บทที่ 5 โมเมนตัม

บทท 5

โมเมนตม และ การชน

อ.ณภทรษกร สารพฒนสาขาวชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏเทพสตร ลพบร

โมเมนตม งาน ก าลง และพลงงาน

o โมเมนตมo แรงและการเปลยนโมเมนตมo การดล และแรงดลo การชนกนของวตถ และ กฎทรงโมเมนตม

โมเมนตมคออะไรอะ?

𝑣

โมเมนตม (Momentum)

โมเมนตม (Momentum ; 𝑝) คอ ความสามารถในการรกษาสภาวะของวตถทก าลงเคลอนทในทศเดยวกบการเคลอนท ซงขนกบ มวล(Mass ; m) และ ความเรว(Velocity ; 𝑣)

𝑚

เราสามารถเขยนความสมพนธของมวลกบความเรวในรปแบบของสมการโมเมนตม ดงน

เมอ 𝑚 คอ มวลของวตถ (kg)

𝑣 คอ ความเรวของวตถ (m/s)

𝑝 คอ โมเมนตมของวตถ (kg.m/s หรอ N.s)

โมเมนตมมหนวยเปน กโลกรม.เมตรตอวนาท (kg .m/s) หรอ N.s.

𝑝 = 𝑚 𝑣

ปรมาณโมเมนตม หาไดจากผลคณของ ความเรว กบ มวล จาก

ความหมายของ โมเมนตม จะเขยนสมการไดวา

โมเมนตม (Momentum)

𝑣𝑚

จากกฎการเคลอนทขอหนงของนวตน ทเรยกวา กฎของความเฉอย ซง

อาจเขยนในรปของโมเมนตมไดวา ในกรณทวตถมความเรวคงตว โม

เมนตมของวตถคงตวเสมอ

หมายเหต

𝑣 ≡ คงท𝑚

โมเมนตม (Momentum)

แรงและการเปลยนแปลงโมเมนตม

เมอวตถมวล m เคลอนทดวยความเรว u มแรงคงตว F กระท าตอวตถในชวงเวลาทเปลยนแปลงไป วตถเปลยนเปน v ดงรปท 1

𝑢 𝐹 𝑣 𝐹𝑡1 𝑡2

∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1

จากกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน : 𝐹 = 𝑚 𝑎

จากความสมพนธของ 𝑎 =𝑣−𝑢

𝑡2−𝑡1หรอ 𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡

o กรณท มวลคงท : 𝐹 = 𝑚𝑣−𝑢

∆𝑡หรอ 𝐹 = 𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑡

o กรณท มวลไมคงท : 𝐹 =𝑚𝑣−𝑚𝑢

∆𝑡หรอ 𝐹 =

𝑑 𝑚𝑣

𝑑𝑡

𝑢 𝐹 𝑣 𝐹𝑡1 𝑡2

∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1

o 𝐹 คอ แรงลพธคงตวทกระท าตอวตถมวล 𝑚o 𝑚𝑢 คอ โมเมนตมของวตถกอนถกแรงกระท าo 𝑚 𝑣 คอ โมเมนตมของวตถภายหลงถกแรงกระท าo 𝑚 𝑣 − 𝑚𝑢 คอ โมเมนตมของวตถทเปลยนไปในชวงเวลา ∆𝑡 อาจเขยน

ยอๆวา ∆ 𝑝

จากสมการ : 𝐹 =𝑚𝑣−𝑚𝑢

∆𝑡หรอ 𝐹 =

𝑑 𝑚𝑣

𝑑𝑡

เขยนไดใหมวา : 𝐹 =∆ 𝑝

∆𝑡หรอ 𝐹 =

𝑑 𝑝

𝑑𝑡

ถาแรงคงตวทกระท าตอวตถ เพอเปลยนแปลงโมเมนตมของวตถในชวงเวลาสนๆ (∆𝑡 นอยๆ )

แรงดล (Impulsive Force)

โดยแรงทใชในการเปลยนสภาพการเคลอนทของวตถจะมากหรอนอย นอกจากจะขนอยกบมวลและความเรวของวตถ แลว ยงขนอยกบชวงเวลาท ออกแรงกระท าดวย

เราจะเรยก 𝐹 =∆ 𝑝

∆𝑡=

𝑑 𝑝

𝑑𝑡วา แรงดล (Impulsive Force)

∆𝑝 𝐹

∆𝑡

การดล (Impulsive)

ผลคณของแรง กบ เวลาทเปลยนแปลง ( 𝐹∆𝑡) เรยกวา การดล (Impluse) สญลกษณ “ I ”

𝐹∆𝑡 = 𝑚 𝑣 − 𝑚𝑢 หรอ 𝐹∆𝑡 = ∆ 𝑝𝐼 = 𝑚 𝑣 − 𝑚𝑢 หรอ 𝐼 = ∆ 𝑝

• จากสมการ การดล กคอ โมเมนตมทเปลยนแปลง (𝑑 𝑝 )นนเอง แตจะตองเปนการพจารณาในชวงเวลาสนๆ

• การดล (I ) เปนปรมาณเวกเตอรมทศเดยวกบแรงลพธ ทกระท ากบวตถ และมหนวยเปน นวตน.วนาท(N.s)

การหาการดลและโมเมนตมทเปลยนไป

จากกราฟระหวาง F กบ t

1.การดลเมอแรงคงตว

การหาการดล หาไดจาก 𝐹∆𝑡 = ∆ 𝑝 หรอ จากพนทใตกราฟ หาไดจาก 𝐹∆𝑡

พนทใตกราฟระหวาง 𝐹 และ 𝑡 คอการดล (𝐼) หรอ ∆ 𝑝

𝐹

∆𝑡

แรง

เวลา

∆𝑝 𝐹 ≡ คงท∆𝑡

แรง

เวลา

(a)𝑡𝑖 𝑡𝑓

Area = 𝐹𝑎𝑣𝑔

∆𝑡แรง

เวลา

(b)𝑡𝑖 𝑡𝑓

. 𝐹𝑎𝑣𝑔

2. การดลเมอแรงไมคงตวเราอาจท าใหแรงคงตวได โดยการหาคาเฉลยของแรง F ดงกราฟรป (b) โดยพนทใตกราฟรป (1) และรป (3) ตองมขนาดเทากน จากรป (3) จะแทนขนาดของแรง F ในสมการ

𝐹∆𝑡 = 𝑚 𝑣 − 𝑚𝑢

แรง

เวลา

(a)𝑡𝑖 𝑡𝑓

หรอเราสามารถหาพนทใตกราฟ โดยใชสมการอนทเกรต

ดงนน 𝐼 = ∆ 𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 𝑡𝑖𝑡𝑓 𝐹𝑑𝑡

การหาการดลจากการเปลยนแปลงโมเมนตม

(∆ 𝑝)

