• 考纲解读• 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．• 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．• 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

• 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

• 考向预测• 1．平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题．

• 2．数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查重点．关注数形结合思想的应用．

• 知识梳理• 1．两个向量的夹角• (1)定义• 已知两个 向量 a和 b ，作 ＝ a ， ＝

b，则∠ AOB＝ θ叫做向量 a与 b的夹角．非零

• (2)范围• 向量夹角 θ的范围是 ， a与 b同向时，夹角 θ＝ ； a与 b反向时，夹角 θ＝ .

• (3)向量垂直• 如果向量 a与 b的夹角是 ，则 a与 b垂直，记作 a⊥b.

• 2．平面向量的数量积• (1)已知两个非零向量 a和 b，它们的夹角为θ，则数量 叫做 a与 b的数量积 (或内积 )，记作

• .

[0， π]

0 π

90°

|a|·|b|cosθ

a·b＝ |a||b|·cosθ

• 规定：零向量与任一向量的数量积为 .

• 两个非零向量 a与 b垂直的充要条件是 ，两个非零向量 a与 b平行的充要条件是

.

• (2)向量的投影• 定义：设 θ为 a与 b 的夹角，则 (|b|cosθ)叫做向量 a在 b方向上 (b在 a方向上 )的投影．

• (3)平面向量数量积的几何意义• 数量积 a·b等于 a的长度 |a|与 b在 a方向上的射影 的乘积．

0

a·b＝ 0

a·b＝ ±|a||b|

|a|cosθ

|b|cosθ

• 3．平面向量数量积的重要性质• (1)e·a＝ a·e＝ ；• (2)非零向量 a， b， a⊥b⇔ ；• (3)当 a与 b同向时， a·b＝ ，• 当 a与 b反向时， a·b＝ ，• a·a＝ ， |a| ＝

• (4)cosθ＝ • (5)|a·b| |a||b|.

|a|cosθ

a·b＝ 0

|a||b|

－ |a||b|

a2 a·a

a·b|a||b|

≤

• 4．平面向量数量积满足的运算律• (1)a·b＝ (交换律 )；• (2)(λa)·b＝ ＝ (λ为实数 )；• (3)(a＋ b)·c＝ .

b·a

λ(a·b) a·(λb)

a·c＋ b·c

基础自测

1．(2010·安徽)设向量 a＝(1,0)，b＝(12，

12)，则下列结

论中正确的是( )

A．|a|＝|b| B．a·b＝2

2

C．a－b与 b垂直 D．a∥ b

• [答案 ] C [解析] a－b＝(12，－

12)

∴ (a－b)·b＝(12，－

12)·(

12，

12)＝0.

即 a－b与 b垂直，故选 C.

• [答案 ] C

• [解析 ]　本题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算，在解决问题时需要先设出向量坐标，然后求得参数，该题较为简单．

2．(2010·新课标)a，b 为平面向量，已知 a＝(4,3)，

2a＋b＝(3,18)，则 a，b夹角的余弦值等于( )

A.865 B．－

865

C.1665 D．－

1665

由题可知，设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝

(3,18)，所以可以解得 x＝－5，y＝12，故 b＝(－5,12)，

所以 cos〈a，b〉＝a·b

|a||b|＝1665，故选 C.

3．已知下列各式：

①a2＝|a|2 ②a·ba2＝

ba ③ (a·b)2＝a2·b2 ④ (a－b)2＝a2

－2a·b＋b2

其中正确的有________个．( )

A．1 B．2

C．3 D．4

• [答案 ] B

[解析] ①正确．②错，∵a·ba2＝

|a||b|cosθ|a|2 ＝

|b|cosθ|a| ，

∴ ②错．③错．④正确，∴ 选 B.

• 4．已知两单位向量 a， b的夹角为 60°，则两向量 p＝ 2a＋ b与 q＝－ 3a＋ 2b的夹角为( )

• A． 60° B． 120°

• C． 30° D． 150°

• [答案 ] B

• [分析 ]　本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．

[解析] p·q＝(2a＋b)·(－3a＋2b)＝－6a2＋ab＋2b2

＝－6a2＋|a|·|b|·cos60°＋2b2＝－72，

|p|＝|2a＋b|＝ 2a＋b2＝ 4a2＋4ab＋b2

＝ 4a2＋4|a||b|·cos60°＋b2＝ 7，

|q|＝|－3a＋2b|＝ －3a＋2b2＝ 9a2－12ab＋4b2

＝ 9a2－12|a||b|·cos60°＋4b2＝ 7，

而 cos〈p，q〉＝p·q

|p|·|q|＝－12.即 p与 q的夹角为 120°.

