑎 𝟖 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝒃 𝟒𝟖 𝟐

𝟔𝟒

2 𝒚

𝟒𝟖( معادلة القطع الناقص) 𝟏

ⓘ والنسبة بن طول محوره ( 𝟐𝟒)مركز نمطة األصل وبإرتا تنتمان لمحور السنات ومساحته(𝟑

𝟐𝟒 𝑎 24

( معادلة ) 𝑏

𝟐 𝟑𝟖 3𝑎 8𝑏

𝑏 8

𝑏 8𝑏 𝟕𝟐 2 𝑏 𝟗 2 𝟑 𝟖

𝟔𝟒

2 𝒚

ⓙ وأحدى بإرته ه بإرة المطذع المكذافئ الذذي اإلحداثنمركز نمطة األصل ومحورا نطبمان على المحورن

𝟐 ) معادلته وطول محور الكبر ضعف طول محور الصغر (𝟎 𝟏𝟐

: من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 ( 3 ( البورة

:المطع النالص من

𝟑 (𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)البإرتان المانون هو ⇐ ⇐ 𝒙

𝟐 𝑦2

𝑎 𝟏

𝟐 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝟐 ( ) 𝟐 𝟗 2 𝟒 𝟐 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑

𝑎 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑) 2 𝑎 𝟏𝟐 2 𝒙

𝟐 𝑦

𝟏𝟐( معادلة القطع الناقص) 𝟏

ⓚ (𝟔 وحدات)والمسافة بن بإرته (𝟑 𝟎)مر بالنمطة

𝟐 𝟔 c 3

b 3 ( ألنه يمر بالنقطة)

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟗 𝒂𝟐 𝟏𝟖 (توجد معادلتن للقطع الناقص)

𝒙𝟐

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟏𝟖

𝟐 𝑦

𝟗( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

المركذزي والمحذط واالخذتالفالبذإرتن والرأسذن وإحذداثاتوالبعذد البذإري جذد طذول كذل مذن المحذورن / مثال

𝟐 𝟏𝟔المطع التالة والمساحة لمعادلة 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟏𝟔 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) (𝟒)𝟐 𝟐 (المحور الكبر ) وحدة 𝟏𝟎 (المحور الصغر ) وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) (البعد البؤري) وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) (𝟎 𝟑) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

االختالف المركزي 𝟓

2 2 √

𝟐𝟓 𝟏𝟔

22 √

𝟒𝟏

2 (وحدة )

𝟐 لذذذذتكن / مثذذذذال 𝟐 والنسذذذذبة بذذذذن طذذذذول (𝟎 𝟑)معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتذذذذه 𝟒𝟎𝟎

محور الكبر ومحور الصغر 𝟒

𝟓 فجد لم كل من

انحم /

𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

(𝟒𝟎𝟎 )

البإرة تنتم لمحور السنات ∵

𝟑 المانون 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟏 ⇐

𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟓 𝑏

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝟐𝟓 𝟐 𝟗

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔 2

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟐𝟓 𝟏𝟔

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐𝟓

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

والذذذذي كذذذون البعذذذد بذذذن بإرتذذذه مسذذذاوا للبعذذذد ( 𝟖𝟎)جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مسذذذاحته /مثذذذال

𝟐 )بن بإرة المطع المكافئ ودلله (𝟎 𝟐𝟒

من المطع المكافئ انحم /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

4p 24 p 6 2|p| 2

2 2 c 6 𝑐2 36

: المطع النالص من

𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

(معادلة ) 2

𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝑎 𝟑𝟔

2 𝟒 𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎 2

(𝑎2 )( 𝑎2 ) 𝟎 64

either 𝑎2 𝟐 𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2 يهمم 64

𝒙𝟐

𝟏𝟎𝟎

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟔𝟒

𝟐 𝑦

𝟏𝟎𝟎( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

أذا كانت /مثال 𝟐

𝟑 𝟐 الذذي النذالص المطذع معادلذة جذد (𝟐 𝟏 ) بالنفطذة مذر دلله مكافئ لطع معادلة 𝟎

محوره بن النسبة طول ومربع ( 𝟎) بإرته أحد𝟑

نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السن لذا فؤن معادلة الدلل له من المطع المكافئالحل /

( [ 𝟏] 𝟏 ألنه مع على المحور السن (

𝟐 (𝟑 𝟐) ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2

والمانون هو (𝟐 𝟎) (𝟐 𝟎)بإرتا :المطع النالص من 𝟐

𝟐 𝟏

𝟒 𝟐

𝟒 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

ومذر خذالل (𝟎 𝟔√)𝟐 (𝟎 𝟔√ )𝟏 مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا جد معادلة المطع النذالص الذذي /مثال

𝟐 بإرة المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎

من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏)نضف

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐

𝟐( )بانمماروت مع انمعادنت انماست نهمطع انمكافئ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟏 𝟏 ( ) انرأس(𝟏 𝟏 )

𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( ) 𝐹 𝟐( ( (تحقق معادنت انقطع انىاقص)

لص :من المطع النا

𝟐 المانون هو (𝟎 𝟔√) (𝟎 𝟔√ ) بإرت المطع النالص ∵ 𝟔 𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

)𝟐انىمطت ( تحمك معادنت انمطع انىالص ألو مز با ) بؤرة انمطع انمكافئ (

𝟐 𝟏

(× 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟐 ( معادلة ① ) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟔

𝟒 𝟐 𝟐 𝟔 ( 𝟐 𝟔) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟎

(𝒃𝟐 )(𝟑 𝒃𝟐 ) 𝟎 𝟐

𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2 2 𝟐 𝟖 𝑜𝑟 𝑏2 يهمم 3

𝟐 𝑦

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

ورن للمطذذذذذذع حذذذذذذالمجذذذذذذد أحذذذذذذداث البذذذذذذإرتن والرأسـذذذذذذـن والمطبذذذذذذن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن /مثذذذذذذال

𝟐 𝟒) النالص 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 ؟ eثم جد لمة (𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود انحم /

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐 𝟐 ) 𝟗( 𝟐 𝟒 ) 𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىالصالى طرف معادلة المطع (𝟒𝟎)بإضافة

𝟒( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏)𝟐 𝟗( 𝟐)𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

( 𝟏)𝟐

𝟗 ( 𝟐)𝟐

𝟒 معادلة القطع الناقص 𝟏

بانمماروت مع انمعادنت انماست نهمطع انىالص ( )𝟐

( )𝟐

𝟐 وحصم عه 𝟏

𝟏 𝟐 ( ) مركز القطع الناقص (𝟐 𝟏)

𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒 𝑎 b 2 𝟐 5 𝑐 √5

𝟐 𝟐(√ ) 5 2√ 5 وحدة انمسافت بي انبؤرتيه ) )

𝑦 𝑘 𝑦 𝑥 (معادنت انمحىرانكبير) 2 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانصغير)

(ℎ ) 2(ℎ ) ( √ 2) 2( 5 √ 5 انبؤرتان (2

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (2 2 )2 (2 4)

االختالف المركزي √

3 𝟏

المركذزي االخذتالفوممذدار جذد أحذداث البذإرتن والرأسذن والمطبذن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن /مثال

ومحذور الكبذر ذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتذه تبعذد عذن (𝟒 𝟏)ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز

وحدة طول 10 ,2الرأسن بالبعدن

𝟐انفزق به انبعده 𝟐مجمع انبعده ∵انحم /

𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒

انمعادنت انماست نهمطع انىالص ⇐ محري انكبز اس محر انصاداث ∵ ( )𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟎 𝟏 𝟒

( 𝟏)𝟐

𝟐𝟎 ( 𝟒)𝟐

𝟑𝟔دلةمعا القطع الناقص 𝟏

𝟐 𝟐( ) 4 8 وحدة انمسافت بي انبؤرتيه ) )

𝑥 ℎ 𝑥 𝑦 (معادنت انمحىرانكبير) 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانصغير) 4

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (8 )2 ( )

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان ( )2 (2 )

االختالف المركزي 𝟔

𝟑 𝟏

******************************************************************

للمطذوعواالخذتالف المركذزي المحذورن مذن كذل ومعادلذة طذول و والمطبذن والرأسذن البذإرتن أحداث جد : 1س

التالة :النالصة

( ) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔

( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟑𝟎𝟎

:ة المطع المكافئ الذي معادلبؤستخدام التعرف جد : 2س

.ومركز نمطة االصل (𝟎 𝟔 )ورأسا النمطتان (𝟎 𝟑 )بإرتا النمطتان ) أ ( ه ـــــــــــــــــأحد بؤرت تبعد عه انزأس ومركز نمطة االصلبإرتا تمعان على محور السنات ) ب (

. حدة طل 8 ,2بانبعده

) الرأس ف نمطة األصل ( : لمطع الزائد:ا

تسذمى تكون الممة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتن ثذابتتن الت ( ) تويــالمس نماط ةـــمجموع هو

( 𝟐) ) البإرتن ( ساوي عددا ثابتا لمته

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

| 𝟏 𝟐| ( حسب تعرف القطع الزائد) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 (𝒚 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 𝟐 √( )𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝒚 𝒚

(𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝒚

𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝒚

√( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

والمعادلة (𝟎 ) (𝟎 )وبإرتا ه (𝟎 ) (𝟎 )هما دئـزارأسا المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐 𝟏

الذي بإرتا تنتمان لمحور الصادات وه زائدبنفس األسلوب مكننا أجاد معادلة المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐 حث أن 𝟏

( 𝟎) ( 𝟎)وبإرتا ه ( 𝟎) ( 𝟎)هما زائد رأسا المطع ال

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐 حممطول المحور ال ②

𝟐 المرافكطول المحور ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

)االختالف المركزي ⑤

(𝟏 )حث الحظ أنه كون (

𝟐 دائما كون ⑥ 𝟐 𝟐

( )وتمثل لمة س المطع الزائدأر تمثلمر بها المطع الزائد على احد المحورن و تمع تال ةالنمط ⑦ (منتصف المطر البإري تسمى المسافة بن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتم للمطع ) ⑧

عن البإرتن والرأسن وطول كل من المحورن الحمم والمرافك للمطع الزائد (/61مثال ) 𝟐

𝟔𝟒

𝟑𝟔 𝟏

الحل/

𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 طىل انمحىر انحقيقي وحدة 𝟏𝟔

𝟐 𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 طىل انمحىر انمرافق وحدة 𝟏𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎

𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) رأسا انقطع انزائد

𝑷𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷𝟐(𝟎 𝟔) قطبا انقطع انزائد

𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) بؤرتا انقطع انزائد

𝟔جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمم (/17مثال ) ـتالف وحدات واالخ والبإرتان على محور السنات (𝟐)المركزي ساوي

الحل/

𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂𝟐 𝟗

𝟑 𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟐𝟕

𝟗 𝟐

𝟐𝟕 معادلة القطع الزائد 𝟏

ـما هــــبإرتا ووحدات (𝟒)وطول محور المرافك جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل (/18مثال )

(𝟖√ 𝟎)𝟐 (𝟖√ 𝟎)𝟏 النمطتان

تنتم لمحور الصاداتالبإرتان ∵ الحل/

المعادلة الماسة للمطع الزائد ه 𝒚𝟐

𝒂 𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒 𝟐

√𝟖 𝒄 𝟖 𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐

𝟒 معادلة القطع الزائـد 𝟏

أعال نالحظ أن طول المحور الحمم مساو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع (18)المثال ف

( ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفه كون ضالع بالمطع الزائد المائم او متساوي األالزائدة دعى )

. ( 𝟐√)ممدار ثابت لمته ( )المركزي االختالف

(𝟐 تمارين(𝟑

االتت : شائدةنهمطع انعن كل من البإرتن والرأسن ثم جد طول كل من المحورن واألختالف المركزي /1 س

ⓐ 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒𝟖

(𝟒𝟖)ومسم طزف انمعادنت عه /الحل

𝟒 𝟐

𝟏𝟐 𝟏

𝑎 𝟒 2 𝑎 2 2𝑎 وحدة 4 طىل انمحىر انحقيقي

𝑏 𝟏𝟐 2 b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 وحدة طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐)𝟏

𝟐 االختالف المركزي 𝟏 𝟐

ⓑ 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒

(𝟏𝟒𝟒)ومسم طزف انمعادنت عه الحل/

𝟗 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 9 2 𝑎 3 2𝑎 وحدة 6 طىل انمحىر انحقيقي

𝑏 𝟏𝟔 2 b 𝟒 2𝑏 وحدة 8 حىرانم انمرافق طىل

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟓

البؤرتان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏

𝟑 االختالف المركزي 𝟏

الحاالت التالة ثم ارسم المطع : معادلة المطع الزائد ف أكتب /2 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل 𝟑 وتماطع مع محور السنات عند (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان.

الحل/

⇐ بإرتا المطع الزائد ∵ المانون 𝟓 ( 5) 2 ( 5 ) ⇐𝒙𝟐

𝟐 𝟏

𝟑 المطع الزائد تماطع مع محور السنات عند ∵

𝟐 ( 3) ( 3 )الراسان ∴ 𝟗 ⇐

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

ⓑ وحذذذذدات ونطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى (𝟏𝟎)وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك (𝟏𝟐)طذذذذول محذذذذور الحممذذذذ

.المحورن االحداثن ومركز نمطة االصل

الحل/

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃𝟐 𝟐𝟓

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 25 36 𝑪𝟐 𝟔𝟏

-: د وهما ـــــــن للمطع الزائـــــــان حالتــــهن ∴

عندما وازي محور السنات عندما وازي محور الصادات

𝑭𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) الرأسان

𝑽𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽𝟐(𝟎 𝟔) البؤرتان

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝑭𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) الرأسان

𝑽𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽𝟐( 𝟔 𝟎) البؤرتان

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏

(𝟑)ساوي

المانون ⇐ بإرتا المطع الزائد تنتم لمحور الصادات ∵ الحل/ 𝒚𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃𝟐 𝟐

𝟑 𝒄 𝟑𝒂

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟗𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟐

𝟖𝒂 𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝟏

𝟒 𝑪𝟐

(𝟎 ) 𝟎 𝟑

𝟐 𝟎

𝟐 البؤرتان

(𝟎 ) 𝟎 𝟏

𝟐 𝟎

𝟐 الراسان

𝟐( معادلة القطع الزائد) 𝟏

2د / 2013 /وزاري

ونطبذك (𝟎 𝟐√𝟐)(𝟎 𝟐√𝟐 )جد باستخدام تعرف المطع الزائد الذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتذه /3 س

وحدات (𝟒)حداثن والممة المطلمة للفرق بن بعدي اة نمطة عن بإرته ساوي محورا على المحورن اال

الحل/

𝟐 𝟒 𝒂 𝟐

للمطع الزائد ( ) نفرض ان النمطة

| 𝟏 𝟐| (من تعرف القطع الزائد) 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟐√𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟒

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 𝟐 ( 𝟐√𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐

𝟖√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖)

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐√

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 ] ( 𝟒) 𝑥2

4 𝑦2

4 معادلة القطع الزائد

وحدات واحدى بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة (𝟔)محور الحمم طول لطع زائد /4 س

. جد معادلت المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)االصل ومر بالنمطتن

1د / 2014وزاري 3د / 2013وزاري . الزائد الذي مركز نمطة االصل

:من المطع المكافئ الحل/

تنتم للمحور السنن لذا فالبإرة ــمتناظرة مع المحور الس (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)النمطتان ∵