การหาการเปลยนแปลงโมเมนตม แยกคดได 2 แบบ คอ

1. เมอความเรวกอนเปลยนและหลงเปลยนอยในแนวเดยวกน

2. เมอความเรวกอนเปลยนและความเรวหลงเปลยนอยคนละแนวกน

𝑢 𝑣∆𝑡

𝐹

𝑢 𝑣∆𝑡

𝐹 𝐹

𝐹

เมอความเรวกอนเปลยนและหลงเปลยนอยในแนวเดยวกน

ขวาซาย

บน

ลาง

o โมเมนตม ( 𝑝)

o แรง ( 𝐹)

o ความเรว ( 𝑣)

ตวอยาง 4.1

วตถมวล m ก าลงเคลอนทดวยความเรว u แลวถกแรง F กระท าเปนเวลา t ท าใหความเรวเปลยนเปน v จงหาการเปลยนแปลงโมเมนตม และแรงดล ทกระท าตอวตถ

𝑢 𝑣∆𝑡

𝐹 𝐹

a) แสดงเมอแรง F อยในแนวเดยวกบ u

𝑢 𝑣∆𝑡

𝐹 𝐹

b) แสดงเมอแรง F อยในแนวตรงขาม u

𝑢

𝑣

∆𝑡 𝐹

c) เมอวตถตกในแนวดง

𝑚 𝑔

ตวอยาง 4.2

วตถมวล m ก าลงเคลอนทดวยความเรว u แลวถกแรง F กระท าในทศท ามมกบการเคลอนท ท าใหความเรวเปลยนเปน v ในทศท ามม a กบ u จะหาการเปลยนแปลงโมเมนตม ไดดงรป

𝑢

𝑣

𝐹

a

q

ตวอยาง 4.3

ปลอยวตถมวล 1 กโลกรม ลงในแนวดง เมอเวลาผานไป 2 วนาท โมเมนตมของวตถเปลยนแปลงไปเทาใด (g = 10 m/s2)

1 กโลกรม

ตวอยาง 4.4

ปาวตถมวล 0.5 กโลกรม ขนในแนวดงดวยความเรว 20 เมตรตอวนาทเมอเวลาผานไป 3 วนาท จงหา

a) โมเมนตมเรมตนb) โมเมนตมสดทายc) โมเมนตมทเปลยนไป

u = 20 m/s

ตวอยาง 4.5

นกบอลเตะลกบอลมวล 0.5 กโลกรม ท าใหลกบอลเคลอนทดวยอตราเรว 20 เมตรตอวนาท เขาชนฝาผนงในแนวตงฉาก แลวสะทอนกลบออกมาในแนวเดมดวย อตราเรว 20 เมตรตอวนาทเทากน ถาลกบอลกระทบฝาผนงนาน 0.05 วนาท จงหา

a) การดลของลกบอลb) แรงเฉลยทฝาผนงกระท าตอลกบอล

20 m/s 20 m/s

Dt = 0.05 s

ตวอยาง 4.6

กลองใบหนงอยบนรถ ซงก าลงเคลอนทในแนวระดบดวยความเรว 30 เมตร/วนาท รถจะตองเบรกจนหยดนงในเวลานอยทสดเทาใด กลองจงจะไมไถลไปบนรถ ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางกลองกบรถเปน 0.5

30 m/sm = 0.5

ตวอยาง 4.7

ปลอยลกบอลมวล 0.4 กโลกรม จากทสง 5 เมตร ตกลงในแนวดง กระทบพนนาน 0.02 วนาท ปรากฏวาลกบอลกระดอนสง 3.2 เมตร จงหา

a) การดลของลกบอลb) แรงดลทกระท าตอลกบอล

ตวอยาง 4.8

ปาลกบอล 0.2 กโลกรม ท ามม 30 องศา กบก าแพงดวยความเรว 10 เมตรตอวนาท โดยไมมการสญเสยพลงงาน จงหาโมเมนตมทเปลยนไปของลกบอลในการชนก าแพง

10 m/s

30o

ตวอยาง 4.9

ขวางลกบอลมวล 100 กรม ลงบนพนดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท และท ามม 30๐

กบพนราบ ถาลกบอลสะทอนดวยอตราเรวเทาเดม และ เวลาของการกระทบเทากบ 0.02 วนาท จงหา

a) โมเมนตมของลกบอลทเปลยนไป b) แรงเฉลยทพนกระท าตอลกบอล

20 m/s

30o

กฎการอนรกษโมเมนตม

(Law of conservation of

momentum)

“ ถาวตถเคลอนทโดยไมมแรงภายนอกมากระท า ซงเปนไปตามกฎการเคลอนทขอทหนงของนวตน วตถจะเคลอนทดวยความเรวคงตวตลอดไป หรอกลาวไดวา วตถนนมโมเมนตมคงตวทงขนาดและทศทาง ตลอดการเคลอนท ”

เมอ ∴ 𝑝 = 𝑚 𝑣 ≡ คงท

สมการกฎการอนรกษโมเมนตม

𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน

กอนการชน : วตถ A เคลอนทดวยความเรว uA

วตถ B เคลอนทดวยความเรว uB

หลงการชน : วตถ A เคลอนทดวยความเรว vA

วตถ B เคลอนทดวยความเรว vB

𝑢𝐴 𝑢𝐵

𝐹𝐵 𝐹𝐴

𝑣𝐴 𝑣𝐵

กอนการชน หลงการชนขณะชน

𝑢𝐴 𝑢𝐵

𝐹𝐵𝐴 𝐹𝐴𝐵

𝑣𝐴 𝑣𝐵

กอนการชน หลงการชนขณะชน

ขณะวตถ A และวตถ B ชนกนไมมแรงภายนอกใดๆกระท า จะไดวา ขณะวตถทงสองชนกน จะมแรงคกรยา-ปฏกรยาระหวางวตถทงสองเกดขน โดยมขนาดเทากน ดงรป

จากกฎขอสามของนวตน ไดวา 𝐹𝐴𝐵 = − 𝐹𝐵𝐴

…………(1)

เมอ 𝐹𝐴𝐵 =𝑚𝑣𝐴−𝑚𝑢𝐴

∆𝑡และ 𝐹𝐵𝐴 =

𝑚𝑣𝐵−𝑚𝑢𝐵

∆𝑡

แทน 𝐹𝐴𝐵 และ 𝐹𝐵𝐴 ลงในสมการท 1 จะได

𝑢𝐴 𝑢𝐵

𝐹𝐵𝐴 𝐹𝐴𝐵

𝑣𝐴 𝑣𝐵

กอนการชน หลงการชนขณะชน

ไดวา𝑚𝑣𝐴−𝑚𝑢𝐴

∆𝑡= −

𝑚𝑣𝐵−𝑚𝑢𝐵

∆𝑡…………(2)

𝑚 𝑣𝐴 − 𝑚𝑢𝐴 = 𝑚𝑢𝐵 − 𝑚 𝑣𝐵 …………(3)

𝑚𝑢𝐴 + 𝑚𝑢𝐵 = 𝑚 𝑣𝐴 + 𝑚 𝑣𝐵 …………(4)

o นนคอ ผลรวมโมเมนตมกอนชนเทากบผลรวมของโมเมนตมหลงชน

สมการกฎการอนรกษโมเมนตม

𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน

การชน (Collision)

การชน (Collision) หมายถง การทวตถหนงกระทบกบอกวตถหนงในชวงเวลาสนๆ หรอในบางครงวตถอาจไมตองการกระทบกนแตมแรงมากระท าตอวตถแลวใหผลเหมอนกบการชนกถอวาเปนการชนกน เชน สนกเกอร, การชนกนของรถ , การกระทบกนของลกตมกบเสาเขม , การตเทนนส, ตปงปอง , ตกอลฟ, การเตะลกฟตบอล , การระเบดของวตถระเบด ,การยงปน เปนตน

การชนของวตถโดยมากมกจะมแรงภายนอกมากระท าตอวตถ ซงขนาดของแรงจะมากหรอนอยขนอยกบลกษณะการชนกนของวตถ และในการชนอาจมการสญเสยคาโมเมนตมมากหรอนอย หรอไมสญเสยเลยกได

เราอาจแยกการชนได 2 ลกษณะ ดงน

1. เมอโมเมนตมของระบบมคาคงตว เปนการชนทขณะชนมแรงภายนอกมากระท านอยมาก เมอเทยบกบขนาดของแรงดล ทเกดกบวตถขณะชนกน หรอแรงภายนอกเปนศนย เชน การชนของลกบลเลยด การชนกนของรถยนต การยงปน เปนตน

2. เมอโมเมนตมของระบบไมคงท เปนการชนทขณะชนมแรงภายนอกมากระท ามากกวาแรงดลทเกดกบวตถขณะชนกน เชน ลกบอลตกกระทบพน รถยนตชนกบตนไม เปนตน

สามารถแยกลกษณะการชนได 3 แบบ

1. การชนกนแบบยดหยน ( Elastic collision )

o การชนแบบยดหยนสมบรณ

o การชนแบบยดหยนไมสมบรณ

2. การชนแบบไมยดหยน (Inelatic collision)

3. การดดตวของวตถ หรอ การระเบด

การชนแบบยดหยนสมบรณ

(Perfectly elastic collision)

1. ผลรวมของโมเมนตมกอนชน = ผลรวมของโมเมนตมหลงชน 𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน

2. ผลรวมของพลงงานจลนกอนชน = ผลรวมของพลงงานจลนหลงชน 𝐸𝑘 กอนชน = 𝐸𝑘หลงชน

ผลรวมของการชนแบบยดหยนสมบรณ

ตวอยาง 4.10

พจารณาการชนกนของวตถ 2 กอน ทมความเรวอยในแนวผานจดศนยกลางมวล (C.M.) วตถมวล m1 เคลอนทดวยความเรว u1 เขาชนวตถมวล m2 ซงก าลงเคลอนทดวยความเรว u2 ในทศทางเดยวกน โดย u1 มากกวา u2 ดงรป ถาเปนการชนแบบยดหยนสมบรณ ภายหลงการชนมวล m1 มความเรว v1 มวล m2 มความเรว v2 จะไดความสมพนธของการชน ดงน

𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2

กอนการชน หลงการชนขณะชน

m1m2

m1m2

o จาก 𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน ไดวา

𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2

………………(1)

เนองจากเปนการชนในแนวตรงเดยวกน อาจเขยนสมการใหมไดวา

𝑚1𝑢1 − 𝑚1 𝑣1 = 𝑚2 𝑣2 − 𝑚2𝑢2

………………(2)

𝑚1 𝑢1 − 𝑣1 = 𝑚2 𝑣2 − 𝑢2

………………(3)

o เมอเปนการชนแบบยดหยนสมบรณ 𝐸𝑘 กอนชน = 𝐸𝑘หลงชนไดวา

1

2𝑚1𝑢1

2+ 1

2𝑚2𝑢2

2= 1

2𝑚1 𝑣1

2+

1 2

………………(4)

𝑚1𝑢12− 𝑚1 𝑣1

2= 𝑚2 𝑣2

2− 𝑚2𝑢2

2

………………(5)

𝑚1 𝑢12− 𝑣1

2= 𝑚2 𝑣2

2− 𝑢2

2

………………(6)

น าสมการท (6) / (3)

𝑚1 𝑢12−𝑣1

2

𝑚1 𝑢1−𝑣1=

𝑚2 𝑣22−𝑢2

2

𝑚2 𝑣2−𝑢2………………(7)

𝑢12−𝑣1

2

𝑢1−𝑣1=

𝑣22−𝑢2

2

𝑣2−𝑢2………………(8)

𝑢1−𝑣1 𝑢1+𝑣1

𝑢1−𝑣1=

𝑣2−𝑢2 𝑣2+𝑢2

𝑣2−𝑢2

𝑢1 + 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑢2

ในการแกปญหาการชนแบบยดหยนสมบรณโจทยมกจะถามหาความเรวหลงการชนของมวลทงสอง (v1 , v2)

เราจะใชสมการ 2 สมการ คอ

1. 𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน

2. 𝑢1 + 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑢2

โดยไมตองใสเครองหมายเวกเตอร แตจะใชเครองหมาย (+) และลบ (-) แสดงทศทางการเคลอนทของวตถทงสอง หนา u หรอ v แลวแทนคาในสมการทงสอง

ตวอยาง 4.11

วตถมวล 2 กโลกรม วงดวยความเรว 4 เมตร / วนาท เขาชนวตถมวล 1

กโลกรมซงก าลงเคลอนทดวยความเรว 2 เมตร / วนาท ไปในทศทางเดยวกน ถาการชนไมมการสญเสยพลงงาน ความเรวของมวลทงสองหลงชนเปนเทาใด

𝑣2𝑘𝑔 𝑣1𝑘𝑔

กอนการชน หลงการชนขณะชน

2 kg1 kg

4 m/s 2 m/s

ตวอยาง 4.12

มวล 2m วงดวยความเรว 10 เมตร / วนาท เขาชนมวล 3m ซงก าลงวงดวยความเรว 4 เมตร / วนาท ในทศทางเดยวกน ถาในการชนไมมการสญเสยพลงงานจลน จงหาความเรวของมวลทงสองหลงชนกน

ตวอยาง 4.13

วตถ A มวล 4 กโลกรม เคลอนทดวยความเรว 6 เมตร/วนาท เขาชนวตถ B มวล2 กโลกรม ซงอยนงในแนวเสนตรง ถาการชนเปนแบบยดหยนสมบรณ จงหาความเรวหลงชนของมวลทงสองและหาโมเมนตมของวตถ A ทเปลยนไป