• 5． (2010·江西文 )已知向量 a， b满足 |b|＝ 2， a与 b的夹角为 60°，则 b在 a上的投影是____________．

• [答案 ] 1

[解析 ] 本题考查了向量的投影问题， l＝b·a|a| ＝

|b|·cos60°＝1，属概念性考查．

6．(08·天津)如图，在平行四边形 ABCD中，AC→ ＝(1,2)，

BD→ ＝(－3,2)，则AD→ ·AC→ ＝________.

• [答案 ] 3

[解析] AD→ ＝12(AC→ ＋BD→ )＝(－1,2)，

∴ AD→ ·AC→ ＝－1＋4＝3.

• 7．已知 i， j为互相垂直的单位向量， a＝ i－ 2j， b＝ i＋ λj，且 a与 b的夹角为锐角，求实数 λ的取值范围．

[解析] ∵ 设 a与 b的夹角为 θ，则 θ∈

0，π2 ，

∴ a·b>0且 a，b不同向．

由 a·b>0，得|i|2－2λ|j|2>0得 λ<12.

当 a，b同向时，

由 a＝kb(k>0)，得 λ＝－2.

∴ λ的取值范围为 λ<12且 λ≠－2.

[例 1] (1)已知等边三角形 ABC的边长为 1，求：

①AB→ ·AC→ ＋AB→ ·BC→ ＋AC→ ·BC→ ；

② |AB→－2AC→ |；

③ (2AB→－AC→ )·(3AB→＋2BC→ )．

(2)若 a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋

2b|.

• [分析 ]　利用向量数量积的定义、运算律及模的求法求解，注意两向量夹角的定义．

[解析] (1)①AB→ ·AC→＋AB→ ·BC→ ＋AC→ ·BC→

＝|AB→ ||AC→ |·cosA＋|AB→ ||BC→ |·cos(180°－B)＋|AC→ ||BC→ |·cosC

＝cos60°＋cos120°＋cos60°

＝12－

12＋

12＝

12.

②|AB→－2AC→ |＝ |AB―→－2AC―→ |2

＝ AB―→ 2－4AB―→ ·AC―→＋4AC―→ 2

＝ 1－4× 1× 1× cos60°＋4＝ 1－2＋4＝ 3.

③(2AB→－AC→ )·(3AB→＋2BC→ )

＝6AB→ 2＋4AB→ ·BC→ －3AB→ ·AC→ －2AC→ ·BC→

＝6＋4× cos120°－3× cos60°－2× cos60°

＝6－2－32－1＝

32.

(2)∵ a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)

2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)

∴ (a－2b)(2a＋3b)＝(－1，－6)·(12，－5)

＝－1× 12＋(－6)× (－5)＝18.

|a＋2b|＝ a＋2b2＝ 3＋2× 22＋－4＋2× 12

＝ 49＋4＝ 53.

[点评] 1.向量的数量积是向量与向量之间的一种运

算，但运算结果却是一个数量．

2．两个向量的夹角必须是起点相同时，所得几何图形

的角，对于首尾相接时，应是几何图形内角的补角，如本

例中AB→与BC→ 夹角是∠ B 的补角，而不是∠ B，这点应特别

注意，否则会出现错误．

• 3．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．

• 4．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

(1)|a|2＝a2＝a·a；

(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；

(3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.

• [分析 ]　利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求 |a＋ b|时注意 x的取值范围．

已知向量 a＝

cos32x，sin

32x，b＝

cosx2，－sin

x2 ，且 x∈

－π3，

π4 .

(1)求 a·b及|a＋b|；

(2)若 f(x)＝a·b－|a＋b|，求 f(x)的最大值和最小值．

[解析] (1)a·b＝cos32xcos

x2－sin

32xsin

x2＝cos2x，

|a＋b|＝

cos32x＋cos

x2

2＋

sin32x－sin

x2

2

＝ 2＋2cos2x＝2|cosx|，

∵ x∈

－π3，

π4，∴ cosx>0，

∴ |a＋b|＝2cosx.

(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1

＝2

cosx－12

2－32.

∵ x∈

－π3，

π4，∴

12≤ cosx≤ 1，

∴ 当 cosx＝12时，f(x)取得最小值－

32；

当 cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.

• [点评 ]　与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识 .

• [例 2] 已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8， a与 b的夹角是120°.