𝟐 )والمانون 𝟒 )

تحمك معادلة المطع المكافئ ) ألنه مر بها ( (𝟓√𝟐 𝟏)النمطة ∴

𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 ( البؤرة 𝟎 𝟓)

𝟐 ( معادلة القطع المكافئ ) 𝟐𝟎

:الزائدالمطع ف

𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗 𝟐

⇐بإرتا المطع الزائد ∵ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎) 𝟐 ⇐المانون 𝟐𝟓 𝒙𝟐

𝟐 𝟏

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐 ومعادلتذه ل ـــــــــذـمركذز نمطذة االصلطذع زائذد /5 س 𝟐 (𝟐√𝟔)وطذول محذور الحممذ 𝟗𝟎

𝟐 𝟗ه ـوحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرت المطذع النذالص الذذي معادلتذ 𝟏𝟔 𝟐 ة كذل ـــــذـد لمــذـج 𝟓𝟕𝟔

الت تنتم الى مجموعة االعداد الحممة من

: نالصمن المطع ال الحل/

𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔) 𝟐

𝟔𝟒

𝟑𝟔 𝟏

𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟖 𝟐√𝟕

( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 )بإرتا المطع النالص : زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟕√𝟐 ( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 ) ⇐𝒙𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟎 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟎 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗𝟎 𝟐

(𝟗𝟎 )

(𝟗𝟎 ) 𝟏

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟐 𝟗𝟎

𝟏𝟖 𝟓

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟏𝟎 𝟗

د راسذذه بعذذد عذذن البذذإرتن ـــذذـاذا علمذذت ان اح لـــــذذـاكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص /6 س

3د / 2012وزاري . نبك محورا على المحورن االحداثوحدات على الترتب ونط 𝟗 𝟏 بالعددن

الحل/

𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄𝟐 𝟐𝟓

𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂𝟐 𝟏𝟔

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗 𝟐

الن لمعادلة المطع الزائد ـــــــــــــهنان أحتم ∴

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد سنة 𝟏

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد صادة 𝟏

𝟐 جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته /7 س 𝟑 𝟐 والنسبة 𝟏𝟐

بن طول محوره 𝟓

𝟑 3د / 2013وزاري . ومركز نمطة االصل

: زائدمن المطع ال الحل/

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐) 𝟐

𝟏𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

( 𝟒) ( 𝟒 ) زائدبإرتا المطع ال ∴

:لنالص المطع ا من

⇐ نالصبإرتا المطع ال المانون 𝟒 ( 𝟒) ( 𝟒 ) ⇐𝒙𝟐

𝟐 𝟏

𝟐𝟓

𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟐 𝟏𝟔

( 𝟗) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟗

2 25 2

25 (9)

9 2 25

9 معادلة القطع الناقص

𝟐 تنتم الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته ( 𝟔) النمطة /8 س 𝟑 𝟐 جد كال من: 𝟏𝟐

ب. طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم ف الجهة المنى من النمطة لمة . أ

تنتم الى المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∵ )أ( الحل/

𝟐 )تحمك معادلة المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∴ 𝟑 𝟐 𝟏𝟐)

(𝟔)𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 24 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖 L 2√ 2

𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐)

: زائدمن المطع ال )ب(

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟐

𝟏𝟐 𝟐

𝟒 𝟏 𝟐 𝟐𝟏𝟐 𝟒

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 احداث البؤرة االمن (𝟎 𝟒)

𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐

𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐

1د / 5201وزاري 2د / 4201وزاري 1د / 2011وزاري

ه ـالذذذذذي معادلتذذذذالنذذذذالص المطذذذذع ا بذذذذإرتــــذذذذـالذذذذذي بإرتذذذذا همالزائذذذذد جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع /9 س 𝟐

𝟐𝟓 𝟏

𝟐 ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟎

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒

𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑

𝐲 𝟑 ( معادلة الدلل )

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟐 𝟒

(𝟎 𝟒 ( البؤرتان (𝟒 𝟎)

:زائدالمطع المن

وه راس المطع الزائد (𝟑 𝟎)دلل المطع المكافئ مطع المحور الصادي عند النمطة ∵

𝟑 𝟐 𝟗

⇐ بإرتا المطع الزائد (𝟎 𝟒 المانون 𝟒 ( (𝟒 𝟎) ⇐𝒚𝟐

𝟐 𝟏

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟕 𝟐

𝟗 𝟐

𝟕دالزائ 𝟏 معادلة القطع

أمثلة أضافة محلولة

وطذذول المحذذور ادات ـــذذـوالبإرتذذان علذذى محذذور الصل ــــذذـجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص/ مثذذال

𝟏𝟔الحمم له والنسبة بن المسافة بن بإرته وطول محور الحمم 𝟓

الحل/

𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂𝟐 𝟔𝟒

𝟐 𝟓

𝟖 𝟓

𝟒 𝐜 𝟏𝟎 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرته بإرة المطع المكافئ / مثال وطول محور المرافك 𝟐𝟎

ساوي البعد بن بإرت المطع النالص 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟎 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ( البؤرة

