หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 พื้นที่และปริมาตร

หนวยการเรียนรูที่ 1

พื้นที่พื้นที่ผิวผิวและปริมาตรและปริมาตร

มาตรฐานการเรียนรู

มาตรฐาน ค 2.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 2.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 3.1 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได 2. หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลมได 3. หาพื้นท่ีผิวของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลมได 4. ใชความรูเก่ียวกับพื้นท่ี พื้นท่ีผิว และปริมาตร แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ ท่ีได

สาระการเรียนรู

พื้นท่ีและปริมาตร (2 คาบ) พื้นท่ีผิวและปริมาตรของปริซึม (3 คาบ) พื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกระบอก (3 คาบ) พื้นท่ีผิวและปริมาตรของพีระมิด (3 คาบ) พื้นท่ีผิวและปริมาตรของกรวย (3 คาบ) พื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลม (3 คาบ)

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

พรอมหรอืยงั ? ถาพรอมแลว ก็เริม่เรยีนแลวนะครับ

1

2 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.3

11..11 พื้นทีแ่ละปริมาตรพื้นทีแ่ละปริมาตร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ

อธิบายเกี่ยวกับความหมายและลักษณะของพ้ืนท่ีและปริมาตรได แสดงการคิดคํานวณเกี่ยวกับพื้นท่ีและปริมาตรได มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับพื้นท่ีและปริมาตร และนําหลักการ ไปประยุกตใชในชีวิตประจําวัน

1. 2. 3.

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค

ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชาคณิตศาสตร

มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเชื่อม่ันในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน มีความรับผิดชอบ มีความสนใจใฝรู

1. 2. 3. 4. 5. 6.

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 1 พื้นท่ีผวิและปริมาตร 3

พ้ืนที่และปริมาตร

พื้นท่ี

นักเรียนเคยเรียนเรื่องพื้นท่ีมาแลว สําหรับการหาพื้นท่ีผิวของรูปตาง ๆ นั้นมีประโยชนมากในชีวิตประจําวัน พื้นท่ีมีหนวยวัดเปนตารางหนวย ตัวอยางเชน

พื้นที่ 1 ตารางหนวย หมายถึง พื้นท่ีภายในรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีมีดานยาวดานละ 1 หนวย หนวย 1 1 หนวย

หนวยของพื้นท่ี “ตารางหนวย” หรือ “หนวย2” จะเปนอะไรนั้นข้ึนอยูกับหนวยการวัดความยาวดาน เชน

1

วา 1 นิ้ว 1 1 ซม.

วา 1 นิ้ว

1 ซม.

1 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางน้ิว 1 ตารางวา

หนวยการวัดพื้นท่ีท่ีนิยมใชกัน คือ หนวยวัดพื้นท่ีในระบบเมตริก ไดแก ตารางเซนติเมตร ตารางเมตร ตารางกิโลเมตร และหนวยวัดพื้นท่ีในระบบมาตราไทย ไดแก ตารางวา งาน และไร ซ่ึงจะใชหนวยใดจะตองเลือกใชใหเหมาะสมกับขนาดของพ้ืนท่ีท่ีวัด

หนวยการวัดพื้นท่ีท่ีสําคัญ ซ่ึงนักเรียนควรรูจักมีดังนี้

หนวยการวัดพื้นท่ีในระบบเมตริก

1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 ตารางมิลลิเมตร ……… ตารางเมตร เทากับ 10,000 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ ……… ตารางเมตร



หนวยการวัดพื้นท่ีในมาตราไทย

100 ตารางวา เทากับ 1 งาน 4 งาน เทากับ ……… ไร 400 ตารางวา เทากับ ……… ไร

หนวยการวัดพื้นท่ีในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก

1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร ……… งาน เทากับ 400 ตารางเมตร 1 ไร เทากับ ……… ตารางเมตร ……… กิโลเมตร เทากับ 625 ไร

นักเรียนเคยเรียนการหาพื้นท่ีของรูปเรขาคณิตตาง ๆ มาแลว ใหนักเรียนชวยกันเขียนสูตรการหาพื้นท่ีของรูปตอไปนี้

รูปเรขาคณติ สูตรการหาพ้ืนท่ี

12×1. พื้นที่ของรูปสามเหล่ียม ฐาน×สูง

2. พื้นที่ของรูปสามเหล่ียมดานเทา

3. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส

4. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมผืนผา

5. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน

6. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมคางหมู

7. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมรูปวาว

8. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมขนมเปยกปูน

9. พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมใด ๆ

10. พื้นที่รูปวงกลม

11. พื้นที่ของรูปหกเหล่ียมดานเทามุมเทา



กิจกรรมที่ 1.1 : ทักษะการส่ือสาร การนําเสนอ และการเชื่อมโยง

จงหาพื้นท่ีของรูปเรขาคณิตตอไปนี้ พื้นที่ของ ABDC โดยท่ีเสนทแยงมุมเทากับ 4 เซนติเมตร 1)

D C

B A …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

2) พื้นที่ของ PQR …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

20 ซม. P

R

S Q ซม. 9

13 ซม.

3) พื้นที่ของรูป ABCDE …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

4) พื้นที่ของรูป ABCDEF

E D

A B 4 ซม. 20 ซม.

ซม.

2 ซม.

ซม. 2

3

2 ซม.

A

ซม. D

B

C

E F

3 C

…………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………



5) พื้นที่ของ ABC …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

ปริมาตร

รูปเรขาคณิตตาง ๆ ไดแก ทรงกระบอก กรวย หรือทรงส่ี เหล่ียมมุมฉากเปนรูปเรขาคณิต……………………… สามารถหาความจุหรือปริมาตรได เราใชหนวยการวัดปริมาตรของ

รูปเรขาคณิตสามมิติมีหนวยเปน……………………หรือ หนวย3 ตามหนวยของความยาวท่ีใชใน

สถานการณนั้น ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม ทรงส่ีเหล่ียมมุมฉาก ลูกบาศกหนวย หมายถึง ความจุของทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีมีความกวาง ความยาว และความ

สูง 1 หนวยเทากัน เชน

1 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายถึง ทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูงเปน 1 เซนติเมตรเทากัน

F

E

C

B

A

D

4 ซม.

9 ซม.

1 ซม. ซม. 1

ซม. 1

ซม. 12



ปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมมุมฉากหาไดจากสูตร ดังนี้

สูง

ยาว

กวาง สูตร ปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก = ความกวาง×ความยาว×ความสูง หรือ ปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก = พื้นท่ีฐาน×ความสูง

หนวยการวัดปริมาตร

จากท่ีกลาวมาแลว หนวยของปริมาตรคือลูกบาศกหนวย จะใชหนวยใดข้ึนอยูกับหนวยวัดความกวาง ความยาว ความสูงของทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากนั้น ๆ ซ่ึงจะใชหนวยการวัดปริมาตรในระบบเมตริก ซ่ึงนักเรียนควรรูจักมีดังนี้

หนวยการวัดปริมาตรในระบบเมตริก

……… ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ 1,000 ลูกบาศกมิลลิเมตร 1 ลูกบาศกเมตร เทากับ 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ ……… มิลลิเมตร ……… ลิตร เทากับ 1,000 มิลลิเมตร 1 ลิตร เทากับ ……… ลูกบาศกเซนติเมตร ……… ลิตร เทากับ 1,000 ลูกบาศกเมตร

ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้

จงเปล่ียนหนวยปริมาตรตอไปนี้ ใหมีหนวยเปนลิตร 1. ปริมาตร 5,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ………………………ลิตร 2. ปริมาตร 18,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เทากับ………………………ลิตร 3. ปริมาตร 7,000 มิลลิลิตร เทากับ………………………ลิตร 4. ปริมาตร 45,000 มิลลิลิตร เทากับ………………………ลิตร 5. ปริมาตร 2 ลูกบาศกเมตร เทากับ………………………ลิตร



จงเปล่ียนหนวยปริมาตรตอไปนี้ ใหมีหนวยเปนลูกบาศกเซนติเมตร 1. ปริมาตร 3,700 มิลลิลิตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 2. ปริมาตร 4 ลิตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 3. ปริมาตร 7 ลูกบาศกเมตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 4. ปริมาตร 3.7 ลิตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร 5. ปริมาตร 0.25 ลูกบาศกเมตร เทากับ………………………ลูกบาศกเซนติเมตร

1. จงหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตตอไปนี้

1) ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

2) ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

2. มีน้ํามันอยูในถังฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ยาวดานละ 30 เซนติเมตร สูง 55 เซนติเมตร เต็มถัง ถาแบงน้ํามันใสขวด ๆ ละ 0.5 ลิตร จะไดท้ังหมดกี่ขวด ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

กิจกรรมท่ี 1.2 : ทักษะการแกปญหา การใหเหตุผล การส่ือสารและการเชื่อมโยง

ซม. 2.5

6 ซม. 10 ซม.

