ตอนที่ 54 戎㌎ᤎ ᤎ屢ริง ตอนที่ 3a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b3… · เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ - เส้นุ านวนละะ่วง

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 54

แบบฝกเรอง จ านวนจรง (ตอนท 3)

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกกงานคณะกรรมการการศกกาากนนนนาาน ละะ คณะวยยาศาสตร ฬาาะงกรณมหาวยยาะกย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง เซต ม านวนตอนยกนงหมดรวม 19 ตอน ซกงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบ านวนรง - สมบกตนนาานองระบบ านวนรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การลยกตกวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ยฤาฎบยเศาเหะอ - ยฤาฎบยตกวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการหฬนามก าะกงหนกง - สมการหฬนามก าะกงสอง - สมการหฬนามก าะกงสง - การประยฬกตสมการหฬนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสน านวนละะชวง - อสมการยเกยวองกกบหฬนามก าะกงหนกง - อสมการยเกยวองกกบหฬนามก าะกงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศาสวน - การลกอสมการโดยวธการยกก าะกงสอง - การลกอสมการโดยการลยนคาตกวลปร - การประยฬกตโยยการลกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสกมบรณ - สมการคาสกมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสกมบรณ - โยยประยฬกตอสมการคาสกมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสกมบรณ

11. แบบฝกหดตอนท 1 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 1) - ลบบฝกหกดกนนนนาาน

- ลบบฝกหกดกนนสง

- ลบบยดสอบ 12. แบบฝกหดตอนท 2 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 2)

- ลบบฝกหกดกนนนนาาน











- ลบบยดสอบ 16 แบบฝกหดตอนท 6 แบบฝกหดเรอง จ านวนจรง (ตอนท 6)



- ลบบยดสอบ


3

17. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 18. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 19. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผกดย าหวกงเปนอยางยงวา สอการสอนชฬดนนะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรกบคร ละะนกกเรยนยฬกโรงเรยนยใชสอชฬดนนรวมกกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง เซต นอกากนนหากยานสนใสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆยคณะผกดย าไดด าเนนการไปละว ยานสามารถดชอเรอง ละะชอตอนไดากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรยกนงหมดในตอนยายองคมอฉบกบนน


4

เรอง านวนรง หมวด ลบบฝกหกด ตอนท 3 (3/6) หวขอยอย 1. ลบบฝกหกดกนนนนาาน 2. ลบบฝกหกดกนนสง 3. ลบบยดสอบ จดประสงคการเรยนร เอใหผเรยน

1. สามารถลกสมการหฬนามดกรหนกงได 2. สามารถเยนเซตลบบลกลงสมาชกละะลบบบอกเงอนไ 3. สามารถ าลนกเซต ากกดละะเซตอนกนต 4. มความเาใในความหมายองเอกภสกมกยธ เซตวาง ละะเซตเยยบเยา 5. สามารถหาสกบเซตละะเซตก าะกงองเซต ากกด 6. มความเาใในมโนยกศนเกยวกกบการเยากกนองเซต 7. สามารถหายเนยน อนเตอรเซกชกน ผะตาง ละะคอมะเมนตองเซตยก าหนดให


5

1. แบบฝกหดขนพนฐาน

ลบบฝกหกดกนนนนาาน ใชเอวกดความรความสามารถกนนนนาานองผเรยน ประกอบดวยอค าถามลบบปรนกยลบบ 4 ตกวเะอก านวน 10 อ รอมเฉะย ครอบคะฬมตามฬดประสงคการเรยนรยก าหนด โดยผกดย าไดออกลบบใหโปรลกรมสามารถสฬมอค าถาม เอสรางเปนลบบฝกหกดยมความลตกตางกกนไดมากถกง 103 ลบบ


6

โยยอ 1 เนนอหาหะกก : สมการพหนามดกรหนง ฬดประสงคองโยยอ 1 คอ ตองการยดสอบนกกเรยนในการลกสมการหฬนามดกรหนกง

1.1 คา x ทสอดคลองกบสมการ 3 1 2 2x x คอขอใด

1. 6 2. 1 3. 1

5 4. 1

5

เฉลย 2

3 1 2 2

3 3 2 2

1

x x

x x

x

1.2 คา x ทสอดคลองกบสมการ 3 1 1 2 31

2 2 4

x x x คอขอใด

1. 6 2. 1 3. 1

5 4. 1

5

เฉลย 1 น า 4 คณตะอดยกนงสมการะไดวา

2 3 1 4 2 1 2 3

6 2 5 4

6

x x x

x x

x

1.3 คา x ทสอดคลองกบสมการ 25

3 1x

คอขอใด

1. 6 2. 1 3. 1

5 4. 1

5

เฉลย 3

2 15

3 1 3

2 5 3 1

2 15 5

15 3

1

5

xx

x

x

x

x


7

โยยอ 2 เนนอหาหะกก : สมการพหนามดกรหนง ฬดประสงคองโยยอ 2 คอ ตองการยดสอบนกกเรยนในการลกสมการหฬนามดกรหนกง

2.1 คา x ทสอดคลองกบสมการ 5 3 5 3

2 1

x x

x x

คอขอใด

1. 1 2. 3

5 3. 5

20 4. 17

20

เฉลย 2

เนองาก 5 3 75

2 2

x

x x

ละะ 5 3 2

51 1

x

x x

ดกงนกนนากโยยะไดวา

7 25 5

2 1

7 2

2 1

7 1 2 2

7 7 2 4

5 3

3

5

x x

x x

x x

x x

x

x


5 2 1

x x

x x

คอขอใด

1. 1 2. 3

5 3. 5

20 4. 17

20

เฉลย 4

ย านองเดยวกกนกกบอ 2.1 ะไดวา 13 63 3

5 2 1x x

13 6

5 2 1

13 2 1 6 5

26 13 6 30

20 17

17

20

x x

x x

x x

x

x

2.3 คา x ทสอดคลองกบสมการ 1 4 5 2 2 1 3 4x x x x คอขอใด

1. 1 2. 3

5 3. 5

20 4. 17

20


8

เฉลย 1 าก 1 4 5 2 2 1 3 4x x x x ะไดวา 2 25 18 8 3 10 8x x x x

8 8

1

x

x


9

โยยอ 3 เนนอหาหะกก : สมการพหนามดกรสอง ฬดประสงคองโยยอ 3 คอ ตองการยดสอบนกกเรยนในการลกสมการหฬนามดกรสอง

3.1 ถา 1x และ 2x เปนรากของสมการ 25 3 14x x แลว

1 2x x คอขอใด

1. 1

3 2. 5 3. 16

3 4. 20

3

เฉลย 3

2

2

5 3 14

3 14 5 0

3 1 5 0

1, 5

3

x x

x x

x x

x

ดกงนกนน 1 2

16

3x x

3.2 ถา 1x และ 2x เปนรากของสมการ 214 3 0x

x แลว

1 2x x มคาเทากบขอใด

1. 1

2 2. 2

7 3. 11

14 4. 15

14

เฉลย 3

2

2

214 3 0 0

14 2 3 0

14 3 2 0

2 1 7 2 0

1 2,

2 7

x xx

x x

x x

x x

x

ดกงนกนน 1 2

1 2 11

2 7 14x x

3.3 ถา 1x และ 2x เปนรากของสมการ 2 3 4x x แลว

1 2x x คอขอใด 1. 1 2. 4 3. 5 4. 7

โดยย


10

เฉลย 3

2

2

3 4

3 4 0

4 1 0

4, 1

x x

x x

x x

x

ดกงนกนน 4 1 5


11

โยยอ 4 เนนอหาหะกก : สมการพหนามดกรสอง ฬดประสงคองโยยอ 4 คอ ตองการยดสอบนกกเรยนในเรองการลกสมการหฬนามดกร

สอง โดยใชสตร 2 0ax bx c กตอเมอ 2 4

2

b b acx

a

เมอ 0a ดกงนกนนถา

2 4 0b ac เราะไดวาไมม านวนรงใดยสอดคะองกกบสมการยก าหนด

4.1 จ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการ 2 2 3 0x x คอขอใด

1. 2 2. 1 3. 1 4. ไมม านวนรง x ยสอดคะองสมการ เฉลย 4

ากสตร 2 0ax bx c ะไดวา 2 4

2

b b acx

a

ดกงนกนน ถา x สอดคะองสมการ

2 2 3 0x x ละว

22 2 4 1 3 2 8

2 1 2x

ซกงไมใช านวนรง

ย าใหไดวาไมม านวนรงยสอดคะองสมการ 2 2 3 0x x

4.2 จ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการ 2 4 5x x คอขอใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. ไมม านวนรง x ยสอดคะองสมการ เฉลย 4 สามารถอธบายไดในย านองเดยวกกนกกบอ 4.1

