Upload
tran-duc-anh
View
57
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
http://tailieu.vncty.com
Citation preview
Tiểu luận lý thuyết nhóm
NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C4v
1. Các yếu tố đối xứng
Nhóm C4v gồm các yếu tố E, C4, C2, C4-1 của nhóm C4 và các phép phản xạ
gương , , qua bốn mặt phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là ,
, , trong đó trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép
quay , trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép quay ,
và là hai mặt phân giác của hai góc vuông của hai mặt phẳng và (Hình
1).
Hình 1
2. Các phép đối xứng
HVTH: Trần Thị Phường 1
v
x
v v
o
y
v o
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Nhóm là một phép các nhóm đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy
là một hình vuông. Hình 1 ta vẽ mặt đáy của một hình trụ đó và các giao tuyến
của các mặt phẳng gương , , , với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục Oz trùng
với trục quay , mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọn đi
qua trục Ox và đi qua Oy . Như vậy các yếu tố đối xứng là trục quay C4 và
bốn mặt phẳng gương chứa trục quay , , , .
Hình 2
Biểu diễn 3 chiều của nhóm:
Chọn trục quay trùng với trục Oz
Trong phép quay :
: nên =
(1)
Ma trận biến đổi của phép quay là:
HVTH: Trần Thị Phường 2
x
y
z
o
v
v
v
v
Tiểu luận lý thuyết nhóm
=
Trong phép quay = :
= : nên =
100
010
001
(2)
Ma trận biến đổi của phép quay là:
=
Trong phép quay = :
= : nên =
(3)
Ma trận biến đổi của phép quay = là:
=
Trong phép quay :
: nên =
(4)
Ma trận biến đổi của phép quay =E là:
=
Phép phản xạ gương :
HVTH: Trần Thị Phường 3
Tiểu luận lý thuyết nhóm
: nên =
(5)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
=
Các phép phản xạ gương :
: nên =
(6)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
=
Phép phản xạ gương :
: nên =
(7)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
=
Phép phản xạ gương :
: nên =
(8)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
HVTH: Trần Thị Phường 4
Tiểu luận lý thuyết nhóm
=
Trong đó mặt phẳng gương là mặt phẳng xOz và là mặt phẳng yOz
còn và là hai mặt phẳng phân giác trực giao với nhau (Hình 2).
3. Bảng nhân nhóm
Sử dụng quy tắc nhân ma trận với các ma trận biến đổi trên từ (1), (2), (3),
(4), (5), (6), (7) và (8) ta có:
EE = = = = = = E (9)
E = E = = = = = = = (10)
E = = = E = = = = = (11)
E = = = E= = = = = (12)
E = E = = = = = = = (13)
E = = = = = E = = = (14)
E = = = = = = E = = (15)
E = = = = = = = E = (16)
Từ các công thức (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có bảng
nhân nhóm C4v như sau:
HVTH: Trần Thị Phường 5
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng1: Bảng nhân nhóm
C4v E C4 C2 C4-1
E E C4 C2 C4-1
C4 C4 C2 C4-1 E
C2 C2 C4-1 E C4
C4-1 C4
-1 E C4 C2
E C2 C4 C4-1
C2 E C4-1 C4
C4-1 C4 E C2
C4 C4-1 C2 E
4. Sự phân lớp
Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta
có thể nghiệm lại rằng nhóm có 8 yếu tố đối xứng {E, C4, C2, , , , ,
và } chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp như sau:
Ta xét từng yếu tố đối xứng và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố
đã cho.
Nếu a là một yếu tố nào đó của nhóm C4v thì tất cả các yếu tố gag-1 với mọi
yếu tố g của C4v tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a.
Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag-1 đều trùng với E. Vậy
chính yếu tố đơn vị E là một lớp.
Lấy a là C4. Các yếu tố liên hợp với nó là:
= ; ( )-1 = ; ( )-1 = ( )-1 =
( )-1 = ( )-1 = = tương tự
= =
= =
= =
HVTH: Trần Thị Phường 6
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp
Nếu lấy a là :
( )-1= ( )-1 =
( )-1 = ( )-1=
( )-1 = ( )-1 = = tương tự
= =
= =
= =
Như vậy, là một lớp.
Nếu chọn a là . Các yếu tố liên hợp với nó là
( )-1= =
( )-1 = ( )-1=
( )-1 = E( )-1 =
= =
= =
= =
Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp.