การชนเปนแบบยดหยนสมบรณ

ในแนวเสนตรงเมอวตถทถกชนอยนง

ใหวตถมวล m1 เคลอนทดวยความเรว u1 เขาชนวตถมวล m 2 ซงอยนงๆ ในแนวจดศนยกลางของมวลทงสองแบบยดหยนสมบรณภายหลงการชนวตถ m1 ทมความเรว v1 และวตถมวล m 2 มความเรว v2 ดงรป

m1 m2

กอนการชน หลงการชน

𝑢1

m1 m2

𝑢2 = 0 𝑣2 𝑣1

o จาก 𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน ไดวา

𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2

………………(1)

𝑚1𝑢1 + 𝑚2 0 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2

………………(2)

𝑚1𝑢1 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 ………………(3)

o จาก 𝑢1 + 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑢2 ไดวา

𝑢1 + 𝑣1 = 𝑣2 + 0 ………………(4)

𝑢1 + 𝑣1 = 𝑣2 ………………(5)

o น า 𝑚1 คณตลอด (4) ไดวา

𝑚1𝑢1 + 𝑚1 𝑣1 = 𝑚1 𝑣2 ………………(6)

o น าสมการท (3) บวก (6) ไดวา

𝑚1𝑢1 + 𝑚1𝑢1 + 𝑚1 𝑣1 = 𝑚1 𝑣2 + 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2

………………(7)

2𝑚1𝑢1 = 𝑚1 𝑣2 + 𝑚2 𝑣2 ………………(8)

2𝑚1𝑢1 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑣2 ………………(9)

ดงนน 𝑣2 หาไดจาก

𝑣2 =2𝑚1𝑢1

𝑚1 + 𝑚2

ตวอยาง 4.14

วตถ A เคลอนทดวยความเรว 10 เมตร/วนาท เขาชนวตถ B ซงอยนงๆ ในแนวผานจดศนย กลางของมวลทงสองแบบยดหยนสมบรณ จงหาความเรวของวตถ Aและ B หลงชนกนเมอ

a) m A = 4 กโลกรม , m B = 1 กโลกรมb) m A = 4 กโลกรม , m B = 4 กโลกรมc) m A = 1 กโลกรม , m B = 4 กโลกรม

1. มวลมากชนมวลนอย ( m1 > m2 ) หลงชนวตถทงสองจะเคลอนทไปทางเดยวกนโดย

2. มวลเทากนชนกน ( m1 = m2 ) หลงชนวตถทเขาชนจะหยดนง ( v1

= 0 ) สวนวตถทถกชนเคลอนทไปดวยความเรวเทากบความเรวกอนชนของวตถทชน ( v2 = u1)

3. มวลนอยชนมวลมาก ( m1 < m2 ) หลงชนวตถทชนจะสะทอนกลบสวนวตถทถกชนเคลอนทไปในแนวเดยวกบความเรวกอนชนของวตถทเขาชน

สรปลกษณะการชนของวตถในเสนตรง (ผานจดศนยกลางมวล)

แบบยดหยนสมบรณ โดยวตถทถกชนอยนง จะไดวา

การชนแบบไมยดหยน (Inelatic collision)

การชนแบบไมยดหยน (Inelatic collision) หมายถง เปนการชนของวตถแลวรปรางมการเปลยนแปลง หรอ มการเคลอนท ตดกนไป จากการทดลองพบวาการชนกนแบบนพลงงานจลนไมคงท พลงงานจลนหลงชนมคานอยกวาพลงงานจลนกอนชน เพราะวาพลงงานจลนบางสวนน าไปใชในการเปลยนแปลงรปรางวตถท าใหบบ, ยบ และเปลยนรปเปนพลงงานเสยง แตโมเมนตมรวม กอนการชนเทากบโมเมนตมหลงการชน

m1 m2

กอนการชน หลงการชน

𝑢1

m1 m2

𝑢2

ใหวตถมวล m1 เคลอนทดวยความเรว u1 เขาชนมวล m2 ซงเคลอนทดวยความเรว u2 ในแนวเสนตรงผานจดศนยกลางของมวลทงสองปรากฏวางหลงชนมวล m1 และ m2 เคลอนทตดกนไปดวยความเรว v ดงรปท

การชนแบบไมยดหยน (Inelatic collision)

𝑣

ผลของการชนแบบไมยดหยน ไดวา

o จาก 𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2

………………(1)

o เมอ 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣 ไดวา

𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 = 𝑚1 𝑣 + 𝑚2 𝑣………………(2)

การชนแบบไมยดหยน (Inelatic collision)

𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑣

o จาก 𝐸𝑘 กอนชน > 𝐸𝑘หลงชน

ตวอยาง 4.15

มวล m1 เคลอนทดวยความเรว u1 เขาชนมวล m2 ซงวางอยนงๆ ตรงๆแลวตดไปดวยกน จงแสดงวาการชนแบบนมการสญเสยพลงงานจลน

ตวอยาง 4.16

รถขนหนมวล 400 กโลกรม วงดวยความเรว 1 เมตร/วนาท เขารองรบกอนหนมวล 100 กโลกรม ซงมความเรว 4 เมตร/วนาท ดงรป จงหาความเรวของรถขนหนเมอกอนหนตกลงสรถ

53o

ตวอยาง 4.17

วตถมวล 2 กโลกรม เคลอนทดวยความเรว 10 เมตร/วนาท เขาชนมวล 3กโลกรม ซงอยนงในแนวผานจดศนยกลาง หลงชนวตถทงสองเคลอนทตดกนไป จงหาความเรวของวตถทงสองหลงชนกน

ตวอยาง 4.18

รถบรรทกมวล 6000 kg เคลอนทดวยความเรว 15 m/s เขาชนรถโดยสารมวล 4000 kg ซงเคลอนทสวนทางมาดวยความเรว 20 m/s ในแนวเสนตรงเดยวกนหลงชน ปรากฏวารถทงสองตดกนไป จงหาความเรวหลงชนของรถทงสอง

ตวอยาง 4.19

ลกปนมวล 40 กรม ถกยงออกไปในแนวระดบดวยความเรว 800 เมตร/วนาท เขาชนแทงไมมวล 10 กโลกรม ซงวางนงอยบนพน แลวทะลผานแทงไมออกไปในทนทท าใหแทงไมมความเรว 2 เมตร/วนาท จงหาความเรวของลกปนเมอทะลผานแทงไมออกไป

