Теория нечётких множеств

ТТееоорриияя ннееччёёттккиихх ммнноожжеессттвв

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ..

ММооссккооввссккиийй ггооссууддааррссттввеенннныыйй ууннииввееррссииттеетт

ииммееннии ММ..ВВ.. ЛЛооммооннооссоовваа ((ММоосскквваа,, РРооссссиияя))

Теория нечётких множеств 2 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Обычное множество

ХХааррааккттееррииссттииччеессккааяя ффууннккцциияя ооббыыччннооггоо ччёёттккооггоо ммнноожжеессттвваа

.,0,,1

)(AxAx

xhA

ГГддее ооппррееддееллееннаа??

((ууннииввееррссааллььннооее ммнноожжеессттввоо))

АА еессллии ббууддеетт ппррииннииммааттьь ззннааччеенниияя иизз ]1,0[ ??

Теория нечётких множеств 3 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Зачем нужны нечёткие множества?

ИИссттоорриияя ссоо ссввииддееттеелляяммии......

ППоонняяттииее ««ппоожжииллоойй»»

ВВыыххоодд –– ннееччёёттккооее ммнноожжеессттввоо

Теория нечётких множеств 4 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Можно пересекать «разные» понятия

ККаакк??

ППооччееммуу ээттоо ннее ввеерроояяттннооссттьь??

Теория нечётких множеств 5 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Нечёткий поиск

NNiissssaann XX--TTrraaiill IIII 22..55 CCVVTT 116699 лл..сс.. 665500 000000 РР 115555 000000 ккмм

NNiissssaann MMuurraannoo IIII ((ZZ5511)) 33..55 CCVVTT 224499 лл..сс.. 11 115500 000000 РР 2288 000000 ккмм

NNiissssaann QQaasshhqqaaii II 22..00 CCVVTT 114411 лл..сс.. 778800 000000 РР 8844 000000 ккмм

Запрос ««NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT ((8888 лл..сс..)) ббееннззиинн,, ппеерреедднниийй,, 8800 000000 РР,,

22001100,, 3399 000000 ккмм,, ББееллыыйй ХХээттччббеекк 55 ддвв.. ММоосскквваа»»

Результат: ннеетт

ННоо вв ббааззее еессттьь

NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT 8888 лл..сс.. 8855 000000 РР 3355 000000 ккмм

NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT 8888 лл..сс.. 8800 000000 РР 4400 000000 ккмм

Теория нечётких множеств 6 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Теория нечётких множеств 7 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Определение

Пусть задано множество U (базовое множество)

и функция ]1,0[: UA (степень принадлежности),

тогда нечётким (размытым) подмножеством A называется график

}|))(,{( Uuuu A

Множество (L-R)-типа

Нечётких подмножеств множества больше, чем чётких!

Теория нечётких множеств 8 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Трапецеидальное нечёткое множество

Треугольное нечёткое множество

Теория нечётких множеств 9 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Основные понятия

Теория нечётких множеств 10 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Операции

равенство BABA

включение BABA

дополнение BABA 1

пересечение ],min[ BABA

объединение ],max[ BABA

алгебраическое произведение BABA

алгебраическая сумма BABABA

пустое и универсальное

множества

0 , 1U

Теория нечётких множеств 11 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

При замене функции принадлежности на характеристическую –

аналогичные операции в теории множеств

Пересечение

Объединение

Теория нечётких множеств 12 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Алгебра – множество с введёнными на нём операциями

,,);(U

ABBA

ABBA

)()( CBACBA

)()( CBACBA

AAA

AAA

AA )(

Как называются свойства операций?

Теория нечётких множеств 13 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

,,);(U

ABBA коммутативность

ABBA коммутативность

)()( CBACBA ассоциативность

)()( CBACBA ассоциативность

AAA идемпотентность

AAA идемпотентность

AA )( инволюция

Теория нечётких множеств 14 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Задача 1

Какие из равенств всегда выполняются?