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟕 𝟐 √𝟕 البعد البؤري 𝟕√𝟐 𝟐

: زائدالمطع ال من

𝟐 طول المحور المرافق 𝟕√𝟐 √𝟕 𝟐 𝟕

⇐ بإرتا المطع الزائد 𝟎( 𝟓 𝟎) ( المانون 𝟓 ( 𝟓 ⇐𝒚𝟐

𝟐 𝟏

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟕 𝟐 𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟕لزائدا 𝟏 معادلة القطع

(𝟔 𝟑) (𝟐√𝟑 𝟎)جد معادلة المطع الزائد الذي مر بالنمطتن / مثال

الحل/

لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولمذذذذذذذذة (𝟐√𝟑 𝟎)مذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ∵

والمانون هو (𝟐√𝟑 )𝒚𝟐

𝟐 𝟏

تنتم للمطع الزائد لذا فه تحمك معادلته النقطة (𝟔 𝟑)

( 𝟔)𝟐

𝟑√𝟐( )

(𝟑)

𝟐 𝟏

𝟏 𝟑𝟔

𝟏𝟖

𝟗 𝟐

𝟐 𝟏

𝟗 𝟐

𝟏 𝟗

𝟐 𝟗

𝒚𝟐

𝟏𝟖

𝒙𝟗لةمعاد القطع الزائد) 𝟏 )

ا المطذذع النذذالص ـــــــــذذـبإرتذذا رأسجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي /مثذذال 𝒙

𝟏𝟎𝟎

𝟐 𝒚

𝟔𝟒ور ــــذذـوطذذول مح 𝟏

وحدة (𝟏𝟐)الحمم

: نالصمن المطع ال /الحل

𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 راسا القطع الناقص (𝟎 𝟏𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 )

: زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟏𝟎 ( ) ( ) ⇐𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒ئدالزا 𝟏 معادلة القطع

ل محذذور تنتمذذ لمحذذور الصذذادات وطذذوجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل و بإرتذذا : 1س

𝟐 )البعذد بذن بذإرة المطذع المكذافئ المرافك سذاوي ودللذه وطذول محذور الحممذ ثالثذة امثذال طذول ( 𝟏𝟐

محور المرافك

الذذذذي جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 2س

𝟗𝒚)معادلته 𝟏𝟔𝟐 𝒙 ( وحدة طول (𝟏𝟔)ومجموع طول المطع النالص 𝟏𝟒𝟒𝟐

لطعذذذان مخروطذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا مذذذر ببذذذإرة االخذذذر . فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة : 3س

𝟐 )احدهما 𝟐 فجد معادلة االخر (𝟑

وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور (𝟏 𝟑)( 𝟏 𝟑)الذذذذذذذذذي مذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتن جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص : 4س

وحدة (𝟐𝟓)الكبر ساوي

الذي معادلته بإرة المطع النالص و أحدى بإرتا هجد معادلة المطع الزائد الذي مركز ف نمطة االصل : 5س

𝟑𝟔

𝟐 𝒚

𝟐𝟎𝟐 وأحد رأسه ه بإرة المطع المكافئ 𝟏 𝟖 𝟎

الذذذذي جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذ بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 6س

𝟖𝒚)معادلته 𝟐 𝒙 𝟐 )ومس دلل المطع المكافئ 𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟔 𝟎) )

𝒚)لذذذذذذذذتكن : 7س 𝟐 𝒙 لص معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذا 𝟑𝟐 )

فجد لمة (𝟔√ 𝟎)والذي احد بإرته (𝟐 𝟏 )الذي مر بالنمطة

𝟓𝒚)لذذذذذتكن: 8س 𝟒𝟐 𝒙 الذذذذذذي معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتذذذذذه هذذذذذ بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ 𝟐 )

𝟐 𝟓√ 𝟒)معادلته فجد لمة (𝟎

) لذذذذذذذتكن: 9س 𝒙 𝟐 𝑵𝒚 معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتذذذذذذذه هذذذذذذذ بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟗𝟎𝟐 )

𝟐 𝟗)الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه 𝟏𝟔𝒚 𝟐√𝟔 وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحممذذذذذذذذذذذ (𝟓𝟕𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لمذذذذذذذذذذذة 𝟐

𝟓𝒚)لذذذذذذذذتكن : 10س 𝟒𝟐 𝒙 معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟐 )

𝟐 𝟓 𝟒)الذي معادلته المكافئ فجد لمة (𝟎

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الثان

3د / 2014وزاري ل ولطع زائد نمطة تماطع محوره نمطة األصذل أحذدهما مذر ببذإرة األخذر ـــــــلطع نالص مركز نمطة األص / 3س

𝟐 𝟗فؤذا كانت 𝟐𝟓 𝟐 :معادلة المطع النالص فجد 𝟐𝟐𝟓 مساحة المطع النالص . )ب( محط المطع النالص .)أ(

)ج( معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . )د( األختالف المركزي لكل منهما . )أ( /الحل

𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 225)

𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟏

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓 𝝅 وحدة مربعة

المحط 𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐𝝅√

𝟐𝟓 𝟗

𝟐 𝟐 𝝅√

𝟑𝟒

𝟐 وحدة 𝟏𝟕√ 𝟐

من المطع النالص :)ج(

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝟐 𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝐜 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

: من المطع الزائد

المطع الزائد مر ببإرة المطع النالص

البؤرتان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓) الرأسان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒)

𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟗

𝟏𝟔

𝟗معادنت انقطع انزائد 𝟏

𝟓 األختالف المركزي للقطع الناقص 𝟏

𝟒 األختالف المركزي للقطع الزائد 𝟏

3د / 2015وزاري 2د / 2011وزاري

احة ـــذذـنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـــذذـبإرتذذا تنتمذان لمحذذور الس الذذذينذذالص المطذذع ة الجذد معـــــذذـادل / 4س

.وحدة 𝟏𝟎وحدة مربعة ومحطه ساوي 𝟕منطمته

/الحل

𝒂𝒃 𝟕 𝝅 𝒃 𝟕

𝒂 ( معادلة ① )

𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅√

𝟐 𝟐

( 𝟐 ) 𝟓 √

𝟐 𝟐

𝟐 ( معادلة ② )

نحصل على : ②ف المعادلة ①بتعوض المعادلة

𝟓√

𝟕 𝟐

𝒂 𝟓

√ 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐( تربيع الطرفين )

𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐 𝟓𝟎 𝟐

𝟒𝟗

𝒂𝟐

( نضرب طرف المعادلة ب 𝟐 ) 𝟓𝟎 𝟐 𝟒 𝟒𝟗

𝟒 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒𝟗)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟒𝟗

𝟐 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟕 𝟒𝟗

𝒃 𝟕

𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝟕

𝟒𝟗

𝟏معادنت انقطع انىاقص 𝟏

𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟏 𝟏

𝒃 𝟕

𝒂 𝟕 همل 𝟕

.ف المطع النالص ( )ر من لمة كبأجب أن تكون ( )ألن لمة

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الثان

1/د98سإال وزاري

𝟐 لطع زائد معادلته 𝟐 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرت المطذع 𝟐√𝟔وطول محور الحمم 𝟗𝟎

𝟐 𝟗النالص الذي معادلته 𝟏𝟔 𝟐 .k ,hجد لمة 𝟓𝟕𝟔

الحل:

: الناقصف القطع

[9 2 6 2 576] 576

2 64 2 36

2 2 2 64 36 2

2 28 2√7

( 7√2 ) ( 7√2) البؤرتان

( 7√2 ) ( 7√2) الزائد : البؤرتان ف القطع

c 2√7 2 6√2 3√2

2 2 2 8 2 28 2

ℎ 2 2 9 ] 9 2

8ℎ 9 ℎ 5

)النمطة 𝟏

𝟑تنتم إلى المطع المكافئ الذي رأسه ف نمطة األصل وبإرته تنتم إلى محور السنات والت هذ (𝟐

النسبة بن طول محوره , احدى بإرت المطع النالص𝟓

𝟒 جد معادلة كل من المطعن المكافئ والنالص. ,

الحل:

2 : المكافئ 4 (2)2 4 (

البؤرة ( 3) 3

2 4(3) 2 2

3 ⇐ الناقص البؤرتان هما ( 3 ) ( 3)

2 2 2 25 2

6 2 9 ] ( 6)

25 2 6 2 44 9 2 44

معادلة القطع الناقص 2

𝟐 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرت المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟑 𝟐 والنسذبة بذن 𝟏𝟐

طول محورة 𝟓

الحل:

2 الزائد: ف المطع 3 2 2( 2)

2 2 2 4

2 2 2 2 2 4 2 6 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ البؤرتان ( 4) ( 4 )الناقص: ف القطع

2 2 2 25 2

2 6 25 2 9 2 44

6 2 44 2 9 3 5( )

قصمعادلة القطع النا 2

𝟐 𝟑جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرت المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟎

النسبة بن طول محور الحمم والبعد بن بإرته تساوي و𝟏

الحل:

2 3 النالص: ف المطع 5 2 2 ( 2 )

2 2 4 2 24

2 2 2 2 4 24 2 6 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ ( 4) ( 4 )الزائد: البؤرتان ف القطع

2 2 4 2

2 2 2 4 2 6 2 2

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذن المكذافئن: 𝟐𝟎 𝟐 والفذرق بذن 𝟐𝟎

وحدة. 2طول محوره الحمم والمرافك =

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5 ) البؤرة ( 5)

5 ⇐( 5,0-( , )5,0البؤرتان ) :ف المطع الزائد

2 2 2 ( 2)

2 2 2 ( )2 2 25 2 2 2 25

2 2 2 24 ( 2) 2 2

( 4)( 3)

4 همل 4

( 8جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذنات والمسذافة بذن بإرتذه تسذاو )

وحدة. 16وحدات ومجموع طول محوره

4 8 2 الحل:

2 2 6 8 8

2 2 2 (8 )2 2 6 64 6 2 2 6

6 48 3 8 3 5

معادلة القطع الناقص

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟗 𝟐 والنسذبة بذن طذول محذور الحممذ 𝟑𝟔

إلى البعد بن بإرته = 𝟏

الحل:

النالص ف المطع 2

2 36 6

الرأسان ( 6) ( 6 )

البؤرتان ( 6) ( 6 ) c ⇐ ف القطع الزائد 6

2 2 6 3

2 2 2 9 2 36 2 27

𝟐 لطع نالص معادلته 𝟒 𝟐 جد طول كل من محوره وأحداث كل من بإرته ورأسه. 𝟒

الحل:

2 4 2 4( )

2 2(2) طول المحور الكبر 4

2 2( ) طول المحور الصغر 2

الرأسان ( 2) ( 2 )

2 2 2 4 2

2 3 √3

البؤرتان ( 3√) ( 3√ )

1/ د2004سإال وزاري

( 5,0-( واحد بإرته )3,0معادلة المطع المخروط الذي محورا محوري االحداثات والذي احد رإوسه )جد

الحل:

2 2 2 9 2 25 2 ( ألن ) القطع الزائد 6

معادلة القطع الزائد

لطع زائد ولطع نالص احدهما مر ببإرت اآلخر. جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص ه 𝟐

𝟐𝟓

𝟗 علما أن محورهما على محوري االحداثات. 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 25 5 الرأسان ( 5) ( 5 )

2 9 2 2 2

25 9 2 2 البؤرتان ( 4) ( 4 ) 4 6

4 ⇐ لزائدا الرأسان ( 4) ( 4 ) ف القطع

5 ⇐ البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 2 2 6 2 25 2 9

( ثم جد معادلة دلله.3,6( , )3,6-جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات

2 4 (3)2 4 (6) 9 24

2 معادلة القطع المكافئ

معادلة الدلل

2/ د2006سإال وزاري

( ثم جد معادلة دللة.1,3( , )3-,1جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع السن وفتحة القطع إلى المن. القطع متناظر حول محور السنات

(3)2 4 ( ) 9 4

4 2 معادلة القطع المكافئ 9

معادلة الدلل

المطذذع الزائذذد ( وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا8جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذن بإرتذذه ) 𝟐

𝟏𝟔

𝟗 𝟏 .

الحل:

الزائدف المطع 2

2 6 2 9

2 2 2 6 9 2 2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

4 ⇐ ف القطع الناقص 8 2

5 ⇐ الرأسان هما ( 5) ( 5 )

2 2 2 25 2 6 2 25 6 2 9

𝟐 لتكن 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرته بإرة المطع المكافئ 𝟑 .hجد لمة 𝟖

الحل:

8 4 المكافئ:ف المطع البؤرة ( 2) 2

c 2 ⇐ البؤرتان ( 2) ( 2 ) ف القطع الزائد

2 ℎ 2 3

2 3 2 3

2 2 2 3

جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟐

𝟒𝟏

𝟏𝟔 ( وحدات.8وطول محور المرافك ) 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 4 2 6 2 2 2 2 4 6

2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

5 ⇐ ف القطع الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4 2 2 2 2 6 25

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 2 2 2 6 25 2 9

1/د 2008سإال وزاري

𝟐 𝟒لطع نالص معادلته 𝟐 𝟐 .Lوحدة. جد لمة 𝟑√𝟐والبعد بن بإرته =

3√2 2 الحل: √3

4 2 2 2 ] 2

𝟐 𝟗جد معادلة المطع النالص الذي مر ببإرت المطع الزائد 𝟏𝟔 𝟐 ومطع من محور السنات جزءا 𝟏𝟒𝟒

( وحدة.12طوله )

الحل:

2 9 الزائد: ف المطع 6 2 44 ( )

2 6 2 9

2 2 2 6 9 2 2 25 5

البؤرتان (5 ) (5 )

6 2 2 5 النالص:ف المطع

25 معادلة القطع الناقص

جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورن االحداثن ومر ببذإرة المطذع المكذافئ

𝟐 وحدة مربعة. 𝟐𝟎ومساحة منطمة المطع النالص 𝟏𝟔

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 6 4 6 4

البؤرة ( 4)

2 2 : النالصف المطع 2

ما تمثل رأس أو لطبأ( 4,0النمطة ) ( 4,0المطع النالص مر بالنمطة )

اوهذ غر ممكن 5

b 4 4 2

والمطع من النوع الصادي

𝟐 𝟑 𝟐 مع محور الصادات علما أن مساحة 𝟑√ 𝟐لطع نالص مر بنمطة تماطع المستمم

حث بإرتذا تنتمذان لمحذور السذنات ومركذز نمطذة وحدة مساحة. جد لمة 𝟑√𝟐منطمته تساوي

االصل.

3√ 2الحل: المستمم:

y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ عندما

نقطة التقاطع (3√ )

𝟑√ ⇐بما أن المطع من النوع السن النالص: ف المطع

ℎ 2 3 2 2

( ألن القطع من النوع السن)

2√3 2√

3ℎ 2 ℎ 4

1/ د2012وزاري

16جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السنات ومجموع طول محوره =

𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرت المطع الزائد الذي معادلته 𝟐 𝟐 𝟔

الحل:

2 المطع الزائد: ف 2 2 6

2 6 2 3

2 2 2 6 3 2 2 9 3

البؤرتان ( 3 ) ( 3)

c البؤرتان المطع النالص:ف 3 ⇐ (3 ) ( 3 )

2 2 6 2 8 8

2 2 2 (8 )2 2 9 64 6 2 2 9

6 64 9 6 55 55

2/د2012وزاري جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل ونطبك محورا على المحورن االحداثن ومطع من محور

