课题课题 5 5 空间力系与重心空间力系与重心

5.1 5.1 力在空间直角坐标轴上的投力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩影和力对轴之矩

5.1.15.1.1 力在空间直角坐标轴上的投力在空间直角坐标轴上的投影影

5.1.1.15.1.1.1 直接投影法直接投影法

cos

cos

cos

FF

FF

FF

z

y

x

5.1.1.25.1.1.2 二次投影法二次投影法

sinsinsin

cossincossin

cos

FFF

FFFFF

FF

F

xyy

xyx

xy

z

注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影为矢量。

【例 5-1】已知圆柱斜齿轮所受的啮合力Fn=1410N，齿轮压力角 α=20°，螺旋角β=25°，如图所示。试计算齿轮所受的圆周力 Ft、轴向力 Fa、径向力 Fr大小。

【分析】取空间直角坐标系，使x 、 y 、 z 方向分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向，如图（a ）所示。先把啮合力 Fn向 z 轴和 Oxy坐标平面投影，得

Fn在 oxy平面上的分力 Fxy，其大小为：

然后再把 Fxy投影到x 、 y 轴得

sin 1410N sin 20 482Nz r nF F F

NNFF onxy 132520cos1410cos

sin cos cos 1410N cos20 sin 25 560Nx a xy nF F F F

cos cos cos 1410N cos20 cos 25 1201Ny t xy nF F F F

5.1.25.1.2 力对轴之矩力对轴之矩

5.1.2.15.1.2.1 力对轴之矩的概念力对轴之矩的概念

• 力对轴之矩是力使物体绕轴转动效应的度量，它是代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的分力对于此平面与该轴交点之矩。

dFFMFMFM xyxyoxyzz )()()(

5.1.2.25.1.2.2 合力矩定理合力矩定理 • 空间力系的合力矩定理为：空间力系的合

力对某轴之矩，等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和。即：

1 2 n( ) ( ) ( ) ( ) ( )z R z z z z iM M M M M F F F F F

【例 5-2】曲拐轴受力如图（ a ）所示，已知 F=600N。求：（ 1 ）力 F 在x 、 y 、 z 轴上的投影；（ 2 ）力 F 对 x 、y 、 z 轴之矩。

【分析】（ 1 ）计算投影 根据已知条件，应用二次投影法，如图（ b ）所示。

先将力 F 向 Axy平面和 Az轴投影，得到 Fxy和 Fz；再将 Fxy向 x 、 y 轴投影，便得到 Fx和 Fy。于是有

cos 45 cos60 cos 45 600N 0.5 0.707 212N

sin 45 cos60 sin 45 600N 0.5 0.707 212N

sin 60 600N 0.866 520N

x xy

y xy

z

F F F

F F F

F F

（ 2 ）计算力对轴之矩 先将力 F 在作用点处沿 x ， y ， z 方向分

解，得到 3 个分量 Fx ， Fy ， Fz ，如图（ b ）所示，它们的大小分别等于投影 Fx ，Fy ， Fz 的大小。

根据合力矩定理，可求得力 F 对原指定的 x ，y ， z 三轴之矩如下：

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0.2 0 212N 0.2m 42.4N m

( ) ( ) ( ) ( ) 0.2 0 0.05

212N 0.2m 520N 0.05m 68.4N m

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0.05 0 212N 0.05m 10.6N m

x x x x y x z y

y y x y y y z x x

z z x z y z z y

M M M M F

M M M M F F

M M M M F

－

F F F F

F F F F

F F F F

5.25.2 空间力系的简化与平衡空间力系的简化与平衡

5.2.15.2.1 空间力系的简化空间力系的简化

5.2.1.15.2.1.1 主矢的大小和方向余主矢的大小和方向余弦弦

222222 )()()( iziyixRxRxRxR FFFFFFF

R

izR

R

iyR

R

ixR

F

FzF

F

FyF

F

FxF

),cos(

),cos(

),cos(

5.2.1.25.2.1.2 主矩主矩 MOMO 的大小和方向余的大小和方向余弦弦

222 )]([)]([)]([ iziyixO FMFMFMM

O

izO

O

iyO

O

ixO

M

FMzM

M

FMyM

M

FMxM

)(),cos(

)(),cos(

)(),cos(

5.2.25.2.2 空间力系的平衡空间力系的平衡

5.2.2.15.2.2.1 空间力系平衡的充分与必要条空间力系平衡的充分与必要条件件

•空间力系平衡的充分与必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即：

0

0

O

R

M

F

5.2.2.25.2.2.2 空间力系平衡方程空间力系平衡方程• 空间力系平衡方程 将（ 3—7）式和（ 3—9）式代入平衡条件（ 3—11）式得到解析式表示为：

上式表示：力系中各力在任意空间坐标系每一个坐标轴上投影的代数和分别等于零；同时各力对每一个坐标轴之矩的代数和也分别等于零。空间力系共有六个独立的平衡方程，因此可以解出六个未知量。