4.3 จ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการ 2 17 8x x คอขอใด 1. 0 2. 4 3. 8 4. ไมม านวนรง x ยสอดคะองสมการ เฉลย 4 สามารถอธบายไดในย านองเดยวกกนกกบอ 4.1


12

โยยอ 5 เนนอหาหะกก : สมการพหนามดกรสง

ฬดประสงคองโยยอ 5 คอ ตองการยดสอบนกกเรยนในการลกสมการหฬนามดกรสง

5.1 คา x ทงหมดทสอดคลองกบสมการ 1 2 1 3 0x x x x คอขอใด

1. 1 2. 2, 1 3. 1,1, 2,3 4. 3, 2,1,1 เฉลย 4 าก 1 2 1 3 0x x x x ะไดวา 1 0x หรอ 2 0x หรอ 1 0x หรอ 3 0x ดกงนกนน 1, 2, 1, 3x

5.2 คา x ทสอดคลองกบสมการ 1 8 2 0x x x คอขอใด 1. 1 2. 1,8 3. 1, 2 4. 1, 2,8 เฉลย 4 ลสดงไดย านองเดยวกกนกกบอ 5.1

5.3 คา x ทสอดคลองกบสมการ 2 21 4 0x x คอขอใด

1. 1, 4 2. 2, 2 3. 1,1, 2 4. 2, 1,1,2 เฉลย 4 าก 2 21 4 0x x ะไดวา 1 1 2 2 0x x x x ดกงนกนน 2, 1, 1, 2x


13

โยยอ 6 เนนอหาหะกก : สมการพหนามดกรสง ฬดประสงคองโยยอ 6 คอ ตองการยดสอบนกกเรยนในการลกสมการหฬนามดกรสง

6.1 ผลรวมของคา x ทสอดคลองกบสมการ 3 2 4 4x x x คอขอใด

1. 1 2. 0 3. 1 4. 3 เฉลย 3

3 2

3 2

2

2

4 4

4 4 0

1 4 1 0

1 4 0

1 2 2 0

2,1, 2

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x

ดกงนกนน ผะรวมองค าตอบองสมการ คอ 2 1 2 1

6.2 ผลรวมของคา x ทสอดคลองกบสมการ 2

12

1 1

x

x x

คอขอใด

1. 1 2. 0 3. 1 4. 3 เฉลย 1

2

2

2 2

2

12 1

1 1

1 2 1 1

2 1

1 0

1 1 4

2

1 5

2

xx

x x

x x x

x x x

x x

x


2 2

6.3 ผลรวมของคา x ทสอดคลองกบสมการ 3 24 12 40 0x x x คอขอใด

1. 1 2. 0 3. 1 4. 3

โดยย


14

เฉลย 4

3 2

2

4 12 40 0

4 3 10 0

4 5 2 0

2,0,5

x x x

x x x

x x x

x



15

โยยอ 7 เนนอหาหะกก : สมการก าลงหนง ฬดประสงคองโยยอ 7 คอ ยดสอบนกกเรยนในการลกสมการก าะกงหนกงยอยในรปเศาสวน


3 4 5 6

x x x x

x x x x

คอขอใด

1. 9

2 2. 9

2 3. 9 4. 20

เฉลย 2

เราะวา 2 11

3 3

x

x x

, 3 1

14 4

x

x x

, 4 1

15 5

x

x x

ละะ 5 1

16 6

x

x x

2 3 4 5

3 4 5 6

x x x x

x x x x

กงไดวา 1 1 1 11 1 1 1

3 4 5 6x x x x

1 1 1 1

3 4 5 6x x x x

1 1

3 4 5 6x x x x

5 6 3 4x x x x

2 211 30 7 12

4 18

9

2

x x x x

x

x


3 4 5 6

x x x x

x x x x

คอขอใด

1. 9

2 2. 9

2 3. 9 4. 20

เฉลย 1 ใชวธการย านองเดยวกกบ 7.1 ะไดวา

2 2

2 3 4 5

3 4 5 6

1 1 1 1

4 3 6 5

1 1

3 4 5 6

3 4 5 6

7 12 11 30

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x


16

4 18

9

2

x

x


3 5 4 6

x x x x

x x x x

คอขอใด

1. 9

2 2. 9

2 3. 9 4. 20

เฉลย 1 ใชเยคนคย านองเดยวกกบ 7.1 ะไดวา

2 2

2 4 3 5

3 5 4 6

1 1 1 1

5 3 6 4

2 2

3 5 4 6

4 6 3 5

10 24 8 15

2 9

9

2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x


17

โยยอ 8 เนนอหาหะกก : สมการพหนามดกรสง ฬดประสงคองโยยอ 8 คอ ยดสอบนกกเรยนในเรองการลกสมการหฬนามดกรสง โดยใชยฤาฎบยลยกตกวประกอบ

8.1 ผลรวมของคาสมบรณของรากของสมการ 3 23 10 24 0x x x คอขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 9 เฉลย 4 ให 3 23 10 24p x x x x เนองาก 2 8 12 20 24 0p ดกงนกนน 2x หาร p x ะงตกว ดกงนกนน 3 2 23 10 24 2 12 2 4 3x x x x x x x x x ดกงนกนน

3 23 10 24 0

2 4 3 0

3,2,4

x x x

x x x

x

ดกงนกนน ผะรวมองคาสกมบรณองรากองสมการ กงมคาเยากกบ 3 2 4 9

8.2 ผลรวมของคาสมบรณของรากของสมการ 3 22 2 0x x x คอขอใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 เฉลย 4 ให 3 22 2p x x x x เนองาก 1 1 2 1 2 0p ดกงนกนน 1x หาร p x ะงตกว

2

3 2

3 2

2

2

12

2 3 10 24

2

10 24

2

12 24

12 24

0

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x


18

ดกงนกนน 3 2 22 2 1 2 1 2 1x x x x x x x x x ดกงนกนน

3 22 2 0

1 2 1 0

1,1,2

x x x

x x x

x

ดกงนกนน ผะรวมองคาสกมบรณอง x คอ 1 1 2 4

8.3 ผลรวมของคาสมบรณของรากของสมการ 3 23 4 12 0x x x คอขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 7 เฉลย 4 ให 3 23 4 12p x x x x เนองาก 2 8 12 8 12 0p ดกงนกนน 2x หาร p x ะงตกว ดกงนกนน 3 2 23 4 12 2 6 2 3 2x x x x x x x x x

2

3 2

3 2

2

2

6

2 3 4 12

2

4 12

2

6 12

6 12

0

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x

2

3 2

3 2

2

2

2

1 2 2

2

2 2

2 2

0

x x

x x x x

x x

x x

x x

x

x


19

ดกงนกนน

3 23 4 12 0

2 3 2 0

2,2,3

x x x

x x x

x

ดกงนกนน ผะรวมองคาสกมบรณอง x คอ 2 2 3 7


20

โยยอ 9 เนนอหาหะกก : การประยกตสมการ ฬดประสงคองโยยอ 9 คอตองการยดสอบนกกเรยนเรองการประยฬกตสมการในการลกปญหา

9.1 จงหาความยาวของดาน AB ของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน

1. 4 2. 7 3. 8 4. 13 เฉลย 3 ากยฤาฎบยธากอรกส ะไดวา

2 22 7 9x x x

2 2 2

2

14 49 18 81

4 32 0

8 4 0

8, 4

x x x x x

x x

x x

x

ดกงนกนน ดาน AB กงยาว 8 หนวย

9.2 จงหาความยาวของดาน AC ของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน

1. 5 2. 7 3. 12 4. 15 เฉลย 4 สามารถลสดงไดในย านองเดยวกกบอ 9.1 ากอ 9.1 ะไดวา 8x ดกงนกนน ดาน AC ยาว 7 8 7 15x หนวย

A B

C

9x 7x

x

A B

C

9x 7x

x


21

9.3 จงหาความยาวของดาน BC ของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน

1. 5 2. 17 3. 19 4. 20 เฉลย 2 สามารถลสดงไดในย านองเดยวกกบอ 9.1 ากอ 9.1 ะไดวา 8x ดกงนกนน ดาน BC ยาว 9 8 9 17x หนวย

A B

C

9x 7x

x


22

โยยอ 10 เนนอหาหะกก : การประยกตสมการ ฬดประสงคองอ 10 คอตองการยดสอบนกกเรยนในเรองการประยฬกตสมการในการลกปญหา