ตวอยาง 4.20

มวล 4 กโลกรม เคลอนทดวนความเรว 10 เมตร/วนาท เขาชนมวล 6

กโลกรม ซงวงสวนทางมาดวยความเรว 5 เมตร/วนาท ในแนวผานจดศนยกลางมวล ปรากฏวามวลทงสองตดกนไป จงหา

a) ความเรวมวลทงสองb) พลงงานจลนทหายไปในการชน

ตวอยาง 4.21

วตถมวล 10 กโลกรม เคลอนทดวยความเรว 5 เมตร/วนาท เขาชนมวล 15 กโลกรม ซงอยนงภายหลงการชนมวล 10 กโลกรม อยนง จงหา

a) ความเรวหลงชนของมวล 15 กโลกรมb) พลงงานจลนเปลยนแปลงหรอไม อยางไร

การดดตวของวตถ หรอ การระเบด

𝑝กอนระเบด

= 𝑝หลงระเบด

สวนพลงงานจลนของวตถในการระเบด พบวาผลรวมพลงงานจลนหลงการระเบด จะมคามากกวาผลรวมของพลงงานจลนกอนระเบด เนองในการระเบดมการเปลยนรปพลงงานรปตางๆเปนพลงงานจลน จงไดวา

การระเบด คอ การทวตถแยกหรอแตกออกจากกน โดยไมมแรงภายนอกมากระท า ซงเดมวตถจะอยดวยกน โดยมเงอนไขเหมอนกบการชน 2 ลกษณะทกลาวมาแลว คอ

𝐸𝑘กอนระเบด< 𝐸𝑘หลงระเบด

ลกษณะของการระเบดแยกออกได 2 ลกษณะ

1. การระเบดแบบแยกออกจากกนอยางอสระ การระเบดของวตถลกษณะนวตถจะแยกออก จากกนเปนสวน ๆ เชน การยงปน , มวลอดสปรง , คนกระโดดจากเรอ , คนกระโดดจากเรอซงก าลงเคลอนท

2. การระเบดแบบสมพทธ โดยภายหลงการระเบดวตถยงอยดวยกน การค านวณความเรวของวตถแตละกอน ใหคดเทยบกบพนโลก เชน คนเดนบนเรอซงอยนง , คนเดนบนเรอซงก าลงเคลอนท

การระเบดแบบแยกออกจากกนอยางอสระ

o การยงปน

เดมกระสนปนและปนอยดวยกน ตวปนมมวล M ลกปนมวล m หลงยงลกปนมความเรว v ตวปนมความเรว V ถอยหลง

m

M

V

v

M

m

กอนยงปน หลงยงปน

กอนยงปน โมเมนตมของระบบ = 0

หลงยงปน โมเมนตมของระบบ = mv – MV

จาก โมเมนตมกอนยง = โมเมนตมหลงยง0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

จะไดวา MV = mv

หรอกลาวไดวา โมเมนตมของตวปน = โมเมนตมของลกปน

m

M

V

v

M

m

กอนยงปน หลงยงปน

oมวลอดสปรง

วตถมมวล M และ m ผกตดกนดวยเชอกและมสปรงตดอยทมวลกอนใดกอนหนง เมอตดเชอกขาดมวล M และ m จะเคลอนทออกจากกนดวยความเรว V

และ v ตามล าดบ

กอนดดตว หลงดดตว

mM mM

Vv

𝑝กอนระเบด

= 𝑝หลงระเบด

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

จะไดวา mv = MV

หรอกลาวไดวา โมเมนตมของมวล m = โมเมนตมของมวล M

กอนดดตว หลงดดตว

mM mM

Vv

oคนกระโดดจากเรอ

เดมคนมมวล m อยบนเรอ ซงเรอมมวล M เมอคนกระโดดออกจากเรอดวยความเรว v เรอจะเคลอนทถอยหลงดวยความเรว V

กอนกระโดด หลงกระโดด

mM

V v

m

M

กอนกระโดด หลงกระโดด

mM

V v

m

M

𝑝กอนระเบด

= 𝑝หลงระเบด

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

จะไดวา mv = MV

หรอกลาวไดวา โมเมนตมของมวล m = โมเมนตมของมวล M

จากตวอยางการระเบดแบบแยกออกจากกนอยางอสระ

ไดสมการดงน

𝑝กอนระเบด

= 𝑝หลงระเบด

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

จะไดวา mv = MV

หรอกลาวไดวา โมเมนตมของมวล m = โมเมนตมของมวล M

สรป : การระเบดแบบแยกออกจากกนอยางอสระ

กอนกระโดด หลงกระโดด

mM

V vm

M

oคนกระโดดจากเรอซงก าลงเคลอนท

เดมคนมมวล m ยนอยบนเรอ M ซงก าลงเคลอนทดวยความเรว u แลวคนกระโดดออกจากเรอดวยความเรวทางดานหนาดวยความเรว v ท าใหเรอมความเรว V

u

กอนกระโดด หลงกระโดด

mM

Vv

m

M

𝑝กอนระเบด

= 𝑝หลงระเบด

(M+m)u = MV+ mv

Mu+mu = MV+ mv

MV = m(u-v)+Mu

u

จะไดวา 𝑉 =m(u−v)+Mu

M

การระเบดแบบสมพทธ

oคนเดนบนเรอซงอยนง

ใหคนมมวล m อยนงบนเรอมวล M เมอคนเดนดวยความเรว v จะท าใหเรอเคลอนทในทศทางตรงขามดวยความเรว V ขณะทคนเดนดวยความเรว v เรอจะเคลอนทถอยหลงจากคนดวยความเรว V เมอเทยบกบพนโลก ดงนนคนจะมความเรว (v - V) เมอเทยบกบโลก

กอนเดน หลงเดน

m

V

v

M

m

M

𝑝กอนระเบด

= 𝑝หลงระเบด

0 = m (v - V) + M(-V)

0 = m (v - V) - MV

m (v - V) = MV

mv - mV = MV

mv = (m + M)V

จะไดวา 𝑉 =mv

m+M

กอนเดน หลงเดน

m

V

v

M

m

M

oคนเดนบนเรอซงก าลงเคลอนท

ใหคนมมวล m ยนนงอยบนเรอมวล M ซงมความเรว u เมอคนเรมเดนดวยความเรว v เรอจะมความเรว V ขณะทคนเดนดวย v ความเรวของเรอเปน V ความเรวของคนทสมพทธกบพนโลกจะเทากบ v + V

กอนเดน หลงเดน

m

v

M

m

M

Vu

𝑝กอนระเบด = 𝑝หลงระเบด

(m + M)u = m(v + V) + MV

mu + Mu = mv + mV + MV

mu - mv + Mu = (m + M)V

กอนเดน หลงเดน

m

v

M

m

M

Vu

จะไดวา 𝑉 =m 𝑢−𝑣 +𝑀𝑢

m+M

1. การชนกนหรอการระเบดทกกรณ จะอางหลกคงทโมเมนตมได

เสมอวา

𝑝กอนชน = 𝑝

หลงชน2. การชนกนแบบยดหยนจะไมมการสญเสยพลงงานจลนและตง

สมการได 2 สมการคอ

o 𝑝กอนชน = 𝑝

หลงชนo 𝐸𝑘 กอนชน = 𝐸𝑘หลงชน

หรอสตรลด

สรป

𝑢1 + 𝑣1 = 𝑣2 + 𝑢2

3. การชนกนแบบไมยดหยน จะมการสญเสยพลงงานจลน จะตงสมการได

2 สมการคอ

o 𝑝กอนชน = 𝑝

หลงชน

o 𝐸𝑘 ทหายไป = 𝐸𝑘 กอนชน − 𝐸𝑘หลงชน4. การระเบดจะมพลงงานจลนตอนหลงระเบดมากกวาพลงงานจลนตอน