• (1)计算 |a＋ b|， |4a－ 2b|；• (2)当 k为何值时， (a＋ 2b)⊥(ka－ b)?

[分析] (1)利用公式|a|＝ a2和|a＋b|＝ a＋b2求解；

(2)利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求

k.

[解析] 由已知，a·b＝4× 8×

－12＝－16.

(1)∵ |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝

48，

∴ |a＋b|＝4 3.

∵ |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16× (－

16)＋4× 64＝3× 162，

∴ |4a－2b|＝16 3.

• (2)若 (a＋ 2b)⊥(ka－ b)，则 (a＋ 2b)·(ka－ b)＝0，

• ∴ ka2＋ (2k－ 1)a·b－ 2b2＝ 0，• 即 16k－ 16(2k－ 1)－ 2×64＝ 0，∴ k＝－ 7.• [点评 ] 1.当 a与 b是坐标形式给出时，若证明

a⊥b，则只需证明 a·b＝ 0⇔x1x2＋ y1y2＝ 0.

• 2．当向量 a， b是非坐标形式时，要把 a， b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明 a·b＝ 0.

已知向量 m＝(1,1)，向量 n与向量 m的夹角为3π4，且

m·n＝－1.

(1)求向量 n；

(2)设向量 a＝(1,0)，向量 b＝

cosx，2cos2

π

3－x2 ，若

n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围．

[解析] (1)设 n＝(x，y)，由已知得

x＋y＝－1，－1

2 x2＋y2＝cos3π4，即

x＋y＝－1，x2＋y2＝1，

解得 x＝－1，y＝0

或 x＝0，y＝－1，

∴ n＝(－1,0)或(0，－

1)．

(2)∵ a＝(1,0)，n·a＝0，∴ n＝(0，－1)，

n＋b＝

cosx，2cos2

π

3－x2－1

＝

cosx，cos

2π

3－x ，

故|n＋b|2＝cos2x＋cos2

2π

3－x

＝1＋cos2x

2 ＋1＋cos

4π

3－2x

2

＝1＋12

cos2x＋cos

4π

3－2x

＝1＋12

cos2x－cos

π

3－2x

＝1＋12

cos2x－

12cos2x－

32 sin2x

＝1＋12

1

2cos2x－3

2 sin2x

＝1＋12cos

2x＋π3，

∴12≤ |n＋b|2≤

32，故

22 ≤ |n＋b|≤

62 .

• [例 3] 已知 a， b都是非零向量，且 |a|＝ |b|＝ |a－ b|，求 a与 a＋ b的夹角．

[分析] 由公式 cos<a，b>＝a·b

|a||b|可知，求两个向量的

夹角关键是求数量积及模的积．本题中|a|＝|b|＝|a－b|的充

分利用是求数量积的关键，考虑怎样对条件进行转化．

[解析] 方法一：由|a|＝|b|＝|a－b|得|a|2＝|b|2，|b|2＝a2

－2a·b＋b2，所以 a·b＝12a2.

而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝2|a|2＋2×12|a|2

＝3|a|2，所以|a＋b|＝ 3|a|.

设 a与 a＋b的夹角为 θ，则

cosθ＝a·a＋b|a||a＋b|

＝a2＋

12a2

3|a|2＝

32 ，

由于 0°≤ θ≤ 180°，所以 θ＝30°.

方法二：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由|a|＝|b|＝|a－b|得，|a|2＝|b|2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，

所以 x12＋y1

2＝x22＋y2

2＝x12＋y1

2＋x22＋y2

2－2x1x2－2y1y2，

即 x1x2＋y1y2＝12(x1

2＋y12)，

所以|a＋b|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)

2＝x12＋y1

2＋x22＋y2

2＋2x1x2＋2y1y2＝3(x1

2＋y12)，

故|a＋b|＝ 3 x12＋y1

2.设 a与 a＋b的夹角为 θ，

则 cosθ＝a·a＋b|a||a＋b|

＝x1

2＋y12＋

12x1

2＋y12

x12＋y1

2 3 x12＋y1

2＝3

2 ，

由于 0°≤ θ≤ 180°，所以 θ＝30°.