ม. 9

ม. 12

ม. 5

อยากสูงตองเขยง อยากเปนคนเกงตองขยัน



MATH

1 1..22 พื้นทีผ่ิวและปริมาตรของปริซึมพื้นทีผ่ิวและปริมาตรของปริซึม


อธิบายเกี่ยวกับพื้นท่ีผิวและปริมาตรของปริซึม หาพื้นท่ีและปริมาตรของปริซึม

1. 2. 3.

นําความรูเกี่ยวกับพื้นท่ีผิวและปริมาตรของปริซึมไปใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

4.



ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน มีความรับผิดชอบ มีความสนใจใฝรู มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเชื่อม่ันในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ

1. 2. 3. 4. 5. 6.


10 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

พ้ืนที่ผิวและปริมาตรของปริซึม

พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติตอไปนี้ ซ่ึงเปนตัวอยางของทรงสามมิติท่ีเรียกวา ปริซึม

ฐานหรือหนาตัด ดานขาง

ปริซึมส่ีเหล่ียม ปริซึมสามเหล่ียม

ฐานหรือหนาตัด ดานขาง

ปริซึมหาเหล่ียม ปริซึมหกเหล่ียม

ดานขาง ฐานหรือหนาตัด

ปริซึมแปดเหล่ียม

จากตัวอยางของปริซึมขางตน จะพบวาปริซึมมีลักษณะรวมกันดังนี้ 1. ฐานหรือหนาตัดหัวทายของรูปดหล่ียมตาง ๆ ท่ีเทากันทุกประการและอยูในระนาบท่ี

ขนานกัน 2. ดานขางทุกดาน เปนรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ซ่ึงความกวางของดานขางยาวเทากับดานแตละ

ดานของฐาน และความยาวของดานขางเทากับความสูงของปริซึมนั้น ๆ 3. การเรียกช่ือปริซึม จะเรียกตามลักษณะของรูปเหล่ียมท่ีเปนฐานหรือหนาตัดหัวทายของ

ปริซึมนั้น เชน



ฐานเปนส่ีเหล่ียม เรียกวา ปริซึมส่ีเหล่ียม ฐานเปนสามเหล่ียม เรียกวา ปริซึมสามเหล่ียม ฐานเปนหาเหล่ียม เรียกวา ปริซึมหาเหล่ียม ฐานเปนหกเหล่ียม เรียกวา ปริซึมหกเหล่ียม เปนตน

ในทางคณิตศาสตร ปริซึมมีลักษณะดังนี้

ปริซึม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติท่ีมีฐานท้ังสองเปนรูปเหล่ียมท่ีเทากัน ทุกประการ ฐานท้ังสองอยูบนระนาบที่ขนานกัน และดานขางแตละดานเปนรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน

พ้ืนที่ผิวของปริซึม

การหาพื้นท่ีผิวของปริซึม ทําไดโดยการหาพื้นท่ีของดานทุกดานของปริซึมแลวนํามารวมกันหรือคล่ีปริซึมออกเปนรูปเรขาคณิตสองมิติจากน้ันก็คํานวณหาพ้ืนท่ีผิวของรูปเรขาคณิต สองมิตินั้นแตละรูป แลวนําพื้นท่ีผิวทุกรูปมารวมกันเปนพื้นท่ีผิวทั้งหมดของปริซึมรูปนั้น

พื้นที่ผิวของปริซึม ประกอบดวย

1. พื้นท่ีฐานดานบนและดานลาง ฐานดานบนและดานลางของปริซึม จะเปนรูปเหล่ียมตามท่ีกําหนด ซ่ึงตองมีพื้นท่ีเทากัน ดังนั้น

พื้นที่ฐานดานบนและดานลาง เทากับ 2 เทาของพื้นท่ีฐาน

2. พื้นท่ีผิวขาง ผิวขางของปริซึมจะเปนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก จะมีจํานวนกี่รูปข้ึนอยูกับวาฐานของปริซึมเปนรูปกี่เหล่ียม เชน ถาฐานของปริซึมเปนรูปสามเหล่ียม จะมีผิวขางเปนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก 3 รูป เปนตน ดังนั้น

พื้นที่ผิวขาง เทากับ ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูงของปริซึม

ฐานบน

ผิวขาง 3 ดาน

ฐานลาง

ผิวขาง 6 ดาน

ฐานลาง

ฐานบน



ดังนั้นการหาพื้นท่ีผิวของปริซึม สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้

พื้นท่ีผิวของปริซึม = พื้นท่ีฐานดานบนและดานลาง + พื้นท่ีผิวขาง = 2 เทาของพ้ืนท่ีฐาน + (ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูงของปริซึม)

ตัวอยางท่ี 1 จงหาพื้นท่ีผิวขางและพ้ืนท่ีผิวของปริซึมส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีมีฐานยาวดานละ 5 เซนติเมตร ความสูง 10 เซนติเมตร

5 เซนติเมตร

วิธีทํา จากพื้นท่ีผิวขางของปริซึม = ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูง

= (5 + 5 + 5 + 5)×10 = 20×10 = 200 ตารางเซนติเมตร

และจากพื้นท่ีผิวของปริซึม = 2(พื้นที่ฐาน) + พื้นที่ผิวขาง = 2(5×5) + 200 = 50 + 200 = 250 ตารางเซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 2 จากรูป จงหาพื้นท่ีผิวของปริซึมดังกลาว วิธีทํา จากพื้นท่ีผิวขางของปริซึม = ความยาวของเสนรอบฐาน×ความสูง

= (8 + 9 + 12)×20 = ……………… = ……………… ตารางหนวย

10 เซนติเมตร

1298

20



และจากพื้นท่ีผิวของปริซึม = 2(พื้นที่ฐาน) + พื้นที่ผิวขาง = ……………………………… = ………………………………

ตารางหนวย = ………………

ตัวอยางท่ี 3 พื้นท่ีผิวขางของปริซึมลูกบาศกเปน 196 ตารางเซนติเมตร ความยาวของดานของปริซึมลูกบาศกเปนเทาไร

วิธีทํา เนื่องจากพ้ืนท่ีผิวขางของปริซึมลูกบาศก = 4×(ดาน×ดาน) 196 = 4×(ดาน×ดาน) 196

4 = ดาน×ดาน

ดาน×ดาน …… = …… = ดาน

ดังนั้น ความยาวของดานของปริซึมลูกบาศก คือ…………เซนติเมตร

กิจกรรมที่ 1.3 : ทักษะการแกปญหา การส่ือสารและการนําเสนอ

1. จงหาพื้นท่ีผิวของปริซึมตอไปนี้ 1)

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

6 ฟุต

ฟุต 3

4 ฟุต



2)

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3)

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

106 8

18

5 ซม.

3 ซม.

ซม. 4

2. พื้นท่ีผิวของปริซึมเปน 210 ตารางเซนติเมตร ฐานของปริซึมเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส ยาว ดานละ 5 เซนติเมตร ความสูงของปริซึมเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



3. พื้นท่ีผิวของปริซึมเปน 2,500 ตารางเซนติเมตร พื้นท่ีผิวขางท้ังหมดเปน 2,000 ตารางเซนติเมตร พื้นท่ีฐานของปริซึมเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

4. พื้นท่ีผิวของปริซึมลูกบาศกเปน 150 ตารางเซนติเมตร ความยาวของดานของปริซึมลูกบาศกเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

5. ความยาวรอบรูปของฐานของปริซึมฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัสเปน 12 เซนติเมตร ความสูงเปน 6 เซนติเมตร พื้นท่ีผิวขางเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



ปริมาตรของปริซึม

พิจารณารูปตอไปนี้

จากรูป จะเห็นวาเปนปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียม

ความกวาง 2 หนวย ความยาว 3 หนวย ความสูง 4 หนวย

จะได ปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียม = ความกวาง×ความยาว×ความสูง = 2×3×4 = 24 ลูกบาศกหนวย

จากตัวอยางขางตนจะพบวา ปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียม = ความกวาง×ความยาว×ความสูง

= (ความกวาง×ความยาว)×ความสูง = พื้นที่ฐาน×ความสูง ดังนั้น

ปริมาตรของปริซึม = พื้นท่ีฐาน×ความสูง

ตัวอยางท่ี 1 ปริซึมส่ีเหล่ียมผืนผามีความกวาง 3 หนวย ความยาว 4 หนวย และความสูง 12 หนวย จงหาปริมาตรของส่ีเหล่ียมนี้

วิธีทํา ปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียม = พื้นที่ฐาน×ความสูง = ……………………… = ………………………

2 ซม.

หนวย 4 3 หนวย

12 หนวย

3

4 ซม.

ซม.



ตัวอยางท่ี 2 ปริซึมฐานสามเหล่ียม มีปริมาตร 60 ลูกบาศกเมตร ความสูง 15 เมตร พื้นท่ีฐานเปนเทาไร

วิธีทํา ปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียม = พื้นที่ฐาน×ความสูง …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

ตัวอยางท่ี 3 จงหาปริมาตรของปริซึมส่ีเหล่ียม ซ่ึงมีฐานเปนรูปส่ีเหล่ียมคางหมู มีความยาวเสนคูขนานเทากับ 5 นิ้วและ 8 นิ้ว ตามลําดับ และสูง 4 นิ้ว เม่ือปริซึมแทงนี้สูง 12 นิ้ว

วิธีทํา …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

1. จากรูป จงเติมคําตอบลงในตาราง

พื้นท่ีฐาน ปริมาตรของปริซึม ท่ี รูปปริซึม

(ตารางหนวย) (ลูกบาศกหนวย)

1

2

3

กิจกรรมท่ี 1.4 : ทักษะการแกปญหา การส่ือสาร นําเสนอและการเชื่อมโยง

3

7

4

4

8 6

7

35



พื้นท่ีฐาน ปริมาตรของปริซึม ท่ี รูปปริซึม

(ตารางหนวย) (ลูกบาศกหนวย)

4

5

5

10

3

208

12

2. จงหาปริมาตรของปริซึม ซ่ึงมีพื้นท่ีฐานเปน 24 ตารางเซนติเมตร ความสูงเปน 8 เซนติเมตร …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3. ปริซึมส่ีเหล่ียมคางหมู มีความสูง 25 เซนติเมตร ความยาวฐานคูขนานของส่ีเหล่ียมคางหมูเปน

30 เซนติเมตรและ 90 เซนติเมตร ตามลําดับ ความสูงของส่ีเหล่ียมคางหมู 15 เซนติเมตร ปริมาตรของปริซึมนี้เปนเทาไร

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………



4. ถังน้ําทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากมีฐานยาวดานละ 18 เซนติเมตรและสูง 22 เซนติเมตร ถาเอาน้ําใสในถังสูง 11 เซนติเมตร ปริมาตรของนํ้าในถังเปนเทาใด

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 5. ถาอากาศ 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 0.008 กรัม จงหาน้ําหนักอากาศซ่ึงอยูในหองยาว 26

เมตร กวาง 16.8 เมตร และสูง 5.5 เมตร …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 6. กลองบรรจุน้ําผลไมทรงส่ีเหล่ียมมุมมีความจุ 1 ลิตร ถาฐานกลองมีความยาว 8 เซนติเมตร

และความกวาง 6.25 เซนติเมตร จงหาความสูงของกลองใบนี้ …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………



11..33 พื้นทีผ่ิวและปริมาตรของพื้นทีผ่ิวและปริมาตรของ

ทรงกระบอก

ทรงกระบอก

จุดประสงคการเรียนรู

ดานความรู : นักเรียนสามารถ อธิบายเกี่ยวกับพื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกระบอก หาพื้นท่ีและปริมาตรของทรงกระบอก

1. 2. 3.

นําความรู เกี่ ยวกับพื้น ท่ี ผิวและปริมาตรของทรงกระบอกไป ใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

4.



มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเชื่อม่ันในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ


1. 2. 3. 4. 5. 6.



พ้ืนที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก ทรงกระบอกเปนรูปเรขาคณิตสามมิติ ท่ีมี รูปรางคลายกระบอกไมไผ ท่ีตัดทอน ใน

ชีวิตประจําวันของเรามีหลายส่ิงท่ีมีคําวากระบอกอยูในช่ือเพื่อบงบอกใหรูวามีสวนเก่ียวของกับทรงกระบอก เชน………………………………………………………………………………………นอกจากนี้รอบ ๆ ตัวเรายังมีส่ิงของอีกหลายส่ิงท่ีมีสวนประกอบท่ีมีลักษณะเปนทรงกระบอก เชน……………………………………………………………………………………………………..

รูปขางลางนี้เปนรูปของทรงกระบอกและสวนตาง ๆ ของทรงกระบอก

ฐานหรือหนาตัด

ฐานหรือหนาตัด

แกน

สวนสูง

ทรงกระบอกตรง ทรงกระบอกเอียง

ในทางคณิตศาสตร ทรงกระบอกมีลักษณะดังนี้

ทรงกระบอก คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติท่ีมีฐานท้ังสองเปนวงกลมท่ีเทากันทุกประการ และอยูในระนาบท่ีขนานกัน และเม่ือตัดทรงสามมิตินี้ดวยระนาบที่ขนานกันกับฐานแลวจะไดรอยตัดเปนวงกลมท่ีเทากันทุกประการกับฐานเสมอ

พ้ืนที่ผิวของทรงกระบอก

กอนท่ีจะหาการหาพื้นท่ีผิวของทรงกระบอก ใหนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้ โดยเตรียมวัสดุอุปกรณดังนี้ กระปองทรงกระบอก กระดาษ กรรไกร วิธีการ

1. ใหนํากระปองทรงกระบอกวางบนกระดาษ แลวลากเสนรอบฐานบนกระดาษดังกลาว จากนั้นใชกรรไกรตัดเปนวงกลม

2. วัดความสูงของกระปองทรงกระบอก แลวตัดกระดาษใหมีความสูงเทากับกระปองทรงกระบอก จากน้ันนํากระดาษท่ีตัดไปพันรอบกระปองทรงกระบอกใหริมจดกันพอดี คล่ีกระดาษออกมา จะไดรูปส่ีเหล่ียมผืนผา

3. กระดาษท่ีไดมาประกอบเปนทรงกระบอก



วาดภาพประกอบจากการทํากิจกรรม

จากกิจกรรมขางตนจะไดพื้นท่ีผิวขางของทรงกระบอก เปนดังนี้

พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก = ……………………………………………… = ………………………………………………

