Семинар № 1

Уравнение Сильвестра. I

HA BH Y

A, B - матрицы размера n x n, m x m соответственно, правая часть Y - матрица размера m x n. Неизвестной является матрица H размера m x n.

В теоретическом курсе был установлен следующий результат (см. § 3).

Теорема. Если спектры матриц A и B не пересекаются, то для любой Y существует единственное решение уравнения Сильвестра (1).

Уравнение Сильвестра(1)

HA BH Y

Вопрос: Как найти решение уравнения (1) ?

Ответ: В теоретическом курсе была получена формула в виде контурных интегралов

где контуры не пересекаются и охватывают спектры матриц A, B соответственно.

Проблема: Как на компьютере посчитать эти интегралы ? Есть ли другой способ решения уравнения Сильвестра ?

Уравнение Сильвестра(1)

,A B

1 12

1 1( ) ( )

(2 )A B

H I B Y I A d di

HA BH Y

Ответ: Можно найти решение уравнения (1), сведя его нахождение к решению системы алгебраических уравнений

Ch = D, (2)где C – матрица, составленная из элементов заданных матриц A и B, вектор D составлен из элементов заданной матрицы Y, вектор h – искомый, его компонентами являются элементы искомой матрицы H.

Вопрос: Как найти решение системы (2) ?

Уравнение Сильвестра(1)

HA BH Y

Ответ: Найти решение системы (2) можно, используя пакет программ, разработанный коллективом сотрудников Института математики им. С.Л. Соболева под руководством С.К. Годунова.

По решению системы (2) восстанавливается решение исходного уравнения Сильвестра (1), при этом считается невязка уравнения

(1)Ch D (2)

.sol solH A BH Y

solH

HA BH Y

Цели:

1. На различных примерах убедиться насколько по существу условие, сформулированное в теореме, на спектры матриц A и B.

2. Проследить за зависимостью числа обусловленности матрицы C от близости собственных значений матриц A и B, от структуры матриц A и B.

(1)Ch D (2)

В зависимости от уровня подготовки студентов предлагаются разные варианты организации вычислительного процесса.

Уровень 1. Предлагается готовая программа на языке Fortran, в которой осуществлены переход от уравнения (1) к системе (2), вычисление решения системы (2), восстановление решения уравнения (1) по решению системы (2), вычисление невязки.

Уровень 2. Студентам предлагается самостоятельно осуществить переход от уравнения (1) к системе (2) и обратно, найти невязку.

HA BH Y (1)

Ch D (2)