Розвязання трикутників

ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМИ СИНУСІВ ТА КОСИНУСІВ

ДЛЯ РОЗВЯЗАННЯ ТРИКУТНИКІВ

9 КЛАС ГЕОМЕТРІЯ

Підготувала вчитель математики КЗО сш 3

з профільними класамиімені М Островського

Гордєєва Людмила Василівна

Мета bull повторити та узагальнити основні теоретичні

знання про трикутникbull підготувати учнів до контрольної роботи шляхом

розвrsquoязування задач різного рівня bull перевірити якість засвоєння теорем синусів та

косинусів та вміння застосовувати дані теореми при розвrsquoязанні задач

bull активізувати роботу учнів відпрацьовувати вміння робити логічні висновки

bull формувати навички дослідницької роботи bull виховувати критичне ставлення до своєї роботи а

також вміння оцінювати свої знання

1 Будь уважним

2 Міркуй шукай порівнюй роби висновки працюй

3 Шукай нові способи розвrsquoязування проблеми

4 Самостійно встановлюй звrsquoязки відомого з невідомим

5 Будь наполегливим і не бійся помилитися

6 Експериментуй та виправляй невдалі спроби

7 Будь упевнений у своїх здібностях

Теорема косинусів

a2 = b2 + c2 ndash 2bccosα

b2 = a2 + c2 ndash 2accosβ

с2 = a2 + b2 ndash 2abcosγ

Теорема синусів

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

Теорема про суму кутів трикутника

α + β + γ = 180deg

Квадрат сторони трикутника

дорівнює сумі квадратів двох інших

сторін laquoplusmnraquo подвоєний добуток однієї з

них на проекцію другої Знак laquo+raquo

беремо тоді коли протилежний кут

hellip а знак laquo-raquo колиhellip

cos ( 180deg - α ) = - cos αsin ( 180deg - α ) = sin αcos ( 90deg + α ) = - sin αsin( 90deg + α ) = cos α

Розвязування трикутників

1 Дано а α β Знайти b с γ

Розвязання

1) γ = 180deg - (α + β)

2) sinsin

ba

sin

sin

ab

3) sinsin

сa

sin

sin

aс

А

С

В

Задача 2

Сторона трикутника дорівнює 10 см а прилеглі до неї кути - 45deg і 75deg

Знайти сторону протилежну до

кута 45deg

Розвrsquoязання

Нехай АС=10 см

7545 СА

ВС ndash сторона яка лежить проти

кута 45deg

Використовуючи теорему синусів маємо

45sin

BC = B

AC

sin

B = 607545180

3

610BC

2 Дано а b γ Знайти с α β

Розвязання

1) c = Cabba cos222

2) sinsin

aс

с

a sinsin

3) β = 180deg - (α + γ)

3 Дано а b α

Знайти с β γ

Розвязання

1) sinsin

ba

a

b sinsin

2) γ = 180deg - (α + β)

3) sinsin

aс

sin

sin

aс

А

С

В

5смм

7см

Задача 1

Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см а кут між ними 60deg

Знайдіть третю сторону трикутника

Розвrsquoязання

Нехай АС=5см АВ=7см 60А

Використовуючи теорему косинусів

маємо

ВСsup2 = АВ sup2 + АС sup2 ndash 2 АВ АС cos А

ВС sup2 = 25 + 49 - 2572

1 = 39

ВС = 39

Відповідь 39

4 Дано а b с Знайти α β γ

Розвязання

1) a2 = b2 + c2 ndash 2bccosα bc

acb

2cos

222

2) sinsin

ba

a

b sinsin

3) γ = 180deg - (α + β)

Задача 3

Сторони трикутника дорівнюють 6 см 9 см 8 см Знайти косинус кута

який лежить проти більшої сторони

Розвrsquoязання

Нехай АС=6 см СВ=8 см

АВ=9 см

Використовуючи теорему

косинусів маємо

АВsup2 = АС sup2 + ВС sup2 ndash 2АС ВС cos С

81 = 36 + 64 - 2 86 cos С

96 cos С =19

cos С =96

19

Відповідь 96

19

А

С 8см

В

6смм

9см

Знайдіть відстань від точки А до недоступної точки

якщо АС=50м кут САВ= 80deg кут АСВ=72deg (мал1)

мал1

Розвrsquoязання

Відповідь 10129

м

Знайти х

Відповідь х=1

ξ

ι

2

х

В

С

А

Знайти х

Відповідь х=ξ13

5

ξૡ х

А С

Знайти х

Відповідь х=10ξ2

10 х

В

А С

А В

С Д

У паралелограмі сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін

В

АД 2+ВС2=2 ( АВ2+ВС2 )

Сторони трикутника дорівнюють 6см 9см та 12см Знайти медіану проведену до найбільшої сторони

В С Розвязання

А Д

ОПродовжимо медіану АО на її довжину Отримаємо АО = ОС та за властивістю медіани ВО=ОД За ознакою паралелограма чотирикутник АВСД - паралелограм Використовуючи властивість діагоналей паралелограма запишемо

Нехай АО = х см то АС = 2х смТак як АВ = 6 смВД = 9 см та АД = 12 смто

2смЗначить АС = см Отже АО = см

Відповідь см

Сторона трикутника дорівнює 26 сма медіани проведені до двох інших сторін дорівнюють 15 см та 30 см Знайдіть третю сторону трикутника

Відповідь 10см

Відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює двом радіусам кола описаного навколо цього трикутника

Знайти радіус кола описаного навколо трикутника одна сторона якого дорівнює 15 см а протилежний стороні кут - 150deg

Розвязання За наслідком з теореми синусів запишемо

Так як α =150deg то

= = 15 см

Відповідь 15 см

Знайти сторону трикутника якщо радіус кола описаного навколо трикутника дорівнює 8 см а кут протилежний цій стороні дорівнює 120deg

Відповідь 8см

1 Яка з наведених формул неправильна

А Б В Г 119852119842119847ሺ120791120782degminuspropሻ=119836119848119852prop

119836119848119852ሺ120791120782degminuspropሻ= 119852119842119847prop

119852119842119847(120783120790120782degminus 120630)= 119852119842119847prop

119836119848119852ሺ120783120790120782minuspropሻ= 119836119848119852prop

2 Який з наведених виразів має від ємне значенняprime

А Б В Г 119852119842119847120786deg

119836119848119852120783120782120786deg

119852119842119847120783120782120786deg

tg4deg

3 = 4 = 3 У трикутнику АВС АС см ВС см angС =120deg

Знайдіть довжину сторони АВ А Б В Г ξ120785120789 см ξ120783120785см 120786ξ120785см 120787ξ120784см

4 У ang = 45deg ang = 60deg = трикутнику АВС А В ВС 2ξ120784см

Знайдіть довжину сторони АС

А Б В Г 120785ξ120784см 120784ξ120785см ξ120787 см 6 см

5 Сторони трикутника дорівнюють 3 см 4 см 6 см

Знайди довжину медіани

проведеної до найбільшої сторони

А Б В Г 120786ξ120784см 4 см 2ξ120784см

2см

6 Площа круга описаного навколо трикутника АВС

дорівнює 120786120790 120645 см120784

Знайди довжину сторони ВС якщо ang = 120А deg

А Б В Г 12 см 8 см 120787ξ120788см 120785ξ120786см

ВІДПОВІДІ ДО ТЕСТІВ

1 Г

2 Б

3 А

4 Б

5 В

6 А

Домашнє завдання М І Бурда 77(2) 93(1) 119(3) 134

145(1)

Дякую за увагу

та співпрацю