หน่�วยการเรยน่ร� �ที่� 7เซตและตรรกศาสตร�

• เซต (Set ) เป็�น่ชุ�ดคำ�าส��งที่�ต�องการกล�าวถึ#ง โดยเขียน่ไว�ภายใน่เคำร)�องหมายวงเล+บป็-กกา (Set ) แต�ละส.�งที่�ต�องกล�าวถึ#งเรยกว�า สมาชุ.กขีองเซต (Element ) เขียน่แที่น่ด�วยอ�กษาอ�งกฤษต�วพิ.มพิ�เล+กคำ��น่ด�วยจุ�ลภาคำ “.” (Comma ) เชุ�น่ {a, e, i, o, u}การเขียน่ชุ)�อขีองเซตจุะใชุ�อ�กษรต�วพิ.มพิ�ใหญ่� เชุ�น่ A={a, e, i, o, u}

“เป็�น่สมาชุ.กขีองเซต” เขียน่แที่น่ด�วยส�ญ่ล�กษณ์� เชุ�น่ a A อ�าน่ว�า a เป็�น่สมาชุ.กขีอง A

“ไม�เป็�น่สมาชุ.กขีองเซต” เขียน่แที่น่ด�วยส�ญ่ล�กษณ์� เชุ�น่ b A อ�าน่ว�า a ไม�เป็�น่สมาชุ.กขีอง A

1. เขียน่แบบแจุกแจุงสมาชุ.ก เป็�น่การเขียน่สมาชุ.กไว�ใน่เคำร)�องหมายวงเล+บป็-กกาและคำ��น่ด�วยเคำร)�องหมายจุ�ลภาคำ เชุ�น่

A เป็�น่เซตขีองสธงชุาต.ไที่ยA={แดง, ขีาว, น่�6าเง.น่}

B เป็�น่เซตขีองสระใน่ภาษาอ�งกฤษB={a, e, i, o, u}

2. เขียน่แบบบอกเง)�อน่ไขี โดยใชุ�ต�วแป็รแที่น่สมาชุ.กที่�กต�วที่�จุะกล�าวถึ#ง และบอกว�าต�วแป็รน่�6น่แที่น่อะไร เชุ�น่ x แที่น่สระที่�กต�วใน่ภาษาอ�งกฤษ จุะต�องบอกว�า x โดยที่� x เป็�น่สระใน่ภาษาอ�งกฤษ เขียน่แบบบอกเง)�อน่ไขีได�ด�งน่6

{x|x เป็�น่สระที่�กต�วใน่ภาษาอ�งกฤษ }เซตว�าง (Empty Set หร)อ Null) เป็�น่เซตที่�ไม�มสมาชุ.ก เขียน่แที่น่ด�วย { } หร)อ

1. เซตจุ�าก�ด (Finite Set ) เป็�น่เซตที่�บอกสมาชุ.กเป็�น่จุ�าน่วน่สมาชุ.กเต+มบวกได� เชุ�น่ {1, 3, 5,…, 99 } {a, f, d, f } {x|x เป็�น่จุ�าน่วน่เต+มบวกที่�น่�อยกว�า 12 }

2. เซตอน่�น่ต� (Infinite Set ) เป็�น่เซตที่�สมาชุ.กเป็�น่จุ�าน่วน่สมาชุ.กเต+มบวกที่�ไม�สามารถึบอกจุ�าน่วน่ที่�6งหมดได� จุะเขียน่ “…” เชุ�น่ {-2, -1, 0, 1, 2, …. } {1, 3, 5, …. } {x|x > 1 }

3. เซตที่�เที่�าก�น่ (Equivalent Set ) เป็�น่เซตที่�มสมาชุ.กเหม)อน่ก�น่ที่�กต�วแม�จุะเรยงล�าด�บต�างก�น่ เชุ�น่

A= {2, 4, 6} B= {6, 4, 2} แสดงว�า A=B

C= {2, 4, 6, 8} D= {6, 4, 2} แสดงว�า C≠D

• เอกภพิส�มพิ�ที่ธ� (Relative Universe ) เป็�น่เซตหล�กที่�ก�าหน่ดขี#6น่มาจุากการเขียน่เซตแบบบอกเง)�อน่ไขี ภายใน่เอกภพิส�มพิ�ที่ธ�จุะป็ระกอบไป็ด�วยสมาชุ.กตามเง)�อน่ไขีที่�ก�าหน่ดมา จุะมสมาชุ.กน่อกเหน่)อไป็จุากที่�ก�าหน่ดไม�ได� เขียน่แที่น่ด�วยส�ญ่ล�กษณ์� U ถึ�าไม�ระบ�เอกภพิส�มพิ�ที่ธ� ถึ)อว�าเป็�น่จุ�าน่วน่จุร.งใด ๆ (R) เชุ�น่

