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第四章 不定积分

§ 4.1 不定积分的概念与性质

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第一节　不定积分的概念与性质第一节　不定积分的概念与性质

一、不定积分概念一、不定积分概念

三、基本积分公式三、基本积分公式

二、不定积分的性质二、不定积分的性质

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定义 4.1 　设函数 y = f (x) 在某区间上有定义，如果存在函数 F (x) ，对于该区间上任一点 x ，使

F (x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ，

则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一个原函数 .

一、不定积分概念一、不定积分概念

1.原函数

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例如，因为在区间 ( , ) 内有 (x3) = 3x2 ，所以 x3 是 3x2 在区间 ( , ) 内一个原函数，又因为 (x3+1)= 3x2 ， ,3)5( 23 xx

( x3 + C ) = 3x2 (C 为任意常数 ) ，

x3 + C 都是 3x2 在区间 ( , ) 内的原函数 .

所以 x3 + 1 ，,5x 3

若函数 F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数，则：(1)对任意常数 C ，函数族 F(x)+C 也是 f(x) 的原函数。(2)函数 f(x) 的任意两个原函数之间仅差一个常数。

一、不定积分概念一、不定积分概念

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一般地，若 F(x) 是 f (x) 在某区间上的一个原函数，

结论： F(x) + C 是 f (x) 在该区间上的全部原函数 .

则函数族 F(x) + C (C 为任意常数 ) 都是 f (x)

在该区间上的原函数 .

一、不定积分概念一、不定积分概念

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　　定义 4.2 　若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数， 则 F(x) + C (C 为任意常数 ) 称为 f

(x) 在该区间上的不定积分，,d)( xxf

即 ，CxFxxf )(d)(

其中符号 称为积分号， f(x) 称为被积函数，f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式，　　　　　　　　　　　　　　　 x 称为积分变量，C 称为积分常数 .

2.不定积分

一、不定积分概念一、不定积分概念

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例 1 　求下列不定积分

;)1( xxde ;)2( dxa x

所以得.ede Cx xx

解：（ 1 ）被积函数

,)( xxf e 因为 ,)' xx e(e

所以得Ca

adxa xx ln

1

（ 2 ）被积函数 ,)( xaxf 因为 ,lnln

1)'

ln( xx

x

aaaaa

a

一、不定积分概念一、不定积分概念

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例 2 　求不定积分 )1(adxxa

解：注意到 ,)1()'( 1 aa xax ,)'1

1( 1 aa xxa

所以得Cx

adxx aa

1

1

1

由此得 CxCxdxx

3122

3

1

12

1

CxCxdxx

21

2111 1

2

1

一、不定积分概念一、不定积分概念

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例 3 求不定积分 .1 x

xd

解 .01

xx的定义域为被积函数

当 x > 0 时， ,1

)(lnx

x 因为 所以 ;lnd1

Cxxx

当 x < 0 时， ,

1)1(

1)ln(

xxx

因为

所以 .)ln(d1

Cxxx

合并以上两种情况，当 x 0 时，得

. ||lnd1

Cxxx

一、不定积分概念一、不定积分概念

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例 4.设曲线通过点 (2,5), 且在 x 处的切线斜率k=2x求此曲线的方程 .

解 :

所求曲线过点 ( 2 , 5 ) ,故有

因此所求曲线为 12 xy

y

xo

)5,2(

一、不定积分概念一、不定积分概念

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不定积分的几何意义若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 则称 y = F (x)

的图形是 f (x) 的积分曲线 .因为不定积分

CxFxxf )(d)(

是 f (x) 的原函数的一般表达式， 所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族 .

一、不定积分概念一、不定积分概念

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　　积分曲线族 y = F (x) + C 的特点是：(1) 积分曲线族中任意一条曲线， 可由其中某一条 ( 例如，曲线 y =

F(x) ) 沿 y 轴平行移动 |C| 单位而得到 .