)()()( CABACBA

BABA )(

A

AA

AUA

UUA

UAA )(

)( AA

Решения задач – в конце слайдов

Но практически всё выполнено!

Теория нечётких множеств 15 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Для ,,);(U всё почти аналогично!

Проверить!

Нет только дистрибутивности и идемпотентности

)()()( CABACBA

Таким образом, пересечения и объединения можно вводить по-

разному... но способов ещё больше!

Теория нечётких множеств 16 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Пересечение можно вводить по разному!

Т-нормы

],min[ BABA (1)

BABA (2)

]1,0max[ BABA (3)

]))1()1((,1min[1 /1 pp

B

p

ABA (4)

]]1[],1[max[ BAABBA II (5)

Теория нечётких множеств 17 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Аксиоматическое определение Т-нормы

(треугольной нормы)

]1,0[]1,0[]1,0[:

0)0,0(

AAA ),1()1,(

),(),( ABBA

)),,(()),(,( CBACBA

),(),(),(),( DCBADCBA

В чётком случае– обычное пересечение

Как ввести объединения?

Теория нечётких множеств 18 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Как ввести объединения

Можно по правилам де Моргана

],max[]1,1min[1],min[ BABABA

BABABABA )1()1(1

Теория нечётких множеств 19 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Объединение тоже можно вводить по разному!

Т-конормы

],max[ BABA (1)

BABABA (2)

],1min[ BABA (3)

]))()((,1min[ /1 pp

B

p

ABA (4)

.0,0,1

,0,

,0,

BA

AB

BA

BA

(5)

Аналогично – есть аксиоматический подход...

Поэтому это не теория вероятностей – больше алгебры и эвристик

Теория нечётких множеств 20 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Задача 2

Кстати,

1],))()((,1min[ /1 ppp

B

p

ABA

Чему равен

]))()[((lim /1 pp

B

p

Ap

?

Докажите.

Теория нечётких множеств 21 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Задача (решение сразу)

Как определить выпуклое нечёткое множество?

Как определить декартово произведение нечётких множеств?

Теория нечётких множеств 22 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Задача (решение сразу)

Как определить выпуклое нечёткое множество?

)](),(min[))1((]1,0[, yxyxRyx AAA

тогда и только тогда, когда все уровни выпуклые!

Как определить декартово произведение нечётких множеств?

)](),(min[),( yxyx BABA

Теория нечётких множеств 23 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Декомпозиция нечётких множеств

-уровень множества A –

})(|{ uUuA A

Декомпозиция: 10

),(

AA

Пример декомпозиции:

)}5.0,4(),1.0,3(),4.0,2(),1.0,1{(

max

}4{5.0},4,2{4.0},4,3,2,1{1.0

Теория нечётких множеств 24 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Расстояния между нечёткими множествами, nU ||

Расстояние Хэмминга –

Uu

BA uu |)()(|

Расстояние Евклида –

Uu

BA uu 2|)()(|

Что для бесконечных множеств?

Теория нечётких множеств 25 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Оценка нечёткости

Есть энтропийный подход...

Uu

AA

C

u

C

u

U

)(ln

)(

||ln

1 ,

Uu

A uC )(

В чём недостаток?

Теория нечётких множеств 26 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Оценка нечёткости

Есть энтропийный подход...

Uu

AA

C

u

C

u

U

)(ln

)(

||ln

1 ,

Uu

A uC )(

В чём недостаток?

минимальна у одноэлементных множеств

(неважно, чётких или нечётких)

Почему «более нечёткое»?