A= {x|x2 -2x-15 = 0 }จุาก x2 -2x-15 = 0

(x-5)(x+3) = 0x = 5, -3

∴ A = {5} เพิราะ -3 ไม�เป็�น่สมาชุ.กขีองเอกภพิส�มพิ�ที่ธ�

3.1 เซตย�อย (Subset ) ก�าหน่ดให� A= {1, 2, 3}

พิ.จุารณ์าจุากเซต {1}, {2}, {3}, {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3} จุะเห+น่ว�า เซตต�างๆ มสมาชุ.กที่�มาจุากสมาชุ.กขีองเซต A เรยกว�าเป็�น่เซตย�อยขีองเซต A เขียน่แที่น่ด�วยส�ญ่ล�กล�กษณ์� “⊂” เซต A จุะเป็�น่เซตย�อยขีอง B ก+ต�อเม)�อสมาชุ.กขีองเซต A ที่�กต�วเป็�น่ สมาชุ.กขีองเซต B เขียน่แที่น่ด�วย A ⊂ B

3.2 เซตยกก�าล�ง (Power Set ) เซตก�าล�งขีองเซตใดๆ คำ)อเชุตที่�มสมากชุ.กเป็�น่เซตย�อยที่�6งหมดขีองเซตที่�ก�าหน่ด ถึ�า A เป็�น่เซตใดๆ เซตก�าล�งขีอง A เขียน่แที่น่ด�วย P(A) ถึ�า เป็�น่เซตใดๆ เซตก�าล�งขีอง B เขียน่แที่น่ด�วย P(B) A= {o, u, t}เซตย�อยขีองเซต A คำ)อ {o}, {u}, {t}, {o, u} , {o, t} , {u, t} ,{o, u, t}, P(A) = {o}, {u}, {t}, {o, u} , {o, t} , {u, t}, {o, u, t},

3.3 แผน่ภาพิเวน่น่�-ออยเลอร� (Venn – Euler Diagram ) แผน่ภาพิเวน่น่�-ออยเลอร� เป็�น่การเขียน่ร�ป็แที่น่เอกภพิส�มพิ�น่ธ� เซต และเซตย�อยเพิ)�อแสดงคำวามส�มพิ�น่ธ�ขีองเซตให�ชุ�ดเจุน่ขี#6น่ น่.ยมใชุ�ร�ป็ส�เหล�ยมแที่น่เอกภพิส�มพิ�น่ธ� วงกลมหร)อวงรแที่น่เซตใดๆ เชุ�น่

A และ B เป็�น่เซตต�างสมาชุ.กก�น่UA B

A ⊂ B และ A ≠ B

U

A

B

A = B, C ⊂ B, A และ C ไม�มสมาชุ.กรวมก�น่

U

C

BA

4.1 ย�เน่ยน่ (Union ) เป็�น่เซตที่�เก.ดจุากการน่�าเซตหลายๆ เซตมาสร�างเป็�น่เซตใหม� โดยเซตใหม�ที่�ได�จุะมสมาชุ.กเป็�น่เซตที่�เก.ดจุากสมาชุ.กที่�กต�วขีองเซตที่�น่�ามาสร�าง เขียน่แที่น่ด�วยส�ญ่ล�กษณ์� “U” A ย�เน่ยน่ B เขียน่แที่น่ด�วย A U B เชุ�น่ A= {1, 2, 3, 4}, B= {2, 4, 6, 8},A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

เขียน่แผน่ภาพิการย�เน่ยน่ขีองเซต A และเชุต B ได�ด�งร�ป็

4.2 อ.น่เตอร�เซกชุ�น่ (Intersection ) เป็�น่เซตที่�เก.ดจุากการน่�าเซตหลายๆ เซตมาสร�างเป็�น่เซตใหม� โดยเซตที่�ได�จุะมสมาชุ.กเป็�น่สมาาชุ.กที่�อย��ร �วมก�น่ใน่ที่�กเซตที่�น่�ามาสร�าง เขียน่แที่น่ด�วยส�ญ่ล�กษณ์� “∩” A อ.น่เตอร�เซกชุ�น่ B เขียน่แที่น่ด�วย A ∩B เชุ�น่ A= {1, 2, 3, 4},

B= {2, 4, 6, 8},A ∩ B = {2, 4}

เขียน่แผน่ภาพิการอ.น่เตอร�เซกชุ�น่ ขีองเซต A และเชุต B ได�ด�งร�ป็

4.3 คำอมพิลเมน่ต� (Complement ) เป็�น่เซตที่�เก.ดจุากการน่�าเซตหน่#�งซ#�งเป็�น่เซตย�อยขีอง U มาเที่ยบก�บ U คำอมพิลเมน่ต�ขีองเซตที่�น่�ามาจุะเป็�น่เซตใหม�ที่�เป็�น่สมาชุ.กขีอง U แต�ไม�เป็�น่สมาชุ.กที่�น่�ามาเที่ยบ เซตใหม�น่6เรยกว�า คำอมพิลเมน่ต�ขีองเซต เชุ�น่ เซตที่�น่�ามาเป็�น่เซต A เชุตใหม�ที่�เรยกว�าคำอมพิลเมน่ต�ขีองเซต A เขียน่แที่น่ด�วยส�ญ่ล�กษณ์� “A′” อ�าน่ว�า เอคำอมพิลเมน่ต� ด�งต�วอย�าง U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},A = {1, 2, 3, 4}, A′= {5, 6, 7} เขียน่เป็�น่แผน่ภาพิด�งร�ป็

U

6

A

1

3

2

47

5

พิชุคำณ์.ตขีองเซต ให� U เป็�น่เอกภพิส�มพิ�ที่ธ�ที่�มเซตย�อยเป็�น่ A, B, C และ 1 .กฎการสล�บที่� (Commutative Law) เซตที่�น่�ามาย�เน่ยน่ก�น่หร)ออ.น่เตอร�เซกชุ�น่ก�น่สามารถึสล�บก�น่ได�

A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A

2. กฎการจุ�ดหม�� (Associative Law)A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. กฎการกระจุาย (Distributive Law)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

4. กฎการเหม)อน่ก�น่ (Independent Law)A ∪ A = AA ∩ A = A

5. กฎการคำอมพิลเมน่ต� (Complement Law)A ∪ A′ = ∪A ∩ A′ = Ø(A′) ′ = A ∪′ = Ø Ø ′ = ∪A-B = A ∩ B ′

ตรรกะ (Logic) เป็�น่เหต�ผลที่�ที่�ใชุ�ใน่การแก�ไขีป็;ญ่หาต�าง ใน่ว.ชุาคำณ์.ตศาสตร� ตรรกศาตร� เป็�น่ว.ชุาที่�ว�าด�วยขี�อเที่+จุจุร.งที่�สามารถึอ�างเหต�ผลได� ใน่ว.ชุาคำอมพิ.วเตอร�ตรรกะเป็�น่ขี�6น่ตอน่หร)อแน่วที่างใน่การด�าเน่.น่การขีองโป็รแกรมที่�ป็ระกอบด�วยแน่วคำ.ด สมมต.ฐาน่ การที่ดสอบเง)�อน่ไขี การด�าเน่.น่การ ฯลฯ โดยเฉพิาะอย�างย.�ง การออกแบบวงจุรจุะใชุ�วงจุรตรรกะใชุ�วงจุรตรรกะใน่การตรวจุสอบการที่�างาน่ขีองอ�ป็กรณ์�ที่�สามารถึเขียน่เป็�น่สมการที่างคำณ์.ตศาสตร�

6.1 ป็ระพิจุน่� ป็ระพิจุน่� (Proposition or Statement) เป็�น่ป็ระโยคำบอกเล�า หร)อป็ระโยคำป็ฏิ.เสธที่�มคำ�าคำวามจุร.งหร)อเป็�น่เที่+จุอย�างใดอย�างหน่#�ง เชุ�น่

2 x 9 = 2 + 9 เป็�น่เที่+จุ2 + 4 = 3 + 3 เป็�น่จุร.งโลกโคำจุรรอบดวงอาที่.ตย� เป็�น่จุร.งการคำ�าน่วณ์ใน่คำอมพิ.วเตอร�ไม�มการลบ เป็�น่จุร.งจุ�าน่วน่จุร.งที่�กจุ�าน่วน่มอ.น่เวอร�สขีองการคำ�ณ์ เป็�น่เที่+จุ

จุร.ง (True) และเที่+จุ (False) ขีองป็ระพิจุน่�เรยกว�า “คำ�าคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่�” ขี�อคำวามที่�ไม�เป็�น่ป็ระโยคำบอกเล�า หร)อป็ฏิ.เสธ ไม�จุ�ดเป็�น่ป็ระพิจุน่� เชุ�น่

มไวร�สใน่เคำร)�องคำอมพิ.วเตอร�ไหม, โป็รดเงยบ, X< 0 เป็�น่ต�น่

6.2 ต�วแป็ร ต�วแป็รเป็�น่ส�ญ่ล�กษณ์�แที่น่สมาชุ.กใน่เอกภพิส�มพิ�น่ธ� (Relative Universe) ป็ระโยคำที่�มต�วแป็รเป็�น่น่.พิจุน่�หร)อไม�เป็�น่น่.พิจุน่�ก+ได� แต�สามารถึที่�าให�เป็�น่ป็ระพิจุน่�ได�ด�วยการแที่น่ที่�ต�วแป็ร เชุ�น่

3x - 2 = 1 มต�วแป็รที่�ไม�ที่ราบคำ�าคำ)อ x ไม�เป็�น่ป็ระพิจุน่� แต�ถึ�าแที่น่คำ�า x ด�วยจุ�าน่วน่ใดๆ จุะหาคำ�าออกมาได� เชุ�น่

x = 0 ได�ผลล�พิธ� 0 – 2 = 1 เป็�น่เที่+จุx = 1 ได�ผลล�พิธ� 3 – 2 = 1 เป็�น่จุร.งx = 2 ได�ผลล�พิธ� 6 – 2 = 1 เป็�น่เที่+จุ

ต�วเชุ)�อม (Connective) เป็�น่คำ�าที่�ใชุ�เชุ)�อมป็ระโยคำเขี�าด�วยก�น่ ได�แก� และ หร)อ ถึ�า ... แล�ว ก+ต�อเม)�อ ด�งต�วอย�าง ป็ระพิจุน่�ที่� 1 “2 น่�อยกว�า 5” ป็ระพิจุน่�ที่� 2 “2 เป็�น่จุ�าน่วน่คำ��” น่�าป็ระพิจุน่�ที่� 1 และ 2 มาสร�างป็ระพิจุน่�ใหม�ได�ด�งน่6 2 น่�อยกว�า 5 และ 2 เป็�น่จุ�าน่วน่คำ�� 2 น่�อยกว�า 5 หร)อ 2 เป็�น่จุ�าน่วน่คำ�� ถึ�า 2 น่�อยกว�า 5 แล�ว 2 เป็�น่จุ�าน่วน่คำ�� 2 น่�อยกว�า 5 ก+ต�อเม)�อ 2 เป็�น่จุ�าน่วน่คำ��

การเชุ)�อมป็ระพิจุน่�เขี�าด�วยก�น่จุะใชุ�ต�วอ�กษร “p, q, r, s” แที่น่แต�ละป็ระพิจุน่�

pp qq

TT TT TT

TT FF FF

FF TT FF

FF FF FF

การเชุ)�อมป็ระพิจุน่�เขี�าด�วยก�น่จุะใชุ�ต�วอ�กษร “p, q, r, s” แที่น่แต�ละป็ระพิจุน่�

pp qq p qp q

TT TT TT

TT FF TT

FF TT TT

FF FF FF

การเชุ)�อมป็ระพิจุน่�เขี�าด�วยก�น่จุะใชุ�ต�วอ�กษร “p, q, r, s” แที่น่แต�ละป็ระพิจุน่�

pp qq p qp q

TT TT TT

TT FF FF

FF TT TT

FF FF TT

การเชุ)�อมป็ระพิจุน่�เขี�าด�วยก�น่จุะใชุ�ต�วอ�กษร “p, q, r, s” แที่น่แต�ละป็ระพิจุน่�

pp qq p qp q

TT TT TT

TT FF FF

FF TT FF

FF FF TT

8.1 การหาคำวามคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่�ด�วยตารางคำ�าคำวามจุร.ง ต�วอย�างที่� 1 ตารางแสดงคำ�าคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่� p q p

pp qq p qp q

TT TT TT

TT FF TT

FF TT TT

FF FF FF

p q pp q p

TT

TT

FF

TT

8.1 การหาคำวามคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่�ด�วยตารางคำ�าคำวามจุร.ง ต�วอย�างที่� 2 ตารางแสดงคำ�าคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่� p q p q

pp qq p qp q

TT TT TT

TT FF TT

FF TT TT

FF FF FF

p q p q p q p q

TT

TT

FF

TT

qq

FF

TT

FF

TT

p qp q

TT

TT

FF

TT

8.2 การหาคำวามคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่�ด�วยผ�งโคำรงสร�างต�น่ไม� (Tree Diagram) ต�วอย�างที่� 3 ถึ�า p เป็�น่จุร.ง q เป็�น่เที่+จุ q เป็�น่เที่+จุ r เป็�น่เที่+จุ s เป็�น่จุร.ง จุงหา คำ�าคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่�ต�อไป็น่6 ก . q r

