1

第七章 非线性系统理论第七章 非线性系统理论第七章 非线性系统理论第七章 非线性系统理论

7.1 非线性系统问题概述

7.2 常见非线性因素对系统影响

7.3 描 述 函 数

7.4 描述函数分析法

End

本章作业

2

7.1 7.1 非线性系统问题概述非线性系统问题概述7.1 7.1 非线性系统问题概述非线性系统问题概述

何谓非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件，即称为非线性系统。

系统的稳定性除与结构参数有关外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。

非线性系统的主要特征：

7.2 7.3 7.4

3

7.2 7.2 常见非线性因素对系统的影响常见非线性因素对系统的影响7.2 7.2 常见非线性因素对系统的影响常见非线性因素对系统的影响

摩擦特性

不灵敏区（死区特性）

饱和特性

间隙特性

继电特性

7.1 7.3 7.4

动画演示

4

7.3 7.3 描述函数描述函数 7.3 7.3 描述函数描述函数

• 输入输出特性奇对称，即 y(x)=-y(-x), A0=0 。• 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。• 结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。

)sin(sincos)()( 11111 tYtBtAtyty

A

Aj

A

B

B

Aarctg

A

BA

A

YAN 11

1

121

21

11)(

)sincos()(,sin)(0

0

n

nn tnBtnAAtytAtx

N(A) G(jω)

描述函数的定义

典型环节描述函数 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性

应用限制条件

7.1 7.47.2

2

01 )(cos)(1

ttdtyA

2

01 )(sin)(1

ttdtyB

5

死区特性描述函数)sin()( tAKxKy

0,0 10 AA

2/

11

sin)sin(4

ttdtAKB

2/ 2/2

1 1

)sinsin(4

ttdKttdKA

2/ 2/

1 1

]sin)2cos1(2

[4

ttdKtdt

KA

])cos()2sin2

1(

2[

4 2/2/

11

tKtt

KA

)](cos2

)2sin2

1

2[(

2111

A

KA

])(1arcsin2

[2 2

AAA

KA

1sinAA

arcsin1

21 )(1cos

A

])(1arcsin2

[2

)( 2

AAA

KAN

6

饱和特性描述函数

2,

0,sin

1

1

tKa

ttKAy

0,0 10 AA

1

10

2/21 )sinsin(

4

ttdKattdKAB

])(1[arcsin2 2

A

a

A

a

A

aKA

])(1[arcsin2

)( 2

A

a

A

a

A

aKAN

7

间隙特性描述函数

tbtAK

tbAK

tbtAK

y

1

1

),sin(

2/),(

2/0),sin(

11

1

)cos)sin(cos)(

cos)sin((2

2/

2/

01

ttdbtAKttdbAK

ttdbtAKA

)1(4

A

bKb

1

1

)sin)sin(sin)(

sin)sin((2

2/

2/

01

ttdbtAKttdbAK

ttdbtAKB

])1()2

1(2)2

1arcsin(2

[A

b

A

b

A

b

A

bKA

)1(4

])1()2

1(2)2

1arcsin(2

[)( A

b

A

Kbj

A

b

A

b

A

b

A

bKAN

00 A

8

继电特性描述函数

t

tM

t

y

2

21

1

,0

,

0,0

)sin(sin2

cos2

12

1

2

1

M

ttdMA

)sin(

sin

2

1

Amh

Ah

)1(2

mA

Mh

)coscos(2

sin2

12

1

2

1

M

ttdMB

])(1)(1[2 22

A

hA

M

hAmA

Mhj

A

h

A

mh

A

MAN ),1(

2])(1)(1[

2)(

222

9

典型结构

7.4 7.4 描述函数分析法描述函数分析法7.4 7.4 描述函数分析法描述函数分析法

N(A) G(jω)

稳定性分析

•闭环特征方程为： 1+N(A)G(jω)=0

N(A)G(jω)=-1 ，等幅振荡。

G(jω) 包围 -1/N(A), 系统不稳定，否则稳定。

-1/N(A) 被称为负倒描述函数 。

7.1 7.37.2

动画演示

10

自振分析

若当振幅 A增大时， -1/N(A) 曲线由 G(jω) 包围的区域（不稳定区）穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自振点。

若曲线 G(jω) 和曲线 -1/N(A) 相交，则系统存在周期运动；

动画演示

N(A) G(jω)

11

：用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？若存在，求振荡频率和振幅。

例 7.1

0)(

1,0 变化范围为从

ANA

-1/N(A)

G(jω)

jjjjjG

)2(3

10

)2)(1(

10)(

22

,2 122.23

20,

3

10

4 2

AA

因此，系统存在频率为 ，振幅为 2.122 的自振荡。

2

4)(

1,

44)(

A

ANAA

MAN

解：

1

-1 )2)(1(

10

sss-

12

用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自振？若存在，求振荡频率和振幅。

例 7.2

hAA

h

A

MAN ,)(1

4)( 2

解：

13

非线性系统结构图简化

14

本 章 作 业本 章 作 业本 章 作 业本 章 作 业

P286

• 7-1

• 7-3