0)(,0)(,0)(

0,0,0

iziyix

iziyix

FMFMFM

FFF

5.2.35.2.3 空间任意力系平衡问题的平面解空间任意力系平衡问题的平面解法法

【例 5-3】图（ a ）为一电机通过联轴器带动带轮的传动装置。已知驱动力偶矩M=20Nm，带轮直径 D=16cm， a=20cm，轮轴自重不计，带的拉力。试求 A 、 B 二处的轴承反力。

【分析】取轮轴为研究对象，画受力图如图（ b ）所示，分别将此受力图向三个坐标平面投影，分别得到三个平面受力图，如图所示。

（ 1 ）在 xz 平面建立平衡方程：

（ 2 ）在 yz 平面建立平衡方程：

（ 3 ）在 xy 平面建立平衡方程：

T1 T2

T1 T2 T2

T1 T2

( ) 0 02 2

2 20000Nmm22 250N

160mm

2 500N

B i

D DM F F M

MF F F

D

F F

以 代入得：

F

T1 T2

T1 T2

T1 T2

T1 T2

( ) 0 2 ( cos30 ) 0

( cos30 ) 500N 250N cos30358.25N

2 2

0 cos30 0

cos30 358.25N 500N 250N cos30 358.25N

A i Bz

Bz

z Az BZ

Az BZ

M F a F F a

F F aF

a

F F F F F

F F F F

得：

得：

F

T2

T2

T2

T2

( ) 0 2 sin 30 0

sin30 250N sin3062.5N

2 2

0 sin30 0

sin30 ( 62.5N) 250N sin30 62.5N

A i Bx

Bx

x Ax Bx

Ax Bx

M F a F a

F aF

a

F F F F

F F F

得：

得：

F

负号说明 FAx、 FBx的实际指向与图中假设指向相反。

5.3 5.3 平行力系的中心、重心平行力系的中心、重心

5.3.15.3.1 平行力系的中心平行力系的中心

根据合力矩定理有：

所以： ， ，

iiixi yFFMRM )()(

iccx FyyRRM )(

i

iic F

yFy

i

iic F

xFx

i

iic F

zFz

5.3.25.3.2 物体的重心物体的重心

W

zWz

W

yWy

W

xWx

iic

iic

iic

5.3.35.3.3 实际问题中确定重心的几种方法实际问题中确定重心的几种方法

5.3.3.15.3.3.1 对称法对称法 对于具有对称性的均质物体 1 ）若物体具有对称中心，该中心即为重心。 2 ） 若物体具有对称轴，其重心必在对称轴上。 3 ）若物体具有对称平面，其重心必在对称平面上。 4 ）若物体具有两条对称轴，其重心必在两对称轴的交点上。

5 ）若物体具有两个对称平面，其重心必在两对称平面的交线上。

5.3.3.25.3.3.2 组合法（分割法）组合法（分割法）

当均质物体是由几个简单规则形状的物体组合而成的，而且这几个简单形状的物体的重心已知或容易确定，就可将组合物体看成是由几个规则形状的物体构成，直接应用上述公式求出物体的重心或形心。

5.3.3.35.3.3.3 实验法实验法 在实际问题中，有许多物体的形状不规则或是非均质的，用上述方法求重心非常麻烦或无法确定，就只有采用实验的方法来确定其重心。

（ 1 ）悬挂法 对于较轻薄的物体，可采用此法。在物体上的不同两点分别将物体悬挂起来，根据二力平衡条件，则重心必在过此两点的铅垂线的交点上。

（ 2 ）称重法 对于形状复杂，体积庞大的物体，需采用此法。这种方法是根据合力矩定理来进行实验和推导的。

【例 5-4】求图所示工字形截面的形心位置。尺寸如图中所示，单位为 mm。

【分析】将工字形截面看成是由三个矩形截面组合而成，利用组合法可求出整个截面的形心位置。建立直角坐标系 xoy如图所示：

（ 1 ）确定每个矩形在坐标系中的坐标及面积：

（ 2 ）按照前面推出的薄板的形心公式求截面的形心位置坐标：

1 0x mm mmy 451 21 300S mm

2 0x mm 2 25y mm 22 300mmS

3 0x mm mmy 53 23 400S mm

1 1 2 2 3 3

1 2 3

0 300 0 300 0 4000

300 300 400c

x S x S x Sx

S S S

1 1 2 2 3 3

1 2 3

45 300 25 300 5 40023

300 300 400c

y S y S y Sy mm

S S S

【例 5-5】求图所示的平面图形阴影部分的形心位置，其中R=100mm， r=17mm， d=13mm。

【分析】图中的阴影部分是一个比较复杂的图形，为了计算的方便，可将其看成是由两个半圆形图形组合后再从中挖掉一个圆。建立图示的坐标系，利用组合法求出形心。

（ 1 ）分别确定三部分的形心在对应坐标系中的坐标及图形的面积：

（ 2 ）求出截面的形心位置坐标：

01 x mmR

y 4.423

41

22

1 15702

1mmRS

02 x

mmdr

y 7.123

42

22

2 1412

mmdrS

03 x mmy 03 223 7.90 mmrS

mmxc 0

321

332211

SSS

SySySyyc

mm407.901411570

07.121414.421570