ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКАjournal.zntu.edu.ua/et/files/ET22015/ET(2)_2015.pdf · Если условие (5) записать для каждой

Запорізький національний технічний університет

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА

ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКА

НАУКОВИЙ ЖУРНАЛ

Виходить двічі на рік

2’2015Заснований у травні 1999 року.

Засновник і видавець: Запорізький національний технічний університет

Запоріжжя ЗНТУ2015

ISSN 1607–6761Наказом Міністерства освіти і науки України 1328 від 21.12.2015 р. «Про затвердження рішень Атеста-

ційної колегії Міністерства щодо діяльності спеціалізованих вчених рад від 15 грудня 2015 року» журнал«Електротехніка та електроенергетика» (скорочена назва – E&E), який видається з 1999 року, включений допереліку наукових фахових видань України, в яких можуть публікуватися результати дисертаційних робіт наздобуття наукових ступенів доктора і кандидата технічних наук.

Інтернет-сторінка журналу: http://periodicals.zntu.edu.ua/index.php/1607-6761.Інформація для авторів: http://periodicals.zntu.edu.ua/index.php/1607-6761/information/authorsЖурнал реферується або індексується міжнародними базами INSPEC, Index Copernicus, EBSCO, Google

Scholar, ULRICH’S, РИНЦ. Електронна копія журналу розміщена на сайті Національної бібліотеки України іменіВ. І. Вернадського НАН України у розділі «Наукова періодика України» за адресою:http://nbuv.gov.ua/portal/ .

Журнал розповсюджується за Каталогом періодичних видань України (передплатний індекс – 22913).

Науковий журнал друкує наукові праці, теоретичні розробки, довідкові матеріали про розробки підприємств,вищих навчальних закладів, НДІ у галузі електротехніки, електроенергетики у відповідності з рубриками:

1. Електротехніка.2. Електроенергетика.

РЕДАКЦІЙНА КОЛЕГІЯ

Головний редактор д-р техн.наук Тиховод С. М.Заст. гол. редактора д-р техн. наук Яримбаш Д. С.

Рекомендовано до видання Вченою радою Запорізького національного технічного університету,протокол 07 від 22.12.2015 року.

Рукописи проходять незалежне рецензування із залученням провідних фахівців, за результатами якогоредакційна колегія приймає рішення про опублікування. У разі невідповідності матеріали не повертаютьсяавторові.

Адреса редакції: 69063, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 64.Тел.: (061) 7–698–296, факс: (061) 764–21–41.E-mail: [email protected]

© Запорізький національний технічний університет, 2015

д-р техн. наук Оніщенко Г. Б., Росія,д-р техн. наук Чунашвілі Б. М., Грузія,д-р техн. наук Андрієнко П. Д., Україна,д-р техн. наук Биковський О. Г., Україна,д-р техн. наук Зіновкін В. В., Україна,д-р техн. наук Зірка С. Є., Україна,д-р техн. наук Кириленко O. В., Україна,д-р техн. наук Клепіков В. Б., Україна,

д-р фіз.-мат. наук Корніч Г. В., Україна,канд. техн. наук Метельський В. П., Україна,д-р фіз.-мат. наук Онуфрієнко В. М., Україна,д-р техн. наук Пересада С. М., Україна,д-р техн. наук Півняк Г. Г., Україна,д-р техн. наук Піза Д. М., Україна,д-р техн. наук Пуйло Г. В., Україна,канд. техн. наук Яримбаш С. Т., Україна,

Члени редколегії:

3

ЗМІСТ

І ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

ІІ ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКА

Тиховод С. М.РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРАНСФОРМАТОРАХ НА ОСНОВЕ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХСХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЁВА.................................................5

Коваленко М. А., Мацюк Д. С.АВТОНОМНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИЙ СТЕНД ДЛЯ ВИПРОБУВАННЯ УНІПОЛЯРНОГО КРОКОВОГОДВИГУНА НА БАЗІ МІКРОКОНТРОЛЕРА...............................................................................................15

Мастиновский Ю. В.МАГНИТОТЕРМОУПРУГОЕ НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХКОНСТРУКЦИЙ......................................................................................................................................21

Ivankov V. F., Basova A. V., Shulga N. V.VERIFICATION METHODS FOR ELECTROTHERMAL CALCULATIONS OF ELECTRIC REACTORS WITHOUTSTEEL...................................................................................................................................................26

Токмаков И. В.МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В АСИНХРОННЫХДВИГАТЕЛЯХ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЁВА...........................................35

Cидорец В. Н., Дубко А. Г.ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХЭЛЕКТРОДАХ ЭЛЕКТРОХИРУРГИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ.................................................................42

Тиховод С. М., Корнус Т. М., Паталах Д. Г.МЕТОД УСКОРЕННОГО ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХЦЕПЯХ НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ..................48

Волков В. О.РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ТАХОГРАММ РАЗГОНА И ТОРМОЖЕНИЯ ЧАСТОТНОРЕГУЛИРУЕМОГОАСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ..............................................................................................................55

Ярымбаш Д. С., Килимник И. М., Ярымбаш С. Т.ДИНАМИЧЕСКАЯ АДАПТАЦИЯ СХЕМНЫХ МОДЕЛЕЙ КОРОТКОЙ СЕТИ..............................................65

Костін М. О.ЕНЕРГЕТИЧНІ СПЕКТРИ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТЯГОВИХ НАПРУГ І СТРУМІВЕЛЕКТРОТРАНСПОРТУ..........................................................................................................................71

Міщенко Т. М.ГЕОМЕТРИЧНЕ ТРАКТУВАННЯ РЕАКТИВНОЇ ПОТУЖНОСТІ ТА ЙОГО ЗВ’ЯЗОК ЗІ СПЕКТРАЛЬНИМСКЛАДОМ ТЯГОВИХ НАПРУГИ ТА СТРУМУ ШВИДКІСНИХ ЕЛЕКТРОВОЗІВ..........................................81

Ниценко В. В., Кулагин Д. А., Махлин П. В., Климко А. Н.ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ РАСЧЕТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФАЗНОЙ ЗАЩИТЫСБОРНЫХ ШИН ЭНЕРГООБЪЕКТОВ И ФАКТОРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ, ОКАЗЫВАЮЩИХВЛИЯНИЕ НА ИХ ВЫБОР......................................................................................................................87

Скалько Ю. С.УДОСКОНАЛЕННЯ ГРУПОВОГО РЕГУЛЮВАННЯ ГІДРОАГРЕГАТІВ ДНІПРОВСЬКОЇ ГЕС ЗАДОПОМОГОЮ НЕЧІТКОЇ ЛОГІКИ...........................................................................................................95

4 ISSN 1607–6761. Електротехніка та електроенергетика. 2015. 2

CONTENTS

І ЕLЕCТRОТЕCHNICS

ІІ ЕLЕCTROENERGETICS

Tykhovod S. M.CALCULATION OF TRANSIENTS IN TRANSFORMER ON THE BASIS OF MAGNETO ELECTRICALEQUIVALENT SCHEMES WITH THE USE OF TCHEBYSHEV’S POLYNOMIALS ........................................5

KovalenkoM. A., Matsjyk D. S.EXPERIMENTAL TEST BENCH FOR STUDIES OF UNIPOLAR STEPPING MOTOR BASED ONMICROCONTROLLER.............................................................................................................................15

Mastinovky Y. V.MAGNETO-THERMO-ELASTIC UNSTEADY DEFORMATION OF MULTILAYER STRUCTURES....................21

Ivankov V. F., Basova A. V., Shulga N. V.METHODS VERIFICATION FOR ELECTROTHERMAL CALCULATIONS OF ELECTRIC REACTORS WITHOUTSTEEL..................................................................................................................................................26

Tokmakov I. V.SIENTS IN ASYNCHRONOUS MOTORS BASED ON THE USE OF TCHEBYSHEV’S POLYNOMIALS........35

Sydorets V. M., Dubko A. G.THE ANALYSIS PECULIARITIES OF HIGH FREQUENCY CURRENT DISTRIBUTION IN AXIS SYMMETRICELECTRODES FOR ELECTROSURGICAL INSTRUMENTS.......................................................................42

Tykhovod S., Kornus T., Patalakh D.METHOD OF ACCELERATED NUMERICAL CALCULATION OF TRANSIENTS IN ELECTRICAL CIRCUITSBASED ON SOLUTION APPROXIMATION BY ALGEBRAIC POLYNOMIALS...............................................48

Volkov V. A.CALCULATION OF THE OPTIMUM TACHOGRAM ACCELERATION AND DECELERATION OF FREQUENCYCONTROLLED ASYNCHRONOUS MOTORS............................................................................................55

Yarymbash D. S., Kilimnik I. M., Yarymbash S. T.THE DYNAMIC ADAPTATION OF CIRCUIT MODELS OF SHORT-CIRCUIT..................................................65

Коstin М. О.THE ENERGY SPECTRA OF RANDOM PROCESSES OF TRACTION VOLTAGES AND CURRENTS OFELECTRIC TRANSPORT.........................................................................................................................71

Mishchenko T. M.GEOMETRIC INTERPRETATION OF REACTIVE POWER AND ITS RELATION WITH THE SPECTRALCOMPOSITION OF THE TRACTION VOLTAGE AND CURRENT OF HIGH-SPEED LOCOMOTIVES .............81

Nicenko V. V., Kulagin D. A., Mahlin P.V., Klimko A. N.STUDY OF KEY DESIGN PARAMETERS OF DIFFERENTIAL-PHASE PROTECTION OF BUSBARS OFPOWER FACILITIES AND FACTORS OF TLTCTRICAL NETWORKS AFFECTING THEIR CHOICE................87

Skal’ko Yu. S.IMPROVEMENT OF DNIPROGES POWER GENERATOR GROUP CONTROL USING FUZZY LOGIC...........95

5

I. ЕЛЕКТРОТЕХНІКА

УДК [621.3.011+621.3.013]::519.6

Тиховод С. М.Д-р техн. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет, Украина

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРАНСФОРМАТОРАХ НАОСНОВЕ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЁВАМоделирование переходных процессов в трансформаторах в настоящее время выполняют путем составле-

ния и решения уравнений состояния для магнитоэлектрических схем замещения. Эти процессы могут бытьвесьма продолжительными, что приводит к значительному времени расчета при использовании современныхпрограммных средств. Цель данной работы – разработка более быстродействующего метода расчета пере-ходных электромагнитных процессов в трансформаторах, использующего полиномиальную аппроксимациюрешения, а также разработка удобной для практики схемной модели метода. На основе аппроксимациирешения уравнений состояния полиномами Чебышёва разработан метод расчета переходных процессов в маг-нитоэлектрических цепях. Предложена схемная интерпретация разработанного метода. Показано, что вспециальной схеме замещения справедливы законы Кирхгофа для изображений токов и магнитных потоков ввиде векторов, содержащих значения коэффициентов разложения этих величин по полиномам Чебышёва.Данный метод позволяет заменить операции с мгновенными значениями токов операциями с постояннымитоками в предложенной схеме замещения, в результате чего интегро-дифференциальные уравнения состоя-ния заменяются алгебраическим уравнениям. При расчете предложенным методом переходного процесса втрехфазном трансформаторе процессорное время сокращается более чем в два раза по сравнению с расчета-ми известными методами. Предложенный метод особенно удобен для расчета переходных процессов в магни-тоэлектрических цепях, так как позволяет использовать источники напряжения, управляемые производнойтока, а также позволяет легко вычислять интегралы решений.

Ключевые слова: полиномы Чебышёва, переходные процессы, схемная интерпретация, магнитоэлектри-ческие цепи.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ При коммутациях в электротехнических системах

происходят переходные электромагнитные процессы,приводящие к броскам тока. Эти броски представляютопасность для оборудования, а также влияют на надеж-ность релейной защиты. Переходные процессы в транс-форматорах могут быть весьма продолжительными, чтоприводит к значительному времени расчета. Реальныеисследуемые цепи могут содержать несколько сотен эле-ментов, что при расчетах приводит к большим системамдифференциальных уравнений состояния. В настоящеевремя для решения таких систем широко применяютсямногошаговые методы численного интегрирования диф-ференциальных уравнений. Однако большой размер си-стемы уравнений приводит к увеличению времени иснижению точности моделирования при использованииизвестных численных методов. Поэтому модификацияметодов численного решения интегро-дифференциаль-ных уравнений, приводящая к сокращению времени рас-чета, а также наглядная схемная интерпретация этих ме-тодов является актуальной задачей.

Цель данной работы – разработка более быстродей-ствующего метода расчета переходных электромагнит-ных процессов в трансформаторах, использующего по-линомиальную аппроксимацию решения, а также раз-работка удобной для практики схемной модели метода.

ИЗЛОЖЕНИЕ МАТЕРИАЛАРассмотрим одноконтурную цепь переменного тока,

содержащую резистивный (R), индуктивный (L) и емко-стный (C) элементы, включенные последовательно.Пусть до коммутации конденсатор был заряжен до на-пряжения )( 0tuC . При подключении в момент 0tt = ис-точника переменной ЭДС )(te в цепи происходит пере-ходный процесс, который описывается линейным интег-ро-дифференциальным уравнением с постоянными ко-эффициентами:

)()()(10

0

tetudttiC

RidtdiL C

t

t=+++ ∫ (1)

Поставим условие, чтобы уравнение, составленноепо закону напряжений Кирхгофа, соблюдалось точно взаданном ряде N узловых временных точек 1

,...t, 10 −Ntt

для некоторой функции, которая аппроксимирует зави-симость тока от времени. В других точках закон Кирхгофасоблюдается с некоторой погрешностью. Это условиесоответствуют основам известных методов коллокаций.

Рядом исследователей [1–3] для решения дифферен-циальных уравнений предлагается использование поли-номов Чебышёва, которые обладают важным свойствомравномерности погрешности аппроксимации искомыхфункций этими полиномами. Представляется рациональ-ным для аппроксимации решения интегро-дифферен-

Тиховод С. М., 2015©

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА


циальных уравнений, получаемых непосредственно наосновании законов Кирхгофа, использование полино-мов Чебышёва.

Полиномы Чебышёва 1-го рода определяются на от-резке [–1, 1] как:

))arccos(cos()( xnxTn = . (2)

Вычисляются они рекурсией:

)(2)()( 11 xTxxTxT nnn =+ +− , (3)

причем xxTxT == )(,1)( 10 .

Как известно [4], полиномы Чебышёва 1-го рода ор-тогональны на сегменте [–1, 1] с весовой функцией

21/1)( xxh −= , следовательно, некоторую функцию

f(х) , имеющую на отрезке [–1, 1] непрерывные произ-водные, можно разложить по полиномам Чебышёва.

Для интерполяции на произвольном конечномо т р е з к е [ ]bat ,∈ нужно сделать замену переменной:

]1,1[22

−∈⇒−

++

= xxabbat . (4)

Решение уравнения (1), как функцию от времени, винтервале времени [ ]bat ,∈ аппроксимируем полино-мами Чебышёва 1-го рода:

)()()()()()( 11221100 tTctTctTctTctpti NN −−+++=≈ , (5)

где, согласно (4),

)22

()( xabbaTtT kk−

++

= .

Коэффициенты kc перед полиномами Чебышёваапока считаем неопределенными. Определение функцииi(t) заключается в определении значений коэффициен-тов kc (k=0…N-1).

Для аппроксимирующего полинома (5) зададим ус-ловие метода коллокаций: в N точках tm интервала изме-нения аргумента решение точно совпадает с полиномом:

)()( mm tpti = для m = 0, 1, 2, …N-1. (6)

При работе с полиномами Чебышёва в качестве ар-гумента удобнее использовать не время t, а перемен-ную x, изменяющуюся в интервале [–1, 1]. При необхо-димости переход к реальному времени t будем выпол-нять по формуле (4).

Если условие (5) записать для каждой временной точ-ки tm (m = 0, 1, 2, …N-1), что соответствует точкам xmпеременной x на интервале [–1, 1], то получим системуN линейных алгебраических уравнений:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+++

=+++==+++

−−−−−−−

−−

−−

)()()()()(

)()()()()()()()()()(

1111122111100

1111122111100

00011022011000

NNNNNNN

NN

NN

xixTcxTcxTcxTc

xixTcxTcxTcxTcixixTcxTcxTcxTc

. (7)

Если учесть, что ,1)(0 =tT то из первого уравнениясистемы (7) можно получить:

)()()( 01102201100 xTcxTcxTcci NN −−+++= , (8)откуда

)]()()([ 01102201100 xTcxTcxTcic NN −−++−= . (9)

Вычтем из всех уравнений системы (7) первое урав-нение и получим сокращенную систему, которая в мат-ричной форме имеет вид:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

−−−−−−−

−−

−−

01

02

01

1

2

1

011102120111

012102220121

011102120111

)(

)()(

)()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

ixi

ixiixi

c

cc

xTxTxTxTxTxT

xTxTxTxTxTxTxTxTxTxTxTxT

NNNNNNN

NN

NN

,или

V.С = I –i0 , (10)

где C = [c1 c2… cN-1]T – вектор значений коэффициентов в

выражении (5) без коэффициента c0; I = [i(t1) i(t2)… i(tN-1)]T

– вектор значений тока в опорных точках 1, 2, …N-1.Производные полиномов Чебышёва 1-го рода вычис-

ляются рекурсией через полиномы Чебышёва 2-го родаUn(x) [5]:

)()1()(1 xUnxT nn +=′+ , (11)

xxUxU 2)(,1)( 10 == , )(2)()( 11 xUxxUxU nnn =+ +− . (12)Одним из эффективных способов выражения произ-

водной функции через полиномы Чебышёва являетсядифференцирование полинома, полученного путем раз-ложения функции по полиномам Чебышёва [4]. Продиф-ференцируем выражение (5):

[ ]τ

⋅′+′+′≈⋅= −−2)()()( 112211 xTcxTcxTc

dtdx

dxdi

dtdi

NN , (13)

где τ = b-a.Если уравнение (13) записать для каждой точки x1,

x2,… xN-1 , то получим систему линейных уравнений, ко-торая в матричной форме имеет вид:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′

′′′′

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′′

−−−− 1

21

112

222112

1

21

)()(1

)()(1)()(1

NNNN

NN

N c

cc

xTxT

xTxTxTxT

i

ii

, (14)

или

I’ = D C, (15)

где D – матрица системы линейных уравнений (14), I’ =[i’(x1) i’(x2)… i’(xN-1)]

T – вектор значений производныхтока по переменной x для точек с номером m=1, 2,… N-1.

7


Для вычисления интеграла используем квадратурнуюсхему Кленшоу-Куртиса, описанную в работе [1]. Про-интегрируем выражение (5) от x0 до xm:

∫∫ ++==mm

m

x

xxTcxTc

x

xdxxpxJ

0

1100

0

)()(()()(

−−++ NN dxxTcxTc 1122 ))()( . (16)Интегралы полиномов Чебышёва определяются фор-

мулами [1]:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

>+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

=

+=+=

−+∫

∫∫

.1,1

)(1

)(21)(

;)(41)(;)()(

11

2110

kddxk

xTk

xTdxxT

dxTdxxTdxTdxxT

kkk

(17)

Преобразуем выражение (16), используя формулы(17), (9), а также то, что xxTxT == )(,1)( 10 , получим:

[ ]

,

)()2(2

)()(2

)()(

)()1(2

)()()1(2

)()(

)()()(41)()(

011,,22,11,

1010220

0011011

1010220

0

icScScScS

cxTN

xTxTN

xTxT

cxTk

xTxTk

xTxT

cxTxTxTix

xdxxpxJ

mNNmkkmmm

NmNNmNNmN

kmkkmkkmk

mmm

m

m

δ++++++=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

δ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

δ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

+−

+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ δ−−+δ==

−−

−−−−

−−++

∫

…… (18)

где 0xxmm −=δ .Рассмотрев выражение (18) при изменении номера

m от 1 до N-1, получим систему уравнений, которая вматричной форме имеет вид:

J = S C + Δ· i0 , (19)

где J – вектор интегралов (18) для значений m=1, 2,…, N-1;

[ ]TN 121 −δδδ=Δ ; (20)

Запишем интегро-дифференциальное уравнение (1)для ряда точек при изменении номера m= 1, 2,…, N-1.Получим систему уравнений, которая в матричной фор-ме имеет вид:

eJII C0 =+++′ uBRL , (21)

где В=1/С, e – вектор значений ЭДС источника в точках1, 2, …, N-1 временного сегмента; uC0 – значение напря-жения на конденсаторе в точке t0.

Если подставить в выражение (21) векторы I (10), I’(15), J (19), то получим выражение второго закона Кирх-гофа для изображения C:

0C0 iBRiuBRL Δ−−−=++ 0eCSVD )( . (22)Решением уравнения (22) определяется вектор C ко-

эффициентов полиномиальной аппроксимации. Тогдапри известном начальном значении тока i0 можно опре-делить значения тока во всех произвольных точках вре-менного сегмента τ согласно (5), (9):

)(())()(()( 2201110 TtTctTtTciti −+−+≈

))()(())( 011102 tTtTctT NNN −−− −+− . (23)Если в цепи имеется только одна ветвь, то согласно

(22) приходится решать систему из N-1 уравнений. Од-нако в результате решения определяются значения не водной временной точке, как в традиционных численныхметодах, а сразу в N-1 точке. Для сложных цепей матри-ца соответствующей системы уравнений весьма разре-жена и применение методов решения уравнений с раз-реженными матрицами позволяет существенно сокра-тить время расчета.

Схемная интерпретация метода численного расчетапереходных процессов в электрических цепях. Уравне-ние (22) можно интерпретировать следующим образом.Пусть в исходной ветви R-L-C- e протекает ток i(t). Ис-ходной ветви соответствует ветвь замещения (рис. 1), вкоторой протекает изображение C, тока i(t). Изображе-ние C – это вектор коэффициентов разложения тока i(t)по полиномам Чебышева. При этом в ветви замещениярезистивный элемент имеет сопротивление RV и после-довательно с ним навстречу току включается источникпостоянной ЭДС величиной R.i0 (см. рис.1). Индуктив-ный элемент имеет сопротивление LD, а емкостный эле-мент - сопротивление BS и последовательно с ним на-встречу току включается источник постоянной ЭДС ве-личиной BΔi0+uC0.

Докажем, что в узлах схемы замещения для изобра-жений C соблюдается и первый закон Кирхгофа. Для этоговоспользуемся уравнением (10). В любом узле электри-ческой цепи для токов ветвей, сходящихся к узлу, в лю-бой момент времени а, следовательно, во всех времен-ных узловых точках выполняется закон токов Кирхгофа:

∑ ∑= =

=⋅=−b

k

b

kkk i

1 10 0)( kCVI , (24)

где b – количество ветвей, сходящихся к узлу, k – теку-щий номер ветви.

Рисунок 1 – Схема замещения одноконтурной R-L-C- e цепи



Если уравнение (24) умножить на матрицу, обратнуюматрице V, то получим:

∑=

=b

k 10kC . (25)

Из изложенного материала сделаем выводы. Реаль-ному току i(t) соответствует векторное изображение Cв схеме замещения, показанной на рис. 1. Все изображе-ния C токов в схеме замещения удовлетворяют законамКирхгофа, если она составляется по правилам:

- источник ЭДС заменяется векторным источникомe, содержащим значения ЭДС в N-1 опорной точке;

- резистивный элемент имеет изображение сопро-тивления RV и последовательно с ним навстречу токувключается дополнительный источник ЭДС R i0;

- индуктивный элемент имеет изображение сопро-тивления LD;

- емкостный элемент имеет изображение сопро-тивления BS и последовательно с ним навстречу токувключается дополнительный источник ЭДС B*Δ*i0+ uC0.

Следовательно, при известных начальных значенияхтоков ветвей i0k и напряжений на конденсаторах uC0k в точ-ке t0 сегмента [a, b], система уравнений, составленнаяпо законам Кирхгофа для изображений Ck токов для всехузлов без одного и для всех главных контуров, имеет един-ственное решение. В результате решения системы ли-нейных алгебраических уравнений, составленных по за-конам Кирхгофа для изображений токов, получаем век-тор C, состоящий из подвекторов Ck, содержащих значе-ния коэффициентов разложения функций токов ik(t) пополиномам Чебышёва для всех ветвей. Зная коэффици-енты разложения тока ik(t) по полиномам Чебышёва изначение ik0 для ветви k, мы можем получить значениятока Ik во всех узловых точках в интервале времени [a, b]:

Ik= V*Сk + i0 . (26)

Также, согласно (23), можно получить значение токаво всех произвольных точках любого из N-1 отрезков всегменте времени [t0, tN-1]. Напряжение на конденсаторев момент времени t вычисляется по формуле:

)()(1)( 00

tudttiC

tu C

t

tC += ∫ , (27)

где интеграл выражается формулой (18).Оценка погрешности и ее минимизация. Если поло-

жения опорных точек в сегменте [–1, 1] выбирать неравномерно, а в нулях полиномов Чебышёва

0)( =kN xT :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+−=

Nkxk 2

12cos , k=0, 1, … N-1, (28)

то погрешность интерполяции можно существенно сни-зить. В этом случае плотность опорных точек сгущаетсяна краях сегмента. Полином, полученный по системе

опорных точек, расположенных в нулях полиномов Че-бышёва, близок к минимаксному, который минимизи-рует максимальное отклонение от аппроксимируемойфункции [4].

Оценим погрешность R интерполяции временнойфункции тока, производной и интеграла тока по време-ни. Погрешность R аппроксимации полиномом p(t) сте-пени N некоторой функции f(t), имеющей ограничен-ные непрерывные производные до степени N на участ-ке [a, b], при условии, что в N различной точке полиномсовпадает с функцией f(t), определяется выражением [6]:

!)()()()(

)(

NtftptfR

N ωζ=−= , (29)

где [ ]ba,∈ζ ,

)())(()( 10 Nttttttt −−−=ω . (30)Если положения опорных точек выбирать в нулях

полиномов Чебышёва, то полином (30) имеет вид:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

⋅−=ω −

ababtTabt N

NNN

)(22)( 21 . (31)

Чебышёвская норма данного полинома равна:

( ) NNN abt 212)( −⋅−=ω .

Тогда погрешность R аппроксимации полиномамиЧебышёва можно оценить как:

( )!

2 21

NabMR

NNN

−⋅−≤ , (32)

где )(max )( ζ= NN fM .

Формула (32) показывает, что погрешность аппрок-симации функции полиномами Чебышёва, при условиивыбора положения опорных точек в нулях полиномовЧебышёва, в 21-2N раз меньше, чем при равномерномрасположении опорных точек.

Оценим погрешность интерполяции производнойтока по времени. Поскольку )()()( tRtpti += , тоо

)()()( tRtpti ′+′=′ . (33)Согласно (29), (31) имеем:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−′⋅−=′ −ab

abtTN

MabtR NNNN )(2!

2)( 21. (34)

Учитывая, что ( )21 1)( +≤′ + NxTN , то оценка погреш-ности производной имеет вид:

( )!

)1(2)(2

21NNMabtR NNN +

⋅−≤′ − . (35)

Оценим теперь погрешность интерполяции интегра-ла тока по времени. Проинтегрируем выражение

)()()( tRtpti += :

9


∫∫∫ +=t

t

t

t

t

tdttRdttpti

000

)()()( .

Согласно (29), (31):

( ) dtab

abtTN

MabdttRt

tN

NNNt

t∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

⋅−= − )(2!

2)( 21

0. (36)

С учетом того, что интеграл полинома Чебышёваимеет свойство (17), преобразуем выражение (36), и,принимая во внимание, что полиномы Чебышева помодулю меньше единицы, получим следующую оценкупогрешности аппроксимации интеграла:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

+⋅−≤ −∫ 1

11

1!

2)( 21

0NNN

MabdttR NNNt

t. (37)

Оценка (37) показывает, что погрешность аппрокси-мации интеграла функции тока значительно меньше, чемпогрешность аппроксимации самой функции тока.

В формулы оценки погрешности (32), (35) и (37) вхо-

дит множитель NN ab )( −=τ , поэтому от размера вре-менного сегмента в значительной мере зависит погреш-ность. На больших интервалах изменения независимойпеременной t >>τ весь интервал моделирования следу-ет разбить на несколько сегментов, а уравнение (22) сле-дует решать на каждом сегменте методом циклическойпрогонки, увеличивая каждый раз, текущее время назначение τ.

Во все формулы оценки погрешности (32), (35) и (37)также входит множитель, равный значению N–ой произ-водной решения. Это значение заранее неизвестно, номожет быть оценено с помощью правила Рунге. Этоправило заключается в том, что выполняется расчет снекоторым размером сегмента τ, а затем выполняетсярасчет с уменьшенным вдвое значением τ при одном итом же значении N. Численный эксперимент дает рас-хождение значений расчетов Δr. Это расхождение равноразности погрешностей, главная из которых – погреш-ность аппроксимации производной. Согласно (35) полу-чим разность максимальных погрешностей, откуда:

( )( ) 221 )1(22/11(!

+⋅−τ

Δ=

− NNM NNN

rN . (38)

Оценить значение погрешности производной можнои другим способом. Согласно (15), производная реше-ния находится как функция разложения по N полино-мам Чебышёва. Поскольку свойством полиномов Чебы-шёва является то, что при отбрасывании последнего членаразложения другие коэффициенты разложения не изме-няются, значение (N+1)-го члена разложения производ-ной может характеризовать погрешность аппроксима-ции производной решения.

Пример расчета переходных электромагнитных про-цессов на основе магнитоэлектрических схем замеще-ния. Магнитоэлектрические схемы замещения (МЭСЗ)электромагнитных устройств – это схемы, объединяю-щие электрические и магнитные цепи этих устройств, сучетом взаимодействия друг с другом. Взаимодействиеэлектрической и магнитной цепей обычно учитываетсяс помощью источников напряжения, управляемых то-ком (магнитным потоком) или производной тока (маг-нитного потока). Известны различные виды МЭСЗ [7].На рис. 2 рассмотрен участок магнитопровода с уста-новленной катушкой и его представление магнитоэлек-трической схемой замещения. В данном случае рассмот-рена МЭСЗ магнитной ветви, в которой протекает немагнитный поток, а так называемый «магнитный ток »iµ- производная магнитного потока.

В схеме замещения на рис. 2 использовано диффе-

ренциальное магнитное сопротивление SR d

d

μ= , где

dHdBd =μ – дифференциальная магнитная проницае-

мость, , S – длина и площадь поперечного сечениямагнитной ветви.

Предложенный метод формального построения схемзамещения может быть использован для расчета переход-ных процессов в магнитоэлектрических цепях электромаг-нитных устройств. В качестве модельной задачи рассмот-рим переходный процесс подключения трехфазноготрансформатора (рис. 3) к источнику синусоидальногонапряжения.

Рисунок 2 – Представление участка магнитопровода с катушкой МЭСЗ: а) – магнитная ветвь с катушкой; б) –магнитоэлектрическая схема замещения, использующая «магнитный ток ».

а) б)



В соответствии с правилами представления электри-ческих и магнитных цепей и учета их взаимодействиясоставим схему замещения трехфазного трансформато-ра для векторных изображений переменных (рис. 4).Магнитная цепь на схеме замещения имеет такую жетопологию, как и магнитная система. В ветвях схемы за-мещения протекают изображения токов, присутствую-щих в исходной цепи, а все элементы заменяются соот-ветствующими изображениями, причем каждому рези-стивному элементу соответствует дополнительный ис-точник ЭДС, задающий начальные условия на времен-ном сегменте.

В ветвях 6, 7, 9 протекают магнитные токи стержней, ав ветвях 5, 8, 10 – магнитные токи вне магнитной системы.

Система уравнений, составленная по законам Кирх-гофа для МЭСЗ (рис. 4) трехфазного трансформаторадля изображений электрических и магнитных токов име-ет следующий вид:

Рисунок 3 – Общий вид конструкции трехфазноготрехстержневого трансформатора, включенного в

электрическую схему.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=++=−++

−−−=+++−−−=+++−−−=+++

=−++=−+

+−=−+−−−+−=++++

+−=−+−−++−=−+++−−

−=++−−−−=+++−−−=+++−−−=+++

=−++

0CCC0CCCC

VCVCCVDVCVCCVDVCVCCVD

0CCCC0CCC

VCVCDCDCDCDCVCVCVC

;RVCRVCDCDCVCRDCDCVCRDCDCVCR

RDCDCVCRVCeVCVCCVDeVCVCCVDeVCVCCVD

0CCCC

1

1

1

4

2241

d3422

dd22d6d6

d66d6

10916

168715

141492133414921332

141472123414721232

141462113414621132

14131211

1565

1010991010913231

886677227778

887121

07766151577121151511211

1121155

449344931

4472447211

446446111

4321

;;)(;)(;)(

;;

;

;;)(;)(;)(

;

000

000

000

00dd

00d0ddd

0304m4d

0d0d

05506

00101C1r

00101B1

001011A1

iRiNiRRNRLiRiNiRRNRLiRiNiRRNRL

iRiRRRNN;iRiRiRNNRRR

iiRRNN;iRiRiRNNNN

iRiNNRiRiNiRRNRLiRiNiRRNRLiRiNiRRNRL

(39)

Система линейных алгебраических уравнений (39)имеет единственное решение - векторы Ck (k=0…N-1),содержащие значения коэффициентов разложения фун-кций токов ik(t) по полиномам Чебышёва для всех вет-вей. Зная для любой ветви коэффициенты Ck, значение i0в начальной точке t0, мы можем согласно (26) получитьзначение тока во всех узловых точках в интервале време-ни [a, b]. Значения магнитного потока магнитной ветвиво всех узловых точках можно вычислить по формуле:

2/)( 00 τ⋅+⋅+Φ= Φ ΔCSΦ i , (40)

где Ф0, i0 – значения магнитного потока и магнитноготока в точке t0; Сф – вектор коэффициентов разложениямагнитного тока по полиномам.

Для проверки адекватности предложенного методасоставлена компьютерная программа Tr3_VDS_C в сис-теме Matlab.

Вычисления производятся в следующей последова-тельности:

1. Выполняется ввод исходных данных, задается ко-личество узлов N на сегменте (4<N<10), количество сег-ментов Nu на всем исследуемом временном интервале,а также длину одного сегмента τ.

11


а)

б)

в)

Рисунок 4 – Магнитоэлектрическая схема замещения трехфазного трансформатора для изображений электрических имагнитных токов: а) – первичная обмотка с источником, б) – магнитная цепь, в) – вторичная обмотка с нагрузкой.



2. Согласно (28) задаются положения опорных точекxk на отрезке [–1, 1]. Затем вычисляются временные гра-ницы сегмента: a = –τ (x0 + 1)/2; b = a + τ.

3. Согласно формулам (10), (14), (18), (20) вычисля-ются матрицы V, D, S, Δ.

4. Вычисляются значения вектора ЭДС во всех точ-ках сегмента.

5. Составляется матрица Z системы уравнений (39).Матрица Z содержит значения магнитных сопротивле-ний Rd6, Rd7, Rd9, Rd15, Rd16, которые зависят от магнитныхпотоков этих ветвей. Поэтому на каждом временном сег-менте в опорных точках выполняется расчет значениймагнитных потоков (40) ветвей, содержащих ферромаг-нитные сердечники, и, согласно динамической кривойнамагничивания, выполняется расчет дифференциаль-ных магнитных сопротивлений Rd6, Rd7, Rd9, Rd15, Rd16,.Поскольку кривая намагничивания нелинейная, то рас-чет магнитных сопротивлений выполняется в итераци-онном цикле.

6. Выполняется итерационный цикл, в котором прикаждом изменении параметра цикла выполняется сле-дующее:

– вычисляется вектор правых частей F системы (39);– решается система алгебраических уравнений и оп-

ределяется для всех токов вектор полиномиальных коэф-фициентов C;

– выделяются подвекторы Ci полиномиальных коэф-фициентов для каждого тока;

– вычисляются магнитные потоки ветвей 3 и 6, исполь-зуя формулу (40), в которой Ф0 - значение магнитногопотока в конце предыдущего временного сегмента;

– согласно кривой намагничивания стали по значе-ниям магнитных потоков вычисляются магнитные со-противления ветвей 6, 7, 9, 15 и 16;

– с учетом измененных значений магнитных сопро-тивлений ветвей корректируется матрица Z и векторправых частей F системы (39);

– итерационный цикл заканчивается, если значениямагнитных сопротивлений смежных итерационных цик-лов не превышают заданной погрешности.

7. После выхода из итерационного цикла выполня-ется следующее:

– вычисляются конечные значения токов данного сег-мента, которые являются начальными значениями дляследующего сегмента;

– выполняется переход на п. 5 и следующий времен-ной сегмент.

На рис. 5 и рис. 6 представлены расчетные осциллог-раммы тока i1(t) и магнитной индукции в стержне, полу-ченные в результате расчета по программе Tr3_VDS_C,с которой можно познакомиться на сайте [8]. Там жедана инструкция по пользованию этой программой. Каквидно, переходные процессы в трансформаторе весьмапродолжительны.

В программе Tr3_VDS_C расчет выполнялся с ис-пользованием постоянного размера временного сегмен-та τ. В профессиональных программных комплексах,использующих предложенный метод, можно рекомен-довать автоматический выбор τ по какому-нибудь кри-терию, например по количеству циклов итерации на каж-дом временном сегменте.

Для сравнительной оценки разработанного метода всистеме Matlab разработан ряд программ решения рас-смотренной модельной задачи различными методами.

Одним из эффективных методов численного интег-рирования жестких систем дифференциальных уравне-ний, которые, как правило, описывают реальные магни-тоэлектрические цепи, является метод Гира. При исполь-зовании модифицированного метода переменных состо-яния и численного метода Гира разработана программаTr1_3.m. С этой программой можно познакомиться насайте [8].

Сегодня «де факто» в расчетах электромагнитныхпроцессов в электрических цепях лидерами являются

а) б)

Рисунок 5 – Расчетная осциллограмма: ток i1(t): а) – начало, б) – продолжение процесса

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

t, s

i1, A

13


Рисунок 6 – Расчетная осциллограмма: магнитная индукция в стержне фазы «А»: а) – начало, б) – продолжение процесса

программы EMTP/ATP, разработанные Г. Доммелем [9].В этих программах используется метод узловых потен-циалов для автоматического составления уравнений со-стояния и метод трапеций второго порядка точности длячисленного решения дифференциальных уравнений.Сравнение времени расчета задачи в разных системахмоделирования некорректно, так как Matlab являетсявесьма медленным интерпретатором. Так как в этой ста-тье сравниваются не компьютерные программы, а ме-тоды расчета, то для модельной задачи на основе методаДоммеля разработана программа Tr3_Dom.m и выпол-нен расчет. Метод узловых потенциалов данной задачирассматривает всего пять узлов, но система узловых урав-нений должна быть дополнена уравнениями вычисле-ния токов и магнитных потоков, которые управляют уп-равляемыми источниками ЭДС. В результате системауравнений имеет такой же порядок, как и система урав-нений задачи, решенной методом Гира. Нелинейныемагнитные сопротивления вычислялись на каждом шагеинтегрирования в итерационном цикле.

Результаты расчета при одинаковой заданной погреш-ности по программе Tr3_VDS_C не имеют видимых раз-личий от результатов, полученных расчетом с использо-ванием численного метода Гира, а также методом Дом-меля, то есть различие составляет десятые доли процен-та. С помощью операторов tic/toc оценивалось процес-сорное время расчета. Сравнение процессорного вре-мени расчета модельной задачи предложенным мето-дом и методами Гира и Доммеля показало следующее.Метод Доммеля при решении модельной задачи пока-зал сокращение процессорного времени около 10% посравнению с методом Гира. Предложенный метод пока-зал сокращение процессорного времени более чем на200% по сравнению с методом Доммеля. Это можнообъяснить следующими соображениями:

- в предложенном методе для решения интегро-дифференциальных уравнений использованы полиномыЧебышёва, которые имеют малую погрешность аппрок-симации функций решения этими полиномами;

- за каждый цикл выполнялся расчет не одного, агруппы N-1 шагов интегрирования;

- во многих программных комплексах, специали-зированных для расчета переходных процессов в элект-рических цепях, каждый элемент электрической цепи

рассматривается как отдельная ветвь. Предложенныйметод интерпретирует как одну ветвь три элемента, вклю-ченных последовательно: резистивный, индуктивный иемкостный;

- сокращение системы уравнений достигается так-же за счет того, что уравнения численного метода зало-жены в схему замещения для изображений.

ВЫВОДЫПредложенный метод расчета переходных процессов

в электрических цепях позволяет заменить операции смгновенными значениями токов операциями с постоян-ными токами в предложенной схеме замещения, в ре-зультате чего интегро-дифференциальные уравнениясостояния заменяются алгебраическим уравнениям. Прирешении модельной задачи предложенным методомпроцессорное время расчета существенно сокращаетсяпо сравнению с известными методами. Предложенныйметод особенно удобен для расчета переходных процес-сов в магнитоэлектрических цепях, так как позволяет ис-пользовать источники напряжения, управляемые про-изводной тока, а также позволяет легко вычислять интег-ралы решений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Васильев Н. И. Применение полиномов Чебышева в

численном анализе. / Н. И. Васильев, Ю. А. Клоков,А. Я. Шкерстена. – Рига.: Зинатне. – 1984. – 240 с.

2. Татевян С. К. Численное интегрирование обыкно-венных дифференциальных уравнений с использо-ванием рядов Чебышёва. / С. К. Татевян , Н. А. Соро-кин, С. Ф. Залеткин Вычислительные методы и про-граммирование.– 2002.” Т.3, с. 52–81.

3. Пашковский С. Вычислительные применения мно-гочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский . – М.:Наука, ГРФМЛ, 1983 . – 384 с.

4. Ильина В. А. Численные методы для физиков-теоре-тиков.1. / В. А. Ильина, П. К. Силаев. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. –2003. – 132 с.

5. Данилов Ю. А. Многочлены Чебышева / Ю. А. Да-нилов. – Минск.: Вышэйшая школа, 1984 . – 157 с.

6. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П.Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Наука, 1987 . – 630 с.

7. Тиховод С. М. Модификация магнитоэлектричес-

а) б)



ких схем замещения электромагнитных устройствдля анализа переходных процессов / С. М. Тиховод // Электричество. – 2014. – 2. – С. 53–60.

8. Помощь студентам-электрикам. Научные разработ-ки, программы. Программы для расчета переход-

ного процесса в трехфазном трансформаторе.–[Электронный ресурс] . – режим доступа: http://www.electricity.zp.ua/

9. Dommel Hermann W. EMTP theory book / Hermann W.Dommel. – British Columbia.: Microtran Power SystemAnalysis Corporation Vancouver, 1996. – 631 p.

Статья поступила в редакцию 23.10.2015Тиховод С. М.Д-р техн. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет, УкраинаРОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В ТРАНСФОРМАТОРАХ НА ОСНОВІ МАГНІТОЕЛЕКТ-

РИЧНИХ ЗАСТУПНИХ СХЕМ З ИСПОЛЬЗОВАНИЕЬ ПОЛІНОМІВ ЧЕБЫШЕВАМоделювання перехідних процесів в трансформаторах нині виконують шляхом складання і розв’язку рівнянь

стану для магнітоелектричних заступних схем. Ці процеси можуть бути дуже тривалими, що призводить дозначного часу розрахунку при використанні сучасних програмних засобів. Мета цієї роботи – розробка більшешвидкодіючого методу розрахунку перехідних електромагнітних процесів в трансформаторах, що використо-вує поліноміальну апроксимацію розв’язку, а також розробка зручної для практики схемної моделі методу. Наоснові апроксимації розв’язку рівнянь стану поліномами Чебишева розроблений метод розрахунку перехіднихпроцесів в магнітоелектричних колах. Запропонована схемна інтерпретація розробленого методу. Показано,що в спеціальній заступній схемі справедливі закони Кирхгофа для зображень струмів і магнітних потоків увигляді векторів, що містять значення коефіцієнтів розкладання цих величин по поліномах Чебишева. Цейметод дозволяє замінити операції з миттєвими значеннями струмів операціями з постійними струмами взапропонованій заступній схемі, внаслідок чого інтегро-дифференційні рівняння стану замінюються алгебраї-чними рівнянням. При розрахунку запропонованим методом перехідного процесу в трифазному трансформа-торі процесорний час скорочується більш ніж в два рази в порівнянні з розрахунками відомими методами.Запропонований метод особливо зручний для розрахунку перехідних процесів в магнітоелектричних колах, оск-ільки дозволяє використати джерела напруги, що керовані похідною струму, а також дозволяє легко обчислю-вати інтеграли розв’язку.