10.1 จ านวนเตม 2 ตวทรวมกนได 160 และมผลคณเปน 1500 จะมคาสมบรณของผลตางเปนเทาใด

1. 10 2. 100 3. 140 4. 150 เฉลย 3 ให านวนเตมตกวลรกมคาเปน x ดกงนกนน านวนเตมตกวย 2 มคาเปน 160 x ละะ

2

160 1500

160 1500 0

10 150 0

x x

x x

x x

10x , 150 ดกงนกนน านวนเตม 2 ตกวนกนน คอ 10,150 ดกงนกนน คาสกมบรณองผะตางอง านวนยกนง 2 มคาเยากกบ 10 150 140

10.2 จ านวนเตม 2 ตวทรวมกนได 52 และมผลคณเปน 750 จะมคาสมบรณของผลตางเปนเทาใด 1. 2 2. 5 3. 27 4. 30 เฉลย 2 ให านวนรงตกวลรกมคาเปน x ดกงนกนน านวนรงยเหะอคอ 55 x ละะ

2

55 750

55 750 0

25 30 0

x x

x x

x x

25x , 30 ดกงนกนน านวนเตม 2 ตกวนกนน คอ 25 ละะ 30 ซกงมคาสกมบรณองผะตางเปน 25 30 5

10.3 จ านวนเตม 2 ตวทรวมกนได 47 และมผลคณเปน 540 จะมคาสมบรณของผลตางเปนเทาใด 1. 7 2. 20 3. 27 4. 30 เฉลย 1 ลสดงไดย านองเดยวกกนกกบอ 10.1


23

2. แบบฝกหดขนสง

ลบบฝกหกดกนนสง ใชเอวกดความรความสามารถกนนสงองผเรยน ครอบคะฬมตามฬดประสงคการ

เรยนรยก าหนด ประกอบดวยอค าถามลบบปรนกยลบบ 4 ตกวเะอก านวน 11 อ รอมเฉะยยผใชสอ

สามารถเะอกดค าอธบายไดากสอการสอน


24

1. ผลบวกของ x และ y ทงหมด ทสอดคลองสมการ 1 2 3

1 2 3 4

x x x x

x x x x

และ

3 2 10

1

y y y

y

คอขอใด

1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 2. ถา 4 3 23 2 5 6f x x x x x และ a เปนจ านวนเตม ถา x a หาร f x แลวเหลอเศษ

1 ขอใดตอไปนถกตอง ก. a เปนรากของสมการ 1f x ข. ถามจ านวนเตม b ซง x b หาร f x แลวเหลอเศษ 1 แลว a b 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

3. ให | 2 2 2A x x x และ 2| 3 4B x x x แลว a b a A และ b B คอ

เซตในขอใด 1. 1,2,4 2. 1 3. 6 4. 1,6

4. รากของสมการ 14 3

1

x x

x x

สอดคลองกบสมการในขอใด

1. 215 14 1 0x x 2. 2 2 0x x 3. 215 14 1 0x x 4. 2 2 0x x

5. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. ผลบวกของรากของสมการ 2 5

53

2 2 3 2 12

x x x

คอ 242

ข. รากของสมการ 0f x จะเปนรากของสมการ 0cf x เสมอทกคาคงตว c 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

6. ผลรวมของคา x ทสอดคลองทงสมการ 23.3 4. 3 1xx และสมการ 1

2xx

คอขอใด

1. 2 2. 1 3. 0 4. 1 7. ขอความใดตอไปนถกตอง

ก. ผลบวกของก าลงสองของรากของสมการ 4 25 4 0x x มคาเทากบ 10 ข. ไมมจ านวนเตมทเปนรากของสมการ 7 6 2x x

1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด


25

8. ให 3 2p x x x ax b โดยท ,a b ถา 1 เปนค าตอบของสมการ p x a และ 1 เปนค าตอบของสมการ p x b แลว a b มคาเทากบเทาไร 1. 4 2. 2 3. 6 4. 6

9. สมคดขจกรยานจากเมอง ก ไปเมอง ข ทมระยะทาง 100 กโลเมตร ดวยอตราเรวเพมขนกวาปกตอก 5 กโลเมตรตอชวโมง ท าใหถงทหมายเรวขน 1 ชวโมง ดงนนความเรวปกตของสมคดคอกกโลเมตรตอชวโมง 1. 20 2. 25 3. 30 4. 35

10. ขอใดตอไปนถกตอง ก. มจ านวนจรง c ทท