หนวยการเรียนรูที่ 5

ความเทากันทุกประการความเทากันทุกประการ

มาตรฐานการเรียนรู

มาตรฐาน ค 3.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

1 . ระบุดานและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการได ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ ใชสมบัติของความเทากันทุกประการของรูป

สามเหลี่ยมในการใหเหตุผลและแกปญหาได

2.

3.

4.

5.

สาระการเรียนรู

ความเทากันทุกประการ (3 คาบ) ความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยม สองรูปท่ีเทากันทุกประการ (8 คาบ) การนําไปใช (3 คาบ)

5.1 5.2

5.3

พรอมหรอืยงั ? ถาพรอมแลว ก็เริม่เรยีนแลวนะครับ

137

138 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

MATH

55..11 ความเทากันทกุประการความเทากันทกุประการ

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ

บอกสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตได 1. 2. 3.

ตรวจสอบวารูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการได บอกความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรงและความเทากัน ทุกประการของมุมได

4. 5.

บอกสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมได ระบุดานคูที่ยาวเทากันและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยม สองรูปที่เทากันทุกประการได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน การคิดคํานวณ 1.

2. 3. 4. 5. 6.

การแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ การเช่ือมโยง ความคิดริเริ่มสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน มีความรับผิดชอบ 1.

2. 3. 4. 5. 6.

มีความสนใจใฝรู มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเช่ือมั่นในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ ตระหนักในคุณค า และมี เ จตค ติที่ ดี ต อ วิช าคณิตศาสตร

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 139

ความเทากันทุกประการ

ชวยผมทํากิจกรรมหนอย

ใหนักเรียนใชกระดาษลอกลายลอกรูปตอไปนี้ แลวเคล่ือนท่ีไปซอนทับเพื่อหาวารูปใดท่ีทับ

กันไดสนิท

15

10 9

5

14

7 3

20

12

11

2

13

4

16

1

17

6 8

18

19

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

140 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

จากกิจกรรมขางตน สามารถสรุปเปนนิยามดังนี้

บทนิยาม รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเม่ือ เคล่ือนท่ีรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่ง ไดสนิท

พิจารณารูปตอไปนี้

A B

เม่ือเคล่ือนท่ีรูปเรขาคณิต A ไปทับกับรูปเรขาคณิต B ไดสนิท จะไดวารูปเรขาคณิต A และ

รูปเรขาคณิต B เทากันทุกประการ จะใชสัญลักษณ ≅ แสดงความเทากันทุกประการ ดังนั้น รูป A เทากันทุกประการกับรูป B จะเขียนวา

รูป A ≅ รูป B อานวา รูป A เทากันทุกประการกับรูป B หรือ รูป A และรูป B เทากันทุกประการ

ความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง

เม่ือกําหนด และ ท่ี AB = CD ดังรูป AB CD A B C D

ถาใชกระดาษลอกลาย ลอก แลวนําไปทับ ใหจดุ A ทับจุด C AB CDเนื่องจาก AB = CD จะไดจุด B ทับจุด D ดังนั้น และ ทับกันสนิท AB CDนั่นคือ ถา AB = CD แลว AB CD≅ในทางกลับกนั ถากําหนด ดังรูป AB CD≅

A B C D

จากบทนยิามของความเทากันทุกประการจะสามารถเคล่ือนท่ี ทับ ไดสนิท AB CDจะได และ ยาวเทากนั AB CDนั่นคือ ถา แลว AB = CD AB CD≅

สรุป ถา AB แลว AB = CD ≅ CDถา AB = CD แลว AB CD≅

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 141

โดยท่ัวไปความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง เปนไปตามสมบัติดังนี้

สวนของเสนตรงสองเสนเทากันทุกประการ ก็ตอเม่ือ สวนของเสนตรงท้ังสองเสนนั้นยาวเทากนั

ความเทากันทุกประการของมุม

กําหนด และ ท่ี ดังรูป ˆAOB ˆCED ˆ ˆm(AOB) = m(CED)

A C O B E D

ถาใชกระดาษลอกลายลอก แลวนําไปทับ ใหจดุ O ทับจดุ E ˆAOB ˆCEDOA ทับ เนื่องจาก จะได ทับ ED EC ˆ ˆm(AOB) = m(CED) OBดังนั้น และ ทับกันสนิท ˆAOB ˆCEDนั่นคือ ถา แลว ˆ ˆm(AOB) = m(CED) ˆ ˆAOB CED≅ในทางกลับกนั ถา ดังรูป ˆ ˆAOB CED≅

A C O B E D

จากบทนยิามของความเทากันทุกประการจะสามารถเคล่ือนท่ี ทับ ไดสนิท ˆAOB ˆCEDจะได ˆ ˆm(AOB) = m(CED)นั้นคือ ถา แลว ˆ ˆAOB CED≅ ˆ ˆm(AOB) = m(CED)

สรุป ถา แลว และ ˆ ˆAOB CED≅ ˆ ˆm(AOB) = m(CED)

ถา แลว ˆ ˆm(AOB) = m(CED) ˆ ˆAOB CED≅

โดยท่ัวไปความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง เปนไปตามสมบัติดังนี้

มุมสองมุมเทากันทุกประการ ก็ตอเม่ือ มุมท้ังสองมุมนั้นมีขนาดเทากนั

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

142 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตท่ีกลาวมานั้น เปนไปตามสมบัติของความเทากัน ทุกประการดังนี้

รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเม่ือ รูปเรขาคณิตท้ังสองรูปนั้นมีรูปรางเหมือนกันและมีขนาดเทากัน

นอกจากนี้ยังมีสมบัติอ่ืน ๆ ของความเทากันทุกประการ ซ่ึงสามารถสรุปเปนสมบัติความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต A, B และ C ใด ๆ ดังนี้

1. สมบัติสะทอน : รูป A รูป A ≅ 2. สมบัติสมมาตร : ถารูป A รูป B แลวรูป B รูป A ≅ ≅ 3. สมบัติถายทอด : ถารูป A รูป B และรูป B รูป C แลวรูป A รูป C ≅ ≅ ≅

ตัวอยางท่ี 1 วงกลมสองวงมีรัศมียาวเทากัน จะเทากันทุกประการหรือไมจงอธิบาย วิธีทํา กําหนดวงกลมสองวงท่ีมีจุด ………… และจุด ………… เปนจุดศูนยกลางและมี

รัศมียาวเทากันเปน ………… หนวย ดังรูป

เนื่องจากวงกลม ………… และวงกลม ………… มีรูปรางเหมือนกันและมีรัศมียาวเทากันเปน ………… หนวย ดังนั้นวงกลม ……… และวงกลม ……… จึงมีรูปรางเหมือนกันและมีขนาดเทากัน นั่นคือ ………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 143

ตัวอยางท่ี 2 รูปสามเหล่ียมหนาจั่วสองรูปมีความยาวรอบรูปเทากัน จะเทากันทุกประการหรือไม จงอธิบาย

วิธีทํา กําหนด …………… และ …………… เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว ใหแตละคูมีความยาวของดานตามท่ีกําหนดไวดังรูป

จะเห็นวารูปสามเหล่ียมหนาจั่วท้ังสองรูป มีความยาวรอบรูป ……… หนวย เทากัน แตมีรูปรางตางกัน ดังนั้น……………………………………………………………………………… นั่นคือ………………………………………………………………………………

1. จงใชกระดาษลอกลายลอกรูปแลวนําไปซอนกันเพื่อหาวารูปใดบางเทากันทุกประการ และใชสัญลักษณ ≅ ในการเขียนคําตอบ

กิจกรรมท่ี 5.1 : ทักษะการส่ือสาร ส่ือความหมาย และนําเสนอ

M

E B

F

K

I

L

J G

N

H

D B

O

A

………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

144 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

2. ใหนักเรียนพิจารณาความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง โดยทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1) สรางสวนของเสนตรงสองเสนใหยาวเทากัน

2) ใชกระดาษลอกลายลอกสวนของเสนตรงเสนหนึ่งแลวนําไปซอนกับสวนของเสนตรงอีกเสนหนึ่งโดยใหจุดปลายจุดหนึ่งทับกัน ทับกันสนิทหรือไม ตอบ…………………………………………………………………………………………

3) ใหนักเรียนทดลองทําเชนเดียวกับขอ 1 และ ขอ 2 กับสวนของเสนตรงอีกสองคูผลท่ีไดเปนอยางไร

ตอบ…………………………………………………………………………………………

4) นักเรียนคิดวา ถามีสวนของเสนตรงสองเสนยาวเทากัน สวนของเสนตรงท้ังสองเสนนี้จะยาวเทากันทุกประการหรือไม ตอบ…………………………………………………………………………………………

5) นักเรียนคิดวา ถามีสวนของเสนตรงท้ังสองเสนท่ีเทากันทุกประการ สวนของเสนตรงท้ังสองจะยาวเทากัน หรือไม ตอบ…………………………………………………………………………………………

2. ใหนักเรียนพิจารณาความเทากันทุกประการของมุม โดยทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ กําหนด BAC มีขนาด 60 องศา และ EDF มีขนาด 60 องศาดังรูป

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 145

ใชกระดาษลอกลายลอก BAC แลวนําไปซอนทับกับ EDF ใหจุด A ทับจุด D และ AC ทับ DF สังเกตวา AB ทับ DE ไดสนิทหรือไม

1)

ตอบ…………………………………………………………………………………………

2) จะสรุปวา BAC ทับ EDF สนิทไดหรือไมเพราะเหตุใด ตอบ…………………………………………………………………………………………

3) นักเรียนคิดวา ถามุมสองมุมมีขนาดเทากัน มุมท้ังสองนี้ จะเทากันทุกประการหรือไม ตอบ…………………………………………………………………………………………

4) นักเรียนคิดวา ถามุมสองมุมเทากันทุกประการ มุมท้ังสองนี้จะมีขนาดเทากันหรือไม ตอบ…………………………………………………………………………………………

ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหล่ียมดานเทา รูปสามเหล่ียมหนาจัว่ รูปสามเหล่ียมดานไมเทา

ชนิดของรูปสามเหล่ียมแบงตามลักษณะของดาน

3.

รูปสามเหล่ียมมุมฉาก รูปสามเหล่ียมมุมแหลม รูปสามเหล่ียมมุมปาน

ชนิดของรูปสามเหล่ียมแบงตามลักษณะของมุม

รูปสามเหล่ียม คือ รูปเหล่ียมท่ีมีดาน ………… ดาน

1. 2.

ทบทวนความรูพื้นฐานของรูปสามเหล่ียม

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

146 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

พิจารณารูปสามเหล่ียม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF ซ่ึงเทากันทุกประการ ดังรูปตอไปนี้ A D

B C F E

เม่ือตรวจสอบความยาวของดานคูท่ีสมนัยกัน จะไดวา ตอบ………………………………………………………………………………………… เม่ือตรวจสอบของมุมท่ีคูท่ีสมนัยกัน จะไดวา ตอบ…………………………………………………………………………………………

สรุปเกี่ยวกับรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีสมนัยกันดังนี้

ถารูปสามเหล่ียมสองรูปเทากันทุกประการ แลวดานคูท่ีสมนัยกันและมุมคูท่ีสมนัยกันของรูปสามเหล่ียมท้ังสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ

พิจารณารูปสามเหล่ียม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF มีดานคูท่ีสมนัยกันยาวเทากันคือ AB = DE, BC = EF และ CA = FD

และมุมคูท่ีสมนัยกันมีขนาดเทากันคือ ดังรูป ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆA = D, B = E, C = F A

B C

เม่ือตรวจสอบโดยการเคล่ือนท่ี ใหทับกับ จะไดวารูปสามเหล่ียมท้ังสองรูปทับกันไดสนิท นั่นคือ ………………………………………

ABC DEF

สรุปเกี่ยวกับรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีสมนัยกันดังนี้

ถารูปสามเหล่ียมสองรูปมีดานคูท่ีสมนัยกันและมุมคูท่ีสมนัยกัน มีขนาดเทากันเปนคู ๆ แลวรูปสามเหล่ียมสองรูปเทากันทุกประการ

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 147

สรุป สมบัติความเทากันทุกประการของรูปสามเหล่ียม ดังนี้

รูปสามเหล่ียมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเม่ือดานคูท่ีสมนัยกันและมุมคูท่ีสมนัยกันของรูปสามเหล่ียมสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ

ตัวอยางท่ี 3 รูปสามเหล่ียม ABC เทากันทุกประการกบัรูปสามเหล่ียม DEF ดังรูป A D

B C F E

จากรูปมุมคูท่ีสมนัยกันและดานคูท่ีสมนัยกันมีขนาดเทากันดังนี้ ˆ ˆA = D AB = DF

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………… เขียนแสดงความเทากันทุกประการของรูปสามเหล่ียมไดดังน้ี

ABC DEF≅

กิจกรรมท่ี 5.2 : ทักษะการใหเหตุผล ส่ือสาร ส่ือความหมาย และการเชื่อมโยง

1. รูปสามเหล่ียมสองรูปในแตละขอตอไปนี้เทากันทุกประการ จงเขียนดานคูท่ีสมนัยกันและมุมคูท่ีสมนัยกัน 1)

…………………………………… …………………………………… ……………………………………

Z

YXB

C

A

2) …………………………………… …………………………………… ……………………………………

Q

P R

Sครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

148 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

3) …………………………………… …………………………………… ……………………………………

4)

…………………………………… …………………………………… ……………………………………

2. ในแตละขอตอไปนี้เขียนแสดงรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีเทากันทุกประการ โดยเขียนตัวอักษรเรียงตามลําดับของมุมคูท่ีสมนัยกันและดานคูท่ีสมนัยกัน จงเขียนดานคูท่ียาวเทากันและมุมคูท่ีมีขนาดเทากัน พรอมท้ังวาดรูปดวย 1) ABC EDF≅…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 2) TOP GUN≅…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 3) BIG BOY≅…………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 4) CAT RAT≅…………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

N

P

M O

X

AO B

Y

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 149

55..22 ความสัมพันธของรูปสามเหลีย่มความสัมพันธของรูปสามเหลีย่ม

สองรูปที่สองรูปที่เทากันทุกประการเทากันทุกประการ

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ

บอกความสัมพันธของรูปสามเหล่ียมสองรูปที่เทากันทุกประการได 1.1 บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ความสัมพันธกันแบบ ดาน-มุม-ดาน

เทากันทุกประการ 1.2 บอกรูปสามเหล่ียมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม-ดาน-มุม

เทากันทุกประการ 1.3 บอกรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน-ดาน-ดาน

เทากันทุกประการ ใหเหตุผลแสดงความสัมพันธของรูปสามเหล่ียมสองรูปที่เทากันทุกประการได

1.

2.

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน การคิดคํานวณ การแกปญหา

1. 2. 3. 4. 5. 6.

การใหเหตุผล การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ การเช่ือมโยง

ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน มีความรับผิดชอบ 1.

2. 3. 4. 5. 6.

มีความสนใจใฝรู มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเช่ือมั่นในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ

ตระหนักในคุณคา และมี เจตคติ ท่ีดีตอวิชาคณิตศาสตร

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

150 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

รูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน

ถา รูปสามเหล่ียมสองรูปมีความสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (ด.ม.ด.) กลาวคือ มีดานยาวเทากันสองคู และมุมในระหวางดานคูท่ีมียาวเทากันมีขนาดเทากัน แลวรูปสามเหลียมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้

E

C

B

จากรูป AB = DE (ดานคูท่ียาวเทากันคูท่ี 1) ˆABC = (ˆDEF มุมในระหวางดานคูท่ีมียาวเทากันมีขนาดเทากัน)

BC = EF (ดานคูท่ียาวเทากันคูท่ี 2)

ดังนั้น Δ ABC ≅ DEF เพราะมีความสัมพันธกันแบบดาน – มุม – ดาน Δ

ตัวอยางท่ี 1 กําหนดให AD = CB และ DAC = BCA จงหาวารูปสามเหล่ียม ADC และรูปสามเหล่ียม CBA เทากันทุกประการแบบดาน – มุม – ดานหรือไม