Теория нечётких множеств 27 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Метрический подход

1. Расстояние до «ближайшего» чёткого множества

))(round()( uu AA

за меру нечёткости можно взять

)),(( AAf

2. Расстояние до самого нечёткого множества 5.0I

Теория нечётких множеств 28 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Аксиоматический подход

0)( A для чёткого множества A,

1)( 5.0 I для самого нечёткого множества,

)()( AA ,

)()( BA при )5.0)()(()5.0)()(( uuuu BABA

(заострение множества)

)()()()( BABABA (иногда)

Теория нечётких множеств 29 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Задача 3

),(21)( 5.0хэм IAA

удовлетворяет аксиомам

Теория нечётких множеств 30 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Нечёткое бинарное отношение –

нечёткое множество на 21 UU

t -я проекция бинарного отношения R –

),(max)( 21

)(

3

uuu Ru

t

t

Rt

Носитель отношения R –

}0),(|),{()( 212121 uuUUuuRS R

Дополнение, пересечение, объединение, алгебраическое

произведение отношений, алгебраическая сумма отношений...

ясно как

Отношение L содержит R , если

),(),(),( 21212121 uuuuUUuu LR

Теория нечётких множеств 31 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Декомпозиция отношений

000010

5.0,100010

4.0,110011

1.0max4.01.00

05.01.0

max-min-композиция отношений

YXR ~

ZYL ~

ZXLR ~

)]],(),,([min[max),( zyyxzx LRy

LR

для композиции надо выполнить своеобразное умножение матриц

2.02.03.02.0

3.0002.05.01

2.011.05.02.00

в композиции

можно использовать max-произведение

и max-среднее арифметическое

Теория нечётких множеств 32 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Задача 4

Какие равенств всегда выполняются?

)()( MLRMLR

)()()( MRLRMLR

)()()( MRLRMLR

)()( MRLRML

Теория нечётких множеств 33 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Отношение R в UU

рефлексивное, если 1),( uuUu R

симметричное, если ),(),(),( 122121 uuuuUUuu RR

транзитивное, если )],(),,([max),(),,( 3 zyyxzxUzyx RRy

R

можно «красивее»: RRR

Подобие = рефлексивное + симметричное + транзитивное

~ декомпозируется на чёткие эквивалентности

Как это использовать в машинном обучении?

Примеры...

Теория нечётких множеств 34 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Если RRRk , то

транзитивное замыкание R – 32 RRR

оно транзитивное Почему? (задача 5)

Композиция транзитивных отношений не всегда транзитивна

На экзамене – пример.

Теория нечётких множеств 35 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Нечёткий предпорядок – нечёткое бинарное транзитивное и

рефлексивное отношение.

Для предпорядка 32 RRR Доказать (задача 5)

Отношение R антисимметричное, если

0),(),(

),(),(}|),{(\),( 2

xyyx

xyyxUuuuUyx

RR

RR

Порядок – антисимметричный предпорядок

Теория нечётких множеств 36 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Образ нечёткого множества при отображении

YXf :

)(sup)()(1

xy Ayfx

B

Принцип обобщения (внимание!)

– основан на этой формуле

Пусть, например, нечёткие множества – нечёткие числа, тогда

)](),(min[sup)( yxy BAyxz

BA

аналогично другие операции над нечёткими числами

~ уравнения с нечёткими числами

Теория нечётких множеств 37 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Немного о нечётком выводе и т.п.

Модификатор «очень» – возведение в квадрат

2)]([)()( uuu RRR

(здесь всё эвристично)

Пример эвристического вывода

«Если товар дорогой, то надёжный»

«Товар очень дорогой» «Товар очень надёжный»

Теория нечётких множеств 38 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Немного о нечётком выводе и т.п.

Обобщение импликации

)]()(1,1min[),( vuvu BABA

Теория нечётких множеств 39 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Проблемы формализации

Если появляется дополнительное понятие,

то модифицируются уже имеющиеся!

Теория нечётких множеств 40 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Проблемы формализации

Трудно перевести понятие в модель

Ещё сложнее: «совсем молодой»

Теория нечётких множеств 41 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Есть понятие ПОСП

(полное ортогональное семантического пространство)

~ набор функций }{ j

1. Нормальность }1)(|{1 uUuU jj – отрезок

2. j неубывает слева от 1

jU и невозрастает справа

3. Не более двух точек разрыва первого рода

4. Полнота UujUu j }0)(:|{

5. Ортогональность 1)( j

j uUu

Теория нечётких множеств 42 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Степень нечёткости ПОСП

часто используют

U

kt duuufU

))()((||

1

Uu )()()( uuu ikt при },{ kti

1)0( f , 0)1( f , f убывает.

