Лекція 4

Вимірювання кутів. Суміжні та вертикальні кути.

Паралельні прямі. Ознаки паралельності двох прямих. Властивості

паралельних прямих.

Трикутник та його елементи. Сума кутів трикутника. Рівнобедрений

трикутник.

Суміжні та вертикальні кути

Означення. Два променя, які мають спільний початок і утворюють пряму, на-

зиваються доповняльними променями (оскільки доповнюють один другого до

прямої).

Означення. Два кути називаються суміжними, якщо у них одна сторона спі-

льна, а дві інші є доповняльними променями.

На рис. 1 – суміжні.

рис. 1

Теорема (властивість суміжних кутів). Сума суміжних кутів дорівнює

. Тобто, якщо – суміжні, то . Означення. Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного ку-

та є доповняльними променями сторін другого.

На рис. 2 є дві пари вертикальних кутів:

– вертикальні

– вертикальні.

рис. 2

Теорема (властивість вертикальних кутів). Вертикальні кути рівні.

Тобто, якщо – вертикальні, то .

ЗАДАЧА 1. Два кути мають спільну сторону, а їхня сума становить . Чи

можна стверджувати, що ці кути є суміжними?

Розв’язання. Можливо два варіанти.

рис. 3 рис. 4

1) Дані кути лежать по різні боки від спільної сторони (див рис. 3). Тоді одна

сторона у них спільна, а дві інші є доповняльними променями (оскільки за умовою

сума кутів становить ). В даному випадку кути будуть суміжними.

2) Дані кути лежать по різні боки від спільної сторони (див рис. 4). Тоді одна

сторона у них спільна, а дві інші не є доповняльними променями. В даному випадку

кути не будуть суміжними.

Отже, кути не завжди будуть суміжними.

Відповідь: кути не завжди будуть суміжними.

ЗАДАЧА 2. Обчислити кут між бісектрисами суміжних кутів.

р

рис. 5

Розв’язання. Нехай і – суміжні, – бісектриса , – бі-

сектриса (див. рис. 5). Знайдемо кут між бісектрисами даних суміжних кутів,

тобто .

За умовою – бісектриса , тоді за її означення . Нехай

. Також – бісектриса , тоді . Нехай

.

і – суміжні, тоді за їх властивістю . Але

( ) ( ) , звідси

.

Отже, .

Відповідь: .

ЗАДАЧА 3. Два кути відносяться як , а суміжні з ними – як . Знай-

діть дані кути.

Розв’язання. Нехай і – задані кути, а відповідно і – суміжні з ни-

ми, причому і . Знайдемо і .

рис. 6

За умовою . Нехай – коефіцієнт пропорційності, тоді і

і – суміжні, тоді за їх властивістю , звідси

( ) . і – суміжні, тоді за їх властивістю , звідси

( ) . За умовою , тоді можемо записати пропорцію

Використовуючи властивість пропорції (у пропорції добуток крайніх членів

дорівнює добутку середніх членів), отримаємо рівняння:

( ) ( )

Отже, , а Відповідь: та .

Паралельні прямі. Перетин двох прямих січною

Означення. Дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, нази-

ваються паралельними.

Означення. Пряма яка перетинає дві прямі і називається січною цих

прямих.

Назва кута Приклади

внутрішні

односторонні

внутрішні

різносторонні

відповідні

Кути при паралельних прямих і січній

Теорема (властивість внутрішніх од-

носторонніх кутів). Якщо дві парале-

льні прямі перетнуті третьою прямою, то

сума внутрішніх односторонніх кутів

дорівнює .

Якщо , то . Теорема (властивість внутрішніх різ-

носторонніх кутів). Якщо дві парале-

льні прямі перетнуті третьою прямою, то

внутрішні різносторонні кути рівні.

Якщо , то .

Теорема (властивість відповідних ку-

тів). Якщо дві паралельні прямі перет-

нуті третьою прямою, то відповідні кути

рівні.

Якщо , то .

ЗАДАЧА 3. На рис. 7 , , . Знайдіть градусну міру кута .

рис. 7

Розв’язання. Для розв’язання даної задачі потрібно зробити добудову.

– за побудовою (див. рис. 8). За умо-

вою , тоді .

- як внутрішні різнос-

торонні при і січній .

- як внутрішні різносто-

ронні при і січній .

Тоді

. Відповідь: .

рис. 8

Ознаки паралельності прямих

Теорема (ознака паралельності прямих

за внутрішніми односторонніми ку-

тами). Якщо сума внутрішніх односто-

ронніх кутів дорівнює , то прямі па-

ралельні.

Якщо , то .

Теорема (ознака паралельності прямих

за внутрішніми різносторонніми ку-

тами). Якщо внутрішні різносторонні

кути рівні, то прямі паралельні.

Якщо , то .

Теорема (ознака паралельності прямих

за відповідними кутами). Якщо відпо-

відні кути рівні, то прямі паралельні.

Якщо , то .

ЗАДАЧА 5. За даними рис. 9 обчисліть градусну

міру кута .

Розв’язання. Перед тим, як розв’язувати задачу,

зробимо деякі позначення (див. рис. 10). На даному ри-

сунку , , , а – шуканий.

рис. 9

рис. 10

і – внутрішні односторонні кути, що утворені

при перетині прямих і січною , причому

. Звідси за ознаками паралельності

прямих .

і – внутрішні односторонні кути, що утворені

при перетині паралельних прямих і січною , тоді за

їх властивістю: . Отримаємо, що

. і – вертикальні, тоді за їх властивістю .

Відповідь: .

Розв’язання. Для розв’язання даної задачі потрібно зробити добудову.

– за побудовою (див. рис. 12).

і – внутрішні односто-

ронні кути, що утворені при перетині парале-

льних прямих і січною , тоді за їх

властивістю: . Отри-

маємо, що .

, звідси рис. 12

.

і – внутрішні односторонні кути, що утворені при перетині пря-

мих і січною , причому . Звідси за

ознаками паралельності прямих .

Отже, за побудовою , а за доведеним , тоді (оскільки

дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою).

Доведено.

Трикутник та його елементи

Класифікація трикутників

I. За сторонами

1) різносторонній – трикутник, у якого всі три сторони різні;

2) рівнобедрений – трикутник, у якого дві сторони рівні між собою, а третя не

дорівнює цим двом сторонам;

3) рівносторонній (правильний) – трикутник, у якого всі три сторони рівні.

II. За кутами

1) гострокутний – трикутник, у якого всі три кути гострі;

2) прямокутний – трикутник, у якого один кут прямий;

3) тупокутний – трикутник, у якого один кут тупий.

Властивості кутів трикутника

Теорема. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника становить .

рис. 13

ЗАДАЧА 6. На рис. 11 , і . Доведіть, що

.

рис. 11

На рис. 13 Означення. Зовнішнім кутом трикутника називається кут між стороною три-

кутника та продовженням іншої сторони, що має з першою спільну вершину.

Зауважимо, що при одній вершині трикутника можна взяти два зовнішніх ку-

ти. Отже, трикутник містить шість зовнішніх кутів – при кожній вершині по два.

На рис. 13 – один із зовнішніх кутів, що взятий при вершині .

Теорема. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох інших внутрішніх ку-

тів, не суміжних з ним.

На рис. 13 .

Нерівність трикутника

Теорема. (нерівність трикутника) Кожна сторона трикутника менша від су-

ми двох інших сторін.

Теорема. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, і навпа-

ки, проти більшого кута лежить більша сторона.

Наслідок. У трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки,

проти рівних кутів лежать рівні сторони.

ЗАДАЧА 7. Чому дорівнює сума всіх зовнішніх кутів трикутника, узятих по

одному при кожній вершині?

Розв’язання. Нехай маємо трикутник ; , і – зовнішні

кути, взяті при вершинах , та відповідно (див. рис. 14).

рис. 14

і – суміжні, то за їх властивістю , звідси

. Аналогічно доводимо, що і

.

Тоді для даного трикутника сума всіх зовнішніх кутів, узятих по одному при

кожній вершині, становитиме:

( ) ( ) ( ) ( ).

Оскільки , і внутрішні кути трикутника, то за їх

властивістю їх сума становить , тобто . Звідси ( )

. Отже, сума всіх зовнішніх кутів трикутника, узятих по одному при кожній

вершині, становить . Відповідь: . Зауваження. Результат, що отриманий в даній задачі, може бути

використаний при розв’язанні інших задач.

Бісектриса, медіана і висота трикутника

Означення зображають на малюнку

Бісектриса Бісектриса – це промінь, який

виходить з вершини кута, прохо-

дить між його сторонами і ділить

кут навпіл.

Усі бісектриси трикутника пере-

тинаються в одній точці, яка

називається інцентром.

Медіана Медіана – це відрізок, що сполу-

чає дану вершину трикутника із

серединою протилежної сторони

трикутника.

Усі медіани трикутника перети-

наються в одній точці, яка нази-

вається барицентром, центрої-

дом або центром мас.

Висота Висота – це перпендикуляр, про-

ведений з даної вершини трикут-

ника до прямої, що містить про-

тилежну сторону трикутника.

Усі висоти трикутника перетина-

ються в одній точці, яка назива-

ється ортоцентром.

ЗАДАЧА 8. У трикутнику , . Знайти кут між

висотою і бісектрисою, проведеними з вершини більшого кута.

Розв’язання. Знайдемо спочатку кути трикутника .

За умовою . Нехай – коефіцієнт пропорційності, тоді

, а . З умови задачі відомо, що . Запишемо дану рівність у вигляді

. Оскільки , то отримаємо пропорцію

. За властивістю

пропорції:

.

За властивістю суми кутів трикутника . Отримаємо рів-

няння:

Отже, , , . Тоді – найбільший кут трикутника і нам потрібно знайти кут між ви-

сотою і бісектрисою, що проведені з вершини .

Нехай – висота, а – бісектриса трикутника (див. рис. 15).

рис. 15

– бісектриса , то за її означенням

.

– зовнішній кут трикутника , то за його властивістю

. – висота трикутника , то за її означенням , тобто

. З за властивістю суми кутів трикутника

. Звідси ( ) ( )

. Відповідь: .

Рівнобедрений трикутник

Означення. Трикутник, в якого дві сторони рівні, називають рівнобедреним.

Рівні сторони рівнобедреного трикутника називають бічними сторонами, а

третю сторону – основою.

Вершиною рівнобедреного трикутника називають спільну точку його бічних

сторін.

На рис. 16 – рівнобедрений, сторона - ос-

нова, а та – бічні сторони.

рис. 16

Теорема (властивість кутів рівнобедреного трикут-

ника).

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Теорема (властивість медіани рівнобедреного трику-

тника). У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до

основи, є бісектрисою і висотою.

ЗАДАЧА 9. Один з кутів між бісектрисою кута при основі і бісектрисою кута

при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює . Знайти кути трикутника.

Розв’язання. Нехай маємо рівнобедрений трикутник з основою (див.

рис. 17), – бісектриса кута при основі, – бісектриса кута при вершині, і

перетинаються в точці , . Знайдемо кути трикутника.

рис. 17

і – суміжні, то за їх властивістю , звідси

. – бісектриса, що проведена до основи рівнобедреного трикутника, то за її

властивістю є висотою, тобто . З за властивістю суми кутів трикутника

. Звідси ( ) ( )

. – бісектриса , тоді . Трикутник рівнобедрений з основою , тоді за властивістю його кутів

(як кути при основі). З за властивістю суми кутів трикут-

ника , звідси ( ) ( ) .

Відповідь: ; ; . Ознаки рівнобедреного трикутника

Теорема. Якщо у трикутнику два кути рівні,то він рівнобедрений.

Теорема. Трикутник рівнобедрений, якщо:

одна з його висот є медіаною;

одна з його медіан є бісектрисою;

одна з його висот є бісектрисою.

Теорема. Трикутник рівнобедрений, якщо:

дві його висоти рівні;

дві його медіани рівні;

дві його бісектриси рівні.

ЗАДАЧА 10. Точки M і N лежать на стороні AC трикутника ABC,

му і . Доведіть, що трикутник рівнобедрений.

Розв’язання. Нехай маємо трикутник (див. рис. 18), точки M і N лежать на

стороні AC трикутника ABC, причому ABM = C і CBN = A.

рис. 18

– зовнішній кут трикутника , тоді за його властивістю

. Аналогічно – зовнішній кут трикутника , звідси

.

Отримаємо, що . , тоді за ознакою трикутник – рівнобедрений.

Доведено.

ЗАДАЧА 11. У трикутнику , , . Знай-

діть бісектрису трикутника, проведену з вершини .

Розв’язання. Нехай маємо трикутник , у якого кут дорівнює , кут

дорівнює , , а – бісектриса .

Для розв’язання даної задачі потрібно зробити добудову. Позначимо точку ,

так, що , і проведемо відрізок (див.рис. 19).

рис. 19

Тоді см.

З за властивістю суми кутів трикутника , звід-

си ( ) ( ) . , звідси – рівнобедрений з основою , тоді за властивістю

його кутів

( )

( )

. Звідси

. , тоді за ознаками рівнобедреного трикутника – рів-

нобедрений з основою , звідси його бічні сторони рівні: см.

– бісектриса , тоді за її означенням

. Звідси .

З за властивістю суми кутів трикутника , звідси ( ) ( ) .

, тоді за ознаками рівнобедреного трикутника –

рівнобедрений з основою , звідси його бічні сторони рівні: см.

Відповідь: см.

Домашнє завдання

1. Два кути мають спільну вершину, а їхня сума становить . Чи можна

стверджувати, що ці кути є суміжними?

Відповідь: ні, стверджувати так можна не завжди.

2. Обчисліть кут між бісектрисами вертикальних кутів.

Відповідь: . 3. Знайдіть суміжні кути, якщо один із них на більший від потроєної

піврізниці цих кутів.

Відповідь: і . 4. Два кути відносяться як , а суміжні з ними – як . Знайдіть дані

кути.

Відповідь: і .

5. За даними рис. 1 обчисліть градусну міру кута .

Відповідь: . 6. На рис. 2 , , . Знайдіть градусну міру

кута .

Відповідь: . 7. На рис. 3 , і . Доведіть, що

.

рис.1 рис.2 рис.3

8. У трикутнику АВС: 10:5:,5:3: CBBA . Знайти кут між висотою

і бісектрисою, проведеними з вершини більшого кута.

Відповідь: . 9. Доведіть, що кут між висотою і бісектрисою, проведеними з однієї

вершини трикутника, дорівнює піврізниці двох інших його кутів.

10. У рівнобедреному трикутнику ( ) бісектриса кута пере-

тинає сторону у точці . Знайдіть кути трикутника , якщо .

Відповідь: ; ; . 11. На сторонах і трикутника взято відповідно точки і ,

причому і . Знайдіть , якщо і .

Відповідь:

12. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині , , –

бісектриса кута , – бісектриса кута . Знайти периметр трикутника

, якщо , .

Відповідь: .

Вказівка: потрібно розглянути такі рівнобедрені трикутники: ,

, , .

13. В трикутнику ABC AB = BC. З точки E на стороні AB опущено перпен-

дикуляр ED на сторону BC. Виявилось, що AE = ED. Знайдіть DAC, якщо кут B

дорівнює .

Відповідь:

14. * Бісектриса внутрішього кута при вершині та бісектриса зовнішнього

кута при вершині трикутника перетинаються в точці . Знайдіть ,

якщо .

Відповідь:

Вказівка: бісектриси двох зовнішніх і третього внутрішнього кутів

трикутника перетинаються в одній точці.