Семинар 4

Сэдэв: Тодорхой интеграл, түүнийг бодох аргууд

• y=f(x) функц [a,b] хэрчим дээр тасралтгүй, f(x)>0 функц байг. Дээрээсээ y=f(x)

функцийн график доороосоо ОХ тэнхлэг баруун ба зүүн талаасаа x=а ба x=b

шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг муруй шугаман трапец гэнэ.

Тодорхой интегралын чанарууд

1.

2.

3.

4. "xÎ[a,b] f(x)³0 байвал

5. "xÎ[a,b] f(x)³j(x) байвал

6.

7.

8. Дурын a,b,c тоонуудын хувьд a<c<b

Интегралыг бодох: [a,b] хэрчим дээр тасралтгүй f(x) функцийн эх функц F(x) бол

Жишээ нь:

Хэсэгчлэх арга: ∫a

b

udv=uv|ab−∫

a

b

vdu

Орлуулах арга: ∫a

b

f ( x )dx=∫α

β

f (ϕ ( t ))ϕ' ( t )dt

I=∫b

a

f ( x )dx= limλ−0

∑i=1

n

f (ξ i ) Δxi

∫a

a

f ( x )dx=0

∫a

b

dx=b−a

∫a

b

[ αf ( x )+βϕ ( x ) ]dx=α∫a

b

f ( x )dx+ β∫a

b

ϕ ( x )dx

∫a

b

f ( x )dx≥0

∫a

b

f ( x )dx≥∫a

b

ϕ ( x )dx

|∫a

b

f ( x )dx|=∫a

b

|f ( x )|dx , a<b

∫a

b

f ( x )dx=−∫b

a

f ( x )dx

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f ( x )dx

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )

Өргөтгөсөн интеграл бодох арга:

∫a

∞

f ( x )dx=limb →∞

∫a

b

f ( x )dx= limb→∞

F( x )|ab= lim

b→∞( F (b )−F( a)) (3)

∫−∞

b

f (x )dx= limA→∞

∫−∞

b

f (x )dx= limA→−∞

F ( x )|Ab =

¿ limA→−∞

( F (b )−F ( A ))=F (b )− limA→−∞

F ( A ) (4 )

3 ,4 интегралууд нь төгсгөлөг байхад нийлнэ.

Бие даан бодох бодлогууд:

1.∫−1

0

xe−2 x dx

2. 2.∫0

π2

xcos xdx

3.∫1

eln xx2 dx

4.∫1

3

x log3x dx

5.∫0

π2

x cos2 xdx

6. ∫0

E−1

ln ( x+1 )dx

7.∫0

π4

xdxcos2 x

8.∫0

π

x2sin xdx

9.∫0

π2

x2 cosxdx

12.∫0

π

e−x sinxdx

13.∫1

e

ln xdx

14.∫1

e2

ln 2 xdx

15.∫−1

0x+1ex dx

16.∫0

1x2x dx

17.∫0

π4

arctgxdx

18.∫0

π2

x sin xcos xdx

19.∫π6

π2

x cosdxsin3 x

limb→∞

( F (b )) limA→−∞

F( A )

20.∫1

eln xx2 dx

21.∫0

1

xarctgxdx

22.∫3

π

xcos3 xdx

23.∫0

π

x sin 3 xdx