วิธีทํา จากรูป AD = CB (ดาน) = (ˆDAC ˆBCA มุม) AC = AC (ดาน)

ดังนั้น ADC ≅ CBA Δ Δ

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 151

ตัวอยางท่ี 2 ถารูปตอไปนี้มี AB = DE, AC = DF และ = แลว Δ ABC ≅ Δ DEF

หรือไม เพราะเหตุใด

ˆABC ˆDEF

A

ไมเทากัน เพราะมุมท่ีมีขนาดเทากันไมใชมุมในระหวางดานท่ียาวเทากัน

ตัวอยางท่ี 3 กําหนดให ABCD เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส และ R เปนจุดกึ่งกลางของ AB แลวรูปสามเหล่ียม ADR และรูปสามเหล่ียม BCR เทากันทุกประการหรือไม เพราะเหตุใด

กําหนดให ABCD เปนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส และ R เปนจุดกึ่งกลางของ AB

ตองการพิสูจนวา ΔADR ≅ ΔBCR พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. AD = BC 2. DAR = CBR = 90๐ 3. AR = BR

4. ΔADR ≅ ΔBCR

1. ดานของส่ีเหล่ียมจัตุรัสยอมยาวเทากัน (ดาน) 2. มุมของส่ีเหล่ียมจัตุรัสยอมมีขนาดเทากัน (มุม) 3. กําหนดให R เปนจุดกึ่งกลางของ AB (ดาน) 4. จากขอ 1, 2 และ 3 (ด.ม.ด.)

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

152 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

ตัวอยางท่ี 4 กําหนดให AD = CB และ DAC = BCA จงแสดงวารูปสามเหล่ียม ADC และ รูปสามเหล่ียม CBA เทากันทุกประการ

กําหนดให …………………………………………………

B

ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. AD = BC 2. …………………… 3. ……………………

4. ΔADC ≅ ΔCBA

1. กําหนดให 2. …………………………………………. 3. …………………………………………. 4. จากขอ 1, 2 และ 3 (ด.ม.ด.)

กิจกรรมท่ี 5.3 : ทักษะการใหเหตุผล การส่ือสาร ส่ือความหมาย และเชื่อมโยง 1.

กําหนดให AB = DB และ ABC = DBC จงพิสูจนวา AC = DC

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. AB = DB 2. …………………… 3. BC = BC 4. …………………… 5. ……………………

1. กําหนดให (ดาน) 2. …………………………………………. 3. ดานรวม (ดาน) 4. ………………………………………….

5. จากขอ 4 ΔABC ≅ ΔDBC

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 153

2. กําหนดให ABC = ABD และ BC = BD

จงพิสูจนวา ΔABC ≅ ΔABD

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

1. กําหนดให (ดาน)

A

2. กําหนดให (มุม) 3. ……………………………………………… 4. ………………………………………………

3. กําหนดให BC = AD และ ˆˆABC = BADจงพิสูจนวา AC = BD

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. BC = AD 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ………………………

1. กําหนดให (ดาน) 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ……………………………………………… 5. ………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

154 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

4. กําหนดใหส่ีเหล่ียมจัตุรัส KLMN มี เปน NL

เสนทแยงมุมจงพิสูจนวา ΔNKL ≅ ΔLMN กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

1. ……………………………………………… 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ………………………………………………

5. กําหนดใหส่ีเหล่ียม ABCD มี และ BD ACแบงคร่ึงซ่ึงกันและกันท่ีจุด P จงพิสูจนวา AB = CD และ ˆ ˆABP = CDP

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ……………………… 6. ………………………

1. ……………………………………………… 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ……………………………………………… 5. ……………………………………………… 6. ………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 155

รูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม

ถา รูปสามเหล่ียมสองรูปใดมีความสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (ม.ด.ม.) กลาวคือ มีมุมท่ีมีขนาดเทากันสองคู และดานซ่ึงเปนแขนรวมของมุมท้ังสองยาวเทากัน แลวรูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้

D

C

จากรูป = (มุม) ˆABC ˆDEF AB = DE (ดาน)

ˆCAB = (ˆFDE มุม)

ดังนั้น Δ ABC ≅ DEF เพราะมีความสัมพันธกันแบบมุม – ดาน – มุม Δ

ตัวอยางท่ี 5 กําหนดให = , MP = NQ และ = แลวรูปสามเหล่ียม OMP และรูปสามเหล่ียม ONQ เทากันทุกประการแบบ มุม – ดาน – มุม หรือไม

ˆOMP ˆONQ ˆMPO ˆNQO

วิธีทํา จากรูป = (มุม) ˆOMP ˆONQ

……………………………………………… ………………………………………………

ดังนั้น ………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

156 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

1.

