מטריצות הגדרות

מטריצה שקולה:סימוןA≈B מטריצהAשקולה ל B אם ניתן לקבל את המטריצה B מתוך A.על ידי מספר סופי של פעולות אלמנטריות

איבר מוביל.האיבר הראשון בכל שורה השונה מאפס

מטריצה מדורגתמטריצה שבה מספר האפסים הנמצאים לפני האיבר המוביל גדל משורה לשורה – עד אשר מגיעים לשורת אפסים )אבל

לא חייבים להגיע לשורה כזאת(.לכל מטריצה יש צורה מדורגת, במילים אחרות, כל מטריצה ניתנת לדירוג על ידי פעולות אלמנטריות.בצורה מדורגת לא ניתן לאפס את האיבר המוביל מבלי לקלקל את הדירוג.דרגתה של מטריצת האפס היא אפס

דרגת המטריצה/דרגת שורה :סימוןR(A), Rank(A).מספר השורות שלא ניתן לאפס כשהמטריצה בצורתה המדורגת

מטריצה קנונית:מטריצה קנונית היא מטריצה

מדורגת..11כל איבר מוביל שווה ל.2בעמודה של כל איבר מוביל, כל שאר האיברים שווים לאפס..3

.לכל מטריצה יש צורה קנונית אחת ויחידה

מטריצה הופכית/ מטריצה רגולרית/ מטריצה לא סינגולרית :סימוןA-1

אם קיימת מטריצה הופכית לA אז A.נקראת מטריצה הפיכה :מטריצות הופכיות מקיימותAA-1 = A-1A = I מטריצהAnXn:הפיכה רק אם

o מטריצהAnXn הפיכה רק אם R(A)=nכלומר רק אם דרגת המטריצה שווה ל n.o|A|≠0.הדטרמיננט שלה שונה מאפס o.מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית

(a bc d )

−1

=(d

ad−bc−b

ad−bc−c

ad−bca

ad−bc)

BA−2הוצאת גורם משותף B=B(A−2 I )

מטריצה אנטי סימטרית מטריצה שבה האלכסון כולו אפסים ומתקייםai,j=-aj,iאו A=-At

(0 −1 −21 0 −32 3 0 )

הדטרמיננטה של מטריצה אנטי סימטרית מסדר אי זוגי היא אפס.

2X2 חישוב דטרמיננט

|a bc d|=ad−bc

+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

nXn חישוב דטרמיננט כללי בוחרים שורה או עמודה..1לכל איבר בשורה או בעמודה שנבחרה מבצעים.2

(−1)i+ jai , j∗M i∗ j⏟מינור

.j ועמודה iמינור – דטרמיננט מסדר אחד קטן יותר המתקבל על ידי מחיקת שורה .2מחברים את כל המתקבל בסעיף .3

:פעולות שורה/עמודה מותרותR i→R i+k R j

Ci→C i+k C j}

o( פעולת החלפת שורה בשורה, או עמודה בעמודהC i↔C j או R i↔R j.מחליפה את סימן הדטרמיננט )

תכונות של דטרמיננטים.דטרמיננט שיש בו שורה או עמודה של אפסים יהיה שווה לאפס

.דטרמיננט שיש בו לפחות שתי שורות ואו עמודות פרופורציונליות יהיה שווה לאפס.מקרה פרטי של שורות/עמודות פרופורציונליות: שורות/עמודות שוות

.דטרמיננט של מטריצה שווה לדטרמיננט של המטריצה המשוחלפת|A|=|A t||k∗Anxn|=k n|A| – k ,קבוע A.מטריצה

|A−1|= 1|A|

=|A|−1

|A∗B|=|A|∗|B|כש Aו B.ריבועיות

|An|=|A|n

כשמטריצותAו B( שוות, הדטרמיננטים שלהן יהיו שווים |B|=|A|←A=Bאבל אם הדטרמיננטים שווים, המטריצות )

(|A≠B←|B|=|A ) בהכרח שוותלא:ניתן להוציא גורם משותף משורה או עמודה אחת בלבד

|2 46 8|= 2|1 2

6 8|⏟R1גורםמשותף

=2∗2|1 23 4|⏟

R2גורםמשותף

=2∗4|1 13 2|⏟

C2גורםמשותף

.כפל דטרמיננט בסקלר: מכפילים שורה או עמודה אחת בלבדRi→kRi או C i→kCi מכפיל את הדטרמיננט פי k.פעמים

כשסכום האיברים בשורות/בעמודות שווה נבצע:

|0 1 1 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 0

| ¿¿

¿ c1→c1+c2+c3+c4+c5|4 1 1 1 14 0 1 1 14 1 0 1 14 1 1 0 14 1 1 1 0

|R5→R5−R1

R4→R4−R1

R3→R3−R1

R2→R2−R1

=|4 1 1 1 10 −1 0 0 00 0 −1 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 −1

|=4∗(−1 )4=4

מטריצה משולשת היא מטריצה שבה כל האיברים מתחת ואו מעל לאלכסון הראשי שווים לאפס, דוגמאות:

(1 0 00 1 00 0 1)(a 0 0

b c 0d e f )(

a b c0 d e0 0 f )

r(A)=r(M)

אין פתרוןסוף

לא

כןפתרוןיחיד

פתרון כללי

קטן ממספר הנעלמים יש אינסוף פתרונות r(A)=r(M)כש

.דטרמיננט של מטריצה משולשת שווה למכפלת האלכסון הראשי.תמיד ניתן להגיע למטריצה משולשת

פתרון מערכת משוואות ליניאריותשיטת קרמר

.אפשר להשתמש בשיטת קרמר רק כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמיםA⏟

מטריצתהמקדמים

X⏟מטריצתהנעלמים

= b⏟ווקטור

האיבריםהחופשיים.אם הדטרמיננט של מטריצת המקדמים שווה לאפס, אז או שיש אין סוף פתרונות או שאין פתרון

אבל לא קיים פתרון יחיד.( אם הדטרמיננט של מטריצת המקדמים שונה מאפסΔ=|A|≠0.אז קיים פתרון יחיד )

xΔ דטרמיננט של מטריצת המקדמים שבו העמודה של מקדמי - x (הוחלפו בעמודה של האיברים החופשייםb.)

:כשקיים פתרון יחידx= ΔxΔ

, y= ΔyΔ

, z= ΔzΔ

שיטת גאוס

M=( A|b ) ( צורה(מדורגת ( (קנוניתצורה

M=( Anxk|b ) { Aשל n=שורותAשל k=עמודות

פתרון יחיד אינסוף פתרונות אף פתרון

r(A)=r(M)=k r(A)=r(M)<k r(A)<r(M)

n=k=4 מספר העמודות שווה למספר

השורות (1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

|1234) (

1 0 0 00 1 0 20 0 0 00 0 0 0

|3400) (

1 0 1 20 1 3 40 0 0 00 0 0 0

|5760)

n⏟6

>k⏟4

מספר השורות גדול ממספרהעמודות (

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

|231500) (

1 0 0 30 1 2 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

|120000) (

1 0 0 10 0 1 20 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

|131000)

n⏟3

<k⏟5

מספר השורות קטן ממספרהעמודות

בגלל אפשרי בלתי מצבלא להיות חייבת שהדרגה

מספר של מהגודל פחות)n(השורות.