Ключові слова: поліноми Чебишева, перехідні процеси, схемна модель, магнітоелектричні кола.

Tykhovod S. M.Doctor of science, Assoc. Prof., Zaporozhye national technical university, UkraineCALCULATION OF TRANSIENTS IN TRANSFORMER ON THE BASIS OF MAGNETO ELECTRICAL

EQUIVALENT SCHEMES WITH THE USE OF TCHEBYSHEV’S POLYNOMIALSTransient modeling in transformers is presently executed by formation and solution of the state equations for the

magneto-electrical equivalent schemes. These processes can be very long, that results in a considerable time of calculationat the modern software use. The aim of the given work is the development of more fast-acting method of calculation ofelectromagnetic transients in transformers, using solution approximation by polynomials, and also development ofcomfortable scheme model of method for putting into practice. On the basis of solution approximation of the stateequations by the Tchebyshev’s polynomials the method of transients calculation in magneto-electrical equivalent schemesis worked out. Scheme interpretation of the developed method is offered. It is shown that in the special equivalent schemethe Kirchhoff’s laws are fair for the images of currents and magnetic fluxes as vectors, containing the values of coefficientsof decomposition of these values by the Tchebyshev’s polynomials. This method allows to replace operations with theinstantaneous values of currents by operations with direct currents in offered equivalent scheme. As a result the integro-differential state equations are submitted by algebraic equations. The calculation with the offered method of transient in athree-phase transformer processor allows to reduce time more than twice as compared to calculations with the help of thewell-known methods. The given method is especially comfortable for the transient’s calculation in magneto-electricalcircuits, since it allows to use voltage sources controlled by the current derivative as well as easily evaluate the integralsof solution.

Key words: Tchebyshev’s polynomials, transients, scheme interpretation, magneto-electrical circuits.

REFERENCES1. Vasilev N. I., Klokov Yu. A., Shkerstena A. Ya. Primenenie

polinomov Chebyisheva v chislennom analize. Riga,Zinatne, 1984, 240 s.

2. Tatevyan S. K., Sorokin N. A., Zaletkin S. F. Chislennoeintegrirovanie obyiknovennyih differentsialnyihuravneniy s ispolzovaniem ryadov ChebyishYova.Vyichislitelnyie metodyi i programmirovanie, 2002.

3. Pashkovskiy S. Vyichislitelnyie pr imeneniyamnogochlenov i ryadov Chebyisheva. Nauka, GRFML,1983, 384 s.

4. Ilina V. A., Silaev P. K.. Chislennyie metodyi dlya fizikov-teoretikov.1. Moskva-Izhevsk: Institut kompyuternyihissledovaniy, 2003, 132 s.

5. Danilov Yu. A. Mnogochlenyi Chebyisheva. Minsk.:Vyisheyshaya shko-la, 1984, 157 s.

6. Bahvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M.Chislennyie metodyi. Moscow, Nauka, 1987, 630 s.

7. Tihovod S. M. Modifikatsiya magnitoelektricheskihshem zamescheniya elektromagnitnyih ustroystv dlyaanaliza perehodnyih protsessov. Elektriche-stvo, 2014,No 2, S. 53–60.

8. Pomosch studentam-elektrikam. Nauchnyie razrabotki,programmyi. Programmyi dlya rascheta perehodnogoprotsessa v trehfaznom transformatore. http://www.electricity.zp.ua/

9. Dommel Hermann W. EMTP theory book / Hermann W.Dommel. – British Columbia.: Microtran Power SystemAnalysis Corporation Vancouver, 1996, 631 p.

15


УДК 621.313.13-133.32

Коваленко М. А.1, Мацюк Д. С.2

1Канд. техн. наук, асистент кафедри електромеханіки, Національний технічний університет України «Київськийполітехнічний інститут», Украина, E-mail: [email protected]

2Студент, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», Україна

АВТОНОМНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИЙ СТЕНД ДЛЯВИПРОБУВАННЯ УНІПОЛЯРНОГО КРОКОВОГО ДВИГУНА НА БАЗІ

МІКРОКОНТРОЛЕРАДля вдосконалення, оновлення матеріально-технічного бази та лабораторного обладнання кафедри елект-

ромеханіки НТУУ «КПІ» розроблено автономний стенд для дослідження характеристик уніполярного кроко-вого двигуна на базі мікроконтролера. Функціональні можливості стенду дозволяють реалізовувати три ре-жими керування кроковим двигуном, дев’ять фіксованих швидкостей, можливість реверсу. Розроблено мето-дичні рекомендації для проведення лабораторних робіт студентами. Отримано часові діаграми розподілуструму та напруги в обмотках, знято та побудовано механічну характеристику досліджуваного двигуна.

Ключові слова: уніполярний кроковий двигун, лабораторний стенд, мікроконтролер, режими керування.

ВСТУПКроковий двигун (КД) з’явився як недорога альтерна-

тива позиційному приводу. При цьому, найбільш суттє-вою відмінністю КД стала простота в управлінні пози-цією валу. Все що потрібно – це подати імпульси на об-мотки двигуна у правильній послідовності, для забезпе-чення обертання валу. На сьогоднішній день КД успіш-но застосовуються в найрізноманітніших пристроях: по-бутовій техніці, оргтехніці, комп’ютерній, автомобільнійтехніці і т.ін. та обладнанні спеціального призначення.Основна функція КД–перетворення вхідного електрич-ного сигналу у механічне переміщення ротора.

Матеріально-технічна база кафедри електромеханіки,в умовах фактичної відсутності фінансування з боку дер-жави і з врахуванням тяжкого економічного становища,застаріває. Більшість із наявних стендів для дослідженняхарактеристик мікромашин та безконтактних машин мо-рально застаріла і потребує оновлення. Поруч з тим,більшість обладнання відпрацювало термін безвідмов-ної роботи і працює понад норму. Це приводить до рап-тового виходу обладнання стендів з ладу та зриву навчаль-ного процесу.

Модернізація лабораторної бази вищих навчальнихтехнічних закладів електромеханічного спрямування заучастю студентів необхідна розвитку та підтримки висо-кого науково-технічного рівня підготовки майбутніхфахівців, а також підтримки у належному стані облад-нання для практичних та лабораторних занять. Залучен-ня студентів ВУЗів до практичної роботи по розробці тамодернізації обладнання підвищує загальний рівеньпідготовки студентів-електромеханіків, дозволяє опану-вати навички підбору, монтажу, налагодження та обслу-говування сучасного обладнання.

Розробка стендів для електричних машин малої по-тужності потребує менших матеріальних витрат, такі стен-ди є енергоефективними, оскільки споживають невели-ку кількість електричної енергії. Тому оновлення лабо-раторного обладнання доцільно розпочинати із стендів

для електричних машин малої потужності. Основою та-ких стендів повинні бути сучасні технології: цифрові при-строї та перетворювачі, що виконують функції регулято-ра, комутації та захисту.

Метою роботи є розробка автономного експеримен-тального стенду для дослідження характеристик уніпо-лярного крокового двигуна типу ПБМГ – 200 на базі мікро-контролера з метою оновлення та модернізації матері-ально-технічної бази лабораторій на базі доступних за-собів та систем. А також оновлення навчально-методич-ного забезпечення для навчання студентів напрямку«Електромеханіка».

Розробці автономних схем керування КД присвяче-но велика кількість робіт як вітчизняних [1–3] так і закор-донних вчених [4, 5]. В основному, сучасні схеми керу-вання КД побудовані на використанні мікропроцесор-ної техніки у сукупності із ПЕОМ. Такі стенди мають рядсуттєвих недоліків пов’язаних із: великою вартістю; при-в’язка до певного типу КД; недовикористання мікропро-цесору.

Актуальним напрямком є оновлення матеріально-технічної бази лабораторій мікромашин (також загаль-ної лабораторії електричних машин) та розробка новихкомпактних, недорогих, надійних та простих у користу-ванні лабораторних стендів.

Розробка стенду неможлива без аналізів основнихпереваг та недоліків КД. До переваг КД відносяться:

– немає необхідності у зворотному зв’язку, що знач-но спрощує систему драйвера;

– точність позиціонування і повторюваність, помил-ка не накопичується від кроку до кроку;

– швидкий старт, реверс;– можливість отримання низьких швидкостей;– висока надійність;– наявність фіксуючого моменту.Недоліками КД є:– споживають номінальну потужність, навіть без

навантаження;

Коваленко М. А., Мацюк Д. С., 2015©



– можливий пропуск кроку;– притаманне явище резонансу;– складності керування на високих швидкостях.Конструктивно КД діляться на три типи [2]: 1) Реак-

тивні; 2) КД із постійними магнітами; 3) Гібридні КД.Головною умовою створення стенду для КД є неви-

сока вартість як окремих його елементів (системи керу-вання, КД, силової частини). В якості об’єкту керуваннявзято уніполярний чотирьохфазний КД типу ПБМГ – 200,що використовувався для приводу гнучких магнітнихнакопичувачів 5,253 . Даний двигун дорожчий ніж реак-тивні КД та КД із постійними магнітами, але забезпечуєменшу величину кроку, більший момент і вищушвидкість. Типова кількість кроків для гібридних двигунівскладає 100 – 400 кроків на один оберт (кут кроку 3,6 – 0,9градусів). Даний двигун конструктивно відноситься догібридного типу КД. Конструкція досліджуваного двигу-на приведена на рис. 1.

На рис. 1 показано: 1 – постійний магніт; 2 – магнітнеосердя ротора; 3 – обмотки статора КД; 4 –магнітне осер-дя статора; 5 – підшипники; 6 – підшипникові щити.

В табл. 1 наведено деякі номінальні параметри КДтипу ПБМГ – 200.

Схема розташування (маркування) обмоток дослід-жуваного КД приведена на рис. 2.

Параметри та характеристики КД визначаються спо-собом комутації обмоток. Розрізняють чотири способикомутації обмоток КД:

– Повнокроковий режим без перекриття фаз; A

AB

B

C

CD

D

Рисунок 1 – Конструкція гібридного уніполярного КД

Рисунок 2 – З’єднання обмоток уніполярного КД

Параметр Величина 1 Кут повороту на один крок 1,80

2 Кількість кроків за повний оберт валу 200

3 Напруга живлення 12…24 В 4 Опір обмоток 70 Ом 5 Споживаний струм 0,17 А 6 Частота приємистості 52 кHz

Таблиця 1 – параметри КД ПБМГ – 200

– Повнокроковий режим з перекриттям фаз;– Напівкроковий режим;– Мікрокроковий режим.При повнокроковому режимі без перекриття фаз в

один момент часу живиться одна фаза двигуна. Харак-терною рисою повнокрокового режиму з перекриттямфаз є те, що одночасно живляться дві суміжні фази і ро-тор зупиняється не навпроти полюсів, а в проміжномуположенні між ними. Напівкроковий режим є комбіна-цією двох вищеназваних, тобто ротор зупиняється як на-впроти полюсів, так і в проміжному положенні між ними.В мікрокроковому режимі можна досягти будь-якогоположення ротора між сусідніми полюсами.

Миттєві значення напруги живлення в кожній фазі приповнокроковому режимі з перекриттям фаз показано нарис. 3.

Будь яка схема керування КД складається з двох час-тин: системи керування та силової частини. Існує чоти-ри принципових схеми керування КД, які базуються на:

1. Логічних елементах;2. Мікроконтролерах;3. Мікропроцесорах;4. Коп‘ютерному керуванні.Будь-який варіант виконання системи керування КД

має свої переваги та недоліки. Першочерговим завдан-

Рисунок 3 – Миттєві значення напругиживлення обмоток вповнокроковому режимі з перекриттям фаз

17


ням є обґрунтування вибору схеми керування КД. Вибірсхеми проводиться методами лінійного програмування,а саме методом багатокритеріального вибору [6]. Виз-начимо критерії вибору:

1. R1 – кінцева вартість схеми;2. R2 – гнучкість схеми (варіативність параметрів,

режимів, можливість реалізації зворотних зв’язків, керу-вання різними типами та габаритами КД і т.ін.);

3. R3 – простота реалізації (доступність елементів,простота схеми та монтажу).

Для реалізації алгоритму багатокритеріального вибо-ру необхідно задатись ваговими коефіцієнтами кожногокритерію на основі експертної оцінки:W1 = 0,5 – вартістьсхеми; W2 = 0,2 – гнучкість схеми; W3 = 0,3 – простота

Назва елементу Кількість, шт.

1 Мікроконтролер ATTINY 2313 1 2 Мікрокнопка тактова 6х6х2.5мм 5 3 Конденсатор 100 нФ 1 4 Конфенсатор 470 пФ 1 5 Конденсатор 33 пФ 1 6 Конденсатор 3 нФ 1 7 Резистор 10 кОм 1 8 Резистор 660 Ом 3 9 Резистор 1 кОм 4 10 Резистор 200 Ом 1 11 Діод 1n4006 6 12 Стабілізатор напруги 7805 1 13 Транзистор КТ972а 4 14 Кмемники 2

Таблиця 2 – специфікація елементів схеми

Рисунок 5 – Змонтована схема

схеми. Для спрощення подачі матеріалу методика роз-рахунку не приводиться. Оптимальною схемою є схемана мікроконтролері.

Принципова електрична схема системи керуваннята силової частини (драйвера) приведена на рис. 4.

Структурно схема складається із двох частин: систе-ми керування КД та драйвера.

Основою системи керування є доступниймікроконт-ролер компанії Atmel ATtiny2313. Основою драйвера КД(силова частина) є кремнієві транзистори КТ972а (за-кордонний прототип BD876). Номінальний струм колек-тора транзистора складає H”2 А, що забезпечує необхід-ний запас по струму і дозволяє випробовувати більшістьсерійних уніполярних КД.

Рисунок 4 – Схема електрична принципова



Представлена на рис. 4 схема контролера дозволяєкерувати будь-якими уніполярними (5–6 проводів) КД врізних режимах швидкостей і кроку. Перевагою контро-лера є його автономність, не потрібно забезпечуватиінтерфейс із комп’ютером, дана схема працює повністюавтономно.

Специфікація елементів схеми приведено в табл. 2.На рис 5: 1 – кнопки для керування КД та режимами;

2 – мікроконтролер ATtiny2313; 3 – індикатори режимуроботи; 4 – драйвера, транзистори типу КТ972а; 5 –підключення живлення та обмоток КД.

Схема дозволяє реалізувати три режими керуванняКД: повнокроковий режим без перекриття фаз;повнок-роковий режим з перекриттям фаз; напівкроковий ре-жим. Про роботу кожного з них сигналізує відповіднийсвітловий індикатор 3 (рис. 5).

Кнопки для керування передбачають (зверху до низу,рис. 5, 1): обертання за годинниковою та проти годинни-кової стрілки; дев’ять фіксованих швидкостей; вибір од-ного із трьох режимів керування; мікрокроковий режим.

Всі характеристики КД отримані на експерименталь-ному макеті стенду, побудованого на основі змонтованоїсхеми. Загальний вигляд макету експериментального стен-ду для дослідження уніполярного КД показано на рис. 6.

Рисунок 6 – Макет експериментального стенду

Рисунок 7 – Осцилограма струму в обмотці при швидкості 45 об/хв

На рис. 6: 1 – імпульсний блок живлення для драйве-ру та системи керування КД; 2 – схема керування та драй-вер КД; 3 – уніполярний КД ПБМГ – 200; 4 – навантажу-вальний генератор постійного струму із постійними маг-нітами (низько швидкісний); 5 – навантажувальний рео-стат генератора постійного струму.

Швидкість обертання КД вимірювалась стробоскопі-чним методом і для спрощення на рис. 6 не показана. Вподальшому, планується забезпечити стенд цифровимдавачем швидкості обертання із індикатором.

На рис. 7 показано осцилограми струмів в обмотціКД при швидкості обертання КД 45 об/хв. Та повнокро-ковому режиму керування без перекриття фаз.

Піки струму 1 (рис. 7) відповідають сигналам керу-вання і подачі напруги на обмотку. Середнє значенняструму складає ≈ 0,163 А. Сплески струмів 2 на осцилог-рамі відповідають зворотнім струмам, що протікають вмомент коли тиристор закритий. Ці струми компенсу-ються зворотними вентилями VD1–VD4 (рис. 4).

При збільшенні швидкості обертання амплітудаімпульсів струму знижується, але збільшується їх часто-та (рис. 8.)

Осцилограма на рис. 8 отримана для повнокроково-го режиму керування без перекриття фаз.

19


Рисунок 8 – Осцилограма струму в обмотці КД пришвидкості 160 об/хв.

Рисунок 9 – Осцилограми струмів при повнокроковомурежимі із перекриттям фаз

Рисунок 10 – Механічна характеристика КД

На рис. 9 показано осцилограми струмів у фазі «А»та «В» при повнокроковому режимі із перекриттям фазна 0,5Т при швидкості 45 об/хв.

Однією із причин спотворення осцилограм струмівпри навантаженні є те, що джерелом живлення для досл-іджуваного КД є імпульсний блок живлення. При засто-суванні в якості джерела живлення акумуляторної бата-реї, генератора постійного струму чи напівпровіднико-

вого випрямляча із фільтром форма напруг та струмівстає більш «чистою».

За допомогою навантажувального генератора отрима-но механічні характеристики КД для двох режимів керуван-ня: повнокрокового без перекриття фаз та повнокроковогоіз перекриттям фаз. Результат показано на рис. 10.

На рис. 10: 1 – механічна характеристика при повнок-роковому режимі із перекриттям фаз; 2 – механічна ха-рактеристика при повнокроковому режимі із без пере-криття фаз.

Із результатів видно, що при комутації обмоток КД ізперекриттям імпульсів напруги, забезпечується більшавеличина механічного моменту ≈ 1,4 рази, що коре-люється із відповідними теоретичними відомостями.

ВИСНОВКИРозроблено експериментальний стенд для досліджен-

ня характеристик уніполярного КД на базі мікроконтро-лера. Перевагами стенду є його простота, надійність,невисока вартість та можливість розширення функціо-нальних можливостей при невисоких затратах. Розроб-лений стенд дозволяє випробовувати КД будь-якої по-тужності при різних режимах керування. Використаннястенду дозволяє модернізувати лабораторне обладнан-ня учбового закладу та підвищити якість підготовкифахівців напряму «Електромеханіка».

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Ситников А. В. Стенд для управления шаговым двига-

телем / Ситников А. В. Ажгиревич И. Л., Пущин А. В.// Инженерный вестник. – 2014. – 5. – С. 501 – 509.

2. Емельянов А. В.Шаговые двигатели: учеб. пособие/А. В. Емельянов, А. Н. Шилин // ВолгГТУ. – Волгог-рад, 2005. – 48 с.

3. Douglas W. Jones Control of Stepping Motors /W. H.Yeadonand A. W. Yeadon // A Tutorial. – McGraw-Hill,2001. – 256 р.

4. Осадчий В. В. Лабораторный стенд для исследова-ния алгоритмов микропроцесорных систем управ-ления шаговыми двигателями / Осадчий В. В., Наза-рова Е. С., тоболкин С. Ю. // Електромеханічні систе-ми та автоматизація. – 2014. – 1. – С. 159 – 161.

5. H. Yeadon and Alan W. Yeadon. Handbook of SmallElectric Motors William / McGraw-Hill, 2001. – 187 р.

6. Зайченко Ю. П. Дослідження операцій: підручник /Ю. П. Зайченко. – 7–ме вид., перероб. та доп. – Київ: Слово, 2006. – 816 с.

Стаття надійшла до редакції 29.10.2015



Коваленко М. А.1, Мацюк Д. С.21К.т.н., ассистент кафедры электромеханики, Национальный технический университет «Киевский политехни-

ческий институт», Украина2Магистр кафедры электромеханики, Национальный технический университет «Киевский политехнический

институт», УкраинаЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ СТЕНД ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УНИПОЛЯРНОГО ШАГОВОГО ДВИ-

ГАТЕЛЯ НА ОСНОВЕ МИКРОКОНТРОЛЛЕРАДля усовершенствования и обновления материально-технического базы, а также лабораторного оборудо-

вания кафедры электромеханики НТУУ «КПИ» разработан автономный стенд для исследования характери-стик униполярного шагового двигателя на базе микроконтроллера. Функциональные возможности стендапозволяют реализовывать три режима управления шаговым двигателем, девять фиксированных скоростей,возможность реверса. Разработаны методические рекомендации для проведения лабораторных работ сту-дентами. Получены временные диаграммы распределения тока и напряжения в обмотках, снята и построенамеханическая характеристика исследуемого двигателя.

Ключевые слова: униполярный шаговый двигатель, лабораторный стенд, микроконтроллер, режимы уп-равления.

KovalenkoM. A.1, Matsjyk D. S.21PhD in Technical Sciences, assistant, electromechanics department of National Technical University «Kyiv Polytechnic

Institute», Ukraine2Magister, electromechanics department of National Technical University «Kyiv Polytechnic Institute», UkraineEXPERIMENTAL TEST BENCH FOR STUDIES OF UNIPOLAR STEPPING MOTOR BASED ON

MICROCONTROLLERFor updating the material, technical base and laboratory equipment of the department of NTUU «KPI» the autonomous

test bench for unipolar stepping motor characteristics studies which based on microcontroller is designed. Functionalcapabilities of the bench allow to realize three control modes of stepping motor, nine fixed functional speeds and reverseability. The methodological recommendations for carrying students laboratory research are developed. The time-dependentdiagrams for current and voltage distribution in step motor windings are given and the speed-torque characteristic ofunipolar step motor is shown and obtained.

Keywords: unipolar step motor, test bench, microcontroller, control modes.

REFERENCES1. Sitnikov A. V., Azhgirevich I. L., Pushhin A. V. Stend dlj

aupravlenija shagovym dvigatelem, Inzhenernyjvestnik, 2014, No 5, рр. 501–509.

2. Emel’janov A. V., Shilin A. N. Shagovye dvigateli: ucheb.Рosobie. Emel’janov, VolgGTU, Volgograd, 2005, 48 s.

3. Douglas W., Yeadon A. W. Jones Control of SteppingMotors. A Tutorial, McGraw-Hill, 2001, 256 s.

4. Osadchij V. V., Nazarova E. S., Tobolkin S. Ju.Laboratornyj stend dlja issledovanija algoritmovmikroprocesornyh sistem upravlenij ashagovymidvigateljami. Elektromehanіchnі sistemi taavtomatizacіja. 2014, No 1.pp. 159–161.

5. H. Yeadon and Alan W. Yeadon. Handbook of SmallElectric Motors William. McGraw-Hill, 2001, 187 s.

6. Zajchenko Ju. P. Doslіdzhennja operacіj: pіdruchnik 7-me vid., pererob. Tadop, Kiїv :Slovo, 2006, 816 s.

21


УДК 539.3

Мастиновский Ю. В.Канд. техн. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет, Украина

МАГНИТОТЕРМОУПРУГОЕ НЕСТАЦИОНАРНОЕДЕФОРМИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙИсследуется распространение термоупругих волн в многослойной кусочно-однородной полосе, вызванных

комплексным действием нестационарных термомеханических нагрузок на внешних поверхностях конструкциии объемным термоударом, возбуждаемым электромагнитным полем. Водятся допущения, упрощающие свя-занную систему термоупругих уравнений. Задача решается в одномерной постановке числено с применениемметода характеристик. Предлагаемая методика позволяет проводить численные эксперименты с целью со-здания слоистых конструкций с заданными свойствами.

Ключевые слова: многослойные конструкции, магнитотермоупругое деформирование, метод характерис-тик.

ВВЕДЕНИЕИзвестно, что ток, возбуждаемый магнитным полем,

приводит к возникновению объемных сил, а темпера-турные градиенты, вызванные джоулевым нагревом,создают термические напряжения. Многослойные эле-менты конструкций (ЭК) широко используются в каче-стве магнитотермоизоляционных и демпфирующих по-крытий и экранов в различных объектах электротехникии электроэнергетики, например, в трансформаторномоборудовании [1], электродвигателях [2, 3] и др. В про-цессе эксплуатации многослойные ЭК могут испыты-вать комплексные действия нагрузок ударного типа каквнешних, термомеханических, так и внутренних, объем-ных сил, возбуждаемых электромагнитным полем. Еслив результате действия такого нагружения произойдет хотябы частичное расслоение ЭК, то это может значительноизменить динамические характеристики всей конструк-ции и даже привести к ее полному разрушению. Разра-ботка новых и модернизация старых многослойных ЭК,удовлетворяющих требованиям прочности и надежнос-ти в современных условиях эксплуатации, является важ-ной практической задачей.

Цель работы состоит в разработке математическоймодели и методике расчета нестационарного магнито-термоупругого деформирования многослойных ЭК дляиспользования в инженерной практике.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫВ работе [1] приводится обзор аналитико-эмпиричес-

ких методик расчета нагрева различных ЭК силовоготрансформаторного оборудования и электрических ре-акторов. Представлены методика расчетов с примене-нием системы конечно-элементного анализа ANSYS.Оценка теплового состояния и ресурса изоляции асинх-ронного двигателя выполнена в работе [2], где использу-ется термодинамическая модель электродвигателя дляисследования процесса нагрева малой длительности.Определение параметров двухмассовой тепловой схемыасинхронного двигателя по результатам экспериментов

выполнено в работе [3]. Обзор работ по нестационар-ной термоупругости приводится в статье [4], а нестацио-нарной магнитотермоупругости – в работах [5–7].

Задачи чаще всего рассматривают в одномерной по-становке для полубесконечных тел с использованиеминтегральных преобразований. Интегральные преобра-зования плохо применимы для исследований нестацио-нарных процессов многослойных ЭК, а полученныеаналитические решения часто настолько громоздки, чтобез числовых расчетов не представляется возможнымпровести оценку термоупругого состояния конструкции.

Обзор публикаций свидетельствует о необходимос-ти разработки новых моделей и методик расчетов мно-гослойных ЭК с заданными характеристиками.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматриваются кусочно-однородные конструкции,

содержащие электропроводящие слои. Представляетинтерес оценка относительного влияния объемных сил,вызванных вихревыми токами, на процесс упругого де-формирования ЭК. Предполагается, что скорость рас-пространения тепла конечна, проводящие элементы кон-струкции неферромагнитные, с изменением темпера-туры в рассматриваемых материалах упругие свойствасохраняются, внешние поверхности теплоизолированы.Задача магнитотермоупругости сформулирована длядвухслойной конструкции, представляющей собой дваизотропных скреплённых между собой слоя различнойтолщины и имеющие различные термомеханическиехарактеристики. К внешним поверхностям слоистой кон-струкции подводится тепловой поток и/или производит-ся механическое воздействие. Одновременно в проводя-щем слое производится объемный термоудар.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯИсходной системой уравнений магнитотермоупру-

гости являются уравнения Максвелла и обобщенныйзакон Ома для электромагнитного поля, уравнения Дюа-меля-Неймана для упругого поля и обобщенное урав-нение теплопроводности для температурного поля [5, 8–

Мастиновский Ю. В., 2015©



10]. Для одномерного случая ось x выбираем перпенди-кулярно границам слоев. Составляющие магнитного иэлектрического полей при ( )( )0,0,, txuU = заданы век-торами

( )( )txBB ,,0,0= , ( )( )0,,,0 txEE = .Вектор смещения

( )( )0,0,, txuU = .

Здесь t – время.Основные уравнения и соответствующие определя-

ющие соотношения приводятся ниже.1. Уравнение движения

Fxx

u=

∂σ∂

−∂

∂ρ 2

2, (1)

где BJF ⋅= – объёмная сила, которая определяется изсоотношения Лоренца, J – плотность электрическогоо

тока, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−σ=tuBEJ 0 , HB 0μ= , 0μ – магнитная по-

стоянная, 0σ – удельная электрическая проводимость;xσ=σ – механическое напряжение.

2. Обобщенное уравнение теплопроводности

txuT

tT

tTc

xT

∂∂∂

γ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂τ+

∂∂

ρ=∂

∂κ

2

02

2

002

2

, (2)

где κ – теплопроводность; ρ – плотность, 0c – удельнаятеплоемкость при постоянной деформации, T – темпе-ратура; 0T – начальная температура, ( )μ+λα=γ 23 , λ ,μ – упругие постоянные Ляме; α – температурный ко-о-эффициент линейного расширения, 0τ – коэффициентрелаксации.

3. Определяющее соотношение

( ) ( )002 TTTxu

−γ−∂∂

μ+λ=σ . (3)

Если магнитное поле постоянно ( 0HH = ), то магнит-ная индукция будет также постоянной величиной

000 BHB =μ= . Тогда объемная сила F, входящая в урав-нение (1), определяется равенством

tuBF

∂∂

σ−= 200 .

Введем безразмерные величины:

( ) ( )uxncux ,, 1= , ( ) ρμ+λ= 221c ,

( ) ( )0210 ,, τ=τ tnct , μσ=σ , ( ) 00 TTT −=θ ,

( )ncBm 21

200 ρσ= , κρ= 0cn .

Тогда система уравнений (1), (2) принимает вид (дляпростоты записи верхний знак « – » здесь и в дальней-шем опущен)

,1

,

2

2

2

22

2

2

2

2

2

txug

ttcx

tum

xa

tu

xu

∂∂∂

+∂θ∂

=∂

θ∂−

∂

θ∂

∂∂

+∂θ∂

=∂

∂−

∂

∂

(4)

где 2β= ba , μγ= 0Tb , ( ) μμ+λ=β 22 , ( )ng κγ= .Безразмерное напряжение определяется по формуле

θ−∂∂

β=σ bxu2 .

Неизвестные величины и параметры, соответствую-щие свойствам материала определенного слоя, в даль-нейшем при необходимости будут отмечены нижниминдексом. Если слой не является электропроводящим,то в уравнениях (4) полагаем 0=m .

К системе уравнений (4) следует присоединить сле-дующие условия:начальные

0=∂θ∂

=θ=∂∂

=tt

uu при 0=t , 0>x ;граничные механические

( )tfp0−=σ при 0=x ; 0=σ при 1=x , (5)

граничные тепловые

( )tqx

ϕ=∂θ∂

0 при 0=x ; 0=∂θ∂x при 1=x (6)

и условия сопряжения на границе раздела слоев, кото-рые включают равенства напряжений и смещений, тем-ператур и потоков тепла

21 uu = , 21 σ=σ ; 21 θ=θ , 21 xx ∂

θ∂=

∂θ∂

. (7)В условиях (5), (6) 0p – интенсивность нормальной

сжимающей силы, qq −=0 , q плотность теплового по-тока в направлении внешней нормали к поверхности

0=x ; ( )tf и ( )tϕ – законы изменений нагрузки.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯСистема гиперболических уравнений второго поряд-

ка (4) решается численно с использованием метода ха-рактеристик [11, 12]. Семейства характеристик системы(4) и соотношения на них определяются следующимиравенствами:

вдоль характеристик 1±=dtdx

выполняются соотноше-

ния

23


01 =±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ dxR

xud

tud ∓ ,

вдоль характеристик 2cdtdx

±= выполняются соотно-

шения

0222 =±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂θ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂θ∂ dxRc

xdc

td ∓ ,

где tum

xaR

∂∂

+∂θ∂

=1 , xug

tR

∂∂

+∂θ∂

=2 .

Для проведения расчетов в области слоев I и II стро-ится сетка, образованная семейством характеристик

1±=dtdx

(принимается 21,max ccc = ). Фактически

это необходимо, поскольку другие характеристическиелинии имеют более крутой наклон. Для вычислений не-известных во внутренних узлах сетки и на границе ис-пользуется стандартная процедура [11, 12]. Решение вточках контакта различных слоев строится следующимобразом [13]. Формально, точка, принадлежащая линиираздела слоев, рассматривается как бы состоящей из двухточек: одна из них принадлежит слою I, другая – слою II.Когда точка принадлежит слою I, исключается интегри-рование вдоль характеристик, проходящих вне слоя I. Сдругой стороны, эта точка принадлежит слою II, и с нейпоступают аналогично, как в предыдущем случае. По-лученные равенства дополняются условиями контакта.С подробностями численного интегрирования вдоль сет-ки характеристик можно ознакомиться в работах [11, 12].

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ИОБСУЖДЕНИЯ

Для проверки работы математической модели и вы-числительной схемы решена задача о действии теплово-го удара, приложенного к свободным поверхностям трех-слойной конструкции. Внешние слои I ( −≤≤− x2 ) иIII ( 2≤≤ x ) изготовлены из одного материала – ста-ли, а внутренний слой II ( <x ) из другого материала –

меди. Граничные условия задавались в виде ( )tH0θ=θ

при 2±=x . Здесь ( )tH – функция Хевисайда.Теплофизические и механические параметры при-

нимались такими, как в работе [14]. Значения 0=m ,5,0= . Результаты расчетов хорошо согласуются с дан-

ными, приведенными в работе [14], которые были полу-чены аналитически с использованием преобразованияЛапласа.

Рассматривался также случай действия тепловогоудара по двухслойной конструкции при 1=m . Слой I( 8,00 ≤≤ x ) изготовлен из стали, слой II ( 18,0 ≤≤ x ) –из полимерного материала. Механические и теплофизи-ческие характеристики материалов слоев приводятся в

книге [15]. Граничные условия (5), (6) задавались при( ) ( )tttf −= exp , ( ) 0=ϕ t . Полученные распределения

температур, перемещений и напряжения для различныхмоментов времени показали, что в областях, прилегаю-щих к границе раздела составляющих конструкции, в ре-зультате прохождения и отражения термоупругих волннапряжения испытывают скачок и становятся растяги-вающими.

ВЫВОДЫПредложенная модель и методика расчета нестацио-

нарного магнитотермоупругого деформирования ку-сочно-однородных конструкций позволяет проводитьчисленные эксперименты. Варьируя геометрические,теплофизические параметры составляющих конструкциии значения объемной силы, определяемой действием элек-тромагнитного поля, можно проводить анализ с цельюсоздания конструкции с заданными характеристиками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Иванков В. Ф. Электротепловые расчетные модели

элементов конструкции трансформаторного обору-дования / В. Ф. Иванков, А. В. Басова, Н. В. Шульга // Електротехніка і електроенергетика. – 2, 2014. –с. 41-53.

2. Коцур М. И. Оценка теплового состояния изоляцииасинхронного двигателя с фазным ротором с моди-фицированной системой импульсного регулирова-ния / М. И. Коцур // Електротехніка і електроенерге-тика. – 1, 2013. – с. 31-34.

3. Зюзев А. М. Определение параметров двухмассо-вой тепловой схемы асинхронного электродвигате-ля по результатам эксперимента/ А. М. Зюзев,В. П. Метельков // Електротехніка і електроенергети-ка. – 2, 2012. – с. 37-41.

4. Bala Kiran. A Review of Two-TemperatureThermoelasticity / Kiran Bala // International Journal ofModern Engineering Research (IJMER), Vol. 2, Issue 6.– 2012 – pp.4224-4227.

5. El-Bary A. A. Magneto-Thermo-Elastic StressesInduced by a Transient Magnetic Field in a ConductingSolid Circular Cylinder / A. A. El-Bary, M. Higuchi, R.Kawamura // International Journal of Solids andStructures, v. 44, e. 16, 2007. – pp. 5316-5335.

6. El-Bary A. A. Numerical Solution of Electro-magneto-thermo-mechanic Shock Problem / A. A. El-Bary //Commutational Methods in Science and Technology,Vol. 12 (2) – 2006 – pp.101-108.

7. Ezzat M. Generalized magneto-thermo-elasticity in aperfectly conducting medium / M. Ezzat, H. Youssef //International Journal of Solids and Structures, Vol. 42 –2005. – pp. 6319 -6334.

8. Партон В. З. Методы математической теории упру-гости / В. З. Партон, П. И. Перлин // М.: Наука. Главн.ред. физ.-матем. лит. – 1981. – 588 с.



9. Селезов И. Т. Нестационарные и нелинейные волныв электропроводящих средах / И. Т. Селезов, С. В.Корсунский // Киев: Наукова думка – 1991. – 200 с.

10. Moon F. C. Magnetically induced stress waves in aconducting solid – theory and experiment / F. C. Moon,S. Chattopadhyay // Transactions of the ASME, 41,Ser. E, 3 – 1974. – pp. 641-646.

11. Сагамонян А. Я. Волны напряжений в сплошныхсредах / А. Я. Сагамонян // М.: Изд-во МГУ – 1985 –416 с.

12. Chou P.C., Mortimer R. W. A Unified Approach One-Dimensional Elastic Waves by the Method ofCharacteristics / P. C. Chou, R. W. Mortimer // Journal

of Applied Mechanics, Vol. 34, No. 3 -1967. – pp. 745-750.

13. Данильченко Д. В. Нестационарные волны в состав-ной цилиндрической оболочке / Д. В. Данильченко,Ю. В. Мастиновский // Нові матеріали і технології вметалургії та машинобудуванні. – Запоріжжя: ЗНТУ.– 2004. – 1. – с. 105-107.

14. El-Bary A. A. Thermal Shock Problem for OneDimensional Generalized Thermoelastic LayeredComposite Material / A. A. El-Bary, H. V. Youssef //Mathematical and Computational Applications, Vol. 11,No.2, 2006/ – pp. 103-110.

15. Коваленко А. Д. Термоупругость / А. Д. Коваленко // Киев: Вища школа – 1975. – 216 с.

Статья поступила в редакцию 30.10.2015

Мастиновський Ю. В.Канд.техн. наук, доцент, Запорізький національний технічний університет, УкраїнаМАГНЕТОТЕРМОПРУЖНЕ НЕСТАЦІОНАРНЕ ДЕФОРМУВАННЯ БАГАТОШАРОВИХ

КОНСТРУКЦИЙДосліджується розповсюдження термопружних хвиль у багатошаровій кусково-однорідній смузі, спричине-

них комплексною дією нестаціонарних термомеханічних навантажень на зовнішніх поверхнях конструкції іоб’ємним термоударом, що збуджується електромагнітним полем. Вводяться припущення, що спрощуютьзв’язану систему термопружних рівнянь. Задача розв’язується у одновимірному поставленні чисельно з викори-станням методу характеристик. Запропонована методика дозволяє проводити чисельні експерименти з ме-тою створення шаруватих конструкцій з заданими властивостями.

Ключові слова: багатошарові конструкції, магнето термопружне деформування, метод характеристик.

Mastinovky Y. V.Cand.Sc.(Tech.), Associate Professor, Zaporozhye National Technical University, UkraineMAGNETO-THERMO-ELASTIC UNSTEADY DEFORMATION OF MULTILAYER STRUCTURESModern electrical machines and devices, power generation facilities operate under complex unsteady magneto-

thermo-elastic loads. Development of new insulating and damping coatings structures, shielding used in various electricalequipment requires new mathematical models and calculation methods for engineering practice. In this paper we considera two-layer structure consisting of two piecewise-homogeneous non-ferromagnetic materials, one or both of which areelectro-conductive. Volume forces action caused by the electromagnetic field and thermo-mechanical impact on thestructure boundary is simulated. The original system of equations to solve the problem under study includes Maxwellequations and the generalized Ohm’s law for the determination of the electromagnetic field, the Duhamel-Neumann law –for the elastic field and the generalized Fourier heat equation – for the temperature field. These equations form a closedsystem and are the fundamental equations of magneto-thermo-elasticity. It is assumed that the speed of heat propagationis finite, and the magnetic field is constant. Assumptions are introduced to simplify the coupled system of thermo-elasticequations. The problem is solved numerically in a one-dimensional formulation applying the method of characteristics.Coupling conditions and method of calculation of unknown quantities in the nodal points of the grid area at the interfacebetween layers are indicated. The proposed method of numerical and analytical solutions of problems under considerationallows, without making significant changes in the design scheme, to conduct numerical experiments. Setting up variousgeometric and thermo-physical parameters, it is possible to identify areas prone to damages under specified loads.

Key words: multilayer structures, magneto-thermo-elastic deformation, method of characteristics.

REFERENCES1. Ivankov V. F, Basova A. V., Shulga N. V. Electroteplovyye

raschennye modely eleventov konstruktsiitransformatornogo oborudovaniya. Elektrotekhnika ielektroenerhetyka. 2, 2014, pр. 41–53.

2. Kotsur M. I. Otsenka teplovogo sostoyaniya izolyatsiiasinkhronnogo dvigatelya s faznym rotorom smodifitsirovannoy sistemoy impulsnogo regulirovaniya.Elektrotekhnika i elektroenerhetyka. 1, 2013,рр. 31–34.

3. Zyuzev A. M., V. P. Metelrov Opredeleniye parametrovdvukhmassovoy teplovoy skhemy asinkhronnogoelektrodvigatelya po rezultatam eksperimenta.Elektrotekhnika i elektroenerhetyka. 2, 2012, р. 37–41.

4. Bala Kiran. A Review of Two-TemperatureThermoelasticity / Kiran Bala // International Journal ofModern Engineering Research (IJMER), Vol.2, Issue 6.2012, pp.4224–4227.

5. El-Bary A. A., Higuchi M, Kawamura R. Magneto-Thermo-Elastic Stresses Induced by a TransientMagnetic Field in a Conducting Solid Circular Cylinder.

25


International Journal of Solids and Structures, v. 44,e. 16, 2007, pp. 5316–5335.

6. El-Bary A. A. Numerical Solution of Electro-magneto-thermo-mechanic Shock Problem / A. A. El-Bary.Commutational Methods in Science and Technology,Vol.12 (2). 2006, pp.101–108.

7. Ezzat M. Generalized magneto-thermo-elasticity in aperfectly conducting medium. International Journalof Solids and Structures, Vol. 42, 2005, pp. 6319–6334.

8. Parton V .Z. Metody magnitnoy teoriyi uprugosty.Moscow. Nauka. Glavn. red. phys. mat. lit. 1981, 588 s

9. Selezov I T. Nestatsionarnsye i nelineyniye volny velektroprovodyaschikh sredakh. Kiev. Naukova dumka,1991, 200 s.

10. Moon F. C. Chattopadhyay S. Transactions of theASME, 41, Ser. E, 3, 1974, pp. 641

11. Sagamonyan A. Y. Volhy napryazheniy v sploshnykhsredakh. Moscow, Izd-vo MGU, 1985, 416 s.

12. Chou P. C.,. Mortimer R. W. A Unified Approach One-Dimensional Elastic Waves by the Method ofCharacteristics. Journal of Applied Mechanics, Vol. 34,No. 3, 1967, pp. 745–750.

13. Danilchenko D. V., Mastinovsky Y. V. Nestatsionarnyyevolny v sostavnoy tsilindricheskoy obolochke. Novimaterialy i technolohiyi v metallurhiyi tamashinobuduvanni. Zaporizhzhya: ZNTU. 2004, No 1,s. 105–107.

14. El-Bary A. A., Youssef H. V. Thermal Shock Problem forOne Dimensional Generalized Thermoelastic LayeredComposite Material. Mathematical and ComputationalApplications, Vol. 11, No. 2, 2006. pp. 103–110.

15. Kovalenko A. D. Termouprugost. Kiev: Vyscha shkola,1975, 216 s



UDC 621.314Ivankov V. F.1, Basova A. V.2, Shulga N. V.3

1PhD, chief of laboratory of PJSC «ZTR», Ukraine, E-mail: [email protected] engineer-designer of PJSC «ZTR», Ukraine3Leading engineer-designer of PJSC «ZTR», Ukraine

METHODS VERIFICATION FOR ELECTROTHERMAL CALCULATIONSOF ELECTRIC REACTORS WITHOUT STEEL

Based on the example of the reactor without steel, type ROM-510/26 with electromagnetic shields, verification ofanalytical and numeral finite-element methods is carried out by the calculation results comparison. For the purpose ofcorrected analytical calculation, horizontal and vertical shields of the reactor are represented by the system of short-circuited elements to consider their final dimensions. Calculation is performed as to their inductances, distribution ofcurrents and losses in the shields, magnetic-field and losses in winding, calculation of winding heating by means of the«overheating» empirical method. It is illustrated that analytical calculations correspond to the researches using numeralmethods of the electromagnetic and thermal CFD-analysis with sufficient accuracy. For the purpose of practical applicationin industrial designing of the equipment, the methods with approved and checked measurement results are recommended.

Key words: reactor, electromagnetic shields, electro-thermal calculations

INTRODUCTIONPower electrical reactors for AC and DC HV transmission

lines are distinguished by a great variety of design selectedwith consideration of their functional purpose, requiredcapacity and voltage class [1]. In particular, three-phaseand single-phase smoothing shunt and current-limitingironless reactors equipped with electromagnetic shields arewidely used. In case of three-phase reactor, shielding isperformed for each of the windings, so the main features ofelectromagnetic and thermal processes could be analyzedusing the single-phase reactor as an example, particularlythe reactor type ROM-510/26.

The reactor winding is subdivided by vertical coolingchannel into inner cooling channel (IC) and outer (OC)concenters designated in Fig. 1a as (1-1) and (1-2). Thereactor comprises the top (TS) and the bottom (BS) horizontal(2) and vertical (3) shields. Steel clamping plates (4) andcylindrical tank (5) are manufactured from structuralferromagnetic steel. Oil flowing is directed by windingcardboard cylinder (6). The winding end faces are equippedwith cardboard supporting (7-1) and pressing (7-2) rings.Transformer oil is employed for cooling purpose togetherwith external natural cooling system.

The simplified analytical calculation methods of a seriesof ironless (air-core) reactor parameters are widely known -inductance, magnetic field, currents distribution and lossesin the shields, representing them not as the limited-sizebodies, but in terms of boundaries of the design model [1].Thermal calculations of structural elements are notconsidered.

The evaluation relevance of complex refined analytical-empirical and numerical finite-element method (FEM) ofelectromagnetic and thermal calculations of the reactors isdetermined by necessity of development of competitiveequipment having ultimate electromagnetic and thermalloads not compromising their operational reliability.

The aim of the work is to verify the operational analyticalmethods more laborious numerical approaches in order to

establish the practical guidelines for their application withinindustrial designing of the equipment. This also set theverification challenge for both recognized analytical methodsand practical procedures of numerical model analysis, inparticular, during calculation of the losses and temperaturerises of the reactor structural elements.

BASIC EQUATIONS AND APPROACHESTO ELECTRO-THERMAL CALCULATIONSOF THE REACTOR

Calculation of electromagnetic processes in the ironlessreactors, as well as in other types of power transformerequipment based on the solution of Maxwell’s equationswith respect to the magnetic H , electric E fields, magneticflux density B and total current equals to the sum of theextraneous (given) currents cesJ and eddy currents σJ inthe conductive bodies (bias currents at power frequencyvoltage supply are neglected)

σ+=×∇ JJH ces , tBE ∂−∂=×∇ / , 0=⋅∇ B . (1)

Equations (1) are supplemented by material equationsHB μ= , EJ σ=σ , in which the field parameters linked

through the values of magnetic inductive capacitance μand electric conductivity σ , are considered for anisotropicmedia such as tensors. Electrical conductivity is nonlinearlydependent upon the temperature ( )θσ . The relationshipbetween induction and magnetic field strength forferromagnetic media is nonlinear, and it is actually hysteresisof nonlinearity.

Solutions of these equations are limited by analyticalmethods to rather simple cases of design models geometryand finite values of constructive parameters [1-3].

In particular, for analytical electromagnetic calculationof the reactor [3], the cylindrical model (Fig. 1b) is used, inwhich horizontal boundaries (the reactor tank bottom andcover) are perfect ferromagnetics ∞=μ . The outer cylinder

Ivankov V. F., Basova A. V., Shulga N. V., 2015©

27


a) b) c)

Figure 1 - Air-core reactor: a) design sketch; b) analytical model with system of short-circuited shield elements; c) numericalelectromagnetic model and magnetic field lines

(tank wall) is characterized by finite values μ and zeroconductivity σ . From (1), for electromagnetic field modelthe respective boundary value is generated Poisson’sequation with respect to the component value of magneticvector potential ),( zrAϕ , to be introduced into (1) accordingto definition ArotB = . Its solution is obtained in terms ofFourier-Bessel series [3]. Using the known definitions ofthe vector magnetic potential terms, the flux linkages jnψ( NjNn ,...,1,,...,1 == ), the self-inductions nnL andmutual inductances jnL of the element, radial rB and axial

zB components of the field density are calculated

∫ ϕπ

=ψnS

jn

jn rdrdzzrAS

),(2, ,

j

jnjn I

Lψ

= ,

zA

Br ∂

∂−= ϕ

, )(1ϕ∂

∂= rA

rrBz . (2)

At the moment the practical FEM-procedures ofnumerical simulation of equations (1) for the calculation ofthe magnetic field, inductance, losses in the conductivestructural elements of nonmagnetic and ferromagnetic steelsof the transformers and the reactors are developed andtested [4]. Since the inductance of the reactor is determinedvia the energy W of the magnetic field and the current Iin winding

( )∫ μ==

V vv

v dvB

BII

WL2

2222

, (3)

where V is three-dimensional volume of the reactor designmodel, including in the structural parts with nonlinearrelationship ( )Bμ .

In elementary volumes v of the shields FEM-models

are calculated as eddy-current losses jvp , averaged within

T period, and in the ferromagnetic clamping plates and in

the tank, hysteresis losses hvp , are added to them

dttjT

pT

vjv ∫σ=

0

2, )(11

, ( ) dtBpT

pT

vmhhv ∫=0

,,1

, (4)

where ( )vmh Bp , - specific volumetric losses determined bythe area of hysteresis loop, which depends upon crest valueof field density.

The results of loss calculation in the reactor windingsand structural elements are the foundations for calculationof their heating (temperature rise).

For the purpose of analysis of thermal processes intransformers and reactors with oil cooling as referred to themost complete formulation, Navier-Stokes equations ofmotion and continuity of the cooling liquid should beemployed [5]

( ) ( ) gPvv ρ+τ⋅∇+−∇=ρ⋅∇ ,

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅∇−∇+∇μ=τ Ivvv T ˆ

32

, ( ) 0=ρ⋅∇ v , (5)

to be added by energy conservation equation

( ) ( )θ∇⋅ρ−=θ∇λ−∇ vCQv , (6)

where θ , P and v - volumetric distribution of temperatures,powers and velocity vectors in cooling liquid (in transformer



oil), vQ - volumetric densities of heat sources; ρ , μ , Cand λ - density, dynamic viscosity, thermal capacitance

and oil thermal conductivity; g - vector of gravitational

acceleration vector, matrix I determines direction of unitvectors of selected coordinate system.

To study the problems of heat and mass transfer in oil-cooled transformer equipment the well-known methods ofComputational Fluid Dynamics (CFD) of numerical simulationof equation system (5), (6) are employed. Currently, thepractical experience as to CFD-modeling of transformers andreactors have been obtained [5]. The assumptions areadopted that actual designs of magnetic systems, windings,tank and external cooling system could be calculated reducedby means of axially symmetrical design models. Nonlinearrelationship between the parameters of oil and thetemperature given in [6] are considered. Nonlinearrelationship between the losses and the temperature is takeninto account approximately. The calculation results containthe fields of the temperatures and velocities of oil in theanalyzed model.

In the practice of industrial designing purposed fordetermination of winding temperature rises, the problems(5), (6) solution is replaced by empirical study. The so-called“overheating” calculation and empirical method are widelyused [7], which based on application of empirical factors ofheat transfer in averaged-surface coils of windings withsimplified consideration of oil temperature at the location ofcoils. Resulting temperature rise of the coil above oil is thesum of temperature rises above coil surface oil, temperaturegradient as to conductor strand insulation thickness andtotal insulation of the conductor. As a result, averagewinding temperatures and hot spot temperatures (HST) ofthe coils are determined.

Specified basic equations and methods are employed atcalculation of the reactor under consideration.

ANALYSIS OF ELECTROMAGNETICPARAMETERS BASED ON REACTOR TYPEROM-510/26

For the purpose of more precise analytical calculationof the reactor electromagnetic calculation, the cylindricalmodel [2] (Fig. 1b) is used, which has the shields with finitesizes represented by a system of short-circuited elementsconnected in parallel with common grounded units. Thewinding is subdivided into the elements with a uniformdensity of turns. Total number of equivalent circuit is N .Taking into account the material conductivity of the winding

conductors and the shields, the resistances of nnR elementsare assessed. Equivalent electric circuit of winding andshields parts is plotted. Voltage source 0U with specified

circular power supply frequency fπ=ω 2 is applied to thewinding. Using Kirchhoff law, the matrix system of equations

for voltage drop currents in the elements is formed

1-;0*;00 ==+=+ω iITUTUTIRILi , (7)

where jnLL = – matrix of self and mutual inductances

of the elements; riiIaiII += - complexes vector of

active ( a ) and reactive ( r ) current components of the

elements; rmiUаmUU += - complexes vector voltages

in Mm ,...,1= units equivalent circuit as referred to

grounded units; mnTT = - matr ix of elements

connection; *nmTT = - matrix transposed to T ;

00 nTT = - vector of elements connection with power

source; jnRR = - matrix of elements resistances (at

0=≠ jnRjn ).As a result of the equation (7) solution, the vectors of

active nаnа II = and reactive nrr II = currents in the

elements compose ),( 0TII аa = , ),( 0TII rr = and module

of input current 22ra III += , input impedance I/UZ 0=

of the reactor.Using appropriate software and methodical complex

(SMC) with reference designation RLI [8], the following iscalculated and determined: induction parameters, automaticgeneration of Kirchhoff equations system and its solution,distribution of the currents and losses in the shields;determination of the reactor input impedance and calculationof magnetic field induction components in the winding forreactive component of the current.

By means of SMC RST [8] ohmic resistance is alsoevaluated, and using known magnetic field the stray lossesin the winding conductors due to eddy currents aredetermined with calculation of the winding electrodynamicstrength.

Results of electrodynamic calculations of the reactor typeROM-510/26 are given in Fig. 2 and Table 1.

Electromagnetic numerical calculations of the reactor iscarried out using the methods of [4] in the harmonic setuptaking into account the currents inverse effect in theconductive shields. FEM-model of the reactor and distributionof the magnetic field lines is shown in Fig. 1c. Comparison ofcalculation results of the magnetic field induction componentsat the winding elements by means of analytical and numericalmethods was shown their complete match.

For the reactor under consideration the additional eddycurrent losses at the winding edges are approximately equalto ohmic losses, thus distribution of volumetric losses q in

29


the coils throughout of the height H of winding concentershas strongly uneven nature – Fig. 2a.

Along the width of horizontal shields, distribution ofcurrent density is essentially uniform. In the vertical shieldwith height h the density of current j from the inner to theouter shield surface is almost twice reduced – Fig. 2b. Suchunevenness is represented especially strongly in the middlepart, and virtually invisible on the edges of the shield.

To improve the accuracy of the analytical calculationthe vertical shield is represented by four layers, and thisallows to consider the field attenuation along shieldthickness and approaches the values of currents and lossesto FEM-calculation – Fig. 2b. By vertical shield height forRLI model, the densities of the layers I, II, III, IV and averagevalues RLI-avr are shown. Solid line is the result of FEM-calculation of averaged densities across the shield thickness.

Curves of current density j distribution across the width

b of the top shield are shown in Fig. 2c. At internal edge ofthe shield the surge of the current density is observed, whichcould not be determined by the simplified calculations [1].

Calculation results of the input resistance (impedance)and the losses in the reactor as well as measured values areshown in Table. 1. In Calculation column the losses in verticalshield for two of RLI models are shown: made of four layersand one layer.

The Table columns Measurements and FEM, the windinglosses are assigned on the basis of RLI, RST. As usual, bysubtraction of winding losses from the total measured lossesof the reactor, the measured losses in structural elementsare determined. As can be seen from the Table 1, thecalculated losses are close to the measured values. Inferromagnetic clamping plates and in the tank the losses arealmost negligible.

a) b) c)Figure 2 - Distributions: a) of volumetric losses in the coils by height of winding concenters; b) of current densities in vertical shield;

c) in top horizontal shield

STUDY OF THERMAL MODELSDuring analytical calculations based on known losses

in the winding coils and oil temperature in the tank usingempirical method of “overheating” [7], the winding averagetemperature rise and HST of the most heated coil aboveambient cooling temperature (ACMT) is performed. Tocalculate winding temperature rise, SMC TKL is employed,and SMC RCO is used to determine the parameters of coolingsystem and oil temperature in the tank [8]. Calculation resultsfor the reactor under consideration are shown in Table 2.

Axially symmetrical numerical model for calculation ofthe reactor thermal calculation according to method [5]corresponds to Fig. 1a. Heating elements are winding,shields, clamping ferromagnetic plates, and tank. Cardboardcylinder adjacent to the winding, supporting and pressingrings are taken into account. The geometry of the model islimited to the surface of the tank.

Winding concenters are represented by the coils withanisotropic factors of thermal conductivity both in axial andradial directions defined by conductor type. Within eachcoil the losses are assigned as uniform, along the concentersheight - according to Fig. 2a.

Losses in the shields are assigned as averaged valuesas to their thickness according to distribution in FEM-calculations (Fig. 2b, 2c). Losses in the clamping plates andthe tank are uniformly applied in their volume due to their smallsize. The factors of heat transfer to air and ambient airtemperature are assigned at the tank surface. External coolingsystem is represented by boundary conditions at oil inlet tothe tank bottom part according to bottom oil temperature andoil flow velocity at its inlet obtained by testing (or by RCOcalculations), which ensures measured temperature of top oil.



Distribution of heating in absolute temperatures and oilflow velocity field (m/s) in the reactor volume obtained bymeans of CFD-simulation (modeling) is shown in Fig. 3.

More details of temperatures distribution and the fieldsof oil flow velocity at the concenters’ upper part are shownin Fig. 4. Uneven heating of the coils as to radial size is due

Measurements

RLI, RST FEM

1 Input resistance, Ohm − reactive component − active components

1311 − −

1319,9 131,9 14,53

1318,5

-

2 Load losses, kW

2.1 Winding − basic − stray losses − total losses

3,737 −

4,534

3,737 0,797 4,534

3,737 ,797 4,534

2.2 Horizontal shields − 0.658 0.727 2.3 Vertical shield – 1st layer

− 2nd layer − 3rd layer − 4th layer

− sum of four layers − RLI model of one-layer shield

−

0,520 0,258 0,182 0,171 1,131 0,826

− − − −

1,154 −

2.4 Clamping plates − − 0,016 2.5 Tank − − 0,010 Total losses in structure 1,881 1,789 1,907 Total losses in reactor 6,415 6,324 6,442

Table 1 – Calculated and measured values of input resistance and losses

a) b)Figure 3 - a) temperature field; b) oil flow velocity field

to higher velocities oil flow in the inner vertical axial coolingchannel. Area of oil flow adjacent to outer surface of the coiltakes about 30 mm according to the picture of velocitydistribution (Fig. 4b).

31


To calculate the temperature rises tΔ (K) of the coils aboveACMT 20 ˚C. Oil temperature at the level of each coil isdetermined by averaging of oil temperatures along the perimeter,which is separated from the coil surface by half of the horizontalchannel height. Calculation results are shown in Fig. 5.

Uneven distribution of average temperature rises of coilsand their HST along the height of winding above ACMT isdetermined by uneven values of applied losses accordingto Fig. 2a, as well as by almost linear increase of oiltemperature throughout the tank height, Fig. 3a. Heating ofexternal concenter is less if compared with internal concenterdue to better oil cooling of external concenter uncovered bythe vertical cylinder.

Distribution of the loss volumetric densities andtemperature rises of the shields are presented in Fig. 6.

a) b)

Figure 4 - a) temperatures field at upper group of winding coils and in ambient oil; b) oil flow velocity field in vertical and horizontalchannels of upper part of winding

a) b)

Figure 5 - Distribution of temperature rises above ambient air of average temperatures (a) and hot spot temperatures (b) in windingcoils

In temperature rises of the vertical shield, the calculatedtemperature jumps are observed in lower and upper partsbeing «cut» in the design model, at the area of oil inlet andoutlet in the tank. Such matter is conditioned byrepresentation in the model of actual holes in the shields bymeans of calculated circular slits, which ensure oil inlet andoutlet in the tank. At the same time, the model ensuresassessment of maximum temperature rises maxtΔ = 29 K at

the shield medium part with required accuracy, at maxq = 12kW/m3.

Due to finite size of upper horizontal shield, the maximumlosses maxq = 87 kW/m3 are localized at its internal edge in



the region of maximum magnetic field of the winding. At thesame time, owing to perfect thermal conductivity ofaluminum, the temperature rises have almost uniform nature,

maxtΔ = 32 K .In the above formulation, the reactor numerical model

reactor has academic novelty in terms of jointelectromagnetic and thermal CFD-analysis. The well-knownworks represent simplified calculation of structural elementsheating using empirical averaged heat transfer factors(constants) from the surfaces of the elements to the coolingoil. In the model under study, heat transfer from the surfaceof finite sizes of horizontal and vertical shields is determined

by the numerical solution of heat and mass transfer equations(5), (6), taking into account the uneven distribution ofvolumetric heat sources vQ .

The test results and the calculation of temperature risesabove ACMT are given in Table 2. Rather sufficientagreement between the test results and CFD-calculationresults as referred to temperature rises of medium and bottomoil in the tank, and average winding temperature wereobtained.

The obtained temperature rises of the windings and theshields confirm the validity of selection of electromagneticloads, cooling system parameters and reliability of the reactoroperation, including those at possible long-term fault currents.

Structural part Testing CFD (TKL)

Oil − top 20,7 18,0

− medium 15,5 14,8

− bottom 10,3 10,3

Internal/external concenter − 19,9 / 20,0 (20,4 / 21,0)

Winding 19,7 20,0 (20,8)

HST: internal/external concenter − 28,6 / 27,2 (28,1 / 28,7)

Shield − upper − 31,7

− lower − 26,2

− vertical − 29,3

Table 2 – Temperature rises (К) above ACMT in the reactor design

a) b)

Figure 6 - Distribution of the loss volumetric densities and temperature rises above ambient temperatures: a) in vertical shield; b) inupper and lower horizontal shields

33


CONCLUSIONS1 The compliance degree of calculation and

measurements of the losses and temperature rises obtainedusing the example of the reactor ROM-510/26 is sufficientlyverify the analytical-empirical and the numerical methods ofcalculation of electromagnetic and thermal parameters ofironless reactor with the shields, and provision of therecommendations as to their practical application.

2 It should be considered that simplified representationusing analytical method for the vertical shield withoutseparation as to thickness could lead to assessment ofreduced losses in the shield by 10–15%, that is essential fortotal losses used to determine the necessity of externalcooling system utilization, and evaluation of its parameters.Numerical studies also demonstrate that in spite ofconsiderable concentration of the losses at the edges ofhorizontal shields, their heating is even enough owing tohigh thermal conductivity of the shield metal.

3 The numerical model of the reactor under considerationpossesses academic novelty as referred to electromagneticand thermal analysis of structural elements temperature riseshas heat transfer. CFD-model under study from the surfaceof horizontal and vertical shields finite sizes, clamping platesis determined by means of numerical solution of heat andmass transfer equations with consideration of unevendistribution of volumetric sources of heating, unlike theconventional simplified estimates using the empirical factorsof heat transfer.

4 In the cases of direct measurement of hot spottemperatures in windings, or structural parts, using forexample, up-to-date system of fiber-optic sensors, it isrecommended to carry out numerical simulation (modeling)for the purpose of calculation justification of the locationsand the values of maximum temperatures. Obtained valuescould also be used for the purpose of adjustment of theequipment monitoring systems within operation.

BIBLIOGRAPHY1. Бики М. А. Проектирование электрических реакто-

ров для высоковольтных линий электропередач напостоянном и переменном токе / М. А. Бики. – Днеп-ропетровск: «Монолит». – 2014. – 164 с.

2. Иванков В. Ф. Модели и методы расчета электро-

магнитного поля электрического реактора с прово-дящим экраном / В. Ф. Иванков, Н. В. Рапцун,А. К. Мовсесян, Г. И. Калайда, А. А. Кобылецкий //Генерирование, преобразование, потребление элек-троэнергии: Сб. науч. тр. / Ин–т пробл. Энергосбе-режения АН УССР; Редкол.: В. Е. Тонкаль (отв. ред) идр. – К.: Институт проблем энергосбережения АНУССР, 1989. – С. 86–92.

3. Иванков В. Ф. Исследование плоскомеридианныхполей рассеяния трансформаторов и реакторов / В.Ф. Иванков. - В кн.: Электроэнергетика и магнитнаягидродинамика. Киев: Наук. думка, 1974. – С. 121-128.

4. Ivankov V. F. Numerical simulation of losses and heatingin the constructional elements of transformers offerromagnetic steel / V. F. Ivankov, A. V. Basova, I. V. Khimjuk // Технічна електродинаміка. – 2014. – 3. – С. 19–27.

5. Круковский П. Г. Методические подходы к CFD-мо-делированию тепловых режимов силовых масляныхтрансформаторов / Круковский П. Г., Яцевский В.Ф., Конторович Л. Н., Иванков В. Ф., Юрченко Д. Д.// Промышленная теплотехника. – 2008. – Т. 30. – 6. – С. 57–66.

6. Киш Л. Нагрев и охлаждение трансформаторов. / Л.Киш. – М.: Энергия. Трансформаторы; Вып. 36. Пер.с венгерского. Под ред. Г. Е. Тарле. – 1980. – 208 с.

7. Воеводин И. Д. Методы расчета превышений тем-пературы обмоток силовых трансформаторов /И. Д. Воеводин, Ю. А. Михайловский, В. М. Черно-готский, А. Б. Швидлер, Г. Е. Тарле, И. Ш. Люблин //Трансформаторы: Перенапряж. и координация изо-ляции. Пер. докл. Междунар. конф. по больш. электр.системам СИГРЭ–84. – М.: Энергоатомиздат, 1986.– С. 190–198.

8. Іванков В. Ф. Розрахункова підсистема автоматизо-ваного проектування трансформаторів і реакторів /В. Ф. Іванков, Ю. Н. Шафір // Праці Ін–ту електроди-наміки НАН України. Збірник наукових праць. – К.:Ін–т електродинаміки НАН України. – 2008. – 18. –С. 123–131.


Іванков В. Ф.1, Басова А. В.2, Шульга Н. В.31Канд. техн. наук, начальник лабораторії ПАТ «Запоріжтрансформатор», Україна2Провідний інженер-конструктор ПАТ «Запоріжтрансформатор», Україна3Провідний інженер-конструктор ПАТ «Запоріжтрансформатор», УкраїнаВЕРИФІКАЦІЯ МЕТОДІВ ЕЛЕКТРОТЕПЛОВИХ РОЗРАХУНКІВ ЕЛЕКТРИЧНИХ РЕАКТОРІВ БЕЗ

СТАЛІНа прикладі реактора без сталі типу РОМ-510/26 з електромагнітними екранами порівнянням резуль-

татів розрахунків проведена верифікація аналітичних і чисельних скінчено-елементних методів. Для уточне-ного аналітичного розрахунку горизонтальні і вертикальний екрани реактора для врахування їх кінцевихрозмірів представлені системою короткозамкнених елементів. Виконується розрахунок їх індуктивностей,розподілу струмів і втрат в екранах, магнітного поля і втрат в обмотці, розрахунок нагріву обмотки емпірич-ним методом «перегрівів». Показано, що аналітичні розрахунки з достатньою точністю відповідають досл-



ідженням чисельними методами електромагнітного і теплового CFD-аналізу. Апробовані і перевірені резуль-татами вимірів методи рекомендовані для практичного застосування при промисловому проектуванні ус-таткування.

Ключові слова: реактори, електромагнітні екрани, електротеплові розрахунки

Иванков В. Ф.1, Басова А. В.2, Шульга Н. В.31Канд. техн. наук, начальник лаборатории ПАО «Запорожтрансформатор», Украина2Ведущий инженер-конструктор ПАО «Запорожтрансформатор», Украина3Ведущий инженер-конструктор ПАО «Запорожтрансформатор», УкраинаВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫХ РАСЧЕТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ

БЕЗ СТАЛИНа примере реактора без стали типа РОМ-510/26 с электромагнитными экранами сравнением результа-

тов расчетов проведена верификация аналитических и численных конечно-элементных методов. Для уточнен-ного аналитического расчета горизонтальные и вертикальный экраны реактора для учета их конечныхразмеров представлены системой короткозамкнутых элементов. Выполняется расчет их индуктивностей,распределения токов и потерь в экранах, магнитного поля и потерь в обмотке, расчет нагрева обмоткиэмпирическим методом «перегревов». Показано, что аналитические расчеты с достаточной точностьюсоответствуют исследованиям численными методами электромагнитного и теплового CFD-анализа. Апро-бированные и проверенные результатами измерений методы рекомендованы для практического примененияпри промышленном проектировании оборудования.

Ключевые слова: реакторы, электромагнитные экраны, электротепловые расчеты

REFERENCES1. Biki M. A. Proektirovanie elektricheskikh reaktorov dlia

vysokovoltnykh linii elektroperedach na postoiannomi peremennom toke. Dnepropetrovsk: «Monolit», 2014,164 s.

2. Ivankov V. F., Raptsun N. V., Movsesian A. K., KalaidaH. I., Kobyletskii A. A. Modeli i metody raschetaelektromahnitnoho polia elektricheskoho reaktora sprovodiashchim ekranom. Henerirovanie,preobrazovanie, potreblenie elektroenerhii: Sb. nauch.tr. In–t probl. Enerhosberezheniia AN USSR; Redkol.:V.E. Tonkal (otv. red) i dr. Kiev, Institut problemenerhosberezheniia AN USSR, 1989, S. 86–92.

3. Ivankov V. F. Issledovanie ploskomeridiannykh poleirasseianiia transformatorov i reaktorov.Elektroenerhetika n mahnitnaia hidrodinamika, Kiev,Nauk. dumka, 1974, S. 121–128.

4. Ivankov V. F., Basova A. V., Khimjuk I. V. Numericalsimulation of losses and heating in the constructionalelements of transformers of ferromagnetic steel.Tekhnichna elektrodinamika, 2014, No 3, S. 19–27.

5. Krukovskii P. H., Yatsevskii V. F., Kontorovich L. N., IvankovV. F., Yurchenko D. D. Metodicheskie podkhody k CFD-modelirovaniiu teplovykh rezhimov silovykh maslianykhtransformatorov / Krukovskii P. H., // Promyshlennaiateplotekhnika, 2008, T. 30, No 6, S. 57–66.

6. Kish L. Nahrev i okhlazhdenie transformatorov.Moscow, Enerhiia. Transformatory; Vyp. 36. Per. svenherskoho. Pod red. H.E. Tarle, 1980, 208 s.

7. Voevodin I. D., Mikhailovskii Yu. A., Chernohotskii V.M., Shvidler A. B., Tarle H. E., Liublin I.Sh. Metodyrascheta prevyshenii temperatury obmotok silovykhtrans-formatorov. Transformatory: Perenapriazh. ikoordinatsiia izoliatsii. Per. dokl. Mezhdunar. konf. pobolsh. elektr. sistemam SIHRE–84, Moscow,Enerhoatomizdat, 1986, S. 190–198.

8. Іvankov V. F. Shafir Yu. N. Rozrakhunkova pidsistemaavtomatizovanoho proektuvannia transformatoriv ireaktoriv. Pratsi Іn–tu elektrodinamiki NAN Ukraini.Zbirnik naukovikh prats, Kiev, Іn–t elektrodinamiki NANUkraini, 2008, No 18, S. 123–131.

35


УДК [621.3.011+621.3.013]::519.6

Токмаков И. В.Аспирант, Запорожский национальный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДНЫХПРОЦЕССОВ В АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЯХ НА ОСНОВЕ

ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЁВАСтатья посвящена разработке численного метода ускоренного расчета электромеханических переходных

процессов в асинхронных двигателях, что является актуальной задачей. Электромеханические переходныепроцессы могут быть весьма продолжительными, что приводит к значительному времени расчета и накопле-нию погрешности расчета при использовании современных программных средств. Цель данной работы – раз-работка более быстродействующего метода расчета переходных электромеханических процессов в асинхрон-ных двигателях, а также разработка удобной для практики схемной модели метода. Метод основан нааппроксимации решения уравнений состояния путем его разложения по ортогональным полиномам Чебышё-ва. Предложена схемная интерпретация разработанного метода, в которой частота вращения ротора рас-сматривается как некоторый ток. Данный метод позволяет заменить операции с мгновенными значениямитоков операциями с их изображениями, которые интерпретируются как постоянные токи в предложеннойсхеме замещения. В результате этого исходные интегро-дифференциальные уравнения состояния заменяют-ся алгебраическим уравнениями для изображений токов. Предложен способ вычисления изображения произве-дения токов, которые присутствуют в модели электрической машины. При расчете предложенным методомпереходного процесса в асинхронном двигателе процессорное время сокращается более чем в два с половинойраза по сравнению с расчетами известными методами. Предложенный метод удобен для расчета переходныхпроцессов в сложных цепях, содержащих не только асинхронные двигатели, но и другие электрические машины.

Ключевые слова: полиномы Чебышёва, переходные электромеханические процессы, схемная интерпрета-ция, асинхронные двигатели.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Во время пуска или резкого изменения режима асин-

хронных двигателей (АД) возникают электромеханичес-кие переходные процессы. При этом могут возникатьзначительные броски тока, которые могут повредить дви-гатель или повлиять на другие устройства. Это должноучитываться на стадии проектирования электрическихмашин. Поэтому изучение электромеханических пере-ходных процессов не потеряло актуальности.

Для моделирования переходных процессов в элект-рических цепях, в которые включены асинхронные ма-шины, в настоящее время используется ряд готовых про-граммных комплексов, предназначенных для анализаэлектрических процессов в электрических и электрон-ных схемах. Наиболее известными из них является EMTP[1], PSpice [2], Micro Cap [3], Simulink [4]. В указанныхпакетах автоматически по схеме составляется системадифференциальных уравнений состояния и выполняет-ся ее решение известными численными методами.

Электромеханические переходные процессы состо-ят из быстрых электромагнитных процессов и весьмамедленных механических процессов. При моделирова-нии шаг интегрирования должен выбираться исходя изсамых быстрых процессов. Электромеханические пере-ходные процессы могут быть весьма продолжительны-ми, что приводит к значительному времени расчета инакоплению погрешности при использовании современ-ных программных средств. Поэтому внедрение новыхметодов численного решения интегро-дифференциаль-ных уравнений, приводящих к сокращению времени и

повышению точности расчета, является актуальной за-дачей. В статье [5] Тиховодом С.М. предложен быстро-действующий метод расчета переходных электромагнит-ных процессов в трансформаторах, использующий по-линомиальную аппроксимацию решения, а также раз-работана удобная для практики схемная модель метода.Этот метод целесообразно распространить и на модели-рование процессов в электрических машинах.

Цель данной работы – использование и модифика-ция метода Тиховода С.М. для расчета переходных элек-тромеханических процессов в асинхронных машинах.

ИЗЛОЖЕНИЕ МАТЕРИАЛА В одноконтурную цепь переменного тока, содержа-

щую резистивный (R), индуктивный (L) и емкостный (C)элементы, включенные последовательно, в момент вре-мени t=t0 подключается источник ЭДС e(t) и в цепи про-исходит переходный процесс тока i(t). На основании вто-рого закона Кирхгофа можно записать:

)()()(10

0

tetudttiC

RidtdiL C

t

t=+++ ∫ . (1)

Ставится условие, чтобы уравнение, составленное позакону напряжений Кирхгофа, соблюдалось точно в за-данном ряде N узловых временных точек 110 N-,… t, tt

в некотором сегменте ][a,b для функции, которая апп-роксимирует зависимость тока от времени. В других точ-ках второй закон Кирхгофа соблюдается с некоторой по-

Токмаков И. В., 2015©



грешностью. Для аппроксимации решения интегро-диф-ференциального уравнения (1) предлагается его разло-

жение по ортогональным полиномам Чебышёва )(xTn ,которые обладают свойством равномерности погреш-ности при аппроксимации искомых функций этими по-линомами [5].

В результате интегро-дифференциальное уравнение(1) заменяется алгебраическим уравнением для изобра-жения тока C:

0iBRiBRL Δ−−−=++ 0C0UeCSVD )( , (2)

где ][ = T121 N-… c ccC – вектор значений коэффициен-

тов разложения тока по полиномам Чебышёва без коэф-фициента c0; В – величина, обратная емкости конденса-тора, e – вектор значений ЭДС источника в точках

, …, N-, 121 временного сегмента ;

[ ]Tuuu C0C0C0=C0U ; uC0 – значение напряжения наконденсаторе во временной точке t0, соответствующей

точке x0 на отрезке [–1, 1]; [ ]TN 121 −δδδ=Δ -вектор отклонений опорных точек от нулевой точки;i0 – значение тока при t = t0;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

=

−−−−−

−−−−

)()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

011102120111

012102220121011102120111

xTxTxTxTxTxT

xTxTxTxTxTxTxTxTxTxTxTxT

NNNNN

NNNN

V ;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′

′′′′

=

−− )()(1

)()(1)()(1

112

222112

NNN

NN

xTxT

xTxTxTxT

D .

Компоненты матрицы S вычисляются по следующимформулам:

[ ] ;)()()(41

010221,⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ δ−−== mmm xTxTxTS

)1(2)()(

)1(2)()( 011011

,⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

+−

= −−++ kmkkmkkm k

xTxTk

xTxTS

;)( 0⎭⎬⎫

δ−⎦

⎤mk xT

)2(2)()(

2)()( 0220

1,⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

−= −−

−NmNNmN

Nm NxTxT

NxTxTS

,)( 01⎭⎬⎫

δ− − mN xT

. , …, N-, m = 121В результате решения уравнения (2) определяется

вектор C коэффициентов полиномиальной аппроксима-

ции функции тока. Тогда при известном начальном зна-чении тока i0 можно определить значения тока во всехпроизвольных точках временного сегмента ][a,b :

))()(())()(()( 022201110 tTtTctTtTciti +−+−+≈ .

))()(( 0111 tTtTc NNN −−− −+ (3)

В статье [5] предложена и схемная интерпретацияметода, а также доказано выполнение законов Кирхгофадля изображений C. Это означает, что исходную цепь, вкоторой происходит переходный процесс, для расчетаможно заменить цепью постоянного тока. Показановысокое быстродействие предложенного метода. Учи-тывая большую продолжительность электромеханичес-ких переходных процессов, применим этот метод для ихмоделирования.

В [6] показано, что моделирование трехфазной элек-трической машины может быть заменено моделирова-нием двухфазной электрической машины. Наиболее про-сто уравнения двухфазной электрической машины за-писываются в системе координат dq , которая вращаетсяс частотой вращения ротора мΩ. В этом случае отсутству-ют коэффициенты, изменяющиеся в зависимости от углаповорота ротора. Система уравнений имеет вид [6–7]:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

++++Ω−Ω−=

++=

Ω+Ω++++=

++=

.)(0

;

;)(0

;

dtdiLMiR

dtdiLPiLMPi

dtdiMiR

dtdiLu

MPiPiLdt

diLMiRdt

diM

dtdiMiR

dtdiLu

bssbrr

brrarras

brbss

bssb

bsbrrar

rarras

arass

assa

(4)

К системе (4) следует присоединить уравнение дина-мики ротора:

[ ]brasarbsтормторм iiiimPMMRdtd

PJ

−=+Ω+Ω2

, (5)

где , i, i, ii brarbsas – токи в обмотках статора и ротора

фазы «a» и «b»; мΩ – частота вращения ротора; М – вза-имная индуктивность обмоток; Ls , Lr – индуктивностирассеяния обмоток статора и ротора; Rs, Rr – активныесопротивления обмоток статора и ротора; Mторм – вне-шний момент, приложенный к валу ЭМ; Rторм – тормоз-ное сопротивление ротора; P – число пар полюсов; m –число фаз обмотки ротора; J – приведенный моментинерции вращающихся частей машины и связанных сними тел.

Если исследования электромеханических переходныхпроцессов проводят в системах моделирования элект-рических цепей, например, в PSpice [7] или Simulink, тоэтом случае системе уравнений (4–5) целесообразно

37


поставить в соответствие схему замещения, которая име-ет вид, представленный на рис. 1.

Система уравнений (4–5) является нелинейной сис-темой, так как в нее входят произведения независимыхпеременных. К сожалению, изображение произведениядвух функций не равно произведению изображений этихфункций. Однако это затруднение можно преодолетьследующим образом. Пусть в уравнении присутствуетэлемент, состоящий из произведения некоторого посто-янного коэффициента k и значений двух токов i1(t) и i2(t):

)()( 21 titik ⋅ . Тогда в уравнении для изображений это про-изведение можно заменить следующей комбинацией:

2/2/2/ 2011221 ikkk IСIСI −−⊗+⊗ ,

2/2 102ikI− (6)

где i10 и i20 – значения токов в нулевой точке текущеговременного сегмента; C1, C2 – изображения токов; I1 и I2– векторы значений токов во всех точках текущего вре-менного сегмента; знак ⊗ означает поэлементное про-изведение вектора на каждый столбец матрицы.

Поскольку значения I1 и I2 на текущем временномсегменте изначально неизвестны, то их следует брать из

предыдущего сегмента, а затем итерационным путемвычислять эти значения уже на текущем сегменте.

Поскольку значения частоты вращения мΩ изменяют-ся значительно медленнее, чем значения токов, то про-изведение 1ik Ω в уравнении для изображений можнозаменить следующей комбинацией:

101 ikk ΩСΩ −⊗ , (7)

где мΩ – вектор значений частоты вращения во всех точ-ках текущего временного сегмента, C1– изображениетока i1(t);

Представленная уравнениями (4–5) математическаямодель асинхронной электрической машины являетсянаиболее компактной. Однако, искусственный прием, всоответствии с которым реально вращающийся роторрассматривается как неподвижный относительно коор-динатной системы ротора, приводит к отличию некото-рых результатов моделирования от реальных показате-лей электрической машины. В частности, частота токовв обмотках ротора в данной модели не изменяется приизменении частоты вращения самого ротора и остаетсяравной частоте напряжения питания.

Учитывая сказанное, изобразим на рис. 2 схему за-мещения двухфазного АД для изображений.

Система уравнений, составленная по законам Кирх-гофа для схемы, изображенной на рис. 2, имеет вид (8):

Рисунок 1 – Схема замещения двухфазного АД



Рисунок 2 – Cхема замещения двухфазного АД для изображений токов и частоты вращения

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−++−−Ω−=

=−−+++

+++−==+⊗−⊗+−++

−=++++−−−=

=+⊗+⊗++++−=+++

Ω

,

)(

;)(()())((

;))((;)((

)())((;))((

00000

000

0

000

0

тормbsarearbsebraseasbreторм

bsarearbsebraseasbreторм

arrasbrr

bsasarrbrrr

bssBbrbsss

brrbsarr

asbsbrrarrr

assAarasss

MiiKiiKiiKiiKR

iKiKiKiKRPJ

iPLMMPiiRMMLMRLM

iRMRLMPiLMMPiiR

MMPPLMRLMiRMRLM

VCVCVCVCCVD

ΩΩDCVCΩVCΩCVD

eDCCVDΩΩ

DCVCΩVCΩCVDeDCCVD

, (8)

где 4mPMKe = .

Система линейных алгебраических уравнений (8)имеет единственное решение – векторы

ΩCCCCC ,,,, brarbsas , содержащие значения коэффици-ентов разложения функций токов и частоты вращенияпо полиномам Чебышёва для всех ветвей схемы рис. 2.Зная для любой ветви эти коэффициенты, значения то-ков и частоты вращения в начальной точке t0, мы можемсогласно (3) получить значения токов и частоты враще-ния во всех узловых точках в заданном интервале време-ни ][a,b .

Для проверки адекватности предложенного методасоставлена компьютерная программаMotor_as_ab_VDS_C в системе Matlab.

Алгоритм вычислений, на основании которого со-ставлена программа, заключается в выполнении следу-ющей последовательности действий:

1. Выполняется ввод исходных данных, задается вре-менной сегмент ][a,b , длиной τ , в котором исследует-ся переходный процесс, количество узлов N на этом сег-менте (4<N<10), количество сегментов Nu на всем ис-следуемом временном интервале.

39


2. Согласно методике, изложенной в [5], задаютсяположения опорных точек xk на отрезке 1,1][− . Затемвычисляются временные границы сегмента :

b = a + τ )/ + xa = ; 21( 0τ− и вычисляются матри-цы V, D, S, Δ.

3. Вычисляются значения вектора ЭДС во всех точ-ках сегмента ][a,b .

4. Составляется матрица Z системы уравнений (8).Матрица Z кроме постоянных коэффициентов содержитзначения токов и частоты вращения в узловых точках те-кущего временного сегмента. Эти значения, как началь-ные, берутся из предыдущего временного сегмента. За-тем их расчет выполняется в итерационном цикле.

5. Выполняется итерационный цикл, в котором прикаждом изменении параметра цикла выполняется сле-дующее:

0 2 4 6 8 10 12-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

t, с

ias, A

Рисунок 3 – Расчетная осциллограмма: ток ias(t) фазы статора «А»

– вычисляется вектор правых частей F системы (8);– решается система алгебраических уравнений и оп-

ределяется общий вектор полиномиальных коэффици-ентов C и подвекторы ΩCCCCC ,,,, brarbsas ;

– согласно (3) вычисляются значения токов и частотывращения в узловых точках текущего временного сег-мента;

– с учетом полученных значений токов ветвей и час-тоты вращения корректируется матрица Z и вектор пра-вых частей F системы (8);

– итерационный цикл заканчивается, если значениятоков смежных итерационных циклов не превышают за-данной погрешности.

6. После выхода из итерационного цикла выполня-ется следующее:

Рисунок 4 – Зависимость частоты вращения ротора от времени

0 2 4 6 8 10 12-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

t, с

w, рад/с



– вычисляются конечные значения токов и частотывращения данного сегмента, которые являются началь-ными значениями для следующего сегмента;

– текущему времени процесса добавляется значение τ , выполняется переход на п. 5 и следующий временнойсегмент.

В качестве примера выполнено моделирование пус-ка массивной шаровой мельницы, приводимой асинх-ронным двигателем с числом пар полюсов P = 4. На рис.3 и рис. 4 представлены расчетные осциллограммы токаias(t) и частоты вращения, полученные в результате рас-чета по разработанной программе Motor_as_ab_VDS_C,с которой можно познакомиться на сайте [8]. Там жедана инструкция по пользованию этой программой.

Для сравнительной оценки разработанного метода всистеме Matlab разработан ряд программ решения рас-смотренной задачи различными методами.

Сравнение времени расчета задачи в разных систе-мах моделирования некорректно, так как Matlab являет-ся весьма медленным интерпретатором. Так как в этойстатье сравниваются не компьютерные программы, аметоды расчета, то для данной задачи на основе уравне-ний (4–5) составлена программа, в которой вычисленияпроводились методом Гира. Результаты расчета при оди-наковой заданной погрешности по программеMotor_as_ab_VDS_C не имеют видимых различий отрезультатов, полученных расчетом с использованиемчисленного метода Гира, то есть различие составляетдесятые доли процента. С помощью операторов tic/tocоценивалось процессорное время расчета. Сравнениепроцессорного времени расчета модельной задачи пред-ложенным методом и методами Гира показало следую-щее. Предложенный метод показал сокращение процес-сорного времени более чем на 250% по сравнению сметодом Гира.

ВЫВОДЫИспользованный метод расчета переходных электро-

механических процессов позволяет заменить операции

с мгновенными значениями токов операциями с посто-янными токами в предложенной схеме замещения, врезультате чего интегро-дифференциальные уравнениясостояния заменяются алгебраическим уравнениям. Прирасчете пуска асинхронного двигателя предложеннымметодом процессорное время расчета существенно со-кращается по сравнению с известными методами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dommel Hermann W. EMTP theory book / Hermann W.Dommel. – British Columbia.: Microtran Power SystemAnalysis Corporation Vancouver, 1996. – 631 p.

2. Кеоун Д. OrCAD Pspice. Анализ электрических це-пей / Дж. Кеоун. – сПб,: Питер. – 2008. – 640 с.

3. Разевиг В. Д. Система схемотехнического модели-рования Micro Cap 6 / В. Д. Разевиг. – М.: Горячаялиния-Телеком, 2001. – 344 с.

4. Черных И. В. Simulink среда создания инженерныхприложений / И. В Черных. – М. : ДИАЛОГ-МИФИ.– 2003. – 496 с.

5. Тиховод С. М. Расчет переходных процессов в транс-форматорах на основе магнитоэлектрических схемзамещения с использованием полиномов Чебышё-ва / С. М. Тиховод // Електротехніка та електроенер-гетика. – 2015. – 2. – С. 5-11.

6. Копылов И. П. Математическое моделирование элек-трических машин / И. П. Копылов. – М. : ВШ. – 2001.– 327 с.

7. Компьютерные модели электромеханических сис-тем. . – [Электронный ресурс] . – [режим доступа]:http://ecio.mpei.ac.ru/SBook/Contents.htm

8. Помощь студентам-электрикам. Научные разработ-ки, программы. Программы для расчета электро-механических переходных процессов в асинхронномдвигателе.– [Электронный ресурс] . – режим досту-па: http://www.electricity.zp.ua/


Tokmakov I. V.Аspirant, Zaporozhye national technical universityMODELING OF ELECTROMECHANICAL TRANSIENTS IN ASYNCHRONOUS MOTORS BASED ON

THE USE OF TCHEBYSHEV’S POLYNOMIALSThe article is dedicated to development of numerical method of electromechanical transient processes calculation in

asynchronous motors. Electromechanical transient processes might be quite continuous that causes the calculation timeincrease and accumulation of errors due to use of modern software solutions. The aim of this work is to design moreaccelerated method of calculation of electromechanical transient processes in asynchronous motors and to create theconvenient and practical model scheme of method. The method is based on approximation of state equations solution withthe help of expansion of the solution with orthogonal Chebyshev’s polynomials. The scheme interpretation of this methodis presented; it considers the rotor rotation frequency as some current. The given method allows to substitute operationswith momentary values of currents by operations with currents images, which are interpreted as constant currents atequivalent circuit. As the result the initial integro-differential equations of state are substituted by the algebraic equationsof current images. Also there is method of calculation of production image of the currents which are present at electricalmachine. CPU time is decreased more than twice compared to common methods due to calculation of transient processin asynchronous motor according to the given method. Considered method is convenient for calculations of transientprocesses in complex circuits that include not only asynchronous motors but other electrical machines.

41


Кey words: chebyshev’s polinomial, transient electromechanical processes, scheme interpretation, asynchronousmotors.

Токмаков І. В.Аспірант, Запорізький національний технічний університетМОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В АСИНХРОННИХ ДВИГУ-

НАХ НА ОСНОВІ ВИКОРИСТАННЯ ПОЛІНОМІВ ЧЕБЫШОВАСтаття присвячена розробці числового методу прискореного розрахунку електромеханічних перехідних

процесів в асинхронних двигунах, що є актуальною задачею. Електромеханічні перехідні процеси можуть бутидоволі довгими, що призводить до значного часу розрахунків та накопиченню помилки розрахунку при викори-станні сучасних програмних засобів. Мета даної роботи – розробка більш швидкодіючого методу розрахунківперехідних електромеханічних процесів у асинхронних двигунах., а також розробка зручної для практики схем-ної моделі методу. Метод засновано на апроксимації вирішення рівнянь стану шляхом розкладу його за орто-гональними поліномами Чебишова. Запропонована схемна інтерпретація розробленого методу, у якій частотаобертів ротора розглядається як деякий струм. Цей метод дозволяє замінити операції з миттєвими величи-нами струмів на операції з їх зображеннями, які інтерпретуються як постійні струми в запропонованій схемізаміщення. Як результат, вихідні інтегрально-діференційні рівняння стану заміщуються алгебраїчними рівнян-нями для зображень струмів. Запропоновано спосіб розрахунку зображення добутку струмів, присутніх вмоделі електричної машини. При розрахунку перехідного процесу у асинхронному двигуні запропонованим ме-тодом, процесорний час скорочується більше ніж в два с половиною рази у порівнянні з розрахунками звичайни-ми методами. Запропонований метод зручний для розрахунку перехідних процесів у складних колах, що включа-ють до себе не тільки асинхронні двигуни, але й інші електричні машини.

Ключові слова: поліноми Чебишова, перехідні електромеханічні процеси, схемна інтерпретація, асинхроннідвигуни.

REFERENCES1. Dommel Hermann W. EMTP theory book. Hermann W.

Dommel, British Columbia.: Microtran Power SystemAnalysis Corporation Vancouver, 1996, 631 p.

2. Keoun D. OrCAD Pspice. Analiz elektricheskikh tsepey.Dzh. Keoun, sPb, Piter, 2008, 640 s.

3. Razevig V. D. Sistema skhemotekhnicheskogomodelirovaniya Micro Cap 6. V. D. Razevig. M,Goryachaya liniya-Telekom, 2001, 344 s.

4. Chernykh I. V. Simulink sreda sozdaniya inzhenernykhprilozheniy. I. V Chernykh, M, DIALOG-MIFI, 2003, 496 s.

5. Tikhovod S.M. Raschet perekhodnykh protsessov vtransformatorakh na osnove magni-toelektricheskikh

skhem zameshcheniya s ispolzovaniyem polinomovChebysheva. S.M. Tikhovod. Elektrotekhnіka taelektroyenergetika, 2015, 2, S. 11–24.

6. Kopylov I.P. Matematicheskoye modelirovaniyeelektricheskikh mashin. I. P. Kopy-lov, M, VSh, 2001,327 s.

7. Kompyuternyye modeli elektromekhanicheskikh sistem.http://ecio.mpei.ac.ru/SBook/Contents.htm

8. Pomoshch studentam-elektr ikam. Nauchnyyerazrabotki. programmy. Programmy dlya raschetaelektromekhanicheskikh perekhodnykh protsessov vasinkhronnom dvigatele. rezhim dostupa: http://www.electricity.zp.ua/



УДК 615.47:621.791

Cидорец В. Н.1, Дубко А. Г.2

1Докт. техн. наук, профессор, ИЭС им. Е.О. Патона, НАН Украины2 Канд. техн. наук, ИЭС им. Е.О. Патона, НАН Украины

ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА ВЫСОКОЙЧАСТОТЫ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЭЛЕКТРОДАХ

ЭЛЕКТРОХИРУРГИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВВ среде математического пакета Matlab, с помощью метода конечных разностей, сделан анализ распреде-

ления напряженности электрического поля и плотности высокочастотного тока в электродах электрохи-рургических инструментов. Решена двухмерная эллиптическая задача, с граничными условиями первого ивторого рода, которая моделирует толщину скин-эффекта в проводниках с осесимметричным поперечнымсечением. Влиять на ширину зоны коагуляции биологической ткани, тем самим снизить перегрев живыхбиологических тканей и их некроз, возможно с помощью изменения частоты тока, формы и материалаэлектродов. Разработанная математическая модель может применяться для проводников с разной электро-проводностью в широком частотном диапазоне. Эта модель показывает, что глубина распространения плот-ности тока в электроды является одной из основных составных частей при разработке новых эффективныхметодов хирургического лечения. Увеличить площадь, которая проводит ток возможно за счет увеличенияобщей длины внешнего периметра электрода изменением формы его поперечного сечения благодаря удалениюотдельных участков электрода.

Ключевые слова: высокочастотный ток, электрохирургические инструменты, электроды, скин-эффект,Matlab, метод конечных разностей.

ВВЕДЕНИЕВажным и востребованным в медицинской практике

является решение прикладных задач связанных с исполь-зованием токов высокой частоты в электрохирургии прикоагуляции [1–4] и сварке [5–7] живых биологическихтканей.

Прохождение высокочастотного тока через проводя-щую среду вызывает неравномерное распределениеплотности тока в поперечном сечении этой среды, этоявление называется скин-эффект [8, 9], его необходимоучитывать при разработке новых эффективных методовлечения пациентов. Неравномерное распределение плот-ности тока в электродах электрохирургических инстру-ментов влияет на градиент температур биологическихтканей, которые контактируют с поверхностями элект-родов. Это снижает эффективность электрохирургичес-кого воздействия.

В работах [10, 11] моделируется прохождение токапри электрохирургических вмешательствах, но не учи-тывается действие скин-эффекта, что снижает практи-ческую ценность полученных результатов.

Во многих областях хирургии для снижения излиш-ней механической травматизации мягких биологическихтканей при электрохирургических вмешательствах при-меняются инструменты с заокругленными электродамив форме эллиптических цилиндров и полуцилиндров.Примерами таких вмешательств могут служить: отори-ноларингологические операции; извлечение «вылущи-вание» опухолей из массива здоровых тканей; опера-ции на легких, печени, селезенке и др. органах). Формапоперечного сечения электродов, в основном, в каждом кон-кретном случае, выбирается экспериментальным путем.

Проанализировать электромагнитные процессы вэлектродах возможно с помощью уравнений математи-ческой физики, представляющих собой дифференциаль-ные уравнения в частных производных. Для решениязадач в случае нескольких измерений используются чис-ленные итерационные методы, позволяющие дискрети-зировать т. е. представить производные в виде прибли-женных выражений (конечных разностей или конечныхэлементов), что позволяет преобразовать дифференци-альные уравнения или их системы в системы алгебраи-ческих уравнений.

Численные методы решения практических задач под-робно изложены в работах [12, 13]. Эти методы исполь-зованы нами для исследования стационарного двухмер-ного распределения плотности переменного тока в про-водниках с осесимметричным поперечным сечением.

Данная работа носит методологический характер,потому что является логическим продолжением работавторов по моделированию стационарного распределе-ния плотности тока в электродах электрохирургическихинструментов с разными поперечными сечениями: круг-лом – решена одномерная задача [14]; прямоугольном –решена двухмерная задача [15].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИЦЕЛЬ РАБОТЫ

Использование математических методов моделиро-вания при проектировании новых электрохирургичес-ких методов и инструмента, которые снижают перегревживых биологических тканей и их некроз, представляет,как научную новизну,так и практический интерес и яв-ляется актуальной задачей.

Cидорец В. Н., Дубко А. Г., 2015©

43


Основная цель проведения исследований – разрабо-тать методики анализа и проанализировать распределе-ние плотности тока в электродах электрохирургическихинструментов с осесимметричным поперечным сече-нием с учетом скин-эффекта.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫИССЛЕДОВАНИЯ

Эксперимент реализован для частоты переменноготока 440 кГц. Ток проходит через медный проводник( См/м 1057 6⋅=σ ) с поперечным сечением эллиптичес-кой формы, которая задается уравнением

12

2

2

2=+

by

ах

, (1)

где a – большая полуось (8 мм), b – малая полуосьсь(4 мм).

Моделирование осуществлялось в среде математи-ческого пакета Matlab с помощью метода конечных раз-ностей, который предполагает дискретизацию дифферен-циальных уравнений на так называемой прямоугольнойкоординатной сетке, т. е. на сетке, элементарные ячейкикоторой представляют собой прямоугольники для двухизмерений. Выбор метода конечных разностей обуслов-лен его преимуществами по сравнению с методом ко-нечных элементов. Построение разностной схемы дляэллиптических задач выполняется быстрее.

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙМОДЕЛИ

Переменное электромагнитное поле, для двухмерно-го случая, описывается уравнением [15]

( ) ( ) 0y,y

)y,(х

)y,(1 22

2

2

2=εω−ωσ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⋅

μ− хEjхEхE

,(2)

где х , y – координаты; ),( yхE – напряженность элек-

трического поля; μ – магнитная проницаемость прово-дящей среды; j – мнимая единица; ω – угловая часто-о-та; σ – удельная электропроводность; ε – диэлектри-ческая проницаемость проводящей среды.

Для изотропной среды в декартовой системе коор-динат рассмотрим двухмерную стационарную задачураспределения плотности тока по поперечному сечениюосесимметричного медного электрода. Используя сим-метрию поперечного сечения, будем искать изменениезначения функции )y,(хEE = только в I четверти. Гра-ничное условие первого рода (Дирихле) на границе кон-тура электрода и граничные условия второго рода (Ней-мана) на границах области minх та области miny показа-ны на рис. 1.

Граничное условие первого рода (Дирихле):

( ) ( ) σ== /y,y,1 JхEхg , (3)

где J – плотность токаа.Граничные условия второго рода (Неймана):

( ) ( ) 0,02 =

∂∂

=х

yEyg ; (4)

( ) ( ) 00,3 =

∂∂

=yхEхg . (5)

( ) ( ) ( )хgygхg 321 , ,y, – функции координат х и .yОбласть решения задачи размещаем на равномерной

сетке размерами 100х50.Из уравнения (2) и граничных условий (3, 4, 5) со-

ставляем систему уравнений, которая в результате апп-роксимации частных производных соответствующимиконечными разностями, была преобразована в системулинейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

На рис. 2 представлено количество и размещениененулевых элементов разреженной матрицы данноймодели.

Ненулевые элементи прямоугольной матрицы коеф-фициентов СЛАУ представлены на рис. 3.

Рисунок 1 – Граничные условия модели



Рисунок 2 – Зеркальное изображение ненулевых элементов разреженой матрицы (nz-ненулевые элементы)

Рисунок 3 – Ненулевые элементи матрицы коеффициентов

Решив эту СЛАУ, получили распределение напря-женности электрического поля E в четверти поперечно-го сечения медного электрода (рис. 4).

Распределение плотности тока в медном осесиммет-ричном электроде получили, используя формулу

( ) ( ) σ⋅= y,y, хEхJ . (6)

На рис. 5 показан результат математического модели-рования распределения плотности тока в двухмерном виде.

Также, графический редактор пакета Matlab позво-ляет проанализировать данную модель в трехмерномвиде, где наглядно видно,что ток высокой частоты внут-ри электрода отсутствует (рис. 6).

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВРазработанная двухмерная математическая модель

по определению толщины скин-слоя может применять-ся к осесимметричнымэлектродам электрохирургичес-ких инструментов с разной электропроводностью в ши-

роком частотном диапазоне. Эта модель представляетсобой двухмерную элиптическую задачу для моделиро-вания скин-эффекта в проводниках.

Наглядно видно, что ток высокой частоты внутри элек-трода почти не течет.

Увеличить площадь, которая проводит ток, возможноза счет увеличения общей длины внешнего периметраэлектрода изменением формы его поперечного сеченияблагодаря удалению отдельных участков электрода.

Дальнейшим развитием данного исследования ста-нет разработка математических моделей распределенияпеременного тока в электродах электрохирургическихинструментов со сложной геометрической формой по-перечного сечения.

ВЫВОДЫРазработана математическая модель распределения

напряженности электрического поля и плотности тока,которая позволяет анализировать электромагнитныепроцесы происходящие в осесимметричных электродах

45


электрохирургических инструментов.Влиять на ширину зоны коагуляции биологической

ткани, тем самим снизить перегрев живых биологичес-ких тканей и их некроз, возможно с помощью измене-ния частоты тока, формы и материала электродов.

В отличии от существующего взгляда, что действие

поверхностного эффекта можна не учитывать, при мо-делировании распределения плотности тока в электро-хирургии, эта стационарная двухмерная модель пока-зывает, что глубина распространения плотности тока вэлектроды является одной из основных составных час-тей при разработке новых эффективных методов хирур-гического лечения.

Рисунок 4 – Распределение напряженности электрического поля

Рисунок 5 –Двумерное распределение плотности тока в четверти медного осесимметричного электрода

Рисунок 6 –Трехмерный вид распределения плотности тока



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Карпухин В. А. Исследование термоэлектрических

характеристик артериол при биполярной электро-коагуляции / В. А. Карпухин, З. А. Сидорова,О. А. Макарян // 13-я НТК «Медикотехнические тех-нологии на страже здоровья» (Медтех -2011): сб. тр.М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2011. –С. 149–151.

2. Dodde R. E. Monopolar electrosurgical thermalmanagement for minimizing tissue damage / R. E. Dodde,J. S. Gee, J. D. Geiger, A. J. Shih// IEEE Transactions onBiomedical Engineering. – 2012. – Vol. 59, Issue 1. – P. 167–173. doi: 10.1109/TBME.2011.2168956.

3. Белов С. В. Исследование принципов электрохирур-гических воздействий и разработка научных основпроектирования аппаратов и устройств для высоко-частотной электрохирургии /С. В. Белов, автореф.дис. … докт. техн. наук. // – М. : – 2004. – 53 с.

4. Kuroda Y. Electrical-thermal-structural couplingsimulation for electrosurgery simulators / Y. Kuroda,S. Tanaka, M. Imura, O. Oshiro // 2011 AnnualInternational Conference of the IEEE Engineering inMedicine and Biology Society, EMBC. IEEEPubl. – 2011.– P. 322–325. doi: 10.1109/IEMBS.2011.6090084.

5. Патон Б. Е. Электрическая сварка мягких тканей вхирургии / Б. Е. Патон // Автоматическая сварка. –2004. – 9. – С. 7–11.

6. Лебедев А. В. Особенности применения теории кон-тактной сварки металлов к сварке живых тканей /А. В. Лебедев, А. Г. Дубко // Технічна електродина-міка. – 2012. – Вип. 2. – С. 187–192.

7. Уманец Н. Н. Ультраструктурные изменения сосу-дистой оболочки и сетчатки глаза кролика непос-редственно после воздействия различных режимоввысокочастотной электросварки биологических тка-ней / Н. Н. Уманец, В. А. Науменко, Н. Е. Думброва,Н. И. Молчанюк, Р. Э. Назаретян // Журнал НАМНУкраины. – 2014. – Т. 20, 3. – С. 359–364.

8. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Том VIII. Элек-тродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау,Е. М. Лифшиц // – М. : Наука.– 1982. – 623 с.

9. Kosek M. Skin effect in massive conductors at technicalfrequencies / M. Kosek, M. Truhlar, A. Richter //PRZEGLAЫD ELEKTROTECHNICZNY (ElectricalReview), ISSN 0033-2097, R. 87 Issue 5. – 2011. –P. 179–185.

10. Tungjitkusolmun S. Finite Element Analyses for aStudy of Hepatic Cancer Tissue Destruction usingMonopolar and Bipolar Radio-Frequency Ablation /S.Tungjitkusolmun// INTERNATIONAL JOURNAL OFAPPLIED BIOMEDICAL ENGINEERING Vol. 2,Issue 1. – 2009. – P. 33–38.

11. Suarez A. G. Mathematical modeling of epicardial RFablation of atrial tissue with overlying epicardial fat / A.G. Suarez, F. Hornero, E. J. Berjano // The OpenBiomedical Engineering Journal. – 2010. – Vol. 4,Issue 1. – P. 47–55. doi: 10.2174/1874120701004010047.

12. Morton K. W. Numerical Solution of Partial DifferentialEquations /K. W. Morton, D. Mayers. // CambridgeUniversity Press. SecondEdition. – 2005. – 279 p.

13. Каханер Д. Численные методы и программное обес-печение /Д. Каханер, К. Моулер, С. Неш.// – М. : Мир.– 1998. – 575 с.

14. Сидорець В. М. Розподіл струму в електродах елект-рохірургічних інструментів при зварюванні біологі-чних тканин / В. М. Сидорець, А. Г. Дубко // Восточ-но-Европейский журнал передових технологий. –2015. – 3. – С. 24–28. doi:10.15587/1729-4061.2015.43372.

15. Sydorets V. Mathematical Modelingof the CurrentDensity Distr ibution in a High-FrequencyElectrosurgery / V. Sydorets, A. Lebedev, А. Dubko.//16th International Conference on ComputationalProblems of Electrical Engineering (CPEE), Lviv, Ukraine.– 2015. – P. 215–217. doi: 10.1109/CPEE.2015.7333379.


Сидорець В. М.1, Дубко А. Г.21Професор, доктор технічних наук, провідний науковий співробітник Інституту електрозварювання ім. Є.О.

Патона НАН України2Канд. техн. наук, старший науковий співробітник Інституту електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН УкраїниОСОБЛИВОСТІ АНАЛІЗУ РОЗПОДІЛУ СТРУМУ ВИСОКОЇ ЧАСТОТИ В ВІСЕСИМЕТРИЧНИХ

ЕЛЕКТРОДАХ ЕЛЕКТРОХІРУРГІЧНИХ ІНСТРУМЕНТІВУ середовищі математичного пакета Matlab, за допомогою методу кінцевих різниць, зроблено аналіз роз-

поділу напруженості електричного поля та щільності високочастотного струму в електродах електрохірур-гічних інструментів. Вирішена двовимірна еліптична задача, з граничнимиумовамипершого та другого роду,яка моделюєтовщинускін-ефекту в провідниках з вісесиметричним поперечним перерізом. Впливати на ширинузони коагуляції біологічної тканини, тим самим знизити перегрів живих біологічних тканин та їх некроз,можливо з допомогою зміни частоти струму, форми і матеріалу електродів. Розроблена математична модельможе застосовуватися для провідників з різноюелектропровідністю в широкому частотному діапазоні. Цямодель показує, що глибина поширення щільності струму в електродах є однією з основних складових частинпри розробці нових ефективних методів хірургічного лікування. Збільшити площу, яка проводить струм мож-ливо за рахунок збільшення загальної довжини зовнішнього периметра електрода зміною форми його попереч-ного перерізу завдяки видалення окремих ділянок електрода.

Ключові слова: високочастотний струм, електрохірургічні інструменти, електроди, скін-ефект, Matlab,метод кінцевих різниць.

47


Sydorets V. M.1, Dubko A. G.21Professor, Dr. Sci., Leading Researcher E.O. Paton Electric Welding Institute National Academy of Sciences of

Ukraine2PhD (Candidate of technical science),Senior Staff Scientist E.O. Paton Electric Welding Institute National Academy

of Sciences of UkraineTHE ANALYSIS PECULIARITIES OF HIGH FREQUENCY CURRENT DISTRIBUTION IN AXIS

SYMMETRIC ELECTRODES FOR ELECTROSURGICAL INSTRUMENTSIn the environment of mathematical package Matlab, using finite difference method, the analysis of the electric field

intensity distribution and the high frequency current density in the electrodes of electrosurgical instruments was performed.Two-dimensional elliptic problem, with boundary conditions of the first and second kind, which models the skin effectthickness in conductors with axis- symmetric-cross-section was solved. The mathematical model clearly shows thatalmost no high-frequency current flows inside the electrode. The mathematical model can be used for conductors withdifferent conductivity in a wide frequency range. The increase of the electrode cross section area, which conducts current,is possible by increasing the overall length of the electrode outer perimeter by changing its cross section shape thanks tothe electrode parts be removed..

Keywords: high-frequency current, electrosurgical tools, electrodes, skin effect, Matlab, method of finite differences.

REFERENCES1. Karpukhin V. A., Sidorova, Z. A., Makaryan, O. A.

Issledovanie termoelektricheskikh kharakterisrik arteriolpiy bipoliarnoi elektrokoaguliatsii. 13-ia NTK “Mediko-tekhnicheskie tekhnologii nastrazhe zdorovia” sb. tr.(Medtekh–2011), 149–151.

2. Dodde R. E., Gee J. S., Geiger J. D., Shih A. J. Monopolarelectrosurgical thermal management for minimizingtissue damage. IEEE Transactions on BiomedicalEngineering. 2012, 59(1), 167–173. doi: 10.1109/TBME.2011.2168956.

3. Belov S. V. Issledovanie printsipovelektrokhirurgicheskikh vozdeistvii I razrabotkanauchnykh osnov proektirovaniya apparatov Iustroistv dlya vysokochastotnoiel ektrokhirurgii.Avtoref. dokt. diss, 2004, Moscow, 53.

4. Kuroda Y., Tanaka S., Imura M., Oshiro O. Electrical-thermal-structural coupling simulation forelectrosurgery simulators.Annual InternationalConference of the IEEE Engineering in Medicine andBiology Society, EMBC. IEEE Publ., 2011, 322-325.doi:10.1109/IEMBS.2011.6090084.

5. Paton B. E. Elektricheskaya svarka myagkikh tkaney vkhiryrgii. (2004). Avtomaticheskaya svarka, 9, 7–11.

6. Lebedev A. V., Dubko A. G.). Osobennosti primeneniyateorii kontaktnoy svarki metallov k svarke zhivih tkaney.2012, Tehnichna elektrodinamika, 2, 187–192.

7. Umanets N. N., Naumenko V. A., Dumbrova N. E.,Molchanyuk, N. I., Nazaretyan, R. E. Ultrastrukturnieizmeneniya sosudistioy obolochki I setchatki glazakrolika neposredstvenno posle vozdeystviya razlichnihrezhimov visokochastotnoy elektrosvarkibiologicheskih tkaney. 2014, ZhurnalNAMNUkraini, 20(3), 359–364.

8. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika.1982, Tom VIII. Elektrodinamikasploshnikhsred. M.Nauka, 623.

9. Kosek M., Truhlar M., Richter A. Skin effect in massiveconductors at technical frequencies. 2011, PRZEGLA DELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review) 5, 179–185.

10. Tungjitkusolmun S. Finite Element Analyses for a Studyof Hepatic Cancer Tissue Destruction using Monopolarand Bipolar Radio-Frequency Ablation. 2009,INTERNATIONAL JOURNAL OF APPLIEDBIOMEDICAL ENGINEERING, 2(1), 33–38.

11. Suarez A. G., Hornero F., Berjano, E. J. Mathematicalmodeling of epicardial RF ablation of atrial tissue withoverlying epicardial fat. The Open BiomedicalEngineering Journal, 2010, 4 (1), 47–55. doi: 10.2174/1874120701004010047.

12. Morton K. W., Mayers D. Numerical Solution of PartialDifferential Equations.Second Edition. 2005,CambridgeUniversity Press, 279 .

13. Kakhaner D., Mouler K., Nesh S. Chislennye metody iprogrammnoe obespechenie. 1998,). M. Mir, 575.

14. Sydorets V. M., Dubko A. G. Rozpodil strumu velektrodakh elektrokhirurgichnykh instrumentiv pryzvaryuvanni biologichnykh tkanyn. Vostochno-Evropeyskiy zhurnal peredovykh tekhnologiy, 2015, 3,24–28.doi:10.15587/1729-4061.2015.43372.

15. Sydorets V., Lebedev A., Dubko А. MathematicalModelingof the Current Density Distribution in a High-Frequency Electrosurgery.16th InternationalConference on Computational Problems of ElectricalEngineering (CPEE), 2015, Lviv, Ukraine, 215–217. doi:10.1109/CPEE.2015.7333379.



УДК [621.3.011+621.3.013]::519.6

Тиховод С. М.1, Корнус Т. М.2, Паталах Д. Г.3

1Д-р техн. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет, Украина2Ст. преп., Запорожский национальный технический университет, Украина3Магистр, Запорожский национальный технический университет, Украина

МЕТОД УСКОРЕННОГО ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ НА ОСНОВЕ

АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИЦель работы – разработка метода численного расчета переходных процессов в электрических цепях, при-

водящая к сокращению процессорного времени расчета, а также разработка схемной модели метода, созда-ющая удобство при его практическом использовании. Научная новизна. Разработанный метод отличаетсятем, что в процессе расчета отсутствует операция вычисления производной, что повышает точность расче-та. Разработанная схемная модель позволяет от электрической цепи, в которой переходные процессы описы-ваются интегро-дифференциальными уравнениями, перейти к цепи с изображениями токов, для которыхсправедливы законы Кирхгофа особой цепи постоянного тока. Изображение тока, изменяющегося во време-ни, это вектор, содержащий коэффициенты полиномиальной аппроксимации. Практическая ценность. Разра-ботанный метод открывает возможность использования всего многообразного аппарата теории цепей дляработы с изображениями токов, на основании чего может быть разработан универсальный программныйкомплекс для расчета переходных процессов в сложных электрических цепях. Методы исследования. Использо-вана полиномиальная аппроксимация решения и матричные методы.

Ключевые слова: переходный процесс, численные методы, схемная модель, полиномиальная аппроксимация.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПереходные электромагнитные процессы в электро-

технических системах, приводят к броскам тока при ком-мутациях. Это представляет значительную опасность дляоборудования, а также влияет на надежность релейнойзащиты, поэтому исследование этих процессов актуаль-но. Для компьютерного моделирования переходных про-цессов в электрических цепях в настоящее время исполь-зуется ряд готовых программных комплексов, таких какEMTP [1], PSpice [2], Simulink [3] и др. Уравнения состоя-ния, составляемые автоматически в этих программныхкомплексах по законам Кирхгофа для мгновенных значе-ний, являются интегро-дифференциально-алгебраичес-кими уравнениями, которые во многих случаях бываютжесткими. Обычно системы таких уравнений преобра-зуют в системы дифференциальных уравнений первогопорядка, но при этом порядок системы уравнений воз-растает. Для решения таких систем в программных ком-плексах широко применяются многошаговые методычисленного интегрирования дифференциальных урав-нений с использованием полиномиальной аппроксима-ции решения. В результате получены различные разно-стные схемы [4], позволяющие вычислить значение ис-комой функции в одной временной точке по известнымзначениям функции (или ее производных) в несколькихпредыдущих точках.

Реальные исследуемые цепи могут содержать не-сколько сотен элементов, что приводит к большим сис-темам дифференциальных уравнений. Переходные про-цессы в электромагнитных устройствах могут быть весь-ма продолжительными, и время моделирования такихпроцессов может быть значительным, что нежелатель-но. В ряде случаев цепь может содержать управляемыеисточники, которые создают так называемые «алгебра-

ические петли». Наличие таких петель отрицательно ска-зывается на выполнении расчетов с помощью указан-ных программных комплексов. Поэтому разработка усо-вершенствованного метода расчета переходных элект-ромагнитных процессов более быстродействующего иустойчивого к «алгебраическим петлям» является акту-альной задачей.

Инженерам-электрикам важен физический смыслматематических действий. Поэтому, если какая-либоматематическая операция заменяется схемной моделью,то это повышает наглядность этой операции. Схемнаямодель должна позволять переход от электрической цепи,в которой процессы описываются интегро-дифферен-циальными уравнениями, к цепи постоянного тока сизображениями токов. Это открывает возможность ис-пользования всего многообразного аппарата теориицепей для работы с изображениями токов. Поэтому,модификация численного метода, сопровождающаясясозданием адекватной схемной модели для инженеров-электриков, является ценной.

Цель данной работы – модификация численного ме-тода решения интегро-дифференциальных уравнений,использующего полиномиальную аппроксимацию ре-шения, приводящую к сокращению времени моделиро-вания, а также разработка схемной модели метода, со-здающую удобство при моделировании.

ИЗЛОЖЕНИЕ МАТЕРИАЛА Рассмотрим одноконтурную цепь переменного

тока, содержащую резистивный (R), индуктивный (L)и емкостный (C) элементы, включенные последова-тельно. Пусть до коммутации конденсатор был заря-жен до напряжения uc(0). При подключении при t=0источника ЭДС e(t) в цепи происходит пе-

Тиховод С. М., Корнус Т. М., Паталах Д. Г., 2015©

49


реходный процесс, который описывается линейным ин-тегро-дифференциальным уравнением с постояннымикоэффициентами:

)()0()(1

0teudtti

CRi

dtdiL C

t=+++ ∫ . (1)

Будем искать решение во временной области τ, в ко-

торой выделим N узловых точек ,… t, t, tt N-1210 , следу-ющих с шагом h.

Решение для производной тока, как функцию от вре-мени, в интервале времени ][ 10 N-, tt аппроксимируемполиномом N-1-ой степени:

12210)()( −+++=≈ N

N tatataatpdt

tdi. (2)

Для аппроксимирующего полинома (2) зададим ус-ловие, что в точках tk деления интервала изменения аргу-мента значения производной по времени тока совпада-ют со значениями аппроксимирующего полинома:

)()( kk tpti =′ для k = 0, 1, 2, …N-1. (3)Если условие (3) записать для каждой точки tk, то по-

лучим систему линейных алгебраических уравнений,если принять, что t0 = 0:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−′==−++−+−+

′=++++

′=++++

′=′=

−−

−−

−−

))1(())1(())1(())1((

)2()2()2()2(

)(

)(

11

2210

11

2210

11

2210

000

hNihNahNahNaa

hihahahaa

hihahahaa

itia

NN

NN

NN

(4)

Вычтем из уравнений системы (4) первое уравнениеи получим сокращенную систему, которая в матричнойформе имеет вид:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′−−′

′−′′−′

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−− −−

−

−

0

00

1

21

12

12

12

))1((

)2()(

))1(())1(()1(

)2()2(2

ihNi

ihiihi

a

aa

hNhNhN

hhhhhh

NN

N

N

,

(5)

или I' I'- = V A 0 , (5')

где V – матрица Вандермонда без первой строки и пер-

вого столбца; A T121 ][ = N-… a aa – вектор коэффици-

ентов аппроксимирующего полинома; T]12[ = )h)((N-ih)… (i(h) i ′′′I' – вектор значений произ-

водных тока в точках 1, 2,…N-1.Будем считать, что номер k отрезка, на которые раз-

делен интервал изменения аргумента, совпадает с номе-ром точки деления tk , расположенной слева отрезка.

Проинтегрируем выражение (2) от нуля до k-й точкипри изменении номера k от 1 до N-1:

22100

0(

0)()(

tatataai

tdttpti

kk

k ++++=+= ∫∫

01

1 ) idtta NN =+++ −

−

013

22

101

31

21 ita

Ntatata N

kNkkk +++++= − , (9)

где tk=kh.Подстановка в интегралы выражения (9) значений k

от 1 до N-1 дает:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+−++−

+

+−+−′=+

=++

+++′=+

=++

+++′=+

−+−

−

−

−

∫

∫

∫

.))1((3

))1((

))1((2

)1(0

)(

;)2(

)2(32

)2()2(

0)(

;

320

)(

1011

32

210

1

0

201

322

10

2

0

101

322100

1

NNN

N

NN

NN

iihNN

ahNa

hNa

hNit

idttp

iiN

ha

haha

hit

idttp

iihN

a

ha

ha

hiit

dttp

(10)

В результате получим следующую систему в матрич-ной форме:

32

32

32

1

21

))1((1))1((31))1((

21

)2(3)2(

2)2(

32

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

hNN

hNhN

NhhhN

hhh

i

ii

N

N

N

N

00

1

21

)1(

2I+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

′+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

− hN

hh

i

a

aa

N, (11)

или



I+ H I'+ AS = I 0⊗ , (12)

где I – вектор значений тока в опорных точках;

I ;][= T00000 ,… i, i, ii

[ ]ThNhh )1(2 −=H ; (13)

символ ⊗ означает поэлементное умножение векторана каждый столбец матрицы.

Займемся теперь вычислением напряжения на кон-денсаторе (третье и четвертое слагаемые в выражении(1)).

031

21(1

)0()(1)(

32

210

0

k

C

t

C

ttatata

C

udttiC

tu

⎢⎢

⎣

⎡++++

=+=

∫

∫

).0()101 C

NN udtita

N+

⎥⎥

⎦

⎤+++ −

(14)

Вычислим интеграл в выражении (14) и распишемэто выражение для точек t = tk = kh, k = 1, 2,…, N-1.Получим в матричной форме выражение:

1

21

NC

CC

u

uu

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

143

143

143

))1(()1(

1))1((43

1))1((32

1

)1()2(

43)2(

32)2(

)1(4332

N

N

N

hNNN

hNhN

NNhhh

NNhhh

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+⋅

−⋅

−⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

+

+

+

1

21

Na

aa

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

−

.U 0

2

22

00

))1((

)2(

)1(

2C

hN

hh

i

hN

hh

i +

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

′+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

(15)В компактном виде выражение (15) принимает вид:

021

CC BB UHIHIWAU 200 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⊗′+⊗+= , (16)

где обратная величина емкости конденсатора CB 1

= ;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−×

×+⋅−

⋅−

⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

+

+

+

1

43

143

143

))1((

)1(1

))1((43

1))1((32

1

)1()2(

43)2(

32)2(

)1(4332

N

N

N

hN

NNhNhN

NNhhh

NNhhh

W;

(17)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

2

22

2

))1((

)2(

hN

hh

H(18)

U ][ = T000C0 ccc , … u, uu ; uc0 = uc(0).

В уравнение (1) для опорных точек подставим апп-роксимацию всех слагаемых согласно выражений (5'),(12), (16) и получим матричное уравнение:

WAHIISAIVA 00 ⎢⎣⎡ ++⊗′+++′+ 0 )( BRRLL

eUHIHI 200 =+⎥⎦⎤⊗′+⊗+ 02

1C . (19)

Преобразуем уравнение (19):

0 )()( BRLBRL HIIIeAWSV 00 −⊗′+−′−=+++

021

CB UHIHI 200 −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⊗′+⊗− , (20)

где e – вектор значений ЭДС источника в точках1, 2, …, N -1 временного интервала;

Уравнение (20) можно интерпретировать следующимобразом. Пусть в исходной ветви R-L-C протекает токi(t). Тогда согласно уравнению (20) исходной ветви соот-ветствует ветвь замещения, в которой проходит опера-торный ток A, изображающий исходный ток i(t). Приэтом в ветви замещения резистивный элемент имеетоператорное сопротивление RS и последовательно с нимнавстречу току включается источник ЭДС

)( HII 00 ⊗′+R (см. рис. 1).

51


Рисунок 1 – Интерпретация уравнения (20): RS, LV, BW – операторные сопротивления резистивного, индуктивного и

емкостного элементов; )( HII 00 ⊗′+R , 0I′L , 021

CB UHIHI 200 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⊗′+⊗ – дополнительные источники ЭДС; e –

вектор значений ЭДС в узловых точках.

Индуктивный элемент имеет операторное сопротив-ление LV и последовательно с ним навстречу току вклю-чается источник ЭДС 0I′L , а емкостный элемент имеетоператорное сопротивление - BW и последовательно сним навстречу току включается источник ЭДС

021


⎢⎣⎡ ⊗′+⊗ .

Докажем, что в узлах схемы замещения для изобра-жений А соблюдается закон токов Кирхгофа. В любомузле электрической цепи для токов ветвей, принадлежа-щих узлу, в любой момент времени а, следовательно,токов в начале интервала i0 и для векторов токов I выпол-няется закон токов Кирхгофа:

∑=

=−b

kkk

10 0)( II , (21)

где b – количество ветвей, сходящихся к узлу, k – теку-щий номер ветви, сходящейся к узлу.

Продифференцируем уравнение (21) и получим:

∑=

=′−′b

kkk

10 0)( II . (22)

Согласно уравнению (5'): I' I'- = V A 0 ,следовательно

∑=

=b

kk

10VA . (23)

Если уравнение (23) умножить на матрицу, обратнуюматрице V, то получим:

∑=

=b

k 10kA . (24)

Из изложенного материала сделаем выводы. Реаль-ному току i(t) соответствует векторное изображение A всхеме замещения, показанной на рис. 1. Все изображе-ния тока A в схеме замещения удовлетворяют законамКирхгофа, если схема замещения составляется по пра-вилам:

- источник ЭДС заменяется векторным источникомe, содержащим значения ЭДС в N-1 опорной точке;

- резистивный элемент имеет операторное сопро-тивление RS и последовательно с ним навстречу токувключается источник ЭДС )( HII 00 ⊗′+R ;

- индуктивный элемент имеет операторное сопро-тивление LV и последовательно с ним навстречу токувключается источник ЭДС 0I′L ;

- емкостный элемент имеет операторное сопро-тивление BW и последовательно с ним навстречу токувключается источник ЭДС

021


⎢⎣⎡ ⊗′+⊗ .

Таким образом, в схеме замещения электрическойцепи изображения Ak оригиналов токов ik(t) удовлетво-ряют законам Кирхгофа. Следовательно, при известныхзначениях токов ветвей ik и напряжений на конденсато-рах uCk в точке t0 начала интервала τ система уравнений,составленная по законам Кирхгофа, для всех узлов безодного и для всех главных контуров имеет единственноерешение. В результате решения системы линейных ал-гебраических уравнений получаем векторы полиноми-альных коэффициентов Ak для всех ветвей. Зная для лю-бой ветви коэффициенты полинома и значение i0 в на-чальной точке t0, мы можем получить значение тока инапряжения на конденсаторе во всех произвольных точ-ках любого из N отрезков в интервале времени τ .

Согласно [5] с ростом степени полинома погрешностьинтерполяции уменьшается, однако увеличивать степеньполинома бесконечно нельзя. С ростом числа N матри-цы становятся плохо обусловленными. Чтобы при ма-лом шаге h матрицы V, W и S не стали плохо обусловлен-ными необходимо шаг интегрирования умножить нанормирующий коэффициент такой, чтобы нормирован-ный шаг был близок к единице. Тогда на нормирующийкоэффициент нужно умножить значения всех индуктив-ностей и емкостей, входящих в схему, а значение частотынужно разделить на нормирующий коэффициент. Этоулучшит обусловленность матриц, но увеличение сте-пени полинома больше десяти может в некоторых слу-чаях все-таки привести к неадекватному решению. По-грешность интерполяции можно существенно снизить,



если выбирать положения опорных точек не равномер-но, а по методу, разработанному Чебышёвым. В этомслучае максимальная погрешность будет минимизиро-вана. Если аргумент t аппроксимируемой функции за-дан на отрезке [a, b], то опорные точки tk выбираются внулях полиномов Чебышёва [6]:

2baxt k

k++τ

= , (25)

где ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+−=

Nkxk 2

12cos , k=0, 1, … N-1.

На больших интервалах изменения независимой пе-ременной весь интервал целесообразно разбить на не-сколько сегментов длиной τ , а уравнение (13) можнорешать методом циклической прогонки, увеличивая каж-дый раз текущее время на τ . В результате определимкоэффициенты аппроксимирующего полинома для все-го интересующего интервала времени. В каждом цикленеобходимо вычислять значения тока, напряжения наконденсаторе и производной тока в конце текущего сег-мента, которые будут использованы как новые началь-

ные значения i0, uC0 , 0)(dtdi , в следующем цикле. Если жее

достаточно значений тока только в узловых точках, то ихможно вычислить не по общей формуле (9), а проще,согласно (12):

I+ H I'+ AS = I 0 ⊗ .Значения напряжения на конденсаторе в узловых точ-

ках вычисляются согласно (16):

021

CC BB UHIHIWAU 200 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⊗′+⊗+= .

Для испытания разработанной методики в системеMatlab составлено несколько компьютерных программ длярасчета переходных процессов в электрических цепях.

Приведем пример одного из расчетов. Исследуемпереходный процесс в модельной одноконтурной цепи,содержащей резистивный (R), индуктивный (L) и емкос-тный (C) элементы, включенные последовательно. Рас-считаем процесс изменения тока в цепи после подклю-чения источника постоянной ЭДС. Согласно изложен-ному правилу, составим схему замещения для изобра-жения тока (рис. 1).

По программе, составленной согласно предложен-ной методике, выполнен расчет переходного процессапри следующих значениях исходных данных: e(t)=E=100В; R=0,7 Ом; L=0,005 Гн; C=500 мкФ; i(0)=0;

0)0(;)0( == CuLE

dtdi

.