• [点评 ] 1.求向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于 0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．

• 2．当 a， b是非坐标形式时，求 a与 b的夹角，需求得 a·b及 |a|， |b|或得出它们的关系．

3．若已知 a与 b的坐标，则可直接利用公式

cosθ＝x1x2＋y1y2

x12＋y1

2 x22＋y2

2来求夹角．

• (2009·全国卷Ⅰ )设非零向量 a、 b、 c满足 |a|＝ |b|＝ |c|， a＋ b＝ c，则〈 a， b〉＝ ( )

• A． 150° B． 120°

• C． 60° D． 30°

• [答案 ] B

• [解析 ]　本题主要考查向量运算的几何意义．• ∵ |a|＝ |b|＝ |c|≠0，且 a＋ b＝ c

•∴如图所示就是符合的向量，易知 OACB是菱形，△ OBC和△ OAC都是等边三角形．∴ 〈 a， b〉＝ 120°.

[例 4] 已知椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1、

F2，椭圆上一点 M

2 6

3 ，3

3 满足MF1→ ·MF2

→ ＝0.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线 L：y＝kx＋ 2与椭圆恒有两个不同交点 A、

B，且OA→ ·OB→ >1(O为坐标原点)，求 k的范围．

[解析] (1)F1(－c,0)、F2(c,0)，则

MF1→ ＝

－c－

2 63 ，－

33 ，MF2

→ ＝

c－

2 63 ，－

33 ，

由MF1→ ·MF2

→ ＝0，得 c2＝3，∴ a2－b2＝3(1)

∵ M在椭圆上，

∴8

3a2＋1

3b2＝1与(1)联立解得 a2＝4

b2＝1，

∴ 椭圆方程为x2

4＋y2＝1.

(2)将 y＝kx＋ 2代入x2

4＋y2＝1中得

1

4＋k2 x2＋2 2kx＋1＝0，

设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则

OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ 2)(kx2＋ 2)

＝6－4k2

1＋4k2>1，∴ k2<58，

∵ Δ>0，∴ k2>14，∴

14<k2<

58，

∴ －104 <k<－

12或

12<k<

104 .

(2010·厦门二模)设 e1，e2分别为具有公共焦点 F1与 F2

的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满

足PF1→ ·PF2

→ ＝0，则e1

2＋e22

e1e22 的值为( )

A.12 B．1

C．2 D．不确定

• [答案 ] C

• [解析 ]　设 a1为椭圆的长半轴长， a2为双曲线的实半轴长，当 P点在双曲线的右支上时，由题意得，

|PF1|＋|PF2|＝2a1

|PF1|－|PF2|＝2a2，

∴ |PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，由PF1→ ·PF2

→ ＝0得PF1→ ⊥

PF2→ ，即 PF1⊥ PF2，∴ (a1＋a2)

2＋(a1－a2)2＝4c2，∴ a1

2＋a22

＝2c2，∴a1

2

c2＋a2

2

c2＝2，而e1

2＋e22

e1e22 ＝

c

a1

2＋

c

a2

2

c2

a1a2

2＝a1

2

c2＋a2

2

c2＝2，

当 P点在双曲线的左支上时，解法同上．故选 C.

• 1．两个向量的数量积• (1)数量积概念的理解• ①两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定．计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件．

• ②两向量 a， b的数量积 a·b与代数中 a， b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“ ·”．

• ③b在 a上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于 0.

• (2)对数量积运算律的理解• ①当 a≠0时，由 a·b＝ 0不一定推出 b＝ 0，这是因为对任一个与 a垂直的向量 b，都有 a·b＝ 0.

• 当 a≠0时， a·b＝ a·c也不一定推出 b＝ c，因为由 a·b＝ a·c，得 a·(b－ c)＝ 0，即 a与 (b－ c)垂直．也就是向量的数量积运算不满足消去律．

• ②对于实数 a， b， c，有 (a·b)c＝ a(b·c)，但对于向量来说， (a·b)·c与 a·(b·c)不一定相等，这是因为 (a·b)·c表示一个与 c共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与 a共线的向量，而 a与 c不一定共线，所以 (a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．

• 2．向量的应用• (1)向量在几何中的应用• ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线 )的充要条件．

• a∥b⇔a＝ λb⇔x1y2－ x2y1＝ 0(b≠0)．

• ②证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：• a⊥b⇔a·b＝ 0⇔x1x2＋ y1y2＝ 0.

• ③求夹角问题．• 利用夹角公式：

cosθ＝a·b

|a||b|＝x1x2＋y1y2

x12＋y1

2· x22＋y2

2.

④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

|a|＝ a·a＝ x2＋y2

或|AB|＝|AB→ |＝ x2－x12＋y2－y12.

• (2)向量在物理中的应用• ①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；• ②向量在速度的分解与合成中的应用．

请同学们认真完成课后强化作业