กอนระเบดเสมอ โดยพลงงานสวนทเพมมานมาจากการเผาไหมของดน

ปน และตงสมการได 2 สมการ

o 𝑝กอนชน = 𝑝

หลงชน

o 𝐸𝑘 ทเพม = 𝐸𝑘หลงระเบด − 𝐸𝑘 กอนระเบด

ตวอยาง 4.22

ชายคนหนงมวล 60 กโลกรม ยนอยบนลอเลอนมวล 20 กโลกรม แลวขวางวตถมวล 2 กโลกรมออกไปตรงๆในแนวระดบดวยความเรว 10 เมตร/วนาท จงหาความเรวของลอเลอน

10 m/s

2 kg20 kg

60 kg

ตวอยาง 4.23

ปนใหญกระบอกหนงมมวล 2000 กโลกรม ลกปนมมวล 10 กโลกรม หลงยงแลวปรากฏวาลกปนมความเรว 50 เมตร/วนาท จงหาวาตวปนจะถอยหลงดวยความเรวเทาไร

50 m/s

10 kg2,000 kg

ตวอยาง 4.24

รถทดลอง 2 คน คนหนงมวล m มสปรงตดอยหนารถ อกคนหนงมมวล 2m

น ามากดอดสปรงหนารถคนแรก แลวใชเชอกผกหนารถ 2 คน ไวดวยกนดงรป เมอตดเชอกออก รถคนแรกเคลอนททนทดวยความเรว 4 เมตร/วนาท จงหาความเรวของรถคนทสองหลงตดเชอก

m

4 m/s

m 2m m 2m

ตวอยาง 4.25

ชายคนหนงมมวล 50 กโลกรม ยนอยบนหวเรอมวล 75 กโลกรม ถาชายคนน พงตวลงน าดวยความเรว 6 เมตร/วนาท จงหาความเรวของเรอหลงจากชายคนน พงตวลงน า

ตวอยาง 4.26

ชายคนหนงมวล 60 กโลกรม ยนอยบนเรอมวล 40 กโลกรม ซงก าลงแลนดวยความเรว 4 เมตร/วนาท ชายคนนออกเดนจากทายเรอดวยความ 2 เมตร/วนาท ( เทยบกบเรอ )

a) จงหาความเรวเรอขณะชายออกเดนb) ถาชายคนนออกเดนจากหวเรอไปทายเรอดวยความเรว 2 เมตร/

วนาท เทยบกบเรอ จงหาความเรวของเรอ

ตวอยาง 4.27

ปนใหญมวล 2,000 กโลกรม ตงใหปากกระบอกปนท ามม 60๐ กบแนวราบแลวยงลกปนมวล 10 กโลกรม ออกไปดวยความเรว 100 เมตร/วนาท อยากทราบวาตวปนจะเคลอนทถอยหลงดวยความเรวเทาใด

ตวอยาง 4.28

ชายคนหนงมมวล 60 กโลกรม ยนอยบนแพ ซงมมวล 40 กโลกรม ลอยนง โดยชายคนนหางจากฝง 10 เมตร ถาชายคนนเดนบนแพในทศทางเขาหาฝงเปนระยะ 4 เมตร ชายคนนจะอยหางจากฝงเทาไร

Ballistic pendulum

Ballistic pendulum เปนการแกวงของวตถแบบลกตมนาฬกา เมอถกกระทบดวยวตถอน เชน การยงลกปนใหชนถงทราย หรอแทงไมซงแขวนดวยเชอกในแนวดง ท าใหวตถแกวงสงขนจากเดม ประโยชนใชวดความเรวของลกปนขณะถกยงออกจากปน

ก าหนดใหลกปนมวล m ถกยงออกจากปนดวยความเรว u เขาชนแทงไมมวล M แลวฝงชนแทงไมท าใหแทงไมแกวงสงจากเดม h ความเรวของลกปนขณะออกจากล ากลองปน

จากกฎอนรกษโมเมนตม (ลกปนชนแทงไม)

𝑝กอนระเบด = 𝑝หลงระเบดm1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

m1u1 + 0 = (m1 +m2)v

mv0 = (m + M)v …….….(1)

เมอ v คอ ความเรวของแทงไมหลงถกลกปนชน

จากกฎอนรกษโมเมนตม (คดทแทงไม)

𝐸𝑘 = 𝐸𝑝

1

2𝑚𝑣2 = 𝑚𝑔ℎ ดงนน 𝑣 = 2𝑔ℎ

𝑣 = 2𝑔ℎ แทนใน (1) จะได ความเรวของลกปน

𝑣0 =𝑚 + 𝑀

𝑚2𝑔ℎ

***สรป ในการหาความเรวของลกปน

ถารความสง h ของถงทรายทแกวง กจะหาความเรวของลกปนได

เลย โดยตองร m , M กอน

𝑣0 =𝑚 + 𝑀

𝑚2𝑔ℎ

ตวอยาง 4.29

เมอแทงไมแกวงสงจากเดมวดตามแนวดงได 10 เซนตเมตร จงหาความเรวของลกปนตอนถกยงออกจากกระบอกปน เมอ ถงทรายมวล 500 กรม และ ลกปนมวล 10 กรม

ตวอยาง 4.30

ยงลกปนมวล 10 กรม ออกไปดวยความเรว 500 เมตร/วนาท เขาฝงในแทงไมมวล10 กโลกรม ซงแขวนไวในแนวดงอยากทราบวาแทงไมจะแกวงสงขนจากเดมเทาไร

ตวอยาง 4.31

ลกปนมวล 50 กรม ถกยงออกไปดวยความเรว 400 เมตร/วนาท เขาชนเปามวล 5 กโลกรม แลวลกปนทะลผานเปาออกไปดวยความเรว 100 เมตร/วนาท จงหาวาเปาแกวงไดสงสดเทาไร

ตวอยาง 4.32

ลกปนมวล 20 กรม ถกยงออกไปดวยความเรว 1000 เมตร/วนาท เขาชนแทงไมมวล 2 กโลกรม ทแขวนในแนวดง ปรากฏวาลกปนทะลผานแทงไมออกไปทนท โดยแทงไมจะแกวงขนไปไดสงสด 20 เซนตเมตร จงหาความเรวของลกปนททะลออกจากแทงไม