Алгоритм программы заключается в циклическомрешении матричного уравнения:

⎩⎨⎧

−⊗′+−′−⋅+++= −0

1 )()( RLBRL HIIIeWSVA 00

⎭⎬⎫

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⊗′+⊗− 02

1) CB UHIHI 200 (27)

и вычислению тока в опорных точках согласно (12) , на-пряжения на конденсаторе согласно (16) и производнойтока согласно формуле: I' V A = I' 0+ .

График тока i(t) , полученный в результате расчета,представлен на рис. 2.

Для оценки точности вычислений по предложенно-му методу выполнен также точный аналитический рас-чет переходного процесса при тех же значениях исход-ных данных.

Полученное аналитическое выражение для тока i1(t)имеет вид:

tptp eAeAti 21 21)( += , (28)

где A1 = –15.81277i; A2 = 15,81277i; p1= –70 + 632,4002i;p2= –70 – 632,4002i.

Точки, соответствующие точному аналитическомувыражению (28), на графике рис. 2 показаны звездочка-ми. Шаг интегрирования при расчете выбран таким, что-бы отклонение значения тока от соответствующего точ-ного значения в точках локальных максимумов не пре-вышало 0,1% (при уменьшении шага интегрированияпогрешность уменьшается). Выполнен также расчетмодельной задачи при использовании метода Гира смаксимальным постоянным шагом интегрирования та-ким, чтобы отклонение значения тока от соответствую-щего точного значения в точках локальных максимумовтакже не превышало 0,1%. С помощью операторов tic/toc оценивалось время расчета. Сравнение процессор-ного времени расчета модельной задачи по предложен-ному методу и по методу Гира показало, что предло-женный метод имеет быстродействие более чем в четы-ре раза лучшее, чем многошаговый метод Гира.

ВЫВОДЫ1. Предложенная методика построения схем заме-

щения электрической цепи позволяет непосредственновычислять коэффициенты полиномиальной аппрокси-мации искомых токов в переходных режимах.

2. Векторы полиномиальных коэффициентов удов-летворяют законам токов и напряжений Кирхгофа длясхемы замещения и являются решениями системы ал-гебраических уравнений.

3. Предложенная схема замещения описывает нетолько саму электрическую цепь, но и численный методрасчета интегро-дифференциальных уравнений переход-ного процесса.

4. Предложенная методика отличается тем, что в нейотсутствует операция вычисления производной реше-ния, что позволяет значительно повысить точность рас-четов.

5. Для модельной задачи отмечено лучшее быстро-действие расчета по сравнению с известными числен-ными методами.

53


0 10 20 30 40 50 60-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t, ms

i, A

Рисунок 2 – Временная зависимость тока i(t). Звездочками на графике показаны точные значения, вычисленные аналитически.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Electromagnetic Transient Program (EMTP) Application

Guide // EPRI Report No: EL – 4650, Project 2149–1,Westinghouse Electric Corp., Pittsburgh, PA, 1986.

2. Кеоун Д. OrCAD Pspice. Анализ электрических це-пей. / Дж. Кеоун. – сПб, : Питер, 2008. – 640 с.

3. Черных И. В. Simulink среда создания инженерныхприложений. / И. В Черных. – М. : ДИАЛОГ-МИФИ,2003. – 496 с.

4. Современные численне методы решения обыкно-венных дифференциальных уравнений./ редакторыДж. Холл, Дж. Уатт.-М.: Мир, 1979.– 312 с.

5. Shampine L. F. Fundamentals of numerical computing./L. F. Shampine, R. C. Allen, S. Pruess.–New YorkChichester Brisbane Toronto Singapore.: JOHN WILEY& SONS, INC., 1997. – 268 p.

6. Ильина В. А. Численные методы для физиков-теоре-тиков. 1. / В. А. Ильина, П. К. Силаев. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. –2003. – 132 с.


Тиховод С. М.1, Корнус Т. М.2, Паталах Д. Г.31Д-р техн. наук, доцент, Запорізький національний технічний університет, Україна2Ст. викл., Запорізький національний технічний університет, Україна3Магистр, Запорізький національний технічний університет, УкраїнаМЕТОД ПРИСКОРЕНОГО ЧИСЛОВОГО РОЗРАХУНКУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В ЕЛЕКТРИЧ-

НИХ КОЛАХ НА ОСНОВІ АПРОКСИМАЦІЇ РОЗВ’ЯЗКУ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛІНОМАМИМета роботи – розробка методу числового розрахунку перехідних процесів в електричних колах, що призво-

дить до скорочення процесорного часу розрахунку, а також розробка схемної моделі методу, що створюєзручність при його практичному використанні. Наукова новизна. Розроблений метод відрізняється тим, що впроцесі розрахунку відсутня операція обчислення похідної, що підвищує точність розрахунку. Розроблена схемнамодель дозволяє від електричного кола, в якому перехідні процеси описуються інтегро-диференціальними рівнян-нями, перейти до кола із зображеннями струмів, для яких справедливі закони Кирхгофа особливого кола пост-ійного струму. Зображення струму, що змінюється в часі, це вектор, що містить коефіцієнти поліноміальноїапроксимації.

Практична цінність. Розроблений метод відкриває можливість використання всього різноманіття апара-ту теорії кіл для роботи з зображеннями струмів, на підставі чого може бути розроблений універсальнийпрограмний комплекс для розрахунку перехідних процесів у складних електричних колах. Методи дослідження.Використана поліноміальна апроксимація рішення та матричні методи.

Ключові слова: перехідний процес, числові методи, схемна модель, поліноміальна апроксимація.

Tykhovod S.1, Kornus T.2, Patalakh D.31Doctor of science, Assoc. Prof., Zaporozhye national technical university, Ukraine2Senior Lecturer, Zaporozhye national technical university, Ukraine3Magistr, Zaporozhye national technical university, UkraineMETHOD OF ACCELERATED NUMERICAL CALCULATION OF TRANSIENTS IN ELECTRICAL

CIRCUITS BASED ON SOLUTION APPROXIMATION BY ALGEBRAIC POLYNOMIALS



The work purpose is modification of numerical calculation of transients in electric circuits that reduces the CPU timeof calculation, and also development of circuit model method, that creates the convenience in its practical use. The circuitmodel of the modified numerical calculation of transients in electric circuits is developed. The circuit model created for theelectric circuit, in which processes are described with the help of integro-differential equations, turn into the circuit withcurrent images, for which Kirchhoff’s rules, reducing to the algebraic equations, are valid. Time-varying current imageis vector, containing the polynomial approximation coefficients. Practical importance. The developed method uncloses thepossibility of use of the whole manifold of the circuit theory to work on current images. On the basis of that the universalsoftware package for transient analysis in the complex electric circuits could be designed. Research methods. Polynomialapproximation of solution and matrix calculations is used.

Key words: transient, numerical methods, circuit model, polynomial approximation

REFERENCES1. Electromagnetic Transient Program (EMTP) Application

Guide. EPRI Report No: EL. 4650, Project 2149–1,Westinghouse Electric Corp., Pittsburgh, PA, 1986.

2. Keown John. OrCAD Pspice and Circuit Analysis.John. Keown. sPb,: Piter, 2008, 640 с.

3. Chernyh I. V. Simulink environment of making ofengineering applications. I. V. Chernyh, М, DIALOG-MIFI, 2003, 496 p.

4. Modern Numerical Methods for Ordinary DifferentialEquation, Edited by G. Hall and J. M. Watt, ClarendonPress Oxford 1976, 312 p.

5. Shampine L. F. Fundamentals of numerical computing,L. F. Shampine, R. C. Allen, S. Pruess, New YorkChichester Brisbane Toronto Singapore, JOHN WILEY& SONS, INC., 1997, 268 p.

6. Il’ina V. A. Numerical methods for physicist-theorists.V. A. Il’ina, P. K. Silaev, Moskow-Izhevsk: Institutkomp’juternyh issledovanij, 2003, 132 p.

55


УДК 62-83

Волков В. О.Канд. техн. наук, Запорожская государственная инженерная академия, Украина

РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ТАХОГРАММ РАЗГОНА И ТОРМОЖЕНИЯЧАСТОТНОРЕГУЛИРУЕМОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Предложены аналитические расчеты частных решений нелинейного дифференциального уравнения второ-го порядка, описывающего оптимальные траектории изменения скорости (тахограммы) частотно-регули-руемого асинхронного двигателя (ЧРАД). При указанных тахограммах обеспечивается минимизация основныхэлектромагнитных потерь электроэнергии этого двигателя в пускотормозных режимах. Данная минимиза-ция осуществляется для заданных начальных и конечных значений скорости и различных времен разгона иторможения. Выполнены расчеты и сравнение между собой оптимальных, квазиоптимальных и известных(нашедших в настоящее время применение на практике) энергосберегающих тахограмм (линейного и парабо-лического вида, с формой гиперболического синуса), а также соответствующих им основных электромагнит-ных потерь электроэнергии, электромагнитного момента и модуля статорного тока ЧРАД. Вычисленныеоптимальные и квазиоптимальные тахограммы предназначены для использования в электроприводах перемен-ного тока прокатных станов с ЧРАД, работающих в интенсивных пускотормозных режимах.

Ключевый слова: асинхронный двигатель, частотное регулирование, оптимальные тахограммы.

С учетом продолжающегося в мире и Украине удо-рожания электрической энергии (ЭЭ) является актуаль-ным и остро востребованным практикой уменьшениенепроизводительных потерь ЭЭ в электродвигателях.Особенно это важно для пускотормозных режимов час-тотно-регулируемых асинхронных двигателей (ЧРАД),которые, как известно, стали широко применяться во всехотраслях хозяйства. Одним из наиболее эффективныхподходов к уменьшению потерь ЭЭ в указанных двига-телях является формирование во времени определеннойтраектории изменения скорости (тахограммы) при раз-гоне или торможении.

При данном подходе в монографии [1] предложена иисследована линейная во времени тахограмма измене-ния скорости двигателя при разгоне, которая, как уста-новлено автором этой монографии, обеспечивает ми-нимизацию электрических потерь ЭЭ в роторе ЧРАД приего разгоне. В другой монографии [2] этого же авторатакже установлено, что линейная от времени траекто-рия изменения скорости при разгоне и торможенииЧРАД одновременно обеспечивает и минимизацию элек-трических потерь в роторе при его перемещении. К со-жалению, перечисленные выше исследования относят-ся только к режиму разгона (так как совсем не рассмат-ривается режим торможения) и не учитывается при раз-гоне наличие других потерь энергии (в частности, элект-рических потерь в статоре, магнитных потерь, добавоч-ных потерь) в ЧРАД, а поэтому не могут быть оцененыобщие электромагнитные потери электроэнергии(ОЭПЭ) в рассматриваемом двигателе в пускотормоз-ных режимах.

Исследованию общих (включающих в себя электри-ческие потери статора и ротора, магнитные и добавоч-

ные потери) электромагнитных потерь в пускотормоз-ных режимах для ЧРАД посвящена статья [3], в которойприведена сравнительная оценка этих потерь примени-тельно к различным траекториям изменения во време-ни скорости при разгоне данного двигателя: для линей-ного и параболического вида, для формы гиперболичес-кого синуса (с неизменным коэффициентом в аргумен-те). При этом в данной статье выявлено, что из всех ука-занных (названных «энергосберегающими») видов та-хограмм наиболее экономичной является форма гипер-болического синуса.

В этой же статье установлено, что ни один из вышеупомянутых видов энергосберегающих траекторий из-менения скорости ЧРАД при разгоне не является опти-мальным (то есть – обеспечивающим минимально воз-можные ОЭПЭ при разгоне и торможении). А именно,они лишь служат в какой то степени приближением коптимальной траектории. Также в данной статье доказа-но, что оптимальная (по минимуму ОЭПЭ в ЧРАД) тра-ектория изменения скорости щ от времени t совпадает срешением следующего нелинейного дифференциально-го уравнения:

0,3ωKω ⋅=′′ , (1)

не поддающегося точному аналитическому решению,где 22ω/dtdω =′′ – вторая производная скорости по вре-мени; K – постоянный (при управлении с неизменнымпотокосцеплением ротора) коэффициент. Этот коэффи-циент зависит от параметров ЧРАД и определяется ихвыражения [3]:

Волков В. О., 2015©



2ннr

2rs

2r

2rстн

J)/η0,005PRk(RΨkP0,65K

⋅++

Δ= . (2)

В формуле (2) используются следующие обозначе-ния параметров ЧРАД:

sR и rR – активные сопротивления соответственностаторной и роторной обмоток;

нP и нη – номинальные значения соответственнополезной мощности и коэффициента полезного дей-ствия;

стнPΔ – номинальное значение потерь мощности встали;

rΨ и rk – модули потокосцепления ротора и коэф-ф-фициента связи ротора соответственно;

J – приведенный к валу двигателя момент инерциипривода. При этом в формулах (1) и (2) используютсяобщепринятая для машин переменного тока системаотносительных единиц [4].

С учетом отмеченного выше отсутствия в настоящеевремя в известной научно-технической литературе ма-тематических зависимостей для определения оптималь-ных тахограмм разгона и торможения ЧРАД являетсячрезвычайно актуальной цель предложенной статьи –нахождение в явном аналитическом виде решения нели-нейного дифференциального уравнения (1), которое бысобой описывало оптимальную (обеспечивающую ми-нимизацию общих электромагнитных потерь электро-энергии) траекторию изменения скорости частотно-ре-гулируемого асинхронного двигателя в пускотормозныхрежимах при заданных начальном и конечном значени-ях скорости, а также заданных временах разгона и тор-можения.

Достижение поставленной в статье цели выполним внесколько этапов, используя следующие (аналогичныеиз [3]) исходные допущения:

– системой автоматического управления (САУ)электроприводом идеально поддерживается неизменны-ми значение модуля потокосцепления ротора:

constΨr = (равное его номинальному значению

rнΨ );– в частотнорегулируемом электроприводе посред-

ством САУ реализуется режим торможения двигателя свозвратом (рекуперацией) накопленной кинетическойэнергией привода в в виде электрической в питающуюсеть;

– пренебрегаем свободными (затухающими) состав-ляющими статорных токов двигателя в пускотормозныхрежимах, т.к. влияние указанных составляющих при при-менении современных быстродействующих САУ (напри-мер, с подчиненным регулированием) на практике оченьмало;

– рассматриваются только основные составляющие

от общих электромагнитных потерь мощности и энер-гии ЧРАД, вызванные основными (первыми) гармони-ческими составляющими фазных статорных токов дви-гателя;

– значения момента сопротивления Мс и моментаинерции J привода принимаются неизменными:Мс = const и J = const.

Все последующие аналитические зависимости и рас-четы приводятся в общепринятой для машин перемен-ного тока системе относительных единиц [4].

На первом этапе найдем одно из возможных частныхрешений для обобщенного нелинейного дифференци-ального уравнения второго порядка следующего степен-ного вида:

MωKω ⋅=′′ , – (3)

у которого, очевидно: во-первых, вид, переменная ω ,постоянный положительный коэффициент K, показательстепени М (представляющий собой в общем случае дей-ствительное число, не равное 0 и 1) полностью соответ-ствует упомянутому исходному дифференциальномууравнению (1); во-вторых, с учетом предыдущего реше-нием этого уравнения является оптимальная временнаяфункция (t)ωопт , обеспечивающая минимизациюОЭПЭ в ЧРАД для пускотормозных режимов.

Принимая во внимание, что начальные ( 0ω = при

0t = – для режима разгона или устωω = при Ttt = –

для режима торможения) и конечные ( устωω = при

роtt = – для разгона или при – для торможения) усло-вия для частных решений дифференциального уравне-ния (ДУ) (3) при исследуемых пускотормозных режимахЧРАД, предложим находить искомое частное решениеданного уравнения в виде степенных временных зависи-мостей вида:

N

poустр.опт t

tωωω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅== – (4)

при разгоне, либо

N

тo

тустт.опт t

ttωωω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅== – (5)

при торможении, где устω – установившееся рабочеезначение скорости двигателя; N – действительное посто-янное число; t – текущее время, отсчитываемое от нача-ла рассматриваемых режимов разгона и торможения;

pot – время разгона от нулевой (при t = 0) до установив-

шейся скорости устω ; тоt – время торможения от на-

57


чальной скорости устω (при t = 0) до нулевой скорости.Вычислим вторые производные по времени от вре-

менных функций (4) и (5) соответственно:2-NN

poуст t)/t(ω1)N(Nω ⋅⋅−=′′ , (6)

2-Nт

Nтoуст t)(t)/t(ω1)N(Nω −⋅⋅−=′′ (7)

и, подставив их в решаемое дифференциальное уравне-ние (3), получим соответствующие режимам разгона иторможения равенства:

MNMNpoуст

2-NNpoуст t)/t(ωKt)/t(ω1)N(N ⋅⋅=⋅⋅− , (8)

MNтoуст

2-Nтo

Nтoуст ()/t(ωKt)(t)/t(ω1)N(N ⋅⋅=−⋅⋅−

MNтo t)(t −⋅ . (9)

Приравняв соответствующие постоянные коэффици-енты перед степенными функциями и значения степен-ных показателей в левой и правой частях равенств (8) и(9) между собой:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−

⋅=⋅−

⋅=⋅−

MN2N

)/t(ωK)/t(ω1)N(N

,)/t(ωK)/t(ω1)N(NMN

тoустNтoуст

MNpoуст

Npoуст

, (10)

определим из системы (10) значения параметров N, pot

и тоt в частных решениях (4) и (5) ДУ (3):

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+⋅==

−=

− .М)K(1М)2(1ωtt

,M1

2N

0,5

2M1

усттоpo, (11)

Важно обратить внимание на то, что, во-первых, ис-ходя из второй зависимости из (11) при неизменных зна-

чениях скорости устω и показателя степени М в ДУ (3),

времена разгона роt и торможения тоt равны междусобой; во-вторых, при неизменных значениях скорости

устω и при других произвольных значениях времени

разгона рt и торможения тt , не равных их рассмотрен-

ным оптимальным значениям: рoр tt ≠ и тoт tt ≠ , – за-висимости вида (4) и (5) уже не являются частными ре-шениями ДУ (3). Таким образом, полученные степен-ного вида частные решения (4) и (5) характеризуютсяочень узкой областью применения – только для значе-ний времени разгона и торможения ЧРАД, рассчитан-ных из (11).

На втором этапе применительно к исходному ДУ (1)

Таблица 1 – Технические данные двигателя АДО–2000–6000–12У1 п/п Наименование параметров Обозначение Значение Размерность

1. Номинальная полезная мощность на валу нP 2000 кВт

2. Номинальная частота вращения (скорость) нn 497,5 об/мин

3. Номинальное действующее линейное напряжение лнU 6000 В

4. Номинальный статорный ток 1нI 259,5 А

5. Номинальное значение КПД нη 96,3 %

6. Номинальный коэффициент мощности нcosϕ 0,77 о.е.

7. Номинальные потери в стали ст.нPΔ 26,75 кВт 8. Момент инерции ротора J 786 кг·м2

9. Активное сопротивление статора sR 8,989·10-3 о.е.

10. Активное сопротивление ротора rR 5,543·10-3 о.е.

11. Индуктивность рассеяния статора s σL 0,0633 о.е.

12. Индуктивность рассеяния ротора r σL 0,0603 о.е.

13. Индуктивность намагничивания mL 3,582 о.е.

14. Коэффициент приведения ротора rk 0,9771 о.е.

15. Номинальное потокосцепление ротора rнΨ 0,96 о.е.

16. Номинальный электромагнитный момент нM 0,745 о.е. 17. Момент инерции привода J 250 о.е. 18. Постоянный коэффициент K 5,005·10-6 о.е.



из зависимостей (11) с учетом значения М = 0,3 опреде-лим параметр N, а также оптимальные времени разгона

роt и торможения тоt :

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅==

=

5,07,0уст

тopo 49260

Kω

tt

,720N

, (12)

которые для значения скорости устω = 1о.е. = 52,36 рад./си параметров двигателя АДО–2000–6000–12У1 (приве-

денных в табл. 1) составляют: роt = тоt = 1030 о.е. = 3,28с.Подставив зависимости из (12) в соотношения (4) и

(5), получим степенного вида оптимальные частные ре-шения ДУ (1) соответственно для режимов разгона и тор-можения:

720

poустр.опт t

tω(t)ω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , (13)

720

тo

тoустт.oпт t

ttω(t)ω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= . (14)

На третьем этапе рассмотрим решения ДУ (3) для

диапазона значений времен разгона рt и торможения

тt , отличающихся от роt и тоt .Для этого аппроксимируем исходное нелинейное ДУ

(1) следующим линейным ДУ:

ωKω ⋅=′′ , (15)

заменив в правой части этого уравнения показатель припеременной ω на 1 вместо 0,3.

Составив для последнего уравнения соответствующееему операторное изображение

ωKωp2 ⋅= , (16)

и найдем из него два равных корня этого уравнения:

Kp ,21 ±= , определим из [5] общее временное реше-ние линейного ДУ (15) в виде функции гиперболическо-го синуса:

[ ] 321 c)c(tKshcω ++= , (17)

где р – оператор Лапласа, 321 c,c,c – постоянные коэф-фициенты; sh – гиперболический синус.

Исходя рассматриваемых начальных ( 0ω = для 0t =

– при разгоне или устωω = для рtt = – при торможе-

нии) или конечных ( устωω = ля рtt = при разгоне или

0ω = для тtt = – при торможении) условий, опреде-лим значения указанных постоянных коэффициентов:

p1 tK1/c = , 0c2 = , 0c3 = – (18)

или

т1 tK1/c −= , т2 tc −= , 0c3 = – (19)

при торможении.С учетом (18) и (19) преобразуем общее решение (17)

к следующему частному виду:

)tKsh(t)Ksh(ωωp

уст= – (20)

при разгоне или

[ ])tKsh(t)(tKshωω

т

туст

−= – (21)

при торможении.Рассчитаем методом Рунге-Кутта с использованием

вычислительного пакета программ точное частное ре-шение (при упомянутых выше значениях начальных иконечных условий) для исходного нелинейного ДУ (1)при параметрах двигателя АДО – 2000 – 6000 – 12У1 (изтабл.1) и сравним его с решениями (20) или (21), полу-ченными для линейного ДУ (15). По результатам этихрасчетов построены графики на рис. 1а для режима раз-

гона (с временами разгона pt , равными: а) 0,5с; б) 1 с;в) 2с; г) 3 с) и на рис. 1б для режима торможения (с вре-менами торможения тt , равными: а) 0,5с; б) 1 с; в) 2с; г)3 с). На указанных рисунках сплошной кривой показаныграфики для точных оптимальных частных решений

р.оптω и т.оптω ДУ (1), полученных методом Рунге-Кут-та соответственно для режимов разгона и торможения, апунктирными кривыми – для тахограмм рω , рассчитан-ных (при 1=ξ ) из (20) и (21) для линейного ДУ (15).

Из анализа данных графиков следует, что между точ-ным оптимальным решением (показанным сплошнойлинией) и решением, полученным из линейного ДУ (15)и показанным пунктиром (при 1=ξ ) на рис. 1а, б, на-блюдается определенная погрешность, характеризуемаясреднеквадратичным отклонением, рассчитываемым иззависимостей:

5,0t

0

2р.опт

pp

p

dtω)(ωt1σ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−= ∫ (22)

59


для разгона или

5,0t

0

2т.опт

тт

т

dtω)(ωt1σ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∫ (23)

для торможения, значение которых составляет (согласнотабл.2) от 0,0835 % до 3,09 % в диапазоне изменения вре-мен разгона и торможения от 0,5 до 3с.

Для уменьшения отмеченной погрешности авторомпредложено в зависимости (20) и (21) ввести поправоч-ный коэффициент ξ , с учетом чего они преобразуютсяк следующему виду:

)tKsh(ξt)Ksh(ξωωp

уст= – (24)

при режиме разгона или

[ ])tKsh(ξt)(tKξshωω

т

туст

−= – (25)

при режиме торможения. Очевидно, что при 1=ξ пос-ледние две зависимости становятся идентичны зависи-мостям (20) и (21).

Из зависимостей (24) и (25) выполнены расчеты час-тных решений для скорости ω при различных значенияхпоправочного коэффициента ξ , равных: 1; 1,1; 1,2; 1,3;1,5 и 1,6. По результатам этих расчетов построены длярежимов разгона и торможения графики, показанныедля указанных значений коэффициента ξ на рис. 1а, б.Одновременно из ранее приведенных зависимостей (22)и (23) для тахограмм, рассчитанных из формул (24) и (25)при различных значениях коэффициента ξ , вычисленызначения среднеквадратичных отклонений (которые по-казаны в табл. 2) этих графиков от оптимальной кривых

скоростей р.оптω и т.оптω , рассчитанных методом Рун-ге-Кутта для ДУ (1).

Путем варьирования значения поправочного коэф-фициента ξ определены также его оптимальные значе-

ния *ξ , при которых среднеквадратичные отклонениямежду рассчитанными из (24) и (25) тахограммами иоптимальными кривыми скорости (рассчитанными ме-тодом Рунге-Кутта) минимальны. Установлено, что дляразных значений времени разгона и торможения мини-мальные значения среднеквадратичных отклонений со-

ставляют: 0,03668 % для *ξ = 1,197 при pt = 0,5 с;

0,0967 % для *ξ = 1,28 при pt = 1 с; 0,400 % для *ξ = 1,32

при pt = 2 с; 0,0858 % для *ξ = 1,51 при pt = 3 с. Порезультатам приведенных расчетов построена на рис.2

графическая зависимость оптимальных значений попра-вочных коэффициентов *ξ (обеспечивающих мини-мальные отклонения тахограмм из (24) и (25) от опти-мальных тахограмм, соответствующих минимальным

ОЭПЭ) от значений времен разгона pt и торможения

тt двигателя АДО – 2000 –6000 – 12У1.Анализ данных из табл. 2 и графиков на рис. 1а, б

свидетельствует о том, что при оптимальных значенияхпоправочных коэффициентов *ξ достигнуто хорошеесовпадение рассчитанных из зависимостей (24) и (25)тахограмм с точным решением ДУ (1) – со среднеквад-ратичными отклонениями не более 1 %. С учетом этогоуказанные тахограммы из (24) и (25), рассчитанные при

*ξ=ξ , будем называть «квазиоптимальными».На четвертом этапе применительно к ЧРАД типа

АДО–2000–6000–12У1 осуществим для предложенногои известных из [1–3] видов энергосберегающего управ-ления расчет тахограмм разгона и торможения этогодвигателя, которые показаны (на примере графиков длявремен разгона и торможения: 3ctt тp == ) на рис. 3.На этом рисунке и далее на рис. 4 и рис. 5 кривые 1соответствуют квазиоптимальным (рассчитанным из (24)и (25) при *ξ=ξ ), а кривые 2, 3 и 4 – известным энерго-сберегающим тахограммам. Вид соответствующих этимграфикам расчетных аналитических зависимостей при-веден в табл. 3 (с идентичной нумерацией указанных гра-фиков на рис. 3 – рис. 5 кривыми: 1 – для квазиоптималь-ного управления; 2 – с формой гиперболического сину-са; 3 и 4 – для параболического и линейного вида соот-ветственно).

Также на данном этапе применительно к рассматри-ваемому типу ЧРАД выполнены для квазиоптимальныхиз (24) и (25) при *ξ=ξ и упомянутых известных энер-госберегающих тахограмм (при тех же значениях вре-мен разгона и торможения: о.е.4293ctt тp === ) рас-четы ОЭПЭ при разгоне рWΔ и торможении тWΔ (ре-зультаты показаны в табл. 2), а также электромагнитногомомента М и модуля статорного тока двигателя (графи-ки которых показаны соответственно на рис. 4 и рис. 5).Указанные расчеты проведены с применением следую-щих аналитических зависимостей [3]:

[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

′++=

′+=++=

=+⋅=

=+′++=

⋅=⋅= ∫∫

0,52rr

2c

2mr1

c2r

2rннr

2rs

ст.н2r

2rннs

2mr

21,32cЭМ

t

0ЭМт

t

0ЭМр

)Ψ/(K)ωJ(M)/L(ΨI

,ωJMM ),Ψ)/(K/η0,005PRK(Rb

, ΔPc ),Ψ)/(K/η0,005P(R)/L(Ψa

,0,65c/bJK ,cω) ωJb(MaΔP

,dt ΔPΔW dt,ΔPΔWтp

,

(26)



где используются обозначения: ЭМΔP – основные элект-

ромагнитные потери мощности; cM и /dtdωω =′ – со-ответственно момент сопротивления привода, приведен-ный к валу двигателя, и первая производная скорости дви-гателя по времени; a, b, c, K – постоянные коэффициенты.

ВЫВОДЫ1. Выявлено, что лишь при определенных значениях

времен разгона и торможения, для которых полученааналитическая зависимость из (11), в качестве оптималь-ных тахограмм ЧРАД, обеспечивающих минимизациюОЭПЭ в пускотормозных режимах, являются степенно-го вида функции (4) и (5). При этом выполненный в об-

щем виде аналитический расчет решения нелинейногоДУ (3) позволяет находить указанное степенного видачастное решение при произвольных значениях парамет-ра М упомянутого ДУ, что распространяет полученноерешение на другие (кроме ЧРАД) электромеханическиеобъекты, описываемые таким же видом нелинейного ДУ.

2. Предложенная гиперболического вида аппрокси-мация частного решения нелинейного ДУ (1), осуще-ствленная путем введения в аргумент гиперболическойфункции дополнительно поправочного коэффициентаξ с вариьруемым значением, позволяет повысить при

определенном (оптимальном *ξ ) значении этого коэф-фициента точность расчета квазиоптимальной тахограм-

Значения среднеквадратичного отклонения, % при значениях поправочного коэффициента ξ

Время, тp t,t

о.е. 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 при значении

ξ*

Значение ξ*, о.е.

0,5 0,0835 0,0531 0,0367 0,0579 0,0982 0,1453 0,1965 0,03668 1,197 1 0,416 0,286 0,157 0,102 0,217 0,378 0,552 0,0967 1,28 2 1,636 1,0243 0,858 0,523 0,410 0,650 1,01 0,400 1,38 3 3,09 2,496 1,94 1,436 1,044 0,861 0,962 0,858 1,51

Таблица 2 – Среднеквадратичные отклонения тахограмм с формой гиперболического синуса от квазиоптимальнойтахограммы

Значения ОЭПЭ, Вид тахограммы х.х. н.н.

п/п тип

Режим Аналитическая зависимость для тахограммы

Вид ОЭПЭ

о.е. кДж о.е. кДж

Р )Ktsh(ξ

)Ktsh(ξωp

*

*

уст ⋅ pΔW 4,638 39,84 23,09 198,3

1. квази-оптимальная

Т [ ]

)Ktsh(ξKt)(tξshω

т*т

*

уст−

⋅ тΔW 4,638 39,84 7,736 66,45

Р )Ksh(t

)Ksh(tωp

уст ⋅ pΔW 5,141 44,16 23,59 202,6

2. гипербо-лический синус

Т [ ]

)Ksh(tKt)(tshω

т

туст

−⋅ тΔW 5,141 44,16 8,239 70,76

Р 2

pуст t

tω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ pΔW 4,938 42,41 23,39 200,9

3. парабола

Т 2

т

туст t

ttω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅ тΔW 4,938 42,41 8,036 69,02

Р ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

pуст t

tω pΔW 6,040 51,88 24,49 210,3

4. линейная

Т ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅

т

туст t

ttω тΔW 6,040 51,88 9,138 78,49

Примечания: Р – разгон; Т – торможение; х.х. – холостой ход (Мс=0); н.н. – номинальная нагрузка (Мс=Мн).

Таблица 3 – Расчетные зависимости для исследуемых тахограмм и данные расчета ОЭПЭ для этих тахограмм при разгоне иторможении ЧРАД

61


мы ЧРАД в пускотормозных режимах для произвольныхвремен разгона и торможения. Установлено, что за счетэтого согласно данных из табл. 2 может быть уменьшенапогрешность определения оптимальной тахограммы (посравнению с ее точным вычислением методом Рунге-

Кутта) до (0,037 – 0,858) %, что является достаточным дляинженерной практики.

3. Использование предложенных в статье методоврасчета позволяет определить оптимальные и квазиоп-тимальные тахограммы ЧРАД в пускотормозных режи-

а)

б)Рисунок 1 – Оптимальная тахограмма и тахограммы с формой гиперболического синуса (при варьировании значения

поправочного коэффициента ξ ) для разгона (а) и торможения (б)

Рисунок 2 – Зависимость оптимального поправочного коэффициента *ξ от значения времен разгона pt и торможения тtдвигателя



мах без применения дорогостоящих пакетов вычисли-тельных программ в сравнении с упомянутыми пакета-ми вычислительных программ. Другими важными дос-тоинствами предложенных методов нахождения опти-мальных тахограмм являются: во-первых, исходное зада-ние желаемых начальных и конечных значений для рас-сматриваемых тахограмм (что очень удобно на практи-ке, но не реализуется всеми известными вычислитель-ными программами, в которых вместо конечных усло-вий задается значение производной скорости в началь-ный момент времени, которое обычно на практике яв-ляется неизвестным); во-вторых, заметная относитель-ная простота аналитических расчетных зависимостей (4),(5) и (24), (25), используемых в предложенных методах(например, по сравнению с широко используемым ме-тодом Рунге-Кутта).

4. Согласно результатам расчета, показанных на рис.1 и в табл. 2, использование оптимальных и квазиопти-мальных тахограмм разгона и торможения ЧРАД позво-ляет уменьшить потери электроэнергии в пускотормоз-ных режимах (например, на холостом ходу – на (6–23) %по сравнению с известными тахограммами в виде ги-перболического синуса, параболической или линейнойзависимости).

5. Предпочтительной областью применения опти-мальных тахограмм являются частотно-регулируемыеэлектроприводы, работающие в интенсивных пускотор-мозных режимах (например, главные приводы прокат-ных станов металлургического производства).

а)

б)

Рисунок 3 – Квазиоптимальная и энергосберегающие тахограммы ЧРАД для разгона (а) и торможения (б)

63


а) б)

в) г)Рисунок 4 – Графики электромагнитного момента ЧРАД:

а), б) – при разгоне; в), г) – при торможении;а), в) – на холостом ходу; б), г) – с номинальной нагрузкой

а)б)

в) г)Рисунок 5 – Графики модуля статорного тока ЧРАД:а), б) – при разгоне; в), г) – при торможении;

а), в) – на холостом ходу; б), г) – с номинальной нагрузкой



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Петров Ю. П. Оптимальное управление электропри-

водом. М–Л. : Госэнергоиздат, 1961. – 187с.2. Петров Ю. П. Оптимальное управление электричес-

ким приводом с учетом ограничений по нагреву. Л.: Энергия, 1971. – 144с.

3. Волков А. В., Колесников А.А. Энергосберегающееуправление скоростью частотно-регулируемого

асинхронного двигателя в пускотормозных режимах/ Электротехника. – 2013. – 5. – С. 2 –9.

4. Шрейнер Р. Т., Дмитренко Ю.А. Оптимальное час-тотное управление асинхронными электропривода-ми. – Кишинев: Штиинца, 1982. – 224с.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для науч-ных работников и инженеров. М. : Наука, 1984. – 832 с.


Волков В. О.Канд. техн. наук, Запорізька державна інженерна академія, УкраїнаРОЗРАХУНОК ОПТИМАЛЬНИХ ТАХОГРАМ РОЗГОНУ Й ГАЛЬМУВАННЯ ЧАСТОТНОРЕГУЛЬО-

ВАНОГО АСИНХРОНОГО ДВИГУНАЗапропоновано аналітичні розрахунки приватних рішень лінійного диференціального рівняння другого по-

рядку, що описує оптимальні траєкторії зміни швидкості (тахограми) частотно-регульованого асинхронногодвигуна (ЧРАД). При зазначених тахограмм забезпечується мінімізація основних електромагнітних втрателектроенергії цього двигуна в пускогальмівних режимах. Дана мінімізація здійснюється для заданих початко-вих і кінцевих значень швидкості і різних часів розгону і гальмування. Виконано розрахунки та порівняння міжсобою оптимальних, квазіоптимальних і відомих (знайшли в даний час застосування на практиці) енергозбері-гаючих тахограм (лінійного і параболічного вигляду, з формою гіперболічного синуса), а також відповідних їмосновних електромагнітних втрат електроенергії, електромагнітного моменту і модуля статорної струмуЧРАД. Обчислені оптимальні і квазіоптимальний тахограми призначені для використання в електроприводахзмінного струму прокатних станів з ЧРАД, що працюють в інтенсивних пускогальмівних режимах.

Ключові слова: асинхроний двигун, частотне керування, оптимальні діаграми.

Volkov V. A.Ph.D., Zaporozhye State Engineering Academy, UkraineCALCULATION OF THE OPTIMUM TACHOGRAM ACCELERATION AND DECELERATION OF

FREQUENCY CONTROLLED ASYNCHRONOUS MOTORSAnalytical calculations of private solutions of a linear second-order differential equation that describes the optimal

trajectory of the change (tachograms) rate of variable-frequency induction motor (VFIM)are proposed. Under thesetachograms the electromagnetic core loss minimization of engine power to start and stop the mode is ensured. Thisminimization is carried out for the specified start and end values †of speed and different acceleration and decelerationtimes. Calculations and comparison between optimal, suboptimal and famous (that are found in the current applicationin practice) energy saving tachograms sheets (linear and parabolic type, with the shape of a hyperbolic sine) areperformed, as well as their respective basic electromagnetic losses of electricity, electromagnetic torque and modulus ofthe stator current VFIM. The calculated optimal and quasi optimal tachograms are designed for use in AC drives ofrolling mills with VFIM working in the intensive start and stop mode.

Keywords: asynchronous motor, frequency regulation, optimal tachograms.

REFERENCES1. Petrov U. P. Optimalnoe upravlenie electroprivodom.

M–L, Gosenergoizdat, 1961, 187 S.2. Petrov U. P. Optimalne upravlenie electricheskim

privodom s uchetom ogranicheniy po nagrevu, L,Enegriya, 1971, 144 s.

3. Volkov A. V., Kolesnikov A. A. Energosberegauchee

upravlenie skorostu chastotno-reguliruemogoasinhronnogo dvigatelya v puskotoroznih regimah /Electrotehnika, 2013, No 5, S. 2, 9.

4. Shreyner R. T., Dmitrenko U. A. Optimalne chastotneupravlenie asinhronnimi electroprivodami, Kishinev:Shtiinca, 1982, 224 s.

5. Korn G., Korn T., Spravochnik po matematike dlyanauchnih rabotnikov i ingenerov, M, Nauka, 1984, 832 s.

65


УДК 621.365.32:621.3.024

Ярымбаш Д. С.1, Килимник И. М.2, Ярымбаш С. Т.3

1Д.т.н., доцент, зав. каф. «Электрические машины»,Запорожский национальный технический университет, Украина, E-mail: [email protected]

2К.т.н., доцент, доцент кафедры «Высшая математика»,Запорожский национальный технический университет, Украина

3К.т.н., доцент, доцент кафедры «Электрические машины»,Запорожский национальный технический университет, Украина

ДИНАМИЧЕСКАЯ АДАПТАЦИЯ СХЕМНЫХ МОДЕЛЕЙКОРОТКОЙ СЕТИ

Статья посвящена решению актуальных научных и прикладных задач развития научных и техническихоснов оптимизации и эффективного расчета систем питания мощных технологических комплексов электро-печей переменного тока.

Целью работы являлась разработка методики динамической адаптации схемных моделей сильнотоковыхтокопроводов электропечей для повышения точности и вычислительной эффективности расчета, учитыва-ющей влияние электромагнитного взаимодействия на электрические параметры и распределение токов втокопроводах.

Для моделирования процессов переменного тока, протекающих в сильнотоковых системах электропита-ния мощных электропечей, была сформирована система уравнений с известными условиями последовательногоили параллельного соединения ветвей электрических контуров, уравнений магнитной энергии для этих конту-ров и уравнений их собственной и взаимной индуктивности.

Использование вспомогательной задачи минимизации относительной токовой погрешности для определе-ния проекций вектора адаптации, реализуемой методом динамического программирования, позволило учестьвлияние электромагнитных процессов на электрические параметры систем питания мощных технологичес-ких комплексов электропечей переменного тока.

Численная реализация метода динамической адаптации для схемных моделей сильнотоковых токопроводовмощных технологических комплексов электропечей показывает существенное снижение затрат на вычисли-тельные ресурсы и времени.

Предложенная методика обеспечивает более высокую точность расчетов, по сравнению с известнымиинженерными методиками, и высокую вычислительную эффективность, по сравнению с численной реализациейполевых моделей.

Ключевые слова: динамическая адаптация, схемная модель, электрические параметры, печь сопротивле-ния, короткая сеть

Мощные технологические электропечные комплек-сы являются одними из основных потребителей элект-рической электроэнергии. Повышение их энергоэффек-тивности напрямую зависит от уровня электрическихпотерь в системах питания, которые могут достигать до30...40% [1].

Для оценки электрических потерь в сильноточныхтокопроводах мощных технологических комплексов элек-тропечей сопротивления широкое применение получи-ло схемное моделирование [3, 4]. Применение полевогомоделирования для определения параметров схемныхмоделей, для обеспечения высокой точности, требуетзначительных затрат вычислительных и временных ре-сурсов, а также дорогостоящего специализированногопрограммного обеспечения. Альтернативой полевомумоделированию является использование обобщенныханалитических выражений [5, 6]. Однако, вследствие ле-жащих в их основе допущений и приближений, они име-ют ограниченную область использования и не обеспечи-вают точность и достоверность результатов в широкомдиапазоне варьирования параметров для различных кон-структивных исполнений сильноточных токопроводов.

Поэтому для проектирования новых или модерниза-ции действующих сильнотоковых энергоэффективныхвторичных сетей технологических комплексов электро-печей переменного тока актуальной следует считать раз-работку новой высокоэффективной методики опреде-ления параметров схемных моделей, которая обладаеталгоритмической простотой, не требует значительныхвычислительных ресурсов, удовлетворяет требованиямточности, быстродействия и может быть адаптирована кразличным конструктивным исполнениям вторичныхтокопроводов.

Целью работы является разработка методики динами-ческой адаптации схемных моделей сильнотоковых токоп-роводов электропечей для повышения точности и вычис-лительной эффективности расчета, учитывающей влия-ние электромагнитного взаимодействия на электричес-кие параметры и распределение токов в токопроводах.

Для моделирования процессов переменного тока,протекающих в сильнотоковых системах электропитаниямощных печей сопротивления, формируется системауравнений с известными условиями последовательногоили параллельного соединения ветвей электрическихконтуров:

Ярымбаш Д. С., Килимник И. М., Ярымбаш С. Т., 2015©



⎪⎩

⎪⎨⎧

=Δ=Δ===Δ

−⋅=

∑∑k

ikikjii

mmmm

IIUUIIIUU ,тппппп ;;;

;EIZUΔ

(1)

где mimmimm KiIU ,1 , , ,, ==Δ= IUΔ – вектора па-дений напряжений и токов в ветвях.

Если выделить и условно подключить i -ю ветвь к ис-точнику с выходным напряжением iUΔ , то ее можнорассматривать как электрический контур с соответству-ющими активными сопротивлениями imR , , собственны-ми imL , и взаимными индуктивностями imM , для матри-цы сопротивлений:

,,1

,,mKi

imim LRdiag=

⋅ω+= jZ (2)

и вектора ЭДС взаимной индукции в системе алгебраи-ческих уравнений (1):

, ,, imim EE ==E

( ) ( )

,

,1,,1

,

,,1

,,,,,1

,,

nm

nm

KiKj

in

K

nmjii

ijnmjm

K

jij

ijm IMIM

∈∀∈∀≠≠

=≠=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅ω±⋅ω= ∑∑ jj(3)

Активные сопротивления шин в матрице сопротив-лений (2) рассчитываются для допустимых значений тем-ператур соответствующих требованиям [6]. Влияние до-бавочных потерь на величину активного сопротивления,обусловленное поверхностным эффектом и эффектомблизости, учитывается с помощью соответствующихкоэффициентов добавочных потерь согласно [6, 8].

В соотношениях (2) – (3) начальные приближениясобственных и взаимных индуктивностей контуров ба-зируются на известных соотношениях [4, 5]:

( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

⋅Φ=Ψ==

Φ=Ψ=

≠∫

∫ ,

;

,,,

2

mnmnnmmmnnmmn

mmmmmm

IIdiIMM

IdiIL

где ( ) ,,, пjπj ddidI nmnm

Fnmnm

nm

∨∨∨∨ == ∫∫∨

nm∨j – токи

и плотности тока в токопроводах контуров nmC ∨ , с попе-речными сечениями nmF ∨ ; mnmm ML ,,,Ψ – потокосцеп-ление, собственные и взаимные индуктивности.

Для дальнейшего упрощения математических преоб-разований можно допустить, что односвязные поверх-ности nm∨Π принадлежат конечным поверхностно-од-носвязным областям с замкнутыми регулярными кри-выми nmC ∨ и применить для описания магнитных пото-

ков nm∨Φ теорему Стокса [4]:

( ) ( )∫∫∫∫∨∨ Π

∨Π

∨∨ ===Φnmnm

nmnmnm dп)rot(AdпB ,,

( )∫∨

∨=nmС

nm dсA ,,

и представить соотношения для mnm ML ,, в виде:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅==

=⋅⋅=

⋅=

≠

∨∨∨∨∨∨

∫∫ ∫

∫∫ ∫

∫∫ ∫∨ ∨

.,,

,,

;,,

,

,

2

nm

nmF

mmС

mnnm

mnF

nnС

nmmn

nmF

nmnmС

nmnmnm

IIddM

IIddM

IddL

m m

n n

nm nm

πjсA

πjсA

πjсA

(4)

При условиях коллинеарности векторов

( )nmnm ∨∨ ↑↑ πс интегральные выражения (4) будут пре-образованы:

( )

( )( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅==

=

=⋅=

≠

∨∨

∨∨∨∨∨

∫∫∫

∫∫∫

,

;,

,,1

,,

2

nm

nmV

mmnmnnm

nmnm

nmV

nmnmnmm

nm

IIdvMM

dd

dvdvI

L

m

m

jA

πс

jA

и с учетом описания векторного магнитного потенциа-ла [4, 5]

( )∫∫∫∨

∨∨∨ ζ∨ζπ

μ=

nmVnmnmmmnmnm dv,`,4

jA ,

будут представлены в виде:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ζ×

×⋅

⋅π

μ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ζ×

×⋅π

μ=

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫∨ ∨

′′′′∨′′′

∨′∨′

∨∨

,,

14

;,

14

,

,,

",","`,,

``

2

m n

nm nm

Vmm

V mn

nn

nmmnnm

Vnmnm

V nnmm

nmnm

nmnm

dvdv

IIMM

dvdv

IL

jj

jj

(5)

где nm,ζ – расстояние между точкой m и бесконечно ма-а-лым объемом ndv .

67


В соответствии с [5] объемы nmV ∨ контуров nmC ∨можно разбить на участки:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

,

;

1,

1,

1,

1,

,

,

∑ ∫∫∫∑

∑ ∫∫∫∑

==

==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡==

m

jm

m

n

in

n

K

j Vjm

K

ijmm

K

i Vin

K

iinn

dvVV

dvVV

где ( ) ( )injm VV ,, , объемы участков контуров nm СС , с дли-ной контура injm СС ,, ,ΔΔ .

Соотношения (3) можно преобразовать к виду:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ζ×

×⋅

⋅π

μ==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

ζ×

×⋅π

μ=

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫∨ ∨

′′′′∨′′′

∨′∨′

∨∨

,,

14

;,

14

,

,,

",","`,,

``

2

m n

nm nm

Vmm

V mn

nn

nmmnnm

Vnmnm

V nnmm

nmnm

nmnm

dvdv

IIMM

dvdv

IL

jj

jj

(6)

Таким образом, собственную индуктивность Lm кон-тура Cm в соотношении (3) можно формально предста-вить в виде суммы выражений для его участков:

( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

∑

∑

≠=′′′Δ

=Δ ;

,1,,,,,

1,

,

,

m

jm

m

jm

K

jiiijmmjmjС

K

jjСm

MLL

LL

. (7)

С использованием соотношений (4) – (7) магнитнуюэнергию контура Cm можно оценивать как сумму маг-нитных энергий его участков:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

=⋅=

+=

==

∑

∑

∑

≠=

≠=

Δ=

Δ

2

,1,,

,,,2

,

,1,,,

,1

,

,

;

,

,,

,,

,,

m

K

jiiijm

ijmMmjm

K

jiiijmM

jС

K

jjСm

IM

WILW

WW

WWW

m

jmL

m

jmL

jm

m

jm

,

где

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠

ζπμ

=

=∈

ζπμ

=

=

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

′′ ′′′′

′′′′′′

′′′

′′′′′′

ij

dvdv

MKj

dvdv

I

L

jm im

jm jm

V V jmim

jmimjmim

ijm

m

V V jmjm

jmjmjmjm

m

jm

, ,

, ,

,,, 4

;,,1

,,14

,,,

,,,,

,,

,,,

,,,,2

,

jj

jj

…

(8)

Аналогичным образом можно определить форму-лировки для составляющих магнитной энергии, обуслов-ленной взаимными индуктивностями участков

injm СС ,, , ΔΔ :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅=

⋅⋅= ∑ ∑= =

,

;

,,,,,,

1 1,,,

ijnmnmijnm

K

j

K

iijnmnmm,n

MIIW

WIIWm n

где

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

.

,,14

, ,,,,

,,,,

,,,

nm

dvdvII

M

jm inV V jmin

injminjm

nm

ijnm

≠

ζ⋅πμ

=

=

∫∫∫ ∫∫∫ jj(9)

Точность расчета интегральных соотношений(4) – (9) определяет точность расчета токов участков, па-дений напряжения и потерь активной мощности.

Однако при неравномерном распределении модуляи фаз плотности токов в объемах массивных токопрово-дов коротких сетей переменного тока, обусловленномповерхностным эффектом и внешним поверхностнымэффектом, итерационные процессы из-за многократно-го интегрирования в соотношениях (4) – (9) требуют зна-чительных вычислительных затрат и не всегда обеспечи-вают сходимость и точность расчетов искомых электри-ческих параметров. Поэтому для начального приближе-ния схемной модели (1) – (10) принимаются условия рав-номерного распределения плотности тока, однороднос-ти фаз и коллинеарности векторов ( )mmm πсj ↑↑↑↑ ,

( )nnn πсj ↑↑↑↑ . Это позволяет существенно упроститьвыражения для собственной индуктивности (8) и взаим-ной индуктивности участков (9) и привести их к виду,аналогичному известным расчетным формулам [4]:



( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

−Δπ

Δ⋅μ=

≠==

−Δπ

Δ⋅μ=

−Δπ

Δ⋅μ=

.,..,1,,..,1

;12ln2

;,,..,1,,..,1

;12ln2

;12ln2

nm

,,,0

,DC

mm

,,,,0

,,DC

,,,0

,

NNMm

gCC

M

jiKjKi

gCC

M

gCC

L

nmnmnm

nm

ijmimim

ijm

iiimim

imDC

, (11)

где 0μ – магнитная проницаемость, nmijm gg ,,, , – сред-д-негеометрические расстояния, которые определяются сучетом взаимного расположения токопроводов.

Для схемной модели (1) – (10) вводится вектор адап-тации с компонентами

nm,AC,L,д,AC ,,, kkkkK iii= , (12)параметры которого определяют методом динамичес-кого программирования [10] из условия минимума то-ковой погрешности

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑ ∑

j jii

2

кmin IDI

и соотношений:

( ) ( ) ( ) ( ) imim

iimimi

LL

kRRk

,DC,AC

L,,DC,ACд, ;

=

==(13)

( ) ( )

( ) ( ) .

;

,1,,,DC

,1,,,ACnm,

,1,,DC

,1,,ACAC,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

∑∑

∑∑

==

≠=

≠=

nn

mm

K

iijnm

K

iijnm

K

jij

ijm

K

jij

ijmi

MMk

MMk

(14)

На эффективность вычислительного процесса опти-мизации существенное влияние оказывает точность рас-четов начального приближения (11) и, прежде всего, точ-ность расчета средних геометрических расстояний длясложных конструкций шинных пакетов, для которых по-грешности при использовании приближенных соотно-шений [5] могут достигать свыше 20%.

При использовании сложных символьных преобра-зований либо квадратурных формул интегрирования [11]требуются значительные затраты времени и вычисли-тельных ресурсов. Поэтому для токопроводов с шинамипрямоугольного сечения целесообразно использоватьобобщенные соотношения для среднегеометрическихрасстояний, собственных и взаимных индуктивностей,предложенные в работе [7].

Для апробации новой методики адаптации схемноймодели допустимая область проекций вектора адаптации:

28,127,1 AC,0 ≤≤ K ; 9625,0955,0 AC,1 ≤≤ K ;

9625,0955,0 AC,2 ≤≤ K ; 052,105,1 AC,3 ≤≤ Kустанавливалась методом упорядоченного перебора сучетом влияния неравномерного распределения плот-ности тока и внешнего поверхностного эффекта. Былавыполнена динамическая оптимизация параметров век-тора (12) по данным 3D моделирования электромагнит-ных полей в зоне керна и бокового шинного пакета, чтообеспечило существенное улучшение точности расче-тов токов в боковом шинном пакете (рис. 1).

Установлено, что распределение токов в боковомшинном пакете определяется, прежде всего, величина-ми реактивного сопротивления их шин. Поэтому их ак-тивными сопротивлениями можно было пренебречь,что позволило линеаризовать систему (1) – (3) и суще-ственно сократить затраты времени при решении сис-тем линейных алгебраических уравнений. Такое упро-щение системы (1) – (3) практически не влияет на точ-ность определения токов в шинах бокового шинопакета,погрешность расчета которых не превышает 3,8% посравнению с данными полевого моделирования.

Динамическая адаптация схемной модели (1) – (3)позволяет снизить погрешность расчета токов с 20,12%до 3,62% (рис. 1) [1]. Достоверность и точность результа-тов моделирования подтверждалась сравнением расчет-

б)

Рисунок 1 – Точность расчета распределения токов вбоковом шинном пакете:

а – без адаптации параметров схемной модели,б – при динамической адаптации схемной модели

а)

69


ных данных с данными измерения падений напряженийна элементах печной петли в производственных услови-ях при графитации заготовок электродов. Погрешностьдля действующих значений падений напряжения на то-коподводах переднего и заднего торца составляла 7,5…8,2% и на боковом шинопакете – 6,8…7,92%. Измеренияпроводились на ПАО «Украинский графит» специали-зированным многоканальным мобильным автоматичес-ким измерительным комплексом (класс точности 0,2) [1].

Следует отметить, что при использовании этой мето-дики расчета для шинных пакетов мощных печей графи-тации переменного тока нет необходимости уточнениявектора адаптации для различных токовых режимов. Этосущественно снижает трудоемкость расчетов и соответ-ствует требованиям оптимизации конструктивных пара-метров коротких сетей.

ВЫВОДЫРазработанная методика динамической адаптации

схемных моделей сильнотоковых токопроводов мощныхтехнологических комплексов электропечей с использо-ванием вспомогательной задачи минимизации относи-тельной токовой погрешности для определения проек-ций вектора адаптации, реализуемой методом динами-ческого программирования, позволяет учитывать влия-ние электромагнитных процессов на электрические па-раметры. При этом, обеспечивается более высокая, посравнению с известными инженерными методиками,точность расчетов (относительная погрешность менее4%), а также эффективность численной реализации, чтоподтверждается сравнением полученных результатов сданными экспериментальных измерений в промышлен-ных условиях. При использовании предложенной мето-дики расчета нет необходимости уточнения вектора адап-тации для различных токовых режимов. Это существен-но снижает трудоемкость расчетов и соответствует тре-бованиям оптимизации конструктивных параметров ко-ротких сетей. Численная реализация данной методики, вотличии от полевого моделирования, не требует суще-ственных затрат вычислительных и временных ресурсов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Ярымбаш Д. С. Особенности контроля электричес-

ких параметров, мощности и энергопотребления вовремя кампании графитации в печи переменноготока / Ярымбаш Д . С . , Ярымбаш С . Т. ,Тютюнник О. В. // Вісник Кременчуцького держав-ного політехнічного університету. – Кременчук:КДПУ, 2006, – Вип. 3/2006(38), – С. 53 – 55.

2. Ярымбаш Д. С. Особенности определения парамет-ров электрической схемы замещения печной петлипечи графитации переменного тока / Д. С. Ярым-баш, И. М. Килимник, С. Т. Ярымбаш // Електротех-ніка та електроенергетика. – 2010. 2. – С. 36 – 43.

3. Канов Л. Н. Применения схемного моделированиядля расчетов режимов электрических систем пере-менного тока / Л. Н. Канов // Електротехніка та елек-троенергетика. – 2009. 2. – С. 72 – 76.

4. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей: [справоч-ная книга] / П. Л. Калантаров, Л. А. Цейтлин. –[3-е изд.] – Л.: Энергоатомиздат, 1986. – 488 с.

5. Данцис Я. Б. Короткие сети и электрические пара-метры дуговых электропечей / Я. Б. Данцис, Г. М.Жи-лов. – М.: Металлургия, 1987. – 320 с.

7. Ярымбаш Д. С. Повышение энергоэффективностиэлектротехнического комплекса графитации примодернизации боковых шинных пакетов мощныхпечей графитации / Д. С. Ярымбаш, С. Т. Ярымбаш// Вісник СевНТУ: зб. наук. пр. Вип. 132/2012. Серія:Механіка, енергетика, екологія. — Севастополь, 2012.С. 93 – 100.

8. Ярымбаш Д. С. Применение адаптированных схем-ных моделей для расчета токов короткой сети мощ-ных электротехнических комплексов / Д. С. Ярым-баш // Энергосбережение. Энергетика. Энергоау-дит. – 2012. 2. – С. 72 – 76.

9. Арнольд В. И. Математические методы классическоймеханики / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1989. – 472 с.

10. Аветисян, Д. А. Оптимальное проектирование элек-трических машин на ЭВМ / Аветисян Д. А., СоколовВ. С., Хан В. С. — М.: Энергия, 1976. — 208с.

11. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов,Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: ЛабораторияБазовых Знаний, 2003. – 632 с.


Яримбаш Д. С.1, Килимник І. М.2, Яримбаш С. Т.31Д.т.н., доцент, зав. каф. «Електричні машини», Запорізькій національний технічний університет, Україна2К.т.н., доцент, доцент кафедри «Вища математика», Запорізькій національний технічний університет, Україна3К.т.н., доцент, доцент кафедри «Електропостачання промислових підприємств», Запорізькій національний

технічний університет, УкраїнаДИНАМІЧНА АДАПТАЦІЯ СХЕМНИХ МОДЕЛЕЙ КОРОТКОЇ МЕРЕЖІСтаття присвячена вирішенню актуальних наукових і прикладних задач розвитку наукових і технічних

основ оптимізації та ефективного розрахунку систем живлення потужних технологічних комплексів електро-печей змінного струму.

Метою роботи була розробка методики динамічної адаптації схемних моделей потужнострумових токоп-роводов електропечей для підвищення точності і обчислювальної ефективності розрахунку, що враховує впливелектромагнітнї взаємодії на електричні параметри і розподіл струмів у струмопроводах.

Для моделювання процесів змінного струму, що протікають в потужнострумових системах електроживлення



потужних електропечей, була сформована система рівнянь з відомими умовами послідовного або паралельногоз’єднання гілок електричних контурів, рівнянь магнітної енергії для цих контурів і рівнянь їх власної та взаєм-ної індуктивності.

Використання допоміжної умови мінімізації відносної струмової похибки для визначення проекцій вектораадаптації, яка реалізується методом динамічного програмування, дозволило врахувати вплив електромагніт-них процесів на електричні параметри систем живлення потужних технологічних комплексів електропечейзмінного струму.

Чисельна реалізація методу динамічної адаптації для схемних моделей потужнострумових струмопроводівпотужних технологічних комплексів електропечей показує суттєве зниження витрат на обчислювальні ресур-си і часу.

Запропонована методика забезпечує більш високу точність розрахунків, у порівнянні з відомими інженерни-ми методиками, і високу обчислювальну ефективність, у порівнянні з чисельної реалізацією польових моделей.

Ключові слова: динамічна адаптація, схемна модель, електричні параметри, піч опору, коротка мережа

Yarymbash D. S.1, Kilimnik I. M.2, Yarymbash S. T.31Doctor of Engineering Sciences, Associate Professor Head of Department «Electrical machines», Zaporizhzhya

national technical university, Ukraine2Ph.D., Associate Professor, Senior Lecturer of Department «High mathematics», Zaporizhzhya national technical

university, Ukraine3Ph.D., Associate Professor, Senior Lecturer of Department «Electrical machines», Zaporizhzhya national technical

university, UkraineTHE DYNAMIC ADAPTATION OF CIRCUIT MODELS OF SHORT-CIRCUITThe paper is devoted to the solution of actual scientific and applied problems of development of scientific and technical basis

of optimization and efficient calculation of electrical supply systems of high-power industrial complexes of AC electric furnaces.The aim of research was to develop the dynamic adaptation method of circuit models of high-current conductors

system of AC furnaces and to improve the accuracy and computational efficiency of calculations and correlation of theelectromagnetic interaction effects with the electrical parameters of the current distribution in the bus systems.

The system of equations with the conditions of serial and parallel connections of electric circuits, the system ofequations for the magnetic energy of these contours, the system of equations of self and mutual inductance contours wereproposed for modeling processes in the AC high-current power supply systems of high-power furnaces.

The problem of the relative current error minimization is added, and determination of the adaptation vector projectionsis realized by the dynamic programming method. It allows to take into account the influence of the electromagnetic processeson the electrical parameters of the power systems of powerful electro-technological complexes of AC electric furnaces.

The experience of numerical realization of the method of circuit model dynamic adaptation of powerful high-currentconductors of electric technological systems of AC furnaces shows the significant reduction in the cost of computingresources and time.

This method provides the higher accuracy of calculations as compared with known engineering techniques, and higheffectiveness computation as compared with numerical realization of field models.

Keywords: dynamic adaptation, circuit model, electrical parameters, electric resistance furnace, short-circuits

REFERENCES1. Yarymbash D. S., Yarymbash S. T., Tyutyunnik O. V.,

Osobennosti kontrolya elektricheskih parametrov,moschnosti i energopotrebleniya vo vremya kampaniigrafitatsii v pechi peremennogo toka, VisnikKremenchutskogo derzhavnogo politehnichnogounшversitetu, KDPU, Kremenchuk, 2006, No. 3(38), pp.53–55.

2. Yarymbash D. S., Kilimnik I. M., Yarymbash S. T.,Osobennosti opredeleniya parametrov elektricheskoyshemy zamescheniya pechnoy petli pechi grafitatsiiperemennogo toka, Elektrotehnika taelektroenergetika, 2010, No. 2, pp. 36–43.

3. Kanov L. N., Primeneniya shemnogo modelirovaniyadlya raschetov rezhimov elektricheskih sistemperemennogo toka, ElektrotehnIka taelektroenergetika, 2009, No. 2, pp. 72–76.

4. Kalantarov P. L., Tseytlin L. A., Raschet induktivnostey,Leningrad, Energoatomizdat, 1986, 488 p.

5. Dantsis Ya. B., Zhilov G. M., Korotkie seti ielektricheskie parametryi dugovyih elektropechey,Moscow, Metallurgiya, 1987, 320 p.

7. Yarymbash D. S., Yarymbash S. T., Povyshenieenergoeffektivnosti elektrotehnicheskogo kompleksagrafitatsii pri modernizatsii bokovyih shinnyh paketovmoschnyh pechey grafitatsii, Visnyk SevNTU, Seriya:Mehanika, energetika, ekologiya, Sevastopol, 2012,No. 132,. pp. 93–100.

8. Yarymbash D. S., Primenenie adaptirovannyh shemnyhmodeley dlya rascheta tokov korotkoy seti moschnyhelektrotehnicheskih kompleksov, Energosberezhenie.Energetika. Energoaudit, 2012, No. 2, pp. 72–76.

9. Arnold V. I., Matematicheskie metodyi klassicheskoymehaniki, Moscow, Nauka, 1989, 472 p.

10. Avetisyan D. A., Sokolov V. S., Han V. S., Optimalnoeproektirovanie elektricheskih mashin na EVM, Moscow,Energiya, 1976, 208 p.

11. Bahvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M.,Chislennyie metody, Moscow, Laboratoriya BazovyihZnaniy, 2003, 632 p.

71


II. ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКА

©

УДК 621.313.333:621.3.01

Костін М. О.Д-р техн. наук, Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна,

Дніпропетровськ, Україна, E-mail:[email protected]

ЕНЕРГЕТИЧНІ СПЕКТРИ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТЯГОВИХНАПРУГ І СТРУМІВ ЕЛЕКТРОТРАНСПОРТУ

Спектральний аналіз тягових напруг і струмів є основою для оцінки енергетики електромагнітних процесівв системах електричної тяги, зокрема, постійного струму. Останнє обумовлено тим, що система постійногоструму такою не є в наслідок нестаціонарного випадкового характеру зміни тягових напруги і струму. Непе-ріодичний стохастичний характер зміни напруги і струму викликає для дослідження їх спектрального складузастосування імовірнісних методів, що ґрунтуються на спектрально-кореляційній теорії випадкових процесів.Викладені теоретичні передумови і отримані співвідношення зв’язку енергетичного спектру випадкового про-цесу з його кореляційною функцією. Наведено результати чисельних розрахунків спектрів тягових напруг іструмів реально діючих підсистем електричного транспорту: фідерної напруги на тяговій підстанції; струмівв режимах тяги і рекуперації електровозів відповідно ДЕ 1 і ВЛ 8; напруги на струмоприймачі міського трам-ваю. Встановлено, що енергетичні спектри випадкових процесів тягових і рекуперативних напруг і струмівмають імовірнісний характер, залежний від технологічних факторів роботи системи, а енергія випадковогопроцесу чисельно більша в режимі тяги, ніж в режимах рекуперативного гальмування.

Ключові слова: напруга, тяговий струм, кореляційна функція, електротранспорт, спектральній аналіз,випадковий процес, енергетичний спектр.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІСистеми електричного транспорту усіх видів, магіст-

рального, приміського, шахтного і міського, живлятьсяпостійною, точніше, випрямленою напругою від 600 до3000 В. Однак, оскільки електрорухомий склад (ЕРС) яв-ляється нестаціонарним різкозмінним, нелінійним наван-таженням в цих системах, то в останніх протікають тежрізкозмінні стохастичні тягові струми ( )I t . У свою чер-гу, такі струми обумовлюють випадкові процеси техно-логічних коливань напруги ( )U t в живлячих тягових ме-режах. Тобто, системи електричного транспорту пост-ійного (за своєю назвою) струму, являються по суті сис-темами змінного струму і тому для аналізу в них елект-роенергетичних процесів потрібен спектральний аналізтягових ( )U t і ( )I t . Оскільки і напруга, і струм в усіхвидах електротранспорту мають неперіодичний випад-ковий характер часової зміни [1], для дослідження їх спек-трального складу необхідно застосування імовірніснихметодів, основним з яких вважається метод, що ґрун-тується на спектрально-кореляційній теорії випадковихпроцесів [2].

Ця робота є продовженням і розвитком досліджень [3,4] по адаптації зазначеної теорії до спектрального аналізунапруг і струмів. Однак в цих роботах, по-перше, досліджу-вали лише гармонійні (дискретні, амплітудні) спектри, а вив-чення енергетичних спектрів не торкалися. По-друге, анал-ізу піддавали напруги і струми лише в фазі тяги руху ЕРС зпоїздами і зовсім не вивчалась фаза рекуперативного галь-мування. Нарешті, виконувався аналіз напруг і струмів елек-тровозів і не аналізувались ці величини на ЕРС міськогосполучення, тобто на трамваях, режим руху яких суттєвовідрізняється від руху електровозів з поїздами.

Окрім зазначеного, при спектральному аналізі тяго-вих напруг і струмів треба враховувати таке. Миттєві ве-личини випрямлених напруг і струмів як фідерних на тя-говій підстанції (ТП), так і на електрорухомому складі єпульсуючими, що складаються із постійної і змінної скла-дових (рис. 1 і 2).

Коливання змінної складової можна умовно розпод-ілити на високочастотні («швидкі») і низькочастотні(«повільні»). Перші мають електромагнітне походжен-ня, бо обумовлені пульсністю (6-ти чи 12-ти – пульсною)перетворювальної установки на ТП, роботою фільтро-компенсуючого пристрою і колекторних тягових двигунівта інш. Ці коливання вивчались багатьма дослідниками,зокрема в останні роки в роботах [5–8], залишаючи безуваги аналіз «повільних» коливань. Зазначені процесизміни миттєвих випрямлених величин напруги ( )u t і стру-му ( )i t є випадковими процесами, які в теорії випадковихпроцесів кваліфікуються, як модульовані випадкові про-

цеси з несучою частотою 2Тπ

ω = і випадковою ампліту-

дою ( mU чи mI ).У випадку незмінності ω (як це має місце на рис. 3)

всю інформацію про випадкові зміни ( )u t чи ( )i t несесевипадкова крива-обвідна амплітуд ( )mU t чи ( )mI t : коли-вання миттєвих значень чи з частотою ω нібито запов-нюють фігуру, яку описує обвідна. Одночасно, за кож-ний період зміни напруги (струму) можна знайти вип-рямлене значення dU (чи dI ) з якоюсь постійною вели-чиною, і представити dU (чи dI ) теж ломаною лінією

( )dU t (чи ( )dI t ). Цю лінію ( )dU t (чи ( )dI t ) (рис.3) мож-на розглядати, як обвідну випрямлених значень напруги(чи струму) і яка теж, як і обвідна амплітуд, несе всю

Костін М. О., 2015



Рисунок 1 – Осцилограма змінної складової напруги на фідері ТП «Нижньодніпровськ-Вузол»

Рисунок 2 – Осцилограма змінної складової напруги на фідері ТП «Горяіново»

інформацію про ( )u t (чи ( )i t ). Записана певними при-ладами обвідна крива ( )dU t (чи ( )dI t ) являє собою реє-

Рисунок 3 – Якісна часова залежність випрямленої напруги (чи струму)

Рисунок 4 – Реєстрограми (обвідних) випрямлених напруги і струму

строграму напруги (струму) як випадковий низькочас-тотний процес (рис. 4); у подальшому індекс «d» опус-каємо.

73


Коливання (обвідної) випрямлених значень (рис. 3 і 4)обумовлені коливаннями технологічного навантаження(ЕРС), масою, швидкістю ведення поїзда, профілем колії,режимом роботи енергосистеми тощо. Енергетичні спек-три цих «повільних» коливань напруги і струму і дослід-жуються в цій роботі.

МЕТОДИКА І ПРИЛАДИ ЕКСПЕРИМЕН-ТАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

В цій роботі для оцінки енергетичного спектру на-пруг і струмів виконано експериментальні дослідженняв реальних умовах експлуатації: фідерної напруги на тя-говій підстанції «Славянка» Придніпровської залізниці;струму тяги на електровозі ДЕ 1; струму рекуперації наелектровозі ВЛ 8; напруги на струмоприймачі тиристор-ного трамвая.

Експериментальне отримання часових залежностеймиттєвих величин випрямлених напруги і струму (осци-лограм) на виході ТП «Славянка» виконували осцилог-рафічним приладом С1-93, перший канал якого, для за-пису струму, вмикали паралельно до шунта (3000А/75мА)досліджуваного фідера. Другий канал осцилографа, дляреєстрації напруги, вмикали паралельно до вихідних за-тискачів подільника напруги (40/1), увімкнутого до шин«+» і «–» ТП. Для запису часової залежності обвідноїкривої (реєстрограм) випрямленої напруги ТП застосо-вували ампервольтметр самописний переносний типуН339 за 01280.

Реєстрограми струмів ( )I t в режимі тяги і рекупера-тивного гальмування електровозів відповідно ДЕ 1 та ВЛ8 отримували на діючій ділянці Нижньодніпровськ-Ву-зол-Чапліно Придніпровської залізниці. В процесі реаль-ної експлуатації ЕРС було знято 20 реалізацій ( )U t та дляелектровозу ДЕ 1 та 15 реалізацій – для ВЛ 8. Крім того,було отримано також 15 реалізацій для трамваїв типу ТЗДі NGN6, м. Краків (Польща) [9–11]), що експлуатуютьсяна міських маршрутах. Тривалість реалізацій для ЕРС склала~70 хв., для трамваїв ~30 хв. Реалізації на ДЕ 1 фіксували збортового комп’ютера електровозу, на ВЛ 8 – за допомо-гою розробленої мікропроцесорної системи [12]. Вимі-рювання напруги на струмоприймачі ( )U t трамваю ви-конували шляхом вмикання персонального комп’ютерадо його контрольно-вимірювальної бортової системи, щомістить датчики струму та напруги силового кола трам-ваю та аналогово-цифровий перетворювач [9–11].

ТЕОРЕТИЧНІ ПЕРЕДПОСИЛКИ СПО-СОБУ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ

Насамперед, заради спрощення подальшого теоре-тичного аналізу, позначимо напругу ( )U t та струм ( )I tоднією функцією ( )f t .

Згідно з [13], якщо функція ( )f t є періодичною і виз-начається на будь-якому інтервалі часу [ , ]τ τ + Δτ , длятакої функції справедливим є інтеграл Фур’є, який маєвигляд

0 0

2( ) ( ) cos ( )f t d f t dtT

∞ ∞= ω τ ω τ −∫ ∫ . (1)

Згідно цієї формули, неперіодична функція ( )f t роз-кладається на нескінченному інтервалі часу [0, ∞) на гар-монічні коливання кутової частоти ω , яка змінюєтьсявід 0 до ∞ . Тобто, на відміну від дискретного спектраперіодичної функції неперіодична функція ( )f t має су-цільний спектр, а частоти утворюючих її гармонік зміню-ються безперервно.

Задача аналізу спектрального складу напруги ( )U tта струму ( )I t ускладнюється випадковим характероммїх зміни, тому що розкладання в ряд Фур’є неможливий.Інтегральне перетворення Фур’є до випадкового проце-су також не застосовується, тому що інтеграли, які роз-раховуються, розбігаються із-за невиконання умов Ди-рихлє [13]. Тому спектральний аналіз випадкових про-цесів ґрунтується на введенні спектральної густини ( )S ωвипадкового процесу ( )f t , який являє собою перетво-рення кореляційної функції ( )K τ цього процесу заспіввідношенням А. Я. Хинчина [2]:

1( ) ( )2

jS K e d∞

− ωτ

−∞

ω = τ τπ ∫ . (2)

Для дійсних функцій (процесів) ( )f t , якими є ( )U tта ( )I t , замінимо je− ωτ в (2) формулою Ейлера:

cos sinje j− ωτ = ωτ − ωτ . (3)

Після підстановки (2) в (3) отримаємо

0

1( ) ( ) cosS K d∞

ω = τ ωτ τπ ∫ . (4)

Інколи спектральну густину визначають не як ( )S ω ,а як: 1( ) 2 ( )S Sω = ω і тоді маємо

10

2( ) ( )cosS K d∞

ω = τ ωτ τπ ∫ . (5)

У подальшому під спектральною густиною будемо ро-зуміти вираз (5), але нижній індекс «1» опустимо, тобто:

0

2( ) ( ) cosS K d∞

ω = τ ωτ τπ ∫ . (6)

Фізична сутність ( )S ω полягає в тому, що, якщо ро-зуміти під випадковим процесом ( )f t струм чи напру-гу, величина ( )S ω буде мати розмірність енергії. Якщо

припустити 0τ = , то (0) ( )K S d D∞

−∞

= ω ω =∫ , тобто ( )S ω



показує, що дисперсія D («енергія») випадкового про-цесу дорівнює площі під кривою спектральної густини.Величину ( )S dω ω можна розуміти як потужність про-цесу ( )f t , який входить в полосу частот dω . На підставіцього ( )S ω представляє собою спектральну густину по-тужності, яка називається ще енергетичним спектром ви-падкового процесу. Спектральна густина ( )S ω , як імові-рнісна характеристика, описує залежність густини розпо-ділу дисперсії амплітуд гармонік за частотним діапазоном.Якщо характеризувати енергетичну сторону ( )f t , функ-ція ( )S ω визначає розподіл середньої потужності випад-кового процесу по частоті і дозволяє визначити ті частоти,які вносять основний вклад в статистичну динаміку на-пруги (чи струму), тобто на яких частотах зосередженаосновна енергія коливань напруги (чи струму).

Вирази (2)–(6) свідчать про те, що для визначення спек-тральної густини ( )S ω , тобто енергетичного спектрустаціонарного випадкового процесу ( )f t , потрібно знан-ня його кореляційної функції ( )fK τ .

Кореляційна функція є однією з найважливіших ха-рактеристик випадкового процесу, вона характеризуєйого внутрішню структуру, дозволяючи судити проступінь залежності між значеннями напруги або струмув різні моменти часу. Знаючи, наприклад, величину на-пруги в один момент часу, за кореляційною функцієюможна судити, в яких межах буде знаходитись напруга вінший момент часу, наскільки суттєво вона змінюєтьсяпо закінченню деякого проміжку часу. Для стаціонарнихвипадкових функцій, якими вважаються напруга та струм,кореляційна функція не залежить від положення в часідвох аргументів nt , 1nt + випадкової функції, а лише за-лежить від проміжку часу 1n nt t+τ = − між ними. Тодікореляційна функція являється функцією тільки одногоаргументу – проміжку τ між першим та другим часо-вими значеннями аргументу випадкової функції. Тобто,для будь-яких двох значень випадкової функції, які бе-руться через однаковий проміжок часу, значення коре-ляційної функції будуть однаковими.

[ ] [ ] [ ]1 1 2 2( , ) ( , ) ( )K u t t K u t t K u+ τ = + τ = τ . (7)

Відомо [14], що кореляційну функцію випадковогопроцесу ( )f t визначають виразомм

0

1( ) ( ) ( )T

f f fK f t m f t m dtT

−τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ = − + τ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦− τ ∫ , (8)

або, якщо реалізація задана не аналітично, а дискретно(таблицею), то в (8) інтеграл замінюємо сумою і отри-маємо:

0

1( ) ( ) ( )T

f f ft

K f t m f t mT

−τ

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ = − + τ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦− τ ∑ , (9)

де T – період, на якому задана реалізація випадковоїфункції ( )f t ; ( )f t + τ – значення випадкової функції,відповідно, в моменти часу t і t + τ ; fm – математичнесподівання випадкового процесу ( )f t .

Вирази (8) та (9) рекомендується використовувати при/ 5Tτ < , тому що при більших значеннях τ похибкаа

оцінки кореляційної функції зростає [14].Відомо [2, 14], що кореляційні функції стохастичних

напруг і струмів різкозмінних навантажень часто є неза-гасаючими зі збільшенням τ , що, в свою чергу, свідчитьпро неергодичність випадкового процесу. Однією знайбільш імовірних причин неергодичності стаціонар-ного випадкового процесу є наявність в ньому періо-дичних складових. Незагасаюча частина кореляційноїфункції (так званий «хвіст» кореляційної функції) міститьв собі ті ж частоти, що і сам випадковий процес [14]. Узв’язку з цим для аналізу спектрального складу періо-дичних складових напруги і струму доцільно застосову-вати перетворення Фур’є не до самого випадкового про-цесу, а до «хвоста» його кореляційної функції. Це забез-печить фільтрацію періодичних складових від ергодич-ного випадкового процесу, який буде описаний за допо-могою одного з аналітичних виразів кореляційнихфункцій:

( )K De−α ττ = , (10)

0( ) cosK De−α ττ = ω τ , (11)

0 00

( ) cos sinK De−α τ ⎛ ⎞ατ = ω τ + ω τ⎜ ⎟ω⎝ ⎠

, (12)

де D – дисперсія випадкового процесу; α – коефіцієнтзагасання кореляційної функції; 0ω – власна частота ко-реляційної функції.

Представимо напругу (або струм) у вигляді суми ви-падкового процесу ( )I t′ з загасаючою кореляційноюфункцією, що описується одним із виразів (10)–(12), танизькочастотних періодичних коливань:

( )( ) ( )

1( ) ( ) sin

nk k

mk

I t I t I k t=

′= + ω + ψ∑ , (13)

де ( )kmI – постійні амплітуди k -тих періодичних складо-

вих випадкового процесу зміни струму фідера; kω –частоти періодичних складових; ( )kψ – початкові фази.

Таким чином можна виділити із неергодичного ви-падкового процесу ( )I t ергодичну складову ( )I t′ та вста-а-новити, які ж періодичні коливання (за амплітудами тачастотами) входять у спектр випадкової функції. Якщоінтервал реєстрацій Т випадкового процесу набагатоо

75


більше за період найменшої з низькочастотних складо-вих, тоді вираз (9) можна переписати у вигляді:

( )( )2

1 11

( ) ( ) cos2

knm

k

IK K k t

=′τ = τ + ω∑ , (14)

де 1( )K ′ τ – будь-яка з кореляційних функцій вигляду (10)–(12).

Таким чином, якщо у випадковому процесі напруги(чи струму) присутні синусоїдні складові, «хвіст» коре-ляційної функції буде складатися з косинусоїд тих самихчастот, а амплітуди яких дорівнюватимуть половині квад-рату амплітуд синусоїдних складових напруги (чи стру-му). А, отже, другий додаток в (14) є поправка на періо-дичність в ергодичному випадковому процесі ( )I t′ з за-гасаючою кореляційною функцією 1( )K ′ τ .

РЕЗУЛЬТАТИ ТА АНАЛІЗ ЧИСЕЛЬНИХРОЗРАХУНКІВ

На рис. 5–8 представлені регистрограми, відповідніїм кореляційні функції і, у свою чергу, відповідні останніменергетичні спектри (точніше, спектральні густини) дос-ліджуваних тягових величин (напруг і струмів). Із аналізузалежностей цих рисунків випливає таке.

а)

б)

в)

Рисунок 5 – Реєстрограма (а), кореляційна функція (б) та енергетичний спектр (в) фідерної напруги тягової підстанції«Славянка»

По-перше, спостерігається відносно повільне зага-сання кореляційних функцій ( )K τ , яке вказує на збере-ження зв’язку між миттєвими значеннями ( )U t чи ( )I tпри значних величинах τ . По-друге, від’ємні значення

( )K τ підкреслюють той факт, що додатним відхиленнямнапруги (чи струму) в певний момент часу it відповіда-ють її від’ємні відхилення в інший момент jt і навпаки. І,нарешті, кореляційні функції ( )K τ для усіх дослідженихвеличин зі збільшенням τ загасають з подальшим коли-ванням відносно осі абсцис, а не відносно якоїсь пост-ійної складової. Кореляційна функція у трамвая затухаєшвидше, ніж у електровоза, інтервал її кореляції складає10…20 с, що свідчить про більш коливальний характернапруги на струмоприймачі, ніж у електровозів, для якихцей інтервал ~10 хв. Це свідчить про більш широкийспектр напруги на струмоприймачі трамвая, ніж елект-ровоза.

Характер експериментально отриманих залежностей( )K τ (зокрема представлених на рис. 5,б; 6,б; 7,б; 8,б)

дозволив апроксимувати їх виразом (10). Підставившицей вираз в формулу (6), отримаємо формулу спект-ральної густини, тобто енергетичного спектру дослід-жуваного випадкового процесу у вигляді:



а)

б)

в)

Рисунок 6 – Реєстрограма (а), кореляційна функція (б) та енергетичний спектр (в) струму електровоза ДЕ 1 в режимі тяги

а)

77


б)

в)Рисунок 7 – Регистрограма (а), кореляційна функція (б) та енергетичний спектр (в) струму рекуперації електровоза ВЛ 8

а)

б)

в)

Рисунок 8 – Реєстрограма (а), кореляційна функція (б) та енергетичний спектр (в) напруги на струмоприймачі трамвая



2 2

2( ) DS αω = ⋅

π α + ω, (15)

де D і α – параметри кореляційної функції згідно (10)–(12).

Графіки ( )S ω досліджуваних випадкових процесів, щопобудовані за виразом (15) з урахуванням параметрів Dі α (таблиця), приведені на рис. 5,в; 6,в; 7,в; 8,в.

Площа під кривою спектральної густини ( )S ωсвідчить про енергію W випадкового процесу і чисель-но дорівнює його дисперсії D :

( )W S d D∞

−∞

= ω ω =∫ . (16)

Результати чисельних розрахунків величини W D=досліджуваних процесів, виконаних за формулою (16) зурахуванням (15), приведені в таблиці.

ВИСНОВКИ1. В системах усіх видів електричного транспорту

постійного струму миттєві величини випрямлених на-пруг і струмів як в режимах тяги, так і в режимах рекупе-ративного гальмування являються пульсуючими, щоскладаються із високочастотних і низькочастотних, мо-дульованих з несучою частотою 2 /Тπ , складових.

2. Спектральні густини випадкових процесів тяговихі рекуперативних напруг і струмів зв’язані з відповідни-ми кореляційними функціями цих процесів за відомимспіввідношенням Хинчина.

3. Кореляційні функції напруг і струмів як тяговихпідстанцій, так електрорухомого складу повільно загаса-ють зі збільшенням параметру часу τ , коливаючисьвідносно постійної величини, що свідчить про збереженнязв’язку між миттєвими значеннями при збільшенні τ .

4. Енергетичні спектри випадкових процесів тягових ірекуперативних напруг і струмів мають імовірнісний ха-рактер, залежний від технологічних факторів роботи систе-ми, а енергія випадкового процесу чисельно більша в ре-жимах тяги, ніж в режимах рекуперативного гальмування.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Kostin N. Stochastic Electromagnetic Processes in

Power Circuits of Electric Locomotive at a Sharp Changeof Voltage on a Current Collector / N. Kostin,T. Mishenko, O. Reutskova // Modern Electric Traction

п/п

Досліджувана система

електротранспорту

Досліджуваний випадковий процес

Параметр D , енергія

випадкового процесу, W

Коефіцієнт загасання,

α , с-1

1 Тягова підстанція «Славянка» Фідерна напруга 5177 В2 0,13

2 Електровоз ДЕ 1 Струм тяги 332000 А2 0,004 3 Електровоз ВЛ 8 Струм рекуперації 1400 А2 0,02

4 Трамвай Напруга на струмоприймачі 2418 В2 0,08

Таблиця – Енергія випадкових процесів підсистем електротранспорту

in Integrted XXIst Century Eurupe (29.09-01.10.2005): 7th

International Conference. – Warsaw, 2005. –P. 227–232.2. Свешников А. А. Прикладные методы теории слу-

чайных функций / А. А. Свешников // – М.: Наука,1968 – 463 с.

3. Саблин О. И. Спектральный анализ случайных фун-кций тягового тока и напряжения на токоприёмникеэлектроподвижного состава / О. И. Саблин // ВісникДніпропетровського національного університетузалізничного транспорту імені академіка В.Лазаря-на. –Д.: 2007. вип.15. – С.41–47.

4. Петров А. В. Методи спектрального аналізу випад-кових технологічних коливань напруги та струмуфідера ТП постійного струму / А. В. Петров // ВісникДніпропетровського національного університетузалізничного транспорту імені академіка В.Лазаря-на. –Д.: 2010. вип.34. – С.77–80.

5. Шалимов М. Г. Двенадцатипульсовые полупровод-никовые выпрямители тяговых подстанций /М.Г. Шалимов // – М.: Транспорт, 1990. –127 с.

6. Пекер Б. Н. Компенсація низькочастотних пульсаційвихідної напруги 6-пульсних керованих випрямлячів:автореф. дис. … на здобуття наук. ступеня канд. техн.наук / Б. Н. Пекер. – К., 2004. –20 с.

7. Панасенко Н. В. Обратимый преобразователь воль-тодобавочного типа для подстанций электрифици-рованных железных дорог / Н. В. Панасенко,В. В. Божко, Ю. П.Гончаров // Залізничний транс-порт України. –2007. –4. –С. 76–80.

8. Ягуп К. В. Подавлення неканонічних гармонік вхіднихструмів тягової підстанції: автореф. дис. … на здобут-тя наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.22.09 «Елек-тротранспорт» / К. В. Ягуп. – Харьків, 2008. –20 с.

9. Czuchra W. Zmienno[ napi’cia w tramwajawej siecitrakcyjnej – prуba oceny metod statystyczn / W.Czuchra, A. Kobielski, J. Prusak // XI OgуlnopolskaKonferencja Naukowa Trakcji ElektycznejSEMTRAK’2004. – Krakуw-Zakopane, 2004. –P.82-88.

10. Mierzejewski L. System zasilania trakcji elektrycznejprdu staBego / L. Mierzejewski, F. Szelg,M. GaBuszewski. – Warszawa: WydawnictwaPolitechniki Warszawskiej, 1989. – P.110–115.

11. Czuchra W. Ocena energochBonno[ci tramwajуw znap’dem asznchronicznym / W. Czuchra, J. Prusak, W.

79


Zajc // Modern Electric Traction in Integrated XXIstCentury Europe (29.09-01.10.2005): 7th InternationalConference. – Warsaw, 2005. – P. 160–164.

12. Kostin M. Statistics and probability analysis of voltageon the pantograph of DC electric locomotive in therecuperation mode / M. Kostin, A. Nikitenko //PRZEGLD ELECTROTECHNICZNY. – 2013. – vol. 2012,No 2a. – P.273–275.

13. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и ин-тегрального исчисления./ Г. М. Фихтенгольц// – М. :Наука, 1966. Том. ІІІ. –656 с.

14. Пугачёв В. С. Введение в теорию вероятностей./ В. С. Пугачёв// – М.: Наука, 1968. –368 с.

Стаття надійшла до редакції 27.10.2015

Костин Н. А.Д-р техн. наук, профессор, кафедра Электротехника и электромеханика, Днепропетровский национальный

университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, УкраинаЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЯГОВЫХ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА

ЭЛЕКТРОТРАНСПОРТАСпектральный анализ тяговых напряжений и токов является основой для оценки энергетики электромаг-

нитных процессов в системах электрической тяги, в частности, постоянного тока. Последнее обусловленотем, что система постоянного тока таковой не является вследствие нестационарного случайного характе-ра изменения тяговых напряжения и тока. Непериодический стохастический характер изменения напряже-ния и тока требует для исследования их спектрального состава применения вероятностных методов, осно-ванных на спектрально-корреляционной теории случайных процессов. Изложены теоретические предпосылки иполучены соотношения связи энергетического спектра случайного процесса с его корреляционной функцией.Приведены результаты численных расчетов спектров тяговых напряжений и токов реально действующихподсистем электрического транспорта: фидерного напряжения на тяговой подстанции; токов в режимахтяги и рекуперации электровозов соответственно ДЕ 1 и ВЛ 8; напряжения на токоприемнике городскоготрамвая. Установлено, что энергетические спектры случайных процессов тяговых и рекуперативных напря-жений и токов имеют вероятностный характер, зависящий от технологических факторов работы системы,а энергия случайного процесса численно больше в режиме тяги, чем в режимах рекуперативного торможения.

Ключевые слова: напряжение, тяговый ток, корреляционная функция, электротранспорт, спектральнойанализ, случайный процесс, энергетический спектр.

Коstin М. О.Doctor of science, Dept. «Engineering and Electromechanics», Department of Electric Power Supply of Railroads of

Dnepropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. LazaryanTHE ENERGY SPECTRA OF RANDOM PROCESSES OF TRACTION VOLTAGES AND CURRENTS OF

ELECTRIC TRANSPORTSpectral analysis of traction voltages and currents are the basis for assessing energy electromagnetic processes in

systems of electric traction, in particular, DC. The latter is due to the fact that the DC system is not in consequence of non-stationary random character of change of traction voltage and current. Nonperiodic stochastic nature of the change ofvoltage and current calls for study of their spectral composition using probabilistic methods based on spectral correlationtheory of random processes. The theoretical assumptions and the relations of connection of the energy spectrum of arandom process with his correlating function are set out. The results of the numerical calculations of the spectra oftraction voltages and currents actually operating electrical subsystems transport are given; they are: feeder voltage at thetraction substation; currents in modes of traction and recuperation of electric locomotives in accordance with DE 1 andVL 8; the voltage on the current collector of the city tram. It is established that energy spectra of random processes tractionand recuperative voltages and currents are probabilistic in nature, depending on technological factors of the system, andthe energy of the random process is numerically greater in traction mode than in the regenerative braking modes.

Keywords: voltage, traction current, correlation function, electric vehicle, spectral analysis, random process, powerspectrum

REFERENCES1. Kostin N. Stochastic Electromagnetic Processes in

Power Circuits of Electric Locomotive at a Sharp Changeof Voltage on a Current Collecto. Modern ElectricTraction in Integrted XXIst Century Eurupe (29.09-01.10.2005): 7th International Conference, Warsaw, 2005,P. 227–232.

2. Sveshnikov A. A. Prikladnye metody teorii sluchajnyhfunkcij. Moscow, Nauka, 1968, 463 s.

3. Sablin O. I. Spektral’nyj analiz sluchajnyh funkcijtyagovogo toka i napryazheniya na tokopriyomnike

elektropodvizhnogo sostava . VіsnikDnіpropetrovs’kogo nacіonal’nogo unіversitetu za-lіznichnogo transportu іmenі akademіka V.Lazaryana.2007, vip. 15, рр.41–47.

4. Petrov A. V. Metodi spektral’nogo analіzu vipadkovihtehnologіchnih kolivan’ naprugi ta strumu fі-dera TPpostіjnogo strumu. Vіsnik Dnіpropetrovs’kogonacіonal’nogo unіversitetu zalі-znichnogo transportuіmenі akademіka V.Lazaryana. 2010, vip. 34, рр.77–80.

5. SHalimov M. G. Dvenadcatipul’sovyepoluprovodnikovye vypryamiteli tyagovyh podstancij.Moscow, Transport, 1990, 127 s.



6. Peker B. N. Kompensacіya niz’kochastotnih pul’sacіjvihіdnoї naprugi 6-pul’snih kerovanih vipryam-lyachіv:avtoref. dis. … na zdobuttya nauk. stupenya kand. tehn.nauk. Kiev, 2004, 20 s.

7. Panasenko N. V., Bozhko V. V., Goncharov YU. P.Obratimyj preobrazovatel’ vol’todobavochnogo tipadlya podstancij elektrificiro-vannyh zheleznyh dorog.Zalіznichnij transport Ukraїni. 2007, No 4, рр. 76–80.

8. YAgup K. V. Podavlennya nekanonіchnih garmonіkvhіdnih strumіv tyagovoї pіdstancії: avtoref. dis. … nazdobuttya nauk. stupenya kand. tehn. nauk: spec.05.22.09 «Elektrotransport». Har’kіv, 2008, 20 s.

9. Czuchra W. Zmienno[ napi’cia w tramwajawej siecitrakcyjnej – prуba oceny metod statystyczn / W.Czuchra, A. Kobielski, J. Prusak // XI OgуlnopolskaKonferencja Naukowa Trakcji ElektycznejSEMTRAK’2004. Krakуw-Zakopane, 2004, рр. 82–88.

10. Mierzejewski L., Szelg M., GaBuszewski. System zasilaniatrakcji elektrycznej prdu staBego, Warszawa,Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1989, P.110–115.

11. Czuchra W., Prusak J., Zajc W. Ocena energochBonno[citramwajуw z nap’dem asznchronicznym, ModernElectric Traction in Integrated XXIst Century Europe(29.09–01.10.2005): 7th International Conference.Warsaw, 2005, рр. 160–164.

12. Kostin M., Nikitenko A. Statistics and probability analysisof voltage on the pantograph of DC electric locomotive inthe recuperation mode. PRZEGLDELECTROTECHNICZNY, 2013, vol. 2012, No 2a, P.273–275.

13. Fihtengol’c G. M. Kurs differencial’nogo i integral’nogoischisleniya. Moscow, Nauka, 1966, Tom. ІІІ, 656 s.

14. Pugachyov V. S. Vvedenie v teoriyu veroyatnostej.Moscow, Nauka, 1968, 368 s.

81


УДК 629.423.1:621.333

Міщенко Т. М.Канд. техн. наук, доцент, кафедра «Електропостачання залізниць», Дніпропетровський національний університет

залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна, Дніпропетровськ, Україна, E-mail: [email protected]

ГЕОМЕТРИЧНЕ ТРАКТУВАННЯ РЕАКТИВНОЇ ПОТУЖНОСТІ ТАЙОГО ЗВ’ЯЗОК ЗІ СПЕКТРАЛЬНИМ СКЛАДОМ ТЯГОВИХ НАПРУГИ

ТА СТРУМУ ШВИДКІСНИХ ЕЛЕКТРОВОЗІВВпровадження в Україні швидкісного руху поїздів з підвищеним їх рухом до 200 км/год вимагає застосування

більш потужних, ніж при звичайному русі, видів електрорухомого складу змінного струму, зокрема електро-возів. А більш потужні електровози, як відомо, являються і більш потужними генераторами реактивної по-тужності, транзит якої в системі електричної тяги являється однією із проблем, яку до цього часу не вдалосьрозв’язати. Тому проектування нових швидкісних ділянок чи перехід існуючих із системи постійного струму назмінний повинні здійснюватись з урахуванням генерування і транзиту в системі електротяги реактивноїпотужності. Навіть до цього часу в електротехніці існує проблема оцінки реактивної потужності та енерге-тичних показників нелінійних, тим більше нестаціонарних, споживачів електроенергії. Тому перевагу віддаютьтій теорії, яка, по-перше, відображає максимум інформації про енергетичний процес і, по-друге, дозволяєоперувати з миттєвими характеристиками системи. В роботі встановлено, що існує певний зв’язок між ВАХі спектральним складом кіл з несинусоїдними напругою та струмом в колі двополюсника. За результатамидосліджень виконано чисельний аналіз зазначеного зв’язку для швидкісного електровоза ДС 3М.

Ключові слова: двополюсник, реактивна потужність, несинусоїдна величина, електровоз, спектральнийсклад, вольт-амперна характеристика, гармоніка

ВСТУПЗгідно з Транспортною стратегією України на період

до 2020 року, схваленого розпорядженням КабінетуМіністрів України від 21.12.2010 р. 2818-VI, одним зосновних завдань щодо розвитку транспортної інфраст-руктури є «впровадження швидкісного руху пасажирсь-ких поїздів» з підвищенням швидкості їх руху до 160…200км/год. При цьому, істотно, першим питанням, яке тре-ба вирішувати – це, на якій системі електричної тягиздійснювати впровадження швидкісного руху, постійно-го чи змінного струму.

Аналіз літературних джерел показує переважне зас-тосування електричної тяги змінного струму для жив-лення швидкісних магістралей як в Європі, так і в Азії.Однак наукові дискусії щодо того, яка система краща,ведуться здавна і продовжуються і зараз [1–4]. Це обу-мовлено тим, що електрична тяга змінного струму ство-рює нові проблеми, які до цього часу остаточно не роз-в’язані [2, 3]. І однією з таких проблем, тобто одним зсуттєвих недоліків, є значний об’єм транзиту реактивноїпотужності [2], обумовлений, насамперед, тим, що швид-кісний рух може забезпечуватись більш потужним, ніжпри звичайному існуючому русі, електрорухомим скла-дом змінного струму, зокрема, електровозами [4]. Абільш потужні електровози, як відомо, являються і більшпотужними генераторами реактивної енергії. Тому про-ектування нових швидкісних ділянок чи перехід існую-чих із системи постійного струму на змінний повинніздійснюватись з технологічною і техніко-економічноюоцінками кожної системи, особливо по їх «вузьким» пи-

танням і зокрема, по генеруванню і транзиту реактивноїпотужності.

Проблемі визначення та методам розрахунку реак-тивної потужності при несинусоїдних режимах присвя-чені роботи багатьох вчених [5–11]. В теперішній час велектротехніці не існує єдиного підходу до оцінки реак-тивної потужності та енергетичних показників нелінійних,тим більше нестаціонарних, споживачів електроенергії,тому ця проблема залишається дискусійною.

Поширення поняття реактивної потужності та методівїї визначення, що використовуються для синусоїднихпроцесів, до кіл з несинусоїдними величинами призво-дить до втрат зв’язку з фізикою процесів в електричнихколах та до труднощів при інтерпретації отриманих ре-зультатів. При цьому більшість спеціалістів-енергетиківу своїх пропозиціях по визначенню реактивної потуж-ності Q виходять із понять ортогональної системи по-тужностей. При цьому вони автоматично переносять ціпоняття із теорії кіл синусоїдного струму на кола з неси-нусоїдними величинами історично вважаючи, що при-чиною появи Q завжди є наявність накопичувальнихреактивних елементів. Але, якщо в колах синусоїдногоструму це єдина причина появи реактивної потужності,то в колах несинусоїдного струму не кожна наявністьзазначених елементів обумовлює реактивну потужність.Перенесення ортогональної системи, активної, реактив-ної та повної потужностей на кола несинусоїдного стру-му часто призводить до неоднозначних, інколи супереч-ливих, висновків відносно енергопроцесів, що протіка-ють в досліджуваній системі.

Міщенко Т. М., 2015©



Методи розрахунку реактивної потужності розроб-ляються окремо для конкретних нелінійних споживачів,умов та режимів їх роботи. При виборі підходу до визна-чення реактивної потужності в колах несинусоїдних на-пруг та струмів треба віддати перевагу тій теорії потуж-ності, яка, по-перше, відображає максимум інформаціїпро енергетичний процес і, по-друге, дозволяє отрима-ти аналітичне співвідношення миттєвих напруг та струмівнавантаження, тобто оперує з миттєвими характеристи-ками системи. Зазначене вище особливо стосується си-стем електричної тяги, характерними рисами яких є на-явність різних типів перетворювачів та нелінійних неста-ціонарних навантажень.

ГЕОМЕТРИЧНЕ ПОДАННЯ РЕАКТИВ-НОЇ ПОТУЖНОСТІ

Найбільш повну інформацію про електромагнітніпроцеси, що протікають у колі з напругою та струмомдовільної форми, містять їх миттєві величини. Виходячиіз цього, О. А. Маєвський [12] запропонував визначитиреактивну потужність Q нелінійного двополюсника(рис. 1) через інтегральні величини добутків однієї елек-тричної величини на швидкість зміни іншої (у виглядіінтеграла Рімана):

0

1 ( )= ( )2

T di tQ u t dtdtπ ∫ , (1)

0

1 ( )= - ( )2

T du tQ i t dtdtπ ∫ , (2)

де в (2) знак мінус відповідає генеруванню реактивноїпотужності, а плюс її споживанню.

Реактивній потужності Q може бути подано і гео-метричне трактування [12]. Для цього скористаємося тим,що, згідно основам теоретичної електротехніки, будь-якийпасивний двополюсник (рис. 1) яким можна заміститибудь-який пристрій чи підсистему системи електричноїтяги, однозначно в даному режимі його роботи описуєть-ся (характеризується) вольт-амперною характеристикою(ВАХ), побудованою за заданими вхідними напругою таструмом. ВАХ може бути побудована за експеримен-тально отриманими миттєвими величинами напруги

( )u t та струму ( )i t (динамічна ВАХ), для діючих зна-чень ( )U I , за середніми значеннями або для перших гар-монік (1)U та (1)I [3]. Для аналізу процесів в перехіднихрежимах застосовується тільки динамічна ВАХ, тобто

( )u i . Графічний вид цієї ВАХ залежить від характеруу

П

1

2

i(t)~

u(t)~

А

1

2

i(t)~

u(t)~

а) б)Рисунок 1 – Пасивний та активний двополюсники з

заданими вхідними напругою та струмом

зміни ( )u t та ( )i t . Якщо ( )u t та ( )i t несинусоїдні, алеперіодичні, мають місце наступні випадки [12, 13]:

а) напруга та струм співпадають за фазою, існує пря-ма пропорційність між ними у часі і, як результат, миттє-

вий повний опір ( )( )( )

u tZ t consti t

= = ; в цьому випадку

( )u i лінійна залежність (рис. 2). Зазначимо, що це харак-терно для лінійного пасивного двополюсника;

б) ( )u t та ( )i t співпадають за фазою, але немає пря-мої пропорційності між ними, тобто ( )Z t const≠ , од-нак і ( )u t , і ( )i t однаково симетричні відносно вісі орди-нат; в цьому випадку ВАХ ( )u t – однозначна нелінійназалежність (рис. 3). Такі «властивості» ( )u t , ( )i t та ВАХАХхарактерні для нелінійного двополюсника;

в) те ж саме, що і випадку «б», але має місце симетрія( )u t та ( )i t відносно початку координат, а не вісі орди-

нат; в цьому випадку ВАХ представляє собою нелінійнунеоднозначну пелюстково-циклічну залежність (рис. 4);

г) і, насамкінець, найбільш загальний випадок: напругата струм не співпадають за фазою, немає прямої про-

порційності між ними, тобто ( )( )( )

u tZ t consti t

= ≠ , немає

симетрії кривих ( )u t та ( )i t ; в цьому випадку динамічнаВАХ представляє собою нелінійну неоднозначну циклі-чну залежність (рис. 5).

u

i

-u

-i

Рисунок 3

u

i

-u

-i

Рисунок 2

83


u

i

-u

-i

+

-

Q1

Q2

Q=Q +Q =01 2

Рисунок 4

u

i

-u

-i

S

Q<0

Q>0u i( )

Рисунок 5 – Геометричне трактування реактивноїпотужності

Доведемо, що реактивна потужність двополюсниказавжди пропорційна площі S його циклічної ВАХ, якааописується за період T зміни ( )u t та ( )i t . Для цьогоперейдемо у виразі (2) від інтегрування за часом до інтег-рування за напругою і врахуємо, що для періодичноїнапруги ( )= (0)u T u , тоді отримаємо [11]:

0

1= -2

1 1 ,2 2

T

u i

duQ i dtdt

idu S m m

=π

= − = ±π π

∫

∫(3)

де um та im − масштаби по вісі абсцис і відповідно повісі ординат; S − площа циклічної ВАХ (рис. 5).

Знак «+» в (3) отримується у випадку, якщо зі збільшен-ням t робоча точка переміщується по ВАХ проти ходугодинникової стрілки, а отримувана реактивна потужністьявляється додатною ( 0Q > ), тобто буде споживатися. Втой же час, знак «–» отримується, якщо робоча точкапереміщується за годинниковою стрілкою і тоді Q буде

від’ємною ( <0Q ), тобто, буде генеруватись. Якщо припобудові ВАХ по вісі ординат відкладається напруга u , апо вісі абсцис струм i (тобто, інакше, ніж на рис. 5), тодінапрямок руху робочої точки ВАХ зміниться на зво-ротній у порівнянні з рис. 5.

ЗВ’ЯЗОК ВАХ ЗІ СПЕКТРАЛЬНИМСКЛАДОМ

Користуючись вищевикладеним, можна для будь-яко-го двополюсника пояснити причину виникнення реак-тивної потужності, визначити її величину і знак. Крім того,маємо зв’язок ВАХ двополюсника з його реактивноюпотужністю. І в той же час, в загальному випадку у колі знесинусоїдними напругою та струмом з’явиться реак-тивна потужність на першій і вищих гармоніках. Отже,повинен існувати певний зв’язок між формою ВАХ іспектральним складом ( )u t та ( )i t двополюсника; вста-новимо його на прикладі нового електровозу змінногоструму ДС 3М [4]. З цією метою було виконано часовиймоніторинг змінних вхідних напруги ( )u t (на струмоп-риймачі) і струму ( )i t цього електровозу при різних ве-личинах діючого значення струму навантаження I , рівно-го 10; 20; 50 та 100А. За отриманими даними побудованоВАХ, що представлені на рис. 6, і здійснено спектраль-ний аналіз струму ( )i t , поданого на рис. 7.

Значення коефіцієнта n-ї гармоніки i(k)K , що визна-чається (згідно з ГОСТ 13109-97) за формулою

( )

(1)100%k

i(k)I

КI

= ⋅ , (4)

приведені в таблиці при різних І .Із порівняння рис. 6–7, а також таблиці випливає на-

ступне.Якщо при побудові ВАХ робоча точка рухалась за

годинниковою стрілкою, тоді 0Q > , отже, являється спо-живаною.

Зі збільшенням тягового навантаження ( І від 10 до100А) ВАХ розширюється ( S збільшується), тобто зако-номірно збільшується реактивна потужність.

У випадку, коли у струмі ( )i t переважає основна гар-моніка 50 Гц (наприклад, при 100 АІ = , рис. 7, г), тобто( )i t майже «чисто» синусоїдний, тоді ВАХ за формоюявляється еліпсоподібною (рис. 6, г). Зі збільшенням ви-щих гармонік в спектрі струму (рис. 7, в, б, а) формаВАХ все більше спотворюється (рис. 6, в, б, а). Імовірно,математично можна знайти певний параметр, який бичисельно визначав степінь спотворення ВАХ в залеж-ності від кількості і амплітуд вищих гармонік в несину-соїдній величині.

ВИСНОВКИ1. Геометрично площа циклічної ВАХ будь-якого

пристрою чи системи пропорційна значенню реактив-ної потужності, яка споживається (чи генерується) цимпристроєм чи системою.

2. Знак реактивної потужності визначається напрям-ком руху робочої точки при побудові ВАХ.

3. ВАХ пристрою чи системи, у вхідних напрузі чиструму в яких переважає перша гармоніка, за формоюявляє собою еліпс.

4. Зі збільшенням у вхідних напрузі і струмі вищихгармонік форма ВАХ поступово спотворюється.



а)

б)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 i, A-50-40-30-20-100

10203040

u, кВ

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 i, A-50-40-30-20-10010203040

u, кВ

i, A-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-50-40-30-20-10010203040

u, кВ

в)

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 i, A-50-40-30-20-100

10203040

u, кВ

г)Рисунок 6 – Циклічні динамічні ВАХ електровоза ДС3 при

струмі навантаження I (А): а) 10; б) 20; в) 50; г) 100

а)

б)

в)

г)

Рисунок 7 – Дискретний спектральний аналіз електровозаДС3 при діючому значенні струму навантаження I (А):

а) - 10; б) - 20; в) - 50; г) - 100

Таблиця

Коефіцієнт i(k)K гармоні, % Значення струму І , А

3 5 7 9

10 57,07 9,0 5,79 2,86

20 26,55 2,79 2,69 1,28

50 14,28 2,02 1,17 0,79

100 4,72 0,31 0,48 0,40

85


СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Курбасов А. С. Система электрической тяги XXI века

/ А. С. Курбасов// Железные дороги мира. – 1999. –4. – С. 19–22

2. Аржанников Б. А. Перспектива разработки систе-мы электрической тяги постоянного тока повышен-ного напряжения 24 кВ для скоростной магистралиМосква-Екатеринбург / Б. А. Аржанников, // Трен-ды. События. Рынки. – 2012. – 7. – С. 48–50

3. О переходе с постоянного тока на переменный //Железные дороги мира. – 2013. – 6. – С. 68–71

4. Міщенко Т. М. Перспективи схемотехнічних рішеньі моделювання підсистем електричної тяги при ви-сокошвидкісному русі поїздів. / Т.М. Міщенко // Елек-тротехніка та Електроенергетика. – 2014. – 1. –С. 19–28.

5. Демирчян К. С. Реактивная или обменная мощность/ К. С. Демирчян // Изв. АН СССР. Энергетика и транс-порт. – 1984. – 2. – С. 66–72

6. Жарков Ф. П. Об одном способе определения реак-тивной мощности / Ф. П. Жарков // Изв. АН СССР.Энергетика и транспорт. – 1984. – 2. – С. 73–81

7. Жежеленко И. В. Реактивная мощность в задачах элек-троэнергетики / И. В. Жежеленко, Ю. Л. Саенко //

Электричество. – 1987. – 2. – С. 7–128. Демирчян К. С. Реактивная мощность на случай не-

синусоидальных функций / К. С. Демирчян // Изв.РАН Энергетика. – 1992. – 1. – С. 3–18

9. Тонкаль В. Е. Баланс энергии в электрических цепях/ В. Е. Тонкаль, В. А. Новосельцев, С. П. Денисюк “К.: Наук. думка, 1992. – 312 с.

10. Демирчян К. С. Разложение мгновенной мощностьна составляющие / К. С. Демирчян // Изв. РАН Энер-гетика. – 1994. – 5. – С. 73–79

11. Саенко Ю. Л. Реактивная мощность в системах элек-троснабжения с нелинейными нагрузками: дис.…доктора техн. наук: 05.09.05 / Саенко Юрий Леони-дович. – Мариуполь, «Приазов. Гос. тех. универси-тет», 2002. – 349 с.

12. Маевский О. А. Энергетические показатели вентиль-ных преобразователей / О. А. Маевский. – М. : Энер-гия, 1978. – 320 с.

13. Маевский О. А. Методы определения реактивноймощносты нелинейных электрических цепей с по-мощью их циклических вольт-амперных характери-стик [Текст] / О. А. Маевский // Харьков: BестникХПИ. 45(93) Преобразовательная техника, 1970. –Вып.4. – С. 9–17.

Стаття надійшла до редакції 27.10.2015Мищенко Т. Н.Канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электроснабжение железных дорог», Днепропетровский национальный

университет железнодорожного транспорту имени академика В. Лазаряна, УкраинаГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТИ И ЕЕ СВЯЗЬ СО СПЕКТРАЛЬНЫМ

СОСТАВОМ ТЯГОВЫХ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА СКОРОСТНЫХ ЭЛЕКТРОВОЗОВВнедрения в Украине скоростного движения поездов с повышенным их движением до 200 км / ч требует

применения более мощных, чем при обычном движении, видов электроподвижного состава переменного тока,в частности электровозов. А более мощные электровозы, как известно, являются и более мощными генерато-рами реактивной мощности, транзит которой в системе электрической тяги является одной из проблем,которую до сих пор не удалось решить. Поэтому проектирование новых скоростных участков или переходсуществующих из системы постоянного тока в переменный должны осуществляться с учетом генерированияи транзита в системе электротяги реактивной мощности. До сих пор в электротехнике существует пробле-ма оценки реактивной мощности и энергетических показателей нелинейных, тем более нестационарных, по-требителей электроэнергии. Поэтому предпочтение отдают той теории, которая, во-первых, отражаетмаксимум информации об энергетическом процесс и, во-вторых, позволяет оперировать с мгновенными харак-теристиками системы. В работе установлено, что существует определенная связь между ВАХ и спектраль-ным составом кругов с несинусоидальных напряжением и током в цепи двухполюсника. По результатам иссле-дований выполнен численный анализ указанного связи для скоростного электровоза ДС 3М.

Ключевые слова: двухполюсник, реактивная мощность, несинусоидальных величина, электровоз, спектраль-ный состав, вольт-амперная характеристика, гармоника

Mishchenko T. M.Ph.D., Associate Professor, Dept. «Electricity railways», Department of Electric Power Supply of Railroads of

Dnepropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. LazaryanGEOMETRIC INTERPRETATION OF REACTIVE POWER AND ITS RELATION WITH THE SPECTRAL

COMPOSITION OF THE TRACTION VOLTAGE AND CURRENT OF HIGH-SPEED LOCOMOTIVESThe introduction in Ukraine of high-speed trains with increased of their traffic up to 200 km/h requires the more

powerful than the normal movement of types of alternating current electric rolling stock, in particular, electric locomotives.It is known that the more powerful electric locomotives are the more powerful generators of reactive power, in which thetransit system of AC electric traction is one of the problems that are still not resolved. Therefore the design of new specialstages or the transition of the existing ones from the DC system to AC should be done taken into account the generationand transit in system of the electric drive train of the reactive power. Even to this day there is a problem in electricalengineering of reactive power estimation and energy performance of the non-linear, or even the more unsteady, consumers.Therefore, preference is given to the theory, which, firstly, reflects the maximum information about the energy process and,secondly, allows to operate with the instant system characteristics. The paper found that there is some connection betweenCVC and spectral composition circles with non-sinusoidal voltage and current in the two-terminal circuit. According tothe research the numerical analysis of the specified connection is performed for high-speed electric locomotive DS 3M.

Keywords: two-terminal, reactive power, non-sinusoidal value, electric, electric locomotive, spectral composition,current-voltage characteristics, harmonica



REFERENCES1. Kurbasov A. S. Sistema elektricheskoj tyagi XXI veka.

ZHeleznye dorogi mira. 1999, No 4, S. 19–222. Arzhannikov B. A. Perspektiva razrabotki sistemy

elektricheskoj tyagi postoyannogo toka povyshennogonapryazheniya 24 kV dlya skorostnoj magistraliMoskva-Ekaterinburg. Trendy, Sobytiya, Rynki, 2012,No 7, S. 48–50

3. O perehode s postoyannogo toka na peremennyj.ZHeleznye dorogi mira. 2013, No 6, S. 68–71

4. Mishchenko T. M. Perspektyvy skhemotekhnichnykhrishen i modeliuvannia pidsystem elektrychnoi tiahypry vysokoshvydkisnomu rusi poizdiv.Elektrotekhnika ta Elektroenerhetyka. 2014, No 1, рр.19–28.

5. Demirchyan K. S. Reaktivnaya ili obmennayamoshchnost’. Izv. AN SSSR. Energetika i transport.1984, No 2, S. 66–72

6. ZHarkov F. P. Ob odnom sposobe opredeleniyareaktivnoj moshchnosti. Izv. AN SSSR. Energetika itransport, 1984, No 2, рр. 73–81

7. ZHezhelenko I. V. Reaktivnaya moshchnost’ v zadachahelektroenergetiki. Elektrichestvo 1987, No 2, рр. 7–12

8. Demirchyan K. S. Reaktivnaya moshchnost’ na sluchajnesinusoidal’nyh funkcij. K. S. Demirchyan. Izv. RANEnergetika. 1992, No 1, рр. 3–18

9. Tonkal’ V. E., Novosel’cev V. A., Denisyuk S. P. Balansenergii v elektricheskih cepyah. Nauk. dumka, 1992, 312 s.

10. Demirchyan K. S. Razlozhenie mgnovennojmoshchnost’ na sostavlyayushchie. Izv. RANEnergetika, 1994, No 5, рр. 73–79

11. Saenko YU. L. Reaktivnaya moshchnost’ v sistemahelektrosnabzheniya s nelinejnymi nagruzkami: dis.…doktora tehn. nauk: 05.09.05. Mariupol’, «Priazov. Gos.teh. universitet», 2002. 349 s.

12. Maevskij O. A. Energeticheskie pokazateli ventil’nyhpreobrazovatelej. Moscow, Energiya, 1978, 320 s.

13. Maevskij O. A. Metody opredeleniya reaktivnojmoshchnosty nelinejnyh elektricheskih cepej spomoshch’yu ih ciklicheskih vol’t-ampernyhharakteristik [Tekst]. Hr’kov. Bestnik HPI. No 45 (93)Preobrazovatel’naya tehnika, 1970, Vyp.4, рр. 9–17.

87


УДК 621.316.925

Ниценко В. В.1, Кулагин Д. А.2, Махлин П. В.3, Климко А. Н.4

1Инж. оперативно-расчетной службы релейной защиты и противоаварийной автоматики ГП «НЭК «Укрэнерго»Днепровская ЭС, аспирант кафедры ЭПП, Запорожский национальный технический университет, Украина

2Канд. техн. наук, профессор кафедры ЭПП, Запорожский национальный технический университет, Украина3Канд. техн. наук, доцент кафедры ЭПП, Запорожский национальный технический университет, Украина

4Кандидат технических наук, доцент кафедры ЭПП ЗНТУ, Запорожский национальный технический университет,Украина

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ РАСЧЕТНЫХ ПАРАМЕТРОВДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФАЗНОЙ ЗАЩИТЫ СБОРНЫХ ШИНЭНЕРГООБЪЕКТОВ И ФАКТОРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ,

ОКАЗЫВАЮЩИХ ВЛИЯНИЕ НА ИХ ВЫБОРВ статье рассмотрены вопросы о возможности применения релейной защиты систем сборных шин распре-

делительных устройств напряжением 110-750 кВ электрических станций и подстанций, выполненной с исполь-зованием дифференциально-фазного принципа ее действия в качестве основного и единственного. Материалыисследований направлены, прежде всего, на устранение имеющихся недостатков продольной дифференциаль-ной защиты шин, эксплуатирующейся в настоящее время. Определены основные расчетные параметры диф-ференциально-фазной защиты, выбором которых обеспечивается ее селективная и надежная работа во всехвозможных режимах энергосистемы. Приведена поясняющая структурная схема и рабочая характеристиказащиты. Исследованы факторы, оказывающие непосредственное влияние на погрешность определения реаги-рующим органом защиты соотношений между фазами токов, циркулирующих по присоединениям, подключен-ным к системе сборных шин. Определена степень влияния каждого из этих факторов, а также возможныеспособы отстройки защиты от этого влияния. Проанализирована возможность применения дифференциаль-но-фазного принципа для защиты сборных шин исходя из условия обеспечения ее селективности и достаточ-ной чувствительности в нормальном режиме при внешних коротких замыканиях на отходящих от шин присо-единениях и при повреждениях в зоне действия защиты. Руководствуясь принятыми допущениями при выпол-нении приближенного расчета угловых погрешностей трансформаторов тока в переходных режимах энерго-системы, была получена характеристика, которая позволяет установить зависимость изменения величинэтих погрешностей от времени существования переходного процесса в электрической сети. В заключении, наосновании полученных от проведённых исследований результатов, разработана методика по выбору парамет-ров срабатывания дифференциально-фазной защиты, которая отличается от методики по расчету подоб-ной ей по типу релейной защиты линий электропередач и учитывает все особенности применения дифферен-циально-фазного принципа для защиты сборных шин, рассмотренные в статье.

Ключевые слова: релейная защита, сборные шины, дифференциально-фазная защита, орган сравнения фазтоков, фазная характеристика, угол блокировки, уровень формирования импульсов.

ВВЕДЕНИЕОдним из наиболее ответственных элементов элект-

рических сетей являются сборные шины распределитель-ных устройств электростанций и подстанций. На шиныэлектростанций происходит выдача генерируемой имиэнергии в электрическую сеть, через шины крупных под-станций энергосистемы непрерывно осуществляетсятранзит выработанной станциями энергии, ее распре-деление и потребление. К шинам подключается боль-шое количество присоединений, ввиду чего аварийныетоки при повреждениях на шинах могут достигать крити-ческих для электрического оборудования значений, [5].Кроме того, вследствие протекания сверхтоков, длитель-ное понижение напряжения на шинах ниже 60% от но-минального значения может привести к нарушению нор-мальной работы потребителей, а также к нарушениюустойчивой работы энергосистемы и, как правило, дляэлектростанций и крупных подстанций не допускается,[5]. Таким образом, сборные шины должны быть надеж-

но защищены от всех видов, возникающих на них по-вреждений и нарушений нормальных режимов работы.

Актуальность. Используемая в настоящее время про-дольная дифференциальная токовая защита шин имеетряд принципиальных недостатков, подробно рассмотрен-ных в [4], которые при определенных условиях могутпривести к неправильному действию защиты и, как след-ствие, к возникновению технологического нарушения(возникновению аварии либо ее развитию). Эти недо-статки могут быть устранены путем использования длязащиты сборных шин дифференциально-фазного прин-ципа ее действия, описание которого приведено в [6]. Внастоящее время устройства дифференциально-фазнойзащиты используются в качестве основной защиты про-тяженных линий электропередач напряжением 110–750кВ, как с ответвлениями, так и без них. Данный принципне имеет существенных недостатков и может быть такжеиспользован в качестве основного в комплекте защитысборных шин, тем самым повысив основные показате-ли эффективности его работы и устранив недостатки,

Ниценко В. В., Кулагин Д. А., Махлин П. В., Климко А. Н., 2015©



характерные дифференциальным защитам шин, [4]. Диф-ференциально-фазный принцип имеет некоторые осо-бенности при его применении в качестве основного длязащиты сборных шин, которые главным образом опре-деляются наличием ряда факторов, оказывающих влия-ние на селективную работу защиты и определяющихвозможность использования дифференциально-фазно-го принципа в данном случае. Все эти факторы, а такжемероприятия по отстройке защиты от их влияния будутрассмотрены в данной статье.

Цель работы – исследование влияния погрешностейизмерения токов присоединений на реагирующий органдифференциально-фазной защиты сборных шин.

Материалы исследований. Принцип действия диф-ференциально-фазной защиты систем сборных шин, от-личается от продольной дифференциальной токовой за-щиты. Ее принцип действия основан на непрерывномсравнении фаз (угловых соотношений) токов промыш-ленной частоты, протекающих по концам защищаемойзоны, ограниченной комплектами трансформаторовтока, к вторичным цепям которых подключена защита.

Поясняющая структурная схема организации цепейдифференциально-фазной защиты шин представлена нарисунке 1, ее рабочая фазная характеристика на рисун-ке 2. Сравнение фаз токов всех присоединений, подклю-ченных к одной системе шин, осуществляется посред-ством использования формирователей прямоугольныхимпульсов напряжения положительной и отрицательнойполярности (двухполупериодная схема сравнения фазтоков) в момент перехода синусоиды тока через нульлибо через определенный уровень. Для сравнения фаз

токов может быть использован комбинированный сиг-

нал прямой и обратной последовательности 21 kІІ + (по-добно сигналу манипуляции ВЧ передатчиком диффе-ренциально-фазной защиты воздушных линий 11–750 кВ),

вычисленный из трех фазных токов СВА ІІІ ,, , и в то жеевремя может быть использован сигнал тока каждой от-дельной фазы (обеспечить пофазное сравнение фаз то-ков). Получение комбинированного сигнала позволяетзначительно уменьшить количество измерительно-пре-образовательных трактов защиты и частично разгрузитьЦП устройства, а также позволяет исключить вероятностьложной работы защиты по причине обрыва фазы одно-го из плеч ее токовых цепей. Фаза преобразованногопрямоугольного сигнала с определенной долей погреш-ности преобразования совпадает с фазой синусоидаль-ного сигнала тока. Основным реагирующим органомзащиты является орган сравнения фаз токов, которыйформирует реакцию защиты на возмущения, возникаю-щие в электрической сети, путем определения соотно-шений между фазами сигналов, преобразованных фор-мирователями.

К основным расчетным параметрам дифференциаль-но-фазной защиты шин относятся:

1) Уровень формирования прямоугольных импуль-сов напряжения из полуволн синусоиды, используемо-го для сравнения фаз токов сигнала (комбинированноготока 21 kII + , либо фазного тока), yi± .

2) Угол блокировки действия защиты, блϕ± .

Рисунок 1 – Упрощенная структурная схема организации цепей дифференциально-фазной защиты одной системы шин:31 CC ÷ – питающие энергосистемы; 31 ВВ ÷ – линейные выключатели 31 ТТТТ ÷ – трансформаторы тока присоединений;

321 ,, SSS – формирователи прямоугольных импульсов; ∑ nS - сумматор; ОСФ – орган сравнения фаз токов; 31 ii − – токиоки

присоединений; +++ 321 ,, SSS – прямоугольные импульсы положительной полярности; −−− 321 ,, SSS – прямоугольныеимпульсы отрицательной полярности.

89


Рисунок 2 – Фазная характеристика дифференциально-фазной защиты шин: а – КЗ в зоне действия защиты; б – внешнее КЗ;

321 ,, iii – токи присоединений; 321 ,, ϕΔϕΔϕΔ - угловое смещение векторов токов 321 ,, iii от «условного» 0 градусов фазной

характеристики защиты; блϕ± - угол блокировки защиты

Параметр yi± определяет минимальное мгновенноезначение тока, по превышении которого из полуволнсинусоидального сигнала 21 kII + (либо фазного тока

AI , BI , CI ) формируются прямоугольные импульсынапряжения соответствующей полярности. Использова-ние данного параметра может оказаться необходимымдля исключения возможного блокирования защиты то-ками нагрузки тупиковых присоединений при несиммет-ричных повреждениях на системе шин, [2].

Углом блокировки защиты блϕ± определяется пре-дельный угол расхождения фаз токов присоединений,

подключенных к одной системе шин, от 0180 при вне-шних КЗ и в нормальном режиме работы электрическойсети при котором действие защиты должно надежно бло-кироваться. Выбором блϕ± обеспечивается селектив-ность действия защиты, исключается вероятность ее из-лишнего действия при работе трансформаторов тока сповышенными погрешностями в переходных режимахи при влиянии прочих факторов.

К основным факторам, определяющим выбор углаблокировки защиты блϕ± , относятся, [1, 2]:

1) Углы расхождения векторов ЭДС генераторовэнергосистем питающих присоединений в момент воз-никновения КЗ.

2) Углы сопротивления воздушных линий.3) Токи нагрузки при несимметричных КЗ на систе-

ме шин и внешних КЗ.4) Угловые погрешности измерительных трансфор-

маторов тока.

Углы расхождения векторов ЭДС генераторов пита-ющих энергосистем ГδΔ при относительно малых вре-менах локализации КЗ (не превышающих 2–3 периодов)оказываются незначительными и существенно не влия-ют на соотношения между фазами токов, а следователь-но и на выбор значения угла блокировки защиты. Приэтом следует учесть, что в момент замыкания электри-ческой связи между раздельно работающими энергоси-стемами, при отсутствии включенных между ними об-ходных связей, угол ГδΔ по условию сохранения ус-тойчивости параллельной работы этих энергосистем приих объединении, согласно [2], не должен превышать

060± . Это обеспечивается применением цепей автома-тической синхронизации в схемах управления выключа-телями.

Различие углов сопротивления питающих ЛЭП, а так-же токи нагрузки при несимметричных КЗ при доста-точно высоком быстродействии дифференциально-фаз-ной защиты также не оказывают существенного влия-ния на процесс измерения органом сравнения фаз соот-ношений между фазами токов. Учет их влияния не обя-зателен при выборе значения угла блокировки защиты

блϕ± , так как он должен учитывать только максималь-ные углы расхождения векторов входящих и исходящих

токов присоединений от 0180 в нормальном режимеи при внешних КЗ.

Угловая погрешность измерительных трансформато-ров тока ТТδΔ достигает максимальных значений в пе-реходных режимах электрической сети. Поскольку защи-



та не отстроена по времени от этих режимов (время дей-ствия защиты оказывается меньшим времени затуханияапериодической составляющей первичного тока 1T ),угловая погрешность трансформаторов тока в переход-ных режимах является определяющим фактором привыборе угла блокировки защиты. Угловые погрешностиизменяются в меньшей мере, чем токовые [2], и при мак-симальном содержании апериодической составляющейв первичном токе с постоянной времени затухания

∞→1T , угловая погрешность в пределе может дости-гать 090 при следующих допущениях, [3]:

– апериодическая составляющая первичного тока КЗполностью трансформируется во вторичную обмоткуодного из комплектов трансформаторов тока за счет бес-конечно большого индуктивного сопротивления ветвинамагничивания;

– во вторичном токе другого комплекта трансфор-маторов тока апериодическая составляющая и высшиегармоники отсутствуют, вследствие чего синусоидаль-ная форма вторичного тока практически не искажена,начальная фаза вторичного тока равна нулю;

– на протяжении одного полупериода промышлен-ной частоты апериодическая составляющая тока, транс-формируемая во вторичную обмотку трансформаторатока, не затухает, следовательно, является постояннойвеличиной.