А каким свойствам должна удовлетворять

«степень нечёткости ПОСП»? Зачем она нужна?

Теория нечётких множеств 43 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Зачем нужна степень нечёткости ПОСП

Это трудность описания ситуаций в заданных терминах...

Совсем легко описать Тяжело описать

Теория нечётких множеств 44 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Нечёткие задачи...

Какое из множеств более нечёткое:

)}9.0,3(),6.0,2(),3.0,1{( , )}75.0,2(),25.0,1{( ?

Дано нечёткое число «один»:

],2,0[,0],2,1[,2

],1,0[,

)(uuu

uu

uодин

чему равно число «два»= «один»+ «один»?

Чему равно число «два»= 2*«один»?

В каком случае «ноль»+ «один» = «один»?

Теория нечётких множеств 45 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Решение задачи 1

Какие из равенств всегда выполняются?

,,);(U ,,);(U

)()()( CABACBA

Неверно!

BABA )(

A

AA

AUA

UUA

UAA )( Неверно! Неверно!

)( AA Неверно! Неверно!

Как решать: непосредственная проверка

)],min(),,max[min()],max(,min[ cabacba

Теория нечётких множеств 46 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Решение задачи 1

Часто проще проверить используя правила де Моргана

,,);(U

)()()( CABACBA

)()()( CABACBA

)1)(1()(1 acabbccba

bcaacababcacab 211

bcaabc 2

Дистрибутивность справедлива лишь при

0001

cbaa

Теория нечётких множеств 47 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Решение задачи 2

Чему равен

]))()[((lim /1 pp

B

p

Ap

?

],max[]))()[((lim /1

BA

pp

B

p

Ap

Пусть BA , A

pp

A

B

pA

pp

B

p

Ap

/1

/1 1lim]))()[((lim .

0)1ln(

1lnlim/1

p

xx

ppp

p, 10 x

Теория нечётких множеств 48 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Решение задачи 3

),(21)( 5.0хэм IAA удовлетворяет аксиомам

Например, )()()()( BABABA

Проверяем |5.0||5.0||),min(5.0||),max(5.0| bababa

Теория нечётких множеств 49 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Решение задачи 4

Какие равенств всегда выполняются?

)()( MLRMLR Непросто

)()()( MRLRMLR

)()()( MRLRMLR Неверно!

)()( MRLRML

Как рассмотреть (2) и (3):

,)),(min(max)),,(min(maxmax))),max(,(min(max ttt

ttt

tttt

mrlrmlr

Теория нечётких множеств 50 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Решение задачи 5

Транзитивное замыкание 32 RRRL транзитивно.

LRRRRRRL 32222 )()(

Решение задачи 6

Для предпорядка 32 RRR

)]],(),,([min[max),(2 zyyxzx RRyR

),()],(,),(min[)]],(),,([min[),(

1

2 zxzxxxzyyxzx RRRxyRRR

С другой стороны, по транзитивности ),(),(2

2 zxzxRR RR

поэтому ),(),(2 zxzx RR и RR 2

«Домножая на R» получаем и другие равенства.

Теория нечётких множеств 51 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Литература

Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения

нечеткости. Москва, Диалог-МГУ, 1998, 116 с.

http://www.intsys.msu.ru/staff/ryzhov/FuzzySetsTheory&Applications.pdf

Основные понятия теории нечетких множеств, нейронных сетей и

генетических алгоритмов // Вспомогательные материалы к курсу

проф. Рыжова А.П.

http://www.mba-topman.ru/files/Osnovnye_ponyatiya1064.pdf

Ухоботов В. И.Избранные главы теории нечетких множеств // Учеб.

пособие. Челябинск : Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2011. – 245 с.

http://www.lib.csu.ru/texts/UhobotovVI.pdf