ตวอยาง 4.33

ลกปนมวล 20 กรม ถกยงออกไปดวยความเรว 400 เมตร/วนาท ชนทะลผานแทงไมมวล 5 กโลกรม ออกไปดวยความเรว 50 เมตร/วนาท จงหา

a) แทงไมแกวงสงขนจากเดมมากทสดเทาไรb) พลงงานของระบบสญหายไปหรอไมอยางไร

ตวอยาง 4.34

มวล 4 กโลกรม และ 6 กโลกรม เคลอนทตามกนบนพนราบ ซงปราศจากแรงเสยดทานดวยความเรว 5 เมตร/วนาท และ 2 เมตร/วนาท ตามล าดบดงรป เมอชนกนจะท าใหสปรงหดสนทสดเทาไร เมอคานจของสปรงเปน 8640 นวตน/เมตร

4 kg 6 kg

5 m/s 2 m/s

4 kg 6 kg

ตวอยาง 4.35

จากรปสปรงอยในแนวระดบ มคานจ 600 นวตน/เมตร ปลายหนงตรงอยกบฝาผนง อกปลายหนงมมวล 1.5 กโลกรม ตดอยและวางบนพน ซงไมมความฝด เรมตนสปรงยงไมยดหรอหดเลย เมอมมวล 0.5 กโลกรม เลอนทเขาชนมวล 1.5 กโลกรมตรงๆ โดยไมมการสญเสยพลงงาน ปรากฏวาสปรงหดเขาไป 10 เซนตเมตร จงหาความเรวของมวล 0.5 กโลกรม

0.5 kg 1.5 kg

u

0.5 kg 1.5 kg

ตวอยาง 4.36

วตถมวล 6 กโลกรม เคลอนทดวยความเรว 8 เมตร/วนาท เขาชนวตถอกกอนหนงมวล 4 กโลกรม ซงวางอยนงบนพนราบ หลงชนวตถมวล 6 กโลกรมหยดนง จงหาวามวล 4 กโลกรม จะเคลอนทไปไดไกลเทาไรถาสมประสทธของความเสยดทานระหวางมวล 4 กโลกรมและพน มคา 0.4

ตวอยาง 4.37

ลกปนมวล 10 กรม ถกยงดวยความเรว 800 เมตร/วนาท เขาไปฝงในแทงไมมวล 5 กโลกรม ทวางอยบนโตะ ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางแทงไมกบโตะมคาเทากบ 0.4 แทงไมจะไถลไปไดไกลเทาไร

ตวอยาง 4.38

กระสนมวล 15 กรม เคลอนทในแนวราบดวยความเรว 400 เมตร/วนาท เขาฝนในแทงไมมวล 4 กโลกรม ซงวางนงบนพน ถาแทงไมเคลอนทไปตามพนไดไกล 0.25 เมตร จงหาคาสมประสทธของความเสยดทานระหวางแทงไมกบพน

ตวอยาง 4.39

วางวตถมวล 4 กโลกรม ทบรบนโตะ ถายงลกปนมวล 20 กรม ผานรเขาฝงในวตถ ท าใหวตถกระเดนขนไดสงสด 1.25 เมตร จงหาความเรวของลกปนกอนกระทบวตถ

1.2

5 m

ตวอยาง 4.40

ปลอยลกเหลกมวล 4 กโลกรม ลงตามทางโคงเกลยง AB ดงรป โดยลกเหลกอยสงจากพนราบในแนวดง 20 เมตร ลกเหลกเขาชนมวล 6 กโลกรม ซงวางอยนง ณ จด B หลงจากการชน วตถทงสองเคลอนทไปดวยกน จงหาวาวตถทงสองจะเคลอนทไปไดระยะทางเทาไร กอนจะหยดนง ถาพนราบมคาสมประสทธของความเสยดทาน 0.4

6 kg

4 kg

20

m

A

B

ตวอยาง 4.41

วตถมวล 1 กโลกรม ผกตดกบเชอกยาว 1.25 เมตร ถกดงขนจนเชอกและวตถอยในแนวระดบแลวปลอยลงมาใหชนวตถกอนหนงซงมมวล 4 กโลกรม วางอยบนพนทจดต าสดของเชอก การชนเปนแบบไมสญเสยพลงงาน จงหา

a) ความเรวหลงชนของวตถทงสองb) ถามวล 4 กโลกรม เคลอนทไปไดไกล 1 เมตร จงหยดสมประสทธ

ความเสยดทานเปนเทาใด1 kg

4 kg

A

B

1.25 m

ตวอยาง 4.42

จากรป ยงลกปนมวล m มความเรว เขาไปฝนในลมมวล แลวลมจะเคลอนทไปตามพนเอยงลน ไดทาง l จงหาความเรว

lM

m

u0

q

V

ตวอยาง 4.43

ลกปนมวล m ถกยงใหเคลอนทในแนวระดบดวยความเรว v0 เขาชนมวล M

ซงแขวนกบเชอกยาว l แลวฝงลงในมวล M จงหาความเรว v0 ทนอยทสดทท าใหมวล M แกวงเปนวงกลมครบรอบพอด

การชนใน 2 มต

เปนการชนของวตถในแนวไมผานจดศนยกลางมวล ท าใหทศทางการเคลอนทของวตถไมอยในแนวเสนตรงเดยวกน เรยกการชนในลกษณะนวา การชนในสองมต ซงแบงลกษณะการชนได 3 แบบ เหมอนการชนในแนวเสนตรง (ชนใน 1 มต)

m1

v1i

m2

การชนแบบยดหยนสมบรณ

o เมอมวลทงสองกอนเทากน

ก าหนดใหมวล m มความเรว u1 เขาชนมวล m อกกอนหนง ซงอยนงไมผานแนวศนยกลางมวล ท าใหมวลทงสองแยกออกจากกนท ามม q มความเรว v1 และ v2 ตามล าดบ ดงรปท

mu1

m

m

v1

m

v2

q

กอนชน

หลงชน

ผลของการชนจะไดวา

พจารณาโมเมนตม : 𝑝กอนชน = 𝑝หลงชน𝑚𝑢1 = 𝑚𝑣1 + 𝑚𝑣2

𝑢1 = 𝑣1 + 𝑣2

𝑢12 = 𝑣1

2 + 𝑣22 + 2𝑣1𝑣2 cos 𝜃 ….(1)