Nếu chọn a là . Các yếu tố liên hợp với nó là
( )-1= ( )-1 =
( )-1 = ( )-1=
( )-1 = ( )-1 =
= =
=E =
= =
HVTH: Trần Thị Phường 7
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp.
Vậy có năm lớp các yếu tố liên hợp là:
C1 = {E}, C2 = {C4, C4-1}, C3 = {C2}, C4 = { , } và C5 ={ , }
Nhóm với thí dụ là phân tử IF5.
5. Bảng đặc biểu
Trong biểu diễn hai chiều ta tìm được:
= 2; = -2
= = = 0
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v thể hiện trên bảng 2.
Bảng 2
C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }
A1 1 1 1 1 1
A2 1 a1 b1 c1 d1
A3 1 a2 b2 c2 d2
A4 1 a3 b3 c3 d3
A5 2 -2 0 0 0
Ta có hệ thức chuẩn hóa của đặc biểu
= 1 + a1 +2 b1 + 2c1 + 2d1 = 0
= 1 + + 2 +2 +2 = 8
a1 = b1 =1; c1 = d1 = -1
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 3.
HVTH: Trần Thị Phường 8
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng 3
C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }
A1 1 1 1 1 1
A2 1 1 1 -1 -1
A3 1 a2 b2 c2 d2
A4 1 a3 b3 c3 d3
A5 2 -2 0 0 0
Tương tự
= 1 + a2 +2 b2 + 2c2 + 2d2 = 0
= 1 + a2 +2 b2 - 2c2 - 2d2 = 0
= 1 + + 2 +2 +2 = 8
a2 = c2 =1; b2 = d2 = -1
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 4.
Bảng 4
C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }
A1 1 1 1 1 1
A2 1 1 1 -1 -1
A3 1 1 -1 1 -1
A4 1 a3 b3 c3 d3
A5 2 -2 0 0 0
= 1 + a3 + 2b3 + 2c3 + 2d3 = 0
= 1 + a3 + 2b3 - 2c3 -2d3 = 0
HVTH: Trần Thị Phường 9
Tiểu luận lý thuyết nhóm
= 1 + a3 - 2 b3 + 2c3 - 2d3 = 0
= 1 + + 2 +2 +2 = 8
a3 = d3 =1; b3 = c3 =-1.
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 5.Bảng 5
C4v C1= {E} C2 = {C2} C3={C4,C4-1} C4 ={ , } C5={ , }
A1 1 1 1 1 1
A2 1 1 1 -1 -1
A3 1 1 -1 1 -1
A4 1 1 -1 -1 1
A5 2 -2 0 0 0
Ta viết lại bảng đặc biểu của nhóm C4v hoàn chỉnh như sau
Bảng 6: Bảng đặc biểu của nhóm C4v
Biểu
diễn
C1=
{E}
C2 =
{C2}
C3=
{C4,C4-1}
C4 =
{ , }
C5 =
{ , }
Hàm cơ bản
(A1) 1 1 1 1 1 z; z2; x2+y2
(A2) 1 1 1 -1 -1 Rz
(B1) 1 1 -1 1 -1 x2 - y2
(B2) 1 1 -1 -1 1 xy
(E) 2 -2 0 0 0 (x,y); (xz,yz)
6. Biểu diễn hạ cảm
Từ bảng đặc biểu của nhóm Oh (Bảng 7) ta thấy rằng nhóm Oh có 10 lớp
{E, 3C42, 6 , 6 , 8C3, I, 3IC4
2, 6I , 6I , 8IC3}
Vậy khi hạ cảm các lớp của nhóm Oh và nhóm C4v sẽ tương ứng như sau:
HVTH: Trần Thị Phường 10
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng 7
Oh E 3C42 6 6 8C3 I 3IC4
2 6I 6I 8IC3
C4v E
Mặc dù T là biểu diễn tối giản của G, biểu diễn hạ cảm , nói chung
là biểu diễn khả quy. Do đó, bài toán đặt ra là tìm biểu thức khai triễn biểu diễn
hạ cảm thành tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản của nhóm C4v
Số lần biểu diễn tối giản chứa trong T của nhóm G được tính bằng công
thức:
hoặc
Bảng 8. Bảng đặc biểu của nhóm Oh được viết tương ứng vơi C4v
Ta viết lại
bảng đặc biểu của C4v
HVTH: Trần Thị Phường 11
Oh E
(E
3C42
3C2
6
6
3IC42
3
6I
6 )
A1g 1 1 1 1 1
A2g 1 1 -1 1 -1
Eg 2 2 0 2 0
T1g 3 -1 1 -1 -1
T2g 3 -1 -1 -1 1
A1u 1 1 1 -1 -1
A2u 1 1 -1 -1 1
Eu 2 2 0 -2 0
T1u 3 -1 1 1 1
T2u 3 -1 -1 1 -1
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng 9
C4v C1={E} C2={C2} C3={C4,C41} C4={ , } C5={ , }
A1 1 1 1 1 1
A2 1 1 1 -1 -1
A3 1 1 -1 1 -1
A4 1 1 -1 -1 1
A5 2 -2 0 0 0
A1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1
m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0
m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0
m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0
m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1 + 2.0.1.+ 2.0.1.+ 2.0.1] = 0
Vậy A1g = A1
A2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0
m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0
m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1
m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0
m5 = = [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
Vậy A2g = A3
HVTH: Trần Thị Phường 12
Tiểu luận lý thuyết nhóm
A1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
Vậy A1u = A2
A2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0
