Fracciones parciales

FRACCIONES PARCIALES

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y

obtener sumas de expresiones más simples.

Hay cuatro casos:

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

Paso 1:

Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la

del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de

la función del numerador.

Paso 2:

Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,

px +q, o factores cuadráticos irreductibles, cbxax 2 , y agrupar los factores

repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores

diferentes de la forma mqpx , donde 1m o ncbxax 2 los números m y n

no pueden ser negativos.

Paso 3:

Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es

lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

...factor factor

segundo

B

primer

A

Ejemplo 1:

Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

xxx

xx

32

913423

2

Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo

tanto no tengo que hacer una división larga.

Segundo: factorizo el denominador

133232 223 xxxxxxxxx

Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma

1332

913423

2

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

31139134 2 xxCxxBxxAxx

Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:

Opero los paréntesis

xxCxxBxxAxx 3329134 2222

Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi

ACBAxCBAxxx

ACxBxAxCxBxAxxx

CxCxBxBxAAxAxxx

CxCxBxBxAAxAxxx

xxCxxBxxAxx

3329134

3329134

3329134

3329134

3329134

22

2222

2222

2222

2222

Mis tres ecuaciones son:

4111 CBA

13312 CBA

A39

Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A

A39

A

A

3

3

9

Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones

1

34

43

413

4111

CB

CB

CB

CB

CBA

73

6133

1336

13332

13312

CB

CB

CB

CB

CBA

Multiplico las letras en los paréntesis

Quito los paréntesis

Los ordeno

Factorizo asi

Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C

73

1

CB

CB

2C

84

C

1

21

12

1

B

B

B

CB

Coloco las respuestas en la letra correspondiente

1

2

3

13

1332

913423

2

xxxx

C

x

B

x

A

xxx

xx

Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no

repetidos que es mucho mas fácil.

1332

913423

2

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.


Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial

0x 3

03

x

x

1

01

x

x

Ahora sustituyo los valores de x

x = 0


A

A

CBA

CBA

3

39

0013900

30010010309013042

x = -3


B

B

CBA

CBA

1

1212

03434093936

33313313339313342

x = 1


C

C

CBA

CBA

2

48

4101049134

31111111319113142

Respuesta:

1

2

3

13

1332

913423

2

xxxx

C

x

B

x

A

xxx

xx

EJERCICIOS

1) 32

18

xx

x 2)

14

29

xx

x 3)

124

342

xx

x

4) xx

x

4

1252

5)

321

1154 2

xxx

xx 6)

52

20192

xxx

xx

7) xxx

xx

54

155423

2

8)

651

11372

xxx

Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

Ejemplo:

22

3

3610

xx

xx

Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es 23x

Entonces lo colocamos asi:

233

x

C

x

B

x

A

Si fuera al cubo el término repetido 33x lo pondríamos:

32333

x

D

x

C

x

B

x

A

Ejemplo resuelto por pasos:

22

3

3610

xx

xx

Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el

denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el

denominador el término repetido elevado al cuadrado así:

22

2

333

3610

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver

únicamente por sistemas de ecuaciones.

Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.

xCxxBxAxx 33361022

Operamos los paréntesis

xCxxBxxAxx 3963610 222

ACBAxBAxxx

ACxBxAxBxAxxx

CxBxBxAAxAxxx

CxBxBxAAxAxxx

9363610

9363610

3963610

3963610

22

222

222

222

Formo mis 3 ecuaciones

369

1036

1

A

CBA

BA

Resolviendo me queda:

4

369

A

A

Sustituyo valores en la primera ecuación:

5

14

14

1

B

B

B

BA



Los ordeno

Factorizo asi

Sustituyo valores en la segunda ecuación

1

910

109

101524

1036

C

C

C

C

CBA

respuesta

22

2

3

1

3

54

3

3610

xxxxx

xx

EJERCICIOS

9) 21

32

x

x 10)

2

452

2

xx

x 11)

23

2

53

255019

xx

xx

12) 2510

102

xx

x 13)

122

62

xx

x 14)

22

2

11

2

xx

xx

Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible.

482

2915423

23

xxx

xxx

Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que

tengo que realizar una división larga.

2

482 23 xxx 2915 4 23 xxx

8 1624 23 xxx

2x x 21

482

212

482

2915423

2

23

23

xxx

xx

xxx

xxx

Factorizo el denominador:

12412412482 2223 xxxxxxxx

42 x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi:

124482

21223

2

x

C

x

BAx

xxx

xx

Operamos el mínimo común denominador

CBBAxCAxxx

CBBxAxCxAxxx

CCxBBxAxAxxx

xCxBAxxx

42221

42221

42221

41221

22

222

222

22

Formar las ecuaciones:

214

12

12

CB

BA

CA

Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la

resolución por matices

21410

1021

1102



Los ordeno

Factorizo asi

1102

21410

1021

1140

21410

1021

851700

214 10

1 0 21

5

8517

C

C

1

2021

214

B

B

CB

3

21

21

12

A

A

BA

BA

RESPUESTA:

12

5

4

132

1242

482

212

482

291542223

2

23

23

xx

x

x

C

x

BAx

xxx

xx

xxx

xxx

11 RR

3312 RRR

1140

1102

2042

3324 RRR

851700

1 140

841640

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