พจารณาพลงงานจลน : 𝐸𝑘กอนชน = 𝐸𝑘หลงชน1

2𝑚𝑢1

2 = 1

2𝑚𝑣1

2 + 1

2𝑚𝑣2

2

𝑢12 = 𝑣1

2 + 𝑣22 …….….(2)

mu1

m

m

v1

m

v2

q

กอนชน

หลงชน

(1)= (2) ไดวา 2𝑣1𝑣2 cos 𝜃 = 0

เมอ 𝑣1 และ 𝑣2 ไมเปนศนย แสดงวา cos 𝜃 = 0

𝜃 = 90°

ขอสรปยอมอางไดวา ถามวลเทากนชนกนแบบยดหยนสมบรณในแนว

ไมผานจด C.M.และมวลทถกชนอยนง หลงจากชนกนมวลทงสองจะแยกออกจากกนท ามม 90◦ เสมอ

mu1

m

m

v1

m

v2

q

กอนชน

หลงชน

o เมอมวลทงสองกอนไมเทากน ชนกนแบบยดหยนสมบรณโดยมวลถกชนอยนง มวลทงสองจะแยกออกจากกนไมเปนมมฉากก าหนดใหมวล m1เคลอนทดวยความเรว เขาชนมวล m2ซงอยนง ในแนวไมผานจด C.M. ท าใหมวลm1และ m2แยกออกจากกนท ามม และ กบแนวการเคลอนทเดมของ ดวยความเรว และ ดงรปท

m1

u1

m2

m1

m2

กอนชน

หลงชน

a

b

m1u1

การหา v1 และ v2 ท าได 2 วธ

วธท 1 : การแยกองคประกอบของเวกเตอร ใหเปน x และ y

วธท 2 : การใชกฎของไซน

m1

u1

m2

m1

m2

กอนชน

หลงชน

a

b

m1u1

วธท 1 : การแยกองคประกอบของเวกเตอร ใหเปน x และ y

m1

m2

a

b

m1u1 m1u1a

b x

y

m1v1cosa

m2v2cosb

m2v 2

sin

bm

1v 1

sin

aท าการแยกพจารณา 𝑝

𝑥และ 𝑝

𝑦ในการแกนปญหา

วธท 1 : การแยกองคประกอบของเวกเตอร ใหเปน x และ y

m1u1a

b x

y

m1v1cosa

m2v2cosb

m2v 2

sin

bm

1v 1

sin

a o จากฎการอนรกษโมเมนตมในแกน y จะได 𝑝𝑦 = 0

ดงนน m1v1sina = m2v2sinb ……(1)

o จากฎการอนรกษโมเมนตมในแกน x จะได 𝑝𝑥 = m1u1ดงนน m1u1 = m1v1cosa + m2v2cosb ……(2)

จาก (1) และ (2) ถาร m1, m2 , u1

, a, b กสามารถหา v1 และ v2ได

*** วธท 2 : การใชกฎของไซน ***

m1u1a

b x

y

𝑚1𝑢1

sin 𝛼 + 𝛽=

𝑚1𝑣1

sin 𝛽=

𝑚2𝑣2

sin 𝛼

โดยสวนใหญแลวในการชนแบบสองมตเรามกทราบคาของ 𝑚1, 𝑚2, 𝑢1

,𝛼 และ 𝛽 ดงนนเราจงสามารถหาคา 𝑣1 และ 𝑣2 ได ปญหาอยทวา คาของมม ในบางครงไมสามารถหาคาไดงายนก เชน sin75◦, sin105◦ เปนตน

ตวอยาง 4.44

ลกกลมมวลเทากน 2 ลก A และ B โดยลก A วงเขาชนลก B ซงอยนงในแนว

ไมผานจดศนยกลางท าใหลก A กระเดนเบยงไปจากแนวเดม 60 องศา กอนชนลกกลม A มความเรว 10 เมตร/วนาท และเปนการชนแบบยดหยนสมบรณหลงชนลกกลม A และ B จะมความเรวเทาใด

ตวอยาง 4.45

โมเลกลของกาซตวท 1 มความเรว 200 เมตร/วนาท ชนโมเลกลของกาซตวท2 ซงเดมอยนง และมมวลเทากนภายหลงการชนโมเลกลตวท 1 เบนออกจากแนวเดม จงหาอตราของโมเลกลทงสองภายหลงการชน

ตวอยาง 4.46

ลกกลม A และ B ขนาดเทากน มมวลลกละ 0.5 กโลกรม ใหลกกลม A เขาชนลกกลม B ซงอยนง หลงชนปรากฏวาลกกลม A และ B กระเดนท ามม 30◦ และ 60◦ กบแนวการชนของลกกลม A ตามล าดบ ถาอตราเรวของลกกลม B เปน 4 เมตร/วนาท พลงงานจลนของลกกลม A เปลยนไปเทาไร ในการชนถาลกกลมทงสองอยบนพนลน

ตวอยาง 4.47

วตถ 3 กโลกรม เคลอนทเขาชนวตถมวล 2 กโลกรม ซงอยนงดวยความเรว 20

เมตร/วนาท ในแนวไมผานจดศนยกลางของมวล ท าใหภายหนงการชนมวลกอนแรกท ามม 30◦ กบแนวเดม และมวล 2 กโลกรม เคลอนทในแนวท ามม 45◦ กบแนวการเคลอนทของมวล 3 กโลกรม กอนชน จงหาอตราเรวของมวลทงสองภายหลงการชน

การชน 2 มตแบบไมยดหยน

ใหมวล m1 เคลอนทดวยความเรว u1 เขาชน มวล m2 ซงเคลอนทดวยความเรว u2 ในแนวท ามม q ตอกนหลงชนกนแลวทงสองเคลอนทตดกนไปดงรป ดวยความเรว v

m1

u1

m2

u2

m1m2

v

m2u1

(m1+m2)v

qแทนดวย

เวกเตอร

จากกฎการอนรกษโมเมนตม

𝑝กอนชน

= 𝑝หลงชน

โดยอาศย กฎของโคไซน ไดวา

𝑚1 + 𝑚2 𝑣 = 𝑚1𝑢12 + 𝑚2𝑢2

2 + 2 𝑚1𝑢1 𝑚2𝑢2 cos 𝜃

*** เมอร m1 , m2 , u1 , u2 และ q กสามารถ v ได ***

m1

u1

m2

u2

m1

m2

v

m2u1

(m1+m2)v

q

แทนดวย

เวกเตอร

ตวอยาง 4.48

มวล 6 กโลกรม เคลอนทดวยความเรว 5 เมตร/วนาท ในทศตะวนออกเขาชนกบมวล 4 กโลกรมเคลอนทดวยความเรว 10 เมตร/วนาท ในทศทางเหนอ หลงชนปรากฏวามวลทงสองตดกนไป จงหาความเรวของมวลทงสองหลงชนกน

ตวอยาง 4.49

ลกกลมมวล 4m เคลอนทบนพนราบทไมมแรงเสยดทานดวยความเรว v0 เขาชนลกกลมมวล m ซงวางชดกนสองลก ดงรป หลงการชนลกกลม m ทงสองตางเคลอนทในทศท ามม 45๐ กบแนวการเขาชนของมวล 4m ดวยความเรว 2𝑣0

ดงรป โดยมวล 4m ยงคงเคลอนทตอไปในทศทางเดม จงหาความเรวของมวล 4m ภายหลงการชน

บทท 5

โมเมนตม และ การชน

อ.ณภทรษกร สารพฒนสาขาวชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏเทพสตร ลพบร