m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0
m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0
m4 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1
m5 = [1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
Vậy A2u = A4
Eg = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.2 + 2.1.0] = 1
m2 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).2 + 2.(-1).0] = 0
m3 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.2 + 2.(-1).0] = 1
m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).2 + 2.1.0] = 0
HVTH: Trần Thị Phường 13
Tiểu luận lý thuyết nhóm
m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0
Vậy Eg = A1 + A3
Eu = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.(-2) + 2.1.0] = 0
m2 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).(-2) + 2.(-1).0] = 1
m3 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.(-2) + 2.(-1).0] = 0
m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).(-2) + 2.1.0] = 1
m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0
Vậy Eu = A2 + A4
T1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy T1g = A2 + A5
T2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0
m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0
m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0
HVTH: Trần Thị Phường 14
Tiểu luận lý thuyết nhóm
m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1
m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy T2g = A4 + A5
T1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1
m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0
m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0
m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0
m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy T1u = A4 + A5
T2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 = [1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0
m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0
m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1
m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0
m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
Vậy: T2u = A3 + A5
Tóm lại biểu diễn hạ cảm như sau:
Bảng 10
A1g = A1 T1u = A4 + A5
A2g = A3 T2u = A3 + A5
Eg = A1 + A3 Eu = A2 + A4
T1g = A2 + A5 A1u = A2
HVTH: Trần Thị Phường 15
Tiểu luận lý thuyết nhóm
T2g = A4 + A5 A2u = A4
7. Biểu diễn tích
Bảng 11. Bảng đặc biểu của biểu diễn tích trực tiếp
A1 A2 1 1 1 -1 -1
A1 A3 1 1 -1 1 -1
A2 A3 1 1 -1 1 -1
A3 A3 1 1 1 1 1
A3 A4 1 1 1 -1 -1
A4 A4 1 1 1 1 1
A4 A5 2 -2 0 0 0
A5 A5 4 4 0 0 0
A1 A2 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
mi đựơc tính từ công thức:
khi đó:
m1 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m2 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
m3 = [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
m4 == [1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
m5 = [1.1.2 + 1. 1(-2)] = 0
Vậy A1 A2 = A2
Tương tự
A1 A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m1 = m2 = m4= m5 = 0; m3 = 1
Vậy A1 A3 = A3
A2 A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
HVTH: Trần Thị Phường 16
Tiểu luận lý thuyết nhóm
m1 = m2 = m3 = m5 = 0; m4 = 1
Vậy A2 A3 = A4
A3 A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m4 = m2 = m3 = m5 = 0; m1 = 1
Vậy A3 A3 = A1
A3 A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m1 = m3 = m4 = m5 = 0; m2 = 1
Vậy A3 A4 = A2
A4 A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m2 = m3 = m4 = m5 = 0; m1 = 1
Vậy A4 A4 = A1
A4 A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m2 = m3 = m4 = m1 = 0; m5 = 1
Vậy A4 A5 = A5
A5 A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m2 = m3 = m4 = m1 = 1; m5 = 0
Vậy A5 A5 = A1 + A2 +A3 + A4
Tóm lại biểu diễn tích trực tiếp thể hiện trên bảng 12
Bảng 12
A1 A2 = A2 A3 A4 = A2
A1 A3 = A3 A4 A4 = A1
A2 A3 = A4 A4 A5 = A5
A3 A3 = A1 A5 A5 = A1 + A2 +A3 + A4
HVTH: Trần Thị Phường 17