และพ้ืนท่ีฐานของทรงกระบอก เปนดังนี้

พื้นที่ฐานของทรงกระบอก = ………………………………………………

ดังนั้นการหาพื้นท่ีผิวของทรงกระบอก สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้

พื้นท่ีผิวของทรงกระบอก = พื้นท่ีผิวขาง + พื้นท่ีฐานท้ังสอง = ……………………………………………… = ……………………………………………… เม่ือ ……………………………………………… ………………………………………………

ตัวอยางท่ี 1 ทรงกระบอกตัน มีเสนผานศูนยกลาง 7 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร จงหาพื้นท่ี

ผิวขางของทรงกระบอกน้ี (กําหนด ) π ≈ 227

วิธีทํา จากพื้นท่ีผิวขางของทรงกระบอก = 2π rh

≈ 2 × 227

× 72

× 20

≈ ………………… ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นท่ีผิวขางของทรงกระบอกน้ีประมาณ …………… ตารางเซนติเมตร



ตัวอยางท่ี 2 ทรงกระบอกยาว 30 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลางยาว 14 เซนติเมตร จงหาพื้นท่ี

ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกน้ี (กําหนด ) π ≈ 227

วิธีทํา จากสูตรพื้นท่ีผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นท่ีหนาตัด พื้นที่ผิวขาง = 2π rh

≈ 2 × 227

× 142

× 20

≈ ………………… ตารางเซนติเมตร พื้นที่ฐานท้ังสอง = 2π r2

≈ ………………… ≈ ………………… ตารางเซนติเมตร

ดังนั้น พื้นท่ีผิวทั้งหมด = ………………… = ………………… ตารางเซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 3 ทรงกระบอกอันหนึ่งมีความสูงและรัศมีท่ีฐานยาวเทากัน ถาทรงกระบอกนี้มีพื้นท่ีผิวท้ังหมด 154 ตารางเซนติเมตร รัศมีของฐานเทากับกี่ เซนติเมตร

(กําหนด ) π ≈ 227

วิธีทํา จากโจทย ความสูงและรัศมีท่ีฐานยาวเทากัน และมีพื้นที่ผิวทั้งหมด 154 ตร.ซม. จากสูตรพื้นท่ีผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน

= 2π rh + 2π r2 ≈ ………………………………………. ≈ ………………………………………. ≈ ……………………………………….

…………… ≈ ………………………………………. …………… ≈ ……………………………………….

≈ ………………………………………. ≈ ……………………………………….

…………… ≈ ………………………………………. ดังนั้น รัศมีของฐาน ประมาณ ………………… เซนติเมตร



จากรูป จงหาพื้นท่ีผิวทั้งหมดของทรงกระบอกน้ี (กําหนด π ≈ ) 227

…………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

กิจกรรมท่ี 1.5 : ทักษะการแกปญหา การส่ือสาร นําเสนอและเชื่อมโยงความรู

นิ้ว 14

นิ้ว 20

1.

2. ทรงกระบอกสูง 8 เซนติเมตร มีรัศมีของฐาน 5 เซนติเมตร พื้นท่ีผิวท้ังหมดของทรงกระบอกเปนเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3. ทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของฐานยาว 18 เซนติเมตร พื้นท่ีผิวขางของทรงกระบอกเปนเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



4. ทรงกระบอกสูง 16 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของฐานยาว 5 เซนติเมตร พื้นท่ีผิวขางและ

พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเปนเทาไร (กําหนด π ≈ ) 227

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

5. ทรงกระบอกตัน มีพื้นท่ีท้ังหมด 440 ตารางฟุต และมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 7 ฟุต

จงหาพื้นท่ีฐานท้ังสอง พื้นท่ีผิวขางและสวนสูงของทรงกระบอกน้ี (กําหนด π ≈ ) 227

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

อยากสูงตองเขยง อยากเปนคนเกงตองขยัน



ปริมาตรของทรงกระบอก

r

h

ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่วงกลม × สูง

= π r2 × h

= π r2h

เม่ือ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทนความสูงของทรงกระบอก

ตัวอยางท่ี 1 กระปองนมสูง 4.4 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลาง 2.1 เซนติเมตร บรรจุนมเต็มกระปองมีปริมาตรเทาไร (กําหนด 3.14) π ≈

วิธีทํา ปริมาตรของกระปองนม = r2h π

≈ 3.14 × ( 2.12

)2 × 4.4

≈ ………………… ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น กระปองบรรจุนมไดประมาณ…………………ลูกบาศกเซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 2 ถังนํ้าทรงกระบอก มีรัศมี 7 เมตร สูง 20 เมตร ใสน้ําไวเพียงคร่ึงถัง จงหาปริมาตร

ของนํ้าในถัง (กําหนด π ) ≈ 227

วิธีทํา ปริมาตรถังทรงกระบอก = r2h πเมตร 7

เมตร 20 ≈ ………………… ≈ …………………

ดังนั้น ปริมาตรของนํ้าคร่ึงถังประมาณ ……………………………… ลูกบาศกเมตร

ตัวอยางท่ี 3 แกวน้ําดื่มทรงกระบอกใบหน่ึงมีพื้นท่ีผิวขาง 90 ตารางเซนติเมตร มีพื้นท่ีฐาน 16 ตารางเซนติเมตร จงหาปริมาตรของแกวน้ําดื่มใบนี้

ππ

วิธีทํา เนื่องจาก ปริมาตรทรงกระบอก = r2h (1) πหารัศมี (r) และความสูง (h) จาก

พื้นท่ีผิวขางของทรงกระบอก = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = ……………………………



พื้นท่ีฐานของทรงกระบอก = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = …………………………… ………………… = ……………………………

รัศมีของทรงกระบอกเทากับ…………………เซนติเมตร แทน r ดวย …………… และ h ดวย …………… ในสมการ (1) จะได ปริมาตรทรงกระบอก = ……………………………

= …………………………… ดังนั้น ปริมาตรของแกวน้ําดื่มใบนี้เทากับ…………………………………………

จากรูป จงหาปริมาตรของทรงกระบอก (กําหนด π ≈ 227

) 1.

…………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………


นิ้ว 21

นิ้ว 42

2. แกวน้ําทรงกระบอกใบหนึ่งวัดเสนผานศูนยกลางภายในได 8 เซนติเมตร แกวน้ําลึก 10 เซนติเมตร จะจุน้ําไดเทาไร (กําหนด π ≈ 3.14) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………



3. ทรงกระบอกตันรูปหนึ่งมีพื้นท่ีผิวขาง 360 ตารางเซนติเมตร เสนผานศูนยกลางฐานยาว 14

เซนติเมตร จงหาปริมาตรของทรงกระบอกรูปน้ีเทากับเทาไร (กําหนด π ≈ 227

)

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

4. ถังน้ําทรงกระบอกมีปริมาตร 1,540 ลูกบาศกเมตร เสนผานศูนยกลางฐานยาว 7 เมตร ถังนํ้านี้

มีความสูงเทาไร (กําหนด π ≈ 227

)

……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

5. นําแทงหินมาเรียงเปนทรงกระบอกสูง 27 ฟุต เสนผานศูนยกลางยาว 2.5 ฟุต ถาหิน 1 ลูกบาศกฟุตหนัก 154 ปอนด น้ําหนักของแทงหินท้ังหมดท่ีนํามาเรียงเปนเทาไร (1 ลูกบาศกฟุตหนัก เทากับ 154 ปอนด) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………




พีระมิดพีระมิด


อธิบายเกี่ยวกับพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของพีระมิด หาพื้นท่ีและปริมาตรของพีระมิด

1. 2. 3.