وحدة مساحة. 𝟐𝟒وحدات ومساحة منمطته 8السنات جزءا طوله

24 24 الحل: 2

وحدات فؤن هذا الجزء أما مثل طذول المحذور الكبذر ( 8)بما أن المطع النالص مطع من محور السنات جزا طوله الكبر فكون:أو طول المحور الصغر. فؤذا كان هذا الجزء مثل طول المحور

2 8 4 2

دائما ف المطع النالص. لذا فؤن الجزء الممطوع مثل طول المحور الصغر: وهذا غر ممكن ألن

2 8 4 6

والمطع من النوع الصادي:

1/د2013وزاري

, جد معادلته. 2واختالفه المركزي = (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒)𝟏 لطع مخروط بإرتا

الحل:

4 ⇐ ⇐ القطع زائد الن 2

2 2 2 4 2 6 2 6 4 2 2

2/د2015وزاري

– 𝟐 𝟓لتكن 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓√ 𝟒لطذع زائذد أحذدى بإرتــذـه هذ بذإرة المطذع المكذافئ معادلة 𝟎

. جد لمة

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟒 √𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐 𝟒

√𝟓

𝟐 𝟒 𝟒 𝟒

√𝟓

√𝟓 𝟎

√𝟓 البؤرة

𝟎) البإرتانف المطع الزائد : 𝟏

√𝟓 ) (𝟎

√𝟓 ) ⇐ c =

√𝟓

𝟓 𝟐 – 𝟒 𝟐 ( )

𝟏 𝟐

𝟓 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 [𝟏

𝟒 ]

(×𝟐𝟎) 𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒

2/د2015وزاري

وحذذذذذدة مسذذذذذاحة 𝟑𝟐جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات , مسذذذذذاحته

والنسبة بن طول محوره 𝟏

الحل:

𝟐 𝟐

𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖

𝟐 𝟏

𝟔𝟒

𝟏𝟔 معادلة المطع النالص 𝟏

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 2 2 2 6 25 2 9

جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوا لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن

𝟐 دلله 𝟐 𝟖𝟎, أذا علمت أن مساحة المطع النالص 𝟎 𝟐𝟒

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 ( بالمقارنة مع) 𝟐𝟒 𝟒

𝟐𝟒 𝟒 ( 𝟒) (البعد بن بؤرة القطع المكافئ ودله) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔

ف المطع النالص :

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 (𝟏)

𝟖𝟎 𝟖𝟎

(𝟐)

فنتج : (𝟏)ف المعدلة (𝟐)نعوض المعادلة

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟑𝟔

(× 𝟐) 𝟒 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟎𝟎)( 𝟐 𝟔𝟒) 𝟎

𝟐 أما 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 أو همل 𝟔𝟒

هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتن غر محدد وهما : ∴

𝟏𝟎𝟎 𝟐

𝟔𝟒 𝟏

𝟔𝟒

𝟏𝟎𝟎 𝟏

أذا كذذذان كذذذل مذذذر ببذذذإرت األخذذذر وكالهمذذذا معذذذان علذذذى محذذذور السذذذنات جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص

وحدة طول . 𝟔وحدة طول وطول المحور الحمم ساوي 𝟐√𝟔 وطول المحور الكبر ساوي

الحل:

كل من المطعن مر ببإرة األخر

د ئرأسا المطع النالص مثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزا ∴

: المطع الزائدف : المطع النالصف

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟗

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟏𝟖 𝟐

𝟗 معادلة القطع الناقص 𝟏

𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟗

𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟗 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد 𝟏

ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2...

Education

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل 2017 الأستاذ علي حميد

اللغة العربية للسادس الابتدائى ترم ثانى 2016 Arabic grade 6 t2 for 2016 omniawagdy

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الرابع التكامل 2017 الأستاذ علي حميد

مسند أحمد بن حنبل [ جزء 3 - صفحة 104 ] · Web view12037 - حدثنا عبد الله حدثني أبي ثنا بن أبي عدي عن حميد عن أنس قال

ebookshia.com†سمة... · Web view( 3) نفائس خطية من اليمن، بقلم حميد مجيد هدو، مجلة المورد البغدادية مج 1 لسنة 1392 ه

مسند أحمد بن حنبل [ جزء 5 - صفحة 107 ] · Web view21170 - حدثنا عبد الله حدثني أبي ثنا سعيد عن حميد عن أنس عن أبي

ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 الأستاذ علي حميد

كتـــــــاب : معايير تحليل الخطاب المؤلــــــف : ميكائيل رفاتير ترجمـــــــــة : د حميد لحمداني الناشــــــــر

ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017

الاطار القانونى للتقاضى المدنى د داديار حميد غلاف فهرس

ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الخامس 2017 الأستاذ علي حميد

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 الأستاذ علي حميد

ملزمة الاقتصاد - الجزء الاول - للسادس العلمي 2017

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2017 الأستاذ علي حميد

دانشگاه آزاد اسلامی اسلامشهر ارزیابی عملکرد حميد رضا کردلوئی مریم هوشمند زمستان 92

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي 2017 الأستاذ علي حميد

الشاعر محمد الحسن سالم حميد

مجري : دكتر حميد اكبري

خاص عام مع الكاتب والاعلامي حميد الصائح - الصدى.نت

ملزمة الاسلاميه للسادس العلمي