C

กําหนดให = และ =

แลว ΔABE ≅ ΔABC หรือไม จงใหเหตผุล

ˆBAE ˆBAC ˆABE ˆABC

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา …………………………………………………

พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ˆBAE = ˆBAC2. …………………… 3. …………………… 4. ……………………

1. กําหนดให (มุม) 2. …………………………………………. 3. …………………………………………. 4. ………………………………………….

O

2. กําหนดให = และ AO = BO ˆDAO ˆCBOจงอธิบายวาเพราะเหตุใด DA = CB

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

1. กําหนดให 2. กําหนดให 3. ……………………………………………… 4. ………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 157

3. กําหนดให = และ AB = AC ˆABE ˆACDจงอธิบายวา เพราะเหตุใดรูปสามเหล่ียม ABE และรูปสามเหล่ียม ACD จึงเทากันทุกประการ

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ˆABE = ˆACD2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

1. กําหนดให (มุม) 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ………………………………………………

4. กําหนดใหรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส ABCD และ

ˆDAF = ˆBAE จงพิสูจนวา AF = AE กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ………………………

1. ……………………………………………… 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ……………………………………………… 5. ………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

158 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

รูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน

ถา รูปสามเหล่ียมสองรูปมีความสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (ด.ด.ด.) กลาวคือ มีดานยาวเทากันสามคู แลวรูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้

C C

D

จากรูป AB = DE (ดาน) BC = EF (ดาน) CA = FD (ดาน)

ดังนั้น Δ ABC ≅ DEF เพราะมีความสัมพันธกันแบบดาน – ดาน – ดาน Δ

ตัวอยางท่ี 6 กําหนดให MP = MN และ PQ = NQ จงหาวารูปสามเหล่ียม PMQ และ รูปสามเหล่ียม NMQ เทากันทุกประการแบบ ดาน-ดาน-ดาน หรือไม

Q

วิธีทํา จากรูป MP = MN (ดาน)

……………………………………………… ………………………………………………

ดังนั้น ………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 159

1. กําหนดให SEA และ TEA มี SE = TE

A

และ SA = TA จงพิสูจนวา SEA ≅ TEA และ = ˆSEA ˆTEAกําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา …………………………………………………

พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. SE = TE 2. …………………… 3. …………………… 4. …………………… 5. ……………………

1. กําหนดให (ดาน) 2. …………………………………………. 3. …………………………………………. 4. …………………………………………. 5. ………………………………………….

2. กําหนดให AC = BD และ BC = AD จงพิสูจนวา = ˆACB ˆDBA

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. AC = BD 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ………………………

1. กําหนดให 2. กําหนดให 3. ……………………………………………… 4. ………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

160 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

3. กําหนดให ABC และ CDA มี AB = CD และ BC = DA จงพิสูจนวา = ˆABC ˆCDAและ = ˆACB ˆCAD

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. AB = CD 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ………………………

1. กําหนดให (ดาน) 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ……………………………………………… 5. ………………………………………………

4. กําหนดให AT = AN, CT = MN และ AC = AM จงพิสูจนวา = ˆCAT ˆMAN

กําหนดให ………………………………………………… ตองการพิสูจนวา ………………………………………………… พิสูจน

ขอความท่ีพิสูจน เหตุผล 1. ……………………… 2. ……………………… 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ………………………

1. ……………………………………………… 2. ……………………………………………… 3. ……………………………………………… 4. ……………………………………………… 5. ………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 161

55..33 การนําไปใชการนําไปใช

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ

บอกสมบัติของรูปสามเหล่ียมหนาจั่วได นําสมบัติความเทากันทุกประการของรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีมีความสัมพันธกันแบบใดแบบหนึ่ ง คือ ดาน – มุม – ดาน , มุม – ดาน – มุม และ ดาน – ดาน – ดาน ไปใชในการอางอิงการพิสูจนและแกปญหาได

1. 2.

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน การคิดคํานวณ การแกปญหา

1. 2. 3. 4. 5. 6.

การใหเหตุผล การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ การเช่ือมโยง ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

มีความรับผิดชอบ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

มีความสนใจใฝรู มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย มีความเช่ือมั่นในตนเอง มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ ตระหนักในคุณคา และมี เจตคติ ท่ีดีตอวิชาคณิตศาสตร

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

162 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

การนําไปใช

รูปสามเหล่ียมหนาจ่ัว มีบทนิยามดังนี ้

บทนิยาม รูปสามเหล่ียมหนาจ่ัว คือ รูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีมีดานสองดานยาวเทากัน

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้

จากรูป ABC เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว มี …………… เรียก วา ……… เรียก BC ˆABC และ วา ………………… ˆACB เรียก วา ………………… ท่ีมี ˆBAC AB และ เปนดานประกอบมุมยอด AC

…………… กิจกรรมท่ี 5.6 : ทักษะการใหเหตุผล การส่ือสาร ส่ือความหมาย และเชื่อมโยง

1. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว มี AB = AC และ เปนเสนแบงคร่ึงมุมยอด BAC ท่ีลากจากจุด A พบฐาน BC ท่ีจุด D ดังรูป

AD

ใหนกัเรียนตอบคําถามตอไปนี้

1) ABC ≅ ACD หรือไม เพราะเหตุใด …………………………………………………………… 2) ˆABD = ˆACD หรือไม เพราะเหตุใด ……………………………………………………………

3) BD = CD หรือไม เพราะเหตุใด ………………………………………………………………………………………………

4) ˆADB = ˆADC หรือไม เพราะเหตุใด ………………………………………………………………………………………………

5) ˆADB + ˆADC = ˆBDC หรือไม ……………………………………………………………………………………………… ผลบวกของขนาดของ ˆADB กับขนาดของ ˆADC เทากับกี่องศา เพราะเหตุใด 6) ………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 163

7) ˆADB มีขนาดกี่องศา เพราะเหตุใด ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

8) AD ตั้งฉากกับ หรือไม เพราะเหตุใด BC………………………………………………………………………………………………

2. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว มี AB = AC, แบงคร่ึง ท่ีจุด D AD BCใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้

1) ABD ≅ ACD หรือไม เพราะเหตุใด ……………………………………………………………

2) ˆBAD = ˆCAD หรือไม เพราะเหตุใด ……………………………………………………………

3) AD ตั้งฉากกับ หรือไม เพราะเหตุใด BC…………………………………………………………… ……………………………………………………………

จากิจกรรมขางตนเปนไปตาม สมบัติของรูปสามเหล่ียมหนาจ่ัว และสามารถนําไปอางอิงไดดังนี้

1) เสนแบงคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว จะแบงรูปสามเหล่ียมหนาจั่วออกเปน รูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีเทากันทุกประการ

2) มุมท่ีฐานของรูปสามเหล่ียมหนาจั่วมีขนาดเทากัน 3) เสนแบงคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว จะแบงคร่ึงฐานของรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว 4) เสนแบงคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว จะต้ังฉากกับฐานของรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว 5) เสนท่ีลากจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนาจั่วมาแบงคร่ึงฐาน จะแบงคร่ึงมุมยอดของ

รูปสามเหล่ียมหนาจั่ว เสนท่ีลากจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมหนาจั่วมาแบงคร่ึงฐาน จะต้ังฉากกับฐานของ รูปสามเหล่ียมหนาจั่ว

ขอผมสรุปหนอยนะครับ

6)

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

164 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

ตัวอยางท่ี 1 จากรูป กําหนดให ตัดกับ ท่ีจุด O ทําให AO = DO และ CO = BO AC DBจงพิสูจนวา 1) ˆABO = ˆDCO2) ˆABC = ˆDCB

กําหนดให ตัดกับ ท่ีจุด O ทําให AO = DO AC DBและ CO = BO

ตองการพิสูจนวา 1) AB = ˆ O ˆDCO2) AB = ˆ C ˆDCB

พิสูจน พิจารณา ABO และ DCO AO = DO ………………………………………… ……………………… (ถ า เ ส น ต ร งสอ ง เ ส น ตั ด กั น แล ว

มุมตรงขามมีขนาดเทากัน) BO = CO ………………………………………… จะได ……………………… (ด.ม.ด.) ดังนั้น = ………………………………………… ˆABO ˆDCO

ˆOBC ˆOCB

ˆABC ˆDCB

………………………………………… เนื่องจาก BO = CO จะได BOC เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว

………………………………………… ดังนั้น = ………………………………………… จะได …………………………… (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ =

ตัวอยางท่ี 2 จงสรางเสนแบงคร่ึงมุมของ และพิสูจนวาผลการสรางเปนจริง ˆABC

B กําหนดให …………………………………...…………………………………... ตองการสราง …………………………………...…………………………………...

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 165

วิธีสราง 1. ใชจุด B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด และ ท่ี BA BCจุด M และจุด N ตามลําดับ

2. ใชจุด M และจุด N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทากัน เขียนสวนโคงใหตัดกัน ภายใน ท่ีจุด O ˆABCลาก จะได เปนเสนแบงคร่ึงมุมของ BO BO ˆABC3.

ตองการพิสูจนวา ………………………… (จากการสรางตองใหเหตุผลวา เปนเสน BOแบงคร่ึงมุมของ ซ่ึงตองพิสูจนใหได ˆABCกอนวา = ) ˆABO ˆCBO

พิสูจน ลาก และ MO NO

พิจารณา BOM และ BON 1. ………………………… (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน) 2. ………………………… (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน) 3. ………………………… ( BO เปนดานรวม) 4. ………………………… (ด.ด.ด.) 5. ………………………… (มุมคูท่ีสมนัยกันของรูปสามเหล่ียมท่ีเทากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ เปนเสนแบงคร่ึงมุมของ BO ˆABC

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

166 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

1. รูปสามเหล่ียมหนาจั่ว มีความยาวรอบรูป 36 เซนติเมตร มีดานหน่ึงยาว 10 เซนติเมตร จงหาความ

ยาวของดานท่ีเหลือ (แนะ ใหวาดรูปประกอบ)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. มุมมุมหนึ่งของรูปสามเหล่ียมหนาจั่วมีขนาด 52 องศา จงหาขนาดของมุมท่ีเหลือ (แนะ ใหวาดรูปประกอบ)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ABC เปนรูปสามเหล่ียมดานเทา จงพิสูจนวา มุมภายในแตละมุมของรูปสามเหล่ียมดานเทามีขนาดเทากัน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กิจกรรมที่ 5.7 : ทักษะการใหเหตุผล การนําเสนอ การเชื่อมโยง และความคิดสรางสรรค

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูท่ี 5 ความเทากันทุกประการ 167

4. จากรูป กําหนดให AC = AD มุมแตละคูตอไปนี้มีขนาดเทากันหรือไม เพราะเหตุใด 1) ˆFCB และ ˆGDE………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………

2) ˆBCA

G

และ ˆEDA……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

5.

D

จากรูป กําหนดให = และ ˆABD ˆCBDˆADB = = 90ˆCDB ๐

จงพิสูจนวา ABC เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่ว

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

168 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.2

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

ชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร ทําอยางไรดี??

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู 1. ปญหานี้ดูงาย ๆ แตตองใชจินตนาการสักเล็กนอย จากรูปท่ีกําหนดให จงใชสวนของ

เสนตรงสองเสนแบงรูปดานลางนี้ออกเปน 3 รูปท่ีเทากันทุกประการ

2. ปญหาน้ีก็เชนกันดูเหมือนจะงาย ๆ แตตองใชจินตนาการสักเล็กนอย จากรูปท่ีกําหนดให จงแบงออกเปน 4 รูปท่ีเทากันทุกประการ โดยการลากเสนตรงเพียง 4 เสนเทานั้น