นําความรูเกี่ยวกับพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของพีระมิดไปใชแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

4.



มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเช่ือม่ันในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ


1. 2. 3. 4. 5. 6.



พ้ืนที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด

โดยท่ัวไปเม่ือกลาวถึงคําวาพีระมิด เรามักนึกถึงและเขาใจวาพีระมิดจะตองมีฐานเปน รูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสเชนเดียวกับฐานของพีระมิดในประเทศอียิปตเสมอ แตในทางคณิตศาสตรแลวฐานของพีระมิดไมจําเปนตองเปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสก็ได

รูปขางลางนี้เปนรูปของพีระมิดและสวนตาง ๆ ของพีระมิด ยอด

สัน

สวนสูงเอียง

สวนสูงของพีระมิด หนา

ฐาน

ในทางคณิตศาสตร พีระมิดมีลักษณะดังนี้

พีระมิด คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติท่ีมีฐานเปนรูปเหล่ียมใดๆ มียอดแหลมท่ีไมอยูบนระนาบเดียวกันกับฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหล่ียมท่ีมีจุดยอดรวมกันท่ียอดแหลมนั้น

ในทางคณิตศาสตร พีระมิดตรง คือ พีระมิดท่ีมีฐานเปนรูปเหล่ียมดานเทามุมเทา และมีสันทุกสันยาวเทากัน สวนสูงของพีระมิดตรงจะต้ังฉากกับฐานท่ีจุดซ่ึงอยูหางจากจุดยอดของรูปเหล่ียมท่ีเปนฐาน เปนระยะเทากัน

การเรียกช่ือพีระมิด จะเรียกตามลักษณะของรูปเหล่ียมท่ีเปนฐานของพีระมิดนั้น เชน ฐานเปนส่ีเหล่ียมจัตุรัส เรียกวา พีระมิดส่ีเหล่ียมจัตุรัส ฐานเปนหกเหล่ียม เรียกวา พีระมิดหกเหล่ียม ฐานเปนแปดเหล่ียม เรียกวา พีระมิดแปดเหล่ียม เปนตน

พ้ืนที่ผิวของพีระมิด

การหาพื้นท่ีผิวของพีระมิด ทําไดโดยการหาพื้นท่ีของดานทุกดานของพีระมิดแลวนํามารวมกันหรือคล่ีพีระมิดออกเปนรูปเรขาคณิตสองมิติ จากนั้นก็คํานวณหาพื้นท่ีผิวของรูปเรขาคณิต สองมิตินั้นแตละรูป แลวนําพ้ืนท่ีผิวทุกรูปมารวมกันเปนพื้นท่ีผิวท้ังหมดของพีระมิดรูปน้ัน



พื้นท่ีผิวของพีระมิด ประกอบดวย 1. พื้นท่ีฐาน ฐานของพีระมิด จะเปนรูปเหล่ียมตามท่ีกําหนด 2. พื้นท่ีผิวขาง ผิวขางของพีระมิดจะเปนรูปสามเหล่ียม จะมีจํานวนกี่รูปข้ึนอยูกับวาฐาน

ของพีระมิดเปนรูปกี่เหล่ียม เชน ถาฐานของพีระมิดเปนรูปสามเหล่ียม จะมีผิวขางเปนรูปสามเหล่ียม 3 รูป เปนตน ดังนั้น

ดังนั้นการหาพ้ืนท่ีผิวของพีระมิด สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้

พื้นท่ีผิวของพีระมิด = พื้นท่ีฐาน + พื้นท่ีผวิขาง

ตัวอยางท่ี 1 พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดานละ 18 เซนติเมตร พีระมิดสูงเอียง 15 เซนติเมตร จงหาความสูงของพีระมิด

วิธีทํา ให OX เปนความสูงของพีระมิด เนื่องจาก เปนรูปสามเหล่ียมมุมฉาก OXYโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได

A B X

C

O

Y

D

OY2 = OX2 + XY2

ดังนั้น OX2 = OY2 – XY2

= 152 – 92 = ………………… = ………………… = ………………… เซนติเมตร

ดังนั้น ความสูงของพีระมิด ………………… เซนติเมตร ตัวอยางท่ี 2 พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดานละ 40 เซนติเมตร สันยาว 29 เซนติเมตร

จงหาความสูง และสูงเอียงของพีระมิด วิธีทํา ให MX เปนความสูงของพีระมิด และ XY เปนสูงเอียง

เนื่องจากแตละหนาเปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่วใน จะมี XY เปนความสูง BXCโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได

A B M

C

X

Y

D

XC2 = XY2 + YC2

ดังนั้น XY2 = YC2 – XC2

= 292 – 202 = ………………… = ………………… = ………………… เซนติเมตร

ดังนั้น สูงเอียงของพีระมิด ………………… เซนติเมตร



เนื่องจาก XM เปนความสูงของพีระมิด โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได

XY2 = XM2 + MY2

ฉะนั้น XM2 = XY2 – MY2 = ………………… = ………………… = ………………… เซนติเมตร

ดังนั้น ความสูงของพีระมิด ………………… เซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 3 จงหาพื้นท่ีผิวของพีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดานละ 24 เซนติเมตร และสวนสูงยาว 9 เซนติเมตร

วิธีทํา ให OX เปนความสูงของพีระมิด เนื่องจาก เปนรูปสามเหล่ียมมุมฉาก OXYโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได

OY2 = OX2 + XY2

A B X

C

O

Y D

= 92 + 122 = ………………… = ………………… เซนติเมตร

เน่ืองจาก พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัสมีส่ีหนา แตละหนาเปนรูปสามเหล่ียมท่ีมีพื้นท่ี

เทากัน ฉะนั้น พื้นท่ีผิวขางของพีระมิด = 4 × ( × ฐาน × สูง) 12

= 4 × ( 12

× 24 × ………)

= ………………… ตร.ซม. และ พื้นท่ีฐานของพีระมิด = ดาน × ดาน

= ………………… = ………………… ตร.ซม.

จากสูตร พื้นท่ีผิวของพีระมิดฐาน = …………………………………………… ดังนั้น พื้นท่ีผิวของพีระมิด ………………… ตารางเซนติเมตร




1. จงหาความยาวของสูงเอียงของพีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดานละ 42 เซนติเมตร และมีสันยาว 29 เซนติเมตร

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดานละ 18 เซนติเมตร มีสูงเอียงยาว 15 เซนติเมตร จงหาความสูงของพีระมิด

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



3. จงหาพื้นท่ีผิวของพีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดานละ 24 เซนติเมตร มีสันยาว 20 เซนติเมตร

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. พีระมิดฐานสามเหล่ียมดานเทา ซ่ึงมีดานยาวดานละ 10 เซนติเมตร มีสูงเอียงยาว 10 เซนติเมตร จงหาสันและพื้นท่ีผิวขางของพีระมิด

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

A B M

C

X

Y

D



ปริมาตรของพีระมิด

การหาปริมาตรของพีระมิด ทําไดโดยใชสูตรดังนี้

ปริมาตรของพีระมิด = × พื้นท่ีฐาน × สูง 13

เนื่องจากเราทราบมาแลววา ปริมาตรของปริซึม = พื้นท่ีฐาน สูง ×ดังนั้นความสัมพันธระหวางปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึม โดยท่ีพีระมิดและ

ปริซึมจะตองมีพื้นท่ีฐานและความสูงเทากัน เปนดังน้ี


= 13

ของปริมาตรของปริซึมท่ีมีพื้นท่ีฐานและความสูงเทากัน

ตัวอยางท่ี 1 พีระมิดแกวฐานส่ีเหล่ียมผืนผากวาง 3 นิ้ว ยาว 4 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว ปริมาตรของพีระมิดนี้เปนเทาใด

