ШЕМЯКОВ Н.Ф.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

Ч 1.

Физические основы механики;

Колебания и волны;

Молекулярная физика и термодинамика;

Красноярск

2011

Излагаются физические основы механики, колебания и волны в соответствии с

программой общего курса физики для технических вузов.

Особое внимание уделяется раскрытию физического смысла, содержания

основных положений и понятий статистической физики, а также практическому

применению рассматриваемых явлений с учетом выводов классической, релятивистской

и квантовой механики.

Предназначено студентам 2-го курса дистанционного обучения, может

использоваться студентами очной формы обучения, аспирантами и преподавателями

физики.

Лекция 1

... Процессы физического мышления о происхождении и эволюции

Вселенной текут на волнах пространства-времени... Автор

ВВЕДЕНИЕ

1. Предмет физики

Физика как наука сложилась на протяжении многовековой истории

развития человечества. Она изучает наиболее общие закономерности явлений

природы, строение и свойства материи, законы еѐ движения, изменения и

превращения одного вида в другой. К материи относится всѐ то, что

окружает нас, существует независимо от нашего сознания. Материя вечно и

непрерывно развивается, находясь в бесконечном движении. Под движением

понимаются любые изменения материи от простого перемещения до

сложнейших процессов мышления. Например, вещество, из которого состоят

тела, электромагнитные поля, поля тяготения, вещество галактик и

межзвѐздная среда, элементарные частицы и т. п. представляют собой

конкретные формы материи. На рис. 1 изображена модель строения нашей

Галактики «Млечный путь», где кружком отмечена Солнечная система.

Хорошо видна спиральная структура Галактики. Физика оперирует с двумя

объектами

материи: веществом и полями. Первый вид

материи – частицы (вещество) – образуют

атомы, молекулы и состоящие из них тела.

Второй вид – физические поля – вид материи,

посредством которого осуществляются

взаимодействия между телами (частицами).

Примерами таких полей являются

электромагнитное поле, гравитационное и ряд

других. Различные виды материи могут

взаимодействовать и превращаться друг в друга.

2. Типы взаимодействий

В современной физике существуют пять взаимодействий:

1. Гравитационные взаимодействия (силы тяготения) управляют

движением тел больших и малых масс, но особенно велики для массивных

тел: звѐзд, планет, галактик и т. д. Эти силы являются только силами

притяжения между телами.

Рис. 1

2. Электромагнитные взаимодействия – самые распространѐнные в

природе в наше время, управляют движением и взаимодействием

заряженных тел и частиц, включая фотоны, превышают гравитационные

силы в 1036

раз, являются как силами притяжения, так и силами

отталкивания.

3. Слабые взаимодействия управляют взаимопревращением

элементарных частиц, кроме фотонов, превышают гравитационные в 10 25

раз.

4. Сильные взаимодействия превосходят электромагнитные в тысячу

раз. Являются силами притяжения. Проявляют себя в ядрах атомов.

5. Информационные взаимодействия передаются мгновенно и без

затрат энергии. Информационное взаимодействие открыто в конце XX века.

Создана Единая Теория Поля. Предложена концепция физического вакуума,

спиновых полей, полей инерции. Выяснена роль мышления и сознания.

3. Основные методы научного познания

Процесс познания и установления законов физики сложен и

многообразен. Перед физикой как строгой наукой стоят следующие задачи:

а) исследовать явления природы и установить законы, которым они

подчиняются; б) установить причинно-следственную связь между

открытыми явлениями и явлениями, изученными ранее, расширить их.

Для решения этих и других задач используются следующие методы:

1) наблюдение, т. е. изучение явлений в природной обстановке;

2) эксперимент – изучение явлений путем их воспроизведения в

лабораторной обстановке. Эксперимент имеет большое преимущество перед

наблюдением, так как позволяет иногда ускорить, или замедлить

наблюдаемое явление, а также многократно его повторить;

3) гипотеза – научное предположение, выдвинутое для объяснения

наблюдаемых явлений. Любая гипотеза требует проверки и доказательства

еѐ правильности;

4) теория – научное предположение, ставшее законом. Если гипотеза

не вступает в противоречие ни с одним из опытных фактов, то она переходит

в теорию. Правильная физическая теория дает качественное и

количественное объяснение целой группе явлений природы с единой точки

зрения.

Все физические законы установлены на основании опытов. Крупные

физические открытия рано или поздно приводят к техническим переворотам,

созданию новых отраслей науки и техники, новых технологий.

В современную эпоху на просторы практического применения вышли

ядерная энергетика, проблемы освоения Космоса, нанотехнологии в

производстве и т. д.

Удалось завершить исследовательскую программу Единой Теории

Поля, которая и привела к уравнениям физического вакуума.

Точные решения системы уравнений физического вакуума описывают

не только гравитационные, электромагнитные, слабые и ядерные (сильные)

взаимодействия (поля), но и новые торсионные поля (поля кручения),

являющиеся носителями информации.

Новая парадигма позволила существенно расширить наше понимание

природных явлений.

На основе новой парадигмы были предсказаны необычные свойства

торсионных полей. За первое десятилетие ХХI века удалось разработать в

России комплекс торсионных технологий.

Непрерывно по восходящей спирали идѐт развитие науки.

Человечество всѐ более глубоко и всесторонне проникает в сущность

окружающего его материального мира. Процесс познания окружающего нас

мира бесконечен, как бесконечна и вечна Природа.

Для успешного изучения физики необходимо понять, что она не свод

законов и формул, а стройная система взаимосвязанных явлений Природы.

4. Свойства симметрии пространства–времени

Основные законы физики: закон сохранения вектора момента

импульса, закон сохранения вектора импульса, закон сохранения энергии,

связаны со свойствами симметрии пространства и времени, а именно:

изотропностью и однородностью пространства и однородностью времени.

В пространстве, свободном от массивных тел, все направления

равноценны, т. е. свободное пространство изотропно, так как в нем нет

выделенных направлений, имеющих особые свойства. В то же время

пространство однородно, т. е. в нем нет точек, обладающих особыми

свойствами. Однородным является и время. Любые явления, происходящие в

одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают

одинаково.

Поскольку пространство изотропно и однородно, то для любых систем

отсчета невозможно определить положение тел относительно пространства.

С точки зрения какой-либо системы отсчета пространство и время

относительны, как и относительно всякое движение. Каждый закон

ограничен определенной областью применения.

Например, закон сохранения вектора импульса является

универсальным и используется как в классической, так и квантовой

механике. Такие законы называют фундаментальными. При этом

необходимо знать размеры исследуемой области пространства, так как от

этого зависит характер физических явлений или взаимодействий.

Физика сложная, но и интересная наука, включает в себя несколько

разделов, начиная от механики больших тел до тел малых размеров,

например, элементарных частиц. По астрономическим данным во Вселенной

элементарные частицы составляют 5 % материи, обнаружено 20 %, темной

(невидимой) материи, и 75% темной (невидимой) энергии, которая стремится

расширить Вселенную. Изучение законов физики и философское осмысление

ее открытий, играет важную роль в формировании научного миропонимания.

Замечание: По последним данным все пространство заполнено

физическим вакуумом (эфиром), который является неоднородным и

поляризованным.

5. Физика и математика

Выражения, характеризующие процесс предельного перехода, которым

определяется производная в математике (дифференцирование), вводятся как

единое целое, например, соотношение dp/dt – производная импульса по

времени, а в применении к физике dp и dt рассматривается как бесконечно

малое приращение. Используя приложения математики в физике, следует

учитывать то обстоятельство, что физические величины получены в

результате конкретных измерений. Предельный переход типа t 0 в

физике понимается как максимально возможно приближенная физическая

величина, зависящая от класса точности прибора и методов измерения.

Следовательно, в физике производная есть отношение конечных, но

достаточно малых приращений функции и аргумента. Это не единственная

причина, есть и другие, обусловленные самой природой физической

величины. Например, в квантовой механике об этом свидетельствуют

соотношения неопределенностей Гейзенберга. Изложенное выше, относится

к производным любых физических величин, например, таких, как плотность

lim m

V dm

dVdV 0,

где стремление к нулю ( V 0) надо понимать в физическом смысле, так как

объем может быть ограничен размером атома или другой элементарной

частицы из-за квантового характера рассматриваемых конкретных

физических объектов. Также обстоит дело и с интегрированием, которое в

физике рассматривается как сумма большого числа бесконечно малых

слагаемых.

В связи с тем, что многие физические величины являются векторными

(скорость, ускорение, сила, импульс и т. д.), в физике широко используются

понятие вектора и операции векторной алгебры.

6. Классическая, релятивистская, квантовая механики,

физический вакуум

Классическая механика является предельным случаем релятивистской

механики. Движения тел, скорости которых сравнимы со скоростью света в

вакууме, называют релятивистскими.

Например, движения планет, спутников, космических кораблей

относятся к медленным движениям и полностью описываются классической

механикой. На основании теории относительности была создана

релятивистская механика, применимая не только к медленным, но и сколь

угодно быстрым движениям, сравнимым со скоростью света в вакууме.

Успешная работа ускорителей по разгону элементарных частиц

подтвердила справедливость выводов релятивистской механики.

Например, если гравитационное поле является сверхсильным, то

классическая теория тяготения Ньютона к нему не применима. В этом случае

используется теория тяготения Эйнштейна. Так, при сжатии тела в точку

сила тяготения по теории Ньютона стремится к бесконечности.

По теории Эйнштейна сила тяготения также стремится к

бесконечности, когда размеры тела при сжатии его становятся равными

гравитационному радиусу. Теория тяготения Эйнштейна связала свойства

пространства и времени с силами гравитации.

В сильном поле тяготения время течет медленнее, а геометрические

свойства пространства изменяются. Геометрия Евклида оказывается

неприменимой и начинает работать геометрия Лобачевского – Римана –

Клиффорда. Пространство не только искривлено, но и скручено.

При изучении микромира: атомов, молекул, электронов и других

элементарных частиц, свойства которых носят особый квантовый характер,

используется квантовая механика.

В 90 годах ХХ столетия было открыто пятое фундаментальное

взаимодействие – информационное. Его проявлением оказались спиноые

поля, выступающие в качестве носителя информации. После открытия пятого

взаимодействия удалось создать Единую Теорию Поля (ЕТП), которая

переросла в теорию физического вакуума.

Спиновая парадигма и концепция физического вакуума позволили

показать, что все парапсихологические феномены основаны на законах

микромира и фундаментальных взаимодействиях. Появилась возможность

найти взаимосвязь между сознанием и мышлением, основанных на

материальном носителе в виде спиновых полей.

7. Относительность механического движения

Раньше других разделов физики развивалась механика, изучающая

простейшую форму движения материи – механическое движение.

Механическим движением называют изменение с течением времени

положения тел относительно друг друга (или частей одного тела) в

пространстве.

Механика состоит из разделов: кинематики, динамики и статики.

Принципы механики, собранные в единую научную систему, были

изложены И. Ньютоном в 1687 г., основаны на принципе относительности

Галилея и трехмерном Евклидовом пространстве.

Правда, Ньютон имел много великих предшественников: Архимеда,

Кеплера, Галилея, Гюйгенса, Гука и других, решивших немало частных

вопросов механики. Механика Ньютона зиждется на прочном фундаменте

экспериментальных фактов. Классическая физика изучает медленные

движения макроскопических тел.

Макроскопическими называют тела, состоящие из большого

количества молекул или атомов (для меди: N 10 28

м 3

).

Под медленными движениями понимают движения тел, скорости

которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме: c 3 108 м/c.

Скорости современных космических кораблей считаются

относительно медленными (v = 7,9 – 16 км /c) .Законы классической

механики являются теоретической основой многих технических наук:

сопротивления материалов, технической механики, гидравлики, аэро-,

гидродинамики и т. д., а также небесной механики. В настоящем учебном

пособии используется Международная система единиц – СИ. Иногда будут

применяться некоторые традиционные для физики внесистемные единицы.

Цель механики – изучение законов перемещения исследуемых тел в

пространстве и времени.

8. Границы применимости классической физики

Область применения классической физики ограничена релятивистской

и квантовой механикой.

Механика Ньютона – механика малых скоростей макроскопических

тел. Согласно выводам квантовой механики, состояние любой квантово-

механической системы (электрона, атома, молекулы и т. д.) нельзя

одновременно характеризовать точными значениями ее координат и

импульса (принцип неопределенности). В классической механике состояние

движения частицы в любой момент времени характеризуется координатами

(радиус-вектором) и скоростью (импульсом).

Согласно квантовой механике, такой способ описания движения

частицы имеет границы применимости. Несмотря на ограниченную область

применения механика Ньютона имеет широкую и практически важную

область применения. В пределах этой области она никогда не утратит своего

научного и практического значения. Например, движение космических

кораблей рассчитывается по законам классической механики, а при решении

задач, связанных с движением заряженных частиц в ускорителях, используют

релятивистскую механику и, наконец, при движении электрона в атоме,

используют вероятностные законы квантовой механики. При определении

границ применимости используют принципы дополнительности и

соответствия.

Там, где квантовая механика имеет дело с макромиром (тела больших

размеров и медленные их движения), ее предсказания должны совпадать с

выводами классической физики.

Принцип всеобщей относительности и теория физического вакуума

объединили проблему поля сил инерции в классической механике; проблему

расходимостей в электродинамике и проблему незавершенности квантовой

механики.

Эти проблемы имеют единый источник – отсутствие полных знаний в

физике о фундаментальном физическом поле – поле инерции, которое

выступает в роли Единого Поля, внутренним образом, объединяющим все

остальные физические поля.

9. Система СИ

В России, согласно Государственному стандарту (Гост 8.417-81),

применяется Система Интернациональная (СИ). Она содержит семь

основных единиц измерения физических величин: метр, килограмм,

секунда, ампер, кельвин, моль, кандела и две дополнительные: радиан и

стерадиан.

Метр (м) - длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/ 299792458 c.

Килограмм (кг) - масса тел, равная массе международного прототипа

килограмма (платиноиридиевый цилиндр, хранящийся в Международном

бюро мер и весов в Севре, близ Парижа).

Секунда (с) - время, равное 2 192 631 770 периодам излучения,

соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного

состояния атома цезия -133.

Ампер (А) - сила, не изменяющегося тока, который при прохождении по

двум параллельным, прямолинейным проводникам бесконечной длины и

ничтожно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один

от другого, создает между этими проводниками силу, равную 2 10-7

Н на

каждый метр длины.

Кельвин (К) - 1/273,16 часть термодинамической температуры

тройной точки воды.

Моль (моль) - количество вещества системы, содержащей столько же

структурных элементов, сколько атомов содержится в нуклиде углерода

612 C массой 0,012 кг.

Кандела (кд) - сила света в заданном направлении источника,

испускающего монохроматическое излучение частотой 540 1012

Гц,

энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/ 683

Вт/ср.

Радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности, длина дуги,

между которыми равна радиусу.

Стерадиан (ср) - телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающей

на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной,

равной радиусу сферы.

ЗНАЧЕНИЯ

НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ

= 3,1415927

е = 2,7192818

ln 2 = 0,6931472

ln 10 = 2,3025851

ВНЕСИСТЕМНЫЕ

ЕДИНИЦЫ

1 Ангстрем (А ) = 10 -10

м

1 рад = 57,3о

1 атм =1.01 10 5 Па

1 мм рт. ст. =1,33 102 Па

Лекция 2

Часть 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

1.1. Поступательное движение твердого тела

Простейшими из механических движений являются поступательное и

вращательное движения, которые широко распространены в природе.

Поступательным называют движение тела, при котором прямая,

соединяющая две произвольные его точки,

перемещается, оставаясь параллельной своему

первоначальному направлению.

При поступательном перемещении все

точки тела движутся одинаково, в этом случае

достаточно наблюдать за перемещением любой

его точки (рис. 1). Кинематика рассматривает

поступательное или вращательное движения, не

устанавливая причин этого движения.

1.2. Система отсчѐта

Из определения механического движения следует, что движение

относительно: это фундаментальное свойство природы. Так как в природе

нет неподвижных тел, то какое-либо тело в данной задаче условно считают

неподвижным и движение других тел рассматривают относительно этого

тела.

Тело, относительно которого рассматривается движение других

тел, называют телом отсчѐта.

Для определения положения тела в пространстве относительно тела

отсчета необходима система координат, жестко связанная с ним. Например,

декартова прямоугольная система координат. Положение тела в

пространстве

при механическом движении изменяется с течением времени, поэтому

необходимо выбрать способ измерения времени

(часы). Таким образом, тело отсчета, жестко связанная

с ним система координат и часы образуют систему

отсчета (рис. 2). С телом отсчѐта совмещают начало

системы координат. В качестве часов может

выступать любой периодический процесс, например,

суточное вращение Земли вокруг своей оси или

вокруг Солнца. Для описания движения необходимо

Рис. 1

Рис. 2

располагать эталонами, которые позволяли бы, с определѐнной точностью,

измерять пространственные и временные промежутки.

Такие эталоны служат масштабом и часами.

При решении некоторых задач за систему отсчѐта принимают Землю

или связанные с ней тела: здания, деревья, машины, механизмы и т. д.

Многочисленными экспериментальными данными (геодезическими,

астрономическими и т. д.), вплоть до масштабов, сравнимых с наблюдаемой

частью Вселенной, установлено, что геометрия мирового пространства

является Евклидовой. Начиная с расстояний, больших 1026

м, пространство

становится искривлѐнным в результате действия больших сил тяготения.

Мы живѐм в трѐхмерном пространстве. В N–мерном пространстве сила

взаимодействия двух точечных тел F ,1Nr

1 где r – расстояние между

телами. Устойчивое движение двух тел отсутствует при N > 3, а при N 2

движение происходит в ограниченной области.

Только при N = 3 возможны как связанные, так и несвязанные

движения, что и реализуется в наблюдаемой Вселенной. Трѐхмерное

пространство представляется выделенным, только в нѐм существуют

атомы, планетные системы и выполняются закон Всемирного тяготения

Ньютона и закон Кулона.

1.3. Материальная точка

Все тела имеют определѐнные размеры. В физике широко используется

понятие – материальная точка (м. т.).

Тело, размерами и формой которого можно пренебречь, в сравнении с

масштабами движений, считают материальной точкой.

Наблюдая в безлунную ночь, особенно в сельской местности, за

небосводом можно обнаружить на нѐм бесчисленное множество звѐзд. Из-за

больших расстояний они кажутся нам яркими светящимися точками

различной интенсивности. В классической физике любые макроскопические

тела можно считать состоящими из множества малых частей, каждую из

которых можно принять за материальную точку. В связи с этим

предполагается, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке.

1.4. Радиус-вектор и координаты

Рассмотрим движение материальной точки в произвольно выбранной

нами системе отсчета. Это движение описано полностью, если известно еѐ

положение в любой момент времени относительно выбранной системы

отсчѐта. Одним из способов определения положения материальной точки М

в пространстве являются, например, еѐ прямоугольные декартовы

координаты: x – абсцисса, y – ордината, z – аппликата.

Положение материальной точки в пространстве в данный момент

времени может быть задано:

а) радиус-вектором trr , соединяющим начало системы координат с

точкой М пространства, в которой в данный

момент находится м. т.;

б) координатами точки М: х, у, z (рис.

3).

Проекциями радиус-вектора r на

координатные оси являются следующие

равенства: rx = x, ry = y, rz = z как

соответствующие координаты конца радиус-

вектора r .

Замечание: Проекция вектора на

соответствующие оси координат (Х,

У, Z) может быть положительной

(рис. 4, а), отрицательной (рис. 4, б)

и равной нулю (рис. 4, в).

Например, проекцией rx

радиус-вектора r на ось координат

Х называют скалярную величину,

связанную с модулем этого радиус-

вектора и углом между

направлением оси Х и

направлением радиус-вектора r , т.

е. rx = r cos = r cos = x.

1.5. Уравнения движения

Основная задача кинематики – написать уравнение движения

материальной точки.

Поскольку всякое движение происходит в пространстве и времени, то

положение материальной точки в любой момент времени относительно тела

отсчѐта известно, если заданы еѐ координаты

х = х(t), y = y(t), z = z(t) (1)

или радиус-вектор

r r t . (2)

Уравнения (1) и (2) называют кинематическими уравнениями

движения материальной точки.

Из анализа уравнений (1) и (2) следует, что закон движения

Рис. 3

Рис. 4

материальной точки описывается тремя скалярными уравнениями или одним

векторным. уравнения (1) и (2) характеризуют движение одной и той же

материальной точки, то между ними существует связь:

r i x j y k z . (3)

Длина радиус-вектора

r x y z2 2 2, (4)

где i j k, , – единичные векторы (орты) осей координат (рис. 3).

Уравнения движения описывают состояние системы в пространстве

и времени.

1.6. Степени свободы

Положение материальной точки или тела в пространстве можно

характеризовать координатами x, y, z, т. е. материальная точка может

совершать три независимых движения.

Число независимых координат, которые полностью определяют

положение тел (м. т.) в пространстве, называют числом степеней свободы.

Следовательно, материальная точка имеет три поступательные степени

свободы (i = 3). Если м. т. движется вдоль прямой, то она имеет только одну

степень свободы (i = 1).

Если м. т. осуществляет движение на плоскости, то она обладает двумя

степенями свободы (i = 2).

Абсолютно твердое тело имеет

шесть степеней свободы (i = 6): три

поступательных и три вращательных.

Когда речь идет об атомах или

молекулах, одноатомные молекулы

(аргон, гелий и т. д.) можно считать м. т.,

поэтому они имеют три поступательные

степени свободы (рис. 5, а).

Двухатомные молекулы: водород,

азот и т. д. (рис. 5, б) имеют пять

степеней свободы: три поступательные и

две вращательные.

Трех – и многоатомные молекулы

имеют шесть степеней свободы (рис. 5,

в). Общее число степеней свободы молекулы

i = iпост + iвр +2 iкол. (5)

Если м. т. (тело) совершает колебательное движение, то непрерывно

происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и,

наоборот, потенциальной – в кинетическую, поэтому число колебательных

Рис. 5

степеней свободы удваивается.

1.7. Траектория

При своѐм движении в пространстве материальная точка описывает

воображаемую линию, которую называют траекторией.

Например, следы людей и машин на песке, инверсионный след

самолѐта, летящего высоко в небе (рис. 6 ).

Траектория – понятие относительное.

Следовательно, о форме траектории без

указания системы отсчѐта говорить нельзя.

При поступательном движении тела все его

точки движутся по траектории одинаковой формы

и равной длины.

При вращении тела относительно

неподвижной оси траектории всех его точек, не лежащих на оси вращения,

имеют одинаковую форму, т. е. окружности, но длины этих окружностей

неодинаковы: чем дальше точка находится от оси вращения, тем больше

длина окружности, по которой она движется.

В зависимости от формы траектории различают движения

прямолинейные и криволинейные.

Необходимо помнить, что в различных системах отсчета траектории

движущихся м. т. могут иметь различные формы.

Для примера рассмотрим движение точки конца пропеллера летящего

самолета.

В системе отсчета, связанной с самолетом, траектория – окружность, а

в системе отсчета, связанной с Землей, точка конца пропеллера описывает

винтовую линию.

Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из

выражений x = x (t), y = y (t), z = z (t) исключить время.

1.8. Вектор перемещения материальной точки

Изменение положения материальной точки в пространстве при ее

движении характеризуют вектором перемещения r .

Вектор, проведѐнный из начального положения материальной точки в

конечное, называют вектором перемещения.

Вектор перемещения характеризует изменение радиус-вектора

движущейся точки за рассматриваемый промежуток времени. В течение

промежутка времени t материальная точка переходит из точки 1 с

координатами: х1, у1, z1 в точку 2 с координатами: х2, у2, z2 (рис. 1.7).

Вектор перемещения материальной точки записывают в виде

r r r2 1 , (6)

Рис. 6

Вместо одного уравнения (6) можно использовать три скалярных

уравнения – проекций вектора перемещения на оси координат Х, У, Z:

,ZZZ

z

r,УУУ

y

r,ХХХx

r 121212 (7)

где x, y, z – изменения координат за

соответствующий промежуток времени t.

Модуль вектора перемещения

.zyxr 222 (8)

Если материальная точка (тело)

одновременно участвует в нескольких

перемещениях (рис 8), то, согласно принципу

независимости движений, каждое

совершается независимо одно от другого, т. е.

выполняется закон сложения векторов

перемещений

....rДrДrД 21

Замечание о символе : этот символ

имеет несколько смыслов.

Во-первых, он обозначает конечное

изменение (прирост или убыль) стоящей за ним

переменной величины.

Например, – изменение радиус-

вектора; x, y, z – изменения координат.

Во-вторых, он применяется для

обозначения абсолютной ошибки измерения в

теории погрешностей измерений физических величин.

В-третьих, он применяется для обозначения малого элемента

переменной величины.

Например, t – малый промежуток времени;

V – малый элемент объема (элементарный объем).

В-четвертых, это символический вектор – векторный оператор

Лапласа.

Замечание о векторных величинах: Общим свойством всех векторных

величин является то, что сложение или вычитание однородных векторных

величин производится геометрически.

Например, тот опытный факт, что результат нескольких

последовательных перемещений всегда находится как геометрическая сумма

(по правилу параллелограмма) этих перемещений, говорит о векторном

характере перемещений, о необходимости и целесообразности введения

r

Рис. 7

Рис. 8

перемещения как векторной величины.

1.9. Длина пути

При движении материальной точки по траектории используется

кинематиче-ская характеристика – длина пути S (рис. 7).

Длина пути – скалярная величина, равна длине участка траектории,

пройденного м. т. за рассматриваемый промежуток времени.

При прямолинейном движении м. т. в одном направлении = S, а в

общем случае криволинейного движения , но различие между ними

тем меньше, чем меньше , или при бесконечно малом промежутке

времени dt, в случае произвольного криволинейного движения, равенство

соблюдается при dr 0, т. е. .rd

Sd

r

S

rlim 1

0

1.10. Средняя скорость материальной точки

Для количественного описания физических явлений используются

различные физические величины, одной из них является скорость. Для

оценки быстроты перемещения м. т. в пространстве с течением времени

недостаточно знать траекторию и перемещение. Два же различных движения,

для которых одно и то же перемещение совершилось за различные

промежутки времени, геометрически одинаковы, но кинематически

различны. Для характеристики быстроты изменения перемещения вводится

понятие скорости.

Пусть материальная точка движется и описывает некоторую

траекторию в плоскости Х0У. В момент времени t1 она находилась в точке

М1, характеризуемой радиус-вектором 1r или координатами (х1, у1, z1), в

момент времени t2 – в точке М2, характеризуемой радиус-вектором 2r или

координатами (x2, y2, z2). За промежуток времени t = t2 – t1 м. т. проходит по

траектории путь s и получает элементарное перемещение, которое

совпадает с приращением радиус-вектора за это время, т. е. .12

Д rrr

Вектором средней скорости называют физическую величину, равную

отношению вектора перемещения (приращению радиус-вектора) к

промежутку времени, за которое это перемещение произошло.

По определению вектор средней скорости vr

t. (9)

Вектор средней скорости направлен в ту же сторону, что и вектор

перемещения (рис. 9).

r

r S

r

dr dS

В проекциях на оси координат вектора средней скорости с учетом (7)

получаем три скалярных уравнения:

r x y z2 2 2

Модуль средней скорости

vr

t. (10)

Замечание 1:

Если м. т. движется по окружности или

любой замкнутой траектории, т. е. через

некоторое время возвращается в исходное положение, то ее перемещение

равно нулю, следовательно, равна нулю и средняя скорость.

Да, но тело-то двигалось!

Для выхода из создавшегося положения вводят понятие средней

скалярной скорости <vc>, которая определяется отношением отрезка пути,

пройденного м. т. по траектории за некоторый промежуток времени, к

величине этого промежутка, т. е.

<vc> = s / t. (11)

Если м. т. совершает ряд последовательных перемещений

r r r n1 2, , ... , ,

за соответствующие промежутки времени t1, t2, ... , tn, то вектор средней

скорости результирующего перемещения находят по формуле

vr r r

t t t

n

n

1 2

1 2

...

..., (12)

а величину средней скалярной скорости – по формуле

vs s s

t t t

n

n

1 2

1 2

...

.... (13)

Замечание 2:

Часто при решении задач для нахождения средней скорости

используют формулу

<v> = (v0 + vt) / 2 , (14)

где v0 – начальная скорость, vt – конечная.

Эта формула справедлива в случае прямолинейного равноускоренного

или равнозамедленного движений и в одну сторону, т. е. без изменения

направления скорости.

Однако аналогичная формула в векторном виде

vv v0

2

остается справедливой и в случае равнопеременного движения с изменением

Рис. 9

направления скорости.

В СИ за единицу измерения скорости принято м/c.

1.11. Мгновенная скорость

Уменьшая неограниченно промежуток времени t, за который

произошло перемещение м. т. в пространстве в пределе, когда t 0,

получим мгновенную скорость, т. е.

.tdrd

tДrД

limv0tД

(15)

Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения приращения

радиус-вектора м. т. к тому промежутку времени, за которое это

приращение произошло, когда t 0 или равен первой производной радиус-

вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости в данный момент времени направлен по

касательной к траектории в данной точке (рис. 9).

Действительно, при t 0, когда точка М2 приближается к М1, хорда

(секущая) r , сближается с длиной отрезка дуги s и в пределе s = r , а

секущая переходит в касательную. Это наглядно подтверждается опытами.

Например, искры при заточке инструмента всегда направлены по

касательной к точильному кругу. Поскольку, скорость – величина векторная,

то модуль ее

v

d r

dt.

В некоторых типах ускорителей (например, циклотронах и др.)

частицы многократно движутся по замкнутой траектории без остановки.

Следовательно, в любой точке траектории модуль вектора мгновенной

скорости должен отличаться от нуля. Это заключение подтверждается не

только уравнением (15), но и согласуется с понятием средней скалярной

скорости (формула 11). Если в уравнении (11) перейти к пределу при t 0,

то придется рассматривать такие малые участки пути на траектории s,

которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения r .

Тогда на основании уравнения (11) можно получить значение мгновенной

скалярной скорости v ims

t

ds

dtc

t

0,

совпадающее с модулем вектора мгновенной скорости dt

drVV ,

так как r = s при t 0.

Одно уравнение вектора мгновенной скорости (15) можно заменить

эквивалентной системой трех скалярных уравнений, проекций вектора

скорости на оси координат

vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt. (16)

Вектор мгновенной скорости связан с его проекциями на оси

координат выражением v v i v j v kx y z , (17)

где i j k, , – единичные векторы, направленные вдоль осей Х, У, Z

соответственно.

По модулю v v v vx y z2 2 2

. (18)

Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения

перемещения в пространстве по величине и направлению с течением

времени. Скорость – функция времени.

1.12. Среднее ускорение

При движении тел скорость в общем случае может изменяться как по

величине, так и по направлению.

Примерами такого движения являются движение Солнечной системы

вокруг центра нашей Галактики или движение поезда при торможении и т. д.

Равномерное движение м. т. по окружности является примером, когда ее

скорость изменяется по направлению, оставаясь постоянной по величине.

Если м. т. движется по некоторой траектории, изменяя величину и

направление скорости, то для характеристики ее движения уже недостаточно

знать перемещение и скорость, нужно знать

еще и быстроту изменения скорости, т. е.

ускорение.

Пусть м. т. в некоторый момент времени

t1 находится в пункте М1 и движется со

скоростью v1 , а в момент времени t2 – в

пункте М2 – со скоростью v2 (рис. 10).

Перенесем вектор v2 параллельно

самому себе в точку М1 так, чтобы совпали

начала векторов v2 и v1 . Тогда разность векторов v2 и v1 есть вектор

изменения (приращения) скорости за промежуток времени t = t2 – t1, т. е.

v v v2 1 . (19)

Вектор среднего ускорения равен отношению вектора изменения

скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.

Следовательно,

Рис. 10

t

va . (20)

Вектор среднего ускорения совпадает с направлением вектора

изменения скорости и, направлен внутрь кривизны траектории.

Одному векторному уравнению (1.20) соответствует система из трех

скалярных уравнений для проекций вектора среднего ускорения на оси

координат

av

ta

v

ta

v

tx

xy

yz

z; ; . (21)

Модуль вектора среднего ускорения

a

v

t. (22)

За единицу измерения ускорения в СИ принят метр на секунду в

квадрате.

1.13. Мгновенное ускорение

Будем уменьшать промежуток времени t и, когда в пределе t 0,

получим вектор мгновенного (истинного) ускорения, т. е.

av

t

d v

d t

d r

d ttlim

0

2

2 . (23)

Вектор мгновенного ускорения равен пределу отношения вектора

изменения скорости к тому промежутку времени, когда t 0 или равен

первой производной вектора скорости по времени или равен второй

производной радиус- вектора по времени.

Одному векторному уравнению (23) соответствует система из трех

скалярных уравнений для проекций вектора ускорения на оси координат

adv

dta

dv

dta

dv

dtx

xy

yz

z; ; . (24)

Абсолютное значение мгновенного ускорения

a = dv /dt = d2r /dt

2 . (25)

В общем случае криволинейного движения вектор скорости не

совпадает по направлению с вектором изменения скорости (вектором

ускорения), что и делает возможным само существование криволинейного

движения тел.Связь вектора мгновенного ускорения с его проекциями на оси

координат запишем в виде a a i a j a kx y z .

Соответственно модуль вектора мгновенного ускорения

a a a ax y z2 2 2 . (26)

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости м. т.

по величине и направлению с течением времени. Ускорение – функция

времени.

1.14. Прямолинейное равномерное движение

Движение называют равномерным и прямолинейным, если м. т.

движется вдоль прямой с постоянной по величине и направлению

скоростью.

В этом случае средняя и мгновенная скорости совпадают, а движение

происходит только в одном направлении, так как модуль вектора

перемещения равен расстоянию, пройденному м. т. по траектории.

Скорость равномерного прямолинейного движения м. т. можно найти

по формуле

v = s / t . (27)

График зависимости пути равномерного прямолинейного движения м. т. от

времени (рис. 1.11) представляет собой прямую, отсекаемую на оси s отрезок

so, и образует с осью времени угол = arc tg (s/t) = arctg v.

Если s = s s0 и t = t t0 , то s so= v(t to).

В момент времени t = t0, s = so, но v 0. При t0 = 0, s = so + vt, где t0 и s0 начальные условия. График скорости равномерного

прямолинейного движения приведен на рис. 12. Путь, пройденный м. т.,

можно найти по графику скорости равномерного прямолинейного движения.

Путь равен площади прямоугольника, ограниченного сверху графиком

скорости, слева и справа ординатами начального t1 и конечного t2

моментов времени; снизу осью времени. Скорость может быть найдена по

графику пути (см. рис. 11), где v = tg . Чем больше угол , тем больше и

скорость v.

1.15. Прямолинейное равнопеременное движение

Движение называют равнопеременным, если м. т. движется с

постоянным по величине и направлению ускорением.

Если а > 0 (a v ), то движение называют равноускоренным (рис.

Рис. 13

Рис. 12

Рис. 11

13, прямая 1); если же а < 0 ( a v ), то движение называют

равнозамедленным (рис. 13, прямая 2); наконец, при а = 0, движение

равномерное (рис. 13, прямая 3).

1.16. Вычисление скорости равнопеременного

прямолинейного движения

Найдем скорость тела (м. т.) в любой момент времени.

По определению мгновенное ускорение

a vddt

или d v a dt .

При равнопеременном и прямолинейном движении м. т. вектор

мгновенного ускорения с течением времени не изменяется ни по модулю, ни

по направлению и совпадает с вектором среднего ускорения (a = const,

a a const ). Для того чтобы найти изменение скорости за конечный

промежуток времени t, необходимо просуммировать изменение скорости

d v по всем интервалам времени dt. Такое суммирование в математике

выполняется операцией интегрирования, т. е. d v a dt

v

v

t

t

0 0

. После

интегрирования v v a t t0 0( ) .

Следовательно, скорость в любой момент времени

v v a t t0 0( ) .

Если t0 = 0, то v v a t0 (28)

При движении скорость тела линейно зависит от времени.

Векторное уравнение (28) соответствует системе трех скалярных

уравнений для проекций на оси координат Х, У, Z:

v v a t v v a t v v a tx x x y y y z z z0 0 0, , .

Выражая проекции vx, v0x, ax и т. д. через модули соответствующих

векторов, нужно учитывать знаки («+» и « ») и числовые коэффициенты,

которые появляются в зависимости от направления проецируемого вектора и

выбора положительного направления координатной оси. Например, при

равнопеременном, и прямолинейном движении, происходящем вдоль оси Х,

можно вместо векторного уравнения (28) написать соотношение vx = v0 + at,

но только для случая, когда направления векторов v a0 , совпадают с

положительным направлением координатной оси.

Например, положительное направление координатной оси совпадает с

направлением вектора начальной скорости v 0 , а положительный знак у

слагаемого at соответствует ускоренному движению; положительный знак

перед vx говорит о том, что вектор конечной скорости v направлен в ту же

сторону, что и вектор начальной скорости v 0 .

Если при прочих равных условиях вектор a противоположен по

направлению вектору v 0 , то vx = v0 at. В зависимости от конкретных

значений времени t, модулей начальной скорости v0 и ускорения a результат

расчета для vx может привести как к положительному, так и к

отрицательному значению. Рассмотрим конкретный пример.

Пусть м. т. совершает прямолинейное равнопеременное движение с

начальной скоростью v0 = 24 м/c и модулем ускорения а = a = 4 м/с2, но

направления векторов v a0 , противоположны, т. е. v a0 (а < 0).

Допустим, нас интересуют скорости м. т. через t1 = 2 c и t2 = 12 c

после начала движения. Проецируя на координатную ось (например, ось Х),

положительное направление которой совпадает с направлением вектора

начальной скорости v 0 , и, выражая проекции векторов через их модули,

получим, что через t1 = 2 c скорость м. т. v1x = 24 4 2 = 16 м/c.

При t2 = 12 c v2x = 24 4 12 = 24 м/c, т. е. проекция вектора скорости

v2x имеет знак минус. Это значит, что к моменту времени t2 = 12 c после

начала движения м. т. движется в противоположном направлении.

А когда же это произошло? В какой момент времени? Для этого в

формуле vx = v0 at нужно скорость положить равной нулю, т. е. vx = 0.

Тогда v0 = at или t = v0 /a. После подстановки числовых значений имеем t =

6 с, т. е. через 6 с после начала движения м. т. изменила направление

скорости на противоположное.

1.17. Путь равнопеременного, прямолинейного движения

Зная скорость в каждый момент времени v = v(t), можно найти путь,

пройденный м. т. от момента времени t1 до момента времени t2.

Разделим промежуток времени t на N малых интервалов времени ti

(необязательно равных), где i = 1, 2 , 3, ... , N номер интервала.

Согласно формуле мгновенной скорости v = dS / dt, можно считать,

что путь Si, пройденный м. т. за промежуток времени ti, равен

Si vi ti,

где vi значение скорости м. т. за соответствующий промежуток времени

ti. Полный путь S, пройденный м. т., равен сумме отдельных отрезков пути

Si: S = S1 + S2 + ...+ SN = Si

i

N

1

или S v ti

i

N

i

1

.

Если уменьшать интервалы времени ti, то произведение vi ti будет с

возрастающей точностью определять пройденный путь Si. При ti 0 в

пределе получим истинное значение пути:

S v tti

ii

N

i0 1

lim .

В математике выражение данного вида называют определенным

интегралом функции v = v(t), взятым по переменной времени t от t1 (нижний

предел) до t2 (верхний предел), т. е.

.dt

t

t

tvS

2

1

Используя формулу скорости v = v0 + at и формулу пути dS = v dt,

получим

dS vdt v at dt

S

S t t

0 0

0

0

.

После интегрирования найдем путь в виде

S = S0+ v0t + a t2/ 2. (29)

где S0 – путь, пройденный м. т. к моменту времени t = 0.

Формулу вектора перемещения приведем без доказательства:

r r v ta t

0 0

2

2. (30)

Одному векторному уравнению можно сопоставить систему трех

скалярных уравнений для определения изменения координат х, у, z за тот же

промежуток времени при движении м. т., т. е.

х = х0 + v0xt + ax t2/ 2,

y = y0 + v0yt + ay t2/ 2, (31)

z = z0 + v0zt + az t2/ 2.

Из уравнения (31) можно получить уравнение, описывающее

изменения радиус-вектора, характеризующего движение м. т. с течением

времени в виде

r r v ta t

0 0

2

2. (32)

Примерами равноускоренного движения являются свободное падение

тел в поле силы тяготения или скатывание тел по наклонной плоскости без

учета сил трения и т. д.

Замечание: Существование начальных условий x0, v0, r0 и т. д.

вытекает из самой природы непрерывного течения времени и только в одном

направлении от прошлого к будущему.

Начальный момент времени t0 = 0 не обязательно соответствует началу

движения или выходу м. т. (частицы) из состояния покоя.

Начальный момент времени можно выбирать произвольно.

Это момент времени, с которого наблюдатель начал следить за данным

движением или начал его исследовать.

В этот момент обычно включается секундомер или иное устройство

для измерения промежутков времени.

1.18. Криволинейное движение. Радиус кривизны

Движение называют криволинейным, если скорость м. т. изменяется

и по величине, и по направлению.

Одной из основных характеристик этого движения считается

ускорение. В реальной жизни чаще всего встречается криволинейное

движение, когда величина скорости – остаѐтся постоянной, а направление

непрерывно изменяется. Например, равномерное движение м. т. по

окружности.

Рассмотрим движение м. т. вдоль произвольной кривой.

Из математики известно, что малую часть дуги любой плавной кривой

(траектории) можно заменить дугой окружности

некоторого радиуса R1 или R2 с центром в точке

01 или 02 (рис. 14).

Окружность, которая в пределе совпадает с

бесконечно малой дугой произвольной кривой,

называют кругом кривизны.

Радиус этой окружности называют радиусом

кривизны (R1 и R2), а центр окружности –

центром кривизны (т. 01 и т. 02, рис. 14).

Величину С =1/R называют кривизной данной

траектории.

1.19. Центростремительное, тангенциальное

и полное ускорения

Пусть в плоской системе координат (XOY) движется м. т., описывая

криволинейную траекторию.

В произвольный момент времени t1 материальная точка при движении

со скоростью V1 находилась в пункте А.

В следующий момент времени t2 она находится в пункте В, имея

скорость V2 (рис. 15).

Если интервал времени t мал, то участок криволинейной траектории

представляет собой некоторую дугу АЕ, которая в пределе совпадает с

дугой некоторого круга кривизны радиуса R с центром в точке 0. Скорости

V1 и V2 отличаются и по величине, и по направлению,

Рис. 14

т. е. vv21

и V1 V2 .

Перенесѐм вектор

V2 (можно и вектор V1 )

параллельно самому себе

так, чтобы совпали начала

векторов V1 и V2 в точке

А.

Соединим концы

векторов V1 и V2

направленным отрезком ВД

и обозначим его v .

Вектор

v v v2 1

является вектором изменения (приращения) скорости (рис. 15) за

время t и характеризует изменение скорости, как по величине, так и по

направлению. На отрезке АВ (модуль вектора 1v ) отложим отрезок АС,

равный по величине модулю вектора 2v . r – хорда АЕ, следует, что

r

R

v

v

n

2

,

где r = v t, так как АС = .tconsvvv 22

После преобразования

tconsR

2

Д

nДv

t

v,

поскольку R = const и 2v = сonst, так как вектор в квадрате есть скаляр. В

связи с тем, что изменение скорости v v vn произошло за время t,

разделим левую и правую части на t:

t

v

t

v .

По определению мгновенного ускорения, имеем: слева – вектор полного

ускорения

Рис. 15

,dtdv

ДtДv

lima0Дt

справа – первое слагаемоe

dt

dvvlima

t0t

, (34)

второе слагаемое .vlima tД

Д n

0tД

n (35)

Тогда naaa , (36)

nR

2v

Дt

vД

0Дtlima , (37)

т. е. аn = v2/R, (38)

где n – единичный вектор нормали.

Он направлен по радиусу к центру круга

кривизны (рис.16), так как с переходом к пределу,

когда точки А и Е сливаются, скорость 2v

приближается к 1v и угол 0 (рис.15).

Соответственно углы АСД и АДC равны и стремятся к 90о.

Следовательно, в пределе вектор na ( vv 1n или 1n va )

направлен по радиусу к центру круга кривизны и называется

центростремительным (нормальным) ускорением.

Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к

центру круга кривизны и характеризует изменение скорости по

направлению. Рассмотрим вторую составляющую полного ускорения.

Соединим точки С и Д направленным отрезком, который обозначим

вектором Vn , характеризующим изменение скорости только по

направлению.

Направленный отрезок ВС назовем вектором v , характеризующим

изменение скорости по величине, т. е.

v v v2 1.

Согласно рис. 15,

VVV n . (33)

Из подобия равнобедренных треугольников ОАЕ и АСД, где модуль

Рис. 16

Вектор dt

dv

t

vlim

0ta (39)

называют тангенциальным (касательным) ускорением, где – единичный

вектор, направленный по касательной к траектории, т. е.

( vaф ) vaф , .фvv

Вектор касательного ускорения характеризует изменение скорости по

величине, направлен по касательной к траектории в данной точке.

При произвольном криволинейном движении материальной точки

полное ускорение может быть разложено на две составляющие:

naaa , где nф aaa .

Вектор полного ускорения характеризует изменение скорости по

величине и направлению, направлен внутрь кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

22фanaa . (40)

Возникновение нормального и тангенциального ускорений

наблюдается, например, при движении искусственных спутников Земли.

1.20. Кинематика вращательного движения.

Абсолютно твердое тело

Другим простейшим видом механического движения является

вращательное движение материальной точки и тела.

Абсолютно твердым называют тело, деформациями которого можно

пренебречь, а расстояние между любыми его двумя точками сохраняется

неизменным при движении.

Вращательным движением абсолютно твердого тела называют

движение, при котором все его точки описывают окружности, лежащие в

параллельных плоскостях, а центры их лежат на оси вращения (рис. 1.16).

1. 21. Угловое перемещение

Положение материальной точки при движении, например, по

окружности, можно задать не только радиус-вектором, но и угловым

перемещением (углом поворота) радиус-вектора, характеризующего

положение м. т. относительно неподвижной плоскости Q, принятой за тело

отсчета и подвижной плоскости Р, жестко связанной с вращающим телом

(рис. 17). Выражение вида

= (t), (41)

называют уравнением кинематики вращательного движения.

Изменение углового перемещения происходит во времени и

описывается по уравнению (41), зависит от вида вращения абсолютно

твердого тела (равномерное или неравномерное вращение) с неподвижной

или подвижной осями вращения.Задача кинематики – установить вид этого

уравнения. Если тело совершило N оборотов, то общий угол поворота

= 2 N. (42)

При вращении абсолютно твердого тела любые его точки А и Б,

находящиеся на различных расстояниях R1 и R2 от оси вращения (рис. 17),

перемещаются с различными скоростями (v2 v1), поэтому линейные

скорости точек тела не могут характеризовать

вращение тела в целом. Действительно, точки А и Б

проходят различные расстояния (s2 s1). Однако за

одно и то же время t различные точки тела

поворачиваются на один и тот же угол .Так как

абсолютно твердое тело вращается как единое

целое, то величина углового перемещения не

зависит от выбора конкретной точки тела, а является

характеристикой движения всего тела (рис. 18).

1.22. Средняя угловая скорость

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 1.18

Пусть произвольная точка М находится в подвижной плоскости Р. Угол

поворота (угловое перемещение) всего тела и путь S будем отсчитывать

от неподвижной плоскости Q по часовой стрелке (рис. 18).

Угол поворота в СИ измеряется в радианах (рад).

Известно из математики, что = S / R. За малый промежуток

времени t тело повернется на угол , а точка М пройдет путь по

траектории S = R . (43)

Величина радиуса R и положение центра окружности (т. О)

определяются соотношением Rs

0lim .

Разделим на t правую и левую части равенства (18):

S

tR

t.

Из кинематики поступательного движения известно, что

S

tV , тогда

t, (44)

где – средняя угловая скорость.

Средняя угловая скорость равна отношению изменения углового

перемещения к промежутку времени, за которое перемещение произошло.

1.23. Мгновенная угловая скорость

При вращении м. т. (тела) в пределе при t 0 получаем мгновенную

угловую скорость

td

d

tД

Дlimщ

0Дt

. (45)

Мгновенная угловая скорость тела равна первой производной углового

перемещения по времени.

Если тело вращается равномерно, то = сonst. Тогда

.t

щ (46)

Угловая скорость в СИ измеряется в радианах в секунду (рад/c).

Вывод: Величина угловой скорости, как и угловое перемещение,

характеризуют тело в целом.

Понятия угловой скорости и углового перемещения имеют смысл

только для тел конечных размеров. Значение угловой скорости в науке и

технике огромно: она используется, начиная с объектов микромира до тел

космических масштабов.

Например, в настоящее время установлено, что гигантские структуры

Вселенной – галактики, включая и нашу спиральную галактику «Млечный

Путь», скопления и сверхскопления галактик, вращаются дифференциально,

т. е. угловая скорость гал вращения диска нашей галактики уменьшается

по мере удаления от центра галактики.

Одновременно по диску галактики пробегает спиральная волна

плотности с постоянной угловой скоростью спир (твердотельное вращение),

имея период обращения в сотни миллионов лет, стимулируя в спиральных

рукавах галактики активное звездообразование.

В тех областях, где угловая скорость вращения диска галактики

совпадает по величине с угловой скоростью спиральной волны плотности

галактики ( гал = спир), возникает коротационный круг жизни (обычно вдали

от спиральных рукавов). Кстати, возможно не случайно, наша Солнечная

система и находится, предположительно, в области коротационного круга

галактики – «Млечный Путь».

1.24. Связь линейной и угловой скоростей

Используя равенство (43), перейдем к пределу при t 0:

constRRtД

Д

tДsД

limlim0Дt0Дt

.

При переходе к производным имеем

ds/dt = Rd /dt, но ds/dt = v, d /dt = .

Следовательно,

v = R (47)

1.25. Период и частота вращения

Равномерное вращение тел (например, Земли и других планет вокруг

Солнца) характеризуется периодом и частотой вращения.

Период – время, за которое тело совершает полный оборот вокруг оси

или полюса (точки). В Си период измеряется в секундах (c).

Если тело совершило полный оборот вокруг оси, то оно повернулось на

угол = 2 радиан или 360 0.

Полагая время одного оборота t = Т получаем, что

= 2

T (48)

Частота f – число оборотов тела в секунду.

В СИ частоту вращения измеряют в с -1

или оборотах в секунду.

Период и частота вращения связаны соотношением

f

1T , (49)

где = 2 f. (50)

1.26. Среднее угловое ускорение

Из анализа равенства (47) следует, что угловая скорость может

изменяться как за счет изменения линейной скорости v при вращении (в

этом случае угловая скорость изменяется по величине), так и за счет

поворота оси вращения в пространстве. При неравномерном вращении тела

вокруг неподвижной оси угловая скорость изменяется только по величине,

оставаясь постоянной по направлению.

Если при вращении (R = сonst) за некоторое время t угловая скорость

получит приращение , то линейная скорость получит приращение v, т. е.

v = R . (51)

Разделим правую и левую части равенствa (51) на время t, за которое

произошло вращение, получим, что

v

tR

t.

Отношение t

(52)

– называют средним угловым ускорением.

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения

угловой скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение

произошло.

1.27. Мгновенное угловое ускорение

При t 0 в пределе получим абсолютное значение мгновенного

углового ускорения:

,td

d

td

щdtДщД

limе2

2

0Дt

(53)

т. е. мгновенное угловое ускорение численно равно первой производной

угловой скорости по времени или – второй производной углового

перемещения по времени.

1.28. Связь линейного и углового ускорений

Используя равенство (1.52) и переходя к пределу, получаем

t

v

tR

tt0 0lim lim .

Учитывая, что t

v

t

d v

d ta

0lim , так как тангенциальное

ускорение, характеризует изменение скорости только по величине имеем

а = R . (54)

В СИ единицей измерения углового ускорения является радиан на

секунду в квадрате (рад/c2 или с

-2).

1.29. Связь линейных величин s, v, a c угловыми , ,

Полученные равенства

s = R , v = R , a = R (55)

показывают, что линейные кинематические величины s, v, a ,

характеризующие движение отдельных точек тела, получаются умножением

кинематических угловых величин , , , отражающих движение всего тела

в целом на расстояние от этих точек до оси вращения (радиусы). При

вращательном движении абсолютно твердого тела линейные скорости точек

тела направлены по касательным к траекториям (окружности) и непрерывно

изменяют направление. При равномерном вращении тела быстрота

изменения направления скорости характеризуется нормальным ускорением

аn =R

V2

= 2 R. (56)

Вследствие того, что для всех точек тела = const, аn по абсолютной

величине растет при удалении от оси вращения. Используя связь полного,

нормального и касательного ускорений и учитывая (1.54) и (1.56) имеем

a R 4 2 . (57)

1.30. Кинематические уравнения вращательного движения

1. Равномерное вращение.

Если = const, т. е. = 0, то

= 0 + t. (58)

2. Равнопеременное вращение.

Если = const, то

= о + t, (59)

= о + оt + t2 / 2. (60)

1.31. Вектор углового перемещения

Поворот тела на некоторый угол (угловое перемещение) можно

задать в виде отрезка, длина которого равна абсолютной величине (в

радианах), а направление совпадает с осью вращения.

Такое направление связывают с правилом правого винта (рис. 19).

Таким образом, повороту (угловому перемещению) можно задать

численное значение и направление. Однако этого еще недостаточно, чтобы

угловое перемещение считать вектором.

Необходимо, чтобы изображаемые таким образом повороты

складывались по правилу сложения векторов, т. е. геометрически, что

характерно для точных векторов.

Если поворот бесконечно мал d (d << 2 ), то операция

геометрического сложения угловых перемещений выполняется.

Следовательно, малые повороты можно рассматривать как векторы

, , у которых абсолютное значение равно углу поворота в радианах.

Векторы типа , направление

которых связывается с направлением

оси вращения, называют аксиальными,

или псевдовекторами,

в отличие от векторов

a,,r v , которые называют

полярными. Их направление вытекает

естественным образом из природы

самих величин.

1.32. Вектор угловой

скорости

Угловая скорость в отличие от углового перемещения является точным

вектором. Предел

tД

Дlim0Дt

(61)

– конечен, а отклонение от закона векторного сложения векторов угловых

скоростей не обнаружено.

Вектор угловой скорости тела равен первой производной вектора

углового перемещени по времени:

.td

dщ (62)

Как и вектор углового перемещения ,

вектор мгновенной угловой скорости

направлен вдоль оси в направлении, определяемом

правилом правого винта (рис. 20).

Правило правого винта:

Если головку винта вращать по направлению вращения тела, то

поступательное движение его укажет направление вектора углового

перемещения или вектора угловой скорости.

1.33. Вектор углового ускорения

Вектор углового ускорения – первая производная вектора угловой

скорости:

Рис. 19

Рис. 20

dt

dще . (63)

Вектор углового ускорения тела равен первой производной вектора

угловой скорости по времени и характеризует изменение угловой скорости

по величине и направлению.

Если угловая скорость увеличивается с течением времени ( > 0), то

вектор и вектор будут направлены так же, как и вектор угловой

скорости в одну сторону.

Если же угловая скорость убывает с течением времени ( < 0), то

вектор изменения угловой скорости и углового ускорения

направлены противоположно вектору .

1.34. Векторная связь линейной и угловой скоростей

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с

угловой скоростью . Выберем на оси за начало отсчета т. 0 (рис. 21).

Положение точки М характеризуется в

данный момент времени радиус-вектором r .

Разложим радиус-вектор r на

составляющие: .rrr II Тогда, согласно

рис.1.21, имеем rVщ . Эти векторы

расположены во взаимно перпендикулярных

плоскостях (рис. 22). Действительно, согласно

(22) и рис. 21, имеем

v = R или v = r , (64)

где R = r , а угол между вектором угловой

скорости и вектором r равен 90о. Согласно рис. 21 имеем r = r sin . С

учетом этого формула (64) примет вид v = r sin , т. е. имеем дело с

векторным произведением

rщv . (65)

Так как

rrr II ,

то формула (1.65) принимает вид

Рис. 21

Рис. 22

rrrrv .

Учитывая, что векторное произведение двух коллинеарных векторов

равно нулю ( r , рис. 21), получим

rrv . (66)

Векторное произведение всегда связано с правилом правого винта.

Поэтому, вращая головку винта по направлению от вектора ,

стоящего на первом месте в (65), к вектору r , стоящему на втором месте,

определяем по поступательному движению винта направление третьего

вектора v , равного векторному произведению (рис. 22).

Вектор линейной скорости равен векторному произведению вектора

угловой скорости и радиус-вектора.

Абсолютная величина этого векторного произведения

r,sinrsinrv (67)

или v = r sin90O= r , так как r sin = r .

1.35. Связь векторов тангенциального ускорения

и углового ускорения

Проведя аналогичные рассуждения, можно показать, что

ra . (68)

Вектор касательного ускорения равен векторному произведению

вектора углового ускорения и радиус-вектора.

По модулю а = r sin . Вектор нормального ускорения

a rn2

, ( ran ). (69)

В заключение определим положение аксиальных векторов:

,,,

и полярных векторов: r,a,a,v,a n в случае равноускоренного

> 0 (рис. 23) и равнозамедленного < 0 (рис. 24) вращения м. т. вокруг

неподвижной оси.

Лекция 3

1. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ

1.1. Масса

Основная задача динамики – найти уравнение движения материальной

точки или уравнение движения абсолютно твѐрдого тела.

Все материальные объекты – поля, тела, молекулы, атомы,

элементарные частицы и т. д. – представляют собой конкретные формы

материи. Несмотря на многообразие объектов в природе существуют общие

меры материи. Масса – универсальная мера материи. В классической физике

различают инертную и гравитационную массы. Масса – мера инертности.

Всякое тело оказывает сопротивление при попытке привести его в движение

или изменить величину и направление скорости (появление ускорений под

воздействием других тел). Это свойство тел называется инертностью. Чем

больше масса, тем больше инертность, тем труднее быстро остановить

движущее тело или труднее привести его в движение.

Инерция – явление сохранения состояния покоя или равномерного

прямолинейного движения тел в отсутствие внешних воздействий.

Инерция – не измеряемое понятие. Она не имеет количественной меры.

Любые тела, от элементарных частиц до тел космических размеров, имеют

массу, испытывают взаимное притяжение, подчиняясь закону Всемирного

тяготения. Масса – мера гравитации. Экспериментами установлено, что

инертная и гравитационная массы эквивалентны. Массой характеризуются и

вещество (частицы, тела), и поля. Например, фотон в состоянии покоя не

существует, а всегда движется со скоростью света с в вакууме в свободном

Рис. 23

Рис. 24

от гравитации пространстве. Поэтому масса фотона – следствие более общих

и универсальных характеристик или мер движения материи, которыми

являются импульс и энергии. Особый смысл масса имеет тогда, когда ею

характеризуют силовые поля (полевая масса).

Масса – мера важнейших свойств материи независимо от форм ее

проявления.

Для количественного сравнения масс двух тел используют рычажные

весы, а массу одного из них принимают за эталон массы.

Масса – скалярная величина. За единицу массы в СИ принята масса

эталона в 1 кг из сплава иридия и платины.

Масса тела не зависит от его географического положения на Земле. На

основании опытов установлено, что в классической физике масса тела равна

арифметической сумме масс его частей (аддитивность), т. е.

m = m1 + m2 + ... + mn. (1)

В современной физике свойство аддитивности и закон сохранения

массы верны в классической механике Ньютона (m = сonst, v << c).

Установлено, например, что увеличить или уменьшить массу электрона

(m = 9 11 10 31, кг) нельзя, так как это приведет к коллапсу атомов водорода.

1.2. Импульс материальной точки

Импульс тела (частиц, м. т. и т. д.) используется не только в

классической, но и квантовой механике. Импульсом обладают любые

движущие физические системы (частицы и т. д., рис.

1).

Вектор импульса материальной точки равен

произведению массы на вектор скорости:

.vmp (2)

или p = m v. (3)

Единицей измерения импульса в СИ является килограмм, умноженный

на метр в секунду (кг м/c).

1.3. Импульс системы материальных точек

Пусть задана система N м. т. Импульсы отдельных точек

,vmp,...,vmp,vmp nnn222111

где m1, m2,..., mn и vn...,,v,v 21 массы и скорости, м. т. системы,

соответственно. Тогда полный импульс системы м. т.

vmpр i

n

1ii

n

1ii . (4)

Следовательно, состояние м. т. может быть определено, если задать еѐ

Рис. 1

радиус-вектор r и импульс р . В этом ничего неожиданного нет, но переход

от скоростей к импульсам имеет более глубокий физический смысл.

1.4. Плотность тел

Для определения плотности тела в любой точке пространства

необходимо выделить некоторый объѐм пространства V. Если масса

вещества, которая содержится в этом объѐме m, то среднюю плотность

найдем по формуле V

m. При однородном распределении вещества

по объѐму

V

m. (5)

Для неоднородных тел

dV

dm

V

mim

0V . (6)

Единицей измерения плотности в СИ является килограмм на метр в

кубе, т. е. кг/м3.

1.5. Сила в механике

Механическое состояние м. т. или системы м. т. определяется

координатами: x, y, z и скоростью движения. Это определение состояния

м. т. является фундаментальным законом классической физики. При

изменении одной из этих величин говорят об изменении состояния тела.

Если тела (частицы) взаимодействуют друг с другом, то это приводит к

изменению их координат и скоростей, в этом случае говорят, что на них

подействовала сила F, т. е. сила является функцией состояния системы и

зависит от координат и скоростей м. т., является векторной величиной, т. е.

v,rFF .

Cила – мера интенсивности взаимодействия тел, в результате

которого они получают ускорения или деформируются.

Сила является количественной мерой взаимодействия тел.

О действии силы на тела мы можем судить:

1) по их динамическому проявлению, т. е. по ускорениям, которые

получают тела;

2) по статическому проявлению, т. е. по деформациям, которые

возникают в телах;

3) по искривлению поверхности тел, на которую действуют другие

тела.

Для измерения сил применяются пружинные весы (динамометры).

Физика оперирует с двумя основными объектами материи: частицами и

полями, поэтому сила является мерой взаимодействия не только частиц или

тел, но является мерой взаимодействия данного тела с окружающими его

другими материальными объектами и силовыми полями. Кроме того,

присутствие других тел на эту силу не влияет,

так как сила, с которой одно тело действует на

другое, целиком зависит от радиус-векторов и

скоростей этих двух тел.

Это положение называют законом

(принципом) независимости действия сил.

Из принципа независимости

действия сил следует, что в сложных

системах сила, действующая на м. т., равна

векторной (геометрической) сумме сил,

действующих на эту м. т., со стороны каждой

силы независимо от других м. т. (тел), т. е.

F F F F Fn i

i

n

1 2

1

... , (7)

где F – вектор результирующей силы (рис. 2, а, б, с).

1.6. Первый закон Ньютона

Основой классической физики являются три закона движения,

изложенные И. Ньютоном в сочинении «Математические начала

натуральной философии», в котором ему удалось сформулировать полную

систему принципов механики.

Первый закон Ньютона называют законом инерции, который впервые

сформулировал гениальный итальянский ученый Галилео Галилей.

Любое тело (м. т.) находится в состоянии покоя или равномерного и

прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела.

Такие тела называют свободными, а его движение – свободным

движением или движением по инерции. Первый закон Ньютона связан с

понятием инерциальной системы отсчета.

1.7. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона устанавливает связь между массой, ускорением

его движения и силой, действующей на это тело:

a

F

m

ii

n

1 , (8)

где F Fii 1

n – результирующая сила.

Вектор ускорения прямо пропорционален геометрической сумме

Рис. 2

векторов всех сил, действующих на м. т. и обратно пропорционален массе

этого тела.

Вектор ускорения направлен в сторону действия результирующей

силы. Векторное уравнение (8) эквивалентно трем скалярным уравнениям,

связывающими проекции ускорения м. т. и сил на оси координат, т. е.

Fx = max, Fy = may, Fz = maz. (9)

Равенства (8) и (9) называют уравнениями динамики поступательного

движения материальной точки. В классической физике, под действием

постоянной силы, м. т. (тело) получает ускорение.

Единицей измерения силы в СИ принят ньютон (Н).

Перейдем от ускорений м. т. к их импульсам. Действительно, F m a ,

где adv

dt

d r

dt

2

2, т. е. F m

d r

dt

2

2 или F mdv

dt

d mv

dt

dp

dt. (10)

Вектор результирующей силы равен первой производной от вектора

импульса м. т. (тела) по времени.

Если F const , тогда интегрируя равенство (3.11) в виде

F dt dp ,

получим

2

1

2

1

t

t

p

p

dtFpd

или

tFp , (11)

( tF – вектор импульса силы)

Изменение импульса тела (м. т.) зависит от продолжительности

действия силы, т. е. зависит не только от величины приложенной силы, но и

от времени ее действия.

На рис. 3 показано действие импульса силы:

а) время действия мало, поэтому обрывается нижняя нить, так как

массивное тело

не успевает прийти в движение;

б) время действия силы велико, поэтому обрывается верхняя нить, тело уже

пришло в движение, т. е. на верхнюю нить стала действовать большая сила.

При рассмотрении различных

динамических задач механика решает три

основных вопроса:

а) по заданному уравнению движения

тел вычислить силы, действующие на них;

задачи этого типа относительно просты и

сводятся к вычислению ускорений м. т., из

которых состоят тела или системы тел;

б) по заданным силам определить

траекторию (вид движения) тел; задачи этого

типа более сложны и являются основными в

классической механике, так как необходимо

написать уравнения движения для каждой м.

т., входящей в систему.

Это сводится к отысканию сил – функций

координат и скоростей взаимодействующих

тел (м. т.).

В результате имеем систему дифференциальных уравнений, решение

которых находится интегрированием;

в) при решении смешанных задач на движение системы налагаются

некоторые ограничения называющиеся связями, действующими на тело с

определенными силами.

Эти связи называются реакциями связей.

Поэтому в задачах нужно находить еще и реакции связей.

1.8. Третий закон Ньютона

Из определения силы следует, что она является мерой взаимодействия

между телами, т. е. F F12 21 (12)

или F F12 21 . (13)

Силы, с которыми взаимодействуют тела,

равны по величине и противоположны по

направлению. Линия действия сил лежит на

одной прямой, соединяющей центры масс этих

тел.

Третий закон Ньютона говорит о равенстве

сил, но они приложены к различным телам, т. е.

не могут иметь результирующую силу (рис. 4).

Третий закон Ньютона справедлив не только для двух

взаимодействующих тел, но и для любого числа тел, которые

взаимодействуют попарно.

Законы Ньютона являются основой классической механики,

Рис. 3

Рис. 4

обобщением многочисленных опытных фактов, накопленных человечеством.

Опытной проверке подвергаются одновременно все три закона, а не

каждый в отдельности, т. е. это система взаимосвязанных законов механики.

На основании законов Ньютона решают прямую и обратную задачи

механики.

Прямая задача: нахождение по заданным силам состояние движения

тел, т. е. вычисление траектории движения.

Примером прямой задачи является вычисление скорости и траектории

полета космических ракет.

Обратная задача: нахождение сил по заданному движению тела.

Примером обратной задачи является открытие Ньютоном закона всемирного

тяготения на основании законов движения планет Солнечной системы,

полученных Кеплером.

Замечание: Часто на практике и в жизни неверно применяют термин

"движение по инерции".

Например, бегун, движущийся равномерно на дистанции, запнулся за

камень или другой предмет.

При этом его верхняя часть тела продолжает двигаться по «инерции», в

результате он падает.

Как только бегун зацепился ногой за камень, это значит, что на него

подействовала сила, и в движении бегуна появилось ускорение, т. е.

движение перестало быть равномерным и прямолинейным, это уже второй

закон Ньютона, а не движение по инерции.

Если говорить строго, то вряд ли в природе можно указать хотя бы

один реальный пример движения по инерции в чистом виде.

1.9. Механическая система

Любое реальное тело: машины, ракеты, Солнце, планеты и т.д.,

являются системой материальных точек (механической системой), если нас

не интересуют размеры, форма и внутреннее строение отдельных тел,

входящих в систему.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от механики

отдельных м. т. к системе м. т. (тел).

Силы, действующие между материальными точками (телами) данной

системы, называют внутренними силами (f).

Силы, действующие на тела системы со стороны других тел, не

входящих в данную систему, называют внешними силами (F).

Замкнутой системой называют систему, на которую действие

внешних сил компенсировано.

110. Закон сохранения вектора импульса

На систему, n материальных точек, взаимодействующих между собой

попарно (внутренние силы), действуют внешние силы. Используя второй

закон Ньютона (формула 11) запишем уравнения движения для каждой м. т.

системы с учѐтом внутренних и внешних сил.

где i jf , – внутренние силы, взаимодействующих i, j материальных точек;

Fi – сумма всех внешних сил, действующих на i-ю материальную точку

системы.

Поскольку внутренние силы действуют попарно, то на основании

третьего закона Ньютона сумма всех внутренних сил равна нулю.

Сложим почленно левые и правые части выражения (3.1), получим

d

dt

d

dt

d

dtF

p p pn

i

i

n1 2

1

... , где d

dt

d

dt

d

dt

d p

dt

d p

dt

p p pn

i

n1 2

1

... ;

Fi

i

n

1

– сумма всех внешних сил, действующих на систему.

Тогда d p

d tFi

i

nF

1

. (15)

Скорость изменения вектора полного импульса системы

материальных точек равна вектору результирующей внешних сил,

действующих на эту систему.

Если система замкнута, то сумма всех внешних сил, действующих на

эту систему, равна нулю, тогда

dp

dt0

или

p const . (16)

Формула (16) выражает закон сохранения вектора импульса.

В изолированной системе суммарный импульс м. т. (тел) системы

есть величина постоянная.

,...

.......................................................

(3.1),i

Fi

f...ij

f...i

fi

fdt

pd

......................................................

,Ff...ffdt

pd

1,21

n31

i

11n1312

1

nnnnn

n Ffffdt

pd

Возможно изменение импульса отдельных м. т., входящих в замкнутую

систему, но общий импульс системы не изменяется.

Закон сохранения вектора импульса широко применяется в науке и

технике.

Это фундаментальный закон и является проявлением свойств

симметрии пространства и времени, а именно: однородности

пространства.

Замечание: Закон сохранения вектора импульса справедлив для

замкнутых систем, но его можно применить и для незамкнутых систем, если

внешние силы, действующие на систему много меньше внутренних сил и

ими можно пренебречь.

Закон сохранения вектора импульса можно применять и в том случае,

если нельзя пренебречь внешними силами, но проекции этих сил на какое-

либо направление, например, на ось Х равны нулю, т. е.

dp

dt

x0 .

Тогда рх = const.

Полный импульс системы не сохраняется, но сохраняется проекция

импульса на ось Х. Например, тело движется горизонтально, вдоль оси Х.

Силами сопротивления воздуха можно пренебречь, а проекция силы

тяжести на ось Х обращается в нуль, тогда проекция импульса на ось Х будет

величиной постоянной.

1.11. Центр инерции системы материальных точек

Для исследования движения системы м. т. в целом, необходимо

изучить движение каждой м. т. Для этого можно использовать законы

Ньютона.

Нужно будет составить большое число уравнений. Эти трудности

можно обойти, если ввести понятие центра масс.

Центром инерции двух м. т. называют точку, делящую расстояние

между ними в отношении обратно пропорциональном их массам.

Из математики известно, что координаты т. С (x, y, z), делящей отрезок

в данном отношении m1/m2, связан с координатами концов отрезка,

следующим образом (рис. 5):

x x

x x

m

m

y y

y y

m

m

z z

z z

m

m

2 1

1

1

2

2 1

1

1

2

2 1

1

1

2

; ; .

Решая эти уравнения относительно x, y, z, т. е. координат центра

масс (инерции) т. С, имеем

.mm

zmzmz;

mm

ymymy;

mm

xmxmx

21

2211

21

2211

21

2211

При любом перемещении тела

произвольных размеров можно всегда

представить движение как сумму

поступательного движения его центра масс,

колебательного, вращательного или другого

сложного движения относительно центра

масс.

Используя формулу радиус-вектора в виде

r x i y j z k ,

положение центра масс, будем характеризовать своим радиус-вектором:

kczjcyicxcr (17)

или тела

n

1i

m

rm

r

ii

c , где тела ii

nm m

1.

Если n , то .тела

1c

m

0

dmrm

r

Если же система состоит из n материальных точек, то координаты

центра масс (инерции) связаны следующими соотношениями:

n

1iтела

n

1iтела

c

n

1iтела

c .izimm

1cz,iуim

m

1y,ixim

m

1x (18)

1.12. Движение центра инерции

Из закона сохранения импульса следуют два важных следствия,

которые называются: 1) закон сохранения ц. м. (ц. и.); 2) закон аддитивности

массы.

1.12.1. Закон сохранения центра инерции

Центр инерции замкнутой системы тел (м. т.) движется равномерно

и прямолинейно или покоится.

Изменение положения ц. и. в пространстве характеризуется радиус-

вектором сr или изменением его координат.

Тогда суммарный импульс каждой м. т. системы запишется в виде:

Переходя к бесконечно малым перемещениям в течение времени dt,

найдем скорость движения ц. и., т. е. продифференцируем выражение (19) по

Рис. 5

Хс .mzmz,mymy,mxmn

1ii

n

1iic

n

1ii

n

1iic

n

1ii

n

1ii (19)

времени:

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

.

dt

idzim

dt

cdzim

,dt

idyim

dt

cdyim,

dt

idxim

dt

cdxim

, (20)

где i

i

n

телаm m1

– суммарная масса тел (м. т.), входящих в систему, а

производные dx

dtv

dx

dtv

dx

dtv

cxc

cxc

cxc, ,

проекции скорости движения ц. и. системы на оси координат.

В выражении (20) справа – проекции вектора импульса тел системы.

Действительно, если учесть, что kivjvivv zcycxcc ,

где vc – cкорость центра инерции, то i j ki xi i yi i zi i im v m v m v m v ,

где mivi – импульс i-го тела (м. т.). Тогда

m idx

dtj

dy

dtk

dz

dtm vi

c c c

i

n

i

i

n

1 1

( ) .

m v m v mvi ci

n

тела c ii

n

1 1

( ) . (21)

Полный импульс механической системы равен импульсу м. т. (тел) с

массой, равной суммарной массе тел системы и движущейся как движется

еѐ центр инерции.

Дифференцируя правую и левую части равенства (21) по времени,

получим

d m v

dt

d

dtm v Fтела c

i

n

i

( ),

1

(22)

так как, согласно второму закону Ньютона сумма справа в (22) равна сумме

всех сил, действующих на каждую м. т. как внешних, так и внутренних.

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно

взаимодействующих частиц (м. т.) компенсируют друг друга.

Поэтому, остаѐтся только сумма всех внешних сил, т. е.

Fdtvd

m cтела (23)

или .Fаm стела (24)

Формулу (24) называют уравнением движения центра инерции.

Центр масс механической системы движется, как двигалась бы м. т., в

которой сосредоточена вся масса тел системы, под действием

результирующей внешних сил, приложенных к м. т., входящим в систему.

Если система замкнута, то сумма всех внешних сил равна нулю:

d m v

dt

тела c

0;

m v constтела c , если m = const, то v constc .

Замечание: Скорость ц. и. определяется полным импульсом

механической системы, поэтому перемещение ц. и. характеризует движение

этой системы как единого целого. Этот вывод согласуется с законом инерции

Галилея (для свободных тел).

Выводы о движении ц. и. позволяют широко использовать их при

решении задач механики, поскольку уменьшают число уравнений,

необходимых для решения задачи. Коэффициент пропорциональности m

между импульсом и скоростью ц. и. равен сумме масс отдельных частиц,

поэтому имеет смысл массы всей системы. В этом и заключается закон

аддитивности масс. Для однозначного определения движения тела (м. т.) к

уравнениям движения необходимо добавить начальные условия. В

зависимости от положения и скоростей тел их движения могут сильно

отличаться друг от друга: тело может описывать параболу, двигаться вверх

или вниз по прямой относительно поверхности Земли и т. д. Движения

выглядят неодинаково потому, что законы Ньютона описываются

дифференциальными уравнениями, а этого недостаточно, Для этого и нужны

начальные условия.

1.13. Закон всемирного тяготения

Ярким примером триумфального успеха

классической физики явилось открытие И.

Ньютоном закона всемирного тяготения в

1687 г. Используя законы движения планет

Солнечной системы, установленные Кеплером,

Ньютон открыл фундаментальный закон,

который проявляется в виде сил притяжения

между телами (рис. 6).

Сила притяжения двух м. т. прямо

пропорциональна произведению масс

взаимодействующих м. т. и обратно пропорциональна квадрату расстояния

между ними: FMm

r2 , (25)

где – гравитационная постоянная.

В векторном виде сила тяготения,

Рис. 6

FMm

r

r

r21 2 (26)

где rr

– единичный вектор, FFFF21122112 , , знак « » в формуле (26)

показывает, что вектор r противоположно направлен вектору 21F .

Замечание: 1. Закон справедлив для м. т. или тел сферической

симметрии с однородным распределением массы по объему.

2. Силы притяжения существенны для тел больших масс (космических

размеров): планет; звѐзд, галактик, «чѐрных дыр» и т. д., играют важную

роль во Вселенной.

3. Силы односторонние (притяжения), центрально-симметричные. 4.

Радиус действия сил притяжения колеблется от размеров ядер до тел

космических масштабов.

1.14. Полевые взаимодействия

Взаимодействие между телами осуществляется полями. Тело массы М

возбуждает в окружающем пространстве гравитационное поле, которое

проявляется в виде действия на тело массы m силы (частный случай –

молекулярные силы; наблюдается слипание образцов).

Поля могут существовать самостоятельно, независимо от возбудивших

его материальных тел (электромагнитные волны). Но не имеет смысла

говорить о механических силах, действующих на различные силовые поля. В

связи с этим по отношению к силовым полям третий закон Ньютона не

выполняется. На тело действует сила со стороны поля, но нет силы

противодействия.

Однако закон сохранения импульса распространяется и на поля.

Импульс поля проявляется в изменении импульса тела, излучившего или

поглотившего энергию поля. При излучении тело теряет импульс, уносимый

полем, а при поглощении тело получает импульс за счѐт поглощаемой

энергии поля. Например, опыты П. Н. Лебедева по обнаружению давления

света (давление солнечного ветра на «хвосты» комет).

1.15. Напряжѐнность поля тяготения

По современным представлениям любое тело возбуждает в

пространстве вокруг себя гравитационное поле.

Гравитационное поле – особая материальная среда, в которой

проявляется воздействие на другие внесѐнные тела (физические приборы).

Таким образом, все гравитационные взаимодействия между телами

осуществляются посредством поля тяготения.

Передача взаимодействия происходит со скоростью света (согласно

теории Эйнштейна, однако по современным данным гравитационное

взаимодействие происходит со скоростью на пять порядков больше, чем

скорость света).

Полагают, что существуют особые частицы

(гравитоны), которые и ответственны за

взаимодействие гравитационных полей.

Любое изменение массы тел например, при

взрывах сверхновых звезд) сопровождается

возбуждением мощных гравитационных волн.

Количественной мерой поля тяготения является

напряженность

EF

mE F

или

EM

r

r

r2. (27)

И по модулю

Е = М/ r2. (28)

Так как в формулах (27) и (28) отсутствует m, т. е. второе тело, то r –

расстояние до той точки поля, в которой определяется напряженность поля

тяготения, созданного телом массы М (рис. 7).

В качестве примера найдѐм напряжѐнность гравитационного поля на

поверхности Земли, если

Мз 5,98 1024

кг,

Rз 6,37 106 м,

Тогда

Ем

с

6 67 10 5 98 10

6 37 10

9 8111 24

62 2

, ,

,

, .

Следовательно, напряжѐнность поля тяготения на поверхности Земли –

ускорение свободного падения,

Е = g.

Земля сплюснута с полюсов примерно на 21 км.

Рис. 7

Ускорение силы тяжести меняется с

широтой:

gполюс = 9,83 м/с2,

gэкв = 9,78 м/с2,

g = 0,05 м/с2,

( g = 0,03 м/с2

за счѐт вращения Земли,

g = 0,02 м/с2 за счѐт деформации).

На рис. 8 приведѐн график

зависимости g(r) в поле тяготения Земли.

Из графика видно, что зависимость

g(r) сложная, особенно по мере удаления

от поверхности Земли к ее центру (от

мантии до твердого ядра Земли).

На границе мантии с жидким ядром хорошо виден скачок g в сторону

увеличения.

По мере удаления от поверхности Земли g убывает обратно

пропорционально квадрату расстояния.

1.16. Сила тяготения. Сила тяжести. Вес тел

Для неподвижного наблюдателя на тело, находящееся на поверхности

Земли для произвольной широты (например, для Красноярска широтный

угол = 56о ), действуют сила тяготения F и нормальная реакция опоры N

(из-за малости угла между векторами F и G реакция опоры N проведена не

перпендикулярно к поверхности Земли).

Результирующую этих сил Fцс называют центростремительной,

которая сообщает телу нормальное ускорение, направленному по радиусу r

окружности, описываемой телом при суточном вращении Земли.

Согласно третьему закону Ньютона G = N , где G = mg -

называют силой тяжести, является составляющей силы тяготения, которая

направлена вдоль линии отвеса (рис. 9). В данном случае сила тяжести

является весом тела Р.

Рис. 8

Весом тела называют силу, с которой

тело действует на опору или подвес. Сила

тяготения равна силе тяжести тел только на

полюсах, а центростремительная сила

минимальна (равна нулю) на полюсах Земли

и максимальна на экваторе. Действительно,

согласно второму закону Ньютона Fцс = m

aцс, где aцс = v2/r , r = Rcos .

В свою очередь линейная скорость

связана с угловой скоростью соотношением

v = r = Rcos .

Тогда Fцс= m2 Rcos .

Cледовательно, на полюсе Fцс= 0, а на

экваторе Fцс= m2 R.

1.17. Невесомость и перегрузки

В зависимости от вида движения вес тела изменяется, в

связи с чем, возникают перегрузки или наступает

невесомость.

Рассмотрим три случая. 1. Если тело покоится на

поверхности стола, то на него действуют две силы: сила

тяжести G и нормальная реакция опоры N (рис. 10).В этом

случае вес тела равен силе тяжести.

2. Тело движется по наклонной плоскости с ускорением.

На него действуют четыре силы: сила тяги F , сила тяжести G , сила

трения Fтр и нормальная реакция опоры N (рис. 11). В этом случае вес тела

Р = Gy = mg cos .

3. Тело массой m поднимают на тросу вертикально вверх с ускорением

(рис. 12. а). Закон движения тела F G m aн .

Для нахождения веса тела запишем уравнение

движения в проекции на ось У, т. е. Fн G = ma.

Тогда вес тела Р = Fн = G + ma

или Р = m (a + g), где G = mg.

Таким образом, при движении тела вверх с

ускорением возникает перегрузка, тело стало

тяжелее на величину ma. Найдем вес тела при

движении его вниз с ускорением (рис. 12, б).

Уравнение движения в проекции на ось У

запишется в виде Fн G = ma. Вес тела Р =

Fн = G ma .

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Следовательно, вес тела в этом случае уменьшается на величину ma.

Если тело будет двигаться вниз с ускорение

g = a , то наступает состояние невесомости, т. е. Р

= 0. Рассмотрим физическую сущность

невесомости и перегрузки. Например, при

движении космической ракеты с ускорением

после старта возникают перегрузки. При

движении ее в космическом пространстве с

выключенным двигателем давление тел на опору

исчезает, наступает невесомость. Физическая

сущность перегрузок заключается в том, что при

движении тела с ускорением а, не все точки тела

получают ускорение одновременно, т. е.

отдельные точки тела получают ускорение с

запаздыванием – через деформацию.

Тело прижимается к опоре, и возникают перегрузки. Физическая

сущность невесомости заключается в том, что когда исчезает сила тяги

двигателей ракеты на нее и все тела, находящиеся в ней, действует только

сила тяготения, т. е. на все точки тел одновременно действует ускорение

свободного падения g. Сила тяготения принадлежит к массовым силам,

которая приложена одновременно ко всем точкам тел. Эти точки тел

получают одинаковые ускорения и скорости.

Всякое взаимодействие между ними исчезает, исчезает сила реакции

опоры и сила давления на нее. Наступает невесомость.

Невесомость – состояние свободного падения тел под действием

только одной силы тяготения.

1.18. Можно ли уменьшить силу тяготения

На основании закона всемирного тяготения известно, что сила

тяготения является силой притяжения между взаимодействующими телами.

Притяжение тел осуществляется посредством гравитационных полей

предположительно с помощью особых частиц – гравитонов. Но как это

происходит – пока загадка. Допустим, что космический корабль – спутник,

находясь на орбите, конструктивно состоит из двух равных по массе частей,

которые можно быстро разделить и развести на расстояние порядка 150 км.

Тогда на каждую часть будет действовать сила притяжения вдвое меньше

силы тяготения, действующей на весь корабль – спутник.

Рассмотрим силы, действующие на корабль и его части. Эти силы

являются центральными (рис. 13). Перенесем векторы сил F1 и F2 в одну

точку параллельно самим себе так, чтобы совпали их начала и найдем

результирующую этих сил Fp . Как видно на рис. 9, эта сила несколько

меньше общей силы тяготения. Сила тяготения уменьшилась, что

Рис. 12

равносильно появлению небольшой отталкивающей силы.

Используя этот метод, можно без особой затраты энергии (кроме той,

что расходуется на разделение частей корабля – спутника и на их

соединение) удалиться из зоны сильного

притяжения, например, какой-то звезды.

Постепенно корабль уйдет из зоны

сильного тяготения.

Расчеты показывают, что эту

важнейшую операцию можно осуществить

всего за полтора-два часа, находясь на

расстоянии около 30 тысяч км от центра

тяготеющей звезды типа Сириус В.

Возможно, что техника будущего позволит

осуществить и такую инженерную задачу.

1.19. Движение тел переменной массы

В классической механике изменение массы тел может произойти

только за счет удаления части массы (dm < 0) тела или добавления

некоторой массы (dm 0).

Примеров движения тел с переменной массой можно привести много:

движение автомобиля, самолета, ракеты, поливочной машины, рост массы

капель дождя при движении в атмосфере с пересыщенными водяными

парами и т. д.

Для получения уравнения движения тел переменной массы достаточно

использовать законы классической физики. Особый интерес этот вопрос

получил в связи с развитием ракетной техники, используемой для

космических полетов.

Рассмотрим подробнее принцип действия реактивного движения.

При полете ракеты после сгорания топлива из сопла с большой

скоростью истекают газы, которые выбрасываются в направлении,

противоположном движению ракеты (третий закон Ньютона). Естественно, в

реальном полете на ракету действуют внешние силы (земное тяготение,

сопротивление воздуха и т. д.). Без учета внешних сил система ракета – газ

является замкнутой. В этом случае импульс системы не изменяется. Пусть в

некоторый момент времени t масса ракеты m, а ее скорость u. Тогда импульс

ракеты

p m u .

Из-за непрерывного сгорания топлива спустя некоторое время dt масса

и скорость ракеты получают приращения dm и du (dm < 0). Соответственно

импульс ракеты в этот момент будет выражен формулой

m dm u du .

К этому импульсу необходимо добавить импульс газов, образующихся

Рис. 13

за это время dt, т. е. dm vг г ,где dmг – масса, образующегося газа, vг –

скорость истечения газа. С учетом этого найдем изменение импульса

системы ракета-газ за время t + dt:

m dm u d u dm v m u F dtг г ,

где F – результирующая всех внешних сил, действующих на ракету.

Если dt 0, dm 0 и du 0, то в пределе после раскрытия скобок и

преобразований, получим u dm md u dmd u dm v F dtг г .

Произведение (dmdu) исключаем как бесконечно малую величину

второго порядка. Кроме того, согласно закону сохранения массы dm + dmг = 0

или dm = – dmг. Тогда u dm v dm md u F dtг

или md u v u dm F dtг ,

где v u uг о – относительная скорость истечения газов.

После подстановки относительной скорости в предыдущее равенство,

имеем md u u dm F dtо . (29)

Так как это изменение произошло за время dt, то разделим правую и

левую части последнего равенства на dt, получим

md u

dtu

dm

dtFо . (30)

Уравнение (30) выражает второй закон Ньютона.

Однако к величине внешней силы добавлено слагаемое

udm

dtFо е акр ,

называемое реактивной силой, с которой на ракету действуют истекающие из

сопла газы. Уравнение (30) было впервые получено И. В. Мещерским и

является уравнением движения тел переменной массы. Уравнение

Мещерского для замкнутой системы ракета – газ (внешние силы равны нулю)

запишем в виде

md u

dtu

dm

dtо . (31)

Найдем проекции уравнения (4.18) на направление движения:

mdu

dtu

dm

dtо

или mdu u dmо , (uо > 0).

Последнее равенство свидетельствует о том, что скорость истечения

газов может меняться за время полета.

Для простоты будем считать, что uо =сonst.

Найдем скорость ракеты u:

du = – uо

dm

m.

После интегрирования

u udm

mu m Cо о ln ,

где значение С, связано с наличием начальных условий.

Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю (u = 0),

а ее масса равна m0 (это не масса покоя), то 0 = – u0 ln m0 + C

Тогда

С = u0 ln m0.

Окончательно скорость ракеты u = uо lnm

m0

или

m

mo

uue 0 . (32)

Равенство (32) называется формулой Циолковского. Она справедлива

для медленных движений, когда скорость ракеты и относительная скорость

истечения газов много меньше скорости света в вакууме.

1.20. Момент силы относительно полюса

Вектором момента силы относительно полюса называют векторное

произведение радиус-вектора и вектора силы.

M r F . (33)

Направление вектора момента силы можно найти по правилу правого

винта (рис. 14). Перенесем вектор F параллельно самому себе так, чтобы

совпали начала векторов r и F . Если вращать головку винта в

направлении от вектора r к вектору F (, рис. 14), то поступательное

движение винта укажет направление вектора момента силы M .

Замечание: В случае векторного

произведения векторы М , r , F лежат во

взаимно перпендикулярных плоскостях Р и

Q. Согласно определению векторного

произведения, модуль вектора момента силы

M r F r Fsin( ),, (34)

где ( ),r F – угол между

векторами r и F [рис. (15)].

Рис. 14

Расстояние = r sin называют плечом силы (кратчайшее

расстояние между полюсом О и линией действия силы ОА).

Если угол = /2, то Ммах = rF. Если угол = 0о, то Мmin = 0.

Разложим силу, действующую на м. т., на две составляющие: F F F .

Согласно рис. 11 вращающий

момент вызывает только сила F , а

составляющая сила F может вызвать

лишь поступательное движение вдоль

радиус-вектора r . В этом случае

момент силы запишется в виде: М = r

F , где F F sin .

Вектор момента силы определяется по правилу правого винта и

направлен от нас перпендикулярно плоскости рис. 15 (обозначен «+»).

В СИ момент силы измеряется в ньютонах умноженных на метр (Нм).

1.21. Момент равнодействующей нескольких сил

Если на м. т. (тело) одновременно действуют несколько сил, то

результирующая сила F F F F Fn i

i

n

1 2

1

... , тогда суммарный

момент силы

M r F r F F Fn1 2... или M M M M Mn i

i

n

1 2

1

... .

Вектор момента результирующей силы относительно полюса 0 равен

геометрической сумме векторов моментов составляющих сил

относительно того же полюса.

1.22. Момент пары сил

Парой сил называют две равные по величине, но противоположные по

направлению силы, не лежащие на одной прямой.

Из определения пары сил следует, что

1 2 1 2F F F F, .

На рис. 16, плечо пары сил r12 sin . По определению момента

силы можно записать

M r F M r F1 1 1 2 2 2, .

М

Рис. 15

Из определения пары сил

следует, что

1 2 1 2F F F F, .

На рис. 16, плечо пары сил

r12 sin . По определению

момента силы можно записать

M r F M r F1 1 1 2 2 2, .

Результирующий момент сил

M M M1 2 .

Тогда момент пары сил

относительно полюса 0 запишется

в виде M F Fr r1 21 2 ,

Учитывая, что FF21

, получим

,FF)(FFM 2122122221 rrrrr

где rrr1212.

Вектор момента пары сил не зависит от положения полюса 0.

1.23. Момент внутренних сил

Примером внутренних сил являются силы гравитационного

взаимодействия двух и более частиц (тел) или силы кулоновского

взаимодействия заряженных тел (частиц)

замкнутой системы.

На основании третьего закона Ньютона

эти силы попарно равны по величине и

противоположны по направлению и лежат на

одной линии действия (рис. 17).

Действительно, так как

F F F F12 21 12 21, .

Тогда M F M r Fr12 1 12 21 2 21, .

Моменты внутренних сил относительно одного и того же полюса

(точки) 0 равны по величине и противоположны по направлению:

Рис. 16

Рис. 17

M M12 21 . Тогда суммарный момент внутренних сил всегда равен нулю

(так как плечо у них одно и тоже).

М ijM

i, j

n

ir ijFi, j

n

1 1

0.

Замечание: В случае центральных сил, когда направления векторов

всех сил, действующих на м. т. системы проходят через неподвижный полюс

0, то момент таких сил всегда равен нулю (так как плечо отсутствует).

1.24. Момент силы относительно оси

Если тело (или м. т. А) вращается относительно полюса 0 произвольным

образом, то оно может повернуться вокруг оси, совпадающей с направлением

вектора момента силы относительно полюса, лежащего на этой оси (рис. 14).

Проекция вектора момента силы на произвольную ось, проходящую

через полюс, равна проекции на эту ось векторного произведения радиус-

вектора r и вектора силы F относительно полюса 0, лежащего на этой

оси:

M r F

z z

(35)

Разложим вектор внешней силы, действующий на м. т., на три

составляющие, совпадающие с направлениями осей: Х, У, Z. Вектор силы 1

F

направлен параллельно оси Z. Вектор 2F направлен перпендикулярно оси Z.

Вектор 3

F направлен по касательной к окружности радиуса R в точке А,

вдоль направления оси У, перпендикулярно к 1

F и 2F .

Рис. 18

Вектор момента силы 3

F ,

M r F M r F3 3 3 3 3; sin .

Угол 3 = /2, следовательно, M M r Fмах3 3 3 .

Найдем вектор момента результирующей силы относительно

произвольного полюса 0:

M r F r F F F1 2 3

;

или M r F r F r F1 2 3

или M M M M1 2 3 , где 1

M – вектор момента силы 1

F ; M 2 – вектор

момента силы 2F ; M 3 – вектор момента силы 3

F .

Найдем проекцию вектора момента результирующей силы на ось Z.

Она будет равна сумме проекций моментов составляющих сил 1

F , 2F ,

3F на эту ось: M M M M

z z z z

1 2 3 .

Из перпендикулярности векторов сил 1

F 2F 3F следует, что

векторы моментов составляющих сил M1 и M2

перпендикулярны оси Z,

поэтому их проекции на эту ось равны нулю.

Таким образом,

M M R F

z z

3 3 .

1.25. Момент импульса материальной точки

Одной из характеристик динамики вращательного движения является

вектор момента импульса. Он используется широко не только в

классической, но и квантовой механике. Закон сохранения момента

импульса является одним из фундаментальных законов физики. Например,

образование нашей Солнечной системы происходило при соблюдении этого

закона.

Вектором момента импульса м. т. относительно полюса 0 называют

векторное произведение радиус-вектора r и вектора импульса р

относительно этого же полюса.

Радиус-вектор r проводится от полюса 0 до м. т. А. (рис. 19):

L r p r mv . (36)

Модуль вектора момента импульса

L r p r p rpsin( ) sin,. (37)

Направление вектора момента импульса найдем по правилу правого

винта. На рис. 19 вектор L направлен

вниз (лежит в плоскости рисунка). При

= /2 момент импульса м. т.

максимален и равен произведению

модуля радиус-вектора и модуля вектора

импульса или равен произведению

модуля радиус-вектора, массы м. т. и

модуля скорости:

Мmax = mvR, где R = rsin (рис. 19).

При = 0о момент импульса

минимален и равен нулю: Мmin = 0.

Единицей измерения момента импульса в СИ является килограмм,

умноженный на метр в квадрате, деленный на секунду.

1.26. Момент импульса системы материальных точек

Если тело представить как систему м. т., то можно найти момент

импульса тела относительно полюса 0.

Вектор момента импульса системы м. т. (тела) относительно

полюса 0 равен геометрической сумме векторов моментов импульса,

действующих на каждую м. т. в отдельности относительно того же

полюса 0.

L L L L Ln i

i

n

1 2

1

... .

или L L r p r m vi

i

n

i i

i

n

i i i

i

n

1 1 1

( ) .

Переходя к модулю момента импульса тела относительно полюса 0, и

используя связь линейной скорости с угловой скоростью (vi = ri), после

подстановки в последнее выражение, получаем:

L = I , (38)

где

I = mr2 -

– момент инерции системы материальных точек.

Рис. 19

1.27. Момент импульса тела относительно оси

Проекция момента импульса твердого тела на произвольную ось,

проходящую через полюс 0, равна проекции на эту ось векторного

произведения радиус-вектора и вектора импульса тела относительно того же

полюса 0, лежащего на этой оси, т. е.

L r pZ Z

. (39)

Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то

векторы моментов импульсов для м. т.,

лежащих по разные стороны от оси

вращения (на рис. 20 точки 1 и 2

соответственно), при суммировании дают

результирующий вектор момента

импульса L , лежащий на оси вращения

(рис. 20), направление которого

определяется правилом правого винта и

совпадает с направлением вектора угловой

скорости, т. е.

L I . (40)

Модуль этого вектора равен

проекции вектора момента импульса на

ось вращения, например, ось Z (см. рис. 20).

1.28. Закон сохранения момента импульса

Используя связь момента силы и момента импульса для системы м. т.

относительно неподвижной оси (например, оси Z), имеем

MdL

dtвнеш z

z

.

Если ось симметрии совпадает с осью вращения, то

Md L

dtвнеш .

В случае замкнутой системы последнее выражение приобретает

простой вид: dL

dtM

Zвнеш Z0 0, ,

или ,

т. е.

. (41)

dLdt

0

L const

Рис. 20

Формула (41) выражает закон сохранения вектора момента импульса.

В замкнутой (изолированной) системе тел (м.т.) суммарный вектор

момента импульса остается неизменным.

Учитывая связь момента импульса с моментом инерции, имеем

I const или

I I I constn n1 1 2 2 ... (42)

Закон сохранения вектора момента импульса является

фундаментальным.

Замечание 1: Момент силы не зависит от того, вращается тело или нет

вокруг оси, так как в состоянии покоя он уравновешен моментом других сил,

действующих на это тело.

Если момент сил равен нулю, то тело вращается с постоянной угловой

скоростью, т. е.

Iddt

Mвнеш0 0, .

Если момент инерции тела не равен нулю (I 0), тогда равна нулю

производная угловой скорости по времени: d / dt = 0.

Отсюда следует, что угловая скорость есть величина постоянная:

= сonst.

Если момент инерции тела может изменяться вследствие изменения

взаимного расположения отдельных его частей, то при М = 0, I = сonst.

Это значит, что изменение момента инерции тела влечет за собой

изменение угловой скорости вращения, а именно: с увеличением момента

инерции I его угловая скорость уменьшается и наоборот. Справедливость

закона сохранения момента импульса неоднократно проверялась на ряде

опытов. Например, опыт со скамьей Жуковского.

Замечание 2: Закон сохранения вектора момента импульса связан с

изотропностью пространства как одного из свойств симметрии пространства-

времени. Под изотропностью пространства понимается следующее.

Если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на некоторый

угол (тела должны находиться в тех же условиях, что и до поворота), то это

не отразится на ходе всех последующих явлений в этой системе. Используя

изотропность пространства можно доказать закон сохранения вектора

момента импульса. Если система замкнута, то на нее не действуют внешние

силы, а действуют только внутренние. Пусть M M M n1 2, , ... , векторы

моментов внутренних сил, действующих на м.т. системы относительно

неподвижного полюса 0. Затем совершим поворот всей системы вокруг

полюса на малый угол d , при этом направления скоростей всех м. т.

должны повернуться на такой же малый угол без изменения их величины.

Вследствие изотропности пространства момент всех внутренних сил работы

не совершает, т. е. А = 0 независимо от величины угла . Тогда d 0

или dL

dtMвнут 0 .

Следовательно, .

1.29. Связь вектора момента силы и вектора момента

импульса

Всякое движение м. т. или тел происходит в пространстве и времени,

поэтому вектор момента импульса м. т. относительно произвольного полюса

0 (формула 3.22) продифференцируем по времени:

d L

dt

d r

dtp r

d p

dt.

Однако, если полюс 0 не меняет своего положения в пространстве

(неподвижен), первое слагаемое обращается в нуль, так как первая

производная вектора перемещения по времени есть вектор мгновенной

скорости.

Тогда векторы коллинеарны, т. е. d r

dtp .

Как известно, векторное произведение коллинеарных векторов равно

нулю, поэтому d L

dtr

d p

dt. Согласно 2-му закону Ньютона

d p

dtF .

Следовательно,

d L

dtr F M .

Выражение d L

dtM устанавливает связь между вектором момента

импульса и вектором момента силы в инерциальной системе отсчета.

Производная вектора момента импульса м. т. по времени

относительно неподвижного полюса равна вектору момента силы,

действующей на эту м.т. относительно этого же полюса.

Это положение можно распространить и на систему м. т. (при этом все

внутренние силы можно исключить на основании третьего закона Ньютона).

Тогда изменение результирующего вектора момента импульса всех м. т.

системы равно геометрической сумме результирующего вектора всех

внешних сил, действующих на данную систему м. т., т. е.

М ii

n

nM M M M1

1 2 0...

L const

d L

dtM

i

i

n

i внешi

n

1 1

, или внешМI

Моменты импульса и моменты сил тел зависят не только от величины и

направления этих векторов, но и от пространственного положения полюса.

Моменты импульсов тел и моменты сил относительно оси (например,

оси Z) являются проекциями соответствующих векторов относительно

некоторого полюса 0, лежащего на этой оси. Одно векторное уравнение

эквивалентно системе трех скалярных уравнений как проекций на

соответствующие оси Х , У, Z:

d L

dtM

dL

dtM

dL

dtM

dL

dtM

внеш

xвнеш х

увнеш у

zвнеш z

,

( ) ,

( ) ,

( ) .

(43)

Лекция 4

1. Законы сохранения в механике

1.1. Значение энергии

Всякое изменение материи является движением, простейшими

формами которого являются поступательное и вращательное движения.

Мерой поступательного движения является импульс. Однако эта

динамическая характеристика, введенная Ньютоном, хотя и имеет

фундаментальное значение, но не может служить универсальной мерой для

всех форм движения материи, например, для вращательного, теплового и т. д.

Пусть однородный шар равномерно вращается вокруг неподвижной

оси, совпадающей с осью симметрии, проходящей

через центр инерции (рис. 1). Поскольку при вращении

шара, любые его две диаметрально противоположные

материальные точки имеют линейные скорости,

равные по величине, но противоположные по

направлению, т. е. vi = vk, i k

v v . При этом

суммарный импульс всего шара равен нулю. Однако

тело может вращаться с любой угловой скоростью .

Импульс тела ни как не характеризует вращательное движение. В этом

случае мерой вращательного движения шара является момент импульса.

Известно, что для осуществления равномерного вращательного движения тел

Рис. 1

вокруг некоторой оси необходимо непрерывно воздействовать внешней

силой, которая расходуется на преодоление трения в местах закрепления оси

вращения. Однако при трении выделяется тепло, а момент импульса остаѐтся

постоянным и никак не учитывает количество выделившегося тепла.

Поскольку физика изучает различные формы движения материи

(механические, тепловые, электрические, магнитные и т. д.), то усилия

учѐных разных стран были направлены на то, чтобы найти универсальную

меру, учитывающую любое изменение материи. Единой мерой различных

форм движения материи является физическая величина – энергия. В

работах Ломоносова, Майера, Гельмгольца, Джоуля и других ученых был

окончательно сформулирован всеобщий закон сохранения и превращения

материи – закон сохранения энергии, который гласит: энергия не исчезает и

не уничтожается, а переходит из одного вида в другой, в равных

количествах.Закон сохранения энергии проверен многочисленными

экспериментами и его достоверность не вызывает никаких сомнений. Анализ

опытных фактов показывает, что энергия механического движения,

например, при трении переходит в теплоту. Вообще механическое

движение или любое другое не исчезает бесследно, а переходит в другие

виды движения материи.

Энергия является количественной мерой любого движения материи, а

при движении изменяется состояние системы материальных объектов.

Всякая система характеризуется рядом физических величин, называемых

параметрами состояния. Например, положение м.т. в пространстве

характеризуется координатами и их относительными скоростями. При

всяком изменении состояния системы изменяются параметры состояния.

Следовательно, энергия есть функция состояния системы.

Из динамики известно, что всякое изменение механического движения

тела всегда происходит в результате его взаимодействия с другими телами.

Это взаимодействие количественно характеризуется силой. Следовательно,

сила является причиной изменения механической энергии.

Мерой энергии, переданной от одного тела к другому, является

физическая величина, называемая работой.

Общий вывод: энергия есть количественная мера любых форм

движения материи. Работа – мера количества энергии, переданной при

механическом взаимодействии от одного материального объекта к другому

или превращение механического движения в другие формы.

1.2. Работа постоянной силы

Механическая работа совершается, если тело (м.т.) под действием силы

перемещается. Величина работы постоянной силы ( F const F const, ) равна

произведению ее составляющей F на направление перемещения и величины

этого перемещения (рис. 3.18):

А= F r , r = S , (1)

где F = F cos ,.

В векторном виде работа равна скалярному произведению вектора

силы и вектора перемещения

A F r F r cos , (2)

где

cos cos ,F r

.

Согласно (2) перемещение

необязательно вызывается действием

силы, входящей в эту формулу.

Особенно это проявляется при нахождении работы сил сопротивления и

трения, которые никак не способствуют перемещению тела в заданном

направлении при r 0, Fсопр 0, Fтр 0.

Следовательно, работа силы совершается независимо от того, под

действием каких причин тело совершает перемещение. Работа, как

показывает практика, может быть положительной, отрицательной и равной

нулю. Для выяснения этого воспользуемся формулой работы А = F s cos .

1. Работа силы положительна (А 0), если угол между векторами

силы и перемещения острый: cos 0 (рис. 3, а).

2. Работа силы отрицательна (А < 0), если угол тупой: cos 0 (рис.

3, б). 3. Работа силы равна нулю (А = 0).

При этом возможны 3 случая: а) F = 0, если на тело не действуют силы,

но оно движется равномерно и прямолинейно, б) r = 0, тело не

перемещается, несмотря на действие силы (F 0). Пусть на тело действуют

какие-то другие силы; в) сила действует перпендикулярно к перемещению:

cos = 0, т. е. = /2 (рис. 3, в). Например, сила Кориолиса, сила Лоренца

всегда перпендикулярны направлению перемещения.

В СИ работа измеряется в джоулях (Дж).

Рис. 2

Рис. 3

1.3. Работа переменой силы

Для нахождения полной работы на

конечном участке пути, когда на движущее

тело действует переменная сила,

необходимо весь путь разбить на малые

участки пути (перемещения) и найти на

каждом из них элементарную работу.

Любые элементарные перемещения

(малые участки пути si) можно считать

прямолинейными, в пределах их

действующая сила остается постоянной, т.

е.

Fi = const. На элементарном участке пути

si совершается элементарная работа:

Аi = F si cos i.

Работа на конечном участке пути

A A F S F Sii

n

i ii

n

i

n

i121 1 1

cos .

Для нахождения полной работы на всѐм участке пути перейдем к

пределу, когда is 0 . Тогда

A F s F dss i

n

ii

120 1 1

2

lim (3)

или при бесконечно малом перемещении dr м. т. под действием силы

совершает бесконечно малую работу (рис. 4, ds=dl):

cosdrFdrFА . (4)

Поскольку работа не является функцией состояния системы, то она не

может быть представлена в виде полного дифференциала, поэтому, вместo

dA, будем использовать символ А.

Полная работа на участке 1 – 2

A F dr

1

2

. (5)

Если на тело одновременно

действуют несколько сил: F F Fn1 2, ,..., , то

полная работа равна алгебраической

сумме работ, совершаемых каждой силой

в отдельности:

Рис. 4

Рис. 5

A = A1 + A2 +...+ An = A ii

n

1

. (6)

Работу можно найти графически (рис. 5), где она может быть представлена

площадью криволинейной трапеции.

В случае прямолинейного движения тела (в прямоугольных декартовых

координатах), учитывая, что

dr dx i dy j dz k ,

где i j k, , – единичные векторы осей Х, У, Z соответственно, формулу (6)

можно представить в виде

)kdzF()jdyF()idxF()kdzjdyidx(FA =

= F dx cos + F dy cos + F dz cos = Fx dx + Fy dy + Fz dz,

где , , – углы, которые вектор силы составляет с векторами i j k, , ;

Fx = F cos ; Fy = F cos ; Fz = F cos – проекции F на оси координат.

1.4. Мощность. Коэффициент полезного действия

в механике

На практике важно знать, как быстро машина или механизм совершают

работу.

Быстрота совершения работы характеризуется мощностью.

Cредняя мощность численно равна отношению работы к промежутку

времени, за который совершается работа.

<N> = A/ t. (6)

Если t 0, то, перейдя к пределу, получим мгновенную мощность:

NA

t

A

dttlim

0 (7)

или

Ndt

F vdt

dtF v

A . (8)

N F v F v F vcos ,

, (9)

или

N = F v cos .

В СИ мощность измеряется в ваттах (Bт).

На практике важно знать производительность механизмов и машин или

другой промышленной и сельскохозяйственной техники.

Для этого используют коэффициент полезного действия (КПД) .

Коэффициентом полезного действия называют отношение полезной

работы ко всей затраченной.

%100А

A

з

п . (10)

или

%100N

N

з

п .

1.5. Кинетическая энергия

Энергию, которой обладают движущиеся тела, называют

кинетической энергией (Wk).

Найдем полную работу силы при перемещении м. т. (тела) на участке

пути 1– 2. Под действием силы м. т. может изменять свою скорость,

например, увеличивает (уменьшает) от v1 до v2.

Уравнение движения м. т. запишем в виде Fmd v

dt

d p

dt.

Полная работа A A F d r

r

r

12

1

2

1

2

или Amd v

dtv dt

v

v

12

1

2

.

После интегрирования A mv mv mv

v

v

12

2

1

2

22

12

2 2 2,

где Wmv

k

2

2 называют кинетической энергией. (11)

Cледовательно,

Amv mv

W W Wk k k1222

12

2 12 2

. (12)

Вывод: Работа силы при перемещении материальной точки равна

изменению ее кинетической энергии.

Полученный результат можно обобщить на случай произвольной

системы м. т.: W Wm v

k kii i

ii

n n

1

2

12

.

Следовательно, суммарная кинетическая энергия – величина

аддитивная. Широкое применение имеет другая форма записи формулы

кинетической энергии: Wmv m

m

mv

m

p

mk

2 2 2

2 2 2. (13)

Замечание: кинетическая энергия – функция состояния системы,

зависит от выбора системы отсчета и является величиной относительной.

В формуле А12 = Wk под А12 надо понимать работу всех внешних и

внутренних сил. Но сумма всех внутренних сил равна нулю (на основании

третьего закона Ньютона) и суммарный импульс равен нулю.

Но не так обстоит дело в случае кинетической энергии изолированной

системы м. т. или тел. Оказывается, что работа всех внутренних сил не равна

нулю.

Достаточно привести простой пример (рис. 6).

Как видно из рис. 6, работа силы f12 по

перемещению м. т. массой m1 положительна

A12 = (– f12) (– r12) > 0

и работа силы f21 по перемещению м.т. (тела)

массой m2 также положительна:

A21 = ( + f21) ( + r21) > 0.

Следовательно, полная работа внутренних сил изолированной системы

м. т. не равна нулю:

А = А12 + А21 0.

Таким образом, суммарная работа всех внутренних и внешних сил

идет на изменение кинетической энергии.

1.6. Потенциальная энергия

Другим видом механической энергии является потенциальная энергия.

Энергию взаимного расположения тел, учитывающую вид их

взаимодействия, называют потенциальной энергией.

Найдем работу силы тяжести, которую она совершает при

равномерном движении тела без трения

из положения 1 в 2 вдоль наклонной

плоскости. Длина наклонной плоскости

– S.

Высота от нулевого уровня до

точки 1 равна h1, до точки 2 – h2. Угол

между вертикалью (отвесной линией) и

наклонной плоскостью равен (рис. 7 ).

Работа на участке S12 A12 = mg cos S, где mgcos – проекция силы тяжести на

направление перемещения,

S cos =h1 – h2,

или A12 = mg h1 – mg h2.

Величину WP = mgh – называют потенциальной энергией, которой обладает

Рис. 6

Рис. 7

тело массой m, поднятое над поверхностью Земли.

В этом случае работа силы тяжести запишется в виде A12 = WP1 – WP2,

где WP1 – потенциальная энергия тела в состоянии 1; WP2 – потенциальная

энергия тела в состоянии 2.

Окончательно, A12 = (WP2 WP1) = WP. (14)

Вывод: Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии со

знаком минус.

1.7. Консервативные и диссипативные силы

Вычислим работу силы тяжести на замкнутой траектории (1 2 3 1).

Для этого вернемся к рис. 7.

Полную работу на замкнутой траектории (1 2 3 1) представим как

сумму работ на отдельных участках пути:

А = А12 + А23 + А31. 1. Работу силы тяжести на участке 1 2 (А12) мы уже нашли (см.

выше):

A12 = mg cos S. 2. Работа силы тяжести на участке (2 3) равна нулю, так как угол

между на правлением перемещения и направлением действия силы тяжести

равен 90о,

т. е. А23 = 0 (рис. 8). 3. Работа силы тяжести на участке (3 1) (рис. 9)

A31 = mgh,

где h = h1 h2 = S cos , так как угол между

направлением перемещения и направлением

действия силы тяжести равен 1800.

Вывод: Полная работа силы тяжести на

замкнутом пути равна нулю.

Этот вывод может быть распространен на

случай любой замкнутой траектории

произвольной формы.

Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называют

консервативными, или потенциальными.

Кроме того, работа консервативных сил

не зависит от вида траектории перемещения

тела, а зависит только от координат его

начального и конечного перемещений.

Примерами таких сил, кроме силы тяжести,

являются силы упругости и силы

электромагнитного взаимодействия. Все силы,

не относящиеся к консервативным, являются не

потенциальными (неконсервативными). К ним

относятся диссипативные силы, например, силы трения и сопротивления.

Рис. 8

Рис. 9

Диссипативными называют силы, работа которых отрицательна.

К неконсервативным силам относятся также гироскопические силы

Лоренца и Кориолиса. От консервативных сил они отличаются тем, что

определяются не только положением, но и скоростью движения тел. Работа

таких сил равна нулю.

1.8. Потенциальная энергия

гравитационного взаимодействия

На рис. 10 приведен график зависимости силы тяготения от расстояния

между взаимодействующими телами F(r).

Чтобы найти работу силы тяготения при перемещении тела массы m в

гравитационном поле другого тела массы М на расстоянии (r2 r1),

используем формулу работы в виде

А = Fт (r2 r1). (15)

Работа силы тяготения (консервативная сила) не зависит от формы

траектории при перемещении тела, на которое

она действует, а определяется координатами

начального и конечного состояний тела.

Поэтому для нахождения работы А12

достаточно найти среднюю силу тяготения на

участке (r2 r1), рис. 11.

Действительно,

А12 = F (r1 r2) = F (r2 r1),

где F = mM

r r1 2

,

или

12

12rr

mA11

M . (16)

После раскрытия скобок

AmM

r

mM

r12

2 1

, (17)

где

WmM

rCp

(18)

потенциальная энергия гравитационного

взаимодействия тел;

С произвольная постоянная.

Следовательно, А12 = (Wр2 Wр1) = Wp , (19)

где Wр1 , Wр2 потенциальные энергии взаимодействия тел m и М в

Рис. 10

Рис. 11

состояниях 1 и 2, соответственно.

Вывод: Работа гравитационного взаимодействия тел равна

изменению потенциальной энергии со знаком минус.

Кроме напряженности Е т, гравитационное поле характеризуется

потенциалом поля тяготения т, т. е.

т = W

m

p,

где

Wp = mM

r+ C.

Следовательно, потенциал поля тяготения

т = M

r + C (20)

является энергетической характеристикой поля тяготения.

Если потенциалы некоторых точек 1 и 2 поля тяготения т1, т2, то

работа силы тяготения при движении тела массы m из 1 в 2

А12 = m ( т2 т1) = m т. (21)

Замечание:

В физике существует проблема энергии поля тяготения.

Теория позволяет для любого тела, имеющего массу, вычислить

полную энергию его гравитационного поля во всем пространстве.

Но нельзя указать, в какой области пространства локализована эта

энергия, т. е. нет понятия плотности гравитационной энергии в различных

точках пространства.

Гравитационная энергия во Вселенной имеет большой количественный

перевес над всеми остальными формами энергии.

Поток излучения от бесчисленных звезд Вселенной (ядер галактик,

квазаров и т. д.) составляет лишь малую долю от гравитационной энергии.

Тяготение вообще исток, из которого берут основу и все остальные

формы энергии материального мира Вселенной.

При взрывах сверхновых звезд (например, СН 1987А, голубой

сверхгигант соседней галактики «Большое Магелланово Облако», взорвалась

23 февраля 1987 года) гравитационное поле превращает часть

освободившейся энергии тяготения в другие виды энергии: световую,

тепловую, энергию вращательного движения, энергию синтеза тяжелых ядер

изотопов химических элементов тяжелее железа и пр.

Гравитация является высшей формой энергии, т.к. имеет нулевую

энтропию, а низшая форма энергии тепловая, поскольку в теплоту могут

превращаться все остальные виды энергий.

Противостоят гравитации только энергия реакции деления тяжелых

ядер, энергия термоядерных реакций синтеза легких ядер и вращательные

движения.

1.9. Потенциальная энергия

упругодеформированного тела

Найдем потенциальную энергию тела при перемещении его из

состояния 1 в 2, если на него действует сила упругости пружины, один конец

которой закреплен с телом, а другой с неподвижной опорой (рис. 12).

Работу силы упругости можно найти по формуле

,dxxFA2x

1xу

(22)

если сила упругости действует вдоль оси 0Х, где

F(x) = k x; х cмещение.

После интегрирования получим

A k

x kx kxу

x

x2

1

222

12

2 2 2( ). (23)

Сила упругости, так же как и сила тяжести,

является консервативной, ее работа совершается за счет

убыли потенциальной энергии пружины, т. е.

Ау = Wp,у = (Wp,у2 Wp,у1), (24)

где Wp,у = kx2

2 (25)

является потенциальной энергией

упругодеформированной пружины (тела).

Работа силы упругости графически изображается

площадью заштрихованной трапеции (рис. 13).

1.10. Связь силы с потенциальной энергией

Если известно выражение потенциальной энергии Wp(x, y, z), то

можно найти силу, действующую на тело в любой точке силового поля.

Пусть тело (частица) или м. т. перемещается в пространстве.

Силы поля совершают над частицей элементарную работу

rdFA

или

kdzjdyidxkFjFiFA zyx.

Следовательно, A = Fx dx + Fy dy + Fz dz,

Ах = Fxdx, Аy = Fydy, Аz = Fzdz.

С другой стороны,

Рис. 12

Рис. 13

A = dWp .

Поскольку потенциальная энергия является полным дифференциалом,

то

dWW

xdx

W

ydy

W

zdzp

p p p,

где

W

x

W

y

W

z

p p p, ,

частные производные от Wp по х, у, z, cоответственно вычисляемые в

предположении, что все другие аргументы, кроме рассматриваемых,

являются фиксированными.

Анализируя рассмотренное выше, получаем

Fx dx + Fy dy + Fz dz = W

xdx

W

ydy

W

zdz

p p p.

Таким образом,

z

WF,

y

WF,

x

WF

pz

py

px

или

FW

xi

W

yj

W

zk

p p p,

где выражение

kz

jy

ix

векторный оператор Гамильтона в декартовых координатах.

(Символ « » называют набла).

Таким образом,

pp WgradWF . (26)

Выражение gradWp или (dWp/dn) называют градиентом

потенциальной энергии по направлению dn (наибольшая быстрота

изменения потенциальной энергии по данному направлению).

Знак « » показывает, что вектор силы, действующий на частицу,

направлен в сторону убывания потенциальной энергии.

1.11. Закон сохранения механической энергии

Полной механической энергией называют сумму потенциальной и

кинетической энергий.

Рассмотрим три случая, наиболее часто встречающиеся на практике.

1. Пусть имеем замкнутую систему материальных точек (тел),

между которыми действуют консервативные силы.

Как было получено выше, механическая работа может быть совершена

как за счет изменения кинетической энергии, так и за счет убыли

потенциальной энергии. Действительно работа на участке пути S12

A12 = Wp = Wp1 Wp2 или A12 = Wk = Wk2 Wk1 .

Анализируя полученные результаты, получаем

W = Wp + Wk = 0 или Wp1 + Wk1 = Wp2 + Wk2.

В последнем равенстве слева и справа полная механическая энергия

тел в первом и втором состояниях соответственно. Распространив

полученный результат на произвольное число состояний, получим закон

сохранения механической энергии:

Wp1 + Wk1 = Wp2 + Wk2 =...= const. (27)

В изолированной системе, в которой между телами действуют

консервативные силы, полная механическая энергия не изменяется.

Возможен лишь переход потенциальной энергии в кинетическую

энергию и обратно кинетической энергии в потенциальную в равных

количествах.

2. Пусть на систему материальных точек (тел), кроме внутренних

консервативных сил, действуют внешние силы, т. е. система не замкнута.

В этом случае полную работу, совершаемую всеми силами

приложенными, к i-й м. т., можно представить как алгебраическую сумму

внутренних и внешних работ, т. е. A A Ai i* , где Ai работа,

совершаемая всеми внутренними силами над i-й м. т.; A i* работа всех

внешних сил над i-й м. т. Полную работу найдем в виде

.кWкWW*iA

iA 12

n n

1i 1i

С другой стороны, .WWWiA р1р2

n

1i

Используя последние соотношения, получаем

p2p21i

ip2p1 WWAWWn

или .WWWWA к1p1к2p21i

i

n

Следовательно,

.*iAWWW

n

1i12

Вывод: Изменение полной механической энергии системы м. т. (тел),

между которыми действуют внутренние консервативные силы, равно

работе внешних сил, приложенных к системе м.т.

3. В замкнутой системе, содержащей N м. т. (тел), кроме

консервативных сил, действуют диссипативные силы (например, силы

трения, силы сопротивления).

Полная работа всех сил А = Аконс

+ Адисс

.

Работа всех внутренних, консервативных сил равна убыли

потенциальной энергии: Аконс

= Wp1 Wp2 = Wp.

Полная работа совершается за счет изменения кинетической энергии:

А = Wk2 Wk1 = Wk.

Из полученных последних трех выражений имеем

Wk = Wp + Адисс

или

W = Wk + Wp = Адисс

0.

Вывод: Если в замкнутой системе м. т. действуют внутренние,

консервативные и диссипативные силы, то полная механическая энергия

убывает.

Закон сохранения механической энергии не выполняется, но

выполняется всеобщий закон сохранения энергии, т. е. полная механическая

энергия переходит в другие виды энергии. Например, при трении выделяется

тепло, значит, механическая энергия перешла во внутреннюю энергию.

Замечание: Случай 3 приводит к диссипации энергии.

1.12. Закон сохранения механической энергии

и однородность времени

Из свойства симметрии однородности времени следует, что законы

движения замкнутой системы не зависят от выбора начала системы отсчета.

Если в два произвольных момента времени все тела замкнутой системы

поставлены в одинаковые условия, то, начиная с этих моментов времени, все

явления в системе протекают одинаково. На основании классической

механики Ньютона имеем А = Wk2 Wk1.

Силы, действующие на м. т., связаны с потенциальной энергией

выражением FW

xF

W

yF

W

zx

py

pz

p, , ,

где потенциальная энергия задана в виде функции состояния,

т. е. Wp = Wp(x, y, z, t).

Например, поле, где находится м. т., изменяется со временем

(пульсирует). Тогда работа всех сил

AW

xdx

W

ydy

W

zdz

W

tdt

W

tdt

L

p p p p p[( ) ],

где dWW

xdx

W

ydy

W

zdzp

p p p.

Следовательно, A dWp dt

L

Wp

Lt

или

A W Wp p

Wp

Lt

dt1 2.

C другой стороны, полная работа A = Wk = Wk2 Wk1.

Cледовательно,

(Wp2 + Wk2) (Wp1 +Wk2) =W

t

p

L

dt .

В случае замкнутой системы, в силу однородности времени,

производная потенциальной энергии по времени равна нулю, т. е. W

t

p0 .

Таким образом, получаем закон сохранения механической энергии

W = Wk + Wp = const.

Замечание: В классической физике взаимосвязь кинетической энергии,

импульса и массы описывается формулой

Wk = p2 / (2m).

В релятивистской физике согласно специальной теории относительности

полная энергия частицы W = mc2, р = mv – импульс частицы,

где

1

1 2 2v c/

,

т. е.

W v c mc1 2 2 2/ . После преобразований получим формулу

W2 = p

2c

2 + m

2c

4,

которая выражает взаимосвязь массы, импульса и энергии, т. е. закон

сохранения массы, импульса и энергии.

Так как для частиц изолированной системы р = const (закон сохранения

импульса) и W = const (закон сохранения механической энергии), то из

последней формулы следует, что m = const и c = const.

1.13. Движение частицы в потенциальном поле

Полная энергия классической частицы

W = Wo + Wk + Wp(r ), (28)

где W0 = mc2 – энергия покоя частицы; Wk = p

2/ 2m – кинетическая энергия

частицы; Wp(r) – потенциальная энергия во внешнем силовом поле.

Пусть энергия покоя частицы равна нулю, т. е. начало отсчета выбрано

на уровне энергии покоя. Как известно, кинетическая энергия не может быть

отрицательной, т. е. Wk =mv2

2 0.

Cледовательно, во всех точках пространства, в которых частица может

находиться в данный момент времени, потенциальная энергия меньше или

равна полной энергии частицы, т. е. Wp(r) W = const. Поэтому частица не

может проникать в области пространства, где значение потенциальной

энергии силового поля превосходит полную энергию частицы.

Вывод: Если полная энергия частицы меньше значения ее

потенциальной энергии (для удаленных областей пространства), то

частица может проникать только в ограниченную область пространства –

такое движение называют финитным.

Примером финитного движения является движение планет в

Солнечной системе. Такое движение является весьма устойчивым,

поскольку Солнечная система существует около пяти миллиардов лет. Если

же частица может удаляться на неограниченное расстояние от системы

отсчета, то такое движение называется инфинитным. Примером

инфинитного движения является движение электрического заряда в поле

одноименного заряда. Ограничения, связанные с инфинитными и

финитными движениями, существуют только в классической механике. В

квантовой механике возможен эффект

просачивания частиц сквозь «потенциальный барьер» (туннельный эффект).

Рассмотрим, какие свойства

характеризуют движение частицы с

позиций классической механики. Пусть

одномерная частица движется в

потенциальном силовом поле вдоль оси

Х (рис. 3.30), где приведен график

зависимости потенциальной энергии

силового поля от координаты х –

Wp(x), которую называют

«потенциальной ямой».

1. Пусть полная энергия частицы

отрицательна (W1< 0), тогда

неравенство Wp(r) W1 = const

выполняется на отрезке от х = А до х = С (отрезок АС).

Следовательно, частица всегда находится внутри «потенциальной ямы»

– движение является финитным, кроме того, будет периодически

повторяться, т. е. частица совершает колебательное периодическое движение.

Точки х = А и х = С, для которых выполняется равенство Wp(r) = W1,

являются граничными. Графически эти точки определяются пересечением

горизонтальной прямой W const1 с графиком функции pW x и являются

корнями уравнения рW Wx1, например, в точке А:

W1 = Wp(A) = mv2 / 2 + Wp(A),

т. е. в точке поворота скорость частицы обращается в нуль.

Таким образом, границы движения классической частицы

определяются значением полной энергии.

Например, если W = Wp2 0 (рис. 14), то движение частицы станет

инфинитным. В точке В (рис. 14) для данной частицы потенциальная

Рис. 14

энергия минимальна: Wp(Б) = Wp,min.

В потенциальном силовом поле на частицу действует возвращающая

сила Fx = dWp/ dx и в точке Б она обращается в нуль, а в крайних точках А

и С на частицу действует максимальная сила.

Поэтому точке Б соответствует минимум потенциальной энергии,

который определяет положение устойчивого равновесия.

2. Пусть график функции Wp(х)

имеет вид, приведенный на рис. 15.

«Потенциальная яма» между точками х =

Б и х = Г отделена справа потенциальным

барьером х = Г, х = Д и х=Е.

В связи с этим движение частицы с

полной энергией внутри

«потенциальная яма» между точками х =

Б, х = Г будет финитным.

Если же частица выйдет за

потенциальный барьер, то ее движение

станет инфинитным, но уже с одной

граничной точкой х = Е.

В случае, когда полная энергия

частицы равна pW 2, движение частицы

является инфинитным в области пространства от х = А до х , а точкой

устойчивого равновесия – т. х = В. В точке х = Д, которая является точкой

неустойчивого равновесия, потенциальная энергии максимальна.

Однако при малейшем смещении частицы из точки х = Д сразу же

возникает возвращающая сила, которая стремится удалить частицу в ту

область пространства, где потенциальная энергия частицы будет

минимальной.

1.14. Космические скорости. Законы Кеплера

После длительной обработки многолетних наблюдений астронома

Тихо Браге за движением планет Солнечной системы Кеплер эмпирически

установил три закона движения планет:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов

которого расположено Солнце.

2. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает

равные площади.

3. Квадраты периодов обращений планет относятся как кубы

больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся

вокруг Солнца.

Используя законы движения планет Солнечной системы,

установленных Кеплером, Ньютон открыл закон всемирного тяготения.

Используя теорию движения планет Солнечной системы можно

рассчитать траекторию движения искусственных спутников Земли и

pW

1

Рис. 15

космических кораблей с выключенными двигателями (без учета

сопротивления атмосферы Земли и гравитационного притяжения спутников –

кораблей со стороны Солнца, Луны и других планет).

Полная энергия спутника в поле тяготения Земли равна

W = Wk + Wp,

т. е. W

mv mM mvmg

rr

2 2

2 2,

где m, M – массы спутника и Земли соответственно; v – скорость спутника;

r – расстояние до него.

1. Если W < 0, то движение финитно и происходит по эллиптической

орбите. В случае кругового движения

mv

r

mM

r

12

2.

Следовательно, первая космическая скорость при r = RЗ

v M r gr1 /

V1 7,9 км/c. (29)

2. Минимальное значение энергии W, при котором движение спутника

становится инфинитным (траектория – парабола ), равно нулю,

т. е.

Wmv mM

r22

20.

Тогда вторая космическая скорость

v gr2 2 11,2 км/c. (30)

3. Если полная энергия спутника положительна, то его движение станет

гиперболическим и третью космическую скорость можно найти из условия mv mMC

r3

2,

где МС – масса Солнца. Тогда vM

r

C3

2 42 км/с.

В направлении движения Земли v3min

16,7 км/c. В направлении

противоположном движению Земли третья космическая скорость

v3max

72,7 км/c.

1.15. Упругие и неупругие столкновения

В физике под термином столкновения понимают не просто

непосредственный удар, например, бильярдных шаров, а процесс в более

широком смысле.

Столкновениями, или ударом, называют любые кратковременные

взаимодействия частиц (тел).

Особенностью теории столкновений является то, что при этом

детально не анализируются механизмы взаимодействия. Причина

заключается в том, что анализ сил, возникающих при столкновении, весьма

затруднителен, а во многих случаях и просто невозможен, и не только из-за

малого промежутка времени процесса взаимодействия. Например, так

обстоит дело с ядерными силами.

После столкновения частицы в конечном состоянии могут отличаться

по своим внутренним свойствам от частиц в начальном состоянии.

В связи с этим различают упругие и неупругие столкновения.

Столкновениями обусловлены многие явления, рассматриваемые в

различных разделах физики. Прежде всего, столкновения играют основную

роль в структуре и динамике плазмы и газов.

Такие процессы, как передача тепла в газах, диффузии газов и другие,

определяются свойствами сталкивающихся молекул и других частиц друг с

другом. Свойства атомов, атомных ядер, и элементарных частиц можно

исследовать одним из основных способов, изучая и анализируя их

столкновения с другими частицами.

Для описания процесса взаимодействия привлекают законы

сохранения. Поскольку законы сохранения справедливы не только в

классической, но и в квантовой механике, то результаты, полученные из этих

законов, применимы и к столкновениям квантовых частиц, например,

атомов, ядер и др. частиц.

Для полного описания процесса

столкновения используется понятие

"сечение" столкновений. Важное место

имеет выбор системы отсчета. К таким

системам отсчета относят лабораторную

систему (рис. 16, а, б).

Систему отсчета, в которой столкновения

частиц изучаются на опыте, называют

лабораторной (Л.С.). Иногда в этой системе отсчета одна из частиц

принимается покоящейся (ее называют мишенью), а другая частица,

налетающая на нее, – снарядом (рис. 16, б). Для проведения теоретического

анализа столкновений частиц используют также

систему центра инерции (СЦИ) (рис. 17).

Система отсчета, в которой центр инерции

покоится, а суммарный импульс частиц системы равен

нулю, называют системой центра инерции.

В такой системе отсчета векторы импульсов

сталкивающихся частиц равны по величине и

противоположны по направлению.

Рис. 16

Рис. 17

1.16.1. Упругое взаимодействие двух частиц

Процесс упругого взаимодействия осуществляется в газах

(столкновение молекул), ядерных реакциях (например, столкновение

нейтрона с протоном).

Упругим называют столкновение, в результате которого внутреннее

состояние взаимодействующих частиц не меняется.

Большинство упругих столкновений, за исключением ядерных реакций

высоких энергий, относятся к медленным (нерелятивистским) процессам.

Для расчета процесса упругого столкновения двух частиц применяют закон

сохранения импульса и закон сохранения энергии. Для изолированной

системы двух взаимодействующих частиц закон сохранения импульса

запишем в виде p p p p1 2 1 2

* * , (31)

где р1 = m1v1, p2 = m2v2 – импульсы частиц до взаимодействия (m1, m2 и v1, v2

– массы и скорости частиц до взаимодействия); p1*

= m1u1, p2*

= m2u2 –

импульсы этих же частиц после взаимодействия (u1, u2 – скорости частиц

после взаимодействия). Закон сохранения энергии упругого столкновения

двух частиц p

m

p

m

p

m

p

m

12

1

22

2

1

2

1

22

22 2 2 2

( ) ( ),

* *

(32)

1.16.2. Лабораторная система отсчета

Применяя закон сохранения центра масс (инерции) к системе двух

частиц с учетом формул

rc

m r m r

m mr r r1 1 2 2

1 21 2; , (33)

где rc– радиус-вектор центра масс; r1

, r2 – радиус-векторы частиц в

выбранной системе отсчета, имеем

r rm

m mr r r

m

m mrc c1

2

1 22

1

1 2

, . (34)

Скорости частиц в ЛС можно выразить через скорость их центра

инерции vc и скорости их относительного движения v и v*

соответственно, до и после столкновения. Дифференцируя выражение (34) по

времени и учитывая закон сохранения центра инерции (масс)

d r

dtv constc

c, находим векторы скорости частиц до взаимодействия

vmm

mvv,v

mm

mvv

21

1c2

21

2c1 (35)

и векторы скорости частиц после взаимодействия

v vm

m mv v v

m

m mvc c1

2

1 22

1

1 2

* **

*, . (36)

Формулы (35) и (36) учитывают закон сохранения импульса для

взаимодействующих частиц.

1.16.3. Система центра инерции

В системе центра инерции (СЦИ) v c = 0. Векторы импульсов

взаимодействующих частиц в этой системе можно записать в виде

p m vm m

m mv m v1 1 1

1 2

1 2

;

p m vm m

m mv m v2 1 2

1 2

1 2

;

p m vm m

m mv m v

1 1 1

1 2

1 2

* * * *;

p m vm m

m mv m v2 1 2

1 2

1 2

* * * * ,

где 2m1m

2m1mm (37)

приведенная масса двух частиц.

Подставив полученные значения импульсов в формулу (37), получим:

.2

)v(m)v(

mm

mm

2

m

m2

)v(m

m2

)v(m

2

mvv

mm

mm

2

m

m2

vm

m2

vm

2*2*

21

212

2

2*2

1

2*222

21

212

2

22

1

22

(38)

Из формулы (38) видно, что относительная скорость частиц до

взаимодействия равна относительной скорости частиц после взаимодействия

(v = v*), т.е. в результате столкновения частиц скорость относительного

движения изменяет только свое направление, а по абсолютному значению

остается неизменной (рис. 3.34). Угол – называют углом рассеяния в СЦИ,

и по величине он может быть любым. Если

рассматриваемые частицы движутся навстречу

друг другу с равными по величине, но

противоположно направленными векторами

импульсов ( )* *p p1 2

, то суммарный импульс

системы из двух частиц равен нулю, т. е.

p p1 2

0* * . (39)

Поэтому при упругом и лобовом столкновение двух частиц

(бильярдные шары) они «отражаются» друг от друга и удаляются в

противоположных направлениях с теми же по величине скоростями.

Рис. 18

Замечание: условие (39) выполняется и в случае неупругого

столкновения частиц. Следовательно, как при упругих, так и неупругих

столкновениях в СЦИ импульсы не зависят от угла.

Если же столкновение не лобовое (рис. 18), то скорости частиц после

взаимодействия остаются неизменными по величине, но направление

векторов скоростей (импульсов) частиц после столкновения составляет

некоторый угол с их первоначальным направлением (рис. 18). При

упругом взаимодействии величины импульсов не изменяются, т. е.

p p p p1 2 1 2

* * .

Таким образом, в СЦИ процесс взаимодействия характеризуется

высокой степенью симметрии и поэтому анализ движения в ней осуществить

проще, чем в любой другой системе отсчета (например, в экспериментах на

накопительных кольцах частицы движутся навстречу друг другу с равными

по величине, но противоположно направленными импульсами).

Если процесс столкновения частиц является упругим, центральным и

происходит, например, вдоль оси Х (рис. 19), то для нахождения величин

скоростей частиц после взаимодействия воспользуемся законом сохранения

импульса в проекциях на ось Х

*х2

*х1х2х1

pppp

(30)

или

m v m v m u m ux x x x1 1 2 2 1 1 2 2 (31)

и законом сохранения энергии в виде

m v m v m u m ux x x x1 12

2 22

1 12

2 22

2 2 2 2, ( 32)

так как v v v vx y z2 2 2 2 , векторы скорости всех частиц параллельны оси Х,

то vy = 0, vz= 0 ( v X0 ) и, следовательно, v vx2 2

. Формулы (31) и (32)

преобразуем к виду

m v u m u vx x x x1 1 1 2 2 2( ) ( ). (33)

m v u v u m v u u vx x x x x x x x1 1 1 1 1 2 2 2 2 2( )( ) ( )( ). (34)

Решая совместно выражения (33) и (34), имеем

v v u ux x x x1 2 2 1 , (35)

где v v vx x x1 2 , u u vx x x2 1* – соответствующие проекции

относительных скоростей на ось Х двух частиц до и после столкновения.

Вывод: относительная скорость двух частиц до столкновения в

точности равна их относительной скорости после столкновения. Такой

вывод справедлив для любого лобового упругого удара независимо от того,

какие массы имеют частицы.

Выражая последовательно u2x и u1x из формулы (35) и подставив их

значения в выражение (33), находим скорости частиц после взаимодействия:

Рис. 19

uv m m m v

m mx

x x1

1 1 2 2 2

1 2

2( ), (36)

uv m m m v

m mx

x x2

2 2 1 1 1

1 2

2( ). (37)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Если массы взаимодействующих частиц равны (m1 = m2), то u1x = v2x,

u2x = v1x, т. е. частицы обмениваются скоростями.

2. Вторая частица до столкновения покоится (v2 = 0): а) если массы

взаимодействующих частиц равны (m1 = m2), то u1x = 0 и u2x = v1x, т. е. первое

тело останавливается после столкновения, а вторая частица начинает двига-

ться со скоростью первой, какую она имела до столкновения; б) если m1 > m2,

то первая частица продолжает двигаться в том же направлении, что и до

удара, но с меньшей скоростью (u2 < v1), скорость второй частицы после

удара увеличится, т. е. u2 > u1; в) если m1 < m2, то первая частица после

столкновения изменит направление скорости (импульса) на

противоположное, вторая частица начинает движение в том же направлении,

в каком двигалась первая частица до столкновения; г) если m1 << m2 (случай

упругого взаимодействия частицы с массивной неподвижной стенкой), то u1

= v1, u2 = 0, т. е. направление скорости налетающей частицы после

соударения со стенкой изменится на противоположное, а величина останется

неизменной.

1.16.4. Упругое столкновение в двух измерениях

При рассмотрении столкновений в двух измерениях необходимо

учитывать векторный характер импульсов взаимодействующих частиц. Из

всех случаев столкновений обычно рассматривают два: 1) одна частица

(снаряд) сталкивается с другой частицей (мишенью), находящейся до

взаимодействия в состоянии покоя; 2) импульсы частиц до столкновения

направлены вдоль одной прямой. Если столкновение не лобовое, то в любом

случае импульсы частиц после столкновения не совпадают с

первоначальными их направлениями. В этом случае столкновение является

двумерным, так как траектории взаимодействующих частиц лежат в

плоскости, образованной первоначальными и конечными направлениями

векторов импульсов частиц.

Рассмотрим столкновение частицы массой

m1, движущейся вдоль оси Х со скоростью v1

(импульсом p m v1 1 1 ), с покоящейся частицей

массой m2 (рис. 19). После взаимодействия

частицы разлетаются под углами 1 и 2

относительно направления вектора импульса

первой частицы, параллельного оси Х.

Например, для ядерных или электрически

Рис. 19

заряженных частиц процесс отклонения начинается до столкновения из-за

существования ядерной или кулоновской силы, действующей между

частицами.

Расстояние r0 на рис. 19 называют прицельным параметром, который

является мерой отклонения от лобового столкновения. При r0 = 0

столкновение является лобовым. Согласно закону сохранения импульса для

изолированной системы, имеем p p p p1 2 1 2

* * , где p2 0.Запишем

закон сохранения импульса в проекциях:

а) на ось Х: m v m v m v1 1 1 1 1 2 2 2* *cos cos ;

б) на ось У:

01 1 1 2 2 2m v m v* *sin sin .

Применяя закон сохранения энергии, находим

m v m v m v1 1

21 1

2

2 2

2

2 2 2

( ) ( )* *

.

Из полученных трех уравнений следует, что можно найти только три

неизвестные величины.

Если провести измерение, например угла 1, то переменные

v v1 2 2* *, , можно найти, используя полученные выше три уравнения.

Все скорости и углы измеряются значительно раньше или значительно

позже столкновения, пока не действуют (или уже не действуют) силы

взаимодействия между частицами.

1.16.5. Неупругое столкновение

В результате неупругого столкновения двух макроскопических тел, они

могут слипаться, и в дальнейшем будут двигаться как единое целое (рис. 20),

где p m v p M v1 1 2 2, , p m M v( ) .

Из-за необратимой деформации они не восстанавливают своей формы.

Энергия деформации переходит в теплоту Q.

Считая систему двух тел замкнутой, применяем закон сохранения

импульса в векторном виде: 5

m v M v m M v1 2

( ) , (38)

где m M v v, , ,1 2

– массы и векторы скоростей тел до взаимодействия;

v – скорость слипшихся частиц после взаимодействия.

В проекции на ось Х

mv1x+ Mv2x= (m + M)vx

или mv1 + Mv2 = (m + M)v. (39)

Формула (3.51) позволяет определить скорость слипшихся тел после

их столкновения:

.Mm

Mvmvv x2x1 (40)

Применяя общий закон сохранения

энергии для такой системы, имеем

Q2

v)Mm(

2

Mv

2

mv 222

21 , (41)

где Q – количество теплоты, выделившееся в результате деформации

тел.

1.16.6. Сечение рассеяния

Взаимодействие молекул и атомов характеризуют эффективным

сечением (сечение рассеяния), которое зависит от характера сил

взаимодействия между ними. Особую роль в атомной, ядерной физике и

физике элементарных частиц играют эксперименты по рассеянию потока

частиц мишенью.

Рассеянием называют процесс столкновения потока одинаковых

частиц, характеризующихся параллельными импульсами, с мишенью. При

этом каждая частица из всего потока взаимодействует только с одной из

частиц мишени, являющихся рассеивающими центрами (рис. 3.38). Поток

падающих частиц называют пучком. Если частицы в пучке имеют не только

параллельные импульсы, но и равные энергии, то такой пучок называют

моноэнергетическим. Все процессы столкновения частиц с мишенью

характеризуют сечением рассеивания . В классической физике такое

сечение рассеяния называют эффективным диаметром, т. е. = d2, где d –

диаметр молекул.

Единичный акт столкновения частицы-

снаряда с рассеивающим центром мишени, в

результате которого частица отклоняется в

пределах телесного угла d , характеризуется

дифференциальным сечением рассеяния

ddN

, (42)

где d – дифференциальное сечение рассеяния,

имеет размерность площади; dN – число частиц, рассеиваемых в единицу

времени в элементарный телесный угол d ; – плотность потока частиц, т.

е. число частиц в пучке, пересекающих в единицу времени единичную

площадку, перпендикулярную к направлению движения частиц.

Так как dN d , то

d

d

dd

(43)

Рис. 20

Рис. 21

По определению отношение dN/d равно числу частиц, рассеиваемых

в единицу времени в единичный

телесный угол в направлении, которое

определяется некоторыми углами и

(рис. 22, где R – единичный радиус; 0

, 0 2 ).

Телесный угол d на рис. 22

показан заштрихованной площадкой на

сфере единичного радиуса, причем d

= sin d d .

Отношение dN/d описывает

угловое распределение рассеянных

частиц (распределение по углам и ).

Поэтому dN

d

d

d

1 . (44)

Кроме дифференциального сечения рассеяния d существует понятие

полного сечения рассеяния

d

dd d

d

ddsin .

0

2

0

(45)

Для определения сечения рассеяния достаточно знать только импульсы

частиц. Координаты знать не обязательно.

Поэтому понятие классического сечения рассеяния используют и в

квантовой механике для описания столкновения микрочастиц. В ядерной

физике единицей измерения сечения рассеяния является барн (1 барн = 1024

см2). Это связано с геометрическими размерами ядер.

Для детального описания процесса

рассеяния в классической физике

используют прицельный параметр r0

(рис. 23), который равен

наикратчайшему расстоянию, на

котором частица-снаряд прошла бы от

центра рассеяния в том случае, если бы

взаимодействие между частицами

отсутствовало.

Анализ формулы (45) показывает, что полное сечение рассеяния имеет

смысл площади, затеняемой центром рассеяния в направлении падения

пучка. Частицы-снаряды пучка, нацеленные на мишень, будут рассеяны

центром.

Рис. 22

Рис. 23

Следовательно, дифференциальное

сечение рассеяния – часть площади . В

случае сферически симметричного

рассеивающего центра она имеет форму

кольца (рис. 24, а, б).

Частицы, нацеленные в кольцо

рассеиваются в некотором интервале углов,

соответствующем значениям прицельного

параметра, между внутренним, и внешним

радиусами кольца. В процессе упругого рассеяния микрочастиц изменяются

их импульсы.

Наряду с этими процессами могут изменяться также внутренние

состояния частиц (квазиупругие процессы) или образуются другие

микрочастицы (неупругие процессы).

2. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В МЕХАНИКЕ

2.1. Инерциальные системы отсчета

При рассмотрении перемещений м. т. (тел) в кинематике выяснилось,

что всякое движение относительно, поэтому можно использовать различные

системы отсчѐта.

Выбор системы отсчѐта в кинематике не являлся существенным, так

как все системы отсчѐта кинематически равноправны. Первый закон

Ньютона указывает на необходимость выбора вполне определѐнной системы

отсчѐта. Почему?

Например, если в некоторой системе отсчѐта м. т. движется

равномерно и прямолинейно, то в системе отсчета, движущейся

относительно первой с ускорением, это уже переменное движение.

Следовательно, первый закон Ньютона не может быть справедливым во всех

системах отсчета и просто теряет смысл.

В связи с этим классическая физика постулирует существование

инерциальных систем отсчѐта.

Примером инерциальной системы отсчѐта является гелиоцентрическая

система с центром в ц. м. Солнечной системы, а координатные оси –

световые лучи, направленные на различные три звезды, не лежащие в одной

плоскости.

Существуют инерциальные системы отсчѐта, в которых все

свободные тела движутся равномерно и прямолинейно или покоятся.

Неинерциальность геоцентрической системы отсчѐта (Земной)

объясняется вращением Земли вокруг своей оси и Солнца, т. е. движение

является ускоренным относительно инерциальной системы Коперника.

Рис. 24

2.2. Преобразования Галилея

Многочисленные опыты показывают, что второй закон Ньютона не

может быть справедливым так же, как и первый, в любой системе отсчѐта,

поскольку ускорение имеет неодинаковые значения в различных системах

отсчѐта, движущихся друг относительно друга ускоренно. Сила не может

зависеть от выбора системы отсчѐта, так как

она определяется только взаимным

расположением и относительными

скоростями м. т. системы, а эти величины от

выбора системы отсчѐта не зависят.

Пусть м. т. М движется в инерциальной

системе отсчѐта S. Рассмотрим другую

систему отсчѐта S*, движущуюся

относительно первой равномерно и

прямолинейно со скоростью u = const.

Координатные оси систем S и S* взаимно параллельны и в начальный

момент времени t = 0 совпадают начала систем 0 и 0*, а скорость u

направлена параллельно оси Х.

В некоторый момент времени t положение м. т. М в системе S

характеризуется радиус-вектором r , а в системе S* – радиус-вектором r * .

Положение начала 0* относительно начала 0 характеризуется радиус-

вектором R , причѐм R u t (рис. 25). Векторы r r R, ,* связаны

соотношением r = r * + R или r u t t tr * *, .

(46)

Запишем (4.1) в проекциях на оси координат:

х = х* + ut

*, у = у

*, z = z

* , t = t

*. (47)

Уравнения (47) называют преобразованиями Галилея, которые

позволяют перейти от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Таким образом, преобразования Галилея выражают классические

представления о пространстве и времени. Физические законы инвариантны

относительно преобразований Галилея. Время и размеры тел остаются

неизменными в различных инерциальных системах отсчѐта.

2.3. Классический закон сложения скоростей

Дифференцируя правую и левую части выражения (5.1) по времени t,

получим dr

dt

dr

dtu

*

или v v u* , (48)

где v – скорость м. т. М в системе S (абсолютная скорость), v* – cкорость

Рис. 25

м. т. М в системе S* (относительная скорость), u – переносная скорость.

Формула (48) выражает классический закон сложения скоростей.

Абсолютная скорость м. т. М равна векторной сумме относительной

и переносной скоростей.

Дифференцируя правую и левую части выражения (48) по времени t,

получим а = а*, т. е. абсолютное ускорение равно относительному.

Равенство а a* показывает, что система S* также является

инерциальной, как и система S, причѐм F F * .

Вывод: Система отсчѐта, движущаяся прямолинейно и равномерно

относительно инерциальной системы отсчѐта, является инерциальной. В

инерциальных системах отсчѐта одновременно выполняются 1-й, 2-й и 3-й

законы Ньютона, а сила инвариантна относительно преобразований Галилея.

2.4. Механический принцип относительности Галилея

Никакими механическими опытами, производимыми внутри

инерциальной системы отсчѐта, нельзя установить, находится она в покое

или движется равномерно и прямолинейно (Принцип относительности

Галилея).

Позднее Эйнштейн обобщил принцип относительности Галилея:

Вообще никакими физическими опытами (механическими, тепловыми,

электрическими, магнитными, оптическими и т. д.), производимыми в

инерциальной системе отсчѐта, нельзя установить факта еѐ покоя или

равномерного и прямолинейного движения. Согласно современной парадигме

установлен всеобщий принцип относительности.

2.5. Неинерциальные системы отсчета

В предыдущих разделах пособия всякое движение описывалось

относительно инерциальных систем отсчета, т. е. таких систем, которые

покоятся или движутся равномерно и прямолинейно. Если же система

движется с ускорением относительно инерциальной, то она является

неинерциальной системой отсчета.

Неинерциальными системами отсчета называют системы отсчета, которые

движутся относительно инерциальных систем отсчета, с ускорением.

В природе на Земле и в Космосе большинство объектов совершают в

основном вращательные движения в глобальных масштабах. В частности,

наша Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца и, следовательно,

система отсчета, связанная с Землей, не будет инерциальной.

2.6. Кинематика поступательного движения

в неинерциальной системе отсчета

Пусть м. т. А движется относительно неинерциальной системы отсчета

«НИ» (координаты – x*, y

*, z

* ).

Сама система движется относительно инерциальной (неподвижной)

системы отсчета (x, y, z) поступательно с ускорением а0 (рис. 4.2).

Согласно рис. 26 имеем

r ro R , (48)

где 0r – радиус-вектор, соединяющий начала ОО* систем отсчета; R –

радиус-вектор, характеризующий положение т. А относительно подвижной

системы отсчета; r – радиус-вектор, характеризующий положение т. А

относительно неподвижной системы отсчета.

Рассмотрим случай, когда неинерциальная система отсчета движется

относительно инерциальной системы отсчета поступательно с ускорением

а0.

Всякое движение в пространстве осуществляется с течением времени,

поэтому, дифференцируя по времени дважды выражение (48), получим

d r

d t

d r

d t

d R

d t

o2

2

2

2

2

2.

(49)

Согласно определению

мгновенного ускорения, имеем

а отнa ao ,

(50)

где а0 – переносное ускорение,

вызванное поступательным

движением подвижной «НИ»

системой отсчета относительно

инерциальной;

аотн – относительное ускорение,

вызванное движением т. А

относительно подвижной «НИ»;

а – полное (абсолютное) ускорение т. А относительно инерциальной

системы отсчета «И»:

Вывод: Вектор полного ускорения м. т. равен геометрической сумме

векторов переносного и относительного ускорений.

Рис. 26

2.7. Сила инерции

Второй закон Ньютона является законом поступательного движения в

инерциальных системах отсчета, т. е.

F m a md r

dt

2

2 .

Поскольку в движении участвует м. т. А, с массой m, то умножим

равенство (50) на m и получим уравнение движения м. т. А в

рассматриваемом случае:

mа m a maо тн o

или

m отнa F Fи , (51)

где F – сила, действующая на м. т. А.

Тогда

F maи О – (52)

называется силой инерции.

Особенность сил инерции заключается в том, что они не являются

результатом взаимодействия м. т. или тел, а возникают при ускоренном

движении подвижной системы отсчета.

При движении «НИ» системы отсчета с другим ускорением изменяется

и поступательная сила инерции.

В таких случаях говорят, что сила инерции не инвариантна

относительно «НИ» системы отсчета. Кроме того, для таких систем не

выполняется третий закон Ньютона, т. к. нет взаимодействующих тел.

Однако эти силы столь же реальны, например, при торможении

транспорта пассажира толкает вперед.

2.8. Сложное движение неинерциальной системы отсчета

Под сложным движением неинерциальной системы отсчета

подразумевается ее одновременное поступательное и вращательное

движение вокруг полюса (точки) с постоянной угловой скоростью.

Согласно теореме Кориолиса:

Вектор полного ускорения равен геометрической сумме векторов

относительного, переносного и кориолисова ускорений.

а а а аотн пер кор , (53)

где вектор кориолисова ускорения

aкор отн2 v . (54)

Вектор кориолисова ускорения равен удвоенному векторному

произведению вектора угловой скорости и вектора относительной

скорости.

Ускорение Кориолиса возникает из-за изменения относительной

скорости м. т. при переносном движении и переносной скорости при

относительном движении.

Абсолютная величина ускорения Кориолиса

a vsin vкор отн2 , , (55

где – угловая скорость вращения подвижной системы отсчета

относительно неподвижной.

Направление вектора ускорения Кориолиса можно получить,

спроектировав вектор относительной скорости на плоскость,

перпендикулярную к вектору угловой скорости, и повернув эту проекцию на

угол 90О в направлении вращения.

Вектор переносного ускорения

a апер о r . (56)

Первое слагаемое мы рассмотрели выше.

Второе слагаемое после взятия двойного векторного произведения

получило название центростремительного ускорения, направленного по

радиусу к оси вращения

aцс2 r . (57)

2.9. Центробежная сила инерции и сила Кориолиса

Найдем уравнение сложного движения.

Умножим правую и левую части равенства (56) на массу м. т. (тела) m:

.mщamvщ2mamam r20отнотн

или

.mщamvщ2mFam r20отнотн

где

F m a

– сила, возникающая в результате взаимодействия тел.

F 2m vкор отн (58)

– cила Кориолиса, перпендикулярна вектору угловой и вектору

относительной скоростей; направлена противоположна вектору ускорения

Кориолиса; определяется правилом правого винта; относится к

гироскопическим силам и работы не совершает; возникает при вращении

подвижной системы отсчета.

F maи o – поступательная сила инерции;

F mцб2 r (59)

– центробежная сила инерции, возникающая при вращении подвижной

системы отсчета.

2.10. Свойства сил инерции

1. Силы инерции действуют только в неинерциальных системах

отсчета.

2. Силы инерции вызваны не взаимодействием тел, а ускоренным

движением системы отсчета.

3. К силам инерции не применим третий закон Ньютона, так как нет

взаимодействующих тел.

4. Если некоторая система тел (м. т.) находится в неинерциальной

системе отсчета, то силы инерции являются внешними силами,

следовательно, системы не являются замкнутыми и поэтому не выполняются

законы сохранения.

5. В неинерциальных системах отсчета силы инерции действуют точно

также, как и силы взаимодействия тел, например, космонавт, весьма реально

ощущает силу инерции, прижимающую его к креслу корабля, после старта

ракеты на активном участке полета.

6. Силы инерции прямо пропорциональны массе тел. Поэтому в поле

сил инерции все тела движутся с одинаковыми ускорениями (как и в поле сил

тяготения).

2.11. Проявление сил инерции

Если пассажир находится в автомобиле или другом подобном

транспорте, который начинает движение, быстро ускоряясь, то его

прижимает к спинке сидения (пассажир сидит лицом в направлении

движения) поступательная сила инерции, наоборот, если автомобиль резко

тормозит, то пассажир наклоняется вперед.

Когда автомобиль осуществляет поворот, то возникает центробежная

сила инерции.

Проявление центробежной силы инерции можно наблюдать на ряде

опытов. Один из них приведен на рис. 27.

Как видно, чем дальше на нити груз

находится от оси вращения, тем больше

центробежная сила инерции и тем больше угол

отклонения нити от вертикали.

Проявление сил Кориолиса можно

обнаружить на следующем примере.

Если пассажир перемещается по салону

автобуса, который производит поворот, то на него,

кроме центробежной силы инерции, будет

действовать и сила Кориолиса.

В связи с этим легче удержаться, находясь в

неподвижном состоянии.

Чтобы найти траекторию движения тел под действием сил Кориолиса,

проделаем такой опыт.

По полированной поверхности вращающегося диска, с постоянной

угловой скоростью (гончарный круг, круг для полировки и огранке

кристаллов и т. д.), катится в

направлении к оси вращения с

относительной скоростью шар массой m

(рис. 29, вид сверху).

В этом случае на него действует

сила Кориолиса в направлении,

указанном на рис. 29, по правилу

правого винта.

Вектор угловой скорости

направлен от нас (на рис. 29 – обозначен

крестиком).

Если же шар будет катиться с

относительной скоростью в направлении

от оси вращения, то изменится и

направление действия силы Кориолиса

(рис. 30).

На рис. 29 и рис. 30 траектория движения шара – пунктирная линия.

Действие силы инерции испытывают летчики (перегрузки), выполняя

фигуры высшего пилотажа.

Силы инерции используют в центробежных машинах, насосах,

сепараторах и т. д.

Из-за вращения Земли вокруг своей оси любое свободно падающее

тело в северном полушарии отклоняется к востоку и экватору.

Реки, текущие с севера на юг в северном полушарии, подмывают

западный берег, а в южном – восточный.

Рис. 27

Рис. 29

Рис. 4.4

При движении поезда с юга на север

больше изнашиваются правые рельсы.

Неинерциальность систем отсчета

можно проверить, используя маятники

Фуко или Пошехонова.

Действие маятника Фуко довольно

подробно описано во многих учебниках и

пособиях по физике.

Поэтому рассмотрим принцип

работы маятника Пошехонова.

Он состоит из прямоугольной

вертикальной рамки 1, установленной на

вращающей подставке 2 (ось рамки

закреплена в подшипнике 3).

В центре рамки на горизонтальной

оси закреплен в подшипниках стержень 4 с массивными грузами 5 на его

концах равной массы, способный совершать колебательные движения.

Сама подставка может быть приведена во вращение с помощью

электромотора (рис. 31).

Принцип действия маятника основан на законе сохранения момента

импульса I1 1 = I2 2 = сonst.

Приведем стержень с грузами 5 в колебательное движение.

Одновременно включим электродвигатель (на рис. 31 не показан) и

платформа 2 начнет вращаться с постоянной угловой скоростью.

Когда стержень занимает

горизонтальное положение, а грузы

максимально удалены от вертикальной оси,

маятник поворачивается вместе с

платформой с 1 (момент инерции I1

максимален).

В следующий момент времени

стержень занимает вертикальное

положение (момент инерции I2

минимален).

Согласно закону сохранения

импульса происходит возрастание угловой

скорости 2, так как I2 < I1. Поэтому

рамка при вращении обгонит платформу.

Следовательно, будет наблюдаться

поворот плоскости колебаний стержня-

маятника.

Этот прибор можно использовать для обнаружения проявления сил

инерции, в том числе и при вращении Земли. В отличие от маятника Фуко

эффект поворота плоскости колебаний стержня – маятника с помощью

маятника Пошехонова достигается значительно быстрее.

Рис. 30

Рис. 31

2.12. Эквивалентность гравитационных сил

и сил инерции

Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции

установлен Эйнштейном.

Все физические явления в гравитационном поле происходят

совершенно так же, как и в поле сил инерции, если напряженности обоих

полей совпадают в соответствующих точках пространства, а начальные

условия одинаковы для всех тел изолированной системы.

Если тело свободно падает в гравитационном поле напряженности g,

то это поле будет полностью компенсировано полем поступательных сил

инерции. Однако принцип эквивалентности гравитационных сил и сил

инерции не утверждает, что всякое гравитационное поле может быть

заменено полем сил инерции, а гравитационные силы – силами инерции.

Это связано с тем, что силы тяготения направлены к центру

тяготеющей массы, например, Земли, т. е. являются центральными (рис. 32).

Ни какими ускоренными движениями системы отсчета нельзя этого

получить.Так как силы инерции будут всегда направлены параллельно друг

другу (рис. 33).Из принципа эквивалентности следует, что свойства

пространства и времени в полях тяготения должны быть такими же, как и в

неинерциональных системах отсчета.

Следовательно, в гравитационных полях, как и в неинерциальных

системах отсчета, время неоднородно, а пространство является

неевклидовым, неоднородным и неизотропным. Тем самым подтверждено

гениальное предвидение Н. И. Лобачевского, Римана и др., что геометрия

реального мира может быть и неевклидовой.По некоторым данным

пространство не только искривлено, но и скручено.

Рис. 32

Рис. 33

2.13. Гравитационное смещение спектральных линий

Примером эквивалентности гравитационных сил и сил инерции

является гравитационное смещение спектральных линий (гравитационное

«красное» смещение), теоретически предсказанное Эйнштейном.

Гравитационное «красное» смещение возникает, если наблюдатель в

инерциальной системе отсчета неподвижен, но в ней имеется гравитационное

поле напряженности g.

При распространении света по направлению гравитационного поля

частота световой волны будет возрастать, а при распространении в

противоположном направлении – убывать.

Величина смещения 0

02

gd

c,

где – частота определенной спектральной линии; 0 – частота,

воспринимаемая наблюдателем, покоящимся в инерциальной системе

отсчета; d – расстояние, проходимое светом в поле тяготения.

В этом случае гравитационное «красное» смещение является

следствием замедления времени вблизи массивного тела (Земли, Солнца и т.

д.) и уменьшения частоты квантов света. Наблюдается в однородных и

неоднородных гравитационных полях.

Замечание 1:

Причиной «красного» смещения может быть и оптический эффект

Доплера при распространении светового сигнала из-за изменения расстояния

между источником света и наблюдателем. Космологическое «красное»

смещение наблюдается у далеких галактик и квазаров. Наличие

космологического «красное» смещения согласно теории объясняется как

взаимное разбегание галактик (квазаров) друг от друга. Кроме того,

причиной «красного» смещения может служить смещение линий в спектре

излучения сверхплотных звезд (белые карлики).

В 1959 г., используя эффект Мессбауэра, удалось наблюдать

гравитационное «красное» смещение при распространении света в поле

тяготения Земли. Проходимый светом путь сверху вниз составил всего 20 м

(у Парсела – 22 м). Ожидаемое смещение

( – 0) / 0 2 10 14

.

Измерения дали близкий результат.

Это непосредственно является подтверждением принципа

эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Замечание 2:

Кроме гравитационного «красного» смещения спектральных линий

наблюдается гравитационное «фиолетовое» смещение спектральных линий,

что вызвано взаимным сближением космических объектов.

Лекция 5

5. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ

5.1. Постулаты теории относительности

Классическая физика рассматривает движение макротел с медленными

скоростями.

Описание взаимодействия тел с помощью потенциальной энергии

предполагает мгновенное распространение.

Причем скорость этого распространения может быть сколь угодно

большой.

Однако это противоречит экспериментальным данным, которые

появились к концу XIX века.

По Эйнштейну существует максимальная конечная скорость

распространения взаимодействий – скорость света в вакууме с 3 108 м/с.

В связи с механическим принципом относительности Галилея возникает вопрос:

равноправны ли все инерциальные системы отсчета при рассмотрении

тепловых, электрических, магнитных, световых и других физических явлений, кроме

механических?

Как показал, Эйнштейн принцип относительности распространяется на

любые физические явления, а не только механические.

Позднее им была создана специальная теория относительности (СТО)

для движения тел и частиц со скоростями v, близкими к скорости света в

вакууме. В этой теории предполагается, как и в классической физике, что

пространство изотропное и однородное и время однородное.

В основу СТО Эйнштейн положил два постулата:

I постулат (релятивистский принцип относительности):

в любых инерциальных системах отсчета все физические явления

(механические, электрические, магнитные, световые и другие) при одних и

тех же условиях протекают одинаково, т. е. никакими физическими

опытами невозможно установить движется данная инерциальная система

отсчета равномерно и прямолинейно или покоится.

Следовательно, все физические законы инвариантны (независимы) по

отношению к выбору инерциальной системы отсчета.

II постулат (принцип инвариантности скорости света в вакууме):

Скорость света в вакууме не зависит от вида движения источника света,

приемника и не зависит от направления в пространстве.

5.2. Преобразования Лоренца

Для описания движения в СТО используют преобразования Лоренца, позволяющие переходить от координат одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно и обратно.

Преобразования Лоренца имеют наиболее простой вид в случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной К и движущейся К

*

инерциальных систем отсчета попарно параллельны, и если система К*

движется относительно системы К равномерно и прямолинейно со скоростью v = const вдоль, например, оси Х (рис. 5.1).

Начало отсчета времени выбирается в тот момент, когда координаты начала 0 и 0

* обеих инерциальных систем отсчета К и К

* совпадают,

т. е. t = 0 и t* = 0.

С учетом этого преобразования Лоренца записываются в виде:

xx vt

v cx

x vt

v c

* **

( / );

( / );

1 12 2 y = y

*; y

* = y; z = z

*; z

* = z;

tt vx c

v ct

t vx c

v c

* **/

( / );

/

( / ).

2

2

2

21 1

(5.1)

Из преобразований Лоренца следует, что, в отличие от преобразований Галилея, координаты х и х

* дополнительно умножаются на коэффициент

1

1 2( / ).

v c

(5.2)

Кроме того, время также преобразуется. Галилей же считал, что время течет одинаково в любых инерциальных системах отсчета.

Преобразования Лоренца линейны и при малых скоростях v << c переходят в преобразования Галилея.

Вывод: Полученные Лоренцом преобразования координат и времени двух инерциальных систем отсчета удовлетворяют постулатам Эйнштейна.

Таким образом, в специальной теории относительности пространство и время взаимосвязаны и представляют единую сущность – четырехмерное пространство-время.

5.3. Относительность одновременности

Рис.

5.1

Для установления относительности одновременности двух пространственно разделенных событий необходимо иметь синхронизированные часы, расположенные там, где происходят эти события.

Синхронизация часов означает, что часы, фиксирующие время одного

события, должны быть поставлены на t с позже других часов, фиксирующие

другое событие. Например, прием светового сигнала вторыми часами можно

определить по формуле

t

x

c,

где х – расстояние между событиями; с –скорость света в вакууме.

Из постулатов СТО следует, что два пространственно разделенных

события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не будут

одновременными в другой, движущейся относительно первой со v = const.

Например, пусть одна инерциальная система отсчета (ИСО) связана с Землей,

а вторая с вагоном.

Выделим на Земле точки А, С и В,

расположенные так, что АВ = ВС (рис. 5.2).

Для вагона точки обозначим через А*,

С* и В

*, причем А

*В

*= В

*С

*. В тот момент,

когда одноименные точки совпадают, в

точках А и С происходят два события,

например вспышка света. Из-за изотропности

пространства свет от точек А и С дойдет до

точки В одновременно. Наблюдатель же в

точке В*, движущийся в направлении точки

С*, заметит вначале вспышку, произведенную в точке С

* и позднее в точке

А*. Наблюдатель на Земле, находясь в точке В увидит два пространственно

разделенных события, произошедшие одновременно, тогда как наблюдатель в

точке В* заметит, что событие в точках А

* и С

* произойдут не одновременно.

Следовательно, понятие одновременности относительно, т. е. два

пространственно разделенных события, одновременные в одной ИСО не

будут одновременными в другой ИСО, движущейся относительно первой

равномерно и прямолинейно со скоростью v = const. Это относится лишь к

событиям, между которыми отсутствуют причинно-следственная связь.

Причинно связанные события ни в одной ИСО не будут одновременными,

так как во всех ИСО событие, являющееся причиной, всегда будет

предшествовать следствию.

Такой же результат можно получить, используя преобразования

Лоренца.

5.4. Относительность времени

Существуют события, вызванные причинно-следственной связью.

Например, чтобы камень упал в воду, его нужно бросить.

Бросок является причиной, а падение камня в воду – следствием.

Рис. 5.2

Рассмотренный вид связи имеет два свойства:

1) сначала происходит событие, являющееся причиной, а затем

происходит событие, являющееся следствием первого;

2) если устранить событие, являющееся причиной, то не последует и

другого события.

В связи с этим в СТО, хотя время и преобразуется, но

последовательность во времени между причиной и следствием сохраняется.

Например, в ИСО, связанной с Землей произошел выстрел в момент времени t1

в точке с координатой х1, а пуля попала в мишень с координатой х2 в момент

времени t2.

Тогда скорость пули ux x

t t

2 1

2 1

.

Используя преобразования Лоренца найдем промежуток времени

между этими же событиями в ИСО системы К*

t tt t v x x c

v c

t t

v c

uv

c2 1

2 1 2 12

2

2 1

2 21 1

1* * ( ) ( ) /

( / )

( )

( / )( ),

где скорости u и v << c. Так как t2 > t1, то и t t2 1* *.

Поэтому

t tt t

v c2 1

2 1

21

* * ( )

( / )

, (5.3)

если событие происходит в одной и той же точке, т. е. х1 = х2.

Следовательно, t t v c* ( / ) ,1 2 (5.4)

т. е. промежуток времени между двумя событиями имеет меньшее значение в

ИСО, связанной с точкой, где происходит событие.

В любой другой ИСО этот временной интервал будет больше.

Вывод: В движущейся ИСО время течет медленнее.

Эксперименты подтвердили полученный результат.

Например, время жизни покоящихся мюонов 2 мкс.

Мюоны же в потоках космических лучей движутся относительно

Земли со скоростью v = 0,991 c и успевают пролететь расстояние не

распадаясь 6 км, т. е. их время жизни с точки зрения земного наблюдателя в

десятки раз больше.

5.5. Относительность длин

Длина стержня в ИСО равна разности координат его концов.

Например, 12 xxл , причем координаты х1 и х2 измеряются

одновременно (наблюдатель покоится относительно стержня.

Однако результат изменяется, когда наблюдатель и стержень движутся

друг относительно друга. В виду того, что понятие одновременности

относительно и события

одновременные в одной ИСО не будут одновременны в другой ИСО,

поэтому длина стержня будет неодинаковой в различных ИСО.

Для вычисления длины стержня используют преобразования Лоренца.

Например, пусть некоторый стержень

расположен параллельно оси 0Х в ИСО К,

относительно которой он покоится.

Согласно рис. 6.3 длина стержня

12 xxл .

В ИСО К*, движущейся относительно

ИСО К равномерно и прямолинейно со

скоростью v = const длина этого стержня

*1

*2

* xxл .

Используя преобразования Лоренца, имеем

xx vt

v cx

x vt

v c1

1 1

22

2 2

21 1

* * * *

( / );

( / ),

т. е.

2

*1

*2

*1

*2

12

(v/c)1

)tv(t)x(xxxл .

Если координаты концов отрезка в ИСО К* одновременно

(так как t t2 1* *), то

.2* (v/c)1лл (5.5)

Следовательно, длина отрезка в любой ИСО, относительно которой он

движется, меньше длины отрезка в неподвижной ИСО.

Однако это не означает, что стержень деформируется в движущейся

ИСО.

5.6. Интервал между двумя событиями

Любые события характеризуются точкой, где оно произошло, имеющей

координаты х, у, z и временем t, т. е. каждое событие происходит в

четырехмерном пространстве-времени с координатами х, у, z, t.

Если первое событие имеет координаты х1, у1, z1, t1, другое с

координатами х2, у2, z2, t2, то величину

S c t t x x y y z z122

2 1 2 12

2 12

2 12( ) ( ) ( ) ( ) (5.6)

называют интервалом между событиями.

Рис. 5.3

Если обозначить

212

212

21212 )z(z)y(y)x(xл и t12 = t2 – t1,

то интервал

.212л)(tcS 2

122

12 (5.7)

Найдем величину интервала между двумя событиями в любой ИСО.

Для этого будем считать, что в ИСО для системы К

S2 = c

2t2 – x

2 - у

2 – z

2,

где t = t2 – t1, x = x2 – x1, у = у2 – у1, z = z2 – z1.

Интервал между событиями в движущейся ИСО К*

( S*)

2 = c

2( t

*)

2 – ( x

*)

2 – ( у

*)

2 – ( z

*)

2.

Согласно преобразованиям Лоренца, имеем для ИСО К*

2

*

(v/c)1

vДДДxДx ; у

* = у; z

* = z;

2

2*

(v/c)1

vДДx/ДtДt .

С учетом этого

( S*)

2 = c

2t2 – x

2 – у

2 – z

2 = S

2 = inv. (5.8)

Следовательно, интервал между двумя событиями является

инвариантом к переходу от одной ИСО к другой.

5.7. Релятивистский закон сложения скоростей

Используя преобразования Лоренца, имеем

dxdx vdt

v cdt

dt vdx c

v c

* * * *

( / );

/

( / );

1 12

2

2

Найдем скорость материальной точки (тела) в ИСО К

udx

dt

dx vdt

dt vdx c

* *

* * / 2

или udx dt v

vdx c dt

u v

vu c

* *

* *

*

*

/

/ ( ) /.

1 12 2 (5.9)

Следовательно,

uu v

vu c

*

/,

1 2 (5.10)

где u – скорость м. т. (тела) в ИСО К; u* – скорость м. т. (тела) в К

*; v –

относительная скорость движения ИСО К и К*.

При u* = c по формуле (5.9) для u имеем u

c v

v cc

1 /, т. е. тело не

может двигаться со скоростью больше скорости света в вакууме.

5.8. Импульс в СТО

Рассмотрим абсолютно упругий удар двух частиц с массами m1 и m2 в

ИСО К и К*.

Согласно закону сохранения импульса, для системы К

mdr

dtm

dr

dtm

dr

dtm

dr

dt1

10

102

20

201

1

12

2

2

, (5.11)

где dr dr dt dt10 20 10 20, , , – соответственно перемещения и время

движения частиц до удара; dr dr dt dt1 2 1 2, , , – соответственно

перемещения и время движения частиц после удара.

Уравнение (5.11) запишем в проекциях на оси координат Х, У, Z:

mdx

dtm

dx

dtm

dx

dtm

dx

dt

mdy

dtm

dy

dtm

dy

dtm

dy

dt

mdz

dtm

dz

dtm

dz

dtm

dz

dt

110

102

20

201

1

12

2

2

110

102

20

201

1

12

2

2

110

102

20

201

1

12

2

2

;

;

.

(5.12)

Для рассмотрения этого явления в ИСО системы К*, движущейся

относительно системы К равномерно и прямолинейно со скоростью v = const,

учтем, что

dt dt dt dt dt dt dt dt10 10 20 20 1 1 2 2* * * *; ; ; .

Отрезки же длин

dr10; dr20; dr1; dr2

сократятся в направлении оси 0Х в соответствии с формулой (6.5), но

останутся неизменными в направлении осей У и Z, так как у* = у, z

* = z.

В связи с этим

dx dx v c dy dy dz dzi i i i i i* * *( / ) ; ; .1 2

С учетом этого для ИСО К* получим, что

mdx

dtm

dx

dtm

dx

dtm

dx

dt

mdy

dtm

dy

dtm

dy

dtm

dy

dt

mdz

dtm

dz

dtm

dz

dtm

dz

dt

110

102

20

201

1

12

2

2

110

102

20

201

1

12

2

2

110

102

20

201

1

12

2

2

* * * *

* * * *

* * * *

;

; (5.13)

или в векторном виде

mdr

dtm

dr

dtm

dr

dtm

dr

dt1

10

102

20

201

1

12

2

2

* * * *. (5.14)

Анализ выражений (5.11) и (5.14) показывает, что представление

импульса в виде

p mdr

dt

обеспечивает инвариантность закона сохранения импульса по отношению к

преобразованиям Лоренца, где dr – перемещение частицы (м. т.) в той ИСО,

в которой определяется импульс ее p ; dt – время, определяемое по часам,

движущихся вместе с частицей (собственное время).

Так как,

d t d t v c* ( / ) ,1 2

то

2* )c/v(1dt

drmp , (5.15)

где dr

dtv

*.

Следовательно, релятивистский импульс частицы

2)c/v(1

vmp . (5.16)

5.9. Релятивистская энергия

Сила, действующая на тело (частицу), совершает работу

A F dr( ).

С другой стороны работа совершается за счет изменения энергии

А = W,

где W – полная энергия.

Следовательно, W F dr( ).

Известно, что Fdp

dt,

а релятивистский импульс p m v , тогда Fd m v

dt

( ).

С учетом этого энергия dW d m vdr

dt( ) .

Так как vdr

dt,

то энергия

dW v d m v( ) .

После интегрирования

W vd m v mv d m v dv( ) .2

В связи с тем, что

1

1 2( / );

v c

dc

v dv3

2; v

c22 2

2

1( )

имеем

v dvc d2

3.

Следовательно,

W mc d

mc d( )2 2

3

2

3

1

или

W mc dmd md

mc d mc2

2 2

2 2 . (5.17)

Это и есть полная энергия релятивисткой частицы.

Если тело покоится в ИСО, то v = 0, = 1,

тогда

W0 = mc2 – (5.18)

энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия частицы равна разности полной ее энергии и

энергии покоя:

Wk = W – W0 = mc2 – mc

2 (5.19)

или

Wk = mc2( – 1),

т. е.

W mcv c

k2

2

1

11(

( / )) .

Окончательно

W mcv c

v ck

22

2

1 1

1

( ( / ) )

( / ). (5.20)

Из формулы (6.20) после преобразований, имеем

Wmc v c v c

v c v ck

2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1 1

( ( / ) )( ( / )

( / ) ( ( / ) )

или

Wmc v c

v c v ck

2 2 2

2 2 2

1 1

1 1

[ ( / )]

( / ) ( / ).

Следовательно, при v << c из последней формулы получаем, что

Wmv

k

2

2, (6.21)

т. е. релятивистская формула кинетической энергии переходит в

классическую.

5.10. Связь массы, импульса и энергии

релятивистской частицы

Согласно классической физике, кинетическая энергия частицы

Wmv

k

2

2,

а ее импульс

p = mv.

Тогда 2m

pW

2

k .

В релятивистском случае, согласно СТО, полная энергия частицы

W = mc2.

Энергия покоя W0 = mc2.

Поэтому W = W0,

где

1

1 2( / )v c

.

После подстановки

2

0

(v/c)1

1WW .

Левую и правую части равенства (6.22) возведем в квадрат

WW

v c

2 02

2 21 /

или

202

222 W

c

vWW .

Так как W2 = W0

2 2 и Р = mv, то

2242222242

2

22202

02

2220

2 сpcmиvcmcmc

vиWW

c

vWWW

Следовательно,

2242 cpcmW

или

W2/c

2 p

2 = m

2c

2. (5.22)

Вывод: Из формулы (5.23) следует, что выполняется закон сохранения

массы, так как энергия и импульс сохраняются.

Все физические законы механики должны быть инвариантными

относительно преобразований Лоренца.

Например, интервал в СТО является инвариантом относительно

преобразований Лоренца или инвариант четырехмерного вектора энергии –

импульса частицы,

т. е. inv = p2c

2 – W

2.

В релятивистской механике импульс и энергия частицы являются

компонентами одного векторного поля, т. е. четырехмерного вектора

,сmрсН 222 где

2с

vWР

– четырехмерный вектор импульса-энергии.

Символ H – представляет собой энергию системы, выраженную через

координаты и импульсы, называют функцией Гамильтона.

Если рассматривается система из n не взаимодействующих частиц

является замкнутой, то сумма четырех-векторов энергии-импульса всех

частиц системы сохраняется. т. е.

,constpn

1ii (5.23)

где = 0, 1, 2, 3.

Формула (5.23) выражает закон сохранения четырехмерного вектора

энергии-импульса.

5.11. Релятивистская сила

Для релятивистского импульса и релятивистской энергии имеем

соответственно 2иmcW;vиmp , т. е.

2mc

Wи . Тогда v

c

Wp

2.

Используя связь силы с импульсом в виде, )vc

W(

dt

d

dt

dpF

2.

Найдем вторую производную FdW

dt

v

c

W

c

dv

dt2 2.

Так как, mиc

W2

и vFNdt

dW– мощность.

Следовательно, F mdv

dtm a

или m a Fv

cF v

12

[ ( )]. (5.24)

Формула (5.24) выражает закон силы в СТО.

Из анализа формулы (5.24) следует ряд выводов.

1. Постоянная по величине сила сообщает телу (частице) различное

ускорение в зависимости от скорости движения тела.

2. С увеличением скорости ускорение, сообщаемое телу действующей

силой, уменьшается и стремится к нулю при v c.

3. Ускорение, сообщаемое телу силой, зависит от того, под каким

углом к скорости действует эта сила.

4. В общем случае вектор скорости направлен под углом к вектору силы.

5. Сила, действующая на тело вдоль направления движения ( vF II ),

сообщает ему ускорение 3

IIII

и

1

m

Fa . (5.25)

6. Сила, действующая перпендикулярно вектору скорости ( vF ),

сообщает телу ускорение

и

1

m

Fa . (5.26)

7. При скорости движения тела v<<c формула (5.24) переходит в классическую формулу: F = ma – второй закон Ньютона.

5.12. Термодинамика

и специальная теория относительности Используя закон релятивистской связи массы, импульса и энергии,

можно получить первое начало термодинамики. Действительно, зная, что

W m c p c2 2 4 2 2

или

W W p c20

2 2 2 , (5.27)

после дифференцирования имеем

2WdW = 2W0dW0 + 2pc2dp.

После деления последнего равенства на 2W и учитывая, что

W0/W = 1/ , получим

dW = dW0/ + pc2dp/W.

Поскольку W = mc2

и

p = mv, то

dW = dW0/ + vdp, (5.28)

где vdp = drdp/dt или drdp/dt = Fdr = dA.

Следовательно, формула (5.28) принимает вид

dW = dW0/ + dA, (5.29)

где dW – сообщенная системе энергия.

При =1

dW0 = dU – внутренняя энергия системы

Тогда dW – энергия, подведенная к системе в виде теплоты dQ. Таким образом, имеем dQ = dU + dA, (5.30)

т. е. энергия, подведенная к системе в виде теплоты, расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил, что и составляет физическую сущность первого начала термодинамики.

Лекция 6

6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

6.1. Момент инерции материальной точки

Момент инерции м. т. и тел является скалярной величиной и широко

применяется не только в физике, но и ряде других дисциплин: теоретическая,

прикладная механика и т. д.

Моментом инерции м. т. относительно полюса называют скалярную

величину, равную произведению массы этой точки на квадрат расстояния

до полюса.

Момент инерции м. т. можно найти по формуле

I0 = m R2, (6.1)

где m – масса м. т.; R – расстояние до полюса 0.

Единицей измерения момента инерции в СИ является килограмм,

умноженный на метр в квадрате (кг м2).

6.2. Момент инерции системы материальных точек

Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., поэтому

момент инерции системы м. т.

2i

R

n

1i

imIтела , (6.2)

где mi – масса i-й м. т.; Ri – ее расстояние до полюса 0.

Моментом инерции системы м. т. или тела относительно полюса

(точки) называют алгебраическую сумму произведений масс м. т., из

которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса 0.

При непрерывном распределении массы по объему тела момент

инерции относительно полюса находится по формуле

dmR2

Im

0

0 (6.3)

В случае момента инерции относительно полюса массу dm умножают

на квадрат расстояния до неподвижной точки (полюса), а в случае момента

инерции относительно оси – до неподвижной оси.

В декартовой системе координат сумма моментов инерции тела

относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающих в одной

точке 0, равна удвоенному моменту инерции этого тела относительно этого

же начала:

Ix + Iy+ Iz = 2I0 . (6.4)

6.3. Теорема Штейнера

Для установления связи (рис. 5.1) между моментом инерции тел

относительно двух параллельных осей применяется

теорема Штейнера (Штейнера – Гюйгенса):

I = Ic + md2. (6.5)

Момент инерции тела относительно

произвольной оси равен моменту инерции

относительно оси, параллельной данной,

проходящей через центр масс, плюс произведение

массы тела на квадрат расстояния между осями.

6.4. Момент инерции однородного стержня

Моменты инерции различных тел можно найти по формуле I = mR2,

где – коэффициент пропорциональности, который зависит от формы

тела и его расположения относительно оси вращения.

Найдем момент инерции однородного стержня относительно оси,

проходящей через один из его концов, перпендикулярно продольной

геометрической оси симметрии (рис. 6.2). Пусть ось вращения ВВ проходит

через правый конец стержня (т. Г), тогда I = mL2, где L длина

стержня.

Согласно теореме Штейнера, имеем Im

cIL2

4.

Величину момента инерции Ic относительно

оси, проходящей через центр масс (точка С),

представим как сумму моментов инерции двух

стержней с длинами ДС = СГ = L/2 и массой

каждого, равной m/2 стержня, т. е.

Im L

mL

c 22 2 4

2 2

.

Подставим значения момента инерции I и Ic в формулу теоремы

Штейнера – Гюйгенса и найдем : mLmL mL2

2 2

4 4.

После преобразования получим, что = 1 / 3.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Следовательно, момент инерции стержня относительно оси,

проходящей через центр масс, I mLc

1

12

2 , (6.6)

относительно оси ВВ, I mLc

1

3

2 . (6.7)

6.5. Момент инерции сплошного шара

Сплошной однородный шар можно представить как сумму бесконечно

тонких сферических слоев с массами dm = mdV/V (рис. 6.3). Объем

сферического слоя dV представим в виде: dV = 4 r2dr, где r – радиус

сферического слоя. Объем шара V = 4/3 R3, где R – радиус шара. Если

шар полый, то момент инерции сферического слоя относительно его центра

масс (точка С) Ic = mR2, но

x y z cI I I I2 , где из-

за симметрии Ix = Iy = Iz. Момент инерции

сферического слоя относительно диаметра

dI dm r mr dr

R

2

322

4

3.

Тогда момент инерции шара

Im

Rr dr

mR

RmR

R2 2

5

2

53

4

0

5

3

2 .

однородного состава относительно

оси

Рис. 6.3

6.5.1. Примеры

моментов инерции

некоторых тел

4. Тонкое кольцо радиусом R

и шириной d.

I m R d1

2

1

6

2 2 .

3. Полый цилиндр с

внутренним r и внешним

R радиусами

I m R r1

2

2 2( ) .

2. Тонкое кольцо

радиуса R

I mR2

1. Сплошной

цилиндр радиуса R

I mR1

2

2

5. Тонкий параллелепипед

I m a b1

12

2 2( ).

6.6. Работа, совершаемая телом

при вращательном движении

Если произвольная м. т. вращается по окружности и на нее действует

сила (рис. 6.4), то при повороте на некоторый угол совершается

элементарная работа

А = F ds, где ds = r d .

Тогда А = (r F) d = M d . (6.8)

Полученное выражение остается

справедливым и случае системы м.т. (твердых

тел), совершающих вращательное движение

относительно оси Z при = сonst. В этом случае

момент внутренних сил равен нулю и работа не

совершается. Для нахождения полной работы

необходимо вычислить интеграл:

A Md M

1

2

, (6.9)

где = 2 1.

Если действующая сила является потенциальной, то А = dWp ,

где dWp бесконечно малое изменение потенциальной энергии тела при

повороте на малый угол d , т. е.

dWp = Mzd или Mz = dWp/d .

6.7. Кинетическая энергия тела, совершающего

вращательное движение

Кинетическая энергия м. т. Wk = mv2 / 2 . Тогда для системы м. т.

или тела W m vk i

i

n

i

1

21

2. Используя связь линейной скорости с угловой

в виде vi = ri, получим W m r Iкв

i

i

n

iр 1

2

1

21

2 2 2 . (6.10)

Замечание: При плоском движении тел (например, цилиндр

скатывается по наклонной плоскости, рис. 6.5) полная скорость

v v rc , (6.11)

где С центр инерции.

Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии

поступательного движения его центра масс (центра инерции) и кинетической

энергии вращательного движения тела относительно точки С, т. е.

F

Рис. 6.4

.

(6.12)

Замечание: При скатывании тела (без проскальзывания) на него

действует сила трения покоя sinmgmrI

IF

2c

c (рис. 6.5).

Несмотря на наличие диссипативной силы (сила трения покоя)

можно применять законы сохранения, так как сила трения покоя приложена к

точкам (А) тела, которые лежат на мгновенной

оси вращения. Скорость таких точек равна

нулю. Поэтому сила трения сцепления работы

не совершает и не влияет на величину полной

кинетической энергии.Роль силы трения

сцепления заключается в том, чтобы привести

тело во вращательное движение для

обеспечения чистого качения. При этом работа

силы тяжести приводит к увеличению

кинетической энергии как поступательного, так и вращательного движений.

6.8. Уравнения равновесия и движения твердого тела

Для свободного тела, которое может перемещаться в любом

направлении условием равновесия является равенство нулю векторной

суммы всех сил, приложенных к телу, т. е.

.0Fi

i (6.13)

Если тело находится в состоянии равновесия, то при повороте его на

бесконечно малый угол потенциальная энергия не изменяется.

Следовательно, элементарная работа , равная изменению потенциальной

энергии, равна нулю. Тогда

= 1 + 2 + … + n.

или М1 + М2 + … + Мn .

или = (М1 + М2 + … + Мn) = 0, т. к. 0, то

М1 + М2 + … + Мn = 0. (6.14) Тело, имеющее ось вращения, находится в состоянии равновесия, если

алгебраическая сумма всех моментов сил относительно этой оси равна

нулю.

Любое твердое тело является механической системой с шестью

степенями свободы.

Для описания движения такого тела необходимо написать шесть

независимых скалярных уравнений или два независимых векторных

уравнения, т. е. уравнение движения центра инерции

k k

пост

к

в c cW W Wv Imр

2 2

2 2

Рис. 6.5

Fdtvd

m cтела (6.15)

и уравнение моментов

внешМdt

Ld (6.16)

Замечание: Есть некоторые задачи, ответ которых оказывается

неопределенным. Например: 1. задача о распределении веса абсолютно

твердой балки между тремя опорами, на которых она лежит; 2. задача о

равновесии стола, стоящего на горизонтальной плоскости.

Механические системы, подобные абсолютно твердой балке на трех

опорах или идеально твердый стол с четырьмя ножками, стоящий на

идеальной твердой горизонтальной поверхности, являются статически

неопределенными системами, т. к. балку и стол нельзя в реальных условиях

считать идеально твердыми.

6.9. Свободные оси вращения

Неподвижность осей вращения обеспечивается наличием опор на

концах оси (вала) вращающихся тел подшипников.

Любое тело произвольной формы имеет три взаимно

перпендикулярных оси, проходящих через центр

масс, которые называют свободными осями, или

главными осями инерции.

Для тел правильной геометрической

формы (куб, шар и др.) легко указать эти оси (оси

симметрии, рис. 6.6).Главной особенностью осей

вращения тел является то, что в отсутствие

момента внешних сил относительно центра масс

тело может неограниченно долго вращаться

вокруг свободных осей и, что важно, положение

осей остается неизменным в пространстве с

течением времени. Согласно теории гироскопов,

вращение будет устойчивым относительно главных осей инерции только в

отсутствие внешних сил, причем наиболее устойчивым будет относительно

оси I с максимальным моментом инерции, и минимальным относительно

оси II.

Относительно оси III наблюдается промежуточное состояние.

Это наглядно можно демонстрировать на ряде опытов, например,

вращение стержня (рис. 6.7).

Рис. 6.6

При этом имеется в виду, что

геометрические оси и оси вращения

совпадают.

Для быстро вращающихся тел (роторы

центрифуг, турбин и т. д.) эти оси совместить

невозможно, поэтому используют насадки на

гибкий вал.

Тогда при вращении физическая и

геометрическая оси будут сближаться, т. е.

система автоматически центрируется.

Например, центровка катушек

акустических систем динамиков,

громкоговорителей (зазор между магнитной

системой заполняется магнитной жидкостью

дисперсный порошок магнетита).

При включении напряжения катушка

диффузора автоматически центрируется, что

приводит к повышению качества звучания.

6.10. Гироскоп

При вращении твердого тела с закрепленной точкой опоры различают

три оси вращения: 1 мгновенная ось, 2 ось вращения тела, 3 ось

направления момента импульса.

Это положение широко применяется для массивных тел, вращающихся

с большой угловой скоростью.

К таким телам относятся гироскопы.

Гироскопом называют массивное тело, вращающееся с большой

угловой скоростью вокруг одной из главных осей инерции.

Гироскоп имеет ось симметрии, которая может совпадать с одной из

свободных осей инерции, обычно это главная ось инерции, которой

соответствует максимальный момент инерции.

Такую ось называют осью гироскопа.

Если при вращении гироскопа ось вращения не изменяет своего

положения в пространстве, тогда вектор мгновенной угловой скорости лежит

на этой оси (рис. 6.8).

Вектор момента импульса гироскопа

IL также направлен вдоль этой оси.

Если по каким-то причинам ось момента импульса меняет свое

направление в пространстве, то изменяет свое положение мгновенная ось и

ось гироскопа, т. е. если изменяется положение одной из осей гироскопа, то

это влияет на положение других.

Если ось вращения гироскопа проходит через центр масс, тогда его

Рис. 6.7

вращение будет свободным, так как момент силы тяжести равен нулю при

малых силах трения в подшипниках.

В технике для этих целей используют карданов подвес.

Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса гироскопа

остается постоянным.

При неподвижном гироскопе его ось может быть направлена

произвольно.

Но если он приведен во вращение, тогда ось будет сохранять

направление в пространстве.

Картина резко изменяется,

если на гироскоп начнет

действовать внешняя сила (рис.

6.8).

При этом возникает

дополнительный момент импульса

dL по направлению, совпадающий

с вектором момента внешних сил.

После сложения получим

результирующий вектор

L L d Lе зр , (6.17)

в направлении которого

повернется на угол d ось

гироскопа и ось момента импульса.

Движение оси, вдоль которой направлен момент импульса гироскопа

под действием внешних сил, называют прецессией.

При этом в движении задействованы все три главные оси вращения

гироскопа:

а) вдоль оси Х направлен вектор момента импульса гироскопа;

б) вдоль оси У направлен вектор момента силы тяжести; в) относительно оси

Z происходит вращение гироскопа.

Найдем угловую скорость прецессии (рис. 6.9).

Приращение модуля вектора момента импульса

dL = (L sin ) d .

Рис. 6.8

По определению мгновенной скорости, имеем

пр =d

dt.

Учитывая, что

d = dL

Lsin,

получаем

пр =dL

L dtsin.

Из динамики вращательного движения

известно, что dL

dt = M, где М = r mg sin ;

(r = АС); [sin( ) = sin , рис. 6.9].

Следовательно, угловая скорость прецессии

пр =mgr

L ( g

L

mrпр ). (6.18)

Угловая скорость прецессии прямо пропорциональна модулю момента

силы тяжести и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа, и

не зависит от угла наклона оси вращения гироскопа.

Конец вектора момента импульса L описывает при прецессии

окружность радиуса R, лежащую в горизонтальной плоскости (рис. 6.9).

Вектор момента силы тяжести M и вектор наведенного момента импульса

d L , поворачиваясь одновременно при вращении гироскопа, остаются

перпендикулярными вектору момента импульса L . Кроме того, векторы L ,

M и пр

взаимно перпендикулярны, тогда

LM пр .

При вращении гироскопа на его опоры через ось оказывают давление

гироскопические силы. Момент гироскопических сил равен по величине и

направлению моменту приложенных к гироскопу всех внешних сил.

Например, большие гироскопические силы возникают у

винтомоторных самолетов, роторов турбин, вертолетов и т. п. Для

устойчивого полета в автоматическом режиме ракет, снарядов, космических

кораблей и т. д. устанавливают автопилоты, основными элементами их

являются гироскоп и гирокомпас. Явление прецессии широко

распространено в природе и технике.

Рис. 6.9

Лекция 7

7. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

7.1. Упругие и пластические деформации

Под действием приложенных сил тела изменяют свою форму и объем,

т. е. деформируются.

Для твердых тел различают деформации: упругие и пластические.

Упругими называют деформации, которые исчезают после

прекращения действия сил, а тела восстанавливают свою форму и объем.

Пластическими называют деформации, которые сохраняются после

прекращения действия сил, а тела не восстанавливают свою

первоначальную форму и объем.

Пластическая деформация возникает при холодной обработке

металлов: штамповке, ковке и т. д.

Деформация будет упругой или пластической зависит не только от

свойств материала тела, но и от величины приложенных сил.

Тела, которые под действием любых сил испытывают только упругие

деформации, называют идеально упругими.

Для таких тел существует однозначная зависимость между

действующими силами и вызываемыми ими упругими деформациями.

Мы ограничимся упругими деформациями, которые подчиняются

закону Гука.

Все твердые тела можно разделить на изотропные и анизотропные.

Изотропными называют тела, физические свойства которых по всем

направлениям одинаковы.

Анизотропными называют тела, физические свойства которых

различны по разным направлениям.

Приведенные определения являются относительными, так как

реальные тела могут вести себя как изотропные по отношению к одним

свойствам и как анизотропные – к другим.

Например, кристаллы кубической системы ведут себя как изотропные,

если в них распространяется свет, но они анизотропны, если рассматривать

их упругие свойства.

В дальнейшем ограничимся исследованием изотропных тел.

Наиболее широкое распространение в природе имеют металлы с

поликристаллической структурой.

Такие металлы состоят из множества мельчайших произвольно

ориентированных кристаллов.

В результате пластической деформации хаотичность в ориентации

кристаллов может нарушиться.

После прекращения действия сил, вещество будет анизотропным, что

наблюдается, например, при вытягивании и кручении проволоки.

Силу, отнесенную к единице площади поверхности, на которую они

действуют, называют механическим напряжением n.

Если напряжение не превосходит предела упругости, то деформация

будет упругой.

Предельные напряжения, приложенные к телу, после действия, которых

оно еще сохраняет свои упругие свойства, называют пределом упругости.

Различают напряжения сжатия, растяжения, изгиба, кручения и т. д.

Если под действием сил, приложенных к телу (стержню), оно

растягивается, то возникающие напряжения называют натяжением

TF

S. (7.1)

Если стержень сжать, то возникающие напряжения называют давлением:

PF

S. (7.2)

Следовательно,

Т = Р. (7.3)

Если 0 – длина недеформированного стержня, то после приложения

силы он получает удлинение .

Тогда длина стержня

0 . (7.4)

Отношение к 0 , называют относительным удлинением, т. е.

0л

Дле . (7.5)

На основании опытов, Гуком установлен закон: в пределах упругости

напряжение (давление) пропорционально относительному удлинению

(сжатию), т. е.

0

ДEP (7.6)

или

0

ДТP , (7.7)

где Е – модуль Юнга.

Соотношения (7.6) и (7.7) справедливы для любого твердого тела, но до

определенного предела.

До точки А (предел упругости) после

прекращения действия силы длина стержня

возвращается к первоначальной (область

упругой деформации).

За пределами упругости деформация

становится частично или полностью

необратимой (пластические деформации). Для

большинства твердых тел линейность

сохраняется почти до предела упругости. Если

тело продолжать растягивать, то оно

разрушится.

Максимальную силу, которую нужно приложить к телу, не разрушая

его, называют пределом прочности (т. Б, рис. 7.1).

Рассмотрим произвольную сплошную среду. Пусть она разделена на

части 1 и 2 вдоль поверхности А–а–Б–б (рис. 7.2).

Если тело деформировано, тогда его части взаимодействуют между

собой по поверхности раздела, вдоль которой они граничат.

Для определения возникающих напряжений кроме сил, действующих в

сечении А–а–Б–б, нужно знать, как эти силы распределены по сечению.

Обозначим через dF силу, с которой тело 2

действует на тело 1 на бесконечно малой площадке

dS. Тогда напряжение в соответствующей точке на

границе сечения тела 1

ndF

dSn , (7.8)

где n – единичный вектор нормали к площадке dS.

Напряжение -n в той же точке на границе

сечения тела 2, такое же по величине, по

противоположное по направлению, т. е.

n n . (7.9)

Для определения механического

напряжения в среде, на противоположно

ориентированной площадке, в какой-либо ее

точке, достаточно задать напряжения на трех

взаимно перпендикулярных площадках: Sx, Sy,

S–, проходящих через эту точку, например, точка

0 (рис. 7.3).

Это положение справедливо для покоящейся среды или движущейся с

произвольным ускорением.

В этом случае

Рис. 7.1

На рис. 7.1

приведен график

зависимости удлинения

от величины

приложенной силы.

Рис. 7.2

Рис. 7.3

n x x y y z zn n n , (7.10)

где nS

Sn

S

Sn

S

Sx

xy

yz

z, , ; (8.11)

S – площадь грани АВС; n – внешняя нормаль к ней.

Следовательно, напряжение в каждой точке упруго деформированного

тела можно характеризовать тремя векторами x y z, , , или девятью их

проекциями на оси координат Х, У, Z:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

, , ,

, , ,

, , ,

(7.12)

которые называют тензором упругих напряжений.

7.2. Общие свойства газов и жидкостей

Согласно классической механике газы и жидкости характеризуются как

сплошные среды, в которых при равновесии касательные напряжения не

возникают, так как они не обладают упругостью формы (кроме жидких

пленок и поверхностных слоев жидкости). Касательные напряжения могут

только вызвать изменение формы элементарных объемов тела, а не величины

самих объемов. Для таких деформаций в жидкостях и газах усилий не

требуется, так как в них, при равновесии, касательные напряжения не

возникают.

Газы и жидкости обладают только объемной упругостью. В состоянии

равновесия напряжения в них всегда нормальны к площадке, на которую они

действуют, т. е.

n P n . (7.13)

Соответственно напряжение на площадках к координатным осям

x x y y z zP i P j P k, , ,

где i j k, , – координатные орты.

После подстановки последнего выражения в (7.10), получим

P n P n i P n j P n kx x y y z z . (7.14)

Скалярно умножив правую, и левую части выражения (7.14) на

i j k, , найдем, что

Р = Рх = Ру = Рz. (7.15)

Таким образом, получили закон Паскаля: в состоянии равновесия

величина нормального напряжения (давления) в газах или жидкостях не

зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

В случае газов нормальное напряжение всегда направлено внутрь газа,

т. е. является давлением.

Как исключение, в жидкостях могут реализоваться натяжения

(отрицательное давление), т. е. жидкость оказывает сопротивление на

разрыв.

Так как обычные жидкости неоднородны, то в них напряжения также

имеют характер давления. При переходе давления в натяжение происходит

нарушение однородности сплошной среды. С этим положением связано то

обстоятельство, что, газы обладают неограниченным расширением, т. е.

полностью занимают весь объем сосуда, в котором они заключены, а

жидкости характеризуются собственным объемом в сосуде.

Давление, существующее в жидкости, вызвано ее сжатием. Поэтому

упругие свойства жидкостей, по отношению к малым деформациям

(касательные напряжения не возникают), характеризуются коэффициентом

сжимаемости

1

V

dV

dP (7.16)

или модулем всестороннего сжатия

K VdP

dV. (7.17)

Формула (7.16) справедлива и для газов. Температура жидкости при

сжатии остается постоянной. Малую сжимаемость жидкости можно

проверить на ряде опытов. Например, при выстреле из винтовки в сосуд с

водой, он разрывается на мельчайшие осколки. Это происходит потому, что

при попадании пули в воду она должна либо сжать ее на величину своего

объема, либо вытеснить наверх. Но для вытеснения недостаточно времени.

Поэтому происходит мгновенное сжатие – в жидкости возникает большое

давление, которое и разрывает стенки сосуда. Аналогичные явления

наблюдаются при взрывах глубинных бомб. Вследствие малой сжимаемости

воды, в ней развиваются громадные давления, приводящие к разрушению

подводных лодок.

Замечание: согласно теории «Великого Объединения» после горячего

сингулярного состояния (10–20 млрд. лет назад), в первые мгновения

возникновения Вселенной, за период 1034

–1032

с от начала расширения,

решающую роль сыграла гравитация вакуума.

Свойства вакуума таковы, что вместе с плотностью энергии должны

появиться и натяжения (как в упругом теле). Согласно теории, при

температуре 1027

К и выше, существовало скалярное поле, которое обладало

свойствами физического вакуума У такого поля имелось огромное

отрицательное давление (натяжение), равное плотности энергии всего поля.

Такое поле называют «ложным вакуумом», его плотность 1074

г/cм3 = сonst.

В момент времени менее 10–34

с плотность расширяющейся реальной

Вселенной была больше и гравитационные свойства «ложного вакуума» не

проявлялись. При t =1034

c эти плотности стали равными. В этот момент и

проявились свойства «ложного вакуума», вызвавшие стремительное

расширение Вселенной при постоянной плотности «ложного вакуума». За

период

10–34

–10–32

с размеры Вселенной увеличились в 1050

раз.

Но состояние раздувающейся Вселенной неустойчиво. Температура и

плотность обычной материи резко уменьшаются при таком темпе

расширения. В это время происходит фазовый переход из состояния

«ложного вакуума» с огромной плотностью в состояние, когда вся плотность

массы (и энергии) переходит в плотность массы обычной материи. Это снова,

привело к разогреванию вещества Вселенной до температуры 1027

К. Такой

процесс сопровождался флуктуациями плотности первичного вещества

Вселенной в силу квантовой природы материи. В веществе материи

возникают звуковые волны. После дальнейшей эволюции вещества материи

происходит возникновение протогалактик и других космических объектов. В

настоящее время размер наблюдаемой области Метагалактики составляет

1010

световых лет, а полный размер ее 1033

световых лет.

7.3. Кинематика движущейся жидкости

При движении жидкости можно проследить, что происходит с

течением времени в каждой ее точке, т. е. можно указать величину и

направление скорости движения различных частиц жидкости, которые в

разные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства.

При фиксированном времени в пространстве возникает мгновенная картина

распределения скоростей жидкости – поле скоростей.

Следовательно, в каждой точке пространства можно указать вектор

скорости любой частицы, проходящей через эту точку в данный момент

времени.

Линию, касательная к которой указывает направление скорости

движения частицы, проходящей в рассматриваемый момент времени через

эту точку касания, называют линией тока.

Если поле скоростей и

соответствующие ему линии тока, не

изменяются с течением времени, то

движение жидкости называют

стационарным.

Рассмотрим произвольный замкнутый

контур L, в котором через каждую его точку, в

один и тот же момент времени, проведены

линии тока (рис. 7.4).

Они образуют поверхность,

называемую трубкой тока.

Скорости частиц жидкости направлены

по касательным к линиям тока.

При течении жидкости они не пересекают боковой поверхности трубки

тока.

На такие трубки тока можно разбить все пространство, занимаемое

жидкостью.

Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то скорость

частиц жидкости будет направлена вдоль оси трубки тока.

Массу жидкости, протекающую через поперечное сечение трубки тока

за время dt, можно определить по формуле

dm = S(vdt), (7.18)

где – плотность жидкости; S – площадь поперечного сечения трубки тока,

нормально расположенной к линиям тока.

Для сечений трубки тока при стационарном течении жидкости

dm = сonst.

Для двух произвольных поперечных сечений трубки тока S1 и S2 (рис.

7.4) выполняется равенство

1v1S1 = 2v2S2 (7.19)

Если жидкость несжимаема, то

1 = 2,

тогда формула (7.19) принимает вид

v1S1 = v2S2, (7.20)

т. е. скорость течения жидкости обратно пропорциональна площади

поперечного сечения трубки тока.

7.4. Стационарное движение идеальной жидкости

Рис. 7.4

Вследствие малой сжимаемости жидкости во многих случаях можно

полностью пренебречь изменением ее объема, т. е. можно говорить об

абсолютно несжимаемой жидкости.

Жидкость, в которой при любых движениях не

возникают силы внутреннего трения, называют

идеальной.

В идеальной жидкости могут существовать

только силы нормального давления, которые можно

вычислить с помощью уравнения состояния

Р = f( , T). (7.21)

Если жидкость находится в движении, то

наряду с нормальным напряжением в ней могут возникнуть и касательные

силы, которые определяются скоростью деформации жидкости, т. е. равны

производным деформации по времени. Поэтому их относят к разряду сил

трения, или вязкости.

Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости в

потенциальном поле сил (например, поле силы тяжести).

Работа, совершаемая силами давления при перемещении некоторой

массы жидкости

A A A mP P

1 21

1

2

2

, (7.22)

где А1 – работа по перемещению левой границы АБ объема жидкости; А2 –

работа по перемещению правой границы ВГ объема жидкости против

давления Р2 (рис. 7.5); m – масса жидкости; 1 и 2 – плотности жидкости

слева и справа в рассматриваемом объеме, соответственно.

Эта работа равна приращению полной энергии W, рассматриваемого

объема жидкости (закон сохранения энергии

для стационарного движения жидкости).

Изменение полной энергии

W = (w2 – w1) m, (7.23)

где w1, w2 – полные энергии, приходящиеся

на единицу массы жидкости до и после

перемещения соответственно. Используя

формулы (7.22) и (7.23),получаем

wP

wP

const11

12

2

2

. (7.24)

Следовательно, при стационарном течении идеальной жидкости вдоль

одной и той же линии тока, величина wP

остается постоянной.

Полученную формулу (7.24) называют уравнением Д. Бернулли,

Рис. 7.5

Рис. 7.6

которое справедливо и для сжимаемой жидкости.

Если жидкость несжимаема, то при ее течении не изменяется та часть

полной энергии w, которая зависит от степени сжатия жидкости.

Вся полная энергия w состоит из кинетической энергии wv

k

2

2 и

потенциальной энергии в поле силы тяжести wр= gh. Поэтому уравнение

Бернулли принимает вид

v

ghP

const

2

2. (7.25)

Если тонкая трубка тока имеет переменное сечение (ее ось –

горизонтальна), то h = сonst и уравнение (7.25) принимает более простой

вид:

v P

const2

2. (7.26)

Вывод: Давление в сечении трубки тем больше, чем меньше скорость

течения жидкости. Согласно (7.26), скорость минимальна там, где

максимально сечение трубки. Следовательно, в широких частях трубки

давление максимально, а в узких – минимально.

На основании уравнений (7.26) и (7.24) можно сказать, когда при

течении жидкости или газа они являются несжимаемыми.

Если рассматривать истечение идеальной несжимаемой жидкости через

малое отверстие в боковой стенке или на дне сосуда, то частицы жидкости

подходят к отверстию, имея скорость в поперечных направлениях. Из-за

инерции это вызывает сжатие вытекающей струи (рис. 7.6).

Чтобы этого не наблюдалось, у отверстия закругляют края. Поэтому

линии тока перед истечением постепенно изменяют направление на

параллельные оси трубки, и сжатие струи не происходит (за исключением

небольшого сжатия, вызванного силами поверхностного натяжения).

Применив уравнение Д. Бернулли к точкам А и Б произвольной линии тока

(рис. 7.6), получим равенство

,ghPP

2

v 00

2

(7.27)

где v – скорость жидкости в точке Б ( в точке А

скорость пренебрежимо мала); Р0 – атмосферное

давление; h – высота столба жидкости.

Из (7.27) имеем

v2 = 2gh.

(7.28)

Равенство (7.28) называется формулой Торричелли.

Для измерения скорости потока жидкости

(газа) используют трубку Вентури (рис. 7.7).

7.5. Уравнения равновесия и движения жидкости

Все силы, действующие в любой сплошной среде, разделяют на силы

массовые (объемные) и поверхностные. Массовая сила прямо

пропорциональна массе dm (или объему dV) элемента жидкости, на который

она действует. Обозначим массовую силу через fdV, где f – называют

объемной плотностью массовых сил. К массовым силам относят силы

тяжести и силы инерции (в неинерциальных системах отсчета). В случае

силы тяжести объемная плотность массовых сил

f = g,

где – плотность жидкости; g – ускорение

свободного падения.

Поверхностными называют силы,

действию которых подвергается каждый объем

жидкости, из-за касательных и нормальных

напряжений к его поверхности со стороны

окружающих частей жидкости. Если жидкость идеальная (или реальная

вязкая жидкость покоится), то в ней действуют только силы нормального давления (при любом движении идеальной жидкости). Найдем проекцию результирующей сил давления на ось X, действующих на бесконечно малый объем dV (рис. 7.8).

Сила давления, действующая на левое основание равна произведению Р(х)dS, на правое – Р(х + dx)dS. Тогда проекция сил давления на ось Х, т. е.

[P(x) – P(x + dx)]dS

или

P

xdSdx

P

xdV .

Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны к оси Х. Поэтому проекции этих сил на ось Х равны нулю.

На единицу объема жидкости действует сила fS , вызванная

поверхностными силами давления, т. е.

Рис. 7.7

Рис. 7.8

fP

xi

P

yj

P

zkS , (7.29)

где

fP

xf

P

yf

P

zSx Sy Sz, ,

или

gradPfS . (7.30)

Следовательно, объемная плотность результирующей сил давления, действующая на элементы объема жидкости, равна градиенту скаляра Р,

взятому со знаком « », т. е. эта сила вызвана не величиной давления Р, а его изменениями в пространстве.

Сама величина Р определяет степень сжатия жидкости в

рассматриваемой точке пространства. В состоянии равновесия сила fS

уравновешена массовой силой f , т. е.

gradPfS . (7.31)

Формулу (7.31) называют основным уравнением гидростатики. В координатной форме основное уравнение гидростатики записывается

в виде

z

Pf,

y

Pf,

x

Pf zyx . (7.32)

Для идеальной жидкости основное уравнение гидростатики имеет

следующий вид:

dv

dtf gradP , (7.33)

где dv

dt ускорение жидкости в рассматриваемой точке пространства; v –

скорость; – плотность. Формулу (7.33) называют уравнением Эйлера.

Вывод: Из уравнения (7.31) следует, что при равновесии жидкости сила

f (сила, действующая на единицу объема жидкости) выражается градиентом

однозначной скалярной функции.

Это положение является необходимым и достаточным условием того,

чтобы сила f была потенциальной. В не потенциальных силовых полях

равновесие невозможно.

7.6. Гидростатика несжимаемой жидкости

В отсутствии массовых сил (f = 0) уравнение (7.32) принимает вид:

0z

P

y

P

x

P. (7.34)

Следовательно, при равновесии давление по всем направлениям в

объеме жидкости или газа одно и то же.

Если жидкость помещена в силовое поле, например, в поле силы

тяжести Земли, то

f = g.

Если ось Z направлена вертикально вверх, то основное уравнение

равновесия принимает вид

gz

P,0

y

P

x

P, (7.35)

т. е. давление при равновесии не зависит от

координат х и у (Р = сonst в каждой

горизонтальной плоскости z =

сonst – плоскости равного давления).

Поэтому свободная

поверхность жидкости является

горизонтальной.

Следовательно, при равновесии,

давление зависит лишь от координаты z.

Из уравнения

P

zg

следует, что при механическом равновесии произведение g также является

функцией только координаты z.

Согласно уравнению состояния (7.21) температура жидкости

определяется давлением и плотностью.

Вывод: В случае механического равновесия давление, плотность и

температура жидкости являются функциями координаты z и не зависят от

координаты х и координаты у.

Если жидкость однородна по составу, то после интегрирования

уравнения

gz

P

имеем

Р = Р0 – gz, (7.36)

где Р0 – атмосферное давление жидкости на высоте z = 0.

Формула (8.36) позволяет определить давление на дно и стенки сосуда,

в том числе и на поверхность, погруженного в жидкость (газ) любого тела.

7.7. Закон Архимеда

Выделим в жидкости произвольный объем, ограниченный некоторой

замкнутой поверхностью S (рис. 7.9). При равновесии жидкости обращается

в нуль равнодействующая сила и момент всех внешних сил, действующих на

Рис. 7.9

рассматриваемый объем жидкости.

Равнодействующая сил

гидростатического давления, действующая на

поверхность S, равна весу жидкости G в

объеме, ограниченном поверхностью S,

направлена вертикально вверх и проходит

через центр масс этого объема жидкости.

Сила G и сила давления на поверхность

S, со стороны окружающей жидкости,

являются внешними силами. Если удалить из

выделенного объема всю жидкость и на ее

место поместить любое твердое тело такого же объема, то при равновесии в

состоянии окружающей жидкости никаких изменений не произойдет. Не

изменится и давление на поверхность S тела.

Давление, на погруженное в жидкость тело увеличивается с глубиной

погружения по закону Р = gh. Архимед установил закон

На тело, погруженное в жидкость или газ, при равновесии действует

выталкивающая сила (сила Архимеда), численно равная весу жидкости

(газа), вытесненной телом, направленная вертикально вверх.

Fa= gV, (7.37)

где – плотность жидкости (газа); g – ускорение свободного падения; V –

объем вытесненной телом жидкости (газа).

Для равновесия тел необходимо, чтобы вес вытесненной жидкости

(газа) и сила Архимеда были направлены вдоль прямой, проходящей через

центр масс жидкости, вытесненной телом, называемый центром плавучести

тела (точка А, рис. 7.9). Положение центра плавучести тела определяет

равновесие и устойчивость плавающего тела. Центр плавучести (точка А)

лежит на одной вертикали с центром масс тела (точка С), помещенного в

жидкость (рис. 7.10, а).

При Fa = G тело плавает внутри жидкости (газа).

При Fa G тело всплывает, а при Fa G – тонет.

Любое тело, плавающее на поверхности жидкости (Fa G), при

смещении его из положения равновесия, изменяет форму вытесненного им

объема жидкости, что вызывает изменение положения центра плавучести

относительно плавающего тела.

В этом случае при равновесии центр масс корабля и центр плавучести

лежат на одной прямой, совпадающей с вертикальной осью симметрии

корабля.

Рис. 7.9

При наклоне корабля центр плавучести смещается относительно

корабля в точка А* (рис. 7.10, а, б). Сила Архимеда теперь проходит через

точку А* и линия ее действия пересекает

вертикальную ось симметрии корабля в

точке М, называемую метацентром. Если

метацентр лежит выше центра масс

корабля, то момент пары сил Fa и G будет

возвращать корабль в исходное,

устойчивое положение. В этом случае

равновесие корабля будет устойчивым.

Если метацентр лежит ниже центра

масс корабля, то равновесие его

неустойчиво.На законе Архимеда

основано действие ареометра – прибора

для измерения плотности. Различают

ареометры постоянной массы – для

жидкостей и постоянного объема – для

твердых тел.

7.8. Гидродинамика вязкой жидкости

При движении реальной жидкости (газа), кроме сил нормального давления, между движущими ее слоями действуют касательные силы внутреннего трения (вязкости).

Согласно уравнению Д. Бернулли (7.24) при течении жидкости по горизонтальной, прямой трубе постоянного сечения, в которой отсутствуют силы внутреннего трения, при стационарном режиме, давление жидкости одинаково по всей длине трубы.

При течении вязкой жидкости давление падает в направлении ее течения (рис. 7.11).

Для осуществления стационарного течения жидкости на концах трубы необходимо поддерживать постоянную разность давлений, которая уравновешивается силами внутреннего трения, возникающими при ее течении.

Если жидкость находится во вращающемся сосуде, то постепенно она

также приходит во вращение. Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенке

сосуда (за счет сил внешнего трения), затем вращение передается внутренним слоям (за счет сил внутреннего трения).

Вращение происходит при возникновении касательных сил между

Рис. 7.10

Рис. 7.11

стенкой сосуда и жидкостью и между слоями жидкости, вращающимися с различными угловыми скоростями, пока вся жидкость не начнет вращаться, как твердое тело.

Природа сил внутреннего трения рассмотрена в разделе «Вязкость». Здесь же остановимся только на количественных законах внутреннего трения.

Для равномерного перемещения подвижной пластины со скоростью v необходимо к ней приложить постоянную силу, направленную в сторону течения жидкости.

В этот момент на неподвижную пластину будет действовать равная по

величине, но противоположно направленная сила, чтобы удержать ее в

покое.

Сила внутреннего трения

F Sv

h, (7.48)

где – коэффициент вязкости, зависит от

вещества жидкости и ее температуры, но не

зависит от материала пластины; S – площадь

пластины; h – расстояние между пластинами.

Если обе пластины движутся: верхняя – со скоростью v1, нижняя – со

скоростью v2, то формула (7.48) принимает вид

F Sv v

h

2 1

. (7.49)

При движении жидкости в направлении оси Х со скоростью vx, которая

зависит только от координаты у [т. е. vx = vx(y), vy = vz = 0], действует

касательная сила ух (индекс у указывает направление внешней нормали к

верхней границе слоя, индекс х – направление действия силы) на единицу

площади верхней границы слоя, со стороны вышележащих слоев жидкости.

Следовательно,

у

vхух , (7.50)

где ух = F/S.

Формула (7.50) справедлива для любого вида движения, причем

касательные напряжения действуют не только в направлении течения

жидкости, но и в плоскости, перпендикулярной течению, т. е. ух = ху.

7.9. Формула Пуазейля. Течение жидкости по трубе

При течении вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе

радиуса R линии тока ее параллельны оси трубы.

Выделим произвольную бесконечно узкую трубку тока.

Рис. 7.17

Из условия не сжимаемости жидкости следует, что скорость течения v

будет постоянной вдоль всей трубки тока, но может изменяться по мере удаления от оси трубы, т. е.

v = f(r), где r – расстояние от оси трубы.

Выделим в трубе произвольный бесконечно малый цилиндрический элемент длины dx и радиуса r.

Ось Х совпадает с направлением течения жидкости и направлена вдоль оси трубы (рис. 7.12).

В направлении течения жидкости на боковую поверхность действует касательная сила внутреннего трения

dF rLdv

drdx1 2 , (7.51)

где – коэффициент вязкости; L – длина трубы. На оба основания цилиндра в том же направлении действует сила

разности давлений

dF r P x P x dx rdP

dxdx2

2 2 . (7.52)

В случае стационарного течения жидкости результирующая сумма этих сил равна нулю, т. е.

2 Ldv

drr

dP

dx. (7.53)

Скорость v(r) = сonst и ее производная

dv

drconst .

Следовательно, должна быть постоянной и производная

dР

dхconst,

т. е.

dР

dх

Р Р

Lconst2 1 ,

где Р1, Р2 – давления на входе и выходе трубы, соответственно. Таким образом,

dv

dr

Р Р

Lr1 2

2. (7.54)

После интегрирования выражения (8.54), получим

vР Р

Lr C1 2 2

4.

Рис.7.12

Постоянную интегрирования С определим из условия, что на стенке трубы скорость течения жидкости должна обращаться в нуль при r = R, т. е.

vР Р

LR r1 2 2 2

4. (7.55)

Из формулы (7.55) следует, что скорость течения жидкости будет

максимальной на оси трубы при r = 0:

221мах R

L4

ррv .

При удалении от оси трубы скорость течения изменяется по

параболическому закону (рис. 7.13).

Определим ежесекундный расход жидкости при протекании ее через

поперечное сечение трубы.

Массу жидкости, протекающую за одну секунду (расход жидкости)

через сечение с внутренним r и внешним r + dr радиусами трубы, запишем в

виде:

dQ= 2 rdr v. (7.56)

Подставим значение скорости v из формулы

(7.55) в (7.56).

Тогда полный расход жидкости

QP P

LR r rdr

R1 2 2 2

02

.

После интегрирования получим формулу

Пуазейля:

4R

L8

PPQ 21

. (7.57)

Вывод: расход жидкости прямо пропорционален разности давлений на

входе и выходе трубы, четвертой степени ее радиуса, плотности жидкости;

обратно пропорционален коэффициенту вязкости и длине трубы.

7.10. Закон подобия

Пусть поток жидкости обтекает произвольное тело или систему тел.

Можно ввести бесконечное множество подобных систем и подобно

расположенных тел, обтекаемых потоком другой жидкости.

Найдем условия, при которых оба потока будут механически подобны.

Зная характер течения для одной системы можно предсказать вид

течения жидкости для другой. Это позволяет вместо реальных морских

судов, самолетов, ракет, космических кораблей и т. д., проводить испытание

их уменьшенных моделей. Если поперечные сечения труб подобны, то они различаются только

Рис. 7.13

размерами. Поэтому для каждого сечения можно установить, так называемый характерный размер. Например, для цилиндрических труб эллиптического сечения за характерный размер можно принять длину большой или малой полуосей. Задание характерного размера должно определять и все прочие размеры поперечных сечений.

Рассмотрим поток жидкости, обтекающий какое-либо тело или систему

тел, который характеризуется радиус-вектором r и скоростью жидкости v, в

подобно расположенных точках. Введем характерный размер L и

характерную скорость потока v0.

Свойства самой жидкости характеризуются плотностью, коэффициентом вязкости и сжимаемостью. Вместо сжимаемости удобнее использовать скорость звука u в жидкости.

При наличии силы тяжести жидкость будем характеризовать ускорением свободного падения g. При нестационарном течении жидкости

необходимо ввести характеристическое время , за которое происходит изменение характера течения.

Используя уравнение движения, установим функциональную связь

между следующими величинами: r, v, L, v0, , u, g и в виде шести

независимых безразмерных комбинаций, т. е.

v

v

r

L

Lv Lv

0

0 0, , Re – число Рейнольдса,

где ;

Fv

gL

02

– число Фруда;

Mv

u

0 – число Маха; (7.58)

Sv

L – число Струхаля.

Согласно правилам размерности, одна из этих комбинаций является функцией остальных, например,

v

vf

r

LF M S

0

, Re, , , . (7.59)

Если для двух различных течений пять из шести комбинаций совпадают, то совпадают и шестые.

Это положение является общим законом подобия течений. Кинетическая энергия жидкости

W v Lk ~1

202 3.

Работа сил внутреннего трения

A v L~ 02

.

Тогда

W

A

Lvk ~ Re0 . (7.60)

Вывод: Число Рейнольдса определяет относительную роль инерции и

вязкости при течении жидкости или газа.

При больших Re основную роль выполняет инерция, а при малых –

вязкость.

Для стационарного течения характерное время и число Струхаля S

обращаются в бесконечность.

Число Маха в несжимаемой жидкости обращается в нуль.

Следовательно,

v

vf

r

LF

0

, Re, . (7.61)

Таким образом, течения подобны, если они имеют одинаковые числа

Рейнольдса Re и Фруда F.

При Re 2000 течение является ламинарным,

а при Re 2000 – турбулентным.

Замечание: При испытаниях на моделях применяется та же жидкость, в

которой должна двигаться реальная система, поэтому критерии подобия

Фруда и Рейнольдса (7.58) несовместимы друг с другом.

Действительно, представим эти критерии в виде

L v L v1 1

1

2 2

2

,

v

g L

v

g L

12

1 1

22

2 2

,

где индекс 1 относится к реальной системе, а индекс 2 – к ее уменьшенной

модели. Чтобы добиться одновременного выполнения критерия Рейнольдса и Фруда

необходимо применять жидкости с различными кинематическими вязкостями, что в

большинстве случаев нереально.

Поэтому при испытаниях на моделях может выполняться только один из этих

критериев.

Например, если число Рейнольдса велико, а число Фруда мало (порядка

единицы), то движение жидкости в основном будет определяться инерцией и

силой тяжести.

Так как влияние числа Рейнольдса мало, для подобия течения

необходимо выполнение одного критерия Фруда (подобие будет иметь место

при равенстве чисел Фруда). При малых же числах Рейнольдса и больших числах Фруда главную

роль выполняют инерция и вязкость, влияние силы тяжести незначительно (подобие наблюдается при равенстве чисел Рейнольдса).

7.11. Формула Стокса Рассмотрим движение тела в жидкости (например, при осаждении

мелких частиц – седиментации). На частицу радиуса R при осаждении

действуют три силы: сила тяжести G , сила сопротивления среды Fc и сила

Архимеда Fa (рис. 7.14).

Для описания движения частицы относительно жидкости используется число Рейнольдса

Re ,Rv

, (7.62)

где v – cкорость частицы, R – ее характерный размер. Замечание: Это число Рейнольдса отличается от

числа Рейнольдса в случае течения жидкости, например, в трубе, т. к. относится к различным явлениям.

Если число Рейнольдса много меньше единицы (для малых частиц, порошков и т. д., имеющих

размеры порядка 0,1–0,05 мм и меньше), то обтекающий частицу поток жидкости является ламинарным.

При этом сила сопротивления Fc = bv , где b – коэффициент, зависящий от размеров и формы частицы и от вязкости жидкости.

Для частиц сферической формы радиуса R

b = 6 R . (7.63)

Следовательно, сила сопротивления будет иметь вид (формула Стокса)

Fc = 6 R v. (7.64)

При наличии турбулентности сила сопротивления Fc ~ v2, а число

Рейнольдса заключено в интервале (1–10). Формула (7.64) применяется для расчетов при проведении ряда физических опытов: определение заряда электрона методом Милликена, при изучении броуновского движения и т. п.

7.12. Потенциальное и вихревое движения Согласно классической механике, все движения жидкостей

разделяются на потенциальные и вихревые.

Рис. 7.14

Рассмотрим поле скоростей жидкости v(r) в некоторый фиксированный момент времени. Выделим в жидкости произвольный замкнутый контур L, с указанием направления обхода (рис. 7.15). Введем единичный вектор

касательной

и элемент длины dS

контура L, взятые

в положительном направлении.

Циркуляцией вектора скорости по замкнутому

контуру L называют интеграл

Г v d S

L

(7.65)

или Г v dS

L

. (7.66)

Если циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру

обращается в нуль, то движение жидкости называют потенциальным, если не

равна нулю – вихревым. Определение потенциальности течения жидкости

аналогично определению консервативных сил.

Следовательно, при потенциальном течении линейный интеграл

v d S

АБ

, взятый вдоль незамкнутой кривой, соединяющий точки А и Б,

зависит только от координат этих точек, но не зависит от формы кривой АБ.

По аналогии с потенциальной энергией можно ввести функцию

координат , через которую скорость v определяется формулой

v = grad , (7.67)

где – потенциал скоростей.

Всякое течение идеальной жидкости, возникающее из состояния покоя

под действием консервативных сил, является потенциальным. Примером

потенциального течения является течение жидкости вдоль параллельных

прямых линий с постоянной скоростью. Примером вихревого движения

является плоское течение, в котором жидкость вращается по

концентрическим окружностям с постоянной угловой скоростью

(твердотельное вращение, рис. 7. 16). Циркуляция скорости по окружности

радиуса R в этом случае

Г = 2 R2

. (7.68)

Отношение

Г

S2 (7.69)

не зависит от радиуса R. Если угловая скорость вращения жидкости зависит

от радиуса (дифференциальное вращение, например, галактик: Андромеда,

нашей галактики – «Млечный Путь» и ряда других), то берут предел этого

Рис. 7.15

отношения при R 0, т. е.

limR

Г

R02 2 . (7.70)

Следовательно, этот предел равен удвоенному значению угловой скорости, с которой вращаются частицы жидкости вблизи оси 0, и называется вихрем, или ротором скорости v, т. е.

rot v 2 . (7.71)

Если ротор скорости v известен в каждой точке жидкости, то можно найти циркуляцию скорости по

любому замкнутому контуру, интегрируя значение ротора скорости v в каждой точке, лежащей внутри контура (рис. 7.17). Рассмотрим движение идеальной жидкости. Пусть эта жидкость находится во вращающемся сосуде. Если она вращается вместе с сосудом как твердое тело, то частицы, расположенные на расстоянии R от оси сосуда, будут иметь скорость

v = R. Такое твердотельное распределение скорости легко получить, если жидкость заморозить и привести во вращение с угловой

скоростью , а затем ее разморозить. Используя рис. 7.17, найдем ротор скорости

в некоторой точке. Циркуляция скорости по контуру ABCD

Г = (R1v1 – R2v2) = (R12 – R2

2).

Площадь этого контура

S R RR R

1 21 2

2.

Следовательно,

Г

S2 и rot v 2 .

Теперь рассмотрим течение идеальной жидкости с таким

распределением скоростей, для которого в каждой точке rot v 0 . В этом случае свойство потенциальности сохраняется с течением

времени, что является следствием закона сохранения момента импульса. Однако потенциальность поля скоростей еще не означает отсутствие

вихревого движения. Например, рассмотрим воронку водоворота. При удалении от его центра скорость убывает обратно

пропорционально расстоянию:

r

Av(r)

Рис. 7.16

Рис.7.17

где А – некоторый параметр, характеризующий мощность вихря, а

циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, например, по контуру

ABCD (рис. 7.17) равна нулю.

Следовательно, в каждой точке 0rot v и течение жидкости в

водовороте потенциально, за исключением центра воронки водоворота.

Циркуляция скорости по любому контуру вокруг него не зависит от

выбора контура и равна Г = 2 A, а ротор вектора скорости в этой точке

бесконечно велик.

Оценим энергию W, приходящуюся на единицу длины такого вихря.

Для этого просуммируем кинетическую энергию Wk, т. е.

dW dVv

dvA

rk

2 2

22, (7.72)

где dV – бесконечно малые объемы жидкости, находящиеся на расстоянии r

от оси вихря по всему объему сосуда; – плотность жидкости.

Если характерный размер сосуда 2R, то

a

RлnрсAW 2 . (7.73)

7.13. Разрывные течения. Подъемная сила крыла

Рассмотрим силовые действия потока жидкости или газа на помещенные в них тела. Силу F, действующую со стороны потока на тело,

можно разложить на две составляющие: одну в направлении потока (Fх) и вторую (Fy) – перпендикулярную потоку. Сила F зависит от формы и размеров тел, от ориентации тела относительно потока, относительно скорости потока и свойств жидкости. Силу Fx называют лобовым сопротивлением.

Силу Fy – подъемной силой, которая, например, действует на крылья самолетов или

морских судов на подводных крыльях. Эта сила может быть направлена как вверх, так и вниз, в зависимости от ориентации крыльев относительно направления движения. Лобовое сопротивление слагается из двух сил: силы, возникающей за счет разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела, и вязких сил внутреннего трения.

При больших числах Рейнольдса (большие скорости движения) преобладают силы за счет разности давлений, при малых числах Рейнольдса – силы внутреннего трения. В дальнейшем в основном будем рассматривать стационарное течение идеальной жидкости. Если нет внешних сил, то жидкость течет параллельным потоком. При внесении в жидкость тела нарушается параллельность потока вблизи него (рис. 7.18).

Рис. 7.23

Но на достаточно больших расстояниях от тела поток остается параллельным. По истечении некоторого времени движение жидкости устанавливается.

Если тело в такой жидкости движется равномерно, то при

стационарном течении идеальной жидкости лобовое

сопротивление будет равно нулю (парадокс

Даламбера). Этот вывод относится только к

лобовому сопротивлению, но не подъемной силе и

моменту силы, с которым поток жидкости действует

на тело.

Момент сил, относительно центра масс, равен

нулю, когда тело симметрично и расположено

симметрично относительно потока. Если тело

движется с ускорением, то парадокс Даламбера не возникает. Парадокс Даламбера легко объясняется, если рассмотреть

распределение линий тока. На рис. 7.18 изображены линии тока при стационарном обте-кании шара или цилиндра идеальной жидкостью, они симметричны, а скорости частиц жидкости в соответствующих точках перед, и за телом, равны по величине и отличаются только направлением. В уравнение Д. Бернулли скорость входит в квадрате.

Следовательно, распределение давления в потоке перед телом и за телом одинаково. Давление на переднюю поверхность тела уравновешивается давлением на заднюю поверхность,сила лобового сопротивления равна нулю.

Сила лобового сопротивления всегда направлена по течению, поэтому при обращении течения она должна изменить знак, следовательно, Fх = 0.

К подъемной силе это не применимо, так как нет оснований, утверждать, что при обращении направления потока должна изменить направление и подъемная сила. При стационарном течении жидкости поток ее является непрерывным. Однако в некоторых случаях уравнения гидродинамики допускают и такие стационарные течения, в которых скорость жидкости испытывает разрыв непрерывности, что было исследовано впервые Кирхгофом.

Так как в идеальной жидкости при любых движениях не могут возникать касательные силы, то возможны разрывные течения, в которых касательные составляющие скорости течения жидкости претерпевают разрыв на некоторой поверхности (неподвижной или движущейся). Такие течения называют тангенциальными разрывами, которые в несжимаемой жидкости гидродинамически неустойчивы.

Сами поверхности разрыва распадаются в вихри. Они характеризуются тем, что на некоторой линии обтекания тела происходит отрыв течения от тела. Таких течений можно представить бесчисленное множество. Они будут отличаться друг от друга только положением линии отрыва ВС и формой поверхности тангенциального разрыва АВСД (рис. 7.19).

Давление в области, где жидкость покоится, равно давлению на линии ВС, которое меньше давления в критической точке К.

Рис. 7.18

Следовательно, равнодействующая сил давления, действующих на лобовую поверхность тела, превышает силу давления на заднюю поверхность тела, что и приводит к возникновению лобового сопротивления.

Если существует вязкость, то силы внутреннего трения мало существенны вдали от обтекаемого тела, так как малы.

Их влияние проявляется главным образом в тонком пограничном слое вблизи поверхности тела, где они велики, что и вызывает отрыв течения от тела. В результате вместо области застоя за телом возникает область интенсивного турбулентного движения, наличие которой и обуславливает возникновение лобового сопротивления.

Существующие силы вязкости автоматически устраняют неоднозначность в положении линии отрыва, характерного для разрывных течений идеальной жидкости.

Чем уже область отрыва, тем меньше лобовое сопротивление. С целью его уменьшения самолетам и другим летательным аппаратам придают «обтекаемую форму».

В потоке вязкой жидкости силы внутреннего трения вызывают прилипание молекул жидкости (газа) к поверхности обтекаемого тела.

Толщина пограничного слоя зависит не только от свойств среды, но и от формы поверхности тела и возрастает в направлении потока от передней части тела к задней (числа Рейнольдса невелики).

Скорость в пограничном слое меняется в направлении, перпендикулярном слою, что приводит к вихревому движению в нем из-за существования момента импульса. Пограничный слой в задней части тела периодически отрывается от поверхности тела и приводит к качественным изменениям процесса обтекания.

Представление о пограничном слое можно использовать только для передней части тела, который распространяется до того места, где происходит отрыв течения от поверхности (линия отрыва).

Начиная с линии отрыва, за телом возникает область течения, длина которой намного больше характерного размера самого тела. Средняя скорость в этой области (куда попадают частицы из пограничного слоя) меньше скорости натекающего потока, а само течение – вихревое (турбулентное).

Эта область называется «следом». Наличие «следа» объясняет ту часть лобового сопротивления, которая обусловлена разностью давлений на переднюю и заднюю кромки тела. Чем шире область отрыва (шире «след»), тем больше лобовое сопротивление (рис. 7.24).

Существование следа используется при объяснении происхождения подъемной силы, в частности, действующей на крыло самолета и морских судов на подводных крыльях. Для возникновения подъемной силы необходимо, чтобы было несимметрично само крыло или оно несимметрично

Рис. 7.19

расположено относительно набегающего потока.

Применение закона сохранения момента импульса позволяет

объяснить возникновение подъемной силы крыла. В начальный момент

движения самолета на задней кромке крыла возникает вихрь (рис. 8.25), в

котором воздух движется против часовой стрелки.

Достаточно развившись, вихрь отрывается от крыла и уносится

потоком воздуха. Масса воздуха, унесенная вихрем, имеет некоторый момент

импульса.

Так как момент импульса изолированной

системы крыло-воздух должен остаться

неизменным, то вокруг крыла возникает

замкнутое циркулирующее течение в

направлении, противоположном движению

воздуха в вихре (рис. 7.20).

Над крылом скорость основного потока и

циркулирующего по направлению совпадают, а

под крылом их направления – противоположны.

В результате под крылом возникает

область повышенного давления, а над крылом –

пониженного (этот же вывод следует и из уравнения Д. Бернулли).

Тогда результирующая сила давлений, действующих на поверхность

крыла, будет направлена вверх и вызывает подъемную силу.

Зависимость величины подъемной силы от циркуляции скорости была

установлена Жуковским и Кутта.

Согласно теореме Жуковского о циркуляции скорости для крыла,

формула подъемной силы имеет вид

Fy = vГ, (7.74)

где – плотность воздуха; – длина крыла; v – скорость потока; Г –

циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло.

Циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло,

Г dv1

2, (7.75)

где d – длина хорды; – угол атаки.

Углом атаки называют угол между направлением потока и хордой

крыла (рис. 7.25).

Подъемную силу часто записывают в виде:

2/vSCF 2yy , (7.76)

где S – площадь сечения крыла (миндаль); Су – коэффициент подъемной

силы, безразмерная величина, зависящая от числа Рейнольдса Re, от

отношения длины крыла к его хорде и угла атаки. Силу лобового сопротивления находят по формуле

Рис. 7.20

/2,vSCF 2xx (7.77)

где S – площадь сечения минделя; Сх – коэффициент лобового сопротив-ления, безразмерная величина; является функцией числа Рейнольдса и

учитывает свойства среды и форму тела. Качеством крыла является

коэффициент

kF

F

С

С

x

у

х

у

. (7.78)

Силу лобового сопротивления можно уменьшить, придавая самолетам (в том числе и крыльям) обтекаемую форму.

На рис. 7.21 приведены силы лобового сопротивления для цилиндра, шара и тела каплевидной формы.

Для испытания крыла и летательных аппаратов используют аэродинамические трубы – обычные и сверхзвуковые. В связи с рассмотренным, интересен, и нагляден для демонстрации на лекции эффект Магнуса.

Если неподвижный цилиндр обтекается равномерным потоком воздуха, перпендикулярным к его оси, то из-за симметрии возникает только лобовое сопротивление, подъемная сила не возникает.

Если же цилиндр привести во вращение и опустить, то появится и подъемная сила, перпендикулярная к внешнему потоку.

Сам цилиндр при этом отклоняется в сторону.

Действительно, из-за трения приходит в движение окружающий воздух и возникает на поверхности цилиндра пограничный слой.

Бумажный цилиндр, скатываясь с наклонной плоскости, при падении отклоняется назад (рис. 7.22). При скоростях движения тел, равных или больше скорости звука в среде возникает ударная волна, на фронте которой термодинамические

параметры изменяются скачком. Поэтому фронт ударной волны является скачком уплотнения. Процесс сжатия газа на скачке уплотнения является адиабатическим и

не является квазистатическим из-за малого времени прохождения газа через скачок уплотнения и необратим, так как ударное сжатие газа сопровождается возрастанием энтропии.

Рис. 7.21

Рис. 7.22

В этот момент тело испытывает большое сопротивление, называемое волновым

z = v.

Одной из причин возникновения волнового сопротивления является

разность давлений на передней и задней кромках обтекаемого тела.

Для уменьшения волнового сопротивления телам придают

обтекаемую, заостренную форму (сверхзвуковые самолеты, ракеты и т. д.).

При сверхзвуковом движении кинетическая энергия движущихся тел

необратимо превращается во внутреннюю энергию газа (выделяется тепло),

что нашло применение для торможения в атмосфере космических кораблей

при посадке их на Землю.

Окружающий космический корабль воздух нагревается до десятков

тысяч градусов, что требует надежной теплоизоляционной защиты его

специальным покрытием.

7.14. Гидродинамическая неустойчивость

При малых числах Рейнольдса движение в жидкости или газе является

ламинарным. При его увеличении ламинарное течение становится

неустойчивым и переходит в турбулентное. Турбулентное течение – течение,

гидродинамические характеристики которого (скорость, давление, а для

газов – плотность и температура) быстро и нерегулярно изменяются во

времени (флуктуируют). Примерами турбулентного течения являются:

движение воды в бурном горном потоке, водопаде и т. д. Законы

гидродинамики широко используются для объяснения возникновения и

развития процессов в мощных газовых потоках и молекулярных облаках,

наблюдаемых во Вселенной.

На определенном этапе эволюции Метагалактики, в заполняющем ее

газе, должны были возникнуть крупномасштабные гидродинамические

движения, которые являются сверхзвуковыми и сопровождаются

появлением разрывов – ударных волн со скачками скорости, давления,

температуры и плотности вещества на их фронтах. Сверхзвуковая

гидродинамика разрывных течений космической среды является основой для

решения вопросов о происхождении вращения галактик, их скоплений и

сверхскоплений.

Как выясняется, гидродинамика Вселенной является сложной, но

изначально в ней отсутствовали первичные вихри.

Когда и как возникли протогалактические вихри, если они не могли

существовать в ранней Вселенной?

В современных космологических гипотезах, предполагается, что

вращательные движения космических масштабов рождаются тогда, когда в

веществе Метагалактики появляются мощные сверхзвуковые движения с

разрывами и ударными волнами.

Эти движения, первоначально безвихревые, сами собой рождают вихри

и подпитывают их своей энергией. Такого рода процессы генерации

завихренности известны в гидродинамике давно. Галактики,

предположительно, рождаются в плотных слоях газа при распаде и

фрагментации этих слоев.

Важную роль в появлении первичных неоднородностей и уплотнении

сгустков газа играла гравитационная неустойчивость, сопровождаемая

тепловой неустойчивостью, вследствие сил, возникающих из-за перепадов

давления в неоднородной расширяющейся и охлаждающейся среде.

Новые порции газа, падающие под влиянием гравитации на уже

образовавшиеся зародыши облаков газа, наталкиваются на почти

неподвижные и более плотные слои газа. Натекающий газ резко тормозится и

его скорость скачком падает в несколько раз в результате газ сильно

уплотняется и нагревается (кинетическая энергия переходит в тепловую).

Граница между уже сжатым и падающим на него газом представляет

собой то, что называют в гидродинамике фронтом ударной волны.

Законы сохранения импульса, энергии и массы для газа,

пересекающего фронт ударной волны, обуславливают все свойства этого

гидродинамического явления.

Из-за того, что скорость натекающего газа много больше скорости

звука в нем и возникает фронт ударной волны, который в общем случае

является не плоским, а искривленным.

Эти фронты соединяются и пересекаются друг с другом, образуя

сложную пространственную структуру типа пчелиных сот.

При таких движениях частицы газа постоянно испытывают взаимные

столкновения. Длина их свободного пробега должна быть меньше этих

пространственных масштабов.

Учитывая то, что газ ионизирован и находится в состоянии плазмы, в

нем наблюдаются взаимодействия частиц с многочисленными волнами,

которые быстро и легко возбуждаются.

Поэтому длина свободного пробега частиц среды уже ограничивается

их взаимодействием с плазменными волнами и оказывается весьма малой,

что и позволяет использовать законы гидродинамики.

Рассмотрим физический механизм рождения завихренности в

разрывных течениях газа.

Пусть имеется ламинарный параллельный поток газа, который натекает

на сферический фронт ударной волны (рис. 7.23). На фронте ударной волны

натекающий поток газа испытывает разрыв и перестраивается.

Согласно законам гидродинамики, перпендикулярная фронту

составляющая скорости потока уменьшается скачком, касательная

составляющая скорости остается неизменной.

Вследствие этого после пересечения

фронта поток газа уже не будет

параллельным, а станет расходящимся.

Это указывает на то, что сам поток

получает вращение, когда он пересевает

фронт ударной волны.

В гидродинамике

количественной мерой вращения

является rotv – вихрь.

Перед фронтом вихрь равен

нулю, а после фронта – не равен

нулю.

Такой же результат

наблюдается и при натекании

потока на плоский фронт ударной

волны, так как натекающий в

потоке газ, движется не строго по

параллельным линиям.

В крупномасштабном потоке

газа, натекающем на фронт ударной

волны скопления или

сверхскопления, зародышами

уплотнения могут быть слабые неоднородности плотности сгущения и

разрежения.

Процесс развития завихрения

можно объяснить на следующем

примере.

Если в параллельном потоке

натекающего газа имеется

сферическое сгущение вещества, то

за плоским фронтом ударной волны,

согласно расчетам на ЭВМ,

возникает сложная картина

завихренности (рис. 7.24).

Возникают два «буруна» по краям

сжатого в направлении движения

сгущения. Трехмерная картина этого

явления много сложнее (рис. 7.25).

Законы зарождения вихрей в

гидродинамике формулируются

общей теоремой Кельвина – Гельмгольца, об условиях сохранения вихрей.

Согласно теории, вихри не исчезают и не появляются, если выполнены

четыре условия:

Рис. 7.23

Рис. 7.29

Рис. 7.24

На жидкость или газ

не действуют внешние силы или

эти силы потенциальны.

В среде отсутствует

вязкость.

В потоке

отсутствуют разрывы (ударные

волны).

4. Давление среды

является функцией ее плотности

(баротропия).

Одна из основных сил

Вселенной – сила тяготения,

является потенциальной и не

может создавать вихри (условие

1). Что касается вязкости, то в потоках без твердых стенок она способна

лишь гасить вихри, но не рождать их (условие 2). Условие три рассмотрено

выше.

Четвертое условие может нарушаться в областях сжатия за фронтом

ударной волны.

Процесс зарождения вихря описывается уравнением Фридмана, который вывел его из общих гидродинамических уравнений движения при сжатии газа, когда нарушено четвертое условие.

Уравнение Фридмана используется при изучении зарождения и развития циклонов – крупномасштабных атмосферных вихрей и записывается в виде

d rot v

dtP2

. (7.79)

В уравнении (7.79) слева стоит производная от вихря по времени. Если эта производная равна нулю, то вихрь не возникает и не

уничтожается, если уже существует. Если производная отлична от нуля, наблюдается изменение вихря – его усиление или рождение.

Вихрь – векторная величина и само уравнение Фридмана – векторное. В его правой части стоит векторное произведение двух векторов – градиента плотности и градиента давления.

Векторное произведение и, следовательно, производная по времени от вихря отличны от нуля, когда векторы не параллельны. В гидродинамике эти векторы чаще всего параллельны, так как давление является функцией только плотности.

Например, в идеальном газе при адиабатическом процессе

Р = С ( – 1) , (7.80)

где – показатель адиабаты; С = сonst. Если же в среде имеется градиент плотности, например,

Рис. 7.25

распространение звуковых волн, перпендикулярно направлению изменения плотности, то появляются перепады давления в этом направлении. Поэтому, согласно уравнению Фридмана, обязательно возникает вихрь, т. е. звук возбуждает вращение среды.

Таким образом, в потоке газа, натекающего на фронт крупномасштабной ударной волны, может изначально иметься большое число различных по амплитуде и размерам неоднородностей плотности.

Каждое из них вызывает появление за фронтом ударной волны вихря (рис. 7.28; 7.29). В совокупности эти вихри образуют сложную турбулентную систему движений. Рождение и усиление вихрей представляет собой пример гидродинамической неустойчивости. Возникновение вихрей турбулентности при гидродинамической неустойчивости – явление обычное.

Следовательно, есть основание предполагать, как в общих чертах происходило зарождение вращения галактик, их скоплений и сверхскоплений и дальнейшая эволюция этих гигантских космических систем, образующих наблюдаемую крупномасштабную структуру Метагалактики.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Лекция 8

1. Кинематика гармонических колебаний

1.1. Колебательные процессы

Понятие колебаний относится к области физики, исследующей эти

процессы в системах различной природы.

Колебательным называют такое движение, которое периодически

повторяется через равные промежутки времени.

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике.

Например, качания маятника часов, колебания силы переменного тока,

колебания векторов напряженности электрических и магнитных полей,

колебания элементарных частиц внутри атомов и молекул, а также

колебательные и волновые процессы в глубинах безбрежного космоса и т. д.

Все колебания качественно различны по своей физической природе, но

их количественные закономерности имеют много общего.

Теория колебаний описывает общие свойства колебаний в реальных

системах и устанавливает связь между параметрами системы и ее

колебательными характеристиками независимо от свойств конкретной

системы, связанных с проявлением ее природы (механической,

электромагнитной, световой, химической и т. д.).

Это значительно облегчает исследования особенно в тех случаях,

когда они невозможны по техническим причинам или из-за отсутствия

наглядности.

Например, колебания силы переменного тока, а тем более колебания

электрона в атоме изучать гораздо труднее, чем простейшие механические

колебания груза на пружине.

Простейшим случаем периодического колебания является

гармоническое колебание.

Колебания, которые совершаются с течением времени по закону

синуса или косинуса, называют гармоническими колебаниями.

Рассмотрим м. т. А, совершающую равномерное движение по

окружности произвольного радиуса r против часовой стрелки с постоянной

угловой скоростью , т. е. конец радиус-вектора описывает окружность.

Обозначим модуль радиус-вектора r = A (рис. 1.1). Уравнение

движения м. т. запишем в виде

= о + t.

Найдем проекции радиус-вектора на оси координат Х и У.

Отрезок ОС равен rx = r sin = r sin( t + о) проекция радиус-

вектора на ось Х; отрезок ОБ равен

ry = r cos или rу= r cos( t + о)

проекция радиус-вектора на ось У.

Если м. т. А совершит один оборот, то ее

проекции на оси координат будут изменяться от нуля

до максимума по модулю, равному r .

Пока м. т. А движется по окружности, в это

время точки С и Б будут совершать возвратно-

поступательное движение вдоль осей Х и У

соответственно.

С течением времени этот процесс будет периодически повторяться, т. е.

возникнет колебательное движение.

Уравнение колебательного движения записывают в виде

x A t ocos

или y A t osin . (1.1)

В уравнениях (1.1): х – смещение м. т. в данный момент времени;

А – амплитуда колебания, характеризующая величину наибольшего

смещения м.т. от положения равновесия; амплитуда положительна, A > 0;

= t + 0 – фаза колебания, определяет долю смещения в данный момент

времени; – циклическая (круговая) частота; 0

– начальная фаза колебания.

Циклическая частота связана с частотой колебаний и периодом Т

известным соотношением

=T

2 = 2 ,

Рис. 1.1

где =T

1.

Выбор начальной фазы

совершенно произволен. Обычно в

момент времени t = 0 полагают 0

= 0.

Кроме того, добавка 0

в аргументе cos

или sin не меняет характер движения,

но свидетельствует о непрерывности

течения времени.

Проекции радиус-вектора при его

вращении против часовой стрелки с циклической частотой совершают

гармонические колебания и являются функциями времени ( рис. 1.2), т. е. х

= Аcos( t + 0).

1.2. Уравнение скорости материальной точки,

совершающей гармонические колебания

Если в качестве колебательной системы использовать, например,

математический маятник (рис. 1.3), то в процессе его движения происходит

периодическое изменение скорости и ускорения.

При движении маятника, после прохождения им положения

равновесия, в направлении к состоянию I (в ту же сторону направлен и

вектор скорости маятника) скорость убывает, а ускорение растет и в крайнем

состоянии

I скорость обращается в нуль. Ускорение в этот момент времени достигает

своего максимума и направлено по касательной к дуге окружности к

положению равновесия. При обратном движении маятника к положению

равновесия вектор скорости направлен в сторону

движения.

Модуль скорости растет по величине, а

ускорение убывает (направление вектора

ускорения теперь совпадает с направлением

движения маятника). При достижении

положения равновесия в точке 0 скорость

достигает максимума, - ускорение обращается в

нуль.

После прохождения этого состояния скорость начинает убывать, а

ускорение увеличивается (теперь вектор ускорения направлен к состоянию

покоя со стороны состояния II и противоположен вектору скорости). При

достижении крайнего положения II скорость обращается в нуль, ускорение

достигает максимума. При движении маятника из состояния II снова к

положению равновесия скорость, изменив направление, растет,

соответственно ускорение, сохраняя направление, убывает. В точке 0

скорость маятника максимальна, ускорение обращается в нуль. При

дальнейшем движении маятника весь процесс периодически повторяется.

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Найдем уравнения изменения скорости и ускорения маятника при

гармонических колебаниях. Дифференцируя уравнение смещения (1.1) по

времени t, найдем уравнение изменения скорости в любой момент времени

(первая производная):

V =dx

dt= Asin ( t + o)

или v A tcos( ),0 2 (1.2)

где ( А) – амплитудное значение скорости м. т., совершающей

гармонические колебания.

Скорость опережает смещение по фазе на / 2 или отстает на 3 / 2.

Вывод: Скорость м. т. при колебательных процессах изменяется по

гармоническому закону и является функцией времени.

1.3. Уравнение ускорения материальной точки,

совершающей гармонические колебания

Найдем уравнение изменения ускорения как первую производную

скорости по времени (вторая производная смещения по времени):

adv

dt

d x

dtA t o

2

2

2 cos . (1.3)

или a A t o2 cos .

Используя уравнение (6.1) получим, что

а = 2х . (1.4)

Вывод: Ускорение изменяется по

гармоническому закону, является функцией

времени и опережает колебания смещения по

фазе на и опережает колебание скорости по

фазе на /2.

Величина 2А является амплитудным

значением ускорения. На рис. 1.4, а, б, в

приведены графики смещения, скорости и

ускорения как функций времени.

1.4. Начальные условия

Величину амплитуды А и значение начальной фазы найдем, если в

уравнениях (1.1) и (1.2) положить начальный момент времени t = 0.

Тогда уравнения примут вид

хо = Асos о, vo = Asin о.

Решая эти уравнения совместно, найдем амплитуду и начальную фазу,

Рис. 1.4

если известны хо и vo.

Действительно, после преобразований, имеем

хо2 = А

2cos

2о,

vo2 = А

2 sin

2о

или

xv

Ao

o

o o

2

2

2

2 2 2cos sin .

Следовательно,

A xv

oo22

2; tg

v

xo

o

o

.

1.5. Метод векторных диаграмм

На оси Х выберем начало отсчета (точка 0) и отложим вектор длиной

A , образующий с осью угол о. Приведем этот вектор во вращение против

часовой стрелки с циклической частотой (рис. 1.5).

При этом проекция на ось Х конца вектора будет периодически

совершать движение вдоль оси Х в пределах от А до +А, т. е. координата

этой проекции будет изменяться по гармоническому закону:

х = А cos( t + o).

Если система одновременно участвует в нескольких колебаниях, то

решение задачи значительно упрощается и становится наглядным при

использовании метода векторных диаграмм (метод вращающего вектора на

плоскости).

Особенно этот метод эффективен при

сложении двух и более гармонических колебаний.

Вывод: проекция конца вектора на

произвольную ось (например, ось Х) будет

совершать гармонические колебания с амплитудой,

равной длине вектора, циклической (круговой)

частотой, равной угловой скорости вращения

вектора, и начальной фазой, равной углу,

образованному данным вектором с осью в

начальный момент времени.

1.6. Сложение колебаний одного направления

Рис. 1.5

На практике довольно часто встречаются тела,

которые одновременно участвуют в двух

колебаниях, происходящих вдоль одного

направления. Например, груз закреплен на пружине

к потолку движущегося вагона, который сам

совершает колебания в вертикальной плоскости

(рис. 1.6), или груз, который закреплен на двух

последовательно соединенных пружинах с

различными коэффициентами жесткости. Допустим,

что колебания груза на пружине совершаются по

закону

х1 = А1cos( t + o1). (1.5)

Колебания вагона совершаются по закону

х2 = А2cos( t + o2). (1.6)

Представим оба колебания с помощью вращающих векторов A1 и A 2

одинаковой круговой частотой (рис. 1.7). Используя правила сложения

векторов, построим результирующий вектор

A A A1 2 . (1.7)

Проекция результирующего смещения х равна сумме отдельных

проекций смещений грузов: х = х1 + х2 . (1.8)

Следовательно, действительно х представляет собой результирующее

гармоническое колебание амплитуды А, циклической частоты и

начальной фазы о, т. е.

х = А cos( t + o). (1.9)

Для того чтобы написать уравнение результирующего гармонического

колебания тела, одновременно участвующего в двух одинаково

направленных гармонических колебаниях, необходимо знать амплитуду

результирующего колебания и его начальную фазу.

В соответствии с рис. 1.7 и теоремой косинусов для результирующей

амплитуды, имеем следующее равенство:

А2 = A1

2 + А2

2 + 2А1А2cos( o2 o1). (1.10)

Используя тригонометрические

функции синуса, косинуса и тангенса (см.

рис. 1.7), найдем начальную фазу

результирующего гармонического

колебания в виде:

tgA A

A Ao

o o

o o

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sin

cos cos. (1.11)

Анализ уравнения (1.10) показывает,

что величина результирующей амплитуды

зависит от разности фаз складываемых

Рис. 1.6

Рис. 1.7

колебаний. В связи с этим возможны два случая:

1. Разность фаз равна четному числу

= 02 01 = 0, 2 , 4 , ... . (1.12)

Действительно, например, = 0.

Согласно уравнению (2.10) имеем

А2 = A1

2 + А2

2 +2А1А2,

так как cos0 = 1.

Следовательно,

А2 = (А1 + А2)

2.

Вывод: Результирующая амплитуда

равна сумме амплитуд складываемых

колебаний (рис. 1.8) А = А1 + А2.

2. Разность фаз равна нечетному числу : = 02 01= , 3 , ... . (1.13)

Складываемые колебания находятся в противофазе.

Тогда равенство (1.10) примет вид

А2 = А1

2 + А2

2 2А1А2

поскольку сos( 02 01) = сos (+ ) = 1.

Следовательно,

А = (А1 – А2)2 или А А А1 2

.

(Амплитуда всегда положительна).

Вывод: Результирующая амплитуда

равна модулю разности амплитуд

складываемых колебаний.

Если складываются два колебания

равных частот 1 = 2 = и равных

амплитуд А1 = А2, но противоположных по

фазе, то результирующая амплитуда равна

нулю (А = 0), т. е. колебания полностью гасят

друг друга (рис. 1.9).

1.7. Биения

Важное место в теории колебаний занимают биения.

Например, в случае сложения нескольких гармонических колебаний

одного направления, равных амплитуд и частот, отличающихся

незначительно: 1 и 2 = 1 + , где << 1.

Уравнение первого и второго колебаний совершается по закону

t)cos(Ax

,tcosAx

12

11 (1.14)

соответственно.

Поскольку амплитуды колебаний равны, а частоты мало отличаются

Рис. 1.8

Рис. 1.9

друг от друга, это позволяет выбрать начало отсчета так, чтобы начальные

фазы колебаний были равны нулю, уравнения (1.14). Но это возможно

только в том случае, если смещения каждого колебания х1 и х2

одновременно достигают наибольшего значения. Тогда с этого момента

начинается отсчет времени. После сложения левой и правой частей

уравнений (1.14) получим

х = х1 + х2

или х = А соs 1t + A сos( 1+ )t = 2Aсos( 2

t) сos [(2 1+ )

t

2].

Во втором сомножителе величиной t / 2 под знаком косинуса

пренебрегаем в виду его малости, так как << 1.

Тогда tcost2

cosA2x 1 . (1.15)

В формуле (1.15) выражение в скобках представляет собой амплитуду

гармонического колебания частоты 1. Амплитуда изменяется, но

значительно медленнее, чем второй сомножитель. Это связано с тем, что

<< 1 и за время, когда множитель соs1t совершит несколько полных

колебаний, имея период Т = 2 / 1, множитель в скобках мало изменится

[cм. формулу (1.15)].

Результирующее колебание

(1.15) можно считать гармоническим,

амплитуда которого сама изменяется

по некоторому периодическому

закону. График изменения х(t)

[формула (1.15)] представлен на рис.

1.10. Результирующее колебание при

заданных условиях можно

рассматривать как гармоническое

колебание с пульсирующей

амплитудой и периодом

Т1 = 2 / .

Такие колебания называют биениями.

Выражение типа 2Acos( )2

tне является законом, по которому

изменяется амплитуда результирующего колебания, так как оно изменяется

в пределах от 2А до +2А, в то время как амплитуда всегда положительна.

Рис. 1.10

Следовательно, амплитуда (рис. 1.11).

Aрез= 2Аcos t/2 . (1.16)

Как уже отмечалось, функция (1.16)

является периодической с частотой, в два раза

превышающей частоту выражения, стоящего под

знаком модуля.

Выводы: 1. Частота пульсаций

результирующей амплитуды называется частотой биений и равна разности

частот складываемых колебаний, а именно: = [( 1+ ) 1].

2. Циклическая частота результирующего колебания равна полусумме

частот складываемых колебаний, т. е. = ( 1 + 1 + )/2= 1 + /2.

3. Множитель, равный результирующей амплитуде, определяет не

только величину ее, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется в том,

что отклонения, соответствующие максимумам амплитуды, имеют

противоположные знаки (см. рис. 1.10, точки С и Д).

4. В случае несоизмеримости частот складываемых колебаний

возникает результирующее колебание, которое не является периодическим.

Явление биений широко используется на практике. Это один из вариантов

амплитудно-модулированных колебаний. Например, при настройке

музыкальных инструментов о качестве звучания определяют по

исчезновению биений.

В этом случае происходит совпадение частоты колебания струны с

частотой колебаний эталонного источника звука – камертона. Например, в

радиотехнике с помощью биений производят настройку гетеродина.

В оптике световые биения относятся к явлению интерференции света,

возникающей при наложении световых колебаний близких частот. В

результате возникает быстро бегущая в пространстве интерференционная

картина, т. е. в рассматриваемой точке интенсивность света периодически

изменяется во времени с частотой, равной разности частот складываемых

электромагнитных колебаний.

1.8. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рис. 1.11

Если частица (физическая система) совершает одновременно

колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, то она имеет две

степени свободы. Например, груз массой m совершает колебания на пружине

с коэффициентом упругости (жесткости) k вдоль

стержня без трения и одновременно совершает

колебания относительно вертикальной оси,

отклоняясь на угол от положения равновесия

(рис. 1.12). В результате возникает сложное

результирующее

колебание. Другим примером сложения взаимно

перпендикулярных колебаний является

равномерное движение м. т. по окружности [см.

(1.1)], где проекции ее на оси Х и У действительно

совершают колебания во взаимно

перпендикулярных направлениях. Для простоты

положим, что круговые частоты этих колебаний

одинаковы, но различаются амплитудами и

начальными фазами. Пусть одно из колебаний

совершается вдоль оси Х с амплитудой А и

начальной фазой, равной нулю.

Другое колебание совершается вдоль оси У с амплитудой В; о –

разность фаз складываемых колебаний.

x A t

y B t o

cos ,

cos( ). (1.17)

Для получения уравнения результирующего колебания (уравнения

траектории) из системы уравнений (1.17) исключим время t:

соs t = x /A,

сos ( t + o) = y / B

или y

Bt tcos cos sin sin0 0 .

После преобразований имеем

y

B

x

Acos tcos sin0

201 ,

где sin .t cos t1 2

Тогда

y

B

x

A

x

Ao ocos sin1

2

2.

Правую и левую части последнего равенства возведем в квадрат:

Рис. 1.12

y

B

xy

AB

x

A

x

A

2

2 0

2

2

20

20

2

2

21cos cos sin .

После несложных математических операций получим уравнение

эллипса с произвольной ориентацией осей (рис. 1.13): 2

2

2

2

22y

B

x

An

xy

ABCos Sio o

. (1.18)

Частица совершает полный оборот за

время, равное периоду колебаний Т.

Результирующее колебание называют

эллиптически поляризованным.

Сложение таких колебаний можно наблюдать

на опытах не только с механическими

системами, но и с электрическими,

магнитными и т. д. На экране электронного

осциллографа можно наблюдать результат сложения взаимно

перпендикулярных электрических колебаний. Рассмотрим частные случаи:

1. Разность фаз складываемых колебаний равна целому числу ,

т. е. = m , где m = 0, 1, 2, 3, ... .

Знак «+» для четных m; знак « » для нечетных m.

а). Например, = 2 1 = t + o t = o = 0. После подстановки в формулу (6.53) получим уравнение прямой

2

2

2

2

20x

A

y

B

xy

AB

или

2

0x

A

y

B,

откуда x

A

y

B.

Следовательно,

yB

Ax . (1.19)

Вывод: При разности фаз складываемых взаимно перпендикулярных

колебаний, равной нулю эллипс вырождается в

отрезок прямой, лежащий в первой и третьей

четвертях (рис. 1.14). После сложения

колебание происходит с частотой и

результирующей амплитудой BA 22C ,

т. е. результирующее колебание действительно

является гармоническим:

Рис. 1.13

Рис. 1.14

f t A B t2 2 cos .

б). Разность фаз, складываемых взаимно перпендикулярных

колебаний равна , т. е. = 2 1 = .

В этом случае после подстановки = 0 в выражение (1.19) получим

уравнение прямой:

2

2

2

2

20x

A

y

B

xy

AB

, или 2

0x

A

y

B, или x

A

y

B.

Следовательно,

yB

Ax . (1.20)

Вывод: При разности фаз складываемых

взаимно перпендикулярных колебаний, равной

, эллипс вырождается в отрезок прямой,

лежащий во второй и четвертой четвертях (рис.

1.15). После сложения колебания совершаются

с частотой и результирующей амплитудой 2 2A B . Результирующее колебание в

случаях а, и б при сложении взаимно перпендикулярных колебаний

называют линейно – поляризованным. 2. Разность фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний равна нечетному

числу /2, т. е.

= (2m + 1) / 2, где m = 0, 1, 2, 3, ... .

Например, при m = 0, = /2. После подстановки = 0 в выражеие (1.18)

получаем уравнение эллипса с направлением осей вдоль Х и У, полуоси

которого соответственно равны амплитудам А и В (рис. 1.16):

2

2

2

21х

А

у

В.

Замечание: При равенстве амплитуд А = В

складываемых колебаний эллипс

вырождается в окружность радиуса R (А =

В = R):

х2 + у

2 = R

2.

В этом случае результирующее

колебание называют поляризованным по

кругу. Выясним, в каком направлении

частица будет двигаться по эллипсу или окружности в результате сложения

взаимно перпендикулярных колебаний при разности фаз, равной /2.

Для этого уравнения (1.17) представим в виде

х = А cos t, y = Bcos( t + /2) = B sin t. (1.21)

Рис. 1.15

Рис. 1.16

Если = + / 2, то при t = 0 частица будет находиться в состоянии 1

(рис. 1.17, а).

Рис. 1.17

По мере движения частицы по траектории, согласно выражению (1.21),

координата х убывает, а координата у принимает отрицательные значения.

Следовательно, частица движется по траектории по часовой стрелке.

При = /2 уравнения (1.17) запишутся в виде

.tsinB

2tcosBy

tcosAx

. (1.22)

Следовательно, частица будет двигаться по траектории против часовой

стрелки (рис. 1.17, б).

1.9. Фигуры Лиссажу

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными

амплитудами и частотами 1 2 и неодинаковыми начальными фазами

возникают сложные результирующие колебания, которые называют

фигурами Лиссажу.

Наблюдение фигур Лиссажу осуществляется, например, при сложении

взаимно перпендикулярных электрических колебаний.

Если отношение круговых частот

1

2

2

1

и разность фаз складываемых колебаний

= /2,

наблюдается кривая, напоминающая

восьмерку (рис. 1.18).

При отношении круговых частот

1

2

32

и разности фаз складываемых колебаний = /2 наблюдается более

сложная кривая (рис. 1.19).

б

1

а

Рис. 1.18

Замечание 1: Число касаний фигуры

Лиссажу со сторонами прямоугольниика,

образованного амплитудами, равно величине

отношения частот.

Замечание 2: Если частоты

складываемых колебаний кратны n и m ,

тогда уравнения взаимно перпендикулярных

колебаний запишутся в виде

.otmsinBy

,otnsinAx

2

1 . (1.23)

Величины координат колеблющейся частицы одновременно

повторяются через одинаковые промежутки времени, равные периоду Т, как

наименьшему кратному периодов Т1 = 2 /(n ) и Т2 = 2 /(m ),

соответствующие периодам колебаний вдоль осей Х и У.

Траектория результирующего колебания будет замкнутой, еѐ форма

зависит от амплитуд А и В, круговых частот n и m и значений начальных

фаз 01 и 02.

1.10. Представление колебаний в комплексной форме

Используя уравнение (1.3) или (1.4), которые описывают изменение

ускорения м. т., совершающей гармонические колебания, перепишем его в

следующем виде: d x

dt

2

2 + o2x = 0, (1.24)

где 0 – собственная частота м. т.

Полученное выражение называют однородным дифференциальным

уравнением второго порядка классического гармонического осциллятора.

Основным его свойством является линейность.

Это уравнение имеет два решения: первое в виде

x1 = Acos ( t + o), (1.25)

второе – x2 = Asin ( t + o). (1.26)

Справедливость сказанного проверяется прямой подстановкой их в

выражение (1.24).

Согласно принципу суперпозиции, решением уравнения (1.24) является

любая линейная комбинация х1 и х2, например, выражение вида

х = b1Acos( t + 0) + b2Asin( t + 0), где b1 и b2 – произвольные постоянные (могут быть и комплексные).

Если х1 и х2 – решения уравнения (1.24), то b1x1 и b2x2 также

являются решениями этого уравнения. Положив b1 = 1, b2 = – = – i

имеем решением уравнения функцию вида (t),

1

Рис. 1.19

т. е.

(t) = Acos( t + 0) – iAsin( t + 0). (1.27)

Используя формулу Эйлера

e x i xi cos sin , (1.28)

получим уравнение гармонических колебаний в комплексной форме:

( )t A ei t 0

(1.29)

Представление колебаний в комплексной форме широко используется

в физической теории колебаний и волн, например, при рассмотрении

уравнений колебаний переменного тока, так как это позволяет перейти от

дифференциальных уравнений к алгебраическим, что значительно облегчает

проведение расчетов электрических цепей и т. д.

Это выражение является однородным дифференциальным уравнением

второго порядка и описывает гармонические колебания любой физической

природы, начиная от простейших механических до сложнейших процессов

периодических движений, например, движение электронов вокруг ядер

атомов или колебания самих ядерных решеток и т. д.

2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

2.1. Движение системы вблизи устойчивого

положения равновесия

Свободными, или собственными, колебаниями называют колебания,

которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и в

дальнейшем предоставленной самой себе.

В связи с тем, что гармонические колебания характеризуются при

движении изменением скорости и ускорения системы, необходимо найти

причины этих колебаний, т. е. силы. Например, при колебаниях на тело (м.

т.), закрепленное на нити, действуют сила тяжести и сила натяжения нити.

Под действием равнодействующей этих сил и происходит процесс

колебания тела (рис. 2.1). Причем при движении маятника от положения II

к положению I и обратно направление силы

периодически изменяется от Fmax до + Fmin.

Согласно второму закону Ньютона, вектор

ускорения м. т., которая совершает гармоническое

колебание, m

a

n

1iiF

.

Согласно уравнению (1.24),

дифференциальным уравнением гармонических

колебаний является выражение вида

2

2

dt

xd + o

2x = 0.

Это выражение является однородным дифференциальным уравнением

второго порядка и описывает гармонические колебания любой физической

природы, начиная от простейших механических до сложнейших процессов

периодических движений, например, движение электронов вокруг ядер

атомов или колебания самих ядерных решеток и т. д.

2.2. Пружинный маятник

Если колебательная система совершает гармонические колебания,

имея одну степень свободы, то она называется линейным классическим

гармоническим осциллятором.

Примерами классического линейного осциллятора являются

пружинный маятник, математический, физический маятники и др.

Рассмотрим колебания пружинного маятника.

Пружинный маятник представляет собой некоторый груз массой m,

закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k, совершающий

свободные гармонические колебания (рис. 2.2).

Гармонические колебания называют свободными, если они

совершаются только под действием сил, вызывающих эти колебания.

Частоту свободных гармонических колебаний называют собственной

частотой ( 0), так как она зависит только от свойств самой физической

системы.

Найдем дифференциальное уравнение свободных гармонических

колебаний пружинного маятника. На маятник действует сила тяжести

G = mg

и сила упругости (закон Гука, рис. 2.2) Fупр = – кх,

где х – смещение ; k – коэффициент

жесткости (упругости) пружины.

Эти силы в состоянии покоя равны по

величине, но противоположны по направлению

(третий закон Ньютона).

Однако при колебаниях сила упругости

изменяется периодически по величине и по

направлению.

Значит, силой, вызывающей колебания

пружинного маятника, является сила упругости.

При этом выполняется следующее соотношение:

maх = – kx, где

Рис. 2.2

2

2

td

d xaх ,

тогда kxtd

xdm2

2

. (2.1)

Последнее выражение приведем к нормальному виду однородного

дифференциального уравнения второго порядка, описывающего одномерное

(с одной степенью свободы) движение пружинного маятника, например,

вдоль оси Х:

2

20d

t

x

d

k

mx . (2.2)

Решением данного дифференциального уравнения является функция

х = Асos ( оt + o). (2.3)

Выразим k в уравнении (2.2) через собственную круговую частоту 0

и смещение х.

Для этого достаточно вспомнить, что ускорение

а х02

. (2.4)

Используя выражения (2.1) и (2.4), запишем, что

F = ma = m о2х. (2.5)

С другой стороны, при колебаниях пружинного маятника роль

действующей силы выполняет сила упругости (речь о ней шла выше)

Fупр = – кх. (2.6)

Из соотношений (2.5) и (2.6) имеем

m о2х = – кх.

После несложных преобразований получим

k = m о2. (2.7)

Дифференциальное уравнение (6.24) принимает следующий вид:

2

202 0d

t

x

dx . (2.8)

Напомним, что уравнение вида (2.8) является общим для всех

физических систем различной природы, совершающих свободные

гармонические колебания, только вместо смещения х используется

величина, характеризующая колебания данной системы, например,

колебание заряда (q), тока (I) и т. д. Сравнивая общее дифференциальное

уравнение гармонических колебаний (2.8) и дифференциальное уравнение

колебаний пружинного маятника (2.2), приходим к заключению, что квадрат

круговой частоты прямо пропорционален коэффициенту жесткости пружины

и обратно пропорционален его массе:

.m

k20 (2.9)

Найдем период колебаний пружинного маятника.

Из кинематики вращательного движения известно, что период и

угловая скорость (круговая частота) связаны соотношением

T = 2

0

.

Следовательно, период колебаний пружинного маятника

Tm

k2 . (2.10)

Вывод: Период колебаний пружинного маятника прямо

пропорционален квадратному корню массы маятника и обратно

пропорционален квадратному корню коэффициента жесткости пружины.

Замечание: Выводы, полученные при рассмотрении колебаний

пружинного маятника, можно использовать в задачах, связанных с

колебаниями атомов и молекул различных физических систем.

2.3. Физический маятник

Твердое тело произвольной формы, свободно совершающее колебания

вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр

масс, называют физическим маятником.

Согласно определению, физический маятник при колебаниях имеет

одну степень свободы, т. е. действительно

является одномерным гармоническим

классическим осциллятором (рис. 2.3, где точка

0 называется осью качаний, а точка 0* центром

качания физического маятника, точка C – центр

масс).

При гармонических колебаниях угол

отклонения от положения равновесия мал и

составляет не более трех – пяти градусов, что

позволяет в некоторых случаях полагать sin

(если угол брать в радианах, а не в градусах),

а сами колебания считать гармоническими и

изохронными, т. е. их период или частота не

зависят от амплитуды колебания.

Сначала напишем дифференциальное уравнение колебаний

физического маятника. Для этого рассмотрим, какие на него действуют силы.

Силу трения в точке подвеса 0 (ось Z) физического маятника не учитываем.

На физический маятник при колебаниях действуют сила тяжести G и

нормальная реакция опоры F (рис. 2.3).

Для нахождения результирующей силы разложим силу тяжести на две

взаимно перпендикулярные силы: G = mgsin и G = mgcos (рис. 2.3).

Тогда силы нормальной реакции опоры и параллельная составляющая

силы тяжести будут взаимно компенсировать друг друга (третий закон

Ньютона).

Силой, заставляющей физический маятник продолжать совершать

Рис. 2.3

гармонические колебания, остается перпендикулярная составляющая силы

тяжести, которую часто называют возвращающей силой.

Такой же результат можно получить, если сложить вектор силы

тяжести и вектор силы нормальной реакции опоры по правилу

параллелограмма. Из динамики вращательного движения следует, что в этом

случае на физический маятник (как любое твердое тело) действует момент

силы М относительно оси Z, равный произведению момента инерции тела I

на угловое ускорение относительно этой же оси:

M = I (2.11)

где 2

2

d

td

. (2.12)

Момент силы М равен произведению составляющей силы тяжести G

на плечо :

М = mg sin (2.13)

или

М mg , где

sin ,

что отмечалось выше.

Подставим значения выражений (2.12) и (2.13) в формулу (2.11):

mg Id

dt

2

2. (2.14)

Приведем выражение (2.14), предварительно разделив правую и левую

части данного выражения на I, к виду

d

dt

mg

I

2

20

. (2.15)

Таким образом, получили однородное дифференциальное уравнение

второго порядка, характеризующее колебания физического маятника.

Его решением является функция

= 0 сos ( t + o), где 0 – амплитудное значение угла отклонения маятника от положения

равновесия при его колебаниях.

Для нахождения собственной частоты 0 колебания физического

маятника запишем общий вид дифференциального уравнения колебания

системы:

2

2

20d

to

d

. (2.16)

Сравнивая дифференциальные уравнения (2.15) и (2.16), находим,

что

0

mg. (2.17)

Следовательно, период колебаний физического маятника

TI

mg2

. (2.18)

Вывод: Период колебаний физического маятника прямо

пропорционален квадратному корню его момента инерции и обратно

пропорционален квадратному корню произведения массы маятника,

ускорения силы тяжести и плеча.

2.4. Математический маятник

Математическим маятником называют материальную точку,

закрепленную на невесомой и нерастяжимой нити, совершающую свободные

гармонические колебания в вертикальной плоскости.

Математический маятник имеет одну степень свободы – еще один

пример одномерного гармонического осциллятора. На математический

маятник действуют две силы: сила тяжести G и сила натяжения нити Fн

(рис. 2.4)

Результирующая этих сил (перпендикулярная составляющая силы

тяжести) и является той силой, под действием которой маятник совершает

свободные гармонические колебания.

При этом угол = 3 – 5о (рис. 2.4). Математический маятник при

колебаниях описывает часть дуги окружности радиуса R , где – длина

нити.

Для вывода дифференциального уравнения колебания математического

маятника воспользуемся дифференциальным уравнением колебания

физического маятника [см. (2.15)], где момент инерции I физического

маятника заменим на момент инерции

материальной точки I=mR2, где m – масса м. т.

математического маятника; R = –

расстояние от м. т. до полюса 0.

После подстановки получим

дифференциальное уравнение колебания

математического маятника в виде

d

dt

g2

20

. (2.19)

Решением данного уравнения является

функция вида

= 0сos ( 0t + o). (2.20)

Сравнив уравнения (2.16) и (2.19), найдем собственную круговую

частоту 0 и период Т колебания математического маятника:

Рис. 2.4

0

g

. (2.21)

Тогда Tg

2

. (2.22)

Период колебания математического маятника прямо пропорционален

квадратному корню длины маятника и обратно пропорционален

квадратному корню ускорения силы тяжести.

2.5. Приведенная длина физического маятника

Анализ формул периода колебания физического и математического

маятников показывает, что можно найти приведенную длину физического

маятника (рис. 2.3), если приравнять их периоды Тфиз = Тматем, т. е.

2 2I

mgR g

п иведр.

Тогда приведенная длина физического маятника

п ивед

I

mRр . (2.23)

Приведенной длиной физического маятника называют длину такого

математического маятника, когда периоды их колебаний совпадают.

На рис. 2.3 расстояние между точками 0 и 0* и есть приведенная длина

физического маятника. Сами точки 0 и 0* взаимозаменяемы, т. е. при замене

точки 0 на 0* и обратно период колебаний физического маятника

сохраняется неизменным.

2.6. Энергия гармонических механических колебаний

При гармонических колебаниях любых физических систем

непрерывно и периодически происходит превращение кинетической энергии

в потенциальную и обратно.

Например, при колебаниях физического или математического

маятников в крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а при

прохождении положения равновесия максимальна кинетическая энергия.

Найдем математические выражения для кинетической, потенциальной

и полной механической энергий физических систем, совершающих

гармонические колебания.

2.6.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия физической системы, совершающей

гармонические колебания,

Wk = mv2/2,

где скорость v изменяется по гармоническому закону,

v = A sin( t + o). После подстановки формула кинетической энергии принимает вид

кW

A nm Si t2 2 20

2

( ). (2.24)

Выражение (2.24) удобнее представить в следующем виде:

.2t2cos14

m2t2cos1

4

m0

22

0

22

k

AAW

Вывод: Кинетическая энергия физической системы также совершает

гармонические колебания с круговой частотой 2 , а величина ее

периодически изменяется от 0 до 1

2m

2A

2.

2.6.2. Потенциальная энергия

В связи с тем, что любая физическая система, совершающая

гармонические колебания, имеет общий вид дифференциального уравнения,

на такую систему действует квазиупругая сила [похожая по действию на

упругую силу (см. пружинный маятник, закон Гука), но по природе не

являющаяся упругой].

Потенциальную энергию колеблющейся системы найдем по формуле

потенциальной энергии упруго – деформированной пружины:

рW

xk 2

2.

Согласно формул (1.1) и (2.9), после подстановки для потенциальной

энергии, получим выражение

р

cos( )W

Am t2 20

2 (2.25)

или р cosW

Amt o

2 2

41 2 2 . (2.26)

Вывод: Потенциальная энергия

физической системы периоди-

чески изменяется от 0 до m2A

2/2

и совершает гармонические

колебания с круговой частотой 2 .

Замечание: Осциллирующие

системы довольно широко

распространены в природе.

Для них выполняется

следующее свойство: суммарная

потенциальная энергия многих

систем имеет провалы –

потенциальные ямы .

Рис. 2.5

В качестве примера приведем график потенциальной энергии

взаимодействия нейтральных атомов и молекул, потому что при этом

наблюдаются периодические движения, к числу которых и относятся

колебания (рис. 2.5).

2.6.3. Полная энергия гармонических колебаний

По определению полная механическая энергия равна алгебраической

сумме кинетической и потенциальной энергий:

W = Wк + Wр

или с учетом выражений (2.24) и (2.25)

),t(cos2

m)t(sin

2

m0

222

02

22 AAW (2.27)

где

sin2( t + o) + cos

2 ( t + o) = 1.

Полная механическая энергия физической системы, совершающей

механические колебания,

2

m AW

22

. (2.28)

Такого результата и следовало ожидать, так как кинетическая и

потенциальная энергии сдвинуты по фазе на .

Вывод: Полная механическая энергия физической системы,

совершающей гармонические колебания, прямо пропорциональна

произведению массы системы на квадрат ее круговой частоты, квадрат

амплитуды и не зависит от времени.

Замечание: Поскольку квазиупругие

силы являются консервативными, то полная

механическая энергия гармонических

колебаний в замкнутой системе должна

оставаться постоянной (закон сохранения

механической энергии).

Это мы и получили в

действительности, см. формулу (2.28).

Графики изменения кинетической Wk,

потенциальной Wр и полной Wп энергий в

зависимости от времени приведены на рис.

2.6, а, б, в.

Анализ формул (2.24), (2.25) и (2.28)

показывает, что средние значения

кинетической и потенциальной энергий

физической системы (осциллятора) равны и каждое составляет половину их

полной энергии:

W Wm A W

k p

2 2

4 2. (2.29)

Рис. 2.6

2.7. Затухающие гармонические колебания

На любое реальное тело, совершающее гармонические колебания,

действуют не только квазиупругая сила, но и силы трения или сопротивления

среды.

На преодоление трения в опорах и сопротивления окружающей среды,

на создание упругих деформаций, возбуждение волн и т. д. требуется

энергия.

Поэтому полная механическая энергия колеблющейся частицы

непрерывно уменьшается, переходя в другие виды энергии в виде тепла, или

рассеивается в окружающей среде.

Это сразу же скажется на величине амплитуды.

Она будет уменьшаться, т. е. колебания постепенно будут затухать,

пока не прекратятся совсем.

Колебания называют затухающими, если убыль энергии физической

системы не восполняется в процессе ее колебательного движения.

Для вывода дифференциального уравнения затухающих колебаний

необходимо учесть все силы, действующие на частицу, совершающую

колебания.

Кроме квазиупругой силы, вызывающей колебания, на частицу

действуют силы сопротивления (трения) со стороны окружающей среды.

В качестве примера рассмотрим колебания шарика на пружине,

происходящие в вертикальной плоскости вдоль оси У в вязкой среде, которая

оказывает сопротивление движению по закону Стокса:

сF b v .

При малых колебаниях и соответственно малых скоростях движения

(ламинарное течение жидкости) сила сопротивления пропорциональна

первой степени скорости частицы и направлена в сторону, противоположную

движению:

Fc = bv = b (dx/dt). (2.30)

Следовательно, полная сила, действующая на частицу, равна

геометрической сумме квазиупругой силы и силы сопротивления:

F = kx bv, (2.31)

где

F ma mx

d

d

t

2

2. (2.32)

После подстановки равенств (2.30) и (2.32) в (2.31) получим

однородное дифференциальное уравнение второго порядка затухающих

гармонических колебаний:

0xm

k

dt

dx

m

b

d

x

t

d2

2

. (2.33)

Его решением является функция

x A e tto0 cos( ) , (2.34)

где

A e t0 амплитуда затухания; , и о некоторые постоянные.

На рис. 2.7 приведен график

свободных затухающих колебаний, где

пунктирной линией показано

изменение амплитуды этих колебаний

с течением времени.

В справедливости выбранного

решения можно убедиться следующим

образом.

Для этого достаточно найти

первую и вторую производные данного

решения и затем подставить в

дифференциальное уравнение (2.33).

После подстановки найдем значение для постоянной и установим ее

физический смысл, а также круговую частоту и период Т затухающих

свободных колебаний.

Найдем первую производную смещения х, т. е. скорость:

vdx

dtA e t A e t

t t0 0 0 0cos sin ( ).

Вторая производная,

т. е. ускорение

adv

dtA t A Sin t

t t

e o oe02 2

02cos .

Полученные значения смещения х, скорости v и ускорения а

подставим в уравнение (2.33) и придем к следующему тождеству:

A At t

e et m b k t m bo o0 02 2 2 0cos sin .

Поскольку в данном тождестве А0 = const, при любом t, то правую и левую

части тождества разделим на Ate0 , учитывая, что ( t

e 0).

Получим выражение из двух слагаемых, сумма которых равна нулю:

cos sin .t m b k t m bo o2 2 2 0

В полученном выражении одновременно sin и cos нулю не равны.

Выражение будет равно нулю, когда нулю будет равно каждое

слагаемое одновременно, т. е.

m(2

2) b + k = 0, (2.35)

( 2m b) = 0. (2.36)

Получили два уравнения относительно переменных и .

Рис. 2.7

Из выражения (2.36) имеем, что 2m b = 0, так как 0, откуда

найдем коэффициента затухания

=b

m2.

Коэффициент затухания колебаний физической системы прямо

пропорционален коэффициенту сопротивления окружающей среды и

обратно пропорционален массе системы. Характеризует быстроту

затухания свободных колебаний.

Величину коэффициента затухания подставим в формулу (2.35)

m mm

kb

m

b2

2

22

4 20.

После незначительных преобразований найдем значение частоты

затухающих колебаний и период Т:

k

m

b

m

2

24. (2.37)

Вследствие того, что k

m = o

2,

где k – коэффициент квазиупругости, m – масса частицы, 0 – собственная

круговая частота физической системы, период затухающих колебаний

T

o

21

2 2

. (2.38)

Замечание: Если b2 > 4mk, то круговая частота будет мнимой и

произойдет не колебание, а апериодическое

движение (закритическое затухание, кривая А,

рис. 2.8). Кривая В (рис. 2.8) соответствует

докритическому затуханию при b2

<< 4mk, а

кривая Б (рис. 2.8) характеризует критическое

затухание (демпфирование) при b2 = 4mk.

Физическая система при этом приходит в

равновесие за максимально короткое время. На

практике используется для плавного закрытия

дверей, в амортизаторах автомобилей, машин,

для успокоения колебания стрелочных приборов

и т. д.

2.8. Основные параметры затухающих колебаний

Для описания затухающих колебаний используются: время релаксации,

коэффициент затухания, логарифмический коэффициент затухания,

добротность системы и т. д.

1. Время релаксации .

Временем релаксации называют промежуток времени, за который

амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз (е – основание

Рис. 2.8

натуральных логарифмов).

2. Коэффициент затухания .

Коэффициентом затухания называют физическую величину, обратно

пропорциональную времени релаксации: =1

или =b

m2. (2.39)

3. Логарифмический декремент затухания .

Логарифмическим декрементом затухания называют натуральный

логарифм отношения амплитуды в данный момент времени к амплитуде

колебания спустя период.

Действительно,

n TA

A

0

- t

0

- t+T

e

e. (2.40)

Логарифмический декремент затухания прямо пропорционален

произведению коэффициента затухания и периоду затухающих колебаний.

4. Добротность системы Q.

Из параграфа 2.7 следует, что круговая частота частицы (шарика на

пружине – осциллятора) с учетом сил сопротивления [формула (2.37)]

меньше собственной частоты гармонических колебаний осциллятора без

учета сил трения.

Следовательно, период затухающих колебаний Т, наоборот, больше

периода собственных колебаний Т0.

Причина ясна. Вязкое трение тормозит движение шарика.

Физическую величину, характеризующую потери энергии при

затухающих колебаниях, называют добротностью.

Добротность Q физической системы можно найти по формуле

QW t

W t W t T2 . (2.41)

Как известно, энергия прямо пропорциональна квадрату амплитуды,

тогда формулу (2.41) можно представить в следующем виде:

Qt

t t T)

A

A Ate

22

1

2

2 2

( )

( ) (. (2.42)

где

А(t) = A0 еt.

При малых колебаниях физической системы (малы сопротивление,

потери энергии) добротность можно найти при Т Т0 по формуле:

Q =o

2

или

Q .

Добротность безразмерна.

В табл. 2.1 приведены значения добротности различных физических

систем, совершающих колебания.

Затухающие колебания можно изучать, используя метод векторных

диаграмм.

В этом случае вращение вектора амплитуды происходит по

логарифмической спирали (фазовая траектория), асимптотически

приближаясь к началу координат при t (фокус 0, рис. 2.9).

Уравнение логарифмической спирали имеет вид

z = a e bt

,

где а и b – комплексные числа.

Если точка К движется по спирали с постоянной угловой скоростью,

приближаясь к фокусу, то ее проекции на оси координат Х и У будут

совершать затухающие колебания, и система не может совершать

периодических движений.

2.9. Понятие о связанных гармонических осцилляторах

Рассмотрим процесс малых колебаний двух пружинных маятников с

массами грузов m1 и m2 и с коэффициентами жесткости пружин k1 и k2 соответственно, соединенных последовательно (рис.2.10).

Рис. 2.9

Таблица 2.1

Источник колебаний Q

Возбужденное ядро

2657Fe

3 1012

Лазеры 1012

Колебания электронов в

атомах

107

Колебание струны 103

Колебания при

землетрясении

25 –

–1500

Силы сопротивления не учитываем. Данная система, выведенная из

положения равновесия, будет совершать

связанные гармонические колебания с двумя

степенями свободы. Используя динамику

поступательного движения, для связанных

пружинных маятников, запишем уравнения

движения грузов в следующем виде:

,0xx)1n(dt

xd2

2011

2012

12

(2.43)

,0xx

dt

xd1

2022

2022

22

(2.44)

где ,m

k

1

1201 ,

m

k

2

2202 .

k

kn

1

2

Используя метод характеристического уравнения, решения уравнений

(2.43) и (2.44) запишем в виде: ,eAx,eAx ti22

ti11 (2.45)

где А1 и А2 некоторые постоянные. В результате после подстановки

уравнения (2.45) в (2.43) и (2.44), используя только вещественные части этих

решений, окончательно получим:

x1 = а1 cos( 1t + 01) + a2 cos( 2t + 02),

(2.46)

x2 = 1а1 cos( 1t + 01) + 2a2 cos( 2t + 02),

(2.47)

где а1, а2, 1, 2 – некоторые постоянные;

причем .n

)1n(,

n

)1n(

201

22

201

2201

21

201

1 (2.48)

Если ввести новые динамические переменные (обобщенные

координаты) 1 и 2, т. е. 1 = а1cos ( 1t + 01), 2 = а2cos ( 2t + 02), то

каждая переменная будет изменяться по гармоническому закону с

амплитудами а1 и а2 и начальными фазами 01 и 02, соответственно.

Совершаемые новыми динамическими переменными 1 и 2 простейшие

гармонические колебания называют нормальными колебаниями системы

связанных осцилляторов (нормальными модами).

Лекция 9

2.13. Несинусоидальные колебания.

Фурье-анализ

При сложении гармонических колебаний с набором различных

круговых частот 1 = , 2 = 2 , 3 = 3 , ... , k = k

Рис. 2.10

возникают уже не гармонические, но периодические колебания периода Т.

В этом случае любое сложное периодическое колебание (t) можно

рассматривать как сумму более простых гармонических колебаний с

частотами, кратными основной круговой частоте, и записать в следующем

виде:

( ) cos sintA

A k t B k to

k kk2 1

.

Периодическая функция (t) представляет собой разложение

сложного периодического колебания в ряд Фурье (гармонический анализ).

Члены ряда Фурье называются первой (основной) 1, второй 2,

третьей 3 и т. д. гармониками общего периодического колебания (t).

Вся совокупность гармоник сложного колебания образует частотный

спектр. Отдельные простые гармонические колебания, на которые

разложено общее периодическое колебание, называют дискретным спектром

частот в отличие от общего непериодического колебания, которое имеет

непрерывный (сплошной) спектр частот от 0 до .

Используя метод Фурье можно осуществить оптическую

фильтрацию пространственных частот, например, с помощью метода

двойной дифракции.

2.10. Вынужденные механические колебания

Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы они

совершались достаточно долго, необходимо периодически пополнять

энергию колеблющейся системы, действуя на нее внешней силой, которая,

сама изменяется по гармоническому закону:

F (t) = F cos вt. (2.49)

Например, на пружинный маятник при колебаниях в вертикальной

плоскости в нижней его точке действует периодическая внешняя сила.

Тогда вынужденные колебания физической системы совершаются

согласно неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка:

2

2

22d

t

x

d

dx

dtx

FCos t

moв . (2.50)

Из математики известно, что его решением является решение общего

однородного уравнения (2.50), обозначим его через x1(t), и частного решения

собственно неоднородного уравнения в виде x2(t).

Действительно, после приложения внешней силы сначала возникает

переходное состояние, при котором физическая система одновременно

участвует в двух колебаниях.

Поэтому решением уравнения (2.44) будет выражение из двух

слагаемых: x(t) = x1(t) + x2(t), где первое слагаемое x1(t) есть решение

затухающего колебания, которое быстро затухает и, следовательно, его

можно не учитывать.

Второе слагаемое x2(t) соответствует решению незатухающих

периодических колебаний с частотой, равной круговой частоте

вынуждающей силы в:

x(t) x2(t) = Acos( вt + о), (2.51)

где А – амплитуда вынужденных колебаний; о – сдвиг фаз между

смещением и вынуждающей силой.

Установившиеся вынужденные колебания физической системы

являются также гармоническими (рис. 2.11).

Найдем значения амплитуды А и начальной фазы 0.. Для этого

запишем первую и вторую производную частного решения уравнения (2.51) в

виде:

в в в в вv

dx

dtА t А to osin cos .

2 (2.52)

в

в вt

в вtа

dv

dtА Аo o

2 2cos cos .

(2.53)

Полученные значения смещения х, скорости vв и ускорения ав

подставим в (2.50).

Тогда получим

А t А АF

mt

в в o в вt

o o вt

o в

2 222

cos cos cos cos .

Для упрощения решения и быстрого получения результатов используем метод

векторных диаграмм, так как последнее равенство показывает, что происходит

сложение трех одинаково направленных гармонических колебаний с различными

амплитудами, но одинаковой круговой частотой и начальными фазами, соответственно

равными:

о1 = о + , о2 = о + /2, о3 = о.

Вынужденные

колебания происходят с

результирующей амплитудой

F/m.

Если положить

начальный момент t = 0, то на

рис. 2.12 можно изобразить

векторы амплитуд всех

четырех колебаний.

Согласно рис. 2.12,

имеем, что

2

2

22

2 2 2

2Fm

А о в в

.

Результирующая амплитуда

A

F

m o в в

2 2 22 2 4

. (2.54)

Вывод: Амплитуда

вынужденных колебаний зависит от

соотношения между круговой

частотой вынуждающей силы и

собственной частотой физической

системы и от коэффициента

затухания.

Из рис. 2.12 найдем

начальную фазу результирующего

колебания о:

2в

20

в2tg

0 (2.55)

Вывод: Сдвиг фаз между

смещением пружинного маятника

и вынуждающей силой зависит

сложным образом от коэффициента

затухания, частоты вынуждающей силы и собственной частоты физической

системы.

2.11. Механический резонанс

Рис. 2.11

Рис. 2.12

3

2

1

Рис. 2.13

В связи с тем, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от

частоты вынуждающей силы, проведем исследование этого вопроса более

подробно. Для этого построим графики зависимости амплитуды А и

начальной фазы 0 от круговой частоты вынужденных колебаний в (рис.

2.13, 2.14):

Анализ графиков показывает: 1. Если в , то А 0,

tg 0 0, т. е. 0 .

2. Если в 0, то 0 = 0,

А = F/(m 02) статическое смещение,

происходящее под действием постоянной

силы, т. к. F(t) = Fcos t = const. Область

резонанса: в = 0.

Согласно формуле (2.54) амплитуда

вынужденных колебаний будет

максимальной:

в

max

m2

FА . (2.56)

а значение tg 0 , 0 /2

Механическим резонансом

называют явление резкого возрастания амплитуды колебаний, когда

круговая частота вынужденных колебаний в совпадает с собственной

круговой частотой 0 физической системы.

В этом случае подкоренное выражение в (2.54) принимает

минимальное значение. Из математики известно, если некоторая функция

имеет минимум, то ее производная равна нулю, т. е.

0d

224d

в

в2в

2o

.

Откуда следует, что

24

20

резв

. (2.57)

Действительно, если сопротивление отсутствует ( = 0), то в = o и

наступает резонанс, при котором амплитуда колебаний стремится к

бесконечности (кривая 1, рис. 2.13).

Если же 0, что реально всегда имеет место на практике, тогда врез

<

o и пик соответствующих кривых при резонансе наступает ранее, чем

частота вынужденных колебаний сравняется с собственной частотой

колебаний физической системы (рис. 2.13, кривые 2, 3).

Явление резонанса очень широко используется в науке и технике.

Например, для обнаружения весьма слабых колебаний.

Действительно, каждая деталь, механизм, машина или постройка и т. д.

Рис. 2.14

имеют собственную частоту колебания.

Если они при работе попадают под действие вынуждающей силы, т. е.

последствия при совпадении частот могут быть весьма опасными.

(Вспомните знаменитый мост, который был полностью разрушен, когда рота

солдат шла по нему строем и в ногу).

Выше мы говорили, что при вынужденных колебаниях физической

системы поглощается энергия, пополняемая вынуждающей силой. Среднее

за период значение поглощаемой энергии, как показывают расчеты,

п о г л вW Аm 2 2 0.

Такая же работа, но со знаком «+», совершается вынуждающей силой.

Вывод: Поскольку амплитуда вынужденных колебаний зависит от

вынуждающей частоты и имеет резонансный максимум при в = o, то

поглощаемая энергия, наоборот, имеет резонансный минимум не пик, а

«провал» или «яму» (рис. 2.15).

Следовательно, при изучении зависимости поглощаемой энергии от

вынуждаемой частоты можно также обнаружить резонансные явления и

соответственно найти спектр собственных частот исследуемых физических

систем (ядер, атомов и т. д.).

На рис. 2.16 приведен экспериментальный спектр поглощения

синтетического алмаза, полученного на приборе Specord M-82, любезно

предоставленный доцентом кафедры физики КГТУ А. Я. Корцем (18 мая

1995 г.). Алмазный порошок получен в лаборатории КГТУ методом

направленного взрыва.

Лекция 10

2.12. Параметрические колебания.

Параметрический резонанс

Параметрическими называют колебания, при которых один из

параметров физической системы периодически изменяется.

Параметрические колебания наблюдаются в самых разнообразных

100%

Рис. 2.16

Рис. 2.15

физических системах: например, маятника в виде груза, подвешенного на

нити, длину которой периодически изменяют (рис. 2.17).

Такой маятник с неподвижным подвесом совершает колебания с

собственной частотой o2= g/ , а сила натяжения нити максимальна в

нижних положениях и минимальна в крайних.

Следовательно, если уменьшать длину в нижних и увеличивать в

крайних состояниях, то при этом выполняется условие

н ако

н акоТ

Т

n2 2, , (2.58)

где Тнак и нак – период и частота накачки; n – целое число (n = 1, 2, 3,...).

Наиболее эффективна накачка при n = 1.

В среднем за период работа внешней силы остается положительной,

что способствует увеличению колебаний

физической системы.

Выясним физическую сущность

параметрических колебаний.

В состоянии 0 (рис. 2.17) совершается

положительная работа (уменьшается длина

маятника), т. е. увеличивается энергия

колебаний, т. к. при этом растет амплитуда

колебаний.

При удлинении нити (состояние 1, 1 )

отбирается энергия у маятника.

Но сообщаемая энергия больше, чем

отбираемая за период.

Почему?

Действительно, в состоянии равновесия сила натяжения нити не только

уравновешивает силу тяжести, но и сообщает маятнику ускорение, а в

крайних состояниях сила натяжения нити уравновешивает только

составляющую силы тяжести.

Следует помнить, что для возбуждения параметрических колебаний

принципиально важно, чтобы физическая система до этого уже совершала

собственные колебания с частотой 0.

В колебательных системах с многими степенями свободы возможны

нормальные колебания (моды) с частотами 1 и 2 (если система состоит из

двух связанных маятников, индуктивно связанных контуров и т. д.).

Энергия колебаний, запасенная в какой-либо физической системе,

содержит не только состояния с частотами: 2 1 и 2 2, но и, равными сумме

и разности частот.

Параметрический резонанс – явление раскачивания колебаний при

периодическом изменении параметров тех элементов колебательной

системы, в которых сосредоточена энергия параметрических колебаний.

В колебательных системах с распределенными параметрами с большим

числом степеней свободы также возможно возбуждение нормальных

Рис. 2.17

колебаний в результате параметрического резонанса.

Параметрический резонанс может приводить к раскачиванию изгибных

колебаний вращающих валов различных механизмов и машин.

На явлении параметрического резонанса основано всем известное

самораскачивание на качелях.

Параметрический резонанс учитывается и в небесной механике при

расчете возмущений планетных орбит под влиянием других окружающих

тел, при расчете излучения «черных дыр», в ядрах кристаллов и т. д.

3. АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

3.1. Нелинейный осциллятор

Все физические системы совершают нелинейные колебания.

Нелинейным осциллятором называют систему, которая описывается

нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, а вторая

производная от переменной по времени входит в уравнение линейным

образом.

Примерами таких систем могут служить колебания математического

маятника, если его отклонить на большие углы от положения равновесия или

пружинного маятника.

Такие колебания совершаются в потенциальных (консервативных)

системах без внешнего воздействия и без диссипации энергии.

В указанных условиях нелинейные системы будут совершать

ангармонические колебания, т. к. решения таких нелинейных

дифференциальных уравнений, кроме гармоник первого порядка содержат

гармоники более высокого порядка.

Примерами сложных колебаний являются межатомные,

межмолекулярные и другие взаимодействия, которые не являются строго

линейными, поэтому возникают не гармонические, а так называемые

ангармонические колебания.

Ангармонизм колебаний объясняет тепловое расширение кристаллов.

С ангармонизмом связано отличие друг от друга изотермических и

адиабатически упругих постоянных твердых тел и др. свойства.

Все нелинейные колебания не являются изохорными.

Принцип суперпозиции для нелинейных колебаний не выполняется.

3.2. Автоколебательные системы

Системы, способные совершать незатухающие колебания в отсутствие периодического внешнего воздействия, называются автоколебательными системами.

Примерами таких систем являются: часы, двигатели внутреннего

сгорания, ламповые генераторы

электромагнитных колебаний и т. д.

В таких системах всегда

присутствует источник энергии для

восполнения потерь на диссипацию,

например, выделение тепла джоуля-

ленца при протекании тока в

электрической цепи лампового

генератора.

Кратко рассмотрим

возникновение автоколебаний на

примере лампового генератора

электромагнитных колебаний (рис. 3.1), где Л – лампа-триод, S – сетка, А –

анод, К – катод, L2 – индуктивность, R – сопротивление, C – емкость, L1 –

катушка обратной связи, ЭДС источника тока.

При разряде конденсатора через

лампу будет течь анодный ток Ia, а

потенциал сетки упадет, что приведет к

уменьшению анодного тока.

Если витки катушек намотаны

параллельно, то за счет взаимной

индукции затухание в контуре увеличится.

Возникнет отрицательная обратная

связь.

Если же витки катушек намотаны

антипараллельно, то затухание в контуре

уменьшится, амплитуда колебаний начнет

возрастать.

Возникнет положительная обратная

связь.

Вид фазовой кривой для такого случая приведен на рис. 3.2.

Если выполняется условие SM / C > R, то состояние равновесия (т. 0)

будет неустойчивым фокусом, где S – крутизна сеточной характеристики; М

– коэффициент взаимной индукции.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Любое малое отклонение системы от равновесия будет возрастать.

Колебательный контур начнет самовозбуждаться.

В контуре устанавливаются автоколебания с постоянной амплитудой, которая не зависит от начальных условий, а определяется параметрами системы.

Это есть общее свойство всех автоколебательных систем.

В пределе, при t автоколебательный режим достигается асимптотически, а фазовые траектории приближаются к некоторой постоянной траектории, называемой предельным циклом.

Например, эллипсу (на рис. 3.3 эллипс изображен пунктиром).

Раскручивающаяся спираль 2 (рис. 3.3) есть фазовая траектория, выходящая на предельный цикл-эллипс, и относится к случаю, когда начальная амплитуда меньше предельной.

Если начальная амплитуда автоколебаний лампового генератора, возбуждающего

электромагнитные колебания, больше предельной, то фазовая траектория, входящая в

эллипс, стремится к предельному циклу-эллипсу с внешней стороны 1 (рис. 3.3).

3.3. Понятие о релаксационных колебаниях

Если некоторый плавный процесс автоколебаний системы в некоторый

момент времени испытывает резкое изменение, а затем снова

возобновляется, и в дальнейшем периодически

повторяется, то такие колебания называются

релаксационными. Такие колебания можно наблюдать, используя

схему рис. 3.4, где ЛН – неоновая лампа,

С – конденсатор,

R – сопротивление,

ЭДС источника тока.

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Неоновая лампа имеет нелинейную вольтамперную характеристику

типа гистерезиса (рис. 3.5).

Если повышать напряжение на неоновой лампе, то при U = U2 (рис. 3.6)

она загорается красноватым светом.

При дальнейшем повышении напряжения ток в лампе нарастает по

линии СВА (рис. 3.5).

Если уменьшать напряжение на неоновой

лампе, то при U1 < U2 она гаснет (рис. 3.6).

Поэтому напряжения U1 и U2 называют

потенциалами гашения и зажигания.

При замыкании цепи (рис. 3.4)

конденсатор начнет заряжаться, напряжение на

нем возрастает по закону

U = (1 – e t/),

где = RC – время релаксации.

При U = U2 конденсатор начнет

разряжаться через лампу. При U = U1 лампа

погаснет и снова начнется зарядка конденсатора.

Такой процесс будет продолжаться

периодически с периодом Т.

Зависимость напряжения от времени U =

U(t) представлена на рис. 3.6 в виде

пилообразной кривой.

В рассматриваемом случае автоколебания

возникают из-за определенного времени

релаксации, поэтому такие колебания

называются релаксационными.

4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

4.1. Волны продольные и поперечные

После возбуждения колебаний в произвольной точке пространства,

заполненного упругой (твердой, жидкой, газообразной) средой, в ней

начинают распространяться волновые процессы.

Процесс распространения колебаний в упругой, однородной и

непрерывной среде в пространстве и времени называют волновым

процессом.

За время существования волны частицы среды совершают колебания

около положения равновесия, причем различные частицы колеблются друг

относительно друга со сдвигом по фазе и не переносятся волной.

Волновые процессы характерны для многих материальных объектов,

начиная от элементарных частиц до гигантских космических структур.

Например, осцилляция Солнечной системы относительно плоскости

Рис. 3.5

Рис. 3.6

галактического экватора происходит с периодом около 60 млн. лет.

Различают волны продольные и поперечные (рис. 4.1, а; рис. 4.1, б).

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль направления их

распространения, называют продольными.

При распространении продольной волны в среде создаются

чередующиеся сгущения и разрежения частиц, которые перемещаются в

направлении распространения волны со скоростью v.

Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях,

перпендикулярных к направлению распространения волны, называют

поперечными.

Механические поперечные волны могут возникать лишь в среде,

способной сопротивлению к

сдвигу. Поэтому в жидкостях

и газах возможно образование

только продольных волн. В

твердой среде (земная кора)

возникают как продольные,

так и поперечные волны.

4.2. Длина волны

Расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в

одинаковой фазе, называют длиной волны.

Волна, распространяясь со скоростью v за время T, пройдет путь,

равный vT,

т. е.

= v T (4.1)

или

= 2 / ,

где

T = 2 / . (4.2)

4.3. Волновой фронт. Волновая поверхность

Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс

охватывает все новые и новые области пространства.

Геометрическое место точек, до которых распространились

колебания к данному моменту времени, называют волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе,

называют волновой поверхностью.

Волновых поверхностей существует бесчисленное множество, в то

время как волновой фронт в данный момент времени только один.

Волновые поверхности остаются неподвижными (т. к. проходят через

положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе), а

Рис. 4.1

волновой фронт все время перемещается.

Волновая поверхность и фронт волны могут быть любой формы:

плоские, сферические,

цилиндрические и т. д.

Следовательно,

волновые поверхности

представляют собой систему

параллельных друг другу

плоскостей (рис. 4.2, а) или

систему концентрических

сфер (чередуются гребни и

впадины волн, рис. 4.2, б).

Различают волны,

которые распространяются

не только внутри сред, но и

на их поверхности (например, ПАВ поверхностные акустические волны) и

т. д.

Среды, в которых распространяются волны, бывают однородные и

неоднородные, изотропные и анизотропные, сплошные (непрерывные) и т. д.

Среду называют однородной, если ее физические свойства не

изменяются от точки к точке.

Если физические свойства cреды (вещества) изменяются от точки к

точке, то ее называют неоднородной.

Среду называют изотропной, если ее физические свойства одинаковы

по всем направлениям.

Если физические свойства среды неодинаковы по различным

направлениям, то ее называют анизотропной.

Замечание: В действительности колеблются не только частицы, а

совокупность частиц, заключенных в некотором объеме пространства.

Лекция 11

4.4. Уравнение плоской бегущей волны

Для описания волновых процессов используют волновые уравнения.

Например, уравнение плоской бегущей волны можно представить в общем

виде s(х, y, z, t) = 0. (4.3)

В общем случае волны распространяются в пространстве в какой-то

среде. При описании волн будем считать, что они распространяются,

например, вдоль оси Х, т. е. только вдоль одного направления. Если источник

колебаний будет находиться в начальный момент времени в точке 0, то

спустя некоторое время после возбуждения колебаний, волна,

распространяясь со скоростью v в направлении оси Х, достигнет точки М с

некоторым запаздыванием (рис. 4.3), т. е.

Рис. 4.2

t = t = t х / v, где х расстояние от источника колебаний до точки М;

v скорость распространения волны.

Таким образом, от

уравнения колебаний

s = Аcos( t + o)

переходим к уравнению

бегущей плоской волны

s A t ocos (4.4)

или

s A tv

x ocos . (4.5)

Используя формулу

длины волны (4.1), перепишем

последнее уравнение в виде s A t x ocos2

или

s A t kx ocos , (4.6)

где k =2

=v

(4.7)

волновое число.

В связи с тем, что волны распространяются в средах с

пространственными координатами x, y, z и в течение некоторого времени t,

используют понятие волнового вектора k .

Положение частиц среды, до которых распространилась волна,

определяют радиус-вектором r .

Поэтому уравнение волны можно представить в следующем виде:

s A t k r ocos , (4.8)

где

k r x y zx y zk k k .

Без вывода приведем уравнение сферической волны, когда среда не

поглощает энергию:

сф os

A

rt krcos , (4.9)

где Ar

амплитуда сферической волны.

Рис. 4.3

4.5. Волновое уравнение

Для однородной, изотропной, непрерывной среды, которая не

поглощает энергию вместо уравнения волны используют волновое

уравнение, представляющее собой дифференциальное уравнение в частных

производных.

Волновое уравнение можно получить, если найти вторые частные

производные по каждой из координат, используя уравнение плоской бегущей

волны (4.8)

2

2

2 2sk r s

tA t ocos ,

2

2

2 2s

xsx o xk A t k r kcos , (4.10

*)

2

2

2 2s

yk A t k r k sy o ycos ,

2

2

2 2s

zsk A t k r k

z o zcos .

После сложения производных по координатам, используем оператор

Лапласа,

2

2

2

2

2

2x y z

или ss

x

s

y

s

z

2

2

2

2

2

2.

Запишем волновое уравнение:

s k sv

sv

s

t

22

2 2

2

2

1 или s

v

s

t

10

2

2

2. (4.10)

Если волна при распространении изменяется по гармоническому

закону, то она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным

уравнениям:

1) s = k2s, 2)

2

2

2s

t

s. (4.11)

4.6. Фазовая скорость

Скорость распространения волны входит в значение фазы волны (4.5).

Фазовой называют скорость, с которой распространяется

синусоидальная волна в данной среде.

Эта скорость равна скорости перемещения точек поверхности в

пространстве, если значение фазы постоянно.

Действительно, для плоской бегущей волны, имеем

t kx + o = const. После дифференцирования, получим

k (dx/dt) = 0

или

vф = dx/dt = / k . (4.12)

Например,

1. Фазовая скорость распространения звука в газах или жидкостях

vф2 = K ,

где К объемная упругость среды; плотность среды.

2. Если газ идеальный, то vф2=

RT

M,

где показатель адиабаты; R газовая постоянная; Т абсолютная

температура; М молярная масса газа.

3. В однородной изотропной среде (твердое тело) фазовая скорость

поперечных синусоидальных волн

vф2

= G

,

где G модуль сдвига твердой среды; плотность среды.

4. Фазовая скорость распространения поперечных волн вдоль струны

vф2 =

F

S

нат ,

где Fнат сила натяжения струны; плотность материала струны; S

площадь сечения струны.

4.7. Групповая скорость

В линейной среде волны распространяются независимо друг от друга.

Поэтому, если в данной среде одновременно распространяются N

синусоидальных волн, можно применить принцип суперпозиции и найти

результирующее смещение частиц среды в произвольный момент времени.

Используя Фурье-анализ и принцип cуперпозиции волн, можно любую

несинусоидальную волну разложить на систему простейших синусоидальных

волн, т. е. в виде волнового пакета или группы волн. В главе «Гармонический

осциллятор» отмечалось, что совокупность частот простейших

гармонических колебаний образует спектр частот (сплошной или

дискретный), если среда не обладает дисперсией.

Дисперсией волн называют зависимость фазовой скорости в среде от

частоты распространяющихся волн.

Дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой.

Если среда обладает дисперсией, то составляющие группы волн в

среде распространяются с различными скоростями и поэтому

результирующая волна изменяется.

Рассмотрим группу из двух волн, которые характеризуются тем, что

имеют равные амплитуды, но различаются частотами 1, 2 = 1+d

(d << 1) и волновыми числами k1, k2 = k1 + dk (dk<<k1). Волны

распространяются вдоль одного направления (ось х). В результате сложения,

имеем

s A t k x A d t k dk xcos cos .

После преобразований (при сложении мы учли, что d << , dk << k и

значениями d и dk можно пренебречь по сравнению величинами и k)

получим, что

s At d x dk

t kx22

cos cos . (4.13)

Амплитуда результирующей волны (квазисинусоидальной) имеет

следующий вид:

р cosезA A

t d x dk2

2 . (4.14)

Она зависит от координаты х,

времени t и является медленно

изменяющейся функцией (рис. 4.4).

Если скорость uг

перемещения точки M (рис. 4.4), в

которой амплитуда А имеет

фиксированное значение, например,

Арез= 2А, то закон движения точки

M запишется в виде

t d x dk = сonst.

После взятия производной по времени, имеем d dk dx

dt= 0

или uг =dx

dt =

d

dk. (4.15)

Скорость uг называют групповой.

Для сред, в которых наблюдается дисперсия волн, используют понятие

групповой скорости, характеризующей быстроту переноса энергии волн.

4.8. Связь фазовой и групповой скоростей

Известно, что волновое число

NM

Рис. 4. 4

kvф

или = kvф.

Найдем производную по k:

d

dkk

d

dkф

ф

vv . (4.16)

С другой стороны, волновое число можно выразить через длины

волны k =2

.

От этого равенства возьмем производную по :

dk

d

12

2

или

dk =( 2

2) d . (4.17)

Выражения (4.16) и (4.17) подставим в (4.15).

Учитывая, что k =2

, получим связь фазовой и групповой скоростей:

uг = vф (dv

d

ф). (4.18)

Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то

dv

d

ф = 0,

тогда фазовая и групповая скорости совпадают, т. е. uг = vф. Зная зависимость скорости распространения от длины волны в среде

v=f( ) и построив график, можно найти

величину групповой скорости.

Действительно, проведя

касательную к кривой в т. А (рис. 4.5) с

координатами vi и i, можно найти

отрезок, отсекаемый касательной на оси

ординат, равный значению групповой

скорости ui (метод Эренфеста).

4.9. Энергия волн

При распространении волн в среде происходит перенос энергии

волной. В это время в среде наблюдаются колебания ее частиц, т. е. частицы

среды приобретают кинетическую (за счет движения) и потенциальную (за

счет деформаций) энергии.

Найдем объемную плотность кинетической энергии wk cреды, в

которой распространяется волна:

Рис. 4.5

k

kw

W v vd

dV

dm

dV

2 2

2 2, (4.19)

где плотность среды;

v скорость колебания частиц cреды.

Скорость постоянна (v = сonst) в пределах объема dV.

Запишем формулу объемной плотности потенциальной энергии cреды:

pp ф

wW vd

dV

2 2

2, (4.20)

где плотность среды; vф фазовая скорость волны в среде;

относительная деформация.

Полная объемная плотность механической энергии волн в среде равна

сумме объемных плотностей кинетической и потенциальной энергий, т. е.

w k pфw w

v v2 2 2

2 2. (4.21)

При распространении волн в среде непрерывно происходит передача

энергии все новым и новым участкам среды за счет энергии источника.

В связи с этим объемная плотность полной механической энергии волн

зависит и от координат, и от времени.

Объемная плотность полной энергии волн (см. гл. 6) за период

w

A

AdW

dV

dm

dV

2 2

2 22

2. (4.22)

4.10. Поток энергии. Вектор Умова

Если на пути распространения волны поставить некоторую площадку

dS, то в этом случае говорят о потоке энергии через эту площадку.

Отношение энергии, переносимой сквозь некоторую площадку к

промежутку времени, за который произошел ее перенос, называют потоком

энергии.

Согласно определению можно записать формулу потока энергии:

dФэ=dW

dt. (4.23)

Используя объемную плотность энергии w, запишем полную энергию

волны

dW= w (vdt) dS сos ,

где = vdt расстояние, на которое перемещается волна, имея скорость v

за малое время dt; угол между векторами скорости и нормалью к

площадке (рис. 4.6) или

dW w v ds dt , где ds ds n .

Следовательно, поток энергии

переносимый волной

d w v dsэФ (4.24)

или

d U dsэФ , (4.25)

где

U w v (4.26)

называют вектором Умова, или вектором плотности потока энергии.

Вывод: Модуль вектора Умова характеризует плотность потока

энергии волны, переносимой через площадку перпендикулярно направлению

распространению волны, т. е., U =dФ

dS

э

0

.

Мощность потока энергии волны характеризуют интенсивностью

волны.

Модуль среднего значения вектора плотности потока энергии волн,

называют интенсивностью J .

Интенсивность волны энергия, переносимая волной через единицу

поверхности за единицу времени перпендикулярно к направлению

распространению волны.

Для плоской бегущей и сферической синусоидальных волн за период

интенсивность волны определяется выражением

J Uv

v wA2 2

2. (4.27)

Реальные среды, в которых распространяются волны, всегда

поглощают энергию. При этом происходит уменьшение амплитуды и

интенсивности волны, т. е. волны затухают.

4.11. Стоячие волны

Рассмотрим более подробно отражение волн. В частности, отражение

волн от среды с большим волновым сопротивлением.

По существу, вторая среда является преградой. Например, воздух и

стена здания.Запишем уравнения падающей и отраженной волн в виде

s1 = А cos ( t kx), s2 = А cos ( t + kx + 0). (4.28)

В отраженной волне 2 записана начальная фаза 0, равная разности

фаз рассматриваемых колебаний, которая может принимать 0 или , т. к. при

Рис. 4.6

отражении фаза результирующей волны может изменяться.

Падающая и отраженная волны отличаются направлением скорости

распространения, поэтому перед волновым числом в уравнении (4.28) взят

знак « + ». При отражении от преграды происходит сложение волн

(наблюдается явление интерференции) и возникает стоячая волна, уравнение

которой имеет вид

S = 2Аcos(kx + 0

2)cos( t + 0

2), (4.29)

где амплитуда стоячей волны

Аст= 2Аcos(kx + 0

2) . (4.30)

Из уравнения (4.29) заключаем, что в каждой точке стоячей волны

наблюдается колебание такой же частоты и периода, но амплитуда волны

зависит от координаты х.

Проведем анализ уравнения (4.30).

1. Условие максимума.

Фаза амплитуды стоячей волны равна целому числу , т. е.

кх + 0

2= m , где m = 0, 1, 2, ... или

2x + 0

2= m .

Найдем координату максимума (пучности):

Xm

пmax .

2 (4.31)

Для простоты полагаем значение начальной фазы равной нулю. При

таких условиях амплитуда стоячей волны максимальна:

А Ас тмах 2 , т. к. cos (m ) = 1.

2. Условие минимума

Фаза амплитуды стоячей волны равна нечетному числу /2:

кх + 0

2 = (2m+1)

2

или 2

x + 0

2= (2m+1)

2.

С учетом того, что 0 / 2 = 0, для координаты минимума (узел) имеем

Xm

уmin 2 1

4;

Астмin 0. (4.32)

Свойства стоячих волн: 1. Расстояние между узлом и пучностью равно:

xпуч хузел = /4.

2. Расстояние между соседними узлами или пучностями / 2, т. е.

длина стоячей волны ст = / 2. Читателю предлагается самостоятельно

проверить результаты выводов по пп. 1 и 2.

3. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты х,

рассматриваемой колеблющейся частицы среды.

В стоячей же волне все частицы среды между двумя узлами

совершают колебания с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами

(сифазны), потому что аргумент cos( t + 0 / 2) в уравнении стоячей волны

(4.29) не зависит от координаты х.

При переходе через узел фаза колебаний ( = t + 0 / 2) изменяется

скачком на , т. к. в амплитуде стоячей волны сомножитель cos(kx + 0 / 2)

изменяет свой знак на противоположный.

4. Если волна отражается от среды с большим волновым сопротивлением

(неверно говорить «при отражении от более плотной среды», как это пишут

иногда) фаза изменяется на противоположную. При этом происходит потеря

половины длины волны, потому что на расстоянии, равном половине длины

волны, фаза изменяется на . Поэтому после подстановки в уравнение

стоячей волны (4.29), например, значения разности фаз 0 = , будем иметь

s = 2Аsin (kx) sin( t). Поскольку механические волны являются следствием возникновения

деформаций в среде, вызванных источником упругих волн, то относительная

деформация среды изменяется по закону

=ds

dx = 2Aksin(kx +

20 )сos( t +

20 ), (4.33)

где s смещение волны; относительная деформация среды.

При этом скорость колебания частиц среды в стоячей волне

v =ds

dt = 2A cos(kx+

20 )sin( t+

20 ). (4.34)

Следовательно, в стоячей волне опережает скорость по фазе на /2.

Поэтому, когда скорость достигает максимума, относительная

деформация обращается в нуль и наоборот, когда скорость обращается в

нуль, относительная деформация достигает максимума.

Причем амплитуда скорости

va = 2A cos(kx + 0/2)

и амплитуда относительной деформации смещения

a= 2Aksin(kx + 0/2)

зависят от координаты х по-разному, т. е. в пучностях стоячей волны

размещаются пучности скорости и узлы деформаций среды, а в узлах стоячей

волны узлы скорости и пучности деформаций.

В упругой стоячей волне энергия периодически переходит из

потенциальной, которая локализована вблизи пучностей деформации, в

кинетическую энергию, локализованную вблизи пучностей скорости и

наоборот.

Таким образом, энергия периодически перемещается от пучностей к

узлам и наоборот от узлов к пучностям.

Но в самих узлах и пучностях плотность потока энергии равна нулю.

Поэтому среднее за период значение плотности потока энергии равно

нулю в любой точке стоячей волны, т. к. две бегущие навстречу друг другу

волны образуют стоячую волну и переносят за период равную энергию в

противоположных направлениях.

Собственные (резонансные) частоты стоячих волн.

На практике в случае свободных колебаний некоторых физических

систем, например струн, столбов газа и др., устанавливаются стоячие волны,

частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е. могут

принимать только определенные дискретные значения, называемые

собственными частотами данной колебательной системы.

Например, в точках закрепления струн или стержней размещаются

узлы смещения (пучности деформаций), а на свободных концах стержней

пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях воздушного столба

в цилиндрической трубке у закрытого конца трубки размещается пучность

давления, а у открытого узел давления. В качестве примера рассмотрим

возникновение стоячих волн при изменении натяжения колеблющейся

струны (параметрический резонанс). Частоты стоячих волн называют

собственными, или резонансными, т. к. такие колебания сопровождаются

резонансными явлениями. В отличие от пружинного, математического или

физического маятников, которые при колебаниях имеют одну собственную

резонансную частоту (одна степень свободы), натянутая струна имеет много

резонансных частот.

Эти частоты в

свою очередь кратны

низшей частоте.

Более

продолжительное время

сохраняются те волны,

которым соответствуют

резонансные частоты. В

точках закрепления

струны возникают узлы

(рис. 4.7). Для

нахождения

резонансных частот

воспользуемся тем, что длина стоячей волны связана с длиной самой струны:

= m2

, где m = 1, 2, 3, ... , и определяет число гармоник.

Например, основной тон (мода) первая гармоника, соответствует

пучности, а длина струны 1 = 1

2, (m = 1; 1 длина волны первой

гармоники). Для второй гармоники 2 = 2 (m = 2; 2 длина волны

второй гармоники), для третьей 3 = 2 3/3 (m = 3; 3 длина волны

Рис. 4.7

третьей гармоники) и т. д. Частоты колебания стоячей волны можно найти по

формуле

= m 2

v.

Замечание: Стоячая волна может существовать только при строго

определенных частотах колебаний.

Действительно, по условию при отсутствии колебаний на правом конце

закрепленной струны, где координата х = , а амплитуда обращается в нуль

и разность фаз = 0 = , то

Аст = 2А cos(kx 2

) = 2A sinkx .

В точках, где sin(kx) = 0, возникнут узлы и sin(k ) = 0.

Следовательно,

k = m . (4.35)

Общий вывод: Полученный результат является необычным для

классической физики, потому что k и могут принимать строго

определенные значения:

k = m

,

= m v

.

Наблюдаемое аномальное явление весьма существенно повлияло на

разгадку квантовых явлений.

Согласно выводам квантовой теории следует, что все микрообъекты

обладают корпускулярными и волновыми свойствами.

4.12. Акустический эффект Доплера

При неподвижном источнике колебаний, неподвижной среде и

неподвижном приемнике частоты излучаемых, распространяемых и

принимаемых волн равны.

Иначе дело обстоит, если они приходят в движение, т. е. происходит

изменение частоты регистрируемых волн.

Изменение частоты колебания волн вследствие движения источника

колебаний и приемника называют эффектом Доплера.

Рассмотрим несколько частных случаев, когда движется источник

(приближается удаляется), или приемник (приближается удаляется), или

оба вместе (приближаются удаляются).

1. Источник неподвижен, приемник приближается со скоростью u1

по прямой, совпадающей с осью Х (рис. 4.8, u1 < v).

Длина волны в среде постоянна: = 0= v / 0, где 0 частота

колебаний источника; 0 длина волны в среде при неподвижном источнике.

Скорость распространения волны

относительно приемника

uотн = u1 + v,

где v фазовая скорость волны в

среде.

Тогда частота волны,

регистрируемая движущимся

приемником,

= (u1+v)/ о

или

= o (1 u1/v). (4.36)

Знак “ " пишут в формуле (4.36), когда приемник удаляется.

Если приемник приближается к источнику так, что вектор его

скорости 1u образует угол 1 с осью Х, тогда частота волны, регистрируемая

приемником, определяется формулой

= 0 (1 u1 сos 1 / v). (4.37)

2. Приемник неподвижен, источник колебаний удаляется со скоростью

u2 вдоль оси Х (рис. 4.9, u2 < v).

Источник удаляется в среде за

время, равное периоду ( t = T0), на

расстояние u2 T0 = u2 / ,

T0 = 1/ 0,

где 0 и T0 частота и период

колебаний источника соответственно.

Поэтому при удалении источника

длина волны в среде отличается от

длины волны при неподвижном источнике 0 (она растет) и определяется

выражением

= 0 + u2T0 = (u2 + v) / 0, (4.38)

Найдем частоту, которую регистрирует приемник:

,

v

u1

1v

2o , (4.39)

где « » соответствует приближению источника.

В случае, если источник движется со скоростью u2 под углом 2 к оси Х,

.

cosv

u1

1

22

o (4.40)

3. Общий случай

Источник и приемник движутся одновременно относительно среды со

Рис. 4.8

Рис. 4.9

скоростями u2 и u1, соответственно.

В этом случае частота находится по общей формуле

.

cosv

u1

cosv

u1

22

11

o (4.41)

Замечание: Верхний знак в формуле (4.41) соответствует приближению

источника и приемника; нижний знак обозначает, что источник и приемник

удаляются.

Читателю предлагается вывести формулу (4.41) самостоятельно для

случая, когда приближается источник и удаляется приемник.

Вывод: Движение источника звуковых колебаний и приемника

приводят к изменению частоты волны, регистрируемой приемником.

Отличие результатов объясняется различными условиями при

движении приемника и источника.

Это особенно заметно, когда скорости перемещения источника и

приемника близки к скорости распространения волн в среде, в том числе и

звуковых.

Например, когда скорость приближения приемника к источнику

составляет девять десятых от скорости распространения волн в среде (u1=

0,9v), то частота звука, регистрируемая приемником, равна = 10 0, а при

удалении приемника всего

= 2 0.

Замечание: Казалось бы, какая разница что движется источник или

приемник?

Но все дело в том, что важно не относительное движение источника и

приемника, а их движение относительно среды, с которой связана система

отсчета, и это не противоречит принципу относительности.

Заключение. Эффект Доплера наблюдается в любой среде. Большое

значение он имеет в оптике («красное смещение» или «фиолетовое»).

Эффект Доплера используется для измерения скорости движущихся

объектов.

Например, при наблюдении за светящимися источниками (звезды,

галактики, квазары и т. п.) в космическом пространстве наблюдается

смещение спектральных линий в область красных частот, что

свидетельствует об их удалении, т.е. Вселенная расширяется.

4.13. Ударные волны

При движении тел в средах со скоростями, равными или больше

скорости звука, наблюдается резкое изменение параметров,

характеризующих состояние вещества из-за сильных возмущений

среды.Такие явления наблюдаются, например, при движении тел в газах со

сверхзвуковыми скоростями, при мощнейших электрических разрядах во

время удара их о преграду, при полетах сверхзвуковых самолетов, при

взрывах сверхновых звезд и т. д. Во всех таких случаях скорость

распространения возмущения уже зависит от его величины из-за

возникновения ударных волн. Ударной называют волну, распространяющуюся со сверхзвуковой скоростью, в

которой происходит скачок физических величин, характеризующих состояние

вещества плотности, давления, температуры, скорости движения частиц. Ударные

волны возникают в средах: жидких, твердых, газообразных.

Рассмотрим механизм возникновения ударной волны. Пусть тело

движется в газе со сверхзвуковой скоростью. Если скорость движения тела v

меньше скорости звука в газе vзв (v < vзв), то тело при своем движении

излучает волны сжатия вперед по направлению движения. Газ плавно

расходится, пропуская тело, обтекая его. Относительно системы отсчета,

связанной с телом, на больших расстояниях от начала координат поток газа

является плоскопараллельным, а вблизи тела линии потока газа плавно

искривляются, огибая его. Если тело имеет обтекаемую форму, то за ним не

возникает завихрений. Картина движения резко изменяется при

сверхзвуковом движении тела. Газ не успевает расходиться перед телом, его

догоняют сжатия (уплотнения) и возникает головной ударный фронт. В

хвостовой части тела также образуется ударная волна. Газ, сначала сжатый в

головной волне, затем расширяется до давления меньше первоначального.

Переход к первоначальному давлению и осуществляется в хвостовой

волне. На некотором расстоянии от тела фронт ударной волны (головной и

хвостовой) имеет форму конусов (рис. 4.10).

Из-за уплотнения газа в ударной

волне происходит изменение его

показателя преломления, что позволяет

сфотографировать ударную волну. Кроме

того, газ в ударной волне нагревается, т. к.

поток газа, натекая на тело, резко

тормозится, вплоть до полной остановки.

Кинетическая энергия газового потока

переходит во внутреннюю энергию. Даже

после прохождения ударной волны газ продолжает нагреваться, вплоть до

температуры торможения, что может вызвать свечение газа, но не из-за

трения тела в газе.

Причина свечения вызвана только его нагреванием в ударной волне.

Например, многие наблюдали свечение при падении метеоритов или

метеоров. Из-за высокой температуры поверхность тел даже оплавляется

Рис. 4.10

(падающие ступени ракет-носителей и посадочные капсулы). Все эти

процессы требуют затраты энергии со стороны тела, большая часть которой

идет на образование ударных и обычных волн. Естественно тело при этом

испытывает волновое сопротивление. Природа волнового сопротивления в

случае ударных волн иная, чем при движении тел с дозвуковой скоростью.

Для уменьшения волнового сопротивления (zсвзв > zзв) телу придают

стреловидную форму. Поэтому в передней части тела образуется конической

формы ударная волна, которая преломляет линии набегающего потока газа.

В хвостовой ударной волне они также испытывают преломление,

переходя снова в параллельный поток. Обе ударные волны заметны на

значительных расстояниях от тела, более чем 20 км. Их существование

проявляется, например, в виде резких хлопков (акустический удар) от

пролетающих сверхзвуковых самолетов. Ударная волна представляет собой

узкую область волнового поля среды, порядка среднего расстояния между

частицами газа среды, в которой плотность изменяется скачком. Мощные

ударные волны,

возникающие при термоядерных

взрывах или при взрывах сверхновых

звезд, сопровождаются яркой

вспышкой, которая позволяет судить о

приближении ударной волны.

В других случаях (когда вспышка не

возникает) о приближении ударной

волны нельзя узнать заранее, тем они и коварны (выбитые стекла, сорванные

крыши и т. д.). Если тело движется со скоростью меньше (рис. 4.11, а)

или равной звуковой (рис. 4.11, б), то распространение звуковых волн

происходит так, как показано на рис. 4.11, а, б, и сопровождается эффектом

Доплера. Для нахождения угла сверхзвукового

конуса ударной волны (рис. 4.12) можно

использовать принцип Гюйгенса. Из каждой

точки среды, через которую движется тело,

распространяется вторичная волна как от

точечного источника. Перед телом фронт

волны точечный, т. к. тело обгоняет волну.

Позади тела радиусы вторичных волн растут со

скоростью звука. Огибающая всех фронтов

вторичных волн является ударной волной в

виде конуса. Ударная волна удаляется от тела со скоростью его движения.

Угол раствора ударного фронта определяется отношением скорости звука и

скорости тела (рис. 4.12): sin = Vзв / vтела..

4.14. Солитоны

Солитон уединенная волна, не изменяющая своей скорости и формы

при перемещении в нелинейной среде с дисперсией.

Рис. 4.11

Рис. 4.12

Солитоны имеют большое значение в нелинейных волновых

процессах, такое же, как и линейный гармонический осциллятор в

классической физике. Разновидностью солитонов (уединенных волн)

являются цунами океанские волны с большим фронтом, образующиеся в

результате сильнейших подводных землетрясений.

Их скорость распространения колеблется от 100 до 1000 км/ч, а высота

волнового гребня от 1 до 10 м. В прибрежных зонах она достигает до 50 м и

выше, что естественно вызывает катастрофические последствия, особенно в

прибрежных областях Тихого океана.

Солитоны относится к классу бегущих волн, описываемых волновым

уравнением. При встречном движении двух солитонов они не искажают друг

друга и не изменяют своих параметров.

Устойчивое волновое образование при взаимодействии солитонов

может вызвать сдвиг фаз. Возникновение солитонов возможно только при

наличии дисперсии и нелинейности и в системах, где диссипация энергии

отсутствует (рис. 4.13).

Исследования солитонов на воде привели к интересным выводам.

Скорость их движения тем выше, чем больше глубина моря (океана). Для

слоя воды около 10 м скорость уединенной волны достигает 35 км/ч.

Поэтому уединенные волны образуются на малой глубине при реальных

скоростях современных морских судов.

Волна может отделиться от корабля, если

он выйдет на глубокую воду, т. к. скорость

уединенной волны при этом возрастает.

Профиль уединенной волны является

сложной зависимостью от условий ее

возбуждения и свойств среды, в которой она

распростроняется.

Нелинейные эффекты, связанные с

образованием солитонов, нашли широкое

практическое применение: генераторы и усилители электромагнитных

сигналов, умножители модуляторов и т. д.

Нелинейные эффекты возникают при полетах самолетов, ракет и

космических кораблей, а также при движении морских судов и т. п.

Типичным примером солитонов в твердых телах служат электрические

домены (эффект Гана, 1963 г.), солитоны в слабосвязанных

сверхпроводниках (эффекты Джозефсона, 1962 г.) и т. д.

…Могучие космические силы на части рвут Вселенские поля.

Там жар и холод, кочуя рядом, рождают новые тела...

Автор

Лекция 12

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

1. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕУЛЯРО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Рис. 4.13

1.1. Статистический и термодинамический методы

изучения физики

Для описания процессов, протекающих в твердых, жидких и

газообразных телах, используют статистический и термодинамический

методы исследования.

Теорию, изучающую свойства макроскопических тел, состоящих из

большого числа одинаковых частиц (атомов, молекул, электронов и т. д.),

называют статистической физикой.

В соответствии с принципом неопределенностей одновременно точное

определение координат и скоростей частиц невозможно. Статистическая

физика, используя законы теории вероятности, объясняет наблюдаемые на

опыте физические свойства тел как усредненный результат действия

отдельных частиц. Термодинамика изучает свойства макроскопических тел и

протекающие в них процессы, не рассматривая их внутреннее строение.

Основу термодинамики составляют фундаментальные законы (начала),

установленные как результат обобщения ряда опытных фактов.

Изучая одни и те же физические объекты с различных точек зрения,

статистическая физика и термодинамика взаимно дополняют друг друга и,

таким образом, дают более полное представление об изучаемых веществах.

1.2. Атомно-молекулярное строение вещества

Физическое тело в любом состоянии состоит из мельчайших частиц:

атомов и молекул, которые хаотически движутся. Интенсивность этого

движения зависит от температуры. Доказательством существования

теплового хаотического движения молекул является броуновское движение

(Броун, 1827 г.). Диаметр частиц Броуна – d 106 м, а размер молекул d

1010

м.

Броуновское движение – беспорядочное (хаотическое) движение

малых частиц, взвешенных в жидкости или газе, под действием ударов

молекул окружающей среды.

Гениальную догадку об атомистическом строении вещества,

высказанную мыслителями древности в XVII веке, подтвердил М. В.

Ломоносов, привлекая гипотезу атомно-молекулярного строения вещества

для объяснения наблюдаемых физических и химических явлений.

Вещество – вид материи, состоящей из фундаментальных

элементарных частиц кварков и лептонов (физическая или вещественная

материальность). Существует эфирная материальность (физический вакуум) состоящая из трех

компонент: абсолютного физического вакуума (АФВ); физического вакуума вещества

(ФВВ); физического вакуума антивещества (ФВА).

В основном вещество построено из электронов, протонов, нейтронов,

масса которых не равна нулю.

Согласно представлениям современной физики атом – наименьшая

часть химического элемента (микрочастица). Каждому химическому

элементу соответствует определенный род (вид) атома, обозначенного

химическим символом, например, медь – Сu железо – Fe, кислород – О и т.

д.

В свободном состоянии атомы образуют газ. В связанном состоянии

(или в составе молекул) атомы образуют жидкие и твердые тела. Все

физические и химические свойства атома определяются особенностями его

строения. Наиболее полно свойства атомов определены квантовой

механикой. Атом состоит из ядра и электронов.

В состав ядра атома входят протоны, несущие положительный

элементарный заряд + е ( е =1,6 1019

Кл), и нейтроны, не имеющие заряда.

Размер атома определяется электронной оболочкой (d 1011

– 1010

м).

Электроны – частицы, несущие отрицательный элементарный заряд ( е).

Молекула – наименьшая частица вещества, обладающая его

основными химическими свойствами и состоящая из атомов, которые

соединены между собой химическими связями.

Число атомов в молекулах колеблется от двух до сотен и тысяч.

Атом или молекулу, потерявшие один или несколько электронов,

называют положительным ионом с зарядом +nе, где n = 1, 2, 3, ... – кратность

ионизации, целое число. Атом или молекулу, присоединивший один или

несколько электронов, называют отрицательным ионом с зарядом nе.

Мерой количества вещества в СИ считается моль.

Моль – количество вещества, в котором содержится число частиц,

равное числу атомов в 0,012 кг изотопа углерода 612 C .

Массу моля вещества называют молярной массой и обозначают M.

Число молей

= m

M, (1.1)

где m – масса вещества.

Единицей измерения молярной массы в СИ считается кг/моль.

Так как в одном моле вещества содержится число молекул, равное

числу Авогаро (Na = 6,02 1023

моль1), а масса моля равна малярной массе,

масса одной молекулы

aN

М0m . (1.2)

Например, молярная масса воды M = 18 103

моль

кг, следовательно,

масса молекулы воды m0 3 1026

кг.

Если некоторая масса вещества содержит N молекул, то число молей

= N/Na. (1.3)

Если предположить, что молекулы воды имеют шарообразную форму и

плотно прилегают друг к другу, то диаметр одной молекулы

d = M

N a

3 . (d 3 1010

м).

Моли различных газов при нормальных условиях (температуре t0 = 0 оС

и атмосферном давлении Р0 = 1,013 105 Па) занимают объем V = 22,4 10

3 м

3.

1.3. Параметры состояния. Термодинамические системы

Совокупность макроскопических тел, которые при взаимодействии

обмениваются энергией между собой и окружающей средой, называют

термодинамической системой. Взаимодействие в физике – воздействие тел или частиц друг на друга,

приводящее к изменению состояния их движения.

Физические величины (например, давление, температура и т. д.),

характеризующие состояние термодинамической системы в данный

момент времени, называют параметрами состояния, или

термодинамическими параметрами. Число независимых параметров состояния равно числу степеней свободы

термодинамической системы. Различают параметры состояния физической системы

экстенсивные, т. е. пропорциональные массе системы (объем, внутренняя энергия,

свободная энергия, энтропия, термодинамические потенциалы и другим видам

энергий), и интенсивные, независящие от массы (давление, температура и прочие).

Рассмотрим некоторые из них.

Давление – физическая величина, характеризующая интенсивность

сил, с которыми одно тело действует нормально (перпендикулярно) на

поверхность другого – внутренний параметр системы. При равномерном распределении силы по поверхности давление находится по

формуле

pF

S. (1.4)

В СИ единицей измерения давления считается паскаль (Па), 1 Н/м2 = 1 Па.

На практике традиционно используют некоторые внесистемные

единицы. Например, 1 бар = 105

Па, 1 ат = 9,81 104

Па (техническая

атмосфера),

1 мм рт. ст.= 1,33 102 Па, 1атм =1,033 ат =1,013 10

5 Па (нормальная атмосфера).

Для измерения давления используют манометры, барометры,

вакуумметры, а также различные датчики давления.

Температура – физическая величина, характеризующая состояние

термодинамического равновесия для всех частей макроскопической

системы и являющаяся мерой отклонения от этого равновесия.

Температура – функция состояния системы, не зависит от предыстории

термодинамической системы (нулевое начало термодинамики).

Температуру невозможно измерить непосредственно.

Для измерения температуры используют температурные шкалы.

Например, газовая и термодинамическая температурная шкалы.

Термодинамическая температурная шкала основана на выводах

второго начала термодинамики.

Абсолютная температура по термодинамической температурной

шкале обозначается символом Т, в СИ измеряется в кельвинах (К).

Для термодинамической температурной шкалы, как и для любой

другой, необходимо задать значения двух фиксированных температур.

Например, Т = 0 К (абсолютный нуль температуры) и Т = 273,15 К

(точка плавления льда при нормальном давлении). На рис. 1.1 приведены

некоторые температурные шкалы. Введение Т = 0 К является

экстраполяцией и не требует реализации абсолютного нуля.

Термодинамическая (абсолютная) температурная шкала (шкала

Кельвина) имеет единицы температуры, совпадающие с единицами

температуры для стоградусной шкалы Цельсия, основанной на свойствах

идеального газа и значениях t = 0 oC (точка плавления льда) и t = 100

oC

(точка кипения воды).

Соотношение между температурами по шкале Цельсия и шкале

Кельвина записывают в виде: Т = t oC + 273,15

oC.

На практике для измерения температуры используют термометры,

градуированные по высокостабильным реперным точкам, таким, как тройная

точка кислорода, водорода, аргона; точки кипения этих и других газов

(например, неона); точки затвердевания чистых металлов и т. д., температуры

которых по термодинамической температурной шкале найдены предельно

точными измерениями.

При температуре абсолютного нуля Т = 0 К, согласно выводам

классической физики, в телах

полностью прекращается

тепловое хаотическое

движение.

Согласно квантовой

теории, в области сверхнизких

температур действуют законы

квантовой механики. При Т = 0

К

в телах существуют нулевые

колебания микрочастиц,

энергию которых нельзя отнять

никакими способами.

Состояние

макроскопической системы

определяется большим числом

параметров, и установление

равновесия по каждому из

параметров протекает по-

разному.

Состояние термодинамической системы, в которое она

самопроизвольно приходит через достаточно большой промежуток

времени, в условиях изоляции от окружающей среды, называют

равновесным.

Состояние термодинамической системы, в котором хотя бы один из

параметров, характеризующих ее состояние, изменяется, называют

неравновесным.

В состоянии термодинамического равновесия параметры системы не

меняются с течением времени во всех ее точках и прекращаются все

необратимые процессы, связанные с диссипацией энергии.

Определяющей величиной вещества (газообразного, жидкого,

твердого) является соотношение между средней кинетической энергией и

средней потенциальной энергией молекул этого вещества, т. е.

Т РWp

Wk

, . (1.5)

Для газовой фазы (Т, Р) << 1,

жидкой фазы (Т, Р) 1,

твердой фазы (Т, Р) >>1.

Если термодинамическую систему, находящуюся в неравновесном

состоянии, изолировать от окружающей среды и предоставить самой себе, то

она перейдет самопроизвольно в равновесное состояние.

Переход термодинамической системы из одного состояния в другое

Рис. 1.1

называют термодинамическим процессом.

Процесс перехода системы от неравновесного состояния к

равновесному называют релаксацией.

Количественной мерой релаксации служит время релаксации.

Например, приближение к состоянию равновесия кристаллических

структур в земной коре длится геологические эпохи (миллионы и миллиарды

лет).

Все релаксационные процессы являются неравновесными.

Примерами термодинамических процессов являются:

1. Изохорический процесс (V = const) – процесс перехода

термодинамической системы из одного состояния в другое при постоянном

объеме – закон Шарля.

2. Изобарический процесс (Р = const) – процесс перехода

термодинамической системы из одного состояния в другое при постоянном

давлении – закон Гей-Люссака.

3. Изотермический процесс (T = const) – процесс перехода термодина-

мической системы из одного состояния в другое при постоянной температуре –

закон Бойля – Мариотта.

4. Адиабатический процесс (Q = const) – процесс перехода

термодинамической системы из одного состояния в другое без теплообмена с

окружающей средой – закон Пуассона.

1.4. Уравнение состояния идеального газа

В состоянии термодинамического равновесия параметрами системы

являются давление Р, температура Т, объем V, масса m и т. д.

Указанные параметры (Р, V, T, m) не являются исчерпывающими из

всего многообразия макроскопических параметров.

Все они описывают внутреннее состояние тел с точностью до флуктуаций.

Флуктуациями называют случайные отклонения физической величины

от ее среднего значения.

Особенно малы флуктуации, когда физическая система находится в

состоянии термодинамического равновесия.

Поэтому макроскопические параметры с высокой точностью

характеризуют внутреннее состояние тел.

Закон, выражающий зависимость между параметрами состояния,

называют уравнением состояния:

f (Р, V, T) = 0. (1.6)

Установление вида этой функции в каждом конкретном случае

является сложной задачей, которая решена только для идеальных газов.

Из-за серьезных трудностей получить уравнение состояния для жидких

и твердых тел на основе микроскопических представлений пока не удалось.

Идеальным называют газ, взаимодействием между молекулами

которого можно пренебречь.

Взаимодействие молекул идеального газа со стенками сосуда, в

котором они находятся, – абсолютно упругое.

Газ – состояние вещества, в котором его частицы не связаны или

весьма слабо связаны силами взаимодействия и находятся в тепловом

хаотическом движении, заполняя весь объем.

Газы широко распространены и в космическом пространстве.

Нейтральные, или ионизированные атомы межзвездной среды входят в

состав галактик в виде молекулярных облаков, в которых рождаются звезды,

звездные ассоциации и т. д.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот, кислород, углекислый газ

и т. д.

Опытным путем установлено, что при комнатной температуре и

нормальном атмосферном давлении идеальный газ подчиняется уравнению

Клапейрона.

Уравнение Клапейрона устанавливает зависимость между

термодинамическими параметрами идеального газа : Р, V, Т –

характеризующими его состояние, т. е.

РV = BT, (1.7)

где В – коэффициент пропорциональности; V – объем, занимаемый

идеальным газом, зависит от массы газа m и его молярной массы М.

Уравнение состояния для одного моля идеального газа получено

Менделеевым:

РVм = RT, (1.8)

где R = 8,31 Дж / (моль К) – универсальная газовая постоянная; Vм – объем

одного моля идеального газа.

Для произвольной массы газа формула (12.8) принимает вид

РV = mR T

M, (1.9)

где m – масса газа; = m

M – число молей.

Формулу (12.9) называют уравнением состояния идеального газа

Менделеева – Клапейрона.

Из уравнения состояния идеального газа следует два следствия: закон

Авогадро и закон Дальтона.

1.4.1. Закон Авогадро

В равных объемах различных газов, находящихся при одинаковых

давлениях и температурах, содержится одинаковое число молекул, равное

постоянной Авогадро.

Следовательно, постоянная Авогадро – число структурных элементов

(атомов, молекул, ионов или других частиц) в единице количества вещества

(например, в одном моле). В частности, в 1 м3 любого идеального газа при

t = 0 oC и Р = 1 атм содержится число молекул, равное числу Лошмидта,

т. е. L = 2,7 1019

молекул.

1.4.2. Закон Дальтона

В состоянии теплового равновесия давление в смеси химически не

взаимодействующих идеальных газов равно сумме парциальных давлений

отдельных газов, входящих в смесь.

Р = Р1 + Р2 + Р3 + ... (1.10)

Парциальным называют давление, которое имел бы газ, входящий в

состав газовой смеси, если бы он один занимал весь объем, равный объему

смеси при той же температуре.

Пусть смесь состоит из Z газов. Число молекул первого газа равно N1,

второго – N2 и т. д.

В состоянии термодинамического равновесия при постоянной

температуре (Т = const) на основании уравнения Клапейрона для одного моля

идеального газа (1.8)

РV = RT, где R = Nak.

Тогда РV = NakT. Для произвольного числа молекул PV = NkT.

Уравнение состояния для каждого газа запишем в виде

P1V = N1kT, P2V = N2kT, ... , PzV = NzkT,

где P1, P2, ... , Pz – парциальные давления 1-го, 2-го и т.д. компонент смеси

газов. После сложения получим

PV = (P1 + P2 + ... + Pz)V = kT(N1 + N2 +...+ Nz),

где N = N1+ N2+...+ Nz – общее число частиц смеси газов.

Следовательно, полное давление смеси газов равно сумме парциальных

давлений:

Р = Р1 + Р2 + Р3 + ...+ Рz.

1.5. Давление в молекулярно-кинетической теории

Взаимные столкновения молекул в объеме газа происходят чаще, чем

их соударения со стенками сосуда, в котором находится газ.

Максвелл показал, что в случае идеального газа соударения между

молекулами не влияют на давление газа, которое они оказывают на стенки

сосуда, причем это давление не зависит от характера соударений молекул со

стенками – упругие они или не упругие, т. е. давление не зависит от

материала сосуда.

Если газ достаточно разрежен, то можно пренебречь размерами

молекул и столкновениями их друг с другом. Будем учитывать только

столкновения молекул со стенками сосуда, в котором заключен идеальный

газ.

Следовательно, молекулы идеального газа можно рассматривать как

материальные точки, не взаимодействующие между собой и движущиеся

прямолинейно и равномерно между каждыми двумя последовательными

столкновениями со стенками сосуда. Такая модель приводит к законам

идеального газа.

Пусть молекулы идеального газа находятся в сосуде в форме куба с

длиной ребра (рис. 1.2). Давление газа на стенки сосуда вызвано тем, что

молекулы непрерывно сталкиваются с ними.

Рассмотрим движение молекул вдоль оси Х. Сила, с которой молекула

действует на стенку, равна по величине и противоположна по направлению

силе, действующей со стороны стенки на молекулу (третий закон Ньютона).

Согласно второму закону Ньютона, сила равна скорости изменения

импульса молекулы, т. е.

dt

dp

dt

)um(dF 0

или t

p

t

)um(F 0

. (1.11)

Из-за абсолютного удара молекулы о стенку изменение импульса

(m0u) = m0ux ( m0ux) = 2m0ux,

где m0 – масса молекулы; ux – проекция скорости молекулы на ось Х

(рис. 1.3).

При повторном столкновении, этой молекулы с данной стенкой, она

должна преодолеть расстояние 2 за время t. Следовательно, 2 = ux t. Из-за многочисленных столкновений данной молекулы со стенкой вводят

среднюю силу ее взаимодействия со стенкой, т. е.

Рис. 1.2

Рис. 1.3

л

um

Дt

u)Д(mF

2x00 .

Полученное выражение остается справедливым при взаимодействии

молекулы с любой стенкой. (Как показывают расчеты, форма и размер

сосуда, в котором находятся молекулы, не играет никакой роли).

Для того, чтобы найти полную силу, действующую на стенку со

стороны всех молекул газа, находящихся в сосуде, необходимо

просуммировать силы, вызванные ударами каждой молекулы.

Следовательно, результирующую силу, действующую со стороны всех

молекул на стенку, запишем в виде:

,uл

mu...uu

л

mF

N

1i

2ix

02Nx

22x

21x

0 (1.12)

где uix проекция скорости i-й молекулы на ось Х.

Введем среднюю квадратичную скорость молекул и запишем ее в виде

N

u...uuu

2

Nx

2

x2

2

x12

x .

С учетом этого, формулу (1.12) перепишем в виде

Nuл

mF 2

хкв,0 . (1.13)

Такой же результат получится в случае движения молекул вдоль оси У

и Z. Известно, что

u2 = u u ux y z

2 2 2 или u u u ux y z

2 2 2 2 . (1.14)

В состоянии термодинамического равновесия, из-за хаотичности

теплового движения молекул, все направления равновероятны, поэтому

u u ux y z2 2 2 .

Следовательно, u u u uкв x y z2 2 2 23 3 3 .

Таким образом, формула (1.13) принимает вид

Nu3л

mF 2

кв0 . (1.15)

По определению, давление NV

um

3

1

л

FP

2кв0

2 (1.16)

или

2кв00 umn

3

1P , (1.17)

где n0 = N/V концентрация молекул.

Формулу (1.16) перепишем в виде:

N2

um

3

2PV

2кв0

, (1.18)

где 2

um 2кв0

k (1.19)

средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Используя уравнение состояния идеального газа Менделеева

Клапейрона (1.9) и формулу (1.3), получим PVm

MRT

N

Na

RT.

Используя формулу (1.18) и последнее соотношение, получим

2

umN

3

2T

aN

RN

2кв0

.

Из последнего равенства с учетом (1.19) найдем среднюю кинетическую

энергию молекул

kT2

3k . (1.20)

Решая совместно (1.16) и (1.17) получим, что

kT2

3N

3

2

3

2PV k .

или TTV

NP knk 0 . (1.21)

Выводы: 1. С точки зрения молекулярно-кинетической теории,

давление газа прямо пропорционально концентрации молекул газа и его

абсолютной температуре.

2. Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа прямо

пропорциональна абсолютной температуре.

1.6. Распределение энергии молекул идеального газа

по степеням свободы

Если предположить, что частицы идеального газа одноатомные

молекулы, тогда вплоть до температур Т = 105 К их можно считать

материальными точками.

Следовательно, каждая одноатомная молекула имеет три

поступательные степени свободы (i = 3). (О степенях свободы см. «Физика.

Механика»).

Если газ находится в равновесном состоянии и масса каждой молекулы

(атома) равна m0, то на основании формул (12.18) и (12.20), имеем

kT2

1

2

um

3

12

0. (1.22)

В состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы движения частиц вещества (поступательную, вращательную и колебательную) приходится кинетическая энергия в среднем, равная kT/2.

В этом суть классического закона распределения энергии молекул

системы по степеням свободы.

Если газ состоит из N молекул (частиц), то его полная кинетическая

энергия

Wk = 3

2

NkT. (1.23)

Тогда средняя кинетическая энергия одной молекулы

< k > = W

N

ikTk

2, (1.24)

где i число степеней свободы.

1.7. Внутренняя энергия

Основной характеристикой внутреннего состояния физической

системы является ее внутренняя энергия.

Внутренняя энергия (U) включает в себя энергию хаотического

(теплового) движения всех микрочастиц системы (молекул, атомов, ионов и

т. п.) и энергию взаимодействия этих частиц, т. е. кинетическую,

потенциальную и т. д., за исключением суммарной энергии покоя всех

частиц. Свойства внутренней энергии 1. В состоянии термодинамического равновесия частицы, входящие в

состав макроскопических тел, движутся так, что их полная энергия все время с высокой точностью равна внутренней энергии тела.

2. Внутренняя энергия является функцией состояния физической системы.

3. Внутренняя энергия физической системы не зависит от пути перехода ее из одного состояния в другое, а определяется только значением внутренней энергии в начальном и конечном состояниях:

U = U2 U1.

4. Внутренняя энергия характеризуется свойством аддитивности, т. е. она равна суммарной внутренней энергии тел, входящих в систему.

Замечание: частицы газа, кроме поступательных степеней свободы, имеют еще и внутренние.

Например, если частицами газа являются молекулы, то, кроме электронного движения, возможно вращение молекул, а также колебания атомов, входящих в состав молекул.

Поступательное движение частиц газа подчиняется классическим законам, а их внутренние движения носят квантовый характер.

Лишь при определенных условиях внутренние степени свободы можно считать классическими.

Для расчета внутренней энергии идеального газа используют закон равнораспределения энергии по классическим степеням свободы.

В случае идеального газа учитывается только кинетическая энергия поступательного движения частиц.

Если частицами газа являются отдельные атомы, то каждый имеет три поступательные степени свободы.

Следовательно, каждый атом обладает средней кинетической энергией:

< k > = 3kT/2.

Если газ состоит из N атомов, то его внутренняя энергия

U N kT3

2. (1.25)

Если же идеальный газ состоит из молекул, то необходимо учитывать еще и вращательные степени свободы.

Например, молекулы водорода Н2, кислорода О2, азота N2 имеют две вращательные степени свободы (iвр = 2).

Тогда вклад во внутреннюю энергию идеального газа вращательных степеней свободы

Ui

NkTвв

рр

2. (1.26)

Если же возбуждаются еще и колебательные степени свободы молекул, то вклад

их во внутреннюю энергию

U i NkTкол кол . (1.27)

В формуле (1.27) учтено, что каждое колебательное движение молекул

характеризуется средней кинетической и средней потенциальной энергиями,

которые равны между собой.

Поэтому согласно закону равнораспределения энергии по степеням

свободы на одну колебательную степень свободы приходится в среднем

энергия kT.

Таким образом, если молекула двухатомная, то полное число степеней

свободы ее i = 6.

Три из них поступательные (iпост = 3), две вращательные (iвр= 2) и одна

колебательная (iкол = 1).

При температурах, когда еще «заморожены» колебательные степени

свободы, внутренняя энергия двухатомных молекул идеального газа

U U U NkTп о с т вр5

2.

Если же колебательные степени свободы «разморожены», то

внутренняя энергия двухатомных молекул идеального газа

U = Uпост + Uвр + Uкол =7

2NkT .

Таким образом, внутренняя энергия одноатомного идеального газа

U = N < k > = 3

2NkT , (1.28)

где < k > = 3

2kT .

Число молей газа

= N/ Na = m / M,

то

U3

2RT =

3

2

mRT

M, (1.29)

где R – универсальная газовая постоянная, m – масса газа.

Для многоатомных газов

RTM

m

2

iU , (1.30)

Вывод:

Из-за отсутствия взаимодействия между молекулами идеального газа

внутренняя энергия его зависит от числа частиц, температуры и не зависит от

объема (закон Джоуля).

Лекция 13

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

2.1. Теплота и работа Изменение состояния термодинамической системы при ее

взаимодействии с внешней средой можно осуществить путем теплообмена или совершением работы.

Процесс передачи энергии системе от внешних тел, называют работой. Процесс обмена внутренними энергиями соприкасающихся тел, без совершения работы, называют теплообменом.

Процесс передачи энергии системе внешними телами путем теплообмена, называют теплотой (количеством теплоты).

Например, работу над газом, находящимся в цилиндре под поршнем,

производят силы давления со стороны внешних сил (рис.2.1). Работа А*,

совершаемая внешними телами над системой, численно равна и

противоположна по знаку работе А, совершаемой системой над внешними

телами, т. е. А = А*. По определению, давление Р = Fд / S.

Из механики известно, что работа А* = Fд h

или А* = Р ( h S ) = P V. (2.1)

В процессе совершения работы над системой

происходит изменение параметров, характеризующих ее

состояние, например, давления, объема, температуры.

Изменить параметры состояния системы можно

при теплообмене за счет передачи тепла от одного

нагретого тела другому. Теплота – это не заключенная в

теле энергия, а то количество энергии, которое

передается от горячего тела холодному. Таким образом, теплота и работа

являются различными формами передачи энергии от одного тела другому.

Процессы работы и теплоты качественно различны. Совершение

работы над системой может привести к изменению любого вида энергии:

кинетической, потенциальной и т. д. Если энергия сообщается системе в

форме теплоты, то она идет на увеличение энергии теплового движения

частиц системы, называемой внутренней энергией U системы. Часто оба

способа передачи энергии системе могут осуществляться одновременно.

Например, при нагревании газа в сосуде с подвижным поршнем. Для

перевода системы из одного состояния в другое, с помощью различных

термодинамических процессов ей нужно сообщить различные количества

теплоты. Следовательно, теплота и работа являются функциями процесса

изменения состояния системы.

Поэтому элементарное количество теплоты, сообщенное системе в

процессе бесконечно малого изменения ее состояния, подобно элементарной

работе и не является полным дифференциалом.

Полная энергия термодинамической системы включает в себя сумму

всех видов энергии частиц, входящих в систему: 1) кинетическую энергию

хаотического движения атомов и молекул (поступательную, вращательную и

колебательную энергии); 2) потенциальную энергию взаимодействия атомов и

молекул; 3) энергию электронных оболочек атомов и ионов; 4) энергию

взаимодействия протонов и нейтронов в ядрах атомов, и другие виды энергий.

Во всех процессах, не связанных с химическими реакциями и другими

изменениями конфигурации электронных оболочек атомов и ионов, а также с

ядерными реакциями в веществах, их энергии не изменяются и не влияют на

изменение внутренней энергии. Внутренняя энергия идеального газа

определяется только средней кинетической энергией теплового хаотического

движения всех молекул. Изменение внутренней энергии при переходе

Рис. 2.1

системы из состояния 1 в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода,

а определяется только параметрами начального и конечного состояний, т. е.

U = U2 – U1. (2.2)

Следовательно, внутренняя энергия является функцией состояния системы.

Работа и теплота зависят от вида процесса перехода системы из состояния 1 в состояние 2. Поэтому работа в тепловых процессах на замкнутом пути не равна нулю, и не является функцией состояния системы. Действительно, пусть система (идеальный газ) переходит из состояния 1 в состояние 2 и обратно в результате двух различных равновесных процессов. Графически можно изобразить только равновесные процессы. На P – V диаграмме (рис. 2.2) одному из них соответствует кривая А – Б – С. Работа на этом участке

А1 = P dV

АБС( )

(2.3), где давление Р

изменяется вдоль кривой А – Б – С. Работа равна площади криволинейной

трапеции, ограниченной сверху кривой А – Б – С. Другому процессу соответствует кривая А – Д –

С, т. е. работа A P dV

АДС

2

( )

, (2.4)

где давление изменяется вдоль кривой А – Д – С. Эта работа равна площади криволинейной трапеции, ограниченной

сверху кривой А – Д – С. Полная работа не равна нулю, т. е.

А = А1 – А2 0.

Следовательно, она численно равна площади фигуры, ограниченной кривыми А – Б – С – Д – А.

В чем различие между температурой, теплотой и внутренней энергией? 1. Температура – мера средней кинетической энергии отдельных

молекул или мера отклонения системы от термодинамического равновесия. 2. Теплота – количество энергии, переданной от одного тела другому. Существуют три вида теплообмена: конвекция, излучение,

теплопроводность. Излучение – процесс передачи энергии путем теплообмена без

совершения механической работы. Для передачи теплоты путем излучения не требуется вещество, как средство передачи теплоты от одного тела другому. Само существование жизни на Земле возможно только за счет получения энергии от Солнца. Кванты солнечного света непрерывным потоком устремляются к Земле, неся животворную энергию. На долю Земли приходится около 0,2 % всей энергии излучения Солнца (ежесекундно Земля получает примерно 2 кг фотонов). Остальные 99,8 % энергии излучения

Рис. 2.2

Солнца включены во всеобщую галактическую энергию и энергию всей Метагалактики. Эта энергия передается физическому вакууму. Условия нашего существования требуют известной температуры, и чтобы ее поддерживать, используется не увеличение энергии, а понижение энтропии.

Конвекция – процесс передачи теплоты за счет перемещения молекул

из одной части объема в другую.

Хотя газы и жидкости являются плохими

проводниками теплоты, тем не менее, они могут

обеспечить довольно быструю передачу ее на

значительные расстояния благодаря

существованию конвекции. Различают конвекцию

естественную и вынужденную. Например, нагретый

атмосферный воздух поднимается вверх, а

холодный опускается вниз. Вблизи батарей

радиаторов отопления или других нагревателей

нагретый воздух расширяется, его плотность

уменьшается, что и приводит к его подъему вверх помещения.

Крупномасштабные проявления естественной конвекции наблюдаются на

примере океанских или морских течений (например, Куросиво, Гольфстрим и

другие). Ветер – один из примеров явления конвекции, вызывающий

изменение погодных условий. Возникновение конвективных потоков в

сосуде с водой при ее нагревании изображено на рис. 13.3. Теплопроводность

будет рассмотрена в разделе «Явления переноса».

3. Внутренняя энергия – полная энергия всех молекул газа.

Например, у двух нагретых медных цилиндров равной массы,

имеющих одинаковые температуры внутренняя энергия двух вместе взятых

цилиндров будет больше каждого из них в отдельности.

Количество же теплоты передаваться не будет, так как температуры

одинаковы. Или, если смешать 100 г воды при температуре 50 оС с 200 г воды

при температуре 20 оС, то количество теплоты будет переходить от воды с

температурой 50 оС к воде с температурой 20

оС, хотя внутренняя энергия

воды при 20 оС больше из-за большей массы.

2.2. Первое начало термодинамики

Количество теплоты, сообщенное системе, расходуется на изменение

ее внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних

сил. Q = U + A. (2.5)

Для бесконечно малого процесса перехода системы из одного

состояния в другое первое начало термодинамики записывается в виде

dQ = dU + dA. (2.6)

2.3. Теплоемкость идеального газа

Рис. 2.3

Тепловые свойства однородных тел в термодинамике характеризуются

теплоемкостью.Теплоемкостью тела называют физическую величину,

численно равную количеству теплоты, переданному телу, чтобы изменить

его температуру на один кельвин.

Ст = dQ

dT. (2.7)

В СИ теплоемкость тела измеряется в Дж/K.

Теплоемкость тела зависит от его химического состава и вида

термодинамического процесса, изменяющего состояние тела.

Удельной теплоемкостью (с) называют физическую величину, численно

равную количеству теплоты, которое надо сообщить 1 кг вещества, чтобы

изменить его температуру на один кельвин

с = mdT

dQ. (2.8)

В Си удельная теплоемкость измеряется в Дж/(кг K).

Молярной теплоемкостью (С) называют физическую величину,

численно равную количеству теплоты, которое необходимо сообщить

одному молю вещества, чтобы изменить его температуру на 1 К.

С =dQ

dT

MdQ

mdT, (2.9)

где m – масса вещества; M – молярная масса; – число молей вещества.

В Си молярная теплоемкость измеряется в Дж /(моль К).

Для произвольной массы вещества

CdTM

mdQ . (2.10)

Если в сосуде находится несколько газов, то молярная теплоемкость

смеси газов

....

C...CCC

n

nn

21

2211 (2.11)

Удельная теплоемкость смеси газов

.m...mm

mC...mCmCC

n

nnуд

21

2211 (2.12)

2.4. Применение первого начала термодинамики

для изохорического процесса При изохорическом процессе объем, занимаемый газом, не изменяется,

т. е. V = сonst ( V = 0) и А = P V = 0.

Для этого процесса первое начало термодинамики запишется в виде dQ = dU (2.13) или

dUm

MC dTV , (2.14)

где СV – молярная теплоемкость при постоянном объеме. Таким образом, вся теплота, переданная системе, идет на изменение ее

внутренней энергии. Внутренняя энергия идеального газа зависит от его массы,

химического состава и температуры. Поэтому формула (2.14) справедлива для любого процесса изменения состояния идеального газа (изохорического, изобарического, изотермического, адиабатического).

Следовательно, внутреннюю энергию идеального газа для любого состояния можно найти по формуле

Um

MC TV . (2.15)

2.5. Применение первого начала термодинамики

для изобарического процесса При изобарическом процессе перехода идеального газа из состояния 1

в состояние 2 давление не изменяется, т. е. Р = const. Первое начало термодинамики для изобарического процесса записывают в виде dQ = dU + dA, так как все подведенное к системе тепло идет на изменение внутренней энергии системы и совершения системой работы. Если при изменении

температуры молярная теплоемкость при постоянном давлении Ср не

изменяется, то теплоту, сообщенную газу в изобарическом процессе, можно

найти по формуле dQm

MC dTp . (2.16)

Полное количество теплоты Qm

MC dT

m

MC T Tp

T

T

p

1

2

2 1( ).

Элементарную работу, совершаемую системой в изобарическом

процессе найдем, используя уравнение состояния идеального газа

Менделеева – Клапейрона:

dTRM

mPdVdA . (2.17)

Полная работа изобарического процесса

Am

MR dT

m

MR T T

T

T

1

2

2 1( ). (2.18)

Формула (2.17) позволяет выяснить

физический смысл универсальной газовой

постоянной

RM dA

m dT. (2.19)

Универсальная газовая постоянная численно

равна работе, совершаемой молем идеального газа при изобарическом

нагревании его на один кельвин.

Практически изобарический процесс можно осуществить, например,

при нагревании или охлаждении газа в цилиндре с подвижным поршнем, на

который действует постоянная сила давления. P – V диаграмма

изобарического процесса приведена на рис. 2.4, где площадь прямоугольника

(заштрихованная часть рисунка) численно равна работе газа в этом процессе.

2.6. Уравнение Майера

Найдем связь между Ср и Сv идеального газа. Используя формулы

(2.14), (2.16), (2.17), запишем первое начало термодинамики в виде m

MC dT

m

MC dT

m

MRdTp v

или Ср = Сv + R. (2.20)

Формулу (2.20) называют уравнением Майера.

2.7. Применение первого начала термодинамики

для изотермического процесса При изотермическом расширении (сжатии) газа происходит переход его

из состояния 1 в 2 при постоянной температуре, т. е.

Рис. 2.4

Т = сonst, U = const (рис. 2.5).

Примерами изотермического процесса являются кипение, конденсация, плавление и кристаллизация химически чистых веществ, при постоянном внешнем давлении. Внутренняя энергия идеального газа при изотермическом процессе не изменяется, т. е.

.0dTCM

mdU V

Первое начало термодинамики для изотермического процесса записывают в виде dQ = dA, так как все подведенное к системе тепло идет на совершения системой работы.

Молярная теплоемкость идеального газа в изотермическом процессе

С = , так как dQ 0, dT = 0, dU = 0.

Работа изотермического процесса можно определить по формуле

2

1

2

1

.

V

V

V

VV

dVRT

M

mpdVA

Окончательно

.V

VRT

M

mA

1

2n

Графически работа в изотермическом процессе изображается площадью криволинейной трапеции (заштрихованная часть на рис. 2.5).

2.8. Применение первого начала термодинамики

для адиабатического процесса Термодинамический процесс, в котором система при переходе из

состояния 1 в состояние 2 не обменивается теплотой с окружающей средой, называют адиабатическим.

На практике адиабатический процесс можно осуществить при быстром

расширении (сжатии) газа, когда Q 0. Например, быстро протекающее

расширение газов в цилиндре двигателя внутреннего сгорания. В двигателе

Дизеля воздух быстро сжимается адиабатически в 15 и более раз, чем в

двигателе внутреннего сгорания. При этом температура воздуха повышается

до 3000 оС, поэтому при впрыскивании горючей смеси происходит ее

самовоспламенение.

При возникновении ударной волны газ адиабатически сжимается и

сильно нагревается, так как он не успевает отдать выделившуюся теплоту.

Метеориты при вхождении в атмосферу оплавляются и испаряются в

основном по этой причине, а не из-за наличия трения и сопротивления при

движении в атмосферном воздухе.

Адиабатическое расширение приводит к охлаждению системы, что

Рис. 2.5

используется при сжижении газов (адиабатическое размагничивание

парамагнитных солей позволяет получить температуры, близкие к абсолютному

нулю).

К адиабатическим процессам относится и свободное расширение газов

(рис. 13.6), так как Q = const, А = 0, U = 0, T = 0.

Теплоемкость вещества при адиабатическом процессе С = 0 (dQ = 0, dT 0).

Первое начало термодинамики для адиабатического процесса

представим в виде

dU = dA (2.21)

или

d Am

MC dTV .

Следовательно, при адиабатическом процессе газ совершает работу за

счет убыли его внутренней энергии.

Найдем вид уравнения состояния идеального

газа для адиабатического процесса.

Для одного моля идеального газа 1M

m

изменение внутренней энергии

dU = CVdT. (2.22)

При этом газ совершит работу dA = PdV. Согласно (2.20), получаем

CVdT + PdV = 0 (2.23)

Используя уравнение Менделеева – Клапейрона и уравнение Майера,

получаем

VP CC

VdPPdV

R

)PV(ddT . (2.24)

На основании формул (2.23) и (2.24) после преобразований имеем

Ср РdV + Cv VdP = 0. (2.25)

Уравнение (2.25), представим в виде

С

C

dV

V

dP

P

p

v

0, (2.26)

где

Ср/Cv = . (2.27)

называют коэффициентом Пуассона (показателем адиабаты).

После интегрирования (2.26) с учетом (2.27), получим

nV nP nconst или

Рис. 2.6

РV const . (2.28)

Выражение (2.28) называют уравнением адиабаты (уравнение Пуассона).

Используя уравнение Менделеева – Клапейрона, перепишем (2.28) в

виде

PT const VT const1

1

1, .

Р – V диаграмма адиабатического

процесса приведена на рис. 2.7.

На рис. 2.7 видно, что кривая адиабаты

идет круче, чем изотерма. Объясняется это тем,

что при адиабатическом расширении

идеального газа происходит не только

уменьшение давления, но и понижение

температуры, так как внутренняя энергия газа

убывает. При адиабатическом сжатии газа

растут давление и температура, не только из-за

уменьшения объема, но и из-за увеличения

внутренней энергии.

После интегрирования выражения (2.21) получим формулу работы

идеального газа в адиабатическом процессе

21v12 TTCM

mA . (2.29)

Графически работа при адиабатическом процессе численно равна площади

криволинейной трапеции (рис. 2.7, штрихованная часть графика).

Используя уравнение Майера (2.16) и формулу (2.27), получаем

1г

RСV . (2.30)

Тогда работа

AP V T

T12

1 1 2

111 (2.31)

или

AP V V

V12

1 1 1

2

1

11 , (2.32)

или

Рис. 2.7

AP V P

P12

1 1 2

1

1

11 , (2.33)

где Р1, V1, T1 , Р2, V2, T2 – давление, объем и температура идеального газа,

соответственно в первом и втором состояниях.

2.9. Адиабатическое сжатие и расширение звуковых волн

Воспринимаемые нашими органами слуха звуковые волны при

распространении сжимаются и расширяются почти адиабатически

(квазиадиабатически), так как чередование сжатия и разрежения, при

распространении звуковых волн, происходит очень быстро.

При сжатии газа его температура повышается до тех пор, пока теплота

не начнет поступать наружу. Если же газ расширяется, то его температура

понижается до тех пор, пока в систему не начнет поступать теплота извне.

В звуковой волне, воспринимаемой ухом, теплопроводность воздуха

мала, а расстояние между соседними областями сжатия и расширения

относительно велики ( /2, где – длина волны). Все это происходит быстро,

т. е. процесс адиабатический. Это используется при определении скорости

распространения звука. Скорость звука

,с

KVэв

где dV

dP-K – модуль всестороннего сжатия (коэффициент объемной упругости).

Дифференцируя уравнение Пуассона (10.28) по объему, получим

VdP

dVP V

ад

1= 0,

т. е. К = Р. Следовательно, скорость звука VР

з в . (2.34)

Для воздуха при нормальных условиях; = 1,4; = 1,29 кг/м3.

vзв 331 м/c, что хорошо согласуется с данными эксперимента.

2.10. Политропный процесс

Политропным называют процесс, который описывается уравнением

PVn const , (2.35)

где n –показатель политропы.

Политропный процесс протекает при постоянной теплоемкости.

Найдем молярную теплоемкость Сn идеального газа в политропном

процессе. Согласно первому началу термодинамики

.dT

dVP

m

MCC vn (2.36)

Уравнение состояния одного моля идеального газа

PV = RT. (2.37)

Решив совместно (2.35) и (.37), получаем

TV constn 1 . (2.38)

Дифференцируем уравнение (2.38): n T V dV V dTn n1 01 1 . (2.39)

Преобразуем последнее выражение к виду

dV

dT

V

n T1. (2.40)

Правую часть равенства (2.40) подставим в (2.36). Тогда

Cn C

MP

V

TC

PV

TM

R

RC

RV V V

m n m n n1

1

1 1. (2.41)

После подстановки выражения 1

RVC в формулу (2.41)

окончательно получаем, что теплоемкость политропного процесса

CR R

n

n

nR constn

1 1 1 1. (2.42)

Политропный процесс является обобщением всех изопроцессов.

Замечание:

1. Изобарический процесс, Р = сonst.

В этом случае уравнение политропы PVn const принимает вид

constPV0 , так как показатель политропы n = 0, Cn = Cp.

2. Изотермический процесс, Т = сonst.

При n = 1 уравнение политропы переходит в уравнение изотермы, т. е.

PV = сonst.

Теплоемкость при постоянной температуре согласно (2.42) Cn = CT = .

3. Изохорический процесс, V = сonst.

При n = уравнение политропы переходит в уравнение изохоры.

Теплоемкость при постоянном объеме

4. Адиабатический процесс, Q = сonst.

При n = уравнение политропы переходит в уравнение адиабаты, а

теплоемкость

Cn = CQ = 0.

Найдем работу политропного процесса. Рассмотрим два адиабатических состояния:

PV P Vn n1 1 . (2.43)

Из формулы (13.43) найдем давление

PP V

V

n

n1 1 . (2.44)

Работа политропного процесса

A PdVP V

VdV

P V

n

V

VV

V

V

V n

n

n

1

2

1

2 1

1 1 1 1 1

211 . (2.45)

2.11. Обратимые и необратимые процессы

Для описания термодинамических процессов недостаточно одного первого начала термодинамики, так как оно ничего не говорит о направлении протекания процессов. Например, самопроизвольный процесс передачи теплоты от холодного тела к горячему невозможен.

Термодинамический процесс называют обратимым, если он протекает столь медленно, что его можно рассматривать как непрерывный ряд равновесных состояний.

Этот процесс перехода термодинамической системы из одного равновесного состояния в другое, допускает возвращение ее в первоначальное состояние, через ту же последовательность промежуточных состояний, что и в прямом процессе, но происходящем в обратном порядке.

Примером обратимого процесса являются незатухающие колебания тела на пружине в вакууме.

Термодинамический процесс, протекающий с конечной скоростью и сопровождающийся рассеянием энергии (из-за трения, теплопроводности и т. п.) называют необратимым.

Примером необратимого процесса является, например, торможение тел под действием сил трения. Вообще все процессы, связанные с трением и сопротивлением движению, являются необратимыми.

Из необратимости термодинамических процессов следует, что в прямом направлении, они протекают самопроизвольно; в обратном направлении требуются затраты энергии, т. е. компенсирующие процессы.

2.12. Круговые процессы

При изучении законов термодинамики широко используют круговые процессы (циклы).

Термодинамический процесс, при котором система, претерпев ряд изменений, возвращается в исходное состояние, называют круговым процессом или циклом.

Физическую систему (например, идеальный газ), совершающую круговой процесс, называют рабочим телом. Круговые процессы используют в основе работы всех тепловых машин: паровые и газовые турбины, двигатели внутреннего сгорания, холодильные машины и т. д.

Круговой процесс называют прямым (протекает по часовой стрелке), если после его завершения совершается положительная работа (рис. 2.8).

Примером прямого цикла является процесс, совершающийся рабочим телом в двигателе, когда теплота от внешних источников поступает к рабочему телу, но часть ее отдается другим телам за счет совершения работы.

Круговой процесс называют обратным, если после его завершения (протекает

против часовой стрелки) работа отрицательна (рис. 2.9).

Примерами обратного цикла является работа холодильных машин,

когда рабочее тело передает теплоту от холодного тела к горячему за счет

затраты работы внешних сил.

Термодинамическое состояние рабочего тела зависит от его внутренней

энергии. Поэтому полное изменение внутренней энергии рабочего тела после

завершения кругового цикла равно нулю, т. е. U = 0.

Тогда согласно первому началу

термодинамики Q = A, где Q – количество

теплоты, переданное рабочему телу; А – работа,

совершаемая за цикл рабочим телом.

В прямом цикле Q 0, т. е. к рабочему телу

подводится больше теплоты, чем отводится.

Следовательно, работа А 0.

В обратном цикле Q 0. А*= A < 0, где

А* – работа внешних сил.

2.13. Обратимый цикл Карно

Рассмотрим обратимый цикл Карно, совершающийся идеальной

тепловой машиной. Цикл Карно состоит из четырех обратимых процессов:

двух изотерм и двух адиабат. На рис. 2.10 приведен прямой цикл Карно.

Рис. 2.8

Рис. 2.9

1. Участок 1–2. Идеальный газ, находящийся в цилиндре под поршнем,

в процессе изотермического расширения (Т1 =

сonst) приводится в тепловой контакт с

нагревателем, который передает идеальному газу

теплоту Q1.

2. Участок 2–3. В состоянии 2 газ полностью

теплоизолируется от нагревателя. Происходит

адиабатическое расширение его, и температура

понижается до Т2.

3. Участок 3–4. В состоянии 3 идеальный газ

приводится в контакт с холодильником.

Происходит изотермическое сжатие (Т2 = сonst),

идеальный газ передает холодильнику теплоту Q2.

4. Участок 4–1. В состоянии 4 газ теплоизолируется от холодильника.

Затем происходит адиабатическое сжатие. Температура газа повышается до

Т1.

Работа, совершаемая рабочим телом за цикл,

А = (Q1 Q2) 0 ,

где

А Q1. (2.49)

Следовательно, полезная работа меньше энергии, полученной в форме

теплоты от нагревателя на величину теплоты, переданную холодильнику.

КПД идеальной тепловой машины, работающей по обратному циклу

Карно можно вычислить, используя формулу

1Q

А,

где А – полезная работа совершаемая за цикл; Q1 – количество теплоты

получаемое за цикл от нагревателя или

Q Q

Q

1 2

1

, (2.50)

где А12 = Q1 – Q2; Q2 – количество теплоты, отданное за цикл холодильнику.

На участке 1 – 2 (изотермическое расширение dU = 0) согласно I

начала термодинамики

1

21121

V

VlnRT

M

mAQ , (2.51)

где m – масса идеального газа; М – молярная масса газа; R – универсальная

газовая постоянная; Т1 – температура изотермического расширения; V1 –

объем газа в начальном состоянии 1; V2 – объем газа в состоянии 2.

На участке 3–4 (изотермическое сжатие dU = 0) согласно I начала

термодинамики

Рис. 2.10

4

32342

V

VlnRT

M

mAQ , (2.52)

где m – масса идеального газа; М – молярная масса газа; R – универсальная

газовая постоянная; Т2 – температура изотермического сжатия; V3 – объем

газа в состоянии 3; V4 – объем газа в состоянии 4.

Поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, то

1

32

1

21 VТVТ ,

где – показатель адиабаты.

Состояния 1 и 4 лежат также на одной адиабате сжатия, тогда

1

42

1

11 VТVТ .

Из последних равенств получаем, что

4

3

1

2

V

V

V

V. (2.53

*)

После подстановки формул (2.51), (2.52) в формулу (2.50) имеем

1

21

4

32

1

21

V

VnRT

M

m

V

VnRT

M

m

V

VnRT

M

m

з

.

Используя условие (2.53*) окончательно получаем

T T

T

1 2

1

, (2.53)

где – КПД идеальной тепловой машины, работающей по прямому обратимому циклу Карно. Формула (2.53) выражает первую теорему Карно:

Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника; не зависит от устройства машины и вида рабочего тела.

Для реальной тепловой машины (согласно второй теореме Карно): Коэффициент полезного действия всякой тепловой машины,

работающей по циклу Карно с теми же температурами нагревателя и холодильника, что и идеальная тепловая машина, не может превосходить КПД идеальной машины, т. е. КПД находится по формуле (2.50).

По прямому циклу Карно работают двигатели внутреннего сгорания. Рассмотрим обратный цикл Карно. Работа газа за цикл

А = (Q1 Q2) 0,

где Q1 0 – теплота, отводимая от холодильника; Q2 0 – теплота,

подводимая к газу при Т2 Т1. Передача тепла от холодного тела к горячему происходит за счет

работы внешних сил. КПД идеальной тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно,

T

T T

2

1 2.

По обратному циклу Карно работают все холодильные машины.

2.14. Неравенство Клаузиуса Всякое механическое движение материальных тел согласно законам

классической механики имеет свойство обратимости. Всегда возможно обратное движение, т. е. движение, при котором тело

проходит все те же точки пространства с теми же скоростями, что и в прямом движении.

Обратимость механического движения вытекает из их симметрии по отношению к замене будущего прошедшим.

Относительно тепловых процессов этого сказать нельзя. Все тепловые процессы необратимы, так как физическая система,

предоставленная самой себе, всегда стремится перейти в состояние термодинамического равновесия.

Известно, что все тепловые явления сводятся к механическому

движению атомов и молекул тел.

Поэтому необратимость тепловых процессов как бы находится в

противоречии с обратимостью механического движения.

Установлено, что необратимость тепловых процессов имеет

вероятностный характер.

Самопроизвольный переход физической системы из равновесного

состояния в неравновесное, невозможен или, как говорят, менее вероятен,

чем переход из неравновесного состояния в равновесное состояние.

При этом надо помнить, что всегда возможны флуктуации.

В 1850 г. Клаузиус, используя теорему Карно о максимальном КПД

идеального цикла, получил неравенство (неравенство Клаузиуса), которое

выражает важную теорему термодинамики, т. е. для кругового процесса

dQ

T0 , (2.54)

где dQ – количество теплоты, сообщенное физической системе (или

отводимое от нее) на бесконечно малом отрезке кругового цикла;

Т – абсолютная температура соответствующего элемента cреды;

dQ

T – элементарная приведенная теплота.

Если процесс квазистатический, то неравенство Клаузиуса переходит в

равенство Клаузиуса

dQ

Tкв.ст.

0 . (2.55)

2.15. Энтропия

Для описания термодинамических процессов широко используется

понятие энтропии.

Отношение dQ

T (приведенное количество теплоты) в обратимом

процессе является полным дифференциалом и есть функция состояния

системы, называемая энтропией S. Это непосредственно следует из

равенства Клаузиуса, т. е.

dSdQ

T обр

. (2.56)

Докажем, что в любом обратимом круговом процессе

dQ

Tобр

0 . (2.57)

Для доказательства рассмотрим идеальный газ. Согласно первому

началу термодинамики

dSQ

T

m

MC

dT

T

PdV

TV

о б р. (2.58)

Используя уравнение Менделеева – Клапейрона перепишем (13.58) в

виде

dQ

T

m

MC

dT

T

RdV

VV

обр

. (2.58*)

В обратимом процессе при переходе идеального газа из состояния 1 в 2

интеграл dQ

T не зависит от вида процесса перехода из 1 в 2, т. е.

dQ

T

m

MC

d T

TR

d V

VV

V

V

T

T

обр1

2

1

2

1

2

(2.59)

или

dQ

T

m

MC RV

T

T

V

V

n nобр

2

1

2

11

2

. (2.60)

В случае кругового процесса V2 = V1, T2 = T1, то для идеального газа

dQ

T обр

0

1

2

.

Что же произойдет с энтропией системы?

Из анализа формул (13.58) и (13.58*) следует, что

dSm

MC

dT

T

RdV

VV( ) (2.61)

или

dSm

MC d nT Rd nVV . (2.62)

При неизменном числе молей идеального газа

PV

Tconst .

После логарифмирования

nP nV nT const (2.63)

или

d nP d nV d nT 0.

С учетом последнего равенства формула (13.62) принимает вид

dSm

MC R d nT Rd nP

m

MC

dT

TR

dP

PV P . (2.64)

или

dSm

MC R d nV C d nP

m

MC

dV

VR

dP

PV V P . (2.65)

При нагревании тела (dQ 0) его энтропия возрастает (dS 0); при

охлаждении (dQ 0) энтропия тела убывает (dS 0). В процессе завершения

обратимого цикла dS = 0, т. е. S = сonst.Энтропия изолированной системы

в любом обратимом процессе остается постоянной.

Таким образом, энтропия физической системы есть функция ее

состояния, и определяется с точностью до произвольной постоянной.

Разность энтропии в двух равновесных состояниях 1 и 2 равна

приведенному количеству тепла, которое необходимо сообщить системе,

чтобы перевести ее из состояния 1 в 2 по любому квазистатическому пути.

Рассмотрим физическую систему, которая необратимо переходит из

равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 (рис. 2.11).При

необратимом процессе перехода системы (на рис. 13.11 он изображен

пунктирной линией 1– а – 2) из состояния 2, она переходит квазистатически

по какому-либо пути, например, 2 – б – 1.

На основании неравенства Клаузиуса (10.54), имеем

dQ

T

dQ

T

dQ

Tа б

0 . (2.66)

Учитывая, что процесс (2–б –1) – квазистатический

Q

TS S

б

1 2, (2.67)

тогда неравенство Клаузиуса принимает вид

S SdQ

T2 1

1 2

, (2.68)

где Т – абсолютная температура окружающей среды, которая отдает

физической системе тепло dQ.

В случае адиабатически изолированной

системы, для которой dQ = 0, в формуле (2.67)

интеграл обращается в нуль, т. е.

S2 S1. (2.69)

Неравенство (13.69) выражает закон

возрастания энтропии.

Следовательно, энтропия адиабатически

изолированной системы не может убывать;

она либо возрастает (необратимый процесс),

либо остается постоянной (обратимый

процесс). Понятие энтропии носит двойственный характер –

макроскопический и микроскопический. Соотношение dQ

T = dS является

макроскопическим определением энтропии.

Свойства энтропии.

1. Энтропия системы равна сумме энтропии каждого тела, т. е.

S Sii

n

1

.

2. Энтропия – функция состояния системы.

3. В равновесных процессах без передачи тепла энтропия физической

системы не меняется.

4. Энтропия является монотонно возрастающей функцией внутренней

энергии тела (при постоянном объеме).

5. При постоянном объеме (изохорический процесс)

dQ = dU,

т. е.

Рис. 2.11

.T

dUdS

Так как Т 0, то dS и dU имеют один и тот же знак.

Задание внутренней энергии тела как функции объема и энтропии

полностью определяет свойства однородного тела,

т. е.

U = U(V, S).

6. Энтропия определяется с точностью до произвольной постоянной.

2.16. Второе начало термодинамики

Второе начало термодинамики устанавливает необратимость

макроскопических процессов, протекающих с конечной скоростью.

Процессы, связанные с трением, выделением джоулевой теплоты,

теплообменом при конечной разности температур, диффузией, протекающие

с конечной скоростью, необратимы, т. е. могут происходить

самопроизвольно только в одном направлении.

В современной физике второе начало термодинамики формулируется

как закон возрастания энтропии.

В замкнутой макроскопической системе при любом процессе энтропия

либо возрастает, либо остается неизменной.

В состоянии равновесия энтропия замкнутой системы достигает

максимального значения и никакие макроскопические процессы в такой

системе, согласно второму началу термодинамики, невозможны.

В случае незамкнутых систем для необратимых и обратимых процессов

dQ TdS (2.70)

или

dU TdS dA 0, (2.71)

где dQ – переданное системе количество теплоты; dA – совершенная над ней

работа; dU – изменение ее внутренней энергии.

Знак равенства в (2.71) относится к обратимым процессам. Существует

несколько равноправных формулировок второго начала термодинамики.

По Клаузиусу (1850 г.):

Невозможен процесс, единственным результатом которого является

передача теплоты от холодного тела к нагретому.

По Томсону (1851 г.):

Невозможен процесс, единственным результатом которого является

совершение работы за счет охлаждения одного тела.

Таким образом, второе начало термодинамики представляет собой

закон, указывающий направление протекания различных тепловых

процессов. Используя этот закон, можно установить связь между тем

количеством теплоты, которое превращается в работу, и тем, которое

переходит от одного тела к другому.

Микроскопический смысл энтропии физических систем был открыт

Больцманом, который установил ее связь с термодинамической

вероятностью

S = k n P, (2.72)

где k – постоянная Больцмана; Р – статистический вес.

Статистический вес – число различных микроскопических состояний

частиц тела или число различных квантовых состояний с данной энергией.

Если энергия принимает непрерывный ряд значений, то под

статистическим весом понимают число состояний в заданном интервале

значений энергии.

Замечание: Формулу (2.72) написал Планк, и он же ввел постоянную

Больцмана k, который говорил только о пропорциональности между

энтропией и логарифмом вероятности состояния системы.

Вероятность отдельного события из N возможных,

w 1

N. (2.73)

Вследствие статистической независимости частиц (атомов, молекул

и т. д.) идеального газа вероятность обнаружить частицу в любой точке

сосуда равна произведению вероятностей пребывания каждой частицы в

любой части его.

Для N частиц это произведение равно 1

2N. Если сосуд разделить на две

равные части, то вероятность обнаружить каждую частицу в любой из двух

частей сосуда равна 1

2.

Поэтому вероятность того, что при одном измерении в другой части

сосуда вообще не будет частиц, составит

WN1 11

2.

Соответственно, при n независимых измерениях, вероятность не

обнаружить, например, в правой части сосуда ни одной частицы, составит

Wn N

N

11

2.

Следовательно, вероятность того, что после этих же n измерений все N

частиц газа соберутся только в левой части сосуда, запишется в виде

Wn NN

N

1 11

2.

Вероятность W какого-либо состояния физической системы больше

вероятности отдельного микроскопического распределения, какими данное

макроскопическое состояние может быть реализовано, в Р раз, т. е.

W = wP. (2.74)

Следовательно, закон возрастания энтропии имеет статистически

вероятностный характер и выражает стремление системы к переходу в более

вероятное состояние. Формула (2.72) позволяет дать статистическое

истолкование второго начала термодинамики:

Термодинамическая вероятность состояния изолированной

физической системы при всех происходящих в ней процессах не может

убывать.

Из формулы (2.72) следует, что при Р 1, S 0 (при Т 0 К, Р 1).

В этом заключается содержание третьего начала термодинамики

(теорема Нернста):

Энтропия любого тела, достигшего равновесного состояния, при

температуре абсолютного нуля обращается в нуль.

Второе начало термодинамики допускает некоторое отклонение

(флуктуации) от него. Примерами таких флуктуаций могут быть:

броуновское движение частиц; равновесное тепловое излучение нагретых тел

и радиошумы, появление зародышей новой фазы при фазовых превращениях,

а также самопроизвольные флуктуации температуры и давления в

равновесных системах. Появившиеся в прошлом веке выводы о «тепловой

смерти» Вселенной оказались несостоятельными, так как в Метагалактике

существенную роль играет тяготение, которое никак не учитывалось при

изучении термодинамических процессов. Например, в начальной стадии

эволюции Вселенной тяготение способствовало зарождению протогалактик,

протозвезд. В результате этого мы наблюдаем современное состояние

Вселенной. Кроме того, тяготение способствует существованию устойчивой

стадии излучения звезд (десятки миллиардов лет), когда они находятся на

главной последовательности (наше Солнце существует около пяти

миллиардов лет). Тяготение не покидает звезды и на последних стадиях их

существования (взрывы Сверхновых, с образованием нейтронных звезд или

превращением массивных звезд в черные дыры).

2.17. Информация, энтропия, вероятность

Эти три понятия являются ключевыми характеристиками процесса

эволюции и деградации материи в необозримом течении времени.

Из выражения SQ T

T

( ) следует, что при работе идеальной машины

Карно рост энтропии окружающей среды минимален, т. е.

SQ

T

2

2

,

где Q2 – теплота, поглощаемая холодильником при температуре Т2.

Гипотеза о разбегании галактик и всеобщее расширение Вселенной

позволили говорить о «стреле времени», т. е. о естественной направленности

метагалактических процессов в одну сторону: от горячей материи к

холодной.

Однако это не исключает локальных сжатий и нагревания материи за

счет гравитации и образования новых звезд.

Динамизм в эволюции Метагалактики, наполнявший космическое

пространство никак не свидетельствует об угасании процессов развития

Вселенной.

Ряд выдающихся ученых: Карно, Клаузиус, Больцман, Пуанкаре, Гиббс,

Винер, Шеннон, Нейман и другие, создали теорию передачи информации и

установили ее связь с вероятностью и энтропией:

I nW ,

S nW ,

F=А + ТS,

где F – свободная энергия.

Математическое сходство далеко не случайно. Оно свидетельствует о

фундаментальной связи процессов упорядочения и хаоса, наблюдавшихся во

Вселенной.

Все высокоорганизованные, в том числе и живые организмы, являются

поглотителями свободной энергии высокого потенциала – энергии Солнца и

в то же время активными поставщиками в мировое пространство энтропии.

Исследования последних лет показывают, что энтропия не имеет

статического содержания и отражает односторонний переход энергии из

горячего (конденсированного и упорядоченного) состояния в холодное

(рассеянное и хаотическое).

Одновременно энтропийные процессы выступают как неизбежные

спутники эволюции материи.

Накопленная в виде информации и сопровождаемая энтропией

сложность эволюции Вселенной не утрачивается, а каким-то неизвестным

способом сохраняется вечно, обеспечивая размножение диссипативных

структур и их необычайную устойчивость, и постепенное развитие

(самоорганизация).

Наш мир – результат совершенно неправдоподобной цепи

случайностей.

Избирательно поглощая излучение Солнца и другие виды энергии, все

более сложные диссипативные системы, не только поддерживают равновесие

с окружающей средой, но и успешно развиваются, переходя в новое

устойчивое состояние.

Но эти процессы приводят к росту энтропии и увеличению

информации.

Сильно охлажденная Вселенная заполнена сложнейшими структурами,

которые в конце своей эволюции, неизменно рождаются вновь и продолжают

свое развитие.

Энтропийная модель наполнена новым содержанием, так как хаос стал

созидателем.

Наблюдается баланс информации и энтропии.

Качество материи сохраняется так же, как и ее количество.

Существуют различные механизмы, производящие упорядоченные

явления: например, статистический, создающий порядок из беспорядка; и

механизм, создающий порядок из порядка низшего уровня.

Так мощным средством выработки отрицательной энтропии является

солнечный свет, с помощью которого в хролофилле происходит повышение

упорядоченности деградировавших веществ – фотосинтез.

Растения, потребляемые животным миром, и продукты их

жизнедеятельности в виде отходов усваиваются новыми растениями, и цикл

повторяется вновь и вновь.

Это единственный на Земле естественный самопроизвольный процесс,

в котором энтропия уменьшается за счет затраты солнечной энергии.

Все, что происходит в природе, ведет к увеличению энтропии в этой

части мира, где мы живем, включая и живые организмы, которые тоже

повышают свою энтропию.

Неравновесное состояние живых систем поддерживается за счет

извлечения ими из окружающей среды отрицательной энтропии

(негэнтропии).

Назначение обмена веществ – освободиться от производства

положительной энтропии и извлечь отрицательную энтропию.

2.17.1. Современные представления об информации

Слово «информация» известно с древних времен.

Корень этого слово «форма» не случаен. Потребовалось более XXV

веков, чтобы от формы, как чисто геометрического понятия, совершить

скачок к информации как полному описанию предмета, включая не только

его внешний вид, но и внутреннее устройство.

По современным представлениям информация это не энергия и не

материя.

Оно выступает как первичное понятие, также как материя и энергия и

не подлежит определению.

Все процессы во Вселенной пронизаны информацией и подчинены

двум фундаментальным законам гомеостаза и блочного принципа строения

всех процессов управления (от клетки до социума).

Гомеостаз – относительное, динамичное постоянство состава и

свойства внутренней среды и устойчивых физиологических функций

организма.

Организм человека представляет собой приемник и анализатор

различных информационных потоков окружающего мира, и сам человек

является носителем информации.

В клетках живого существа сосуществует с ними вторая – полевая форма.

Полевая форма жизни управляет материально-энергетическими

потоками, когда выполняется сохранение и накопление информации на

уровне элементарных частиц и микрополей.

Такой полевой сгусток воспроизводит, сохраняет и умножает

информацию, он связан с другими материальными телами как активное

образование, способное вписываться в другие образования и воздействовать

на них, на окружающее пространство.

Таким образом, информация – фундаментальное сущность Природы,

это универсальное свойство предметов, явлений, процессов, заключающееся

в способности воспринимать внутреннее состояние и воздействие

окружающей среды, преобразовывать полученные сведения и передавать

результаты обработки другим предметам, явлениям, процессам.

Информацией пронизаны все материальные объекты и процессы.

Все живые существа с момента их зарождения и до конца существования

находятся в информационном поле, которое непрерывно воздействует на них.

Все окружающее нас пространство образует единое информационное

поле, которое является живой системой, способной получать информацию,

хранить ее, обучаться, используя полученную информацию, творить новую

информацию внутри себя и по своей воле давать распоряжения к

материальному движению и действию.

Информационное поле по своему строению многослойно и структурно,

также как и околоземное пространство.

Гелиометрические исследования показали, что Земля – это живая

сущность. Можно рассматривать Землю как систему разноматериальных миров,

объединенных информационным слоем и управляемых слоем сознания планеты.

Информационный слой Земли не только содержит всю информацию о

нашей планете и о каждом человеке, но и осуществляет обмен информацией

Земли со всей Вселенной.

Слой сознания представляет собой информационно-энергетическую

сферу всех обитателей.

Биосфера – слой, составляющий биомассу всего живого и энергию

обеспечения.

Следующий слой – ноосфера включает в себя ту часть планеты,

которая находится под влиянием биоэнергии живых существ и, прежде всего,

человека, сложных взаимоотношений между людьми и всего человечества с

природой.

Далее следует слой психосферы Земли (человечества в том числе),

который гармонично вливается в Сознание Вселенной.

Таким образом, Тонкий Мир может быть многослойным, причем, чем

выше слой – он имеет более тонкую энергетическую информационную

структуру.

Тонкий Мир в свою очередь также имеет сложную структуру,

содержит набор образцовых информационных матриц (коды),

управляющими построением Вещественного Мира.

Реальность существования Тонкого Мира доказана учеными разных

стран и квалифицированными исследованиями феноменов, сознания в

психофизике и в квантовой механике.

С другой стороны, тонкий Мир, как и мир чистого сознания, должен

содержать информацию обо всем вещественном в мире.

Это законы природы, идеи, алгоритмы развития, банки данных, коды

воспроизведения при определенных условиях.

Например, семя яблони, посаженное в землю, при нормальных

условиях на Земле вырастает в плодоносящее дерево и др.

Единое Информационное Поле хранит в себе голограмму каждого

человека с миром его чувств и мнений.

Носителями информации в физическом мире являются

электромагнитные волны (телевидение, радио и т. д.).

Спектр электромагнитных колебаний – спектр, простых гармонических

колебаний – представляет собой информационный язык, на котором

осуществляется передача и прием информации между физическими

системами и живыми организмами.

Наши органы чувств: зрение, слух, обоняние и другие функционируют

на уровне атомов при помощи электромагнитного поля.

Материальным носителем информации в Тонком Мире являются

торсионные поля (спиновые волны высокой частоты – вибраций).

Они лежат в основе таких феноменов, как интуиция, ясновидение,

чутье, телепатия, предчувствия и т. д.

Вселенная пронизана средой – физическим вакуумом, который

обладает свойством голограммы и, если учесть его свойства как спиновой

системы, то становится возможным рассматривать Вселенную как целостную

систему.

Идея торсионной вычислительной машины или торсионный

виртуальный мозг (ТВМ) позволит обсуждать квантовый подход к проблеме

Вселенной как СуперТВМ.

Поскольку Сознание имеет спиновую природу, то становится

очевидным, что оно является составной частью такой суперТВМ.

Следовательно, Вселенная есть суперсовременная вычислительная

машина, и кроме нее ничего в Мире больше нет. Все остальное – формы

проявления Абсолюта – Космического Разума.

2.18. Термодинамические потенциалы

Существует ряд определенных функций объема (V), давления (Р),

температуры (Т), энтропии (S), числа частиц физической системы (N) и

других макроскопических параметров (хi), характеризующих состояние

термодинамической системы.

Эти функции называют термодинамическими потенциалами.

К ним относятся, например:

1. Внутренняя энергия U = U(S, V, N, хi).

2. Энтальпия

H = H(S, P, N, хi) –

тепловая функция Гиббса.

3. Свободная энергия (изохорно-изотермический потенциал)

F = F(V, T, N, хi) –

Гельмгольца энергия.

4. Гиббса энергия (изобарно-изотермический потенциал)

G = G(P, T, N, хi) и другие.

Все перечисленные термодинамические потенциалы связаны друг с

другом рядом соотношений:

F = U TS, (2.75)

H = U + PV, (2.76)

G = F + PV. (2.77)

Используя термодинамические потенциалы, можно определить условия

термодинамического равновесия системы и границы ее устойчивости.

Работа, совершаемая термодинамической системой в каком-либо

процессе, равна убыли термодинамического потенциала, отвечающего

условиям процесса.

Например, при постоянном числе частиц (N = сonst) в условиях

теплоизоляции (адиабатический процесс, S = сonst) элементарная работа dA

равна убыли внутренней энергии, т. е. dA = dU.

При изотермическом процессе (Т = сonst) dA = dF (F – свободная

энергия), т. е. работа совершается не только за счет убыли внутренней

энергии, но и за счет поступающей в систему теплоты.

Зная какой-либо термодинамический потенциал, как функцию

указанных параметров, можно его дифференцированием получить все

остальные параметры, характеризующие систему; определить все

термодинамические свойства системы и получить уравнение состояния.

2.19. Термодинамический смысл химического потенциала

Рассмотрим общие соотношения термодинамических систем

(потенциалов) с переменным числом частиц N. Если число частиц N в

термодинамической системе может изменяться, то в формуле I начала

термодинамики

dU = TdS – РdV, (2.78)

где TdS = dQ, нужно добавить слагаемое *dN, учитывающее изменение

внутренней энергии газа при изменении числа частиц в системе, т. е.

dU = TdS – РdV + *dN. (2.79)

Такое же слагаемое добавится и в выражениях для других

термодинамических потенциалов: энтальпии Н, свободной энергии F, Гиббса

энергии G.

Величина * в термодинамике называется химическим потенциалом.

Тогда из этого определения следует, что

.N

H

N

G

N

F

N

Uм*

SP,PT,VT,SV,

(2.80)

Найдем общий вид зависимости, например, энергии Гиббса G

(термодинамический потенциал) от числа частиц в термодинамической

системе.

Для систем с переменным числом частиц энергия Гиббса является

функцией температуры Т, давления Р и числа частиц N, т. е. G = G (T, P, N).

Оставляя Т и Р неизменными, увеличим число частиц в раз. Тогда G

возрастет также в раз, т. е. G = G (T, P, N). Если взять таким, чтобы

N = 1, то = 1/N. Тогда энергии Гиббса G = NG (T, P, 1). Следовательно,

химический потенциал PT,N

Gм* = G (T, P, 1). (2.81)

или

G = * (T, P) N. (2.82)

Следовательно, физический смысл химического потенциала можно

истолковать как термодинамический потенциал (энергия Гиббса) отнесенный

к одной частице. Выразим химический потенциал *

через свободную

энергию Гельмгольца F.

Для свободной энергии можно написать, что F = F (V, T, N). При

увеличении числа частиц N в раз, увеличится не только F, но и объем V, т.

е.

F = F ( V, T, N).

Если = 1/N, то F = NF (V/N, T, 1). (2.83)

Так как число частиц N стоит не только в качестве множителя, но и

под знаком функции F (V/N, T, 1).

Следовательно, химический потенциал VT,N

Fм* F (V/N, T, 1).

Таким образом, термодинамическое определение химического

потенциала * не однозначно. Поскольку внутренняя энергия U и энтропия S

определены с точностью до произвольных постоянных U0 и S0, то G и F – с

точностью до линейной функции температуры U0 – S0T. Так как U0 и S0

зависят от числа частиц, то это влияет на величину химического потенциала *. Поэтому для однозначного определения

* необходимо фиксировать

начала отсчета внутренней энергии и энтропии.

Для нахождения энтропии газа фермионов Sф и бозонов SБ, согласно

квантовых статистик Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна, и применив

формулу Стирлинга, имеем:

Sф = – k constNZnNZnNNi

iiiiii (2.84)

SБ = k constnNN1NZn1)N(Zi

iiiiii , (2.85)

где const не зависят от числа частиц фермионов и бозонов; Zi – число

квантовых состояний в i-ом энергетическом слое.

Теперь вычислим химический потенциал *, например для ферми – газа.

Для этого рассмотрим свободную энергию Гельмгольца F . Изменим

число частиц N в системе, сохраняя неизменными Т и V и найдем

приращение свободной энергии dF. Так как объем V остается неизменным

и частицы между собой не взаимодействуют, то при изменении N

энергетические уровни i и соответствующие им числа Zi изменяться не

будут. Будут меняться только числа заполнения Ni.

Тогда для приращения энтропии газа фермионов из (2.84) получаем

.dNNZ

NлnkdS i

i ii

iф

В состоянии равновесия kT

ем

NZ

Nn i

ii

i.

Таким образом, ,dNkT

nлkdS ii

iф

где dNi – говорит о среднем значении чисел Ni, точнее об их значениях в

наиболее вероятном состоянии.

Сумма i <dNi> – дает приращение внутренней энергии dU.

А сумма dNi = d Ni = dN.

В результате получим TdS = – dN + dU или dF = dN.

2.20. Фазы и условия равновесия фаз

Среди широко распространенных макроскопических процессов особое

место занимают фазовые переходы.

Фазовым переходом называют процесс, в результате которого

свойства тела изменяются скачком.

Вещество, находящееся в состоянии термодинамического равновесия,

отличающееся по физическим свойствам от других возможных состояний

того же вещества, называют фазой.

Агрегатные состояния: газообразное, жидкое и твердое, являются

разными фазами одного и того же вещества.

Например, пар, жидкая вода и лед - фазы воды. Разные фазы могут

возникать в пределах одного и того же агрегатного состояния вещества. Под

твердой фазой понимают только ее кристаллическое состояние.

Переход из одной фазы в другую при заданном давлении всегда

происходит при определенной температуре.

Температурой фазового перехода называют температуру, при

которой поддерживается термодинамическое равновесие между фазами.

При изменении давления изменяется и температура фазового

превращения. Зависимость давления от температуры вещества,

испытывающего фазовый переход, можно изобразить графически в

координатах Р – Т в виде кривой, называемой фазовой диаграммой

(диаграммой состояния).

Эту зависимость на Р – Т диаграмме изображают кривой фазового

перехода: Р = Р(Т).

Например, фазовое превращение твердое тело – жидкость

характеризуется температурой плавления. Различают графики кривых:

плавление-кристаллизация, испарение-конденсация и т. д.

Кривые фазового перехода делят плоскость Р – Т на две области.

Точки, лежащие на кривой фазового превращения, свидетельствуют о

том, что обе фазы существуют одновременно и находятся в равновесии друг

с другом.

Поэтому эту кривую называют кривой равновесия фаз.

Точки, лежащие внутри каждой области, соответствуют однофазному

состоянию.

Фазовые превращения можно изобразить и на Р – V или Т – V

диаграммах состояния.

Фазовая диаграмма Р – Т отличается от фазовой диаграммы Р – V тем,

что в процессе перехода остаются постоянными и давление, и температура, в

то время как объем (удельный) изменяется.

Удельным называют объем, приходящийся в среднем на одну частицу

вещества.

Если вещество состоит из N частиц и имеет объем V, то удельный объем

Рис. 2.12

Рис. 2.13

=V

N

1

0n, (2.86)

где n0 – концентрация частиц.

При фазовых превращениях концентрация, плотность и удельный

объем веществ изменяются скачком.

Рассмотрим процесс изотермического сжатия вещества.

Пусть в начальном состоянии вещество существует в одной фазе (точка

1 на Р – Т диаграмме, рис. 2.12). Параметры этого состояния: удельный

объем 1, температура Т1, давление Р1 [(Р – ) диаграмма, точка а, рис. 2.13].

На Р – Т диаграмме этот процесс изображен прямой 1– 2– 3, а на диаграмме

(Р – ) изотермой а – б.

При изотермическом сжатии с увеличением давления удельный объем

исходной фазы начнет уменьшаться сначала плавно, затем при достижении

состояния 2 (рис. 2.12) [на диаграмме (Р – ) точка (в), рис. 2.13], начинает

образовываться новая фаза с удельным объемом 3 < 2.

Из-за скачка концентрации и плотности с этого момента вещество

будет находиться в двухфазном состоянии.

Этот процесс сопровождается выделением энергии, которая влияет на

количество образовавшейся новой фазы.

В чем же заключается различие между Р – Т и Р – диаграммами?

При постоянной температуре двухфазному состоянию на Р – Т

диаграмме соответствует точка. На Р – отрезок, что позволяет

определить количественное соотношение фаз в двухфазном состоянии.

Кривой фазового перехода на Р – Т диаграмме, соответствует

штрихованная область на Р – диаграмме (рис. 2.13).

2.21. Уравнение Клапейрона – Клаузиуса

Переход вещества из одной фазы в другую сопровождается

выделением или поглощением тепла.

Например, переход жидкость – газ

сопровождается теплотой парообразования, а

переход твердое тело – жидкость – теплотой

плавления.

При плавлении и испарении тепло

поглощается, так как фазовый переход

происходит при нагревании (принцип Ле

Шателье: нагревание стимулирует процессы,

протекающие с поглощением тепла).

С этим связано направление кривой

фазового равновесия при изменении удельного

объема в Р – Т диаграмме.

Рис. 2.14

Это положение (наклон кривой фазового равновесия) прямо следует из

уравнения Клапейрона – Клаузиуса.

Пусть некоторое вещество осуществляет равновесный циклический

процесс (Р – диаграмма, рис. 2.14).

На участке А – Б фаза 1 с удельным объемом 1 при давлении Р1

переходит полностью в фазу 2 с удельным объемом 2 (процесс изобарно-

изотермический; P1= сonst; Т1 = сonst).

Затем фаза 2 испытывает бесконечно малое изменение. При этом

давление возрастает до Р2 = Р1 + dP (dP << P1), а температура до

Т2 = Т1 + dT (dT << T1, линия Б – Г, рис. 13.14).

После этого совершается изобарно-изотермический переход (P2 = сonst,

T2 = сonst) по прямой Г – В (рис. 2.14).

Затем система возвращается в исходное состояние (линия В – А, рис. 2.14).

Участки В – А и Б – Г бесконечно малы (равновесный процесс).

Работа процесса

А = dP( 2 1).

Согласно циклу Карно эта работа

А = Q,

где Q – теплота перехода вещества из фазы 1 в фазу 2;

– КПД цикла Карно.

С другой стороны,

T

dT,

где dT – разность температур.

Следовательно,

dP( 2 1) = QdT

T. (2.87)

Перепишем формулу (2.87) в виде

dT

dPT

Q

2 1 , (2.88)

Формула (2.88) является уравнением Клапейрона – Клаузиуса.

Из (2.88) следует, что dP

dT обратно пропорционально ( 2 1).

Действительно, изменение объема при испарении велико, а при

плавлении мало.

Поэтому кривые плавления идут круче кривых испарения.

При испарении кривая фазового равновесия имеет положительный

наклон, что связано с поглощением тепла телом.

Кроме того, Q > 0, так как удельный объем газа всегда больше

удельного объема жидкости. При плавлении кривая фазового равновесия

имеет также положительный наклон, например, кривые плавления никеля и

железа (рис. 2.15).

Однако у ряда веществ, называемых аномальными (вода, висмут,

галлий и др.),

< 0,

т. е.

dP

dT < 0

и кривая плавления имеет отрицательный наклон, например, кривые

плавления висмута и галлия (рис. 2.16).

2.22. Критическая точка Кривые Р = Р(Т) фазовых переходов, например, кривые испарение-

конденсация, обладают особым свойством: они имеют конечную точку, за

которой различие газовой и жидкой фаз исчезает.

На диаграмме Р – Т эту точку называют критической К. Она имеет

координаты Тк, Рк (рис. 2.7), а на диаграмме Р – координаты Рк, к (рис.

2.8).

По мере приближения к критической точке, при повышении

температуры, происходит сближение удельных объемов жидкости и пара.

Происходит уменьшение теплоты перехода, и в критической точке она

обращается в нуль. С существованием критической точки связана

возможность непрерывного перехода жидкости в газ и, наоборот, при

температуре выше критической (кривая 1 – а – 2, рис. 2.7; кривая 1 – б – 2,

рис. 2.8), т. е. при уменьшении объема сначала увеличивают температуру, а

Рис. 2.16

Рис. 2.15

затем уменьшают, перемещаясь по пути, огибающему критическую точку.

При этом не будет наблюдаться скачкообразного изменения состояния

вещества – оно будет оставаться однородным по составу.

Замечание: Кристаллические тела принципиально отличаются от

жидкостей и газов из-за наличия анизотропии (неодинаковость физических

свойств по различным направлениям в кристалле).

Поэтому переход между жидкостью и

кристаллом не может осуществляться

непрерывно.

Следовательно, существование

критической точки для процесса плавления

невозможно.

В критической точке обращаются в

бесконечность коэффициент теплового

расширения, теплоемкость, резко возрастают

флуктуации плотности, возрастает рассеяние

света веществом и т. д.

Могут существовать и несколько критических точек. Например, для смеси гексаметиленимина и воды существуют две

критические точки (рис. 2.9; по оси абсцисс отложено процентное содержание гексаметиленимина; область двухфазного состояния ограничена замкнутой кривой).

Лекция 14

2.23. Уравнение Ван-дер-Ваальса

Экспериментальные исследования вязкости, удельной теплоемкости и других физических свойств показали, что реальные газы по своим свойствам значительно отличаются от идеальных газов и связаны с молекулярным

Рис. 2.8

Рис. 2.7

Рис. 2.9

взаимодействием между молекулами реального газа. Между ними существуют силы притяжения и отталкивания. Зависимость силы взаимодействия молекул от расстояния между ними

приведена на рис. 2.10, а. При r = r0 силы притяжения и

отталкивания равны по абсолютной величине.

Если r > r0, то преобладают силы притяжения, особенно на больших расстояниях, что и приводит к конденсации газа в жидкость.

При r < r0 преобладают силы отталкивания, что свидетельствует о наличии собственных размеров молекул. При взаимодействии молекулы обладают потенциальной энергией. График зависимости Wp = Wp(r) приведен на рис. 2.10, б.

С учетом рассмотренного выше, Ван-дер-Ваальс предложил модель реального газа и получил уравнение, описывающее его состояние. Для этого были введены поправки в уравнение состояния идеального газа, учитывающие собственный объем молекул и их

взаимодействие.

Первая поправка связана с существованием ограниченной

сжимаемости реального газа. Следовательно, в уравнении

PRT

V

NkT

V (2.89)

нужно заменить V на V Nb, где b = 16 r3/3 – поправка на собственный

объем молекул, учитывающая действие сил притяжения между молекулами;

N – число молекул, r – радиус молекулы.

Тогда формула (2.89) принимает вид

PNkT

V Nb. (2.90)

Вторая поправка связана с существованием притяжения между

молекулами, которое приводит к уменьшению давления реального газа на

стенки сосуда, так как на любую молекулу, вблизи стенок сосуда, действует

со стороны остальных молекул результирующая сила, направленная внутрь

сосуда и пропорциональная концентрации молекул: n0 =N

V. Кроме того,

давление также прямо пропорционально концентрации молекул (Р = n0kT).

Рис. 2.10

Следовательно, полное давление уменьшится на величину, прямо

пропорциональную квадрату концентрации газа, т. е. на величину aV

N

2

2

, где а

– постоянная, учитывающая особенность сил притяжения данного сорта

молекул. Поэтому формула (2.90) запишется в виде

PNkT

V Nb

N

Va

2

2. (2.91)

Таким образом, уравнение состояния реального газа запишем в виде:

PN

VV Nb NkTa

2

2

(2.92)

или

V N bkT

PV

N

PV

N

P

a ab3 22 3

0. (2.93)

Для одного моля реального газа уравнение состояния имеет вид:

PV

V b RTa

m

m2. (2.94)

Исследуем теоретические изотермы реального газа, приведенные на

диаграмме Р – V при различных значениях температуры (рис. 2.11).

Уравнение (2.93) имеет три корня, из которых вещественными корнями

могут быть все три или один корень.

Физический смысл имеют только положительные корни. На кривой

(изотерма Т1) им соответствуют точки б, г, е, рис. 2.11. Для выяснения

физического смысла различных участков теоретических изотерм реального

газа рассмотрим одну из них, например, изотерму Т1 (а – б– в – г – д – е – ж).

На участках (а – б – в) и (д – е – ж) зависимость давления от объема имеет

нормальный вид. Участок изотермы (в – г – д) не может быть осуществлен,

так как нет в природе таких состояний, когда при сжатии вещества его

давление уменьшается. Наличие этого участка изотермы показывает, что при

постепенном изменении объема вещество не может быть в виде однородной

массы, так как при определенном давлении и температуре наступает распад

вещества на две фазы. Эксперименты показали, что изотермы реальных газов

(изотермы Эндрюса), в отличие от теоретических изотерм, имеют вид

кривой (а – б – г – е – ж, рис. 2.11), где прямолинейный участок (б – г – е)

соответствует двухфазному состоянию. При повышении температуры

прямолинейные участки изотерм сокращаются, и при некоторой температуре

стягиваются в точку К, называемую критической (рис. 2.11).

Существование критической точки

было предсказано Д. И. Менделеевым. Если

соединить между собой последовательно

правые и левые концы прямолинейных

участков на семействе изотерм, то получим

кривую фазового равновесия жидкости и

газа (пара) на диаграмме Р – V. Максимум

этой кривой и есть критическая точка К. В

точке К изотермы Ван-дер-Ваальса имеют

как максимум, так и точку перегиба, т. е.

dP

dV T k

0; d P

dVT k

2

20.

Величина, обратная первой

производной, характеризует сжимаемость

вещества и в критической точке обращается

в бесконечность. Действительно,

коэффициент сжимаемости =

1

V

dV

dP T.

Таким образом, уравнение Ван- дер-Ваальса для реального газа не

описывает существование двухфазных систем, но предсказывает

существование критической точки. Уравнение Ван-дер-Ваальса выполняется

только в некотором диапазоне давлений и температур, а уравнения состояния

реального газа нет до сих пор. В критической точке К все три корня

уравнения (2.92) равны Vk. Тогда формула (2.93), принимает вид

V NbkNT

PV

aN

PV

abN

P

k

k k k

3 22 3

0( ) . (2.95)

Это уравнение эквивалентно тождественному уравнению

(V – Vk)3 = V

3 – 3V

2Vk + 3VVk

2 – Vk

3 = 0. (2.96)

Из сравнения коэффициентов при одинаковых степенях объема V в

уравнениях (2.95) и (2.96) получим

abN3/Pk=Vk

3; 3Vk

2=aN

2/Pk; bN+kNTk/Pk=3Vk. (2.97)

Выразим из последних равенств (13.97) Vk, Tk, Pk через постоянные a, b,

k и N, т. е. Vk = 3bN; Pk = a/(27b2); Tk = 8a/(27kb).

Уравнение Ван-дер-Ваальса (2.93) приводит к закону

соответственных состояний: вид уравнения состояния, записанного в

приведенных величинах, одинаков для всех веществ.

Рис. 2.11

Приведенными называют отношения типа:

kT

TT

;k

;kP

PP

0

0

0

С учетом этого, введя удельный объем, уравнение (2.93) преобразуем к

виду:

3 1 8 93

003 0

002 0

0 0

T

P P P

или PT8

3

30

00

21

. (2.98)

В это уравнение уже не входят постоянные а и b, характеризующие

свойства реальных газов.

Следовательно, уравнение (2.98)

справедливо для всех газов, в том числе и для

ядерного вещества, уравнение состояния

которого записывают в виде

PT

0

03 3 1

0 0 0

2 3 . (2.99)

В определенной области давлений и

температур ядерное вещество ведет себя

подобно молекулам реального газа под

действием ядерных сил. На рис. 2.12

приведены изотермы, описывающие

уравнение Ван-дер-Ваальса (кривая 1, рис.

2.12) и уравнение состояния ядерного

вещества (кривая 2, рис. 2.12), при Т0 = 0,5.

Несмотря на различную природу, силы взаимодействия между частицами

обычного и ядерного вещества, в чем-то сходны. Полученные результаты

позволяют понять поведение ядерной материи в микро- и макрообъектах: при

взрывах сверхновых звезд, в нейтронных звездах, черных дырах и т. д.

2.24. Внутренняя энергия реального газа

В отличие от идеального газа для нахождения внутренней энергии

реального газа необходимо учитывать не только кинетическую энергию Wk

всех молекул, но и потенциальную энергию Wр, вызванную силами

межмолекулярного взаимодействия.

Согласно молекулярно-кинетической теории, учет сил отталкивания

(с помощью поправки b) соответствует модели молекул газа в виде твердых

Рис. 2.12

шариков, имеющих собственный размер и занимающих часть объема сосуда.

Поэтому силам отталкивания, возникающим при столкновении молекул, не

может соответствовать какая-либо потенциальная энергия.

Наличие сил притяжения между молекулами учитывается

дополнительным давлением Pa

V2, где а – постоянная, зависящая от

свойств реального газа.

Из механики известно, что изменение потенциальной энергии молекул

равно работе сил притяжения со знаком « »: dA = dWp .

При расширении газа работа сил притяжения между молекулами

02V

dVaPdVdA (2.100)

(при dV > 0, т. е. при расширении, работа сил притяжения отрицательна).

Изменение же кинетической энергии всех молекул

RdTM

m

2

i

kdW . (2.101)

Следовательно, изменение внутренней энергии реального газа

dU = dWk + dWp

или

RdTM

m

2

i

V

dVadU

2 . (2.102)

При переходе газа из состояния 1 в 2 изменение внутренней энергии

U12 adV

V

i m

MR dT

V

V

T

T

2

1

2

1

2

2. (2.103)

После интегрирования

U12 aV V

i m

MR T T

1 1

21 22 1

(2.104)

или

U12 aV V

m

MCV

1 1

1 2

. (2.105)

Для одного моля реального газа формула внутренней энергии

запишется в виде:

U C Ta

VV

. (2.106)

Формула (2.106) справедлива только для однофазного состояния вещества.

2.25. Метастабильные состояния

Существование участков б – в и д – е на рис. 2.11 имеет физический

смысл, так как они описывают метастабильные состояния.

Равновесное состояние вещества с ограниченной устойчивостью,

называют метастабильным.

При незначительных отклонениях от этого состояния вещество

переходит в другое устойчивое состояние и самопроизвольно не

возвращается обратно. Следовательно, метастабильное состояние существует

ограниченное время.

Переохлажденный (пересыщенный) пар (участок б – в, рис. 2.11).

После достижение состояния (точка б, рис. 2.11) должна начаться

конденсация пара в жидкость. Однако это может случиться только при

наличии в паре инородных смачиваемых включений, на которых начинают

конденсироваться частицы пара, т. е. возникают центры конденсации.

Каждая частица включения провоцирует процесс бурного присоединения к

себе частиц пара. В макроскопическом масштабе это вызывает скачкообразное

превращение пара в жидкость. В абсолютно чистых газах это невозможно, так

как в них конденсация не начинается и при более высоких давлениях (точки

линии б – в), когда реальный газ вступает в область жидкой фазы. Такой газ

называют переохлажденным. Но такое состояние газа является крайне

неустойчивым. Появление в нем посторонних примесей сразу же вызывает его

бурную конденсацию. Перегретая жидкость (линия д–е, рис. 2.11). Механизм

возникновения состояния перегретой жидкости наблюдается в абсолютно

чистой жидкости, в которой нет зародышей газовой фазы. Однако зародыши

всегда присутствуют в виде мельчайших пузырьков газа на стенках сосуда с

жидкостью или на взвешенных в ней пылинках. Хотя метастабильные

состояния короткоживущие, тем не менее, они находят широкое применение.

Например, переохлажденный газ (пар) используют в экспериментах по

обнаружению следов (треков) элементарных частиц, возникающих в

результате ядерных реакций (камера Вильсона, в которой используется гелий,

аргон и другие газы, с добавлением воды в смеси со спиртом). Для этих же

целей используют свойства перегретой жидкости (пузырьковая камера, где в

качестве рабочего вещества применяют жидкий водород, пропан и др.).

2.26. Тройная точка

В однокомпонентном веществе кривая испарение – конденсация имеет

конец в виде критической точки. Кривая «плавление – кристаллизация», а

также кривые перехода между кристаллическими состояниями, различной

структуры, могут либо уходить в бесконечность, либо заканчиваться

тройной точкой.

Тройной, на диаграмме Р – Т, называют точку, в которой возможно

равновесие трех фаз однокомпонентного вещества.

Правило фаз Гиббса: в веществе, состоящем из k компонентов,

одновременно могут существовать не более k + 2 равновесных фаз , т. е.

k + 2.

Из правила фаз Гиббса следует, что однокомпонентное вещество в

равновесии не может иметь более трех фаз.

Например, пар, вода и лед могут находиться в равновесии при

давлении 6,09 103 бар при температуре t = + 0,01

оС (рис. 2.13).

Тройная точка равновесия трех фаз: газ, жидкость, твердое тело

существует у всех веществ, за

исключением гелия из-за особых

квантовых свойств.

Так как тройным точкам соответ-

ствует вполне определенная

температура, то их используют в

качестве стандартных (реперных) точек

температурной шкалы.Из фазовой Р – Т

диаграммы (рис. 13.13) видно, что

вещество при нагревании не

обязательно должно проходить стадию

жидкого состояния для того, чтобы

превратиться в газ. При нагревании до

давления ниже тройной точки, твердое тело непосредственно переходит в газ

(сублимация, или возгонка). Кривая равновесия фаз «жидкость – газ»

заканчивается критической точкой К.

Для переходов между жидкими и

твердыми фазами существование

критической точки невозможно из-за

анизотропии кристаллической структуры.

Поэтому кривая плавления продолжается

неограниченно. Кривые равновесия

«твердое тело – газ» уходят в начало

координат (0 К), т. е. при абсолютном

нуле температуры вещество при любом

давлении находится в твердой фазе

(исключение составляет гелий, который

переходит в твердое состояние при

давлении Р = 25 атм и Т 0 К).

Фазовые диаграммы могут иметь

несколько тройных точек, что связано с

наличием нескольких модификаций вещества в твердом состоянии

(полиморфизм).

На рис. 2.14 приведена фазовая диаграмма воды в координатах Р – t.

Буквами а, б, в, г, д обозначены различные модификации льда, а

цифрами 1, 2, 3, 4, 5 – тройные точки. Область (а) соответствует обычному

Рис. 2.13

Рис. 2.14

льду. Область пара не указана из-за малого масштаба рисунка. Переходы

между различными кристаллическими модификациями сопровождаются

образованием метастабильных состояний. Но в отличие от газовых и жидких

состояний, которые возникают в достаточно чистых системах,

метастабильные кристаллические состояния часто встречаются и

оказываются практически устойчивыми. Это объясняется особенностями

кристаллических структур из-за малой подвижности частиц в кристаллах.

2.27. Фазовые переходы I и II рода

Существуют фазовые переходы первого и второго рода.

Фазовый переход I рода

Фазовым переходом первого рода называют процесс, при котором

скачком изменяются внутренняя энергия, плотность, энтропия и другие

свойства физической системы.

Процесс перехода I рода сопровождается поглощением или

выделением тепла (теплота фазового перехода).

Примерами фазового перехода I рода являются:

1. Изменения агрегатного состояния вещества: превращение жидкости в

газ (испарение) и обратный процесс превращение газа в жидкость (конденсация).

2. Переход вещества из твердого состояния в жидкое (плавление) и

обратный переход из жидкого в твердое состояние (кристаллизация).

3. Превращение твердого тела непосредственно в газ (сублимация или

возгонка).

Например, для превращения 1 кг воды в пар нужна энергия Q = 2,3 106 Дж.

Эта энергия необходима для преодоления сил притяжения, действующих

между молекулами воды.

Полиморфные превращения из одной кристаллической модификации в

другую также относятся к фазовым переходам I рода, например,

полиморфное превращение алмаза в графит и обратно.

Фазовый переход II рода

Фазовым переходом второго рода называют процесс, при котором

скачком изменяется зависимость свойств вещества от температуры и

давления.

При фазовых переходах второго рода энтропия, плотность, внутренняя

энергия скачка не испытывают.

Поэтому фазовые превращения II рода не сопровождаются

поглощением или выделением тепла.

К фазовым переходам II рода относят:

1. Переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние.

2. Переход некоторых металлов и сплавов из нормального состояния в

сверхпроводящее состояние.

3. Переход магнитного вещества из ферромагнитного состояния в

парамагнитное состояние при нагревании магнетика до определенной

температуры, называемой точкой Кюри.

4.

2.28. Эффект Джоуля – Томсона

Рассмотрим процесс, при котором газ или жидкость медленно

перетекает под действием постоянного перепада давления сквозь пористую

перегородку при теплоизоляции с окружающей средой (адиабатическое

дросселирование).

В опытах Джоуля и Томсона измерялась температура в двух сечениях

непрерывного и стационарного потока газа (до и после пористой

перегородки). В результате трения газа при прохождении перегородки

скорость газового потока была малой и кинетическая энергия практически не

изменялась.

Газ, первоначально занимавший объем V1 при давлении Р1, перетекает

сквозь перегородку, занимая объем V2 при давлении Р2 (рис. 2.15).

Целью опытов Джоуля и Томсона

было обнаружение сил межмолекулярного

взаимодействия газа.

При прохождении газом перегородки

происходит замедление теплового движения

его молекул и температура понижается.

Расширение газа в условиях

адиабатического дросселирования не меняет

его внутренней энергии, но вызывает увеличение потенциальной энергии

взаимодействия молекул (расстояние между молекулами увеличивается) за

счет кинетической энергии.

При этом над системой совершается работа

А = Р1V1 P2V2. (2.107)

В адиабатическом процессе эта работа идет на изменение его

внутренней энергии (первое начало термодинамики, Q = 0), т. е.

U2 U1 = Р1V1 P2V2. (2.108)

Следовательно,

U1+Р1V1 = U2+Р2V2 = Н = сonst, (2.109)

где Н – энтальпия.

Поэтому, зная уравнение состояния газа и выражение для энтальпии Н,

можно найти Т. Для идеального газа внутренняя энергия и энтальпия

зависят только от температуры.

Из формулы (2.109) следует равенство температур, т. е. для идеального

Рис. 2.15

газа Т = 0. Эффект Джоуля – Томсона считают положительным, если газ в

процессе дросселирования охлаждается ( Т < 0), и отрицательным, если газ

нагревается ( Т > 0).

Например, при перепаде давления на дросселе, равном атмосферному,

измеренная разность температур для воздуха Т = 0,25 оС (опыт

проводился при комнатной температуре).

Для водорода и углекислого газа в тех же условиях, разность

температур составила, соответственно: = + 0,02 С; CO = 1,25 С.

В зависимости от условий протекания сквозь перегородку один и тот

же газ может как нагреваться, так и охлаждаться.

Температура Тi, при которой разность Т, переходя через нулевое

значение, меняет знак, называется температурой инверсии эффекта Джоуля – Томсона.

Совокупность точек температуры инверсии на диаграмме Р – Т

называют кривой инверсии. Для точек на

самой кривой эффект равен нулю.

На рис. 2.16 приведена кривая

инверсии азота.

Из условия постоянства энтальпии

следует, что эффект Джоуля – Томсона

характеризуется небольшими изменениями

температуры при малых перепадах давления.

Поэтому дифференциальный эффект

можно описать формулой

Р H P TC

H

P

1, (2.110)

где CP

P

H

T – теплоемкость газа при постоянном давлении; Н –

энтальпия.

Кривая инверсии реального газа соответствует уравнению

RTbV2 = 2a (V – b)

2. (2.111)

Так как эффект Джоуля – Томсона является необратимым процессом,

энтропия газа возрастает.

Эффект Джоуля – Томсона является одним из способов получения

низких температур в комбинации с адиабатическим расширением при

сжижении газов.

На практике при больших перепадах давления на дросселе

температура газа может изменяться довольно значительно (интегральный

эффект Джоуля – Томсона).

Например, при дросселировании от 200 атм до 1 атм и начальной

температуре t = 17 оС воздух охлаждается на 35

оС.

Рис. 2.16

2.29. Поверхностное натяжение.

Капиллярность

Любая жидкость характеризуется поверхностным слоем. Рассмотрим,

почему капли дождя, капельки пролитой ртути и т. д. имеют форму, близкую

к сферической? Поверхность жидкости образует пленку, и сила натяжения

действует параллельно поверхности из-за существующих между молекулами

жидкости сил притяжения.

Этот эффект и называют поверхностным натяжением.

Сила, действующая на единицу длины контура, ограничивающего ее

поверхность, называют поверхностным натяжением.

Согласно определению, поверхностное натяжение

л

Fу . (2.112)

Существование поверхностного натяжения можно объяснить на

основании молекулярного строения вещества. Между молекулами жидкости

действуют силы притяжения.

Молекула Б внутри жидкости находится в равновесии, так как силы со

стороны других молекул, ее окружающих, действуют на нее во всех

направлениях и взаимно компенсируются (рис. 2.17).

Молекула А на поверхности жидкости тоже находится в равновесии, но

на нее действует результирующая сила, направленная внутрь жидкости. Эта

сила и вызывает поверхностное натяжение.

При таком стягивании поверхности жидкости она стремится к состоянию,

в котором площадь ее поверхности минимальна.

В условиях невесомости капли любой жидкости

независимо от ее размеров имеют сферическую

форму. Помещая каплю жидкости, например,

оливкового масла, в жидкость такой же плотности

(смесь спирта и воды) наблюдают, что эта капля

принимает сферическую форму (опыт Плато).

Для увеличения поверхности жидкости

необходимо приложить силу. Совершаемая при этом

работа затрачивается на перенос молекул из глубины

жидкости на ее поверхность, т. е.

А = F x = x = S, (2.113)

где x – смещение границы пленки; S – изменение площади поверхности.

При этом увеличивается потенциальная энергия молекул, называемая

поверхностной энергией.

Чем больше площадь поверхности, тем больше поверхностная энергия.

Из (2.113) следует, что

Рис. 2.17

S

A, (2.114)

т. е. поверхностное натяжение – работа, совершаемая силами для увеличения

площади поверхности жидкости на единицу.

В предельном случае можно получить тонкие пленки, например,

мыльные пленки, которые имеют две поверхности, между которыми

заключена жидкость. При растяжении поверхности пленки увеличивается ее

площадь, в остальном пленка остается такой же, так как пленка пополняется

молекулами жидкости из внутренних слоев.

При определении поверхностного натяжения необходимо учитывать

среду, с которой жидкость граничит. Действительно, на молекулы

поверхностного слоя действуют молекулярные силы не только со стороны

данной жидкости, но и со стороны молекул окружающей среды.

Если жидкость находится в сосуде, то у стенок сосуда она может

подниматься или опускаться относительно общего уровня.

Это зависит от свойств жидкости и

материала сосуда.

Например, вода в стеклянном сосуде

около его стенок поднимается. В этом

случае говорят, что вода смачивает стекло

(рис. 2.18, а).

Наоборот поверхность ртути в

стеклянном сосуде у его стенок несколько

опускается, т. е. ртуть не смачивает стекло

(рис. 2.18, б).

Явление смачивания (не смачивания)

зависит от того, что сильнее: вза-

имодействие между молекулами жидкости

(когезия) или взаимодействие между

молекулами жидкости и молекулами

материала сосуда (адгезия). У стенок

сосуда жидкость образует искривленную

поверхность.

Угол между касательной к

поверхности жидкости и поверхностью

твердого тела (стенки сосуда) называют

краевым углом .

Его величина зависит от соотношения сил когезии и адгезии (рис. 2.19, а, б).

При 90о жидкость смачивает твердое тело; при 90

о – не

смачивает.

Особенно четко это явление наблюдается, когда жидкость налита в

узкий сосуд (капилляр).

Высота поднятия (опускания) h жидкости в капилляре зависит от

поверхностного натяжения, краевого угла и радиуса капилляра.

а б

Рис. 2.18

а б

Рис. 2.19

Если поверхность жидкости выпукла (вогнута), то при равновесии

давление по разные стороны от нее будет неодинаковым (рис. 2.20), т. е.

P Pr

2 1 , (2.115)

где r – радиус капилляра; Р1 – атмосферное давление; Р2 – давление на

уровне мениска (столба жидкости на высоте h).

Если же жидкость ограничена поверхностью двойной кривизны

(мыльная пленка), то по формуле Лапласа

P PR R

2 11 2

1 1 , (2.116)

где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно

перпендикулярных сечений поверхности

жидкости. Радиус считается положительным,

если сечение вогнуто в сторону жидкости и,

наоборот, если сечение выпукло, –

отрицательным.

В случае сферической поверхности

R1 = R2 = R,

значит,

P PR

2 1

2. (2.117)

Для мыльного пузыря из-за двойной поверхности натяжения

P PR

2 1

4. (2.118)

Для жидкости в цилиндрическом сосуде из-за симметрии при

R1 = R2 = R – радиус кривизны (мениск)

Rr

cos. (2.119)

С другой стороны,

Р2 – Р1 = gh. (2.120)

Из формул (2.117), (2.119) и (2.120) можно найти высоту поднятия

(опускания) столба жидкости в капилляре

hgr

2cos . (2.121)

Интересен вопрос о том, каким образом вода и растворенные в ней

минеральные соли поднимаются к верхушкам деревьев? Например, секвойя в

своем росте достигает высоты более 100 м.

Известно, что капиллярная система деревьев (ксилеме) характеризуется

Рис. 2.20

радиусом капилляров от 0,01–0,3 мм.

Под действием сил поверхностного натяжения вода в капиллярах

поднимается на высоту не более, чем на 1,5 м. Под действием атмосферного

давления она может подняться не выше 10 м. Как же осуществляется питание

деревьев при их росте? Причина заключается в том, что вода поднимается за

счет когезии (силы взаимодействия между молекулами однородной

жидкости) и за счет отрицательного давления, которое по последним данным

достигает 25 атм у верхушки деревьев. Получить на практике

отрицательное давление трудно. Запаянная с верхнего конца стеклянная

трубка заполняется жидкостью. Из правого резервуара откачивают воздух. В точках А и Б возникает разность давлений

(рис. 2.21) РБ – РА = gh. Когда давление над жидкостью становится

равной нулю, то давление в точке Б также равно нулю (РБ = 0), так как она находится на одном уровне с поверхностью жидкости в резервуаре.

Следовательно, давление в точке А будет

иметь отрицательное значение: РА= gh. Таким способом удалось на практике

получить отрицательное давление до Р = 270 атм. При отрицательном давлении жидкость как

бы стягивает на себя стенки сосуда. Возникшее натяжение существует во всем объеме жидкости, а не только на ее поверхности.Жидкость остается сплошной средой благодаря действию сил когезии между молекулами жидкости и сил адгезии между молекулами жидкости и молекулами материала стенок сосуда.

Силы когезии довольно велики. Например, прочность воды на разрыв

составляет 3 107 Н/м

2.

2.30. Термодинамика поверхности раздела фаз

Рассмотрим энтропию участка поверхности раздела фаз некоторой

площади П, если свободная энергия известна F = П:

.dT

d

dT

)(d

dT

dFS

V

Поскольку свободная энергия

F = WB – TS,

тогда энергия поверхности раздела фаз

WB = F + TS = П ПТd /dT = П ( Т d /dT).

Теперь запишем формулу для нахождения теплоты, поглощаемой при

изотермическом увеличении площади поверхностного раздела фаз с П1 до П2:

Q = T(S2 – S1) = – T d /dT (П2 – П1).

Следовательно, с повышением температуры коэффициент

поверхностного натяжения убывает и при критической температуре

обращается в нуль.

Рис. 2.21

2.31. Сверхтекучесть гелия

Природный гелий Не – инертный газ. Его атомы слабо

взаимодействуют с другими атомами и особенно между собой. Состоит из

двух стабильных изотопов 24 He (99,999862 %) и 2

3He (0,000238 %).

Преобладание 24 He связано с образованием при – распаде природных

U (урана), Th (тория) и других природных элементов.

Температура кипения Т = 4,22 К – самая низкая из всех жидкостей.

В жидком состоянии гелий обладает рядом уникальных свойств.

Например, это единственный элемент, который не переходит в твердое

состояние при нормальном давлении и температуре абсолютного нуля

(переход гелия в твердое состояние происходит при давлении 2,5 МПа и

возникает квантовый кристалл). В интервале температур от 4,22 К до 2,17 К

жидкий гелий ведет себя, как обычная жидкость. При температуре Т 2,17 К

24 He и 2

3He – квантовые жидкости. С понижением температуры при Т = 2,17

К жидкий 24 He (Не I) испытывает фазовый переход II рода в новую фазу –

Hе II. С ростом давления температура фазового перехода Т уменьшается

(рис. 2.17). Гелий II обладает аномально высокой теплопроводностью и

сверхтекучестью (П. Л. Капица, 1938 г.). Вязкость Не II измерялась методом

крутильных колебаний диска. Ее величина отлична от нуля и вблизи Т мало

отличается от вязкости нормального гелия 24 He .

Согласно двухжидкостной

модели Не II состоит из двух

компонент: нормальной и

сверхтекучей (Л. Д. Ландау,

1941 г.). Сверхтекучая

компонента – идеальная

жидкость с потенциальным

течением, не имеет энтропии и не

испытывает сопротивления при

протекании сквозь капилляры.

Ее плотность s = –

полной плотности при Т = 0 К и

уменьшается до нуля с

увеличением температуры при Т

= Т . Нормальная компонента –

остальная часть жидкости с плотностью н = s – ведет себя, как обычная

вязкая жидкость, что и приводит к затуханию колебаний диска в Не II. При

температурах, близких к абсолютному нулю, нормальная компонента

представляет собой газ фононов и ротонов – квазичастиц, возбуждаемых в

идеальной жидкости. Аномально высокая теплопроводность Не II связана с

тем, что в нем может переноситься теплота за счет движения нормальной

Рис. 2.17

компоненты, при отсутствии полного потока массы, который компенсируется

встречным потоком сверхтекучего компонента, не переносящего теплоты. В

Не II, кроме обычного первого звука, существует второй звук –

температурные волны.

Возможно существование третьего и четвертого звуков.

Двухжидкостная модель сверхтекучего гелия объясняет большинство

других эффектов. Например, существование сверхтекучей пленки на стенках

сосуда, благодаря которой выравниваются уровни Не II в сосудах,

разделенных перегородкой (рис. 2.18). Существование двух типов течений в

Не II является следствием квантовой статистики Бозе – Эйнштейна, согласно

которой в квантовой жидкости возникает сверхтекучая компонента –

макроскопическая составляющая жидкости, движение частиц которой

когерентно, т. е. описывается единой квантово – механической волновой

функцией. В обычных жидкостях существуют два механизма переноса тепла

– теплопроводность и конвекция.Теплопроводность – передача тепла от

более нагретых областей к менее нагретым областям в неподвижной

жидкости.

При этом возникает поток тепла в этом же направлении.

Перенос тепла при конвекции происходит путем движения жидкости.

Причиной возникновения потока тепла, в данном случае, является скорость

(импульс) жидкости, а не разность температур, как при теплопроводности.

Если поток тепла мал, то его перенос осуществляется только за счет

теплопроводности, т. е. в обычных жидкостях конвекция возникает при

довольно больших потоках тепла. С понижением температуры уменьшается

число степеней свободы движения атомов (уменьшается число возможных

видов теплового движения – они «вымерзают»). При комнатной и более

низкой температуре вещество в

основном состоит из молекул, которые

можно рассматривать как неделимые

частицы. Когда жидкость переходит в

твердое состояние, молекулы могут

совершать только малые колебания

около положения равновесия, но это не

независимые колебания различных

частиц (одноатомных молекул в гелии), а

колебания всего коллектива молекул

твердого тела, т. е. звуковые волны. При

понижении температуры, вплоть до

абсолютного нуля, все виды теплового движения должны исчезнуть.

Следовательно, при приближении к абсолютному нулю в любом

веществе будет эффективен лишь один наиболее устойчивый к

«вымерзанию» вид теплового движения. Такой вид движения называют

элементарным возбуждением. Элементарные возбуждения в различных

веществах различны по своей природе.

Таким образом, при понижении температуры процесс «вымерзания»

Рис. 2.18

индивидуального движения частиц рано или поздно должен произойти, после

чего может остаться только коллективный, т. е. звуковой вид движения.

Во всех веществах это приводит к замерзанию жидкости.

В гелии, из-за слабого взаимодействия между атомами, переход от

индивидуального движения к коллективному движению происходит уже в

жидком состоянии и он не переходит в твердое состояние при нормальном

давлении, даже при температуре 0 К.

Для объяснения необычных свойств гелия II необходимо выяснить, что

является элементарным возбуждением в нем.

Ландау предположил, что элементарным возбуждением гелия II

являются звуковые колебания. На основании этого им была построена

последовательная теория сверхтекучести гелия II, которая была

подтверждена многочисленными экспериментальными исследованиями. Как

известно, распространение звука представляет собой движение областей

уплотнения и разрежения со скоростью звука в неподвижной жидкости. При

этом изменение плотности передается от одних частиц жидкости к другим.

Сами же частицы не перемещаются вместе со звуковой волной. Тем не

менее, распространение звуковых волн сопровождается переносом массы

жидкости.

Для выяснения этого рассмотрим

движение уплотнений в звуковой волне. За

некоторое время t область повышенной

плотности (уплотнение) перемещается из

положения 1 в 2, т. е. происходит перенос

некоторой массы жидкости (рис. 2.19, а, б).

Для областей разрежения за это же время

происходит перенос массы из 2 в 1.

Изменение области разрежения

сопровождается переносом «недостающей»

массы в обратном направлении.

Следовательно, при возбуждении в

жидкости звуковой волны, которая

распространяется в определенном направлении, избыточная масса областей

уплотнения равна недостающей массе областей разрежения, т. е. полная

масса жидкости не изменяется. Переноса массы в жидкости не будет, если

скорости распространения уплотнения и разрежения в точности равны.

Теория и эксперимент показывают, что скорость распространения

уплотнения больше скорости распространения разрежения. Перемещение

области уплотнения приводит к повышению плотности жидкости в

направлении распространения звуковой волны.

Следовательно, это движение есть непосредственная причина переноса

массы областью уплотнения. Само распространение уплотнения происходит

благодаря этому движению, т. е. область уплотнения движется потому, что

жидкость все время перетекает из задней части области уплотнения в

переднюю. Но скорость перетекания жидкости много меньше скорости звука.

Рис. 2.19

Таким образом, скорость движения уплотнения будет равна сумме

скорости звука (относительно неподвижной жидкости) и скорости движения

самой жидкости.

Вывод: Область уплотнения распространяется со скоростью больше

скорости звука в жидкости. В области разрежения результат будет обратным,

т.е. скорость перемещения области разрежения равна разности скорости

распространения звука и скорости жидкости. Действительно скорости

распространения области уплотнения и разрежения не равны, уплотнение

перемещается быстрее и определяет направление суммарного переноса

массы.

Таким образом, распространение звука всегда сопровождается

переносом массы жидкости в направлении распространения волны.

Это означает, что система обладает отличным от нуля импульсом (этим

объясняется звуковое давление на преграды). В жидком гелии II тепловое

движение обусловлено наличием звуковых волн. Но энергия волн,

распространяющихся в различных направлениях одинакова, поэтому

результирующий перенос массы жидкости отсутствует.

Если же возникает, по какой-либо причине, преимущественное

направление распространения звуковой волны, то это вызовет перенос массы

жидкости. Известно, что если тело движется равномерно с до звуковой

скоростью в жидкости, то оно излучать звук не может.

Свойства сверхтекучего гелия II являются непосредственным

следствием рассмотренного выше. Действительно, при течении через щели

обычных жидкостей в результате взаимодействия ее частиц с неровностями

стенок кинетическая энергия жидкости превращается в тепло.

В случае гелия II тепловая энергия представляет собой энергию

звуковых волн. Сверхтекучесть должна наблюдаться лишь при скоростях

меньше некоторой критической. При больших скоростях течения излучение

звука возможно, но это должно привести к срыву сверхтекучести.

Исследования показывают, что такая критическая скорость всегда

существует. Если предположить, что гелий II состоит из двух компонент,

способных перемещаться независимо друг от друга, то движение одной из

них (сверхтекучей) не сопровождается трением, а при движении другой

(нормальной) трение возникает.

Сумма масс обеих компонент равна полной массе жидкости.

В действительности в гелии II нет двух компонент (это удобная

модель), а существует два вида движения, каждое из которых

сопровождается переносом своей массы.

Одно из этих движений связано с переносом звуковых волн и

сопровождается трением, другое обладает свойством сверхтекучести. Все

атомы гелия участвуют в этих двух движениях, так как звук по своей природе

– коллективное явление.

Ни о каком разделении атомов на сверхтекучие и нормальные не может

быть и речи. При повышении температуры энергия звуковых волн возрастает

и вместе с ней возрастает масса, связанная с движением нормальной

компоненты. При некоторой критической температуре эта масса сравняется с

полной массой жидкости. Тогда сверхтекучее движение исчезает, так как

исчезнет переносимая им масса и гелий II перейдет в гелий I, который ведет

себя как обычная жидкость.

Рассмотренная выше теория сверхтекучести позволила, качественно,

объяснить наблюдаемые явления в гелии II.

Например, при измерении вязкости в момент протекания гелия II через

щель, вязкость не обнаружена в нем, так как сверхтекучая компонента

быстро вытекает через щель без трения.

Измерение вязкости с помощью колеблющегося диска приводит к

отличной от нуля вязкости потому, что диск совершает колебания в

жидкости, содержащей обе компоненты.

Затухание его колебаний происходит из-за взаимодействия с

нормальной компонентой.

Получается, что в эксперименте со щелью проявляет себя сверхтекучая

компонента, а в опыте с диском – нормальная.

Явление сверхтекучести гелия II в опыте на рис. 2.18 можно объяснить

так. Стенки внутреннего сосуда, в котором уровень жидкости выше уровня

жидкости внешнего сосуда, всегда покрыты тонкой пленкой жидкости

(толщина пленки порядка 108 м).

Это происходит потому, что молекулы

жидкости всегда притягиваются к поверхности

твердых тел (силы Ван-дер-Ваальса). В

обычных жидкостях пленка не возникает из-за

вязкости.

Сверхтекучий гелий II способен

перетекать по пленке с большой скоростью, что

и приводит к выравниванию уровней жидкости

в сосудах.

Выделение тепла в гелии II является

результатом излучения звуковых волн.

Перенос тепла в данном направлении

происходит из-за того, что энергия звуковых

волн в этом направлении переносится больше,

чем в противоположном направлении.

Следовательно, направление переноса

тепла в то же время является направлением преимущественного

распространения звуковых волн. Поэтому в этом направлении возникает

движение нормальной компоненты.

Вывод: Перенос тепла в гелии II всегда сопровождается движением

нормальной компоненты, т. е. механизм переноса тепла является

конвекционным. Это подтверждают соответствующие опыты.

Например, если поток тепла передается в гелии II, заполняющем

некоторый замкнутый сосуд (рис. 2.20), то непрерывный перенос массы

жидкости в одном направлении невозможен, так как порождал бы

Рис. 2.20

возрастание разности давлений.

Поэтому возникает движение сверхтекучей компоненты в обратном

направлении. Скорость сверхтекучего движения устанавливается такой,

чтобы суммарный перенос массы отсутствовал.

На перенос тепла сверхтекучее движение не влияет, так как не

переносит тепла (тепло целиком связано со звуковыми волнами) и не

оказывает давления на обтекаемые тела.

Поэтому флажок (рис. 13.20) всегда отклоняется в направлении

теплового потока под действием силы, действующей со стороны обтекающей

его нормальной компоненты.

Отклонение флажка показывает, что из внутреннего сосуда вытекает

нормальная компонента и уровень жидкости при этом не изменяется, т.к.

такое же количество жидкости переносится обратно сверхтекучим

движением гелия II.

Что касается жидкого

23He , то его свойства при Т

0,1 К хорошо описываются

теорией для ферми –

жидкости Ландау.

С понижением

температуры при Т = Тс

жидкий 23He испытывает

фазовый переход II рода в

сверхтекучее состояние.

Критическая

температура на кривой

плавления уменьшается от 2,6

мК до 0,9 мК с понижением

давления до нуля (Р = 0).

На рис. 2.21 показаны три

сверхтекучие фазы А, В, А1.

Фазы А и В разделены на фазовой диаграмме кривой фазового

перехода I рода.

Фаза А1 существует только в магнитном поле. В «В – фазе»

сверхтекучее течение потенциально и возникают квантовые вихри.

Система вихрей обнаружена методом ядерного магнитного резонанса

(ЯМР) во вращающем сосуде и в гелии II.

При расстоянии между атомами r = r0 (r0 2,7 1010

м – размер

межатомного расстояния гелия) энергия частицы

p

m

h

m r

2 2

2 22 8 0

,

где p – импульс частицы; m – ее масса; h – постоянная Планка.

Рис. 2.21

Если энергия 22

2

0rm8

h > kT, то атомы гелия будут совершать

нулевые колебания даже при Т = 0 К и кристаллическая структура не

возникает. Если квантовая жидкость находится во вращающемся сосуде, то

до сверхтекучего перехода (жидкость вращается как твердое тело)

завихренность ее равномерно распределена по всему объему сосуда.

После перехода для нормального компонента рассмотренное

положение сохраняется. В сверхтекучей же компоненте, из-за ее

потенциальности, завихренность перераспределяется и собирается в

сердцевинах ( рахкo' ) квантовых вихрей (размер ракo' примерно несколько

атомных расстояний), причем одному вихрю энергетически выгодно

распасться на множество одноквантовых вихрей, равномерно

распределенных по сосуду в узлах правильной двумерной треугольной

решетки.

Возникновение в квантовой жидкости сверхтекучих вихрей

обнаружено не только в микросистемах, но и в космических макрообъектах –

нейтронных звездах, существование которых было предсказано Ландау.

Нейтронные звезды – один из этапов на заключительной стадии

эволюции некоторого класса звезд.

Огромные давления и температуры (до 700 млн. К в центре нейтронной

звезды) создают особые условия для перехода звездного вещества в

квантовое состояние – нейтронную жидкость (97 % нейтронов).

При сжатии нормальной звезды гравитационными силами после

выработки ядерного горючего должен сохраниться момент импульса (закон

сохранения момента импульса).

Поэтому при уменьшении звезды в размерах она увеличивает угловую

скорость своего вращения.

Нейтронная звезда имеет сверхсильное магнитное поле 1012

Гс

(магнитное поле Земли 1 Гс).

Если полюсы такого большого магнита направлены под углом к оси

вращения, то вращающееся магнитное поле ускоряет электроны возле

полюсов, которые испускают мощное электромагнитное излучение.

При достижении им Земли мы наблюдаем периодические вспышки

этого излучения из-за большой скорости вращения нейтронной звезды.

По современным представлениям нейтронные звезды имеют

следующее строение. Размер звезд 10–200 км.

Звезду окружает «атмосфера» всего в несколько сантиметров.

Нижняя граница атмосферы нейтронной звезды является переходным

слоем между классическим и квантовым состояниями вещества

поверхности коры звезды.

Ядерные взаимодействия стремятся выстроить нейтроны в

поверхностном слое (толщина 1,5 км) в квантовый кристалл.

Под действием мощных гравитационных сил с глубиной кристалл

плавится и под поверхностной корой возникает нейтронная квантовая

жидкость.

В центре должно существовать ядро неизвестной природы (рис. 2.22).

Следовательно, нейтронная звезда – вращающий объект

сверхтекучести, в котором также

должны возникать квантовые

вихри. Наблюдения за

нейтронными звездами

обнаруживают замедление их

вращения (скачком) с периодом в

2 года. По одной из гипотез это

явление связывают с тем, что после

закрепления сверхтекучих вихрей в

структуре звезды (пеннинга) из-за

квантовых эффектов они

периодически лавинообразно

срываются со своих мест (крип) и

вызывают скачком замедление

вращения нейтронной звезды.

Лекция 15

3. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3.1. Вероятность и флуктуации

Отличительной особенностью внутреннего движения частиц

макроскопических тел является его случайный характер. Такая

неопределенность характерна для микроскопического подхода к

внутреннему движению большего числа частиц, составляющих тела.

В таких случаях говорят о вероятности того, что какие-либо

физические величины будут иметь те или иные значения.

Термодинамическая вероятность – число способов, которыми может

быть реализовано данное состояние макроскопической физической системы.

Каждое состояние физической системы с определенным

распределением ее частиц по возможным классическим или квантовым

состояниям называют микросостоянием.

Термодинамическая вероятность W равна числу микросостояний,

реализованных в данном макросостоянии, т. е. W 1.

Вероятность дает наиболее правдоподобную оценку доли случайных

событий с данным исходом при большом числе их повторений.

Наличие случайных отклонений от наиболее правдоподобного

значения является причиной возникновения флуктуаций.

В теории вероятности установлено, что наиболее вероятными являются

малые флуктуации.

Рис. 2.22

Флуктуации физической системы, находящейся в состоянии

термодинамического равновесия, всегда малы и имеют статистическую

природу.

3.2. Распределение Максвелла

В состоянии термодинамического равновесия частицы физической

системы движутся в основном со скоростями, близкими к скорости их

теплового движения.

Все частицы перемещаются с различными скоростями, движение

которых подчиняется законам классической физики.

Найдем функцию вероятности распределения молекул идеального газа

по скоростям.

Задача заключается в том, чтобы найти вероятность dW(v)

обнаружения частицы, значение скорости которой заключено в интервале (v;

v + dv).

Мерой интервала является малый объем

dV = dvx dvy dvz

в пространстве скоростей (v – пространство), в котором по координатным

осям откладываются проекции скорости vx, vy, vz.

Следовательно,

dW(v) = f(v) dv, (3.1)

где f(v) – плотность вероятности, или функция вероятности распределения

молекул по скоростям.

В связи с тем, что в данный момент времени любая молекула имеет

вполне определенное значение скорости, то должно выполняться условие

нормировки, т. е.

f v dv

V

( ) 1.

Функция вероятности распределения молекул по скоростям

f v)mо

kT

m v

kTe(

3

2

2

02

2 , (3.2)

где k – постоянная Больцмана; m0 – масса одной молекулы; е – основание

натуральных логарифмов (е = 2,72).

Полученный результат справедлив не только для газа, но и любого

тела, находящего в состоянии термодинамического равновесия, если

движение его частиц подчиняется классическим законам, т. е. вид

распределения не зависит от того, как взаимодействуют частицы между

собой.

Определяющим фактором здесь является способность частиц

обмениваться энергией при переходе к равновесному состоянию.

Следовательно, вероятность обнаружить частицу с некоторой

скоростью в пределах интервала (v; v + dv), описывается функцией

dW v)m

kT

m v

kTe dv(

3

20

2

02

2 . (3.3)

Формула (3.3) выражает распределение Максвелла для скоростей

молекул.

Его справедливость ограничена областью применения законов

классической физики для теплового движения.

Согласно (3.2), функция вероятности распределения зависит только от

величины скорости. В рассматриваемой системе координат (v –

пространство) интервал (v; v + dv) можно изобразить в виде сферического

слоя (внутренний радиус сферического слоя – v, внешний – dv).

По предположению, толщина слоя интервала (v; v + dv) – мала.

Поэтому при суммировании вероятностей dW(v) в пределах

сферического слоя функция распределения остается неизменной.

Тогда суммарный объем всех элементарных объемов сферического

слоя V = 4 v2dv.

Вывод: Для тел, находящихся в состоянии термодинамического

равновесия, вероятность dW(v) обнаружить частицу этого тела со

скоростью движения, абсолютное значение которой заключено в интервале

(v; v + dv),

dvv4ekT2

mvdW 2kT2

2v0m2

3

0. (3.4)

Полученную формулу называют распределением Максвелла по

абсолютным значениям скоростей, плотность вероятности, которой

(v) = 4 v2f(v) =

dn

n dv0

имеет вид

( )vm

o

kT

m v

veo

kT

2

2

4 2

3

22 , (3.5)

где dW(v) = (v)dv =dn

n 0

– вероятность того, что модуль скорости молекулы заключен в интервале (v;

v + dv).

График зависимости (v) приведен

на рис. 3.1.

Величину скорости, при которой

функция (v) максимальна, называют

наиболее вероятной скоростью vв.

Дифференцируя выражение (3.5) по

аргументу v2 и приравняв его нулю,

получим

( )12

02

2

2m v

kT

o

mov

kTe .

Из последнего выражения следует,

что наиболее вероятная скорость

vвkT

m

2

0

. (3.6)

Максимум кривой на рис. 3.1 соответствует значению наиболее

вероятной скорости vв.

Из формулы (3.6) следует, что при увеличении температуры

идеального газа (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой

смещается вправо и становится ниже при неизменной площади под кривой, а

доля молекул, имеющие малые скорости, уменьшается, напротив – доля

молекул с большими скоростями увеличивается.

Средняя арифметическая скорость молекул

vv v v

N

N1 2 ...

или vN

vdN v v dv1

0

( ) .

Интегрируя последнее выражение с учетом (2.5), получаем

vkT

m

8

0

. (3.7)

Средняя квадратичная скорость – квадратный корень из среднего

значения квадрата тепловой скорости поступательного движения молекулы

<vкв> = v2, где v

v v v

N

N2 12

22 2...

.

Давление, производимое молекулами при их тепловом хаотическом

движении на стенки сосуда, в котором они находятся,

Рис.

14.1

P nm vo

1

3

2

или vP2 3

, где = nm0.

При постоянной температуре газа, применяя уравнение состояния

идеального газа в виде

PVm

MRT

или P RT

M,

получаем

0

квm

kT3v . (3.8)

Средняя квадратичная скорость не имеет смысла для одной молекулы,

а характеризует движение всей совокупности молекул.

При t = 0 оC cредняя квадратичная скорость:

для азота – <vкв> = 493 м/c;

для водорода – <vкв> = 1838 м/c;

для кислорода – <vкв> = 461 м/c.

Замечание: Средняя квадратичная скорость такого же порядка, что и

скорость звука в газе, так как передача возмущений в звуковой волне

осуществляется молекулами, движущимися с тепловыми скоростями.

Это же относится и к скорости истечения газа в вакуум.

Таким образом, все три скорости <v>, <vкв> и vв характеризуют

тепловое движение молекул газа и различаются только числовыми

коэффициентами

,m

kT41,1

m

kT2

00

вv

,m

kT60,1

m

kT8

00

av (3.9)

.v00 m

kT73,1

m

kT3кв

Изучение вероятности распределения теплового движения молекул по

скоростям (распределение Максвелла) осуществлялось различными

экспериментальными методами (опыты Штерна, Ламмерта и др.).

Для проведения эксперимента молекулярные пучки получают

выпусканием в вакуумную камеру пучка молекул или атомов, исследуемого

вещества, испаряющихся с нагревателя специальной печи.

При исследовании молекулярных (атомных) пучков используют

физическое явление – эффузию газов: медленное истечение газов через

малые отверстия.

От распределения молекул идеального газа по скоростям

(распределение Максвелла) можно перейти к вероятности распределения

молекул по значениям их кинетической энергии, т. е.

dWk T

kk

k

kTe d k( )3 3

. (3.10)

Формула (13.10) выражает вероятность dW( к) обнаружить частицу со

значением кинетической энергии из интервала ( к; к + d к).

3.3. Распределение Больцмана

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы

(молекулы, атома и т. д.) физической системы (макроскопического тела)

носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или

иной области пространства. Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве

характеризуется ее радиус-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW( r ) обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиус-вектора

r r d r; ,

если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал

r r d r;

будем измерять объемом dV = dxdydz. Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений

радиус-вектора r )

dV

rdW

rf .

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки

1dVfv

r

Найдем функцию вероятности распределения частиц f( r ) классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т. е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью.

Поэтому f( r ) = const. Используя условие нормировки, найдем, что

f r dV f r dV

V V

1,

т. е.

f(r) =1

V.

Если число частиц газа N, то концентрация

n = N

V.

Следовательно,

f( r ) =1

V

N

N

n

N.

Вывод: в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW( r )

обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения

этого объема в пространстве, т. е.

dW rdV

V

n

NdV .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа

плотность вероятности f( r ) const.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т. е. в

пределе

n rN

V,

где N – среднее число частиц в объеме V и давление в пределе

Р rF

S ,

где F – абсолютное значение средней силы, действующей нормально на

площадку S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в

одном направлении (например, сила тяжести Земли G направлена вдоль оси

Z), то силы давления, действующие на верхнее dS2 и нижнее dS1 основания

объема dV, не будут равны друг другу (рис. 3.2).

В этом случае разность сил давления dF на основания dS1 и dS2 должна

быть скомпенсирована действием сил внешнего поля G .

Суммарная разность сил давления

dF = nGdV,

где G – сила, действующая на одну частицу со

стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению

давления)

dF = dPdxdy.

Следовательно,

dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная

энергия частицы во внешнем силовом поле

связана с силой этого поля соотношением

dz

dWG

p.

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного

объема dP = n dWp.

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее

температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем

уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

ndWp = kTdn

или

kT

dW

n

dn p.

После интегрирования найдем, что

)(( 0

p nn nnkT

W=) ,

где )(л 0nn – постоянная интегрирования (n0 – концентрации частиц в том

месте пространства, где Wp = 0).

После потенцирования, получим

kT

)r(pW

0enn )r( . (3.11)

Рис. 3.2

Вывод: В состоянии термодинамического равновесия концентрация

(плотность) частиц идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле,

изменяется по закону, определяемому формулой (14.11), которую называют

формулой Больцмана.

Поэтому функция вероятности распределения принимает вид

kT

rWp

0 eN

n

N

rn

rf . (3.12)

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV,

расположенного у точки, определяемой радиус-вектором r , представим в

виде

dVN

nrdW kT

rWp

e0. (3.13)

Для идеального газа давление отличается от концентрации только

постоянным множителем kT, т. е.

P = nkT.

Следовательно, для таких газов давление

kT

rW

0

p

ePrP , (3.14)

где

Р0 = n0kT.

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху,

находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы:

азот – 78,1 %; кислород – 21 %; аргон – 0,9 %. Масса атмосферы –

5,15 1018

кг.

На высоте 20–25 км – слой озона. Вблизи земной поверхности

потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h,

Wp= m0gh,

где m0 – масса частицы. Потенциальная энергия на уровне Земли равна

нулю (Wp = 0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной

атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного

воздуха с высотой происходит по закону

kT

mgh

0eP P . (3.15)

Формула (2.15) называется барометрической формулой; применима

для разреженных смесей газов.

Заключение: Для земной атмосферы, чем тяжелее газ, тем быстрее

падает его давление в зависимости от высоты, т. е. по мере увеличения

высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами.

Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном

состоянии.

Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым

участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит.

Кроме того, на неравновесность Земной атмосферы влияет

гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи

поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее,

чем слабее гравитационное поле.

Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За

время существования Земли ( 4–5 млрд лет) она потеряла малую часть своей

атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически

полностью потеряла свою атмосферу. Неравновесность Земной атмосферы

можно доказать следующим образом.

Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние

термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет

постоянную температуру.

Применим формулу Больцмана (3.11), в которой роль потенциальной

энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т. е.

WM m

rp

з o ,

где – гравитационная постоянная; Мз – масса Земли; m0 – масса частицы

воздуха; r – расстояние частицы от центра Земли. При r Wp = 0.

Поэтому формула Больцмана принимает вид

n(r n eM зmo

kTr) , (3.16)

где n – плотность (концентрация) Земной атмосферы при r .

Если положить, что r = Rз, где Rз – радиус Земли, то

n n R eM зmo

kTR з . (3.17)

Это означает, что n 0. Но число частиц в атмосфере Земли конечно.

Поэтому такое число частиц не может быть распространено по бесконечному

объему.

Следовательно, Земная атмосфера не может находиться в равновесном

состоянии.

3.4. Классическая теория теплоемкости идеального газа

Статистический метод изучения тепловых свойств веществ позволил с

позиций классической физики теоретически найти теплоемкость идеального

газа и твердых тел.

Используя формулы для внутренней энергии идеального газа можно

найти молярную теплоемкость при постоянном объеме

Сv = iR / 2. (3.18) Из уравнения Майера найдем молярную теплоемкость при постоянном давлении

с учетом формулы (3.18)

Ci

RP2

2. (3.19)

Соответственно показатель адиабаты

C

C

i

i

P

V

2. (3.20)

Для одноатомных газов число степеней свободы i = 3.

Согласно, формулам (3.18), (3.19) и (3.20), найдем, что

C RV

3

2,

т. е. Сv 12,5 Дж/(моль К); C RP

5

2,

т. е. Cp 20,8 Дж/(моль К); = 1,67.

Для двухатомных газов число степеней свободы i = 5,

т. е. C RV

5

2 20,8 Дж/(моль К);

C RP

7

2 29,1 Дж/(моль К); = 1,4.

Для трехатомных молекул газа число степеней свободы i = 6,

т. е. C RV 3 24,9 Дж/(моль К);

C RP 4 33,24 Дж/(моль К); = 1,33.

Значения некоторых газов приведены в таблице 3.1.

Вывод: теплоемкость идеальных газов согласно классической теории

не зависит от температуры.

Этот вывод классической теории теплоемкости находится в

противоречии с экспериментальными данными.

При низких температурах теплоемкость многоатомных газов ведет

себя как теплоемкость одноатомных молекул газа, а при повышении

температуры теплоемкость их растет быстрее, чем это следует из

классической теории.

Причина расхождения экспериментальных данных с теоретическими

выводами заключается в ограниченности классической теории.

Полное объяснение теплоемкости веществ дала квантовая механика. Из

квантовой теории следует: вклад в теплоемкость веществ вносят не все, а

только некоторые степени свободы в определенных интервалах температур

(это положение подтверждено экспериментальными данными).

Внутренняя энергия физических систем может принимать не любые

значения (как в классической физике), а лишь дискретные, т. е. квантуется.

Таблица 3.1

Одноатомные

газы Двухатомные

газы Газы трех-

атомные и

более

Гелий Не

Аргон Аr

Неон Ne

Ксенон Хе

Пары ртути

Теоретическая

1,63

1,667

1,642

1,666

1,670

1,667

Воздух

Азот N2

Кислород О2

Водород Н2

СО

Теоретическая

1,4

1,410

1,398

1,408

1,401

1,4

Водяной пар

Углекислый газ

N2O

Н2S

NH3

Теоретическая

1,33

1,305

1,311

1,260

1,317

1,333

Энергетический спектр двухатомных молекул состоит из бесконечного

множества равноотстоящих разрешенных энергетических уровней,

расстояние между которыми кратно h . Самому низшему уровню энергии

при Т = 0 К соответствует «нулевая» энергия

oo h21

,

которую нельзя отнять у физической системы.

Она не зависит от температуры и, следовательно, не влияет на

теплоемкость.

Дискретность энергетических уровней несовместима с классическим

законом о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Если тепловая энергия kT значительно превосходит разность между

высшим и низшим значениями энергетических уровней, то возбуждаются все

энергетические уровни системы.

Следовательно, дискретность уровней энергии становится не

существенной, и физическая система ведет себя как классическая.

При этом, чем выше температура, тем лучше проявляется классический

закон о равнораспределении энергии по степеням свободы.

У молекул двухатомных газов (водород, кислород, азот и др.)

внутримолекулярные колебания атомов полностью «размораживаются» лишь

при температурах порядка несколько тысяч градусов (kT h ).

При понижении температуры их вклад в теплоемкость уменьшается, и

уже при комнатной температуре колебательные степени свободы

оказываются полностью «замороженными».

Если рассматривать, какой вклад в теплоемкость вносит энергия

вращательного движения молекул, то из-за малого значения «нулевой»

энергии вращательного движения молекул ее влияние на теплоемкость

является значительным уже при температуре в несколько кельвинов.

Следовательно, в области комнатных температур теплоемкость

двухатомных газов определяется только энергиями поступательного и

вращательного движения молекул, т. е. можно применять классическую

теорию.

В области температур, где применяется квантовая теория, средние

значения энергии теплового вращательного и колебательного движений.

Следовательно, величина теплоемкости газа зависят не только от

температуры, но и от других свойств молекул (моментов инерции, частот

колебаний и т. д.).

Еще более сложная зависимость теплоемкости от этих и других

факторов проявляется у многоатомных молекул газов, так как они имеют

более богатый спектр «нулевых» энергий.

Эти энергии могут постепенно «размораживаться» по мере возрастания

температуры и включаться в тепловое движение, что приводит к возрастанию

теплоемкости.

Однако следует заметить, что у некоторых веществ, при повышении

температуры «размораживание» всех колебательных степеней свободы

может не успеть произойти из-за диссоциации молекул газа.

5.1. Распределение Гиббса

Для полного описания состояния термодинамического равновесия

физической системы (любого тела) используется распределение Гиббса,

которое позволяет определить все макроскопические параметры системы, т.

е. найти уравнение состояния, и флуктуации.

В классической механике состояние системы N частиц полностью

задано 6N – переменными (импульсами и координатами).

Значения этих переменных можно откладывать по осям абстрактной

6N-мерной системы координат. Такое пространство называют фазовым, в

котором каждому состоянию системы соответствует одна точка.

В квантовой механике каждому состоянию системы отвечает ячейка с

характерным объемом hi, где i – число степеней свободы частицы; h –

постоянная Планка.

Для системы N частиц рассмотрим состояния, энергия которых

заключена в интервале ( ; + d ).

Пусть число таких состояний L( )d .

В фазовом пространстве этим состояниям соответствует некоторая

область объемом dV( ).

Закон Гиббса, установленным в 1901 г., заключается в том, что

вероятность обнаружить любое состояние частиц макроскопического тела

в состоянии термодинамического равновесия определяется только их

полной энергией из интервала ( ; + d ),

т. е.

dW L dZ

kTe( ) ( )1

, (5.1)

где

p

mWi

i

N

p Nr r r2

1

1 22

, , . . . , – (5.2)

– полная энергия состояния частиц системы;

p

m

i

i

N2

12

(5.3)

– суммарная кинетическая энергия частиц системы;

Wp Nr r r1 2, , . . . , (5.4)

– потенциальная энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешним

полем; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; Z –

коэффициент, не зависящий от энергии, определяемый из условия

нормировки.

(В классической физике Z называют статистическим интегралом, а в

квантовой механике – статистической суммой).

Формула (5.1) является каноническим распределением Гиббса.

Число состояний L( )d , входящее в распределение Гиббса –

монотонно возрастающая функция энергии.

Множитель e kT – монотонно убывающая

функция энергии. В этом случае их произведение

всегда имеет экстремум.

На рис. 5.1 символ является полушириной

пика, которая определяется как расстояние по оси

энергии между двумя точками.

Одной из них является значение внутренней

энергии, т. е. точка максимума в распределении

Гиббса.

Другой – является точка, в которой

вероятность уменьшается в е раз по сравнению с

максимальным значением. Наличие острого пика на графике распределения Гиббса

непосредственно следует из закона больших чисел и свидетельствует о том, что в состоянии термодинамического равновесия системы, не только энергия, но и другие физические величины практически не отличаются от значений в тех состояниях, энергии которых равны внутренней энергии.

В этом заключена причина малых флуктуаций в равновесном состоянии физической системы, т. е.

U

~N

1, (5.5)

где U – внутренняя энергия системы. Таким образом, из закона Гиббса для физической системы,

находящейся в состоянии термодинамического равновесия, внутреннее движение частиц которой подчиняется законам классической физики, следует, что импульсы и положения частиц статистически независимы.

Причем положение частиц в пространстве описывается распределением Больцмана, а распределение по значениям импульса каждой частицы подчиняется распределению Максвелла.

Заключение:Распределение Гиббса является равновесным распределением вероятностей состояний статистических систем, находящихся в различных физических условиях. Применяется как для состояний классических систем, так и для квантовых состояний систем, в которых происходит квантование энергетических уровней системы.

5.2. Принцип Нернста

В 1906 г. Нернстом была открыта теорема, получившая название

теоремы Нернста (третье начало термодинамики или принцип Нернста).

Содержание теоремы сводится к следующим утверждениям:

1. При стремлении к абсолютному нулю энтропия системы стремится

к определенному конечному пределу.

2. Все процессы при абсолютном нуле температур, переводящие

систему из одного равновесного состояния в другое равновесное состояние,

Рис. 5.1

происходят без изменения энтропии.

Теорема Нернста относится только к термодинамически

равновесным системам.Если условиться энтропию всякой равновесной

системы при абсолютном нуле температур положить равной нулю, то

теорему Нернста можно сформулировать следующим образом:

При стремлении системы к абсолютному нулю абсолютная энтропия

также стремится к нулю, независимо от того, какие значения принимают при

этом все параметры, характеризующие состояние системы.

Лекция 16

Элементы физической кинетики

1. Понятие о физической кинетике

Микроскопическую теорию процессов, происходящих в неравновесных

системах, называют физической кинетикой.

Физическая кинетика использует представления об атомно-молеку-

лярном строении веществ. Поэтому ей удается вычислить кинетические

коэффициенты, диэлектрическую и магнитную проницаемости

(восприимчивости) и ряд других характеристик сплошных сред.

Круг вопросов, изучаемых физической кинетикой, довольно широк и

многообразен, например, кинетическая теория газов, неравновесные

процессы в плазме, явления переноса в жидкостях и твердых телах, кинетика

фазовых переходов и др.

В классическом случае, если известна функция распределения частиц

системы по импульсам и координатам в зависимости от времени (в

квантовом случае – статистический оператор), то можно найти все

характеристики неравновесной физической системы.

Хотя вычисление полной функции распределения затруднено, для

определения, например, импульса или потока энергии достаточно знать

функцию распределения ограниченного числа частиц, а для газов малой

плотности – одной частицы.

Физическая кинетика позволяет получать уравнения баланса средних

плотностей вещества, импульса и энергии.

При этом используют существование различных промежутков времени

релаксации для неравновесных процессов, например, в газах из частиц

(квазичастиц) время свободного пробега много больше времени их контакта

при столкновении, что позволяет перейти от полного описания

неравновесных состояний функцией распределения к описанию состояния,

используя функцию распределения одной частицы по ее импульсам и

координатам.

Уравнением физической кинетики является кинетическое уравнение

Больцмана, как основное уравнение микроскопической теории

неравновесных процессов.

Оно учитывает только парные столкновения между молекулами и

справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул

значительно больше их размеров (для упругих частиц газа). Поэтому оно

применимо для не слишком плотных газов.

Для решения кинетического уравнения Больцмана используют

кинетическую теорию газов, которая, в свою очередь, позволяет вычислить

кинетические коэффициенты и получить макроскопическое уравнение для

процессов переноса, например, диффузии, вязкости и теплопроводности.

2. Явления переноса.

Средняя длина свободного пробега молекул

Микроскопическую теорию процессов, происходящих в неравновесных

системах, называют физической кинетикой.

Физическая кинетика использует методы классической или квантовой

статистик.

Она изучает процессы переноса массы вещества, импульса, энергии,

заряда и т. д. в различных физических системах (газах, жидкостях, твердых

телах, плазме) и влияние на них внешних полей.

Молекулы реальных газов хотя и малы, имеют конечные размеры и,

находясь в состоянии непрерывного хаотического теплового движения,

неизбежно сталкиваются друг с другом и со

стенками сосуда (рис. 1.).

От одного столкновения до другого

молекулы движутся равномерно и

прямолинейно.

Расстояние, на которое молекула

переместится за время движения от одного

столкновения до другого, называют длиной

свободного пробега.

Для различных молекул эти расстояния

неодинаковы. Поэтому в молекулярно-

кинетической теории существует понятие о средней длине свободного

пробега молекул .

Молекулы будем считать шариками диаметром порядка 1010

м.

В общем случае размер молекул зависит от химической природы газа

(азот, кислород, гелий и т. д.).

При движении за одну секунду молекула испытывает столкновения

только с теми молекулами, которые попадают в некоторый объем,

ограниченный цилиндром с площадью основания S = d2, где d

2 –

эффективный диаметр (сечение) молекулы и образующей <u>, если считать,

что движется только одна молекула, а все остальные – неподвижны.

Среднее число столкновений молекулы <z> в одну секунду

<z>= d2no<u>, (1)

Рис. 1.

где no =N

V – концентрация молекул; N – число всех молекул в объеме V; <u> –

средняя арифметическая скорость молекулы.

Если учесть движение всех молекул, то вместо средней

арифметической скорости можно использовать среднюю относительную

скорость <uотн>, т. е.

<uотн> = 2 <u>.

Следовательно,

<z>= 2 d2no<u>. (2)

Так как за 1 с молекула пролетит расстояние <u>, то средняя длина

свободного пробега молекул

=u

z=

1

2 2

0d n. (3)

При Т = const концентрация молекул газа пропорциональна давлению

газа (no P), и средняя длина свободного пробега молекул обратно

пропорциональна давлению,

т. е.

1/P.

Реальные молекулы не просто сталкиваются, как, например,

бильярдные шарики, а взаимодействуют на расстоянии, зависящем в свою

очередь, от сорта молекул, т. е. от эффективного сечения и других факторов,

которые необходимо учитывать, например, при исследовании их

взаимодействия с элементарными частицами.

3. Диффузия в газах

Все необратимые процессы являются следствием воздействия на

физическую систему внешних условий, в которых ее состояния оказываются

неравновесным.

Эти явления переноса необратимы и возникают самопроизвольно в

результате теплового движения при отступлении от равновесного состояния

физической системы и характеризуются возникновением потоков диффузии,

тепла и импульса (последний, в отличие от двух первых связан не с одним, а

двумя направлениями: направлением импульса и направлением его

переноса). По абсолютному значению каждый из потоков (являются

вектором) равен соответственно массе вещества (диффузия), внутренней

энергии (теплопроводностьF:\УМКД ФИЗИКА\ШНФ+ЛНП(1) 2011\4.05

Теплопроводность.doc) и импульсу (вязкость – тензорный процесс).

Строгий молекулярно-кинетический анализ явлений переноса весьма

затруднителен в виду нарушения полной хаотичности движения молекул, что

приводит к отклонениям от максвелловского распределения молекул по

скоростямРассмотрим явление диффузии в газах. Явление взаимного проникновения и перемешивания частиц двух и

более соприкасающихся физических систем называют диффузией. Если происходит перемешивание частиц одного и того же вещества, то явление называют самодиффузией. В смеси газов диффузия возникает из-за различия в концентрациях отдельных газов, составляющих смесь (рис. 2). В процессе диффузии происходит перенос массы вещества из областей с большей концентрацией в области с меньшей концентрацией. В однородном газе перенос массы вещества при диффузии описывается законом Фика, установленного опытным путем:

m Dd

dxS t , (4)

где m – масса газа; D – коэффициент

диффузии; d

dx – градиент плотности газа

вдоль оси Х; S – некоторая площадка, расположенная перпендикулярно направлению

переноса массы вещества; t – время переноса.

Знак « » в (4) показывает, что перенос массы вещества при диффузии происходит в направлении убывания плотности газа. В СИ коэффициент диффузии измеряется в м

2/с.

Согласно молекулярно – кинетической теории коэффициент диффузии характеризует скорость переноса массы вещества и определяется по формуле

лu3

1D , (5)

где u – средняя арифметическая скорость молекул; – средняя длина

свободного пробега молекул.

В свою очередь, из молекулярно – кинетической теории известно, что

<u> T , 1/P, P T. Следовательно, D .T/1

Если ввести понятие вектора плотности потока Dj диффундирующих

молекул, то в общем случае трехмерной диффузии закон Фика запишется в

виде:

,nDgrad 0Dj где n0 – концентрация молекул газа.

Закон Фика остается справедливым для диффузии в твердых телах, где

диффундирующие атомы перескакивают их одного положения устойчивого

равновесия в другое. Для коэффициента диффузии атомов в твердых телах

справедлив закон Аррениуса

Рис. 2

,eDD)kT/(pW

0 где D0 = Ad2/ 0, d – межатомное расстояние,

Wp – энергия активации, А – зависит от структуры кристалла, 0 =

1/ 0, 0 1013

с1 – собственная частота колебаний атома.

В жидкостях механизм диффузии более сложен, т. к. здесь

одновременно проявляются элементы механизмов диффузии в газах и

твердых телах.

1.10. Вязкость

Вязкость – явление переноса, определяющее диссипацию энергии при

деформации среды. Если касательные напряжения, возникающие в среде за

счет внешних сил, поддерживаются равными вязким напряжениям, то в среде

установится постоянный во времени градиент скорости dv

dz.

Это приводит к возникновению ламинарного течения (рис. 1.6).

Работа внешних сил, уравновешенных вязким напряжением и

поддерживающих стационарный поток, переходит в тепло.

Явление возникновения сил трения между параллельными слоями

физической системы, перемещающимися с

различными скоростями, называют

вязкостью (внутренним трением).

В этом процессе происходит перенос

молекулами импульсов соседних слоев, что и

вызывает возникновение сил внутреннего

трения.

Формула, описывающая силу трения,

получена Ньютоном

Fdv

dzS (1.36)

или

F dtdv

dzS dt , (1.37)

где – коэффициент динамической вязкости; dv

dz – градиент скорости,

характеризующий быстроту изменения скорости от слоя к слою в

направлении оси Z; S – площадь слоя.

Знак « » в (1.37) показывает, что молекулы слоя перемещаются в

направлении убывания скорости u.

Величину, обратную динамической вязкости, называют текучестью, т. е.

= 1

. (1.38)

Рис. 1.6

В СИ коэффициент вязкости измеряется в Па с.

Динамическая вязкость, характеризует сопротивление газа (жидкости)

смещению его слоев.

Наряду с динамической вязкостью, рассматривают кинематическую

вязкость

, (1.39)

где – плотность вещества.

В газах расстояние между молекулами значительно больше радиуса

действия молекулярных сил и вязкость их обусловлена отступлением от

теплового (хаотического) движения молекул, в результате которого

происходит постоянный обмен молекулами между движущимися друг

относительно друга слоями газа.

Это и приводит к переносу от слоя к слою определенного импульса.

Поэтому медленные слои ускоряются, а более быстрые замедляются.

Согласно молекулярно-кинетической теории, коэффициент

динамической вязкости

лuс3

1з , (1.40)

где u – средняя арифметическая скорость молекул; – плотность

вещества; – средняя длина свободного пробега молекул.

Так как средняя арифметическая скорость молекул прямо

пропорциональна корню квадратному от температуры, т. е.

<u> T ,

средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна

давлению

P

1

и плотность прямо пропорциональна давлению

P,

то вязкость не зависит от давления и прямо пропорциональна T .

Если ввести понятие вектора плотности импульса рj диффундирующих

молекул, то в общем случае трехмерной диффузии закон Ньютона запишется

в виде: ,gradvjр где v – скорости слоев молекул газа.

В жидкостях, где расстояния между молекулами много меньше, чем в

газах, вязкость обусловлена межмолекулярным взаимодействием,

ограничивающим подвижность молекул.

Вязкость в газах и жидкостях измеряется вискозиметрами.

1.11. Теплопроводность Если в физической системе имеется градиент температур, то

отступление от теплового хаотического движения молекул приводит к

направленному переносу внутренней энергии газа. Молекулы, из более

горячих областей, попадая в области с более низкой температурой, отдают

свою энергию окружающим молекулам, т. е. возникает теплопроводность.

Явление переноса потока тепла из более нагретых областей

физической системы в менее нагретые, называют теплопроводностью. В случае одномерного движения для

описания теплопроводности можно

использовать закон Фурье

q tSdx

dT, (1.41)

где q – тепловой поток; S – площадка,

расположенная перпендикулярно потоку; t –

время движения теплового потока; dT

dx –

градиент температуры в направлении оси Х; – коэффициент

теплопроводности. Знак « » в (1.41) указывает на то, что при

теплопроводности перенос внутренней энергии происходит в направлении

понижения температуры.

Следовательно, знаки q и dT

dx противоположны (рис. 1.7, а, б).

Согласно молекулярно-кинетической теории, коэффициент

теплопроводности можно записать в виде

= лuCс3

1V , (1.42)

где Сv – теплоемкость газа при постоянном объеме.

В СИ коэффициент теплопроводности измеряется в Вт/м2К.

Если ввести понятие вектора потока тепла T

j диффундирующих

молекул, то в общем случае трехмерной диффузии закон Фурье запишется в

виде:

,TgradTj где T – температура .

Газы и жидкости обладают относительно слабой теплопроводностью

по сравнению с металлами, так как в металлах тепло переносится

Рис. 1.7

свободными электронами из-за их большой скорости и тепловыми

колебательными движениями атомов в узлах кристаллической решетки.

Лекция 17

1. Релаксационные явления

Из закона возрастания энтропии следует, что при протекании

необратимых процессов энтропия возрастает в некоторых условиях при

полном отсутствии теплообмена. Для этой цели рассмотрим полностью

изолированную систему. В такой системе полностью отсутствуют обратимые

процессы. В таких условиях в системе протекают только необратимые

процессы, следовательно, ее энтропия возрастает. Протекание процессов в

условиях полной изоляции возможно, если в начальный момент времени

система была выведена из равновесия, а затем происходит ее возвращение к

равновесию, после достижения которого, протекание процессов

прекращается. В таких условиях в системе имеют место релаксационные

процессы, направленные на устранение внутренних неравновесных

состояний.

Вывод: 1. При обратимых процессах в системе действует только один

теплообменный фактор, приводящий к изменению энтропии:

dS = dQ / T. (4.1)

2. При необратимых процессах в общем случае могут действовать оба

фактора изменения энтропии: теплообменный и релаксационный:

dS = dQ / T + dSрелак. (4.2)

Первое слагаемое в (4.2) может быть как положительным, так и

отрицательным, в зависимости от того, получает или отдает система

теплоту. Второе слагаемое всегда положительно, т. к. энтропия при

релаксации только возрастает.

2. Броуновское движение и диффузия

Тепловое хаотическое движение молекул (броуновское движение)

было открыто в 1827 г. ботаником Броуном. Ученый Перрен наблюдал как

под влиянием ударов молекул окружающей среды скорость броуновской

частицы непрерывно и хаотично меняется по направлению и величине при

этом частицы движутся не только поступательно, но и вращаются. Размер

броуновской частицы в 100 – 1000 раз больше размера молекул. Еще в

древности мыслитель и поэт Лукреций в поэме «О природе вещей» описал

это явление. В 1905 г. Эйнштейн разработал математическую модель

броуновского движения и получил следующую формулу

r2

= 6kT t, (4.4)

где – подвижность частицы; r – смещение.

Если рассматривать совокупность одинаковых броуновских частиц в

жидкости как некоторый «газ», заполняющий пространство, то при наличии

градиентов концентрации в таком «газе» из-за броуновского движения будет

происходить диффузия.

3. Элементы неравновесной термодинамики

При малых отклонениях от равновесных состояний

термодинамические потоки линейно зависят от термодинамических сил. Это

положение нашло выражение в уравнениях Онсагера:

ji

iji XLJ , (4.5)

где Ji – факторы необратимости, влияющие на энтропию, т. е.

термодинамические потоки или энергии или вещества; Lij – кинетические

коэффициенты; Хj – некоторые термодинамические силы, соответствующие

потокам.

Данные уравнения составляют содержание принципа Онсагера.

Если термодинамическая сила Хm создает поток Jn, которому

соответствует сила Хn и наоборот, термодинамическая сила Хn создает

поток Jm, которому соответствует сила Хm. Такие процессы называют

перекрестными эффектами.

В принципе Онсагера содержатся еще и коэффициенты взаимности.

Если термодинамическая система не находится во внешнем магнитном поле

и не совершает вращательные движения, то Lmn = Lnm.

4. Термодинамические системы вдали от равновесия

Строго равновесных состояний термодинамических систем не

существует. В случае же неравновесных процессов вдали от равновесия

необходимо использовать нелинейные уравнения.

В сильно неупорядоченных открытых системах появляются эффекты их

самоупорядоченности с образованием микроструктур, т. е. неравновесные

состояния и необратимые процессы могут быть источником упорядоченных

новых структур. Об этом впервые писал Пригожин И.

В открытых неравновесных системах некоторые флуктуации не только

не затухают, как в равновесных системах, а разрастаются, захватывая всю

систему с установлением определенной упорядоченности. Такие системы

могут существовать за счет больших потоков энергии и вещества. Точка в

пространстве параметров системы, вблизи которой в сильно

неуравновешенной и неустойчивой системе, происходит переход к

качественно иному типу поведения новых структур, называют точкой

бифуркации. Часто встречаются случаи, когда возникшие в процессе

самоорганизации структуры являются самоподобной – фрактальной.

Фрактал – объект, состоящий из частей, подобных целому. Например,

электрические разряды, пористые тела, береговые водоемы и другие.

Моделью самоорганизующейся биосферы являются ячейки Бенара. Или

автоколебательные реакции Белоусова-Жаботинского-Заикина. В активных

средах возможен и хаотический автоволновый режим. В атмосфере земли

возникают вихревые кольца (торы) смерчей или ураганов, или зарождение

турбулентности. Большая часть Вселенной заполнена средой, также

находящейся в турбулентном движении. Общим в явлениях

самоорганизующейся материи есть то, что система состоит из большого

числа частиц: электронов, фотонов, атомов и т. д. И все это проявляется в

когерентном и кооперативном поведении подсистем. Теория

самоорганизации сложных неравновесных и нелинейных систем называется

синергетикой. Синергетическими теориями являются: математическая

теория бифуркаций, теория хаоса, теория нелинейных колебаний и волн,

теория фазовых переходов и др.

Эволюционные процессы наблюдаются в ближнем и дальнем космосе.

Например: образование колец планеты Сатурна и Юпитера, циклы

солнечной активности, вызванные турбулентностью, сопровождаемой

спиралевидным движением пятен; магнитное поле Солнца; периодически

изменяющийся блеск Цефеид; белые карлики и нейтронные звезды;

спиральные волны плотности Галактик; крупномасштабная структура

Вселенной; космический динамический хаос и др.

В ходе дальнейшей эволюции спиралевидные движения преобразуются в

кольцевые движения. Именно такие структуры были обнаружены в Неваде в

горном гранитном массиве (США).

5. ПОРЯДОК И БЕСПОРЯДОК В ПРИРОДЕ

5.1. Жидкие кристаллы

Некоторые вещества способны образовывать особое четвертое

агрегатное состояние, которое называют жидкокристаллическим.

Жидкие кристаллы – вещества, находящиеся в состоянии,

промежуточном между изотропным жидким состоянием и твердым

кристаллическим. Они сохраняют основные свойства жидкости, например,

текучесть, и обладают анизотропией, характерной для твердых кристаллов.

По способу получения различают два типа жидких кристаллов:

термотропные и лиотропные. Первые образуются при нагревании твердых

кристаллов или при охлаждении изотропных жидкостей и существуют в

некотором температурном интервале. Вторые образуются при растворении

твердых органических веществ, например, в воде или других растворителях.

Оба типа жидких кристаллов имеют несколько модификаций –

жидкокристаллических фаз, каждой из которых на фазовой диаграмме

соответствует определенная область.

Эта область зависит от типа вещества и может находиться как при

низких до 60 С, так и при высоких температурах 400 С.

Известно несколько тысяч

органических соединений,

относящихся к жидким кристаллам.

Представителем типичного

термотропного жидкого кристалла

является 4-метоксибензилиден-4 –

бутиланилина (МББА), по форме похожий на стержни (рис. 6.1). Наличие

нескольких бензольных образований (колец) до 2 и 3 в молекуле типично для

жидких кристаллов. Для описания дальнего ориентационного порядка

молекулярных осей вводят единичный вектор L , называемый директором.

Он указывает направление, вдоль которого в среднем ориентированы

молекулярные оси. Одноосные жидкокристаллические фазы

классифицируются по виду функции плотности вещества r , где r –

пространственная координата, их локальной ориентации L r .Фазу с =

сonst и L = сonst называют нематиком (от греч. nemo – нить), которая как

обычная жидкость характеризуется хаотическим распределением центров

тяжести молекул (рис. 6.2).

Смектические жидкие кристаллы характеризуются L = сonst, а r

периодична вдоль выделенной оси, например, Z и постоянна в плоскости ХУ

(рис. 6.3).

Молекулы в смектиках располагаются слоями, которые могут

скользить друг относительно друга (текучесть), а относительно оси Z они

ведут себя как, твердое тело.

Холестерики характеризуются r = const и макроскопической

модулированной структурой, а концы векторов L образуют в пространстве

спираль (рис. 6.4). В плоскости ХУ они обладают текучестью, а вдоль оси

спирали – их механические свойства сходны со свойствами смектиков.

Рис. 5.1

Рис. 5.2 Рис. 5.3

Рис. 5.4 Рис. 5.5

Фазовые переходы между жидкокристаллическими модификациями

характеризуются, как точки изменения симметрии вещества, и описываются

феноменологической теорией Ландау.

Наблюдаются фазовые переходы I и II рода.

Жидкие кристаллы обладают анизотропией магнитных, электрических,

оптических, упругих и др. свойств.

Смектики имеют большое число модификаций (фазы А, В, С), которые

отличаются симметрией и др. свойствами. В фазе А (рис. 6.3) функция

12 12( )r , где r12 – расстояние между атомами, имеет сложную степенную

зависимость, что вызвано не идеальностью дальнего трансляционного

порядка вдоль единственного направления оси Z в теле. Смектическая фаза С

(рис. 6.3) имеет слоистую структуру, как и фаза А.

Но преимущественное направление длинных осей палочкообразных

молекул составляет некоторый угол с нормалью к смектическим

плоскостям (рис. 6.5).

Фаза В, в отличие от фаз А и С, имеет гексагональную

упорядоченность в плоскости ХУ, если образец имеет толщину много

больше длины молекулы (рис. 6.6), где показаны проекции молекул на

плоскости слоя. Существуют фазы:

1) с трехмерным упорядочением центров масс молекул, степень

которого зависит от величины межплоскостного взаимодействия;

2) с дальним ориентационным порядком межмолекулярных связей к

ближнему трансляционному порядку центров масс молекул в плоскости ХУ.

Анизотропия электрических и магнитных свойств наблюдается из-за

симметрии жидких кристаллов.

Все их характеристики являются

функциями параметра ориентационного

порядка. Большинство жидких кристаллов

диамагнитны, исключение составляют

вещества, молекулы которых содержат

свободные радикалы, обладающие постоянным

магнитным моментом. В то же время знак

анизотропии диамагнитной восприимчивости

может быть различен для отдельных

соединений. Анизотропия диэлектрической

восприимчивости а нематиков и смектиков в

фазе А также имеет разный знак. Если а < 0, то это характерно для молекул,

обладающих дипольным моментом, направленным перпендикулярно длиной

оси молекулы.

Значение а > 0 –– для молекул с продольным расположением

дипольного момента.

Знак и величина а в интервале (от 10 до +40) играют решающую

роль в электрооптическом поведении жидких кристаллов. Частотная

Рис. 5.6

зависимость и а объясняется теорией полярных жидкостей Дебая.

Анизотропия межмолекулярного взаимодействия учитывается

введением потенциального барьера, затрудняющего свободные повороты

молекул вокруг их коротких осей. В результате нематики и смектики в фазе

А имеют два характеристических времени дебаевской релаксации и .

Для вращающихся молекул вокруг длинных осей время релаксации

лежит в диапазоне, характерном для изотропных жидкостей, а для вращения

вокруг коротких осей время релаксации имеет значение на несколько

порядков больше.

Упругие свойства вызваны неоднородностью поля директора L r при

ориентационной деформации среды.

Для ее описания в случае нематиков величина свободной энергии

дополнена энергией ориентационной упругости.

Выделяют три типа деформаций: полярную, продольный изгиб и

закручивание.

Каждая из них описывается своим модулем упругости.

Практическое применение жидких кристаллов основано на

электрооптических свойствах.

Для изменения ориентации L r в нематиках требуется электрическое

напряжение 1 В и мощность порядка 1 мкВт, что дает возможность

обеспечить непосредственную передачу сигналов с интегральных схем без

дополнительного усиления.

Жидкие кристаллы широко используются:

1) в электронных часах, калькуляторах, измерительных приборах в

качестве табло и индикаторов, для отображения цифровой, буквенной и

аналоговой информации;

2) в плоских экранах телевизоров, в качестве усилителей и

преобразователей изображений;

3) в устройствах оптической обработки информации.

Зависимость шага спирали h от температуры в холестериках позволяет

использовать пленки этих веществ при наблюдении распределения

температуры по поверхности раздела тел.

Применяется в медицине для диагностики воспалительных процессов и

визуализации теплового излучения тела и т. д.

5.2. Кристаллическое состояние

Особую группу твердых тел составляют кристаллы, особенностью

которых является периодичность расположения атомов, молекул, ионов

(элементарная ячейка), входящих в состав кристалла.

В твердых телах такая периодичность получила название дальнего

порядка. Совокупность таких элементарных ячеек образует кристаллическую

решетку твердого тела.

Центры расположения атомов, относительно которых они совершают

тепловые и нулевые колебания, называют узлами кристаллической решетки.

Если нас не интересует внутренняя структура атомов, то кристаллическую

решетку, называют пространственной.

Периодичность решетки проявляется в трансляционной симметрии.

Симметрия тела выражает свойство его совмещаться с самим собой при

определенных перемещениях, называемых преобразованиями или

операциями симметрии.

Трансляция – параллельный перенос всех точек тела на определенные

расстояния.

Всего существует 14 типов кристаллических решеток, которые

образуют 7 кристаллических систем.

Различают следующие

кристаллические решетки: ионные,

атомные, молекулярные и

металлические.

Например, ионные кристаллы:

NaCl, CsCl,

CaCl и другие

относятся к кристаллам кубической

системы. На рис. 6.7 приведена

гранецентрированная ионная решетка

кубической системы NaCl.

Теплоемкость и внутренняя

энергия твердого тела.

Если колебания атомов в узлах

кристаллической решетки малы, то они

являются гармоническими.

При гармонических колебаниях на

каждую степень свободы приходится

средняя энергия, равная

1

2kT (Wk = Wр =

1

2kT).

Следовательно, полная энергия, приходящая на одну степень свободы

W = Wk + Wр= kT.

Полученное выражение позволяет рассчитать теплоемкость

кристаллической решетки. Каждый атом имеет три степени свободы, т. е. на

него в среднем приходится энергия

W = 3kT. (6.1)

Формулу (6.1) называют законом Дюлонга и Пти.

В моле вещества содержится Na атомов, тогда внутренняя энергия

твердого тела

Рис. 6.7

U =Na 3kT=3RT. (6.2)

Следовательно, теплоемкость твердого тела

CdU

dTV

=3R. (6.3)

Таким образом, по классической теории теплоемкость твердого тела не

зависит от температуры.

6. КРИСТАЛЛЫ В ТЕПЛОВОМ РАВНОВЕСИИ

6.1. Строение кристаллов

Основной особенностью кристаллов является периодичность

пространственного расположения атомов, молекул или ионов.

Такая периодичность характеризуется дальним порядком.

Совокупность периодически расположенных атомов образует

пространственную кристаллическую решетку.

Основным элементом кристаллической решетки является

элементарная ячейка кристаллической решетки.

Все многообразие кристаллических структур, как показал Браве, можно

описать с помощью 14 типов кристаллических решеток.

Существует всего семь типов кристаллических решеток:

гексагональная, кубическая, тригональная, тетрагональная, ромбическая,

триклинная, моноклинная (рис.7.1).

Для определения кристаллической структуры твердых тел используют

дифракционные методы: рентгенографические, электронографические и

нейтронографические.

Гексагональная Кубическая

Тригональная Тетрагональная

Ромбическая

Триклинная Моноклинная

Рис. 7.1

6.2. Дефекты в кристаллах

Все отклонения от идеальной кристаллической структуры вызваны

наличием различных дефектов.

Дефекты существуют макроскопические: трещины, поры, инородные

макроскопические включения и др. Микроскопические дефекты: точечные

дефекты (вакансии рис. 7.2, а; атомы внедрения и замещения рис, 7.2, б;

межузельные атомы 7.2, в).

Существуют дислокации: краевые

(рис.7.3) и винтовые.

Все разновидности дефектов сильно

влияют на физические свойства

кристаллов.

Согласно теории пластической

деформации процесс скольжения атомных

слоев происходит не по всей плоскости

сечения кристалла, а начинается на

дислокациях.

6.3. Тепловые колебания атомов в кристаллах

Тепловые колебания атомов в кристаллах можно представить как

совокупность квазичастиц с энергией и импульсом, которые называются

оптическими или акустическими фононами.

Частота и энергия оптических фононов выше, чем частота и энергия

акустических фононов.

Для исследования тепловых волн в кристаллах используют неупругое

рассеяние тепловых нейтронов на фононах.

Скорость распространения упругих волн в кристалле зависит от

частоты или длины волны, т. е. наблюдается дисперсия волн.

Объяснение теплоемкости кристаллических тел при изменении

температуры с квантовой точки зрения было предложено Эйнштейном,

Дебаем и др. Эйнштейн рассматривал твердые тела как совокупность N независимых

частиц (гармонических осцилляторов), совершающих колебания около положений равновесия с одной и той же частотой.

Средняя энергия квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна выражается формулой

Рис. 6.2

Рис. 6.3

Wh

hkT)

0

22

1exp / (

, (7.1)

где 0

4 2

h h – нулевая энергия; h – постоянная Планка; = 2 –

круговая (циклическая) частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана.

Молярная внутренняя энергия кристалла по Эйнштейну

U U RT

E

E0 3

1exp( / ), (7.2)

где U R E0 3 2/ – молярная нулевая энергия; R – универсальная газовая

постоянная; E h k/ ( )2 – (7.3)

характеристическая температура Эйнштейна. Тогда молярная теплоемкость кристалла по Эйнштейну

C RT

T

T

E E

E

31

2

2

exp( / )

exp /. (7.4)

Область низких температур

При низких температурах, когда Т<< E молярная теплоемкость тела

С = 3R( E/T)exp( E/T). (7.5)

Вывод: Следовательно, при низких температурах теплоемкость убывает по экспоненциальному закону, а согласно экспериментальным данным теплоемкость убывает по степенному закону. Такое расхождение теории с опытом вызвано предположением о существовании независимых частиц. В действительности же атомы твердого тела взаимосвязаны и представляют собой единый ансамбль, совершающий коллективное движение в кристалле.

Область высоких температур При высоких температурах формула (7.4) переходит в классический

закон Дюлонга и Пти. Атомы твердых тел совершают при любой температуре выше 0 К

тепловые колебания около положений равновесия, которые рассматриваются как их коллективное движение в пространственно упорядоченной системе (кристалле), называемое нормальным колебанием решетки.

Число нормальных колебаний в решетке равно числу степеней свободы частиц в кристалле, т. е. 3N, где N – число частиц в кристалле.

Поэтому в таком кристалле возбуждается целый спектр частот, число которых и равно N.

В зависимости от типа колебаний атомов в решетке кристалла

различают акустические колебания, например, цепочки, состоящей из атомов

двух сортов, совершающих колебания практически в одной фазе (рис. 7.4, а);

оптические колебания атомов, которые колеблются в противоположных

фазах (рис. 7.4, б) и др.

Акустические колебания играют основную роль в определении

тепловых свойств кристалла: теплоемкости, теплопроводности и другие.

Оптические колебания – в процессах

взаимодействия света с кристаллом.

Одним из вопросов теории колебаний

кристаллической решетки является вопрос о

распределении нормальных колебаний по

частотам.

Максимальная частота, ограничивающая

спектр нормальных колебаний сверху D

называется характеристической дебаевской

частотой D u

N

V6 2

13

,

где N – число атомов; V – объем кристалла; u – скорость звука.

Дебаевская частота связана с характеристической температурой Дебая

D

Dh

k2,

где h – постоянная Планка; k – постоянная Больцмана. Минимальная порция энергии, которую может поглотить или

испустить решетка при тепловых колебаниях, соответствует переходу

возбуждаемого нормального колебания с данного энергетического уровня на

соседний уровень и равна ф= h

2,

где = 2 ; – частота колебания. Эту порцию или квант энергии тепловых

колебаний решетки называют фононом.

Следовательно, поле упругих волн, заполняющих кристалл, можно

рассматривать как газ, образованный квантами нормальных колебаний

решетки – фононами, обладающими энергией и импульсом.

Поведение фононного газа описывается функцией распределением Бозе – Эйнштейна.

Используя квантовую механику для описания поведения ансамбля

взаимосвязанных частиц при низких температурах,

Дебай решил упрощенную задачу, позволяющую отвлечься от атомной

структуры тела, введя существование в нем нормальных колебаний,

рассматривая их как стоячие инфразвуковые волны в упругой сплошной

среде.

Это те же волны, которые вызывают тонкую структуру спектральных

линий при молекулярном рассеянии света (эффект Мандельштама –

Брюллюэна).

Следовательно, существующие низкие собственные частоты тел могут

быть вычислены методами теории упругости для сплошных сред.

Известно, что в твердом теле могут распространяться как продольные,

Рис. 6.4

так и поперечные звуковые волны.

В одном и том же направлении может распространяться только одна

продольная звуковая волна определенной частоты.

Поперечных же звуковых волн, распространяющихся с той же частотой

и в том же направлении, может быть две. Тогда средняя скорость звука будет

определяться соотношением

3 1 2

3 3 3u u uII

, (7.6)

где uII – скорость распространения продольных звуковых волн; u –

поперечных звуковых волн.

С учетом этого внутренняя энергия кристалла по Дебаю изменяется по

закону

U U RTT x dx

xD

TD

0

3 3

0

3 31exp( ),

/

(7.7)

где U 0 =89 R D – молярная нулевая энергия по Дебаю.

Тогда молярная теплоемкость кристалла

C RT x dx

x

T)

T)D

TD

D

D

3 121

3

1

3 3

0

[ ]exp( )

( /

exp( /

/

. (7.8)

При Т << D, т. е. в области низких температур

C RT

D

12

5

4

3

(7.9)

или для одного моля

Ck V

uT

2

5

2 4

3 3

3

, (7.10)

где V – объем кристалла; 2

h – постоянная Планка; u – скорость звука.

Замечание: В случае металлов к теплоемкости решетки нужно добавить

теплоемкость свободных электронов (теплоемкость электронного газа).

Область низких температур

В области низких температур возбуждаются в основном

низкочастотные нормальные колебания, кванты энергии которых kT.

При этом средняя энергия нормальных колебаний kT.

Это обусловлено тем, что с повышение температуры происходит

увеличение степени возбуждения нормальных колебаний, которые и

приводят к росту его средней энергии.

Помимо этого происходит возбуждение новых нормальных колебаний

с более высокими частотами. В итоге с повышением температуры число

возбужденных нормальных колебаний растет пропорционально кубу

абсолютной температуры.

Область высоких температур

При температуре Дебая в твердом теле возбуждается весь спектр

нормальных колебаний, включая и колебания с максимальной частотой D.

Поэтому дальнейшее повышение температуры не может вызывать

появление новых нормальных колебаний.

В этом случае действие температуры сводится лишь к увеличению

степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящего к

возрастанию их средней энергии.

Следовательно, изменение энергии тела в целом пропорционально первой

степени абсолютной температуры, поэтому теплоемкость тела не должна

зависеть от температуры (СV = const), т. е. снова приходим к закону Дюлонга и

Пти.