CALCULO INTEGRAL (ARQ)Sesin 4: Integracin de funciones racionales

por fracciones parciales Integracin con el uso de tablas

Integrales que contienen polinomios cuadrticos

Muchas integrales que contienen una raz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrtico: ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar cuadrados.

Integracin de Funciones Racionales mediante Fracciones ParcialesCmo integrar una funcin racional?Expresndola como una suma de fracciones ms simples, llamadas fracciones parcialesConsideremos la funcin racional:

Si f es impropia; esto es, si grad(P(x)) grad(Q(x)), debemos dividir P entre Q hasta obtener un residuo tal que:Es posible expresar f como una suma de fracciones ms sencillas siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q ?Esa funcin racional se llama propia.

El siguiente paso consiste en expresar la funcin racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma:O bien

Caso I: El denominador. Q (x), es un producto de factores lineales distintos.En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... A k tales queEsto significa que podemos escribir:

Ejercicio: Determine

Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten

Por ejemplo: Resolver x = 1: C = 1x = 0: A = -2x = -1: B = 4

Entonces:

Ejercicio: Determine

Integracin con el uso de tablas

USO DE TABLASLas tablas de integrales son teoremas probados que enuncian antiderivadas, para muchos tipos de estructuras del integrando.Normalmente estn agrupadas con base a un elemento caracterstico del integrando: por ejemplo las que contienen ex, o las que incluyen u2 a2, etc. Para hacer coincidir una estructura con las formulas bsicas es necesario seleccionar adecuadamente a los elementos u, du, a y n; de acuerdo a la estructura elegida.

Procedimientos comunes que se sugiere probar son:Simplificar algebraicamente el integrando.Separar el integrando en sumandos y separar las integrales.Hacer una sustitucin directa para simplificar, se ve directamente u y du.Completar los cuadrados para lograr cubrir formas: u2 + a2 , u2 a2 (u a) 2.

Conclusin El procedimiento resulta adecuado si despus de la sustitucin u, du, la estructura de la integral es idntica a los teoremas bsicos y se aplica directamente la antiderivacin.

Frmulas

Resolver los siguientes ejercicios: