课题课题 4 4 平面任意力系平面任意力系

4.14.1 平面力系的简化平面力系的简化

4.1.14.1.1 平面力系向一点的简化平面力系向一点的简化

•简化中心——力系所在平面内任取一点 O 。•主矢——合矢量，体现原力系对刚体的移动效应。

•主矩——附加力偶矩等于原力对简化中心 O点之矩的代数和，体现原力系对刚体绕简化中心的转动效应。

iRR FFFFF 21

inR FFFFF 21

iOnOOOO MMMMM FFFF 21

• 综上所述可知，平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶：这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；这个力偶的矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。

• 力系的主矢与简化中心的位置无关。主矩一般随简化中心的位置不同而改变。

4.1.24.1.2 平面力系简化的最后结果平面力系简化的最后结果

• （ 1 ）若主矢≠ 0 ，则不论主矩Ｍ o 是否等于零，原力系简化的最后结果为一个力，此力称为平面力系的合力。这时又可分为两种情况 :

1 、当Ｍ o ＝ 0 时，则作用于简化中心的力就是原力系的合力Ｆ R 。此时简化中心 O 恰好选在了平面力系合力的作用线上 。

2 、当Ｍ o≠0时，原力系简化为作用线通过简化中心的一个力和一个矩为Ｍ o 的力偶，如图（ a ）所示，根据力的平移定理的逆定理，可以把此力与力偶进一步合成为一合力Ｆ R 。合力FR 作用线与简化中心 O 的垂直距离为：

合力Ｆ R 的作用线在简化中心 O 的哪一侧，应根据主矩Ｍ o 的转向决定，合力 FR 对简化中心之矩与主矩的转向应一致。

R

o

F

Md

•（ 2 ）若主矢＝ 0 ，主矩Ｍ o≠0，则原力系简化的最后结果为一个力偶，此力偶称为平面力系的合力偶，其力偶矩等于主矩，即 M=Mo=∑Mo(Fi)。此时主矩与简化中心的位置无关，是一常量，亦即原力系向任意点简化的结果都是其矩为 Mo 的力偶，这也反映了力偶可在作用面内任意移转这一特性。

•（ 3 ）若主矢＝ 0 ，主矩 Mo ＝ 0 ，这说明原力系合成为零力系，则原力系平衡，这种情况将在下一章重点讨论。

•【例 4-1】铆接薄钢板的铆钉 A 、 B 、 C 上分别受到力 F1 、 F2 、 F3 的作用，如图所示。已知 F1=200 N， F2=150 N， F3=100 N。图上尺寸单位为 m 。求这三个力的合成结果。

【分析】 (1) 将力系向 A 点简化，其主矢为，主矩为主矢在 x 、 y 轴上的投影为

• 主矢大小：

• 主矢方向：

• 主矩：

R 1 2

R 1 3

cos60 200N cos60 150N 50N

sin 60 200N sin 60 100N 73.21N

x x

y y

F F F F

F F F F

NNFFF RyRxR 65.88)21.73()50()()( 2222

464.150

21.73tan

Rx

Ry

F

F o66.55

mNFFFMM AA 252.03.0)( 32

（ 2 ）因为 ， ，所以原力系还可以进一步简化为一个合力 FR ，

其大小与方向和主矢相同，即

合力的作用线位置到 A 点的垂直距离

因为为逆时针，故最终合力的作用线在 A点的右边，如图所示。

R

25N m0.282m

88.65NA

A '