当 C > 0 时，向上移动；当 C < 0 时，向下移动；

(2) 由于 [F (x) + C]= F (x) = f (x) ， 　即横坐标相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，

都等于 f (x) ，　　　　　　 从而使相应点的切线相互平行 ( 如图 ) ．

一、不定积分概念一、不定积分概念

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x

y

O

y = f (x)

y = f (x)+C

一、不定积分概念一、不定积分概念

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二、不定积分的性质

dxxfdxxfdxfdxxf )(])([)()()1( 或

性质 1 求不定积分与求导数或求微分互为可逆运算

CxFxdFCxFdxxF )()()()(')2( 或

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　　性质 2 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外，

,d)(d)( xxfkxxkf (k 为不等于零的常数 )

证　类似性质 1 的证法，

xxfk d)( xxfk d)( ).(xkf

二、不定积分的性质

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　　性质 3 　两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和，

.d)(d)(d)]()([ xxgxxfxxgxf

性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况，

即 xxfxfxf n d)()()( 21

.d)(d)(d)( 21 xxfxxfxxf n

性质 1 称为分项积分 .

二、不定积分的性质

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三、基本积分公式

;)(d 1 为常数)( kCkxxk ;)1(,

1

1d2 1

Cxxx )(

;||lnd1

3 Cxxx

)(

;ln

d 4 Ca

axa

xx )(

;ede, e Cxa xx 时当

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；)( CxCxx

x arccos arcsin

1

d 11

2

；)( CxCxx

x cotarc arctan

1

d 12

2

；)( Cxxx chdsh 13

. shdch 14 Cxxx)(

三、基本积分公式

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；)( Cxxx sindcos 5

；)( Cxxx cosdsin 6

；)( Cxxx tandsec 7 2

；)( Cxxx cotdcsc 8 2

；)( Cxxxx secdtansec 9

；)( Cxxxx cscdcotcsc 10

三、基本积分公式

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例 5 、求不定积分 dxx

xx )31

43( 3

解：

dxdxx

xdxdxxdxx

xx 31

43)31

43( 33

.3ln24

3

3ln11

14

13

13

24

1113

Cxxxx

Cxxxx

三、基本积分公式

www.sjzpc.edu.cn21

例 6 、求

dx

x

x2

2

1

2

解：

dxx

dxx

xdx

x

x)

1

22(

1

2)1(2

1

222

2

2

2

Cxx )arctan(2

例 7 、求

xdx2tan

解： Cxxdxxxdx tan)1(sectan 22

三、基本积分公式

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例 8 、求 dx

x

2cos2

解： Cxxdxxdxx

)sin(2

1)cos1(

2

1

2cos2

例 9 求 dxxx 22 cossin

1

解：

Cxxdxxx

dxxx

xxdx

xx

cottan)sin

1

cos

1(

cossin

cossin

cossin

1

22

22

22

22

三、基本积分公式

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第四章 不定积分

§ 4.2 换元积分法

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第二节　换元积分法

一、第一类换元积分法 ( 或称凑微分法 )一、第一类换元积分法 ( 或称凑微分法 )

二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法

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一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

引例

xxdcos3 xxd3cos33

1,)d(33cos

3

1 xx

( 因为 d(3x) =

3dx).

令 u = 3x ，则上式变为

.dcos3

1d3cos uuxx

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cos x x sin x C d把 cos u u , d用到 上

那么， uuxx dcos3

1d3cos Cu sin

3

1

.3sin3

1Cx

. 3cos 3sin 3

1 的一个原函数是容易验证 xx

也就是说上述结果正确 .

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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第一换元法

,)(d)( CxFxxf 设 且 u = (x) 为可微函数，

则 xxxf d)())(( .))(( CxF ①

证　已知 F (x) = f(x) ， u = (x) ， 则 ))(( xF

xu uF )()( xuf ),())(( xxf

所以 xxxf d)())(( .))(( CxF

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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　　用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法．

　　第一类换元积分法的实质是复合函数求导公式的逆用。

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 1 求 dxex

x

1

2

1

解：令 ,1

xu 于是,

12

dxx

du

CeCe

duedxx

edxex

xu

uxx

1

2

11

2)

1(

1

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 2 求 dxxx 24

解：设 ,2,4 2 xdxduxu 则

CxCu

duuxdxxdxxx

2

322

3

2

122

)4(3

1

3

2

2

1

2

124

2

14

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 3 求 .dtan xx

解 xxdtan xcosxsin xd

xcosxcosd

. |cos|ln Cx

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 4 　求 .)32( 20 xx d

解：上式与基本积分表中 Cxxx

1

1

1d

相似， ,3 代入式中dxdu 令 ，

duu 20

3

1则，原式 Cu 21

21

1

3

1

.)32(63

1 21 Cx

ux 32

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 5 　求 22

d

xa

x(a >0 常数 ).