(1 0 0 0 00 1 2 0 30 0 0 0 0|

150) (1 0 2 3 4

0 1 0 0 50 0 0 0 0|

678)n מספר השורות של = A .וגם מספר המשוואות

k = מספר העמודות שלA וגם מספר הנעלמים . במשוואה

{ x+2 y−4 z=−22 x− y+3 z=9

−3 x+4 y+z=13

( 1 2 −42 −1 3

−3 4 1 |−29

13 )R2→R2−2R1

R3→R3−3R1(1 2 −40 −5 110 10 −11|−2

137 )R3→R3+2 R2(1 2 −4

0 −5 110 0 11 |−2

1333 )⏟

צורהמדורגתr (A )=r (M )=3

R2→R2−R3(1 2 −40 −5 00 0 11|−2

−2033 )

R2→−15R

2

R3→111R

3

(1 2 −40 1 00 0 1 |−2

43 )R1→R1−2R2(1 2 −4

0 1 00 0 1 |−10

43 )R1→R1+4 R3(1 2 0

0 1 00 0 1|243)→ {x=2

y=4z=3

{ x+ y+2 z=32 x+ y−3 z=13x+2 y−z=4

.כשאין למשתנה איבר מוביל הוא יכול להיות כל מספרולכן, בגלל שרוצים פתרון כללי מסמנים אותו באות אחרת שלא מופיעה במשוואה המקורית.

.משתנה כזה נקרא משתנה חופשיo בגלל זה בדוגמהz=a

את התוצאה הסופית רושמים כווקטור כשסדר

המשתנים הוא לפי

הסדר שלהם

במשוואות.

(1 1 22 1 −33 2 −1|314)R3→R3−R2(1 1 2

2 1 −31 1 2 |313)R3→R3−R1(1 1 2

2 1 −30 0 0 |310)R2→R2−2 R1(1 1 2

0 −1 −70 0 0 | 3

−50 )

⏞r (A )=r (M )=2צורהמדורגת

R2→−R2

(1 1 20 1 70 0 0|350)R1→R1−R2(1 0 −5

0 1 70 0 0 |−2

50 )⏞

קנונית צורה

→ {x−5 z=−2y+7 z=5

→z=a

x=−2+5ay=5−7a

→(5a−2,5−7a ,a)

{ x+ y=3x+2 y=52 x+ y=4

2x+3 y=1

(1 11 22 12 3

|3541) R2→R2−R1

R3→R3−2 R1

R4→R4−2R1(1 10 10 −10 1

| 32

−2−5

) ¿

¿ R2→R2+R3(1 10 00 −10 1

| 30

−2−5

)¿

R2→R4

R4→R2(1 10 10 −10 0

| 3−5−20

) ¿

¿R3→R3+R2

(1 10 10 00 0

| 3−5−70

)}0y=-7 ולכן אין פתרון, בגלל שלא יכול להיות שr (A)⏞2

>r (M )⏞1

{ x− y−x−2w=42 x−2 z+5w=1

−x−3 y+z=10w=10

( 1 −1 −1 −22 0 −2 5

−1 −3 1 −10|41

10)R2→R2−2R1

R3→R3+R1(1 −1 −1 −20 2 0 90 0 0 −12|

4−714 ) ¿

R3→R3+2 R2(1 −1 −1 −20 2 0 90 0 0 6 | 4

−70 )R2→

12R

2

R3→16R

3

(1 −1 −1 −2

0 1 0 4 12

0 0 0 1| 4

−3 12

0)→ {r (A )=0

r (M )=2פתרון→ אין

מערכת הומוגניתלמערכת הומוגנית תמיד יש לפחות פתרון אחד:

הפתרון הטריוויאלי: כשכל המקדמים שווים לאפס.(1:למערכת הומוגנית תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי. משפט

{ x+ y−z+w=0x− y+ z+w=0

3x+ y−z+3w=0y−z=0

→

x=0y=0z=0w=0

הפתרון הלא טריוויאלי – מגיעים לצורה קנונית ומוצאים את הפתרון:(2

{ x+ y−z+w=0x− y+ z+w=0

3x+ y−z+3w=0y−z=0

(1 1 −1 11 −1 1 13 1 −1 30 1 −1 0

|0000) ¿

R2→R2−R1

R3→R3+3 R1(1 1 −1 10 −2 2 00 −2 2 00 1 −1 0

|0000)¿R1→R1+

12R

2

R3→R3−R2

R4→R4+12 R2

(1 0 0 10 −2 2 00 0 0 00 0 0 0

|0000) ¿

¿R2→R2−12R

2

(1 0 0 10 1 1 00 0 0 00 0 0 0

|0000)

⏟

→קנונית צורה {x+0 y+0 z+w=0

0 x+ y+z+0w=00=00=0

→x+w=0y+z=0

→w=az=b⏟

משתניםללאמוביל איבר

→ x=−ay=−b

→(−a ,−b)

עבורם יש למערכת:kמצא ערכי .פתרון יחיד.אינסוף פתרונות.אין פתרון{ x−3 z=−3

x+2 y+kz=12x+ky−z=−2

(1 0 −32 k 11 2 k |−3

−21 )R2→R2−2R1

R3→R3−R1(1 0 −30 k 50 2 k+3|

−344 )R2→R3

R3→R2(1 0 −30 2 k+30 k 5 |−3

44 ) ¿

R2→12R

2(1 0 −3

0 1 k2+1.5

0 k 5|−3

24 )

¿¿ R3→R3−k R2(

1 0 −3

0 1 k2+1.5

0 0 12(k−2)(k+5)| −3

24−2 k )

k=-5 בדיקה עבור

(1 0 −30 1 −10 0 0 |−3

214 פתרון - אין (

k=2 בדיקה עבור

(1 0 −30 1 2.50 0 0 |−3

20 )→ z=a⏟

ללא משתנהמוביל איבר

→ {x−3a=−3y+2.5a=2

→ x=−3+3ay=2−2.5a

→(−3+3a ,2−2.5a)אינסוף פתרונות

אחר יש למערכת פתרון יחיד.k כל עבור

- הקואורדינטות של הווקטור.ℝ n ℝ ווקטורים בn – .מספר הקואורדינטות

דוגמאות:

v=(3,5,9,3 )∈R4

u=(3,5 )∈R2

v=(v1 , v2 , v3 ,. . . .. , vn )∈Rn{שלווקטורים שלווקטוריםהשוואה סכוםכפלבסקלר

מבצעים כמו שמבצעיםבמטריצות.

בין ווקטורים קיימת מכפלהסקלר תוצאה v ⋅u סקלריתתוצאהווקטור v ×u {ווקטורית

u , v∈Rnu ⋅v=(u1 ,u2 , u3 , .. . . ,un )⋅ (v1 , v2, v3 , . .. . . , vn )=u1⋅ v1+u2⋅ v2+u3⋅ v3…un ⋅vn

ווקטורים אורתוגונליים )ניצבים(

u≠0כאשר ,v∈ Rn

v ⋅u=0u⊥vסימון

נורמה של ווקטור)אורך של ווקטור(u=(3 ,−4 )

‖u‖=‖(3 ,−4)‖=√32+(−4)2=5v=(v1 , v2 , v3, . . .. . , vn)

‖v‖=‖(v1 , v2 , v3 , . .. . . , vn)‖=√v12+v2

2+v32+. . . .+vn

2

ev=1

‖v‖∗v

תלות ואי תלות של ווקטוריםv1הווקטורים , v2 , v3….. vm∈Rn המקיימים k1 v1+k 2 v2+k3 v3… ..kmvm=0 כאשר( k1 , k2 , k3…..km∈R

סקלרים(נקראים תלויים לינארית כאשר לא כל הסקלרים בהיכרך שווים לאפס.

( והווקטורים בלתי תלויים לינארית.k1=k2=k3=....km=0אחרת כל הסקלרים שווים לאפס )

דוגמה:v1 האם הווקטורים א. , v2 , v3?האם הווקטורים ב. תלויים לינארית v1 , v2 , v4?תלויים לינארית

א.

v1=(1,0,0)v2=(1,1,0)v3=(1,2,0)v4=(1,2,3)

+xv1 המקיימיםx,y,zבודקים האם הסקלרים yv2+zv3=0:בהכרח שווים לאפס

x (1,0,0 )+ y (1,1,0 )+ z (1,2,0 )=(0,0,0)( x ,0,0 )+ ( y , y ,0 )+( z ,2 z ,0 )=(0,0,0)

( z+ y+z , y+2 z ,0 )=(0,0,0)

{x+ y+z=0⇒ x=−2 z+ z⇒ x=zy+2 z=0⇒ y=−2 z

v1: הווקטורים תשובה , v2 , v3.תלויים לינארית כי לא כל הסקלרים בהכרח שווים לאפס

+xv1 המקיימים x,y,zבודקים האם הסקלרים ב. yv2+zv4=0:בהכרח שווים לאפס ¿

n = הקואורדינטותמספר המשוואות = מספר mמספר הנעלמים = מספר הווקטורים =

v i∈Rnk1 v1+k 2 v2+k2 v3… ..kmvm=0

∑i=1

m

k i v i=0 ¿¿

קומבינציה לינארית / צירוף לינארי

u , v1 , v2 , v3… ..vm∈Rn הווקטור - uלינארית קומבינציה הוא של v1 , v2 , v3….. vmאם סקלרים קיימים

k1 , k2 , k3…..km

w=kכך שעבורם מתקיים 1 v1+k2 v2+k3 v3….. km vm

שאלה לדוגמה:v=(1נתונים שני ווקטורים ,−3,2 ) , u=(2 ,−1,1 w=(1,7 כתוב את הווקטור ( ,−4 v וu כצירוף לינארי של (

תשובה:+w=xv עבורם יתקיים x,yמחפשים סקלרים yu

כלומר, בודקים האם למערכת קיים פתרון.

(1,7 ,−4 )=x (1 ,−3,2 )+ y (2 ,−1,1 )(1,7 ,−4 )=( x ,−3 x ,2 x )+(2 y ,− y , y)(1,7 ,−4 )=(x+2 y ,−3 x− y ,2 x+ y )

⇒{ x+2 y=1−3x− y=72x+ y=−4

⟹( 1 2−3 −12 1 | 1

7−4)R2→R2+3 R3

R3→R3−2 R1(1 20 50 −3|

110−6) R2→

15R

2

R3→−13R

3

(1 20 10 1|

122) ¿R3→R3−R2(1 2

0 10 0|

120) ¿R1→R1−2R2(1 0

0 10 0|

−320 )⟶ {x=−3

y=2⟶w=−3 v+2u

תשובה סופית:(1,7 ,−4 )⏟

w

=−3 (1 ,−3,2 )⏟v

+2 (2 ,−1,1 )⏟y

f=(1,25 כתוב את הווקטורשאלה: u=(1,1,1 כצירוף לינארי של ( ) , v=(1,2,3 ) ,w=(2,−1,1 )תשובה:

+f=xu עבורם יתקיים x,y,zמחפשים סקלרים y v+zw

(1,25 )=x (1,1,1 )+ y (1,2,3 )+z (2 ,−1,1 )

(1,25 )=( x , x , x )+ ( y ,2 y ,3 y )+(2 z ,−z , z )⏞בסקלר כפל

(1,25 )=(x+ y+2 z , x+2 y−z , x+3 y+z⏞ווקטורים סכום

)

{x+ y+2 z=1 השוואה:x+2 y−z=2 ¿

¿} לדלג לאהזה עלהשלב

(1 1 21 2 −11 3 1 | 1

−25 )R2→R2−R1

R3→R3−R1(1 1 20 1 −30 2 −1|

1−34 ) R1→R1−R2

R3→R3−2 R2(1 0 50 1 −30 0 5 | 4

−310 ) ¿

R3→15R

3(1 0 50 1 −30 0 1 | 4

−32 )R1→R1−5 R3

R2→R2−3 R3

תשובה סופית:(1,25 )=−6 (1,1,1 )+3 (1,2,3 )+2 (2 ,−1,1 )(1 0 0

0 1 00 0 1|

−632 )→{x=−6

y=3z=2