Md

F

0RF 0AM

RFF R

【例 4-2】胶带运输机传动滚筒的半径R=0.325m，由驱动装置传来的力偶矩M=4.65kN·m，

紧边皮带张力 FT1=19kN，松边皮带张力FT2=4.7kN，皮带包角为 210° ，坐标位置如图（ a ）所示，试将此力系向点 O简化。

【分析】将力系向 O 点简化 （ 1 ）求主矢 主矢在 x 、 y 轴上的投影为

• 主矢大小：

• 主矢方向 ：

R T1 T2

R T2

cos30 19kN 4.7kN cos30 23.07kN

sin30 4.7 kN sin30 2.35kN

x x

y y

F F F F

F F F

kNkNkNFFF yxR 1.23)35.2()07.23()()( 2222

102.007.23

35.2tan

x

y

F

F 945 o

（ 2 ）求主矩 由于主矩为零，故力系的合力即等于主矢，且合力的作用线通过简化中心 O ，如图所示。

4.2 4.2 平面力系的平衡方程及其应平面力系的平衡方程及其应用用

4.2.14.2.1 平面力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程

•平面力系平衡的充分与必要条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。即

•上面的平衡条件可用下面的解析式表示：

RF=0 ， Mo=0

0(F

0

0

i )o

iy

ix

M

F

F

4.2.24.2.2 平面力系平衡方程的应用平面力系平衡方程的应用

•【例 4-3】简易起重机的水平梁 AB， A 端以铰链固定， B 端用拉杆 BC拉住，如图所示。水平梁 AB自重 G=4kN，载荷 FP=10kN，尺寸单位为 m ， BC杆自重不计，求拉杆 BC所受的拉力和铰链 A 的约束反力。

【分析】（ 1 ）选取梁 AB( 包括重物 ) 为研究对象，画其受力图。梁 AB除受到主动力G 、 FP 作用外，还有未知约束反力，包括拉杆的拉力 FT 和铰链 A 的约束反力FAx 、 FAy 。因杆 BC为二力杆，故拉力 FT沿 BC中心线方向。这些力的作用线可近似认为分布在同一平面内 , 如图（ b ）所示。

（ 2 ）选取坐标系 Axy，矩心为 A 点，如图（ b ）所示。

（ 3 ）各个力向 x,y轴投影 , 并对 A 点取力矩建立平衡方程。

将已知量代入③式得 FT=17.3kN 将 FT 代入①、②式得

计算结果 FAx 、 FAy 和 FT 皆为正值 , 表明这些力的实际指向与图示假设的指向相同。

0 ixF 030cos oTAx FF ①

0 iyF 030sin Po

TAy FGFF ②

0)( iA FM 030sin AEFADGABF Po

T③

=15.0kN

=5.34kNAx

Ay

F

F

讨论：计算结果正确与否，可任意列一个上边未用过的平衡方程进行校核。

例如：选取 D 点为矩心

故原计算结果正确。

P T( ) sin 30

5.34kN 3m 10kN 1m 17.3kN 0.5 3m 0

D AyM F AD F DE F DB

F

•【例 4-4】起重机重 W=10kN ，可绕铅垂轴 AB 转动。起重机的挂钩上挂一重为FP=40kN 的重物。起重机的重心 C 到转动轴的距离为 1.5 m ，其它尺寸（均以 m计）如图（ a ）所示。求在止推轴承 A 和径向轴承 B 处的约束反力。

【分析】（ 1 ） 以起重机为研究对象，画出受力图。起重机上作用有主动力 W 和 FP ；止推轴承 A 有轴向反力 FAy和径向反力 FAx；径向轴承 B 只有一个垂直于转轴的径向反力 FB，其指向假设向右，如图（ b ）所示。

（ 2 ）选取坐标系 Axy，如图（ b ）所示，列平衡方程并求解： 0 0ix Ax BF F F

P0 0iy AxF F F W

P( ) 0 5m 1.5m 3.5m 0A i BM F F W F

解得： kNFB 31

31kN

50kNAx B

Ay

F F

F

FB为负值，说明它的方向与受力图中假设的方向相反，即正确的指向应向左。

• 平面任意力系的平衡方程还有下列两种形式： 1 ）二矩式：

其中，投影轴 x 不能与矩心 A 、 B 两点的连线相垂直。

这是因为平面任意力系满足，则表明该力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过 A 点的一合力或平衡。若力系又满足 , 同理可以断定，该力系简化结果只可能为一作用线通过 A 、 B 两点的一个合力（如图所示）或平衡。如果力系又满足，而投影轴 x 不垂直于 AB连线，显然力系不可能有合力，因此，力系必为平衡力系。

0

0)(

0)(

ix

iB

iA

F

FM

FM

2 ）三矩式：

其中，矩心 A 、 B 、 C 三点不能在一直线上。

0)(

0)(

0)(

iC

iB

iA

FM

FM

FM

应用平衡方程求解物体在平面力系作用下平衡应用平衡方程求解物体在平面力系作用下平衡问题的步骤问题的步骤 ::

（ 1 ）确定研究对象 , 画其受力图 , 判断平面力系的类型； 注意 : 一般应选取有已知力和未知力同时作用的物体为

考虑平衡问题的研究对象。（ 2 ）选取坐标轴和矩心； 由于坐标轴和矩心的选择是任意的 , 在选择时应遵循以

下原则 : 1 、坐标轴应与尽可能多的未知力垂直 ( 或平行 ) ； 2 、矩心应选在较多未知力的汇交点处 .（ 3 ）将各个力向两坐标轴投影 , 对矩心取力矩建立平衡方

程求解；（ 4 ）校核。 可选取一个不独立的平衡方程 , 对某一个解答作重复运

算 , 以校核解的正确性。

4.3 4.3 平面特殊力系的平衡方程平面特殊力系的平衡方程

4.3.14.3.1 平面汇交力系平面汇交力系

0

0

y

x

F

F

4.3.24.3.2 平面平行力系平面平行力系

0)(

0

iO

iy

FM

F

•二矩式为：

其中，矩心 A 、 B 两点的连线不能与各力的作用线平行。

0)(

0)(

iB

iA

FM

FM

【例 4-5】如图（ a ）所示，物重 G=20kN，用钢丝绳经过滑轮 B 再缠绕在绞车 D 上。杆 AB与BC铰接 , 并以铰链 A 、 C 与墙连接。设两杆和滑轮的自重不计 , 并略去摩擦和滑轮的尺寸 , 求平衡时杆 AB和 BC所受的力。

【分析】（ 1 ）由于滑轮 B 上作用着已知力和未知力，故取滑轮 B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与 FT2作用，且 FT2 =FT2 = G 。滑轮同时还受到二力杆 AB与 BC的约束反力 FBA和 FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计，这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮 B 的受力图如图（ d ）所示。

（ 2 ）由于两未知力 FBA和 FBC相互垂直，故选取坐标轴 x ， y 如图（ d ）所示。

（ 3 ）列平衡方程并求解。

FAB为负值，表示此力的实际指向与图示相反，即 AB杆受压力。

T1 T20 cos60 cos30 0ix BAF F F F T1 T20 cos30 cos60 0iy BCF F F F

T1 T2

1 3 1 37.32kN

2 2 2 2BAF F F G G

T1 T2

3 1 3 127.32kN

2 2 2 2BCF F F G G

【例 4-6】在水平双伸梁上作用有集中载荷 FP ，力偶矩为 M 的力偶和集度为 q 的均布载荷，如图（ a ）所示。 FP=20kN， M=16kN·m， q=20kN/m ， a=0.8m。求支座 A 、 B 的约束反力。

【分析】（ 1 ）取 AB 梁为研究对象，画受力图。作用于梁上的主动力有集中力 FP 、力偶矩为 M 的力偶和均布载荷 q 、均布载荷可以合成为一个力，其大小为，方向与均布载荷相同，作用于分布长度的中点， B 支座反力 FB 铅垂向上；因以上各力（力偶）均无水平分力，故 A 支座反力 FA 必定沿铅垂方向。这些力组成一平衡的平面平行力系，如图（ b ）所示。

（ 2 ）选取坐标系 Axy, 矩心为 A ，如图（ b ）所示。 （ 3 ）列平衡方程如下：

解方程①、②得：

0)( iA FM 0)2(2

aFMqa

aF PB

0 yF 0 PBA FqaFF

①

②

P

20kN/m 0.8m 16kN m2 2 20kN 12kN

2 0.8mB

qa MF F

a

2

P 20kN 20kN/m 0.8m 12kN 24kNA BF F qa F