วิธีทํา เนื่องจาก ปริมาตรของพีระมิด = × พื้นท่ีฐาน × สูง 13

ดังนั้นปริมาตรของพีระมิด = × ………………… × …………… 13

= ………………… ลูกบาศกนิ้ว นั่นคือ ปริมาตรของพีระมิด ………………… ลูกบาศกนิ้ว

ตัวอยางท่ี 2 จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงวัดโดยรอบยาวะ 88 เมตร และพีระมิดสูง 15 เมตร

วิธีทํา ใหฐานของพีระมิดยาวดานละ x เมตร จะได 4x = 88 ดังนั้น x = …………

เนื่องจาก ปริมาตรของพีระมิด = × พื้นท่ีฐาน × สูง 13

ดังนั้นปริมาตรของพีระมิด = × ………………… × …………… 13

= ………………… ลูกบาศกเมตร นั่นคือ ปริมาตรของพีระมิด ………………… ลูกบาศกนิ้ว



ตัวอยางท่ี 3 พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมผืนผามีปริมาตรเปน 2,535 ลูกบาศกเมตร มีดานกวางยาว 13 เมตร และมีสวนสูงยาว 10 เมตร จงหาดานยาวของพีระมิดรูปน้ี

วิธีทํา เนื่องจาก พื้นท่ีฐานของพีระมิด = กวาง × ยาว

และ ปริมาตรของพีระมิด = × พื้นท่ีฐาน × สูง 13

ฉะนั้น ปริมาตรของพีระมิด = × (กวาง × ยาว) × สูง 13

………………… = …………………………………….. ………………… = …………………………………….. ………………… = …………………………………….. ………………… = …………………………………….. ………………… = ……………………………………..

ดังนั้น ดานยาวของพีระมิดรูปน้ียาว ………………… ตารางเซนติเมตร


1. กําหนดสวนตาง ๆ ของพีระมิดเปนรูปหลายเหล่ียมดานเทามุมเทา ดังตาราง จงเติมขนาดของสวนตาง ๆ ท่ียังไมไดระบุในชองวางใหถูกตอง

พื้นท่ีฐาน ความยาวของฐาน (ซม.)

สูง พีระมิด

ซม.2) (ซม.) (

ปริมาตร

(ซม.3)

1) ฐานสามเหล่ียม 10 43.3 9 2) ฐานส่ีเหล่ียม 8.2 10.5 3) ฐานหาเหล่ียม 7.3 91.65 641.6 4) ฐานส่ีเหล่ียม 64 320 5) ฐานหกเหล่ียม 6 7.5

2. จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดานละ 15 เซนติเมตร และมี สูงตรง 45 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



3. พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมผืนผา ซ่ึงมีดานกวางยาว 12 เมตร มีสูงตรงยาว 15 เซนติเมตร และมีปริมาตร 540 ลูกบาศกเมตร จงหาดานยาวของพีระมิด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัสผืนผา ซ่ึงมีปริมาตร 1,280 ลูกบาศกเมตร สูง 15 เมตร จะมีพื้นท่ีผิวท้ังหมดเทากับกี่ตารางเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



5. พีระมิดฐานสามเหล่ียมดานเทา ซ่ึงมีความยาวดานละ 10 นิ้ว มีสวนสูง 15 นิ้ว และสันยาว 20 นิ้ว จงหา พื้นท่ีฐาน พื้นท่ีผิวขาง พื้นท่ีผิวท้ังหมด และปริมาตรของพีระมิด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..




กรวยกรวย

ยนสามารถ บพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของกรวย

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรี1. อธิบายเกี่ยวกั2. หาพื้นท่ีและปริมาตรของกรวย 3. นําความรูเกี่ยวกับพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของกรวยไปใชแกปญหาใน

สถานการณตาง ๆ ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ

1. มีความรับผิ

: ปลูกฝงใหนักเรียน ดชอบ

2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเช่ือม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา

คณิตศาสตร



พ้ืนที่ผิวและปริมาตรของกรวย

ส่ิงต าง ๆ ท่ีสวนประกอบมีลักษณะเปนกรวย สวนใหญ เปนส่ิง ท่ีมนุษยสร าง ข้ึน เชน……………………………………………………………………………………………………..นอกจากนี้กรวยยังเปนขนมชนิดหนึ่งทําจากแปงขาวเจา กะทิ และนํ้าตาลปบ บรรจุอยูในกรวยใบตอง

รูปขางลางนี้เปนรูปของกรวยและสวนตาง ๆ ของกรวย

ยอด

แกน

สวนสูงเอียง

สวนสูง ฐาน

กรวยตรง กรวยเอียง

ในทางคณิตศาสตร กรวยมีลักษณะดังนี้

พีระมิด คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติท่ีมีฐานเปนวงกลม มียอดแหลมท่ีไมอยูบนระนาบเดียวกันกับฐาน และเสนท่ีอยูตอกันระหวางจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบฐานเปนสวนของเสนตรง

พ้ืนที่ผิวของกรวย

การหาพื้นท่ีผิวของกรวย อาจทําการทดลอง โดยเตรียมวัสดุอุปกรณดังนี้ กระดาษ กรรไกร วิธีการ

1. สรางกรวยกระดาษ 2. ตัดกรวยกระดาษตามแนวสูงแลวคล่ีออก วาดรูป



จากกระดาษท่ีค ล่ี เปนด านข างของกรวย เ ม่ือค ล่ีกระดาษและจะมี ลักษณะเปนรูป …………………………………… พื้นท่ีของรูป …………………………………… นี้เรียกวา พื้นท่ีผิวขางของกรวย และผลบวกของพ้ืนท่ีผิวขางกับพ้ืนท่ีฐาน เรียกวา พื้นท่ีผิวท้ังหมดของกรวย หรือ พื้นท่ีผิวของกรวย

ยอด

สวนสูงเอียง ( ) สวนสูง/สูงตรง (h)

ฐานรูปวงกลม รัศมีของฐาน (r)

เราสามารถหา พื้นท่ีผิวขางของกรวย ท่ีมีสูงเอียงยาว หนวยและมีรัศมีท่ีฐานยาว r หนวย จากฐานของกรวยเปนรูปวงกลม จะได

พื้นท่ีฐานของกรวย = r2 πและ พื้นท่ีผิวขางของกรวย = r π

ดังนั้นการหาพ้ืนท่ีผิวของกรวย สามารถหาไดโดยใชสูตร ดังนี้

พื้นท่ีผิวของกรวย = พื้นท่ีฐาน + พื้นท่ีผิวขาง

= π r2 + π r = π r(r + )

เม่ือ r แทนความยาวรัศมีของฐานกรวยและ แทนความยาวของสูงเอียงของกรวย

ตัวอยางท่ี 1 จงหาพื้นท่ีผิวของกรวยอันหนึ่ง ซ่ึงมีรัศมี 6 นิ้ว และสูง 8 นิ้ว (กําหนด ) π ≈ 227

วิธีทํา วาดรูปประกอบ

หา จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 2 = h2 + r2

= …………………

= ………………… h = 8 ดังนั้น ……… = …………………

r = 6



และ พื้นท่ีผิวของกรวย = r(r + ) π ≈ 22

7× 6 × (6 + ………)

≈ ………………… ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นท่ีผิวของกรวยประมาณ ………………… ตารางนิ้ว

ตัวอยางท่ี 2 กระโจมพักแรมลูกเสือมีลักษณะเปนกรวยสูง 2.4 เมตร ฐานกระโจมมีรัศมี 0.7 เมตร ผาท่ีใชทํากระโจมหลังนี้มีพื้นท่ีกี่ตารางเมตร (ไมตองคิดสวนท่ีเกยกัน)

วิธีทํา วาดรูปประกอบ

หา จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 2 = h2 + r2

= ………………… h = 2.4 = …………………

r = 0.7 = ………………… ดังนั้น ……… = …………………

และ พื้นท่ีผิวของกรวย = r(r + ) π ≈ ………………… ≈ ………………… ตารางเมตร

ดังนั้น ตองใชผาทํากระโจมประมาณ ………………… ตารางเมตร

ตัวอยางท่ี 3 กรวยกลมอันหนึ่งมีสูงเอียงยาว 16 เซนติเมตร มีพื้นท่ีผิวขางเปนส่ีเทาของพ้ืนท่ีฐาน แลวกรวยน้ีมีขนาดเสนผานศูนยกลางของฐานเทากับเทาใด

วิธีทํา โจทย พื้นท่ีผิวขางเปนส่ีเทาของพื้นท่ีฐาน นั่นคือ π r = 4π r2 เม่ือ r แทนความยาวรัศมีของฐานกรวย

และจากโจทย = 16 จะได

π r(16) = 4π r2 ………………… = …………………

………………… = …………………

………………… = …………………

ดังนั้น เสนผานศูนยกลางของฐานกรวยเทากับ ………………… เซนติเมตร




1. กรวยสังกะสีอันหนึ่งมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 20 เซนติเมตร และสูงเอียงยาว 15 เซนติเมตร จงหาพื้นท่ีผิวขางของกรวย (กําหนด π ≈ 3.14)

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

2. กรวยอันหน่ึงมีสูงตรง 12 เซนติเมตร และมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 20 เซนติเมตร จงหาพื้นท่ีฐานของกรวย (กําหนด π ≈ 3.14)

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

3. กรวยอันหนึ่งมีสูงเอียง 18 เมตร และมีรัศมีของฐานยาว 8 เมตร จงหาพ้ืนท่ีผิวของกรวย (กําหนด π ≈ 3.14)

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….



4. กรวยอันหนึ่งมีสูงเอียง 13 นิ้ว และสูงตรง 12 นิ้ว จงหาพื้นท่ีผิวของกรวย ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

5. พื้นท่ีฐานของกรวยเปน 144π ตาราฟุต และมีความสูง 5 ฟุต จงหาพื้นท่ีผิวของกรวย ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



ปริมาตรของกรวย

นักเรียนเคยทราบความสัมพันธระหวางปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึมโดยท่ีพีระมิดและปริซึมจะตองมีพื้นท่ีฐานและความสูงเทากันมาแลว

การหาปริมาตรของกรวย ก็สัมพันธกับปริมาตรทรงกระบอกในทํานองเดียวกัน กลาวคือ

ปริมาตรของกรวย = ของปริมาตรของทรงกระบอกท่ีมีพื้นท่ีฐานและความสูง

เทากัน

13

ดังนั้นการหาปริมาตรของกรวย ทําไดโดยใชสูตรดังนี้


= 13π r2h

เม่ือ r แทนความยาวรัศมีของฐานกรวยและ แทนความยาวของสูงเอียงของกรวย

ตัวอยางท่ี 1 กรวยกระดาษสําหรับใสน้ําดื่มสูงประมาณ 9.4 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของปากกรวยยาว 7 เซนติเมตร กรวยใบนี้จุน้ําไดเทาไร (กําหนด 3.14) π ≈

วิธีทํา เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย = × พื้นท่ีฐาน × สูง 13

ดังนั้น ปริมาตรของกรวยกระดาษ = × ………………… × …………… 13

≈ ………………… ≈ ………………… ลูกบาศกเซนติเมตร

นั่นคือ กรวยใบนี้จุน้ําไดประมาณ………………… ลูกบาศกเซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 2 กรวยอันหนึ่งสูง 12 นิ้ว มีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 5 ฟุต 10 นิ้ว จงหาปริมาตรของกรวย (กําหนด 3.14) π ≈

วิธีทํา จากโจทยจะได รัศมีของฐานกรวยยาว = ………………………………………… เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย = ………………………………………… จะได ปริมาตรของกรวย ≈ …………………………………………

≈ ………………………………………… ดังนั้น ปริมาตรของกรวยประมาณ ………………… ลูกบาศกนิ้ว



ตัวอยางท่ี 3 กรวยใบตองจํานวน 150 ช้ิน ใสขนมกลวยได 1,100 ลูกบาศกเซนติเมตร และกรวยใบตองสูง 7 เซนติเมตร จงหาวาเสนผานศูนยกลางของฐานกรวยใบน้ีจะยาวเทาใด

วิธีทํา กรวยใบตอง 150 ช้ิน ใสขนมกลวยได 1,100 ลูกบาศกเซนติเมตร กรวยใบตอง 1 ช้ิน ใสขนมกลวยได …………… ลูกบาศกเซนติเมตร

เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย = × พื้นท่ีฐาน × สูง 13

และ พื้นท่ีฐานของกรวย = ……………

จะได ………………… = × …………… × 7 13

ดังนั้น ………………… ≈ …………………………………….. ≈ …………………………………….. ≈ ……………………………………..

จะได ………………… ≈ ……………………………………..

ดังนั้น เสนผานศูนยกลางของฐานกรวยใบน้ีจะยาวประมาณ ………… เซนติเมตร


1. กระโจมของชาวอินเดียแดงเผาหนึ่งมีลักษณะเปนกรวยสูง 3.25 ฐานของกระโจมรัศมียาว 1.75 เมตร ปริมาตรของกระโจมเปนเทาใด

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

2. ความสูงของกรวยเปน 12 นิ้ว มีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 4 นิ้ว ปริมาตรของกรวยน้ีเปนเทาใด

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….



3. จงหาความสูงของกรวยอันหนึ่ง ซ่ึงมีปริมาตร 88 ลูกบาศกนิ้ว และมีรัศมีของฐานยาว 2 นิ้ว ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. จงหาความสูงของกรวยอันหนึ่ง ซ่ึงมีปริมาตร 48π ลูกบาศกเซนติเมตร และมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 8 เซนติเมตร

4.

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

5. จงหาความสูงของกรวยอันหนึ่ง ซ่ึงมีปริมาตร 264 ลูกบาศกฟุต และมีสวนสูงยาว 28 ฟตุ แลวเสนผานศูนยกลางของฐานกรวยยาวเทาใด

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..




ทรงกลมทรงกลม

ยนสามารถ บพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรี1. อธิบายเกี่ยวกั2. หาพื้นท่ีและปริมาตรของทรงกลม 3. นําความรูเกี่ยวกับพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลมไปใชแกปญหา

ในสถานการณตาง ๆ ได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ

1. มีความรับผิ

: ปลูกฝงใหนักเรียน ดชอบ

2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเช่ือม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา

คณิตศาสตร



พ้ืนที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

ทรงกลมเปนรูปเรขาคณิตสามมิติอีกชนิดหนึ่งท่ีนักเรียนอาจไดพบเห็นไดจากสวนประกอบของส่ิงท่ีมนุษยสรางข้ึน เชน…………………………………………………………………………นอกจากนี้กรวยยังเปนขนมชนิดหนึ่งทําจากแปงขาวเจา กะทิ และนํ้าตาลปบ บรรจุอยูในกรวยใบตอง

รูปขางลางนี้เปนรูปของทรงกลมและสวนตาง ๆ ของทรงกลม

เสนผานศูนยกลางของวงกลม

วงกลม จุดศูนยกลาง

ผิวโคงเรียบ

ในทางคณิตศาสตร ทรงกลมมีลักษณะดังนี้

ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติท่ีมีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโคงอยูหางจากจุดคงท่ีจุดหนึ่งเปนระยะทางเทากัน จุดคงท่ีนั้นเรียกวา เสนผานศูนยกลางของทรงกลม และระยะทางท่ีเทากันนั้นเรียกวา รัศมีของทรงกลม

พ้ืนที่ผิวของทรงกลม

เราสามารถหา พื้นท่ีผิวขางของทรงกลม โดยมีรัศมีของทรงกลมยาว r หนวย ไดดังนี้

พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4 r2 πเม่ือ r แทนความยาวรัศมีของทรงกลม

เนื่องจากเราทราบวา พื้นท่ีของรูปวงกลม = r2 πและ พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4 r2 πดังนั้น พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4 × พื้นท่ีฐานของรูปวงกลม นั่นคือ พื้นท่ีผิวของทรงกลมเปนส่ีเทาของพื้นท่ีของรูปวงกลมท่ีมีรัศมีเทากับรัศมีของ

ทรงกลมนั้น



ตัวอยางท่ี 1 ทรงกลมซ่ึงมีรัศมียาว 35 เซนติเมตร จะมีพื้นท่ีผิวเทาใด (กําหนด π ) ≈ 227

วิธีทํา เนื่องจาก พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4π r2 เม่ือ r เปนรัศมีของทรงกลม จะได พื้นท่ีผิวของทรงกลม ≈ ……………………………

≈ …………………………… ≈ …………………………… ตร.ซม.