解　上式与基本积分表. arcsin

1

d2

类似Cxx

x

22

d

xa

x

2

1

d

a

xa

x

2

1

d

a

x

a

x

.arcsin Ca

x

.arcsind

22C

a

x

xa

x

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 6 　求 .1ln

xx

xd

解 因子将被积分式中的 d1

xx

凑微分，即

).1ln1

xxx

d(d

则

xx

xd

1ln)1ln)1(ln xx d( .)1(ln

2

1 2 Cx

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 7 　求 22

d

xa

x(a > 0 常数 ).

解 22

d

xa

x

))((

d

xaxa

x

xxaxa

xaxa

ad

))((

)()(

2

1

xa

x

xa

x

a

dd

2

1

xa

xa

xa

xa

a

)(d)(d

2

1

.ln2

1C

xa

xa

a

Cxa

xa

axa

xln

2

1d22

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 8 求 .dsec xx

解 : xxdsec xx

dcos

1

xx

xd

cos

cos2

x

x2sin1

sind

Cx

x

sin1

sin1ln

2

1

. |tansec|ln Cxx

Cxxxx |tansec|lndsec

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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xx sin11

sin11

21

解法 2

xx

xd

cos

cos2

x

x2sin1

sind

xsind

xsin1ln21 Cx sin1ln

Cxx

sin1sin1

ln21

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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解法 2

同样可证

xxdcsc Cxx cotcscln

或 Cx 2

tanln

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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例 9 　求 .cos2 xxd

解 xxd2cos

xx

d2

2cos1

xxx dd 2cos2

1

xxx 22cos

2

1

2

1d

.2sin4

1

2

1Cxx

一、第一换元法 ( 或称凑微分法）

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引例　求

.d1

xx

x

解　为了去掉被积函数中的根号， ,1 tx 令

,1 2tx 则 dx = 2tdt ，于是有

xx

xd

1 t

t

td

12

2

2

tt

td

1

1)1(2

2

2

tt

d

1

112

2

.)arctan(2 Ctt

二、第二类换元积分法

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回代变量， ,1 xt 得

xx

xd

1.)arctan(2 Ctt

.)1arctan1(2 Cxx

二、第二类换元积分法

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第二类换元法

设函数 f (x) 连续，函数 x = (t) 单调可微，

且 (t) ，

CxF

CtFtttfxxf

))((

)()()]([)(

1

dd

二、第二类换元积分法

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例 10 　求 .13

13

x

x

xd

解：被积函数含根式 3 13 x 为了去掉根号，.

3

1,13

33

t

xtx 则令 于是有

dttt

t2

3

13

1

dttt )2(3

1 4

Cxx

Ctt

3 2

25

)13()2(5

1

)5

(3

1

x

x

xd

3 13

1

二、第二类换元积分法

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三角代换三角代换例 11 　求 .)0(d22 axxa

解 ,22

sin

ttax 令 ≤ ≤ 则 dx = acost dt ，

,cossin1 222 tataxa 于是有 xxa d22 tta dcos22

tta

d)2cos1(2

2

Ctta

2sin

2

1

2

2

.cossin2

2

Cttta

二、第二类换元积分法

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把变量 t 换为 x . 为简便起见，,sin

a

xt 根据 　画一个直角三角

形，称它为辅助三角形，如图 .t

a

22 xa ,arcsin

a

xt 因为 ,cos

22

a

xat

于是有

xxa d22 Cttta

)cossin(2

2

Ca

xa

a

x

a

xa

222

arcsin2

.2

arcsin2

222

Cxax

a

xa

二、第二类换元积分法

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例 12 　求

).0(d

22a

ax

x

解 ， ，令 22

tan

ttax 则 dx = asec2 tdt ，

于是有

22

d

ax

x t

ta

tad

sec

sec2

tt dsec

. |tansec|ln 1Ctt

二、第二类换元积分法

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，根据a

xt tan　　　　　　　　　作辅助三

角形，t

a

x22 ax

122|tansec|ln

dCtt

ax

x

1

22

ln Ca

ax

a

x

aCaxx ln)ln( 122

，Caxx )ln( 22

其中 C = C1 - lna .

二、第二类换元积分法

www.sjzpc.edu.cn48

例 13 ).0(d

22

aax

x

解　令 x = a sec t ，则 dx = a sec t tan t dt ，

于是有

22

d

ax

x t

ta

ttad

tan

tansec

ttdsec

, |tansec|ln 1Ctt

二、第二类换元积分法

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,sec a

xt 根据　　　　　　　　　作辅助三角

形，

a

x

t

22 ax

22

d

ax

x1 |tansec|ln Ctt

1

22

ln Ca

ax

a

x

aCaxx ln ||ln 122

，Caxx ||ln 22

其中 C = C1 – lna .

二、第二类换元积分法

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,)1( 22 时含 xa 作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t ；

,)2( 22 时含 xa 作三角代换 x = a tan t 或 x = a cot t ；

,)3( 22 时含 ax 作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t.

二、第二类换元积分法

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常用基本积分公式的补充

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常用基本积分公式的补充

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第四章 不定积分

§ 4.3 分部积分法

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引例 求 .dcos xxx

解 凑微分

xxx dcos )sind( xx

交换 ,vu xxxx dsinsin

.cossin Cxxx

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设函数 u = u(x) ， v= v(x) 具有连续导数：u = u(x) ， v = v (x) ， 根据乘积微分公式

d(uv) = udv+ vdu ，于是有 ， dd uvvuuv

即 .dd uvuvvu

一、分部积分法

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例 1 求 .de xx x

解 凑微分 xx xde xxde xx xx dee

.ee Cx xx

一、分部积分法

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例 2 　求 .de2 xx x

解 )d(ede 22 xx xxx凑微分

.de2e , 2 xxx

vu xx交换

对新积分 xx xde 继续用分部积分法，得

xxxxx xxxx deedede凑微分

.ee ,

1Cxvu xx 交换

代入原式中，得Cxxxx xxxx )ee(2ede 22

.)22(e 2 Cxxx

一、分部积分法

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例 3: 如何求提示 : 令 ,2xu ,sin xv 则

原式

一、分部积分法

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例 4 求 .dln xxx

解 xxx dln

2dln

2xx

)lnd(2

ln2

22

xx

xx

xxxx

d2

1ln

2

2

一、分部积分法

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例 5 求 .darctan xxx

解凑微分

xxx darctan )d(arctan2

1 2xx

交换 ,vu )arctand(2

1arctan

2

1 22 xxxx

x

x

xxx d

12

1arctan

2

12

22

x

xxx d

1

11

2

1arctan

2

12

2

.)arctan(2

1arctan

2

1 2 Cxxxx

一、分部积分法

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例 6 求

解:

原式 = xx arcsin x

x

x d21

)1d()1( 2221 2

1

xx

Cx 21

xx arcsin

xx arcsin

一、分部积分法

www.sjzpc.edu.cn62

例 7 　求 .dsine xxx

解　 xxx dsine xxdesin

xx xx sindesine

xxx xx dcosesine

xx xx decossine

， xxxx xxx dsinecosesine

于是有 xxx dsine2 ，1)cos(sine Cxxx

即 xxx dsine .)cos(sine2

1Cxxx

一、分部积分法

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例 8 求 dxxsin

解：被积函数中有根式，先用第二类积分法去掉根式，则

设 于是则 ,2,2 tdtdxtx

ttdtdttdxx cos2sin2sin

Cttttdttt sin2cos2cos2cos2

Cxxx sin2cos2

一、分部积分法

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把被积函数视为两个函数之积 ,

按 “ 反对幂指三” 的

顺序 ,

前者为 后者为u .v反 : 反三角函数对 : 对数函数幂 : 幂函数指 : 指数函数三 : 三角函数