第 2 课时 二次根式的混合运算

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是指二次根式的 ____ 、 ____ 、 ____ 、

____ 、 ____ 的混合运算．

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同：先

________ ，再 ________ ，最后 ________ ，有括号的先算括号里

面的 ( 或先去掉括号 ) ．

加 减 乘

除 乘方

乘方 乘除 加减

二次根式的混合运算例 1 ：计算：(1)(4 6－3 2)× 2 2；(2)( 48－ 24＋ 12)÷ 3；

(3)( 2＋1)( 2－1)； (4) 32－(2＋ 2)2.

自主解答：(1)(4 6－3 2)× 2 2

＝4 6× 2 2－3 2× 2 2＝16 3－12.

(2)( 48－ 24＋ 12)÷ 3＝ 48÷ 3－ 24÷ 3＋ 12÷ 3

＝4－2 2＋2＝6－2 2.

(3)( 2＋1)( 2－1)＝( 2)2－1＝2－1＝1.

(4) 32－(2＋ 2)2＝4 2－(4＋4 2＋2)

＝4 2－6－4 2＝－6.

例 2 ：如图 1 所示的 Rt△ABC 中，∠ B ＝ 90° ，点 P 从点 B

开始沿 BA 边以 1 厘米 / 秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从

点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 / 秒的速度向点 C 移动．问：几秒后

△PBQ 的面积为 35 平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？ ( 结果用

最简二次根式表示 )

思路导引： 设 x 秒后△ PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么

PB ＝ x ， BQ ＝ 2x ，根据三角形面积公式就可以求出 x 的值．

图 1

自主解答：设 x 秒后△ PBQ 的面积为 35 平方厘米，

则有 PB ＝ x ， BQ ＝ 2x ，依题意，得：

所以 秒后 35PBQ 的面积为 35 平方厘米．

12x·2x＝35，x2＝35，x＝ 35.

PQ＝ PB2＋BQ2＝ x2＋4x2＝ 5x2＝ 5× 35＝5 7.

答： 35秒后△ PBQ的面积为 35平方厘米，PQ的距离为 5

7厘米．

35

1 ．计算下列各题：

(1) 3× (3 2－ 3)； (2)( 20－ 80)÷ 5；

(3)( 2－1)(1－ 5)； (4)( 5－4 3)2.

解：(1) 3× (3 2－ 3)＝ 3× 3 2－ 3× 3＝3 6－3.

(2)( 20－ 80)÷ 5＝ 20÷ 5－ 80÷ 5＝2－4＝－2.

(3)( 2－1)(1－ 5)＝ 2－1－( 2－1)× 5

＝ 2－1－( 10－ 5)＝ 2－1－ 10＋ 5.

(4)( 5－4 3)2＝( 5)2－2× 5× 4 3＋(4 3)2

＝5－8 15＋48＝53－8 15.

2 ．先化简，再求值：x－4x－2＋

4x2－4x＋4

÷x

x－2，其中 x＝ 2.

解：原式＝x－4x－2＋

4x－22×

x－2x ＝

x－4x－2＋

4xx－2＝

xx－4xx－2

＋4

xx－2＝x－22

xx－2＝x－2

x .

当 x＝ 2时，原式＝2－2

2 ＝1－ 2.

3 ．已知直角三角形的两条直角边的长都为 5 ，那么斜边的

长应为 ( ) ． ( 结果用最简二次根式 )A

4 ．小明想自己钉一个长与宽分别为 30 cm 和 20 cm 的长方

形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了

一根木条，木条的长应为 ( ) 米． ( 结果用最简二次根式表示 )C

A．5 2 B. 50

C．2 5 D．以上都不对

A．13 100 B. 1 300

C．10 13 D．5 13