TT

FF FF

ขี . p q r

TT

FF FF

TT FF

คำ . p s r

FF

TT FF

TT TT

ง . p q r

FF

FF FF

TT FF

จุ . p s r s

TT

TT

TT FF

TT

FF TT

การอ�างเหต�ผลมสองส�วน่ ส�วน่หน่#�งคำ)อ เหต� และอกส�วน่หน่#�งคำ)อ ผล การอ�างเหต�ผลจุะใชุ�ต�วเชุ)�อม เชุ)�อมเหต�ที่�6งหมดและใชุ�ต�วเชุ)�อม เชุ)�อมส�วน่ที่�เป็�น่เหต�และผล เม)�อเชุ)�อมแล�วได�ผลเป็�น่ส�จุน่.ร�น่ดร�ถึ)อว�าการอ�างเหต�ผลน่6 สมเหต�สมผล (Valid) ถึ�าไม�เป็�น่ส�จุน่.ร�น่ดร�ถึ)อว�าการอ�างเหต�ผลน่6 ไม�สมเหต�สมผล (Invalid) ส�จุน่.ร�น่ดร� (Tautology) คำ)อป็ระพิจุน่�ที่�มคำ�าคำวามจุร.งเป็�น่จุร.งตลอด ไม�ว�าคำ�าคำวามจุร.งขีองป็ระพิจุน่�ย�อยที่�เป็�น่ต�วแป็รจุะมคำ�าคำวามจุร.งอย�างไร การอ�างเหต�ผลจุะใชุ�ร�ป็แบบ เหต� ผล ซ#�งร�ป็แบบน่6จุะมกรณ์เป็�น่เที่+จุได�เพิยงกรณ์เดยวคำ)อ T F

ต�วอย�าง จุงพิ.จุารณ์าว�าการอ�างเหต�ผลต�อไป็น่6สมเหต�สมผลหร)อไม� เหต� 1. p q 2. p ผล qว.ธที่�า จุ�ดร�ป็แบบขีองเหต�ผลใหม�เป็�น่ [(p q) p] q

pp qq p qp q

TT TT TT

TT FF FF

FF TT TT

FF FF TT

[p q ] p[p q ] p

TT

FF

FF

FF

[p q p] q[p q p] q

TT

TT

TT

TT

จุากตารางได�คำ�าคำวามจุร.งขีอง [{P(x) Q(x)} P(x)] Q(x) เป็�น่ส�จุน่.ร�น่ดร�การอ�างเหต�ผลก�บป็ระโยคำเป็@ด เชุ�น่ [{P(x) Q(x)} P(x)] Q(x) เม)�อแที่น่คำ�า x ใน่เอกภพิส�มพิ�น่ธ�จุะได�ป็ระพิจุน่�ใน่ร�ป็แบบ p q p ซ#�งมคำ�าคำวามจุร.งเป็�น่จุร.งเสมอ เหต� 1. P(x) Q(x)

2. P(x) ผล Q(x) เป็�น่การอ�างเหต�ผลที่�สมเหต�สมผล

UB

aa

A

UB

CC

A

UB

CCA

UB

AAC

การอ�างเหต�ผลจุากคำวามร� �พิ)6น่ฐาน่ที่�ยอมร�บก�น่มาก�อน่ เชุ�น่ เหต� (Premise) สมม�ต.ฐาน่ (Hypothesis) หร)อส�จุพิจุน่� (Axiom) ว.ธสร�ป็คำวามร� �พิ)6น่ฐาน่ที่�ยอมร�บก�น่มาก�อน่น่6น่.ยมใชุ�ก�น่มาต�6งแต�สม�ยกรกโบราณ์ เชุ�น่ เที่ลสใชุ�พิ.ส�จุน่�คำวามร� �ที่างเรขีาคำณ์.ตให�เป็�น่เหต�เป็�น่ผลด�วยส�จุพิจุน่� 10 ขี�อ การให�เหต�ผลเป็�บน่.รน่�ย เป็�น่การให�เหต�ผลที่างคำณ์.ตศาสตร�โดยใชุ�ตรรกศาสตร�เขี�ามาชุ�วย โดยเร.�มจุากเหต�หล�กเรยกว�า การวางน่.รน่�ยที่��วไป็ แล�สมเหต�ย�อยป็ระกอบ จุากน่�6น่จุ#งพิ.จุารณ์าคำวามส�มพิ�น่ธ�ระหว�างเหต�หล�กและเหต�ย�อยเพิ)�อหาขี�อสร�ป็