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GRALES

I NT E G

RAC

I ÓN

PO

R

F RAC

CI O

NE S P

ARC

I AL E S

El método de integración por fracciones parciales es una forma de integración que permite resolver integrales de cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios), que difícilmente podrían ser resueltas con otros métodos. La integración por fracciones parciales es un recurso algebraico que permitirá la resolución de este tipo de integrales.

Método

En algebra el método de fracciones parciales se refiere a desumar una fracción, es decir, deshacer una suma en fracciones con un común denominador para encontrar el resultado de la fracción original

En la integración por

fracciones parciales se

pueden dar los siguientes

casos:

Casos

Factores lineales distintos:

Cada factor lineal ax+b del denominador de una fracción racional propia le corresponde una fracción de la forma siendo A una constante a determinar.

Caso 1:

Factores lineales iguales:

A cada factor lineal ax+b que figure

n veces en el denominador de una fracción racional propia le corresponde una suma de n fracciones de la forma + ……Siendo A una constante a determinar.

Caso 2:

Factores cuadráticos distintos:

A cada factor cuadrático reducible ax²+bx +c que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una

fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Caso 3:

Factores cuadráticos iguales:

A cada factor cuadrático reducible

ax²+bx +c que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una sema de n fracciones de la forma siendo A y B constantes a determinar.

Caso 4:

Ejercicios

Resueltos

∫ 𝟒 𝑿 ²+𝟏𝟑𝒙−𝟗𝑿 ³+𝟐 𝑿 ²−𝟑𝑿

Ejemplo #1• Se factoriza el denominador:()= X(X²+2X-3)= X (X+3) (X-1)• Se acomodan los factores de la siguiente

manera:

= + + • Se obtiene un común denominador= A(X + 3) (X – 1) + B(X) (X – 1) + C(X) (X + 3)• Resolviendo= A(X² + 2X – 3) + B(X² - X) + C(X² + 3X)• Se obtienen las 3 ecuaciones y se

resuelven con el método mas convenienteA + B + C= 4 A=32A - B +3C = 13 C=2-3A = -9 B=-1• Se sustituye en la ecuación original

= + + = - +

• Se obtienen el resultado de las integrales:

∫ 𝑿 ²+𝟏𝟎𝒙−𝟑𝟔𝑿+(𝑿−𝟑)²

Ejemplo #2• Se acomodan los factores de la siguiente manera:

= + + • Se obtiene un común denominador= A(X-3)² + B(X) (X -3) + C(X)• Resolviendo= A(X²-6X+9) + B(X² -3X) + C(X)• Se obtienen las 3 ecuaciones y se

resuelven con el método mas convenienteA + B = 1 A=-4-6A - 3B +C = 10 C=19A = -36 B=5• Se sustituye en la ecuación original

= + +

• Se obtienen el resultado de las integrales:

Ejercicios Propuestos

∫ 𝟐 𝑿+𝟑(𝑿 −𝟏) ²

#1

∫ 𝟐𝑿 ²+𝑿( 𝑿−𝟏 )2(𝑿+𝟏) ²

#2

∫ 𝑿 ²−𝟔(𝑿+𝟐)(𝟐 𝑿−𝟏)

#3

∫ 𝟏𝟎−𝑿𝑿 ²+𝟏𝟎 𝑿+𝟐𝟓

#4

∫ 𝟏𝟗 𝑿 ²+𝟓𝟎 𝑿−𝟐𝟓𝟑𝑿 ³+𝟓𝑿 ²

#5

Cruz Frias Nathalie Soledad

Elaborado

por: