Сума гострих кутів прямокутного трикутника

дорівнює 90

С=90

А+В=90

С

А

В

Узагальнемо!

В прямокутному рівнобедреному трикугнику гострі кути дорівнюють

по 45.

С = 90АС=ВС

А=45В=45

А В

С

Катет прямокутного трикутника, що лежить напроти

кута в 30, дорівнює половині гіпотенузи.

В=30

АС=АВ/2А

В

С

Якщо катет прямокутного

трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут,

що лежить навпроти цього

катета, дорівнює 30.

АС=АВ/2 В=30

А

ВС

Висота прямокутного трикутника, проведена до

гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями

катетів на гіпотенузу

НВАНСН

С

АН

В

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між

гіпотенузою і його проекціями на гіпотенузу.

С

АН

В

АНАВАС

ВНАВВС

ПіфагорПіфагор(580 - 500 рр.до н.е.) (580 - 500 рр.до н.е.)

Давньогрецький філософ, Давньогрецький філософ, релігійний та політичний діяч, релігійний та політичний діяч,

засновник піфагореїзмузасновник піфагореїзму

«Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника,

рівновеликий сумі квадратів, побудованих

на катетах».

«У прямокутномутрикутнику квадратгіпотенузи дорівнює

сумі квадратів катетів».

b

a

сс 2 = a 2 + b 2

b

cа

a

b

c - ?

22 bac

Наприклад:a=6 см, b=8 см

ñìc 1010086 22

b

c a - ?

22 bca

Наприклад:b=8 см, c=17 см

ñìa 15225817 22

ac

b - ?

22 acb

Наприклад:a=5 см, c=13 см

ñìb 12144513 22

Хай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її підставу через H. Трикутник ACH подібний до трикутника ABC по двох кутах. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC. Ввівши позначення отримуємо

Що еквівалентно

Склавши, отримуємо

або

c2

b

b

b

a

a

ab

a

c

c

Квадрат зі стороною a+b

-4 прямокутних трикутники

з катетами a і b

та гіпотенузою c

-квадрат, побудований

на гіпотенузі c, площею c2

b2

b

b

aa2a

b

a

c

c

Квадрат зі стороною a+b

-4 прямокутних трикутники з катетами a і b та гіпотенузою c

- 2 квадрати, зі сторонaми а і b, площі яких a2 і b2 відповідно

c2

b2b

b

b

b

b

a

a

a aa2b

a

a

c

c

b

a

c

c

Порівняємо площі одержаних фігур

c2 = a2 + b2

Якщо a, b, c такі, що a2+b2=c2, то трійка чисел a, b, c –

піфагорова трійка, а трикутники зі

сторонами a, b, c – піфагорові

10 8

613

12

515

17

8

A

B Ca

AB – перпендикуляр до прямої a;B – основа перпендикуляра

AC – похила до прямої a;C – основа похилої

BC – проекція похилої AC на пряму a;

A

B CaD

Якщо AB┴a, AC, AD – похилі, то

1) AC>AB, AC>BC;

2) AC=AD ↔ BC=BD;

3) AC>AD ↔ BC>BD.

a >hb >h

h

a b

ah bh

a = bah = bh

ah bh

a b

А

С В

bc

a

АС – протилежний катет до кута В

ВС – прилеглий катет до кута В

А

С В

bc

a

ВС - протилежний катет до кута А

АС – прилеглий катет до кута А

А

С В

bc

a

c

b

ÀÂ

ÀÑB sin

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи

А

С В

bc

a

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи

c

à

ÀÂ

ÂÑB cos

à

b

ÂÑ

ÀÑtgB

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого

А

С В

bc

a

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до

протилежного

b

a

AÑ

ÑctgB

BА

С В

bc

a

1) 0<cos<1, 0<sin<1, tg>0, ctg>0.

2) Якщо 0<<<90°, то sin<sin, cos>cos, tg<tg.

3) Якщо =, то sin=sin, cos=cos,

tg=tg, ctg=ctg.

sinA

5

3

AB

ÀC

tgA

А

С В

35

4

5

4

AB

BC

cosA

3

11

3

4

AC

BC

5

3

AB

AC

5

4

AB

BC

4

3

BC

AC

А

С В

35

4

sinB

cosÂ

tgB

Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 6 см і 10 см.

Знайдіть:

а) синус гострого кута, що лежить проти більшого катета;

б) косинус гострого кута, прилеглого до меншого катета;

в) тангенс гострого кута, що лежить проти більшого катета.

А

С В

610

За теоремою Піфагора:

86436100 BC

10

8

AB

BCsinA

10

6

AB

ACcosA

tgA3

11

6

8

AC

BC

Відповідь:

Acos Ñ, tg

5

4

15

12cos C

Знайдіть : 3

11

3

4

9

12tg A

9

1215

АВ

С

Відповідь:

Знайдіть:

E tg D, sin 4

3

16

12tg D

5

4

20

16sin E

О

D

Е12

1620

Відповідь:

Знайдіть:

Msin P, cos 17

15sin P

17

15cos M

N

Р

М

17

15

8

1cos2sin2 AA

AsinAB

BC

сosA AB

АC

АВ

ВС2

2

АВ

АС2

2

АВ

АСВС2

2 21

2

2

АВ

АВ

А

ВС

1cos2sin2 AA

AA

AA

2cos1sin

2cos12sin

AA

AA

2sin1cos

2sin12cos

А

С В

Знайдемо відношення синуса кута А косинуса

цього кута

tgAAC

BC

ACAB

ABBC

AB

AC

AB

BC

A

A

cos

sin

tgAA

A

cos

sin

Знайдемо відношення косинуса кута А до синуса цього кута

ctgAA

A

sin

cosctgA

BC

AC

BCAB

ABAC

AB

BC

AB

AC

A

A

sin

cos

В

С А

cossintg

sincosctg

1ctg tg

1cossin 22

2cos

12tg1

22

sin

1tg1 c

Знайдіть:13

12cos ÿêùî, sin) à

13

5

169

25

169

1441

13

12- 1sin

2

2cos1sin Використаємо формули:

Знайдіть:

Використаємо

формули:

2

1sin ÿêùî,cos) á

32

1

4

3

4

11

2

11cos

2

2sin1cos

Знайдіть:

Використаємо

формули:

17

15sin ,tg) ÿêùîâ

8

71

8

15

817

1715

17

8:

17

15

17

8

289

64

289

2251

17

151cos

2

tg

cos

sintg 2sin1cos

Катет, протилежний до кута α, дорівнює:

добутку гіпотенузи на sin α

добутку прилеглого катета на tg α

а = c·sin α

a = b·tg α

а

в сα

Катет, прилеглий до кута α, дорівнює:

добутку гіпотенузи на cos α

відношенню протилежного катета до tg α

а = c·cosα

tg

ab

а

в сα

β

Гіпотенуза дорівнює:

відношенню протилежного катета до sinα

відношенню прилеглого катета до cosα

sin

ac

cos

bc

а

в сα

β

Шукана сторона

Спосіб знаходження Формула

Пр

от

ил

еж

ни

й

кат

ет

Катет, протилежний до кута α, дорівнює:

• добутку гіпотенузи на sin α;• добутку прилеглого катета на tg α

а = c· sin α

a = b· tg α

Шукана сторона

Спосіб знаходження Формула

Пр

ил

егл

ий

кат

ет

tg

ab

Катет, прилеглий до кута a, дорівнює:

• добутку гіпотенузи на cos α;• відношенню протилежного катета до tg α

b = c ·cos α

Шукана сторона

Спосіб знаходження Формула

Гіп

от

ен

уза

sin

ac

Гіпотенуза дорівнює:

•відношенню протилежного катета до sin α •відношенню прилеглого катета до cos α cos

bc

У прямокутному трикутнику катет завдовжки 7 см є прилеглим до кута 60°. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

(cos60°=0,5)

Дано: ∆КМР, М=90°, КМ=7 см, К=60°

ñìÊÌÊÐ 145,0:7cos60

Розв`язування:

Відповідь: 14 см

Знайти: КР60°

М

К

Р

7

У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 20 см, а синус одного з кутів 0,6. Знайдіть катети трикутника.Дано: ∆АВС, С=90°,АВ=20 см, sin β=0,6

Знайти: ВС, АСРозв`язування:

ВС=АВ·0,6=20·0,6=12 см

ñì

ÂÑÀÂÀÑ

16256144400

22

Відповідь: 12 см, 16 см

βС

В

А

Для будь – якого гострого кута α

α

90-αВ

АС

sin (90°- α)=cos α

cos (90°- α)=sin α

Для будь – якого гострого кута α

ctg )tg(900

tg )ñtg(900

Функція 30° 45° 60°

sin α

cos α

tg α 1

ctg α 1

2

12

1

2

3

2

3

2

2

2

2

3

33

3

3

3

Ф- я 30° 45° 60°

sin α

cos α

tg α

ctg α 1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

2

2

2

3

33

3

3

3

а) sin30° + tg45°

б) cos30° tg60°⋅

в) 2 sin45° − cos60°

+ =2

11

· =2

11

2

3

2 · - = 12

1

2

6030cos

tg

.

00 30sin6032 tg

02

3

2

3

00 45sin30 tg2

111

2

1

3

1

3

23

3

332

2

332

3

3

2

332

За двома катетами

а

с

β

в

α 22 bac

a

btg

α = 90° – β

а = c·sin α

b = c·cosα

β = 90° – α

За гіпотенузою і гострим кутом

а

с

β

в

α

За гіпотенузою і катетом

а

с

β

в

α 22 acb

c

acos

α = 90° – β

За катетом і гострим кутом

а

с

β

в

α

sin

ac

b = c·cos α

β = 90° – α

Розв'яжіть прямокутний трикутник за

гіпотенузою і гострим кутом с = 8, α =

30°.

a 8

С А

Вβ

bРис 1

30°

Розв`язання:

60-3090β

4 2

18sin308 a

342

38cos308b

000

0

0

Відповідь: ì, 60 ñì, 4 ñ34 0

Розв'яжіть прямокутний трикутник

за катетом і гострим кутом а= 2,

β=40°.Розв`язання:

000

0

0

504090

7,1839,02tg402

6,2766,0

2

cos40

2

b

ñ

Відповідь: 2,6 см, 1,7 см, 50°

С

2 с

А

В

40°

α

Рис 2b

Розв'яжіть прямокутний трикутник

за гіпотенузою і катетом с=25 см,

а=24 см

24 25

С А

В

α

β

bРис 3

Розв`язання:

Відповідь: 7 см, 16°, 74°

0000 167490 β74α

0,96 25

24

c

a sinα

7 49576625b

9 с

С А

В

α

β

40

Розв'яжіть прямокутний трикутник

за двома катетами b=40 см, а=9 см

Рис 4

Розв`язання:

Відповідь: 41 см, 13°, 77°

0000 90 βα

0,c

aαsin

bàñ

771313

21941

9

41168116008122