ดังนั้น พื้นท่ีผิวของทรงกลมประมาณ ………………… ตารางเซนติเมตร

ตัวอยางท่ี 2 ถาเสนผานศูนยกลางของลูกโลกจําลองอันหนึ่งเทากับ 12,640 นิ้ว แลวความยาวของเสนศูนยสูตรของลูกโลกจําลอง และพ้ืนท่ีผิวของลูกโลกจําลองเปนเทาใด

วิธีทํา หารัศมีของลูกโลกจําลอง (r) = 12,6402

= ………………… นิ้ว ความยาวของเสนศูนยสูตรของลูกโลกจําลอง = 2π r

≈ ………………… ≈ ………………… นิ้ว

ดังนั้น พื้นท่ีผิวของลูกโลกจําลอง = …………………………… ≈ …………………………… ≈ …………………………… ตารางนิ้ว

ตัวอยางท่ี 3 ลูกบอลสองลูกมีรัศมียาว 4 เซนติเมตรและ 5 เซนติเมตร จะมีพื้นท่ีผิวตางกันเทาใด

วิธีทํา เนื่องจาก พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4π r2 เม่ือ r เปนรัศมีของทรงกลม ลูกบอลท่ีมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร จะมี

พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4π (……)2 ≈ …………………

ดังนั้น ลูกบอลท่ีมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร จะมีพื้นท่ีผิวของทรงกลม………ตร.ซม. ลูกบอลท่ีมีรัศมียาว 5 เซนติเมตร จะมี

พื้นท่ีผิวของทรงกลม = 4π (……)2 ≈ …………………

ดังนั้น ลูกบอลท่ีมีรัศมียาว 5 เซนติเมตร จะมีพื้นท่ีผิวของทรงกลม………ตร.ซม. เพราะฉะน้ัน พื้นท่ีผิวของลูกบอลท้ังสองตางกัน

……………………………………………….ตารางเซนติเมตร




1. จงหาพื้นท่ีผิวของทรงกลมซ่ึงมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. จงหาพื้นท่ีผิวของลูกฟุตบอลซ่ึงมีเสนผานศูนยกลางยาว 28 เซนติเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

3. ถาทําขันโลหะรูปคร่ึงทรงกลม ขนาดเสนผานศูนยกลางยาว 14 นิ้ว แลวพ้ืนท่ีผิวของโลหะใชทําขันเปนเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



4. ลูกเหล็กทรงกลมมีพื้นท่ีผิว 154 ตารางเซนติเมตร จะมีรัศมียาวเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

5. ลูกบอลสองลูกมีรัศมียาว 4 เซนติเมตรและ 5 เซนติเมตร จะมีพื้นท่ีผิวตางกันเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



ปริมาตรของทรงกลม

การหาปริมาตรของทรง ทําไดโดยใชสูตรดังนี้

ปริมาตรของทรงกลม = r3 43π

เม่ือ r แทนความยาวรัศมีของทรงกลม

ตัวอยางท่ี 1 ลูกทรงกลมลูกหนึ่งมีพื้นท่ีผิว 154 ตารางน้ิว จงหาปริมาตรของทรงกลมนี้ วิธีทํา เนื่องจาก พื้นท่ีผิวของทรงกลม = ……………………………

ดังนั้น ………………… ≈ …………………………… ………………… ≈ …………………………… ………………… ≈ …………………………… ………………… ≈ ……………………………

เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม = …………………………… ดังนั้น ปริมาตรของทรงกลม ≈ ……………………………

≈ …………………………… ≈ ……………………………

นั่นคือ กรวยใบนี้จุน้ําไดประมาณ………………… ลูกบาศกนิ้ว

ตัวอยางท่ี 2 ถาจะหลอลูกเปตองเหล็กท่ีมีเสนผานศูนยกลางยาว 8 เซนติเมตร จํานวน 12 ลูก จะตองใชเหล็กในการหลอเทาใด (กําหนด 3.14) π ≈

วิธีทํา ลูกเปตองเปนทรงกลม มีรัศมียาว = ………………………… เซนติเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม = …………………………… จะได ปริมาตรของทรงกลม ≈ ……………………………

≈ …………………………… ดังนั้น การหลอลูกเปตอง จํานวน 12 ลูก จะตองใชเหล็ก

≈ …………………………… ≈ …………………… ลูกบาศกเซนติเมตร



ตัวอยางท่ี 3 รถบรรทุกกาซชนิดหน่ึงมีถังบรรจุเปนทรงกลมสองลูกท่ีมีขนาดเทากันและมีปริมาตรรวมกันเปน 67 ลูกบาศกเมตร จงหาความยาวของเสนผานศูนยกลางภายในของถังแตละลูก (กําหนด π 3.14) ≈

วิธีทํา ถังบรรจุทรงกลมแตละลูกมีปริมาตร = …………………………… ลูกบาศกเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม = …………………………… จะได ………………… ≈ …………………………… ดังนั้น ………………… ≈ ……………………………………..

≈ …………………………………….. ≈ …………………………………….. ≈ ……………………………………..

จะได ………………… ≈ …………………………………….. นั่นคือ เสนผานศูนยกลางภายในของถังยาวประมาณ ……………………… เมตร


1. ลูกทุมนํ้าหนักเหล็กทรงกลมลูกหนึ่ง มีเสนผานศูนยกลางยาว 18 เซนติเมตร ลูกทุมน้ําหนักนี้มีปริมาตรเทาใด ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. จงหาปริมาตรของทรงกลม ซ่ึงมีพื้นท่ีผิว 196π ตารางน้ิว ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



3. จงหาเสนผานศูนยกลางของทรงกลมลูกหนึ่ง ซ่ึงมีปริมาตรประมาณ 904.32 ลูกบาศกเมตร ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. ถาจะหลอลูกทุมน้ําหนักเหล็กทรงกลมท่ีมีเสนผานศูนยกลางยาว 22 เซนติเมตร จํานวน 10 ลูก จะตองใชเหล็กในการหลอเทาใด (กําหนด π = 3.14) ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

5. กอนไอศกรีมมีลักษณะเปนทรงกลม ไอศกรีมชนิดเดียวกันสองกรวย กรวยแรกมีไอศกรีม 2 ลูก แตละลูกมีรัศมี 2.5 เซนติเมตร กรวยท่ีรวยใดมีไอศกรีมมากกวากัน ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..




ชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร ลูกบาศกชวยทรงกลม

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู

ลูกบาศกมีปริมาตร 729 ลูกบาศกเซนติเมตร แนบอยูภายในทรงกลม ดังรูป จงหาความยาวของรัศมีของทรงกลมนี้ (ใหตอบเปนจํานวนเต็ม)

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

Documents

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 พื้นที่และปริมาตร