Использовав принятые допущения, закон изменениявторичного тока обоих комплектов трансформаторовтока для одного полупериода промышленной частотыможно выразить системой уравнений:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

ω==

−.)(

);sin()()(

1'1

'12

Tt

eIty

tItity

(1)

Приравнивая правые части уравнений системы, по-лучаем следующий результат:

.)sin( 1'1

'1

Tt

eItI−

=ω (2)

Угловая погрешность в данном случае определяетсяпараметром t , который представляет фактический уголлрасхождения кривых первичного тока, приведенного ковторичной обмотке, и вторичного тока за счет влиянияапериодической составляющей, трансформируемой вовторичную обмотку трансформатора тока. Из (2) следу-ет выражение для определение угловой погрешноститрансформатора тока:

.arcsin1'1

'1 1

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω==δ

−

IeIt

Tt

TT (3)

Выражение (3) запишем следующим образом:

.arcsin1 1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ω=δ

−Tt

TT e (4)

Из выражения (4) следует, что угловая погрешностьтрансформаторов тока в переходных режимах зависитот постоянной времени затухания первичной цепи 1T .Зависимость изменения величины угловой погрешнос-ти трансформаторов тока от параметра 1T

))(( 1TfТТ =δΔ представлена на рисунке 3, при

.)3,001,0(1 сT ÷=

Функция )( 1TfТТ =δΔ имеет нелинейный характер.Угловая погрешность трансформаторов тока в переход-ных режимах стремительно растет с увеличением по-стоянной времени затухания первичной цепи 1T на ин-

тервале cT ]1,0;0[1 ∈ и в дальнейшем продолжает плавноувеличиваться, достигая своих предельных значений.Постоянная времени 1T , прежде всего, определяется па-раметрами электрической сети, а именно соотношени-ем ее эквивалентного индуктивного и активного сопро-

тивлений в момент возникновения КЗ, 1

11 r

xT = .

В случае, если эквивалентное активное сопротивле-ние короткозамкнутой электрической цепи пренебрежи-мо мало по сравнению с ее индуктивностью 11 xr << ,

пренебрегая 1r можно считать, что переходный процесс

затухает с постоянной времени ∞→1T . При этом ТТδΔдостигает своего максимального значения, которое оп-ределяется из выражения:

.90)1arcsin()arcsin(lim 011

===δ−

∞→Tt

TTT e (5)

При разработке методики выбора основных парамет-ров защиты следует руководствоваться тем, что защитабудет обладать высоким быстродействием и будет про-изводить сравнение соотношений между фазами токовпо их первым гармоникам.

При выборе блϕ± следует учитывать, что в нормаль-ном режиме работы и при внешних КЗ действие защитыдолжно быть надежно заблокировано, что обуславлива-ет необходимость иметь как можно большее значениеданного параметра.

Как было отмечено ранее, при внешних КЗ наиболь-шую опасность нарушению селективной работы защи-ты представляют угловые погрешности трансформато-ров тока; в нормальном режиме работы электрическойсети блϕ± преимущественно определяется допустимымуглом несинхронного замыкания электрической связи

91


Рисунок 3 – Характер изменения угловой погрешности трансформаторов тока в переходных режимах в зависимости от

постоянной времени затухания первичной цепи 1T .

между раздельно работающими энергосистемами, ко-торый по условию сохранения устойчивости энергоси-

стемы, не должен превышать 060 :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=δΔ≥ϕ±

=δΔ≥ϕ±

).60(

);90(0

0

Гбл

ТТбл(6)

Таким образом, по условию обеспечения надежно-го блокирования защиты при внешних КЗ и в нормаль-ном режиме работы, минимально необходимое значе-ние угла блокировки защиты должно составлять

090=ϕ± бл . При этом зона блокирования действия за-

щиты должна быть не менее 01802 =ϕбл .При КЗ на системе шин целесообразно иметь срав-

нительно узкую зону блокирования, для обеспечениянадежного отключения повреждений защитой. Здесьнеобходим комплексный учет влияния факторов, кото-рые в этом режиме могут оказывать блокирующее дей-ствие на защиту. Учитывая различие углов сопротивле-

ния линий 030≤δΔ С и угловую погрешность трансфор-

маторов тока 090≤δΔ ТТ максимальная ширина зоныблокирования действия защиты при КЗ в зоне ее дей-ствия не должна превышать:

,22 СTTбл δΔ−δΔ−π≤ϕ (7)

.24030903602 0000 =−−=ϕбл

Таким образом, в режиме внутреннего КЗ для ис-

ключения блокирования защиты необходимо иметь0120≤ϕбл .

Для одновременного выполнения условий (6) и (7)значение блϕ± следует принять равным наименьшему

значению из интервала ]120,90[ 00∈ϕбл , .90 0=ϕблЭта уставка угла блокировки защиты может быть скор-

ректирована в меньшую сторону ( 090<ϕбл ), что мо-жет оказаться необходимым для повышения чувстви-тельности защиты к КЗ на системе шин. При этом долж-но обязательно выполняться первое условие. Уменьше-ние значения уставки блϕ± должно подтверждаться рас-четами для каждого конкретного энергообъекта с уче-том особенностей схемы его электроснабжения, глав-ной схемы электрических соединений распределитель-ного устройства и параметров прилегающей к нему элек-тросети.

Рекомендации по выбору уровня формирования пря-

моугольных импульсов yi± для дифференциально-фаз-ных защит шин приведены в [2]. Согласно [2], в началь-ный момент возникновения несимметричного КЗ насистеме шин, будет иметь место подпитка КЗ асинхрон-ными электродвигателями нагрузки тупиковых присое-динений, которая продолжается несколько периодов, чтоспособствует правильной работе защиты. По мере зату-хания переходного процесса подпитка КЗ сменяется по-треблением тока из сети, что приводит к возрастаниюсдвигов между фазами аварийных токов питающих при-соединений и токов нагрузки, протекающих по непов-



режденным фазам тупиковых присоединений. Токи на-грузки тупиковых присоединений в этом случае могутоказывать блокирующее действие на защиту после сме-ны подпитки режимом потребления тока из сети, так какони оказываются в противофазе к аварийному току, чтоявляется условием для блокирования защиты. В том слу-чае, когда защита имеет достаточно высокое быстродей-ствие, которое не превышает времени существованияподпитки КЗ от нагрузки тупиковых присоединений, вли-яние токов нагрузки на работу защиты можно не учиты-вать и уровень формирования принять равным нулю. Втех случаях, когда время отключения защитой КЗ превы-шает время существования его подпитки от нагрузки и внекоторых других случаях, [2], выбор уставки уровняформирования является обязательным мероприятием иопределяется следующими условиями:

1) Исключением блокирующего действия токов на-грузки при несимметричных КЗ на системе шин.

2) Отстройкой от погрешностей трансформаторовтока в переходных режимах КЗ.

По первому из них выбор yi± следует производить втом случае, если защита действует со значительным за-медлением либо же если возможен режим КЗ на шинах,при котором защита отключает только питающие присо-единения, а тупиковые при этом остаются включенны-ми. В случае неуспешного АПВ шин аварийный ток вповрежденной фазе (фазах) опробующего присоедине-ния находится в противофазе с пусковыми токами на-грузки неповрежденных фаз (фазы) тупиковых присое-динений. Такой же режим будет иметь место и при руч-ном включении выключателя питающего присоедине-ния на устойчивое несимметричное КЗ при наличииподключенных к системе шин тупиковых присоедине-ний. Уровень формирования в этом случае должен бытьотстроен от пускового тока наиболее нагруженного ту-пикового присоединения. При наличии подключенных ктупиковым присоединениям трансформаторов с зазем-ленными нейтралями уровень формирования опреде-ляется следующим выражением:

),( 0IIKKi фпну −⋅⋅= (8)

где фI – номинальный фазный ток нагрузки; пK – ко-о-

эффициент кратности пускового тока к номинальному,

фп IK )35,2( ÷= ; 0I – ток нулевой последовательнос-с-ти при несимметричном КЗ на системе шин.

При активно-индуктивной нагрузке, когда фII >0 ,токи нагрузки не оказывают блокирующего действия иуровень формирования можно принять равным нулю.

Однако указанная методика оказывается не пригод-ной к применению в случае использования комбиниро-ванного тока 21 kII + в качестве сигнала для сравненияфаз. К формирователям импульсов не попадает ток ну-

левой последовательности, который присутствует в фор-муле (8). Из этого следует, что токи нагрузки в неповреж-денных фазах тупиковых присоединений при несиммет-ричных КЗ на системе шин будут оказывать блокирую-щие действие на защиту, если не принять должных мерпо исключению этого воздействия. Также следует учесть,что выбор уровня формирования приведет к снижениючувствительности органа сравнения фаз токов к внешнимотдаленным КЗ с малыми по величине аварийными то-ками, что может явиться причиной излишней работызащиты, а также приводит к появлению дополнительнойугловой погрешности измерений фаз токов по переходучерез уi± .

Рассмотрим следующие варианты решения пробле-мы выбора :уi±

1) Определение уровня формирования прямоуголь-ных импульсов из комбинированного сигнала тока

21 kII + , подключенных к системе шин присоединенийпо условию отстройки от максимальных значений токовсамозапуска нагрузки и токов послеаварийных режи-мов.

2) Использование для сравнения фаз токов иногосочетания симметричных составляющих токов в комби-нированном сигнале, в котором бы присутствовал токнулевой последовательности.

Согласно первому из них, уровень формирования оп-ределяется исходя из отстройки от максимально возмож-ного расчетного нагрузочного тока присоединения:

,..1 макснагрну IKi ⋅= (9)

где ..макснагрI – максимальное расчетное значение на-грузочного тока присоединения.

Данное выражение отличается от выражения (8) тем,что в нем не используется составляющая тока нулевойпоследовательности, которая отсутствует в комбиниро-ванном сигнале на выходе фильтра. Таким образом, от-стройка производится только от максимально возмож-ного тока нагрузки. Погрешность по переходу тока че-рез yi± не существенна и находится в пределах зоны,

ограниченной значениями блϕ± .Для второго варианта решения проблемы необходи-

мо выделение из общего сигнала тока составляющейнулевой последовательности, которая имеет место лишьпри КЗ с «землей». При двухфазных замыканиях, а такжев случае, если нейтраль подключенного к тупиковомуприсоединению трансформатора окажется разземлен-ной, формула для определения уровня формирования(8) преобразуется в выражение (9) и вышеуказанная про-блема не будет решена.

Таким образом, при возникновении необходимостивыбора уровня формирования для обеспечения правиль-ного функционирования защиты, целесообразно исполь-зовать первый вариант решения данной проблемы при

93


условии подтверждения расчетом справедливости нера-венства ..... макснагрНминвнешКЗ IKI ⋅> , либо выполнениядополнительных мероприятий по повышению чувстви-тельности органа сравнения фаз токов защиты к внешнимудаленным КЗ. При этом угловая погрешность, обуслов-ленная переходом тока через определенный уровень фор-мирования, не оказывает влияние на селективность защи-ты при выборе максимального угла ее блокировки.

ВЫВОДЫВ статье рассмотрены основные факторы, учет кото-

рых необходим при выборе параметров срабатываниядифференциально-фазной защиты сборных шин, и вы-полнена оценка степени влияния каждого из них на ра-боту защиты в нормальном режиме в условиях внешне-го КЗ и КЗ в зоне действия защиты.

На основании полученных результатов разработанаметодика по выбору параметров срабатывания диффе-ренциально-фазной защиты, которая отличается от ме-тодики по расчету подобной ей по типу релейной защи-ты линий электропередач и учитывает все особенностиприменения дифференциально-фазного принципа длязащиты сборных шин, рассмотренные в статье.

Выбором угла блокировки защиты блϕ± , преждевсего, обеспечивается ее селективная работа во всех воз-можных режимах электрической сети. Предельный уголрасхождения фаз токов питающих присоединений опре-деляется допустимым углом несинхронного замыканиятранзитной связи между двумя питающими энергосис-темами, который по условию сохранения устойчивостисоставляет 060± . При внешних КЗ на отходящих от шинраспределительного устройства присоединениях этотугол определяется преимущественно угловыми погреш-ностями измерений трансформаторами тока, которыестремительно возрастают в переходных режимах КЗ ипри самых неблагоприятных условиях могут достигатьзначений близких к 090 .

Выбором уровня формирования прямоугольныхимпульсов напряжения положительной и отрицательнойполярности из комбинированного сигнала токов 21 kII +обеспечивается отстройка защиты от возможного бло-кирующего действия токов нагрузки тупиковых присое-динений при несимметричных КЗ на шинах. Этот пара-метр должен выбираться исходя из необходимости ис-

ключения возможности отказа защиты при таких усло-виях и, как правило, для каждого присоединения долженвыбираться индивидуально с учетом отстройки от мак-симального нагрузочного тока для обеспечения надеж-ного формирования импульсов из полуволн вторично-го тока только в условиях возникновения аварийных ре-жимов.

При решении вопроса выбора уставки параметрауровня формирования импульсов напряжения из полу-волн токов каждого из присоединений необходимо так-же руководствоваться следующим:

– для повышения чувствительности защиты к КЗ впределах защищаемой зоны и исключения ее излишнегодействия при внешних отдаленных КЗ с незначительны-ми по величине токами подпитки значение уровня фор-мирования следует выбирать минимально возможным;

– в случае отсутствия присоединений, которые неподпитывают КЗ на шинах в первый момент временипереходного процесса, не использовать уставку уровняформирования (принять ее равной нулю).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Кужеков С. Л. Дифференциальные защиты сборных

шин: Электрические станции , выпуск 9 / Минэ-нерго СССР; С. Л. Кужеков, Б. Т. Грызлов, В. Г. Кудини др. – Москва: 1978, с.51–58.

2. Кужеков С. Л. Защита шин электростанций и под-станций: / С. Л. Кужеков, В. Я. Синельников. – Мос-ква: Энергоатомиздат, 1983. – 184 с.

3. Бобин Д. Н. Исследование и разработка методов вы-полнения защит шин на перспективной микропро-цессорной базе: дис. ... кандидата техн. наук : 05.14.02/ Бобин Дмитрий Николаевич. – М., 1999. – 211 с.

4. Ниценко В. В. Перспективы использования диффе-ренциально-фазного принципа для защиты системсборных шин распределительных устройств 110–750кВ: Электромеханические и энергосберегающиесистемы, выпуск 3 / КрНУ; В. В. Ниценко, Д. А.Кулагин. – Кременчуг: 2015, 9 с.

5. Правила устройства электроустановок: Глава 3.2.Релейная защита / Минэнерго Украины. – 7-е изд.,перераб. и доп. – Харьков: Форт, 2009. – 704 с.

6. Федосеев А. М. Релейная защита электроэнергети-ческих систем. Релейная защита сетей: учебное по-собие для вузов / А. М. Федосеев. – Москва: Энер-гоатомиздат, 1984. – 520 с.


Ніценко В. В.1, Кулагін Д. О.2, Махлін П. В.3, Климко О. М.41Інженер ДП «НЕК «Укренерго» Дніпровська ЕС, асп. каф. ЭПП, Запорізький національний технічний уні-

верситет, Україна2Канд. техн. наук, професор кафедры ЭПП, Запорізький національний технічний університет, Україна3Канд. техн. наук, доцент кафедри ЭПП, Запорізький національний технічний університет, Україна4Канд. техн. наук, доцент кафедри ЭПП, Запорізький національний технічний університет, УкраїнаДОСЛІДЖЕННЯ ОСНОВНИХ РОЗРАХУНКОВИХ ПАРАМЕТРІВ ДИФЕРЕНЦІЙНО-ФАЗНОГО ЗА-

ХИСТУ ЗБІРНИХ ШИН ЕНЕРГООБ’ЄКТІВ ТА ФАКТОРІВ ЕЛЕКТРИЧНОЇ МЕРЕЖІ, ЩО ВПЛИВА-ЮТЬ НА ЇХ ВИБІР

У статті розглянуті питання щодо можливості застосування релейного захисту систем збірних шинрозподільчих пристроїв напругою 110–750 кВ електричних станцій та підстанцій виконаного з використанням



REFERENCES1. Kuzhekov S. L., Gryzlov, V. G. Kudin B. T. Differential

busbar protection, Electricheskie stantsiy, 1978, Vol. 9,pp. 172–177.

2. Kuzhekov S. L., Sinelnikov V. Y. Zachita shinelectrostantsiy i podstantsiy. Energoatomizdat,Moscow, USSR, 1983.

3. Bobin D. N. Research and development methods ofperformance busbar protection prospectively basedmicroprocessor, dissertation of Cand. Sci. (Tech.),05.14.02, 1999.

4. Nicenko V. V. Prospects differential-phase principle toprocect busbar system swichgears 110–750 kV,Electromehanicheskie i energosberigaushie sistemi,2015. Vol. 3, pp. 158–166.

5. Pravila ustroystva electroustanovok. Glava 3.2.Releynaya zachita [The rules of electrical. Head 3.2.Relays protections], 2009, Fort, Kharkov, Ukraine.

6. Fedoseyev A. M. Releynaya zachitaelectroenergeticheskih sistem. Releynaya zachita setey[Relay protection of electric power systems. Relayprotection networks], 1984, Energoatomizdat, Moscow,USSR.

диференційно-фазного принципу його дії у якості основного та єдиного. Матеріали досліджень у першу чергунаправлені на усунення недоліків, що має поздовжній диференційний захист шин, що експлуатується в те-перішній час. Визначені основні розрахункові параметри диференційно-фазного захисту систем збірних шин,вибором яких забезпечується його селективна та надійна робота у всіх можливих режимах енергосистеми.Наведена пояснювальна структурна схема та робоча характеристика захисту. Визначені фактори, що здійсню-ють безпосередній вплив на похибку визначення реагуючим органом захисту відношень між фазами струмів,що циркулюють приєднаннями, підключеними до системи шин. Визначена інтенсивність впливу кожного з цихфакторів, а також можливі способи відлаштування захисту від цього впливу. Проаналізована можливістьвикористання диференційно-фазного принципу для захисту збірних шин виходячи з умови забезпечення йогоселективності та достатньої чутливості в нормальному режимі, при зовнішніх коротких замиканнях на при-єднаннях підключених до шин та при пошкодженнях в зоні дії захисту. Керуючись прийнятими припущеннямипри виконанні приблизного розрахунку кутових похибок трансформаторів струму в перехідних режимах енер-госистеми, була отримана характеристика, що дозволяє встановити залежність зміни величин даних похибоквід часу існування перехідного процесу в електричній мережі. У підсумку, на основі отриманих від проведенихдосліджень результатів, розроблена методика з вибору параметрів спрацювання диференційно-фазного захи-сту, що відрізняється від методики з розрахунку подібного йому за типом захисту ліній електропередач тавраховує всі особливості застосування диференційно-фазного принципу для захисту збірних шин, що розглянутіу статті.

Ключові слова: релейний захист, збірні шини, диференційно-фазний захист, орган порівняння фаз струмів,фазна характеристика, кут блокування захисту, рівень формування імпульсів.

Nicenko V. V.1, Kulagin D. A.2, Mahlin P.V.3, Klimko A. N.41Еngineer for relays protection and automatic GP «NEC “Ukrenergo» Dneprovskaya ES, Postgraduate student of the

department «Electrosupply of the industrial enterprises», ZNTU, Ukraine2Ph.D., Professor of the department «Electrosupply of the industrial enterprises», ZNTU, Ukraine3Ph.D., Associate Professor of the department «Electrosupply of the industrial enterprises», ZNTU, Ukraine4Ph.D., Associate Professor of the department «Electrosupply of the industrial enterprises», ZNTU, UkraineSTUDY OF KEY DESIGN PARAMETERS OF DIFFERENTIAL-PHASE PROTECTION OF BUSBARS OF

POWER FACILITIES AND FACTORS OF TLTCTRICAL NETWORKS AFFECTING THEIR CHOICEThe article deals with questions concerning to the main design parameters of differential-phase busbar protection

switchgear with voltage 110–750 Kv of electric power stations and substations, the choice of which is provided by itsselective and reliable operation in all possible power system conditions. Article contains the block diagram and operatingcharacteristic of protection. The factors that have a direct impact on the determination error by the reacting body toprotect the relationship between the phases of the currents circulating connections that are connected to the busbar systemare determined. The influence degree of these factors as well as possible ways to tune away from its impact protection aregiven. Possibility of the differential-phase principle application for busbars protection on the basis of conditions forensuring its sufficient sensitivity and selectivity in normal mode was analysed, when the external short circuit on theconnections of the busbars and for faults in the protection zone of action. Guided by the assumptions made in carrying outan approximate calculation of the angular errors of the current transformers in the power system transient modes thecharacteristic which allows to set the dependence of the values of these errors on the lifetime of the transitional process inthe electrical network is built.

Keywords: relays protection, differential-phase busbar protection, phase compare relay, phase characteristic, impulseformation level, protection block angle.

95


УДК 621.3

Скалько Ю. С.К.т.н., доц., Запорізька державна інженерна академія, Україна

УДОСКОНАЛЕННЯ ГРУПОВОГО РЕГУЛЮВАННЯ ГІДРОАГРЕГАТІВДНІПРОВСЬКОЇ ГЕС ЗА ДОПОМОГОЮ НЕЧІТКОЇ ЛОГІКИРозроблено систему групового регулювання гідроагрегатів ГЕС на базі нечіткої логіки, яка рекомендує

вибір агрегату для включення, виходячи з основних параметрів його поточного стану та на основі експертнихоцінок спеціалістів. Наведено приклад розрахунку пріоритетності включення гідроагрегату ДніпроГЕС-2 звикористанням запропонованої системи регулювання.

Ключові слова: групове регулювання, нечітка логіка, гідроагрегат, гідроелектростанція

Безперечною перевагою гідроелектростанцій (ГЕС)у складі енергосистеми є їх висока маневреність. ТомуГЕС працюють, як правило, на піку графіка навантажен-ня системи. Безперервний характер зміни ситуацій наГЕС призводить до необхідності покращення адаптацій-них властивостей моделей керування. Питанням підви-щення ефективності керування режимами роботи ГЕСприділяється велика увага.

У науково-технічній літературі відомі різні способи ізасоби керування основним обладнанням, а також ре-жимами роботи ГЕС [1–4]. Вони базуються на способахкерування, заснованих на традиційних підходах теорії ав-томатичного керування. Такі способи демонструютьхороші результати в теорії, але на практиці їх важко вико-ристовувати внаслідок наявності великої кількості невра-хованих факторів впливу на обладнання ГЕС, що призво-дить до зниження якості керування. Дослідження в об-ласті удосконалення систем керування основним облад-нанням та режимами роботи гідроелектростанцій зали-шаються актуальними та тривають і в даний час.

При цьому на даний час оперативне керування енер-гетичним обладнанням ГЕС здійснюється виключно заучастю людини (особи, що приймає рішення – далі ОПР).Тому, як правило, прийняте рішення є суб’єктивним іспирається на досвід та інтуїцію ОПР. Недооцінка однихситуацій та переоцінка інших ОПР може призвести дозниження рівня надійності та економічності працюючо-го обладнання, а в деяких випадках, до катастрофи. При-клад Саяно-Шушенської ГЕС в цьому випадку є доситьпереконливим. Згідно Акту технічного розслідуванняаварії на Саяно-Шушенської ГЕС 17 серпня 2009 однією зпричин аварії названа невірна оцінка ситуації черговимінженером.

Ефективне керування режимами і складом працюю-чого на станції обладнання є основним завданням, розв-’язуваним оперативним персоналом ГЕС, і має на увазівикористання комплексної оцінки ситуації на гідроагре-гатах в поточний момент часу. Така оцінка може бутиотримана на основі контролю та моніторингу обладнан-ня та є важливим, якщо не основним, елементом підтрим-ки прийняття рішень при керуванні режимом і складомобладнання. Для керування складними об’єктами з ве-ликою долею невизначеності (такими як ГЕС) доцільно

застосувати сучасні методи штучного інтелекту, зокре-ма нечітку логіку та штучні нейронні мережі. Заснованена цих методах керування дозволить істотно підвищитиефективність, безпеку і надійність ГЕС, що є актуальнимзавданням. В існуючій науково-технічній літературі відомізастосування нечіткої логіки для керування витратамиводи на ГЕС, зокрема [5,6]. В даній статті розглядаєтьсявикористання нечіткої логіки в системі групового регу-лювання гідроагрегатами ГЕС.

Метою статті є удосконалення системи груповогорегулювання активної потужності гідроагрегатів за до-помогою нечітких методів і моделей.

На першому етапі проаналізовано існуючі системиавтоматичного регулювання частоти та активної потуж-ності ГЕС енергосистеми України (у тому числі наДніпровській ГЕС). Такі системи побудовані з наступнихскладових:

- первинні регулятори і агрегатні контролери;- системи станційного керування «Centralog» ГЕС;- центральний регулятор (SCADA/AGC), який встанов-

лений в диспетчерському пункті ДП «НЕК» Укренерго»;- телекомунікаційні зв’язки між центральним регуля-

тором, системою «Centralog» ГЕС та відповіднимипідстанціями міждержавних ліній електропередачі.

У режимі групового регулювання активної потужності(ГРАП) система «Centralog» автоматично розподіляє зав-дання за активною потужністю між працюючими гідро-агрегатами (ГА) і включає або зупиняє/переводить в ре-жим синхронного компенсатора ГА в залежності від зна-чення одержаного завдання.

У цьому процесі гідроагрегати можуть працювати внеоптимальних режимах, внаслідок чого погіршуютьсяїхні температурні та вібраційні показники, зростаєкількість відмов насосів маслонапорної установки(МНУ), частішають випадки пробою обмотки статора.Перевідні режими (пуск, зупинка, перевід з генератор-ного режиму в режим синхронного компенсатора танавпаки) і постійне регулювання потужності в діапазоні0–72 МВт є найбільш важким для основного обладнанняГА і допоміжного обладнання (компресорні установки,масляні насоси МНУ). В даний час до системи автома-тичного регулювання частоти та потужності ОЕС Украї-ни одночасно підключені шість гідроагрегатів Дніпровсь-

Скалько Ю. С., 2015©



кої ГЕС. Загальна кількість гідроагрегатів ДніпровськоїГЕС-1 – дев’ять. Для усунення недоліків існуючої схемиГРАП необхідне її удосконалення за рахунок вирішеннянаступних задач:

1) визначення поточного технічного стану усіх ГА наГЕС;

2) розрахунок пріоритету включення ГА;3) вибір ГА з найвищим пріоритетом для включення,

що і буде порадою для ОПР.Розв’язання цих задач аналітичними методами є уск-

ладненим внаслідок: неповноти вхідної інформації, вели-кої кількості параметрів, від яких залежить визначенняоптимального пріоритету та відсутності явного матема-тичного зв’язку між цими параметрами.

У програмі групового керування агрегатами існуєпараметр - тиск в повітряній магістралі системи відтиску– з двома уставками: 1 - заборона на переведення агре-гату в режим синхронного компенсатора; 2 - дозвіл напереведення агрегату в режим синхронного компенса-тора. При зменшенні загальної уставки активної потуж-ності станції проводиться перехід гідроагрегатів в режимсинхронного компенсатора по черзі, при наявності по-вітря в системі відтиску. Решта гідроагрегатів, які підклю-чені до ГРАП, при зменшенні загальної уставки активноїпотужності переводяться в режим холостого ходу, з по-дальшим переведенням в режим синхронного компен-сатора при наявності тиску в системі відтиску.

На даний час вибір ГА та їх пріоритету у ГРАП вико-нується начальником зміни станції. У своїй роботі вінкерується такими чинниками:

- температурний режим гідроагрегату;- температурний режим головного трансформатору

(ГТ);- стан допоміжного обладнання (МНУ та ін.);- кількість перевідних режимів;- наявність дефектів гідроагрегату, головного транс-

форматору та допоміжного обладнання.Основним недоліком такого підходу до вирішення за-

дачі є людський фактор. Будь-якій людині властиві обме-ження можливостей чи помилки. Не завжди психологічніі психофізіологічні характеристики людини відповідаютьрівню складності вирішуваних завдань або проблем.

Досить важливою причиною появи помилок людиниможуть бути відсутність або недостатність інформацій-ної підтримки (спеціальні обробники таких ситуацій впрограмному забезпеченні , наочні матеріали таінструкції); особливо сильно ця проблема проявляєтьсяв екстремальних ситуаціях і в умовах дефіциту часу наприйняття рішення.

Неповнота вхідної інформації, відсутність математич-них залежностей між основними факторами, що вплива-ють на черговість, та наявність людського фактору роб-лять доцільним використання для вирішення поставле-ної задачі сучасних методів штучного інтелекту, зокремаметодів нечіткої логіки. Застосування цих методів дозво-ляє створити програмний засіб для видачі порад для ОПР.

За результатами проведеного аналізу пропонуєтьсястворення системи, яка буде працювати в режимі порад-ника для ОПР та видавати рекомендації з пріоритету вклю-чення ГА на базі визначальних параметрів (температур-ний режим гідроагрегату, температурний режим голов-ного трансформатору, кількість перевідних режимів) ГА.

На другому етапі для оцінки технічного стану гідро-агрегату запропонована нечітка модель, яка виконує виз-начення пріоритетності пуску, зупинки, переводу у ре-жим синхронного компенсатора, гідроагрегата, як не-чіткої функції від згаданих параметрів:

- температури найбільш нагрітої точки гідрогенера-тора;

- температури найбільш нагрітої точки трансформа-тора;

- кількість перевідних режимів гідрогенератора;- тиску у котлі МНУ.Прийняті вхідні величини описуються наступними

нечіткими термами:1) «температура найбільш нагрітої точки гідрогене-

ратора»: Допустима, Висока;2) «температура найбільш нагрітої точки трансфор-

матора»: Допустима, Висока;3) «кількість перевідних режимів гідрогенератора»:

Допустима, Висока;4) «тиск у котлі МНУ»: Низький, Нормальний, Висо-

кий.Для настроювання функцій приналежності нечітких

термів вхідних величин: «Температура найбільш нагрітоїточки гідрогенератора», «Температура найбільш на-грітої точки трансформатора», «Кількість перевіднихрежимів гідрогенератора», «Тиск у котлі МНУ» у роботі[7] було проведено опитування дванадцяти експертівДніпровської ГЕС (результати наведені у табл. 1). Дляобробки експертної інформації застосовувався методпарних порівнянь Сааті [8]. Перевагами методу Сааті упорівнянні з іншими методами настроювання функційприналежності є достатність для його застосуваннямінімальної кількості експертної інформації, зручна длясприйняття експертами шкала парних порівнянь і висо-ка ступінь узгодженості оцінок різних експертів.

Загальна кількість правил у базі визначається кількістюможливих комбінацій нечітких термів всіх вхідних величин:

N пр.= NА1 · NА2 · NА3 · NА4 = 2 · 2 · 2 · 3 = 24.Для нечіткої моделі вибору пріоритетності ГА в ГРАП

з чотирма вхідними величинами сформовано нечіткіправила «ЯКЩО - ТО». Наприклад, одне з таких правилмає наступний вигляд:

– ЯКЩО температура tннт.ген. «Допустима», та темпе-ратура tннт.тр. «Допустима», та кількість перевідних ре-жимів N «Допустима», та тиск у котлі P «Нормальний»,ТО пріоритет пуску гідроагрегата S «Дуже високий».

Інші правила нечіткого логічного виводу мають ана-логічну структуру та представлені в табл. 2.

97


Температура найбільш нагрітої точки генератора 0С

tннт ген. 30 40 50 60 70 80 90 100

Допустима 12 12 12 12 5 2 0 0

Висока 0 0 0 0 7 10 12 12

Температура найбільш нагрітої точки трансформатора 0С

tннт тр. 20 30 40 50 60 70

Допустима 12 12 12 11 4 0

Висока 0 0 0 1 8 12

Кількість перевідних режимів гідрогенератора

N 10 20 30 40 50 60 70 80

Допустима 12 9 2 1 1 0 0 0

Висока 0 3 10 11 11 12 12 12

Тиск у котлі МНУ, атм.

P 15 16 17 18 19 20 21 22

Низький 12 10 7 2 1 0 0 0

Нормальний 0 2 5 10 11 10 5 0

Високий 0 0 0 0 0 2 7 12

Таблиця 1 – Експертні оцінки технічного стану основних вузлів ГА

На базі табл. 1 визначені функції приналежностівхідних величин. Для функції приналежності вихідної не-чіткої змінної «Пріоритет пуску ГА» було обрано 5 на-ступних термів: «Дуже високий»; «Високий»; «Се-редній»; «Низький»; «Дуже низький» (рис. 1).

Використовуючи вхідну інформацію та наведену базунечітких правил (табл. 2) нечітка система виконує не-чіткий логічний вивід – отримання висновку (нечіткогозначення вихідної змінної) у вигляді нечіткої множини,відповідного поточним значенням параметрів.

Результатом застосування методу нечіткої логіки єдеяка нечітка множина, яка описується функцією при-належності. У такій ситуації невизначеність вибору збе-рігається. Для визначення остаточного рішення (конк-ретного значення Y) необхідно здійснити перехід від от-риманої нечіткої множини до єдиного значенням Y, якевизнається в якості вирішення поставленого завдання,такий перехід називається дефазіфікацією.

В якості механізму нечіткого виводу, який реалізуєлогічні операції імплікації та агрегування нечітких пра-вил для відображення вхідних нечітких змінних у вихіднунечітку змінну, застосовано алгоритм Мамдані [9]. Ре-зультуюче значення виходу визначається за допомогоюдефазифікації вихідної нечіткої змінної шляхом знаход-ження зваженого середнього значення (центру ваги):

∑

∑

=

=

μ

⋅μ

= m

iiAi

m

iiAi

P

yPY

1

1

)(

)(

. (1)

На третьому етапі, як приклад, розглянемо функціо-нування запропонованої нечіткої моделі вибору пріори-тетності гідроагрегата на ДніпроГЕС-2. На момент отри-мання завдання від енергосистеми технічний стан ГАвідповідає таким параметрам:

- температура генератора tген. = 70,4oC ;- температура блочного трансформатора дорівнює

tтр. = 47,8 оС;- кількість перевідних режимів ГА дорівнює N = 4;- тиск у котлі МНУ дорівнює P = 18,4 атм.Далі визначаємо ступені приналежності вхідних вели-

чин відповідним нечітким термам:- А1 : µдопустима (tген.) = 0,66 µвисока (tген.) = 0,34- А2 : µвисока (tтр.) = 0,23 µвисока (tтр.) = 0,23- А3 : µдопустима (N) = 1 µвисока (N) = 0- А4 : µнизький (P) =0 µнормальний (P) = 1 µвисокий (P) = 0Згідно з правилами нечіткого логічного виводу

(табл. 1, правило 4) визначається нечітка множина вихід-ної величини шляхом імплікації (відтинання трапецій відвихідних функцій приналежності згідно з операцієюмінімуму) та агрегування отриманих відсічених трапеційнечітких термів вихідної змінної. За виразом (1) викона-но дефазифікацію вихідної нечіткої величини:

349,0=Y .Аналогічно системою нечіткою логіки розраховують-

ся за тими ж правилами значення пріоритетів для іншихГА, використовуючи вхідні значення їх параметрів. Гідро-агрегат з найбільшим значенням пріоритету буде пере-важним для вмикання у систему ГРАП. Таким чином,завдяки використанню розробленої системи керуванняна базі нечіткої логіки, скоротиться кількість перевіднихрежимів ГА, та завжди здійснюється вибір гідроагрегату,який знаходиться у найкращому технічному стані.



Кількість

перевідних

режимів, N

Тиск у котлі

МНУ, P

Температура

генератора, tннт.ген.

Температура

трансформатора,

tннт.тр.

Пріоритет

пуску

гідроагрегата, S

1 Допустимий Нормальний Допустимий Допустимий Дуже високий

2 Допустимий Нормальний Допустимий Високий Середній

3 Допустимий Нормальний Високий Допустимий Середній

4 Допустимий Нормальний Високий Високий Низький

5 Допустимий Високий Допустимий Допустимий Високий

6 Допустимий Високий Допустимий Високий Низький

7 Допустимий Високий Високий Допустимий Низький

8 Допустимий Високий Високий Високий Дуже низький

9 Допустимий Низький Допустимий Допустимий Середній

10 Допустимий Низький Допустимий Високий Низький

11 Допустимий Низький Високий Допустимий Низький

12 Допустимий Низький Високий Високий Дуже низький

13 Високий Нормальний Допустимий Допустимий Середній

14 Високий Нормальний Допустимий Високий Низький

15 Високий Нормальний Високий Допустимий Низький

16 Високий Нормальний Високий Високий Дуже низький

17 Високий Високий Допустимий Допустимий Низький

18 Високий Високий Допустимий Високий Дуже низький

19 Високий Високий Високий Допустимий Дуже низький

20 Високий Високий Високий Високий Дуже низький

21 Високий Низький Допустимий Допустимий Низький

22 Високий Низький Допустимий Високий Дуже низький

23 Високий Низький Високий Допустимий Дуже низький

24 Високий Низький Високий Високий Дуже низький

Таблиця 2 – База нечітких правил визначення пріоритетності ГА в ГРАП

Рисунок 1 – Функція приналежності вихідної нечіткої змінної «Пріоритет пуску ГА»

99


ВИСНОВКИ1. Розроблено систему групового регулювання гідро-

агрегатів ГЕС на базі нечіткої логіки, яка рекомендує вибіргідроагрегату для вмикання, виходячи з основних пара-метрів його поточного стану (температурного режимугідроагрегату та головного трансформатору, тиску уМНУ та кількості перевідних режимів).

2. На основі експертних оцінок спеціалістів викона-ний приклад розрахунку пріоритетності включення од-ного з гідроагрегатів ДніпроГЕС-2 з використанням не-чіткої логіки.

3. Використання запропонованої системи у якості«порадника» для оперативного персоналу ГЕС дозво-лить суттєво підвищити термін безаварійної роботи гідро-електростанції та її експлуатаційну надійність.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Siu T.K. A Practical Hydro Dynamic Unit Commitment

and Loading Model / T. K. Siu, G. A. Nash,Z. K. Shawwash // IEEE Transactions on Power Systems,Vol. 16, Issue 2, 2001. – pp. 301–306.

2. Nilsson O. Hydro Unit start-up Costs and Their Impacton the Short Term Scheduling Strategies of SwedishPower Producers / О. Nilsson, D. Sjelvgren // IEEETransactions on Power Systems, Vol. 12, Issue l, 1997.– pp. 38–44.

3. Shawwash Z.K. The B.C. Hydro Short Term HydroScheduling Optimization Model // Z.К. Shawwash, T.К.

Siu, S.О. Russel // IEEE Transactions on Power Systems,Vol. 15, Issue 3, 2000. – pp. 1291–1295.

4. Conejo A.J. Self-Scheduling of a Hydro Producer in aPool-Based Electricity Market / A.J. Conejo, J. M.Arroyo, J. Contreras, F.A. Villamor // IEEE Transactionson Power Systems, Vol. 17, Issue 4, 2002. – pp. 1265–1272.

5. Abbas M. Fuzzy Logic Based Hydro-Electric Power DamControl System / M. Abbas, M. Saleem Khan, Nasir Ali// International Journal of Scientific & EngineeringResearch. Volume 2, Issue 6, 2011.

6. Adhikary P. Safe and Efficient Control of Hydro PowerPlant by Fuzzy Logic / P. Adhikary, P. K. Roy, A.Mazumdar // International Journal of EngineeringScience & Advanced Technology. Volume 2, Issue 5,2012. – pp. 1270–1277.

7. Джуржий П.О., Скалько Ю.С. Удосконалення групо-вого регулювання гідроагрегатів з використанням не-чіткої логіки // Матеріали XVIII НТК «Металургія таенергозбереження як основа сучасної промисло-вості». – Запоріжжя: ЗДІА, 2013. – С. 201.

8. Saaty T.L. Eigenweightor a logarithmic least squares //European Journal of Operations Research, 1990. –pp.156–160.

9. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алго-ритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пи-линьский, JI. Рутковский. М.: Горячая линия –Теле-ком, 2007. – 452 с.

Стаття надійшла до редакції 2.11.2015Скалько Ю. С.К.т.н., Запорожская государственная инженерная академия, УкраинаУСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ГРУППОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ГИДРОАГРЕГАТОВ ДНЕПРОВС-

КОЙ ГЭС С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИРазработана система группового регулирования гидроагрегатов ГЭС на базе нечеткой логики, которая

рекомендует выбор агрегата для включения, исходя из основных параметров его текущего состояния и наоснове экспертных оценок специалистов. Приведен пример расчета приоритетности включения гидроагрега-та ДнепроГЭС-2 с использованием предложенной системы регулирования.

Ключевые слова: групповое регулирование, нечеткая логика, гидроагрегат, гидроэлектростанция.

Skal’ko Yu. S.PhD, Zaporozhye State Engineering AcademyIMPROVEMENT OF DNIPROGES POWER GENERATOR GROUP CONTROL USING FUZZY LOGICGroup control system for hydroelectric power plant is developed based on fuzzy logic. The system recommends

selection of power generator for starting based on its current state and expert estimations. Example of priority calculationfor DniproGES-2 using the proposed system is given.

Keywords: group control, fuzzy logic, power generator, hydroelectric power plant

REFERENCES1. Siu T. K. A Practical Hydro Dynamic Unit Commitment

and Loading Model, IEEE Transactions on PowerSystems, Vol. 16, Issue 2, 2001, pp. 301–306.

2. Nilsson O. Hydro Unit start-up Costs and Their Impacton the Short Term Scheduling Strategies of SwedishPower Producers, IEEE Transactions on Power Systems,Vol. 12, Issue l, 1997, pp. 38–44.

3. Shawwash Z. K. The B. C. Hydro Short Term HydroScheduling Optimization Model, IEEE Transactions onPower Systems, Vol. 15, Issue 3, 2000, pp. 1291–1295.

4. Conejo A. J. Self-Scheduling of a Hydro Producer in aPool-Based Electricity Market, IEEE Transactions onPower Systems, Vol. 17, Issue 4, 2002., pp. 1265–1272.

5. Abbas M. Fuzzy Logic Based Hydro-Electric Power DamControl System, International Journal of Scientific &

Engineering Research, Vol. 2, Issue 6, 2011.6. Adhikary P. Safe and Efficient Control of Hydro Power

Plant by Fuzzy Logic, International Journal ofEngineering Science & Advanced Technology. Vol. 2,Issue 5, 2012, pp. 1270–1277.

7. Dzhurzhij P. O., Skal’ko Yu. S. Udoskonalennya grupovogoregulyuvannya gіdroagregatіv z vikoristannyam nechіtkoїlogіki. Materіali XVIII NTK «Metalurgіya taenergozberezhennya yak osnova suchasnoїpromislovostі». Zaporіzhzhya: ZDІA, 2013, 201 р.

8. Saaty T. L. Eigenweightor a logarithmic least squares,European Journal of Operations Research, 1990, pp.156–160.

9. Rutkovskaya D. Nejronnye seti, geneticheskie algoritmyi nechetkie sistemy. Moscow, Goryachaya liniyaTelekom, 2007, 452 s.

Наукове видання

Електротехніка та електроенергетика 2/2015

науковий журнал

Головний редактор д-р техн. наук Тиховод С. М. Заст. гол. редактора д-р техн. наук Яримбаш Д. С.

Оригінал-макет підготовлено у редакційно-видавничому відділі ЗНТУ

Комп’ютерна верстка Дяченко О. О.Редактор англійських текстів Войтенко С. В.

Підписано до друку . Формат 60×84/8. Ум. др. арк. 11,86Тираж 300 прим. Зам. 179

69063 м. Запоріжжя, ЗНТУ, друкарня, вул. Жуковського, 64

Свідоцтво суб’єкта видавничої справиДК 2394 від 27.12.2005.

Свідоцтво про державну реєстраціюКВ 6905 від 29.01.2003.

Documents

ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИКАjournal.zntu.edu.ua/et/files/ET22015/ET(2)_2015.pdf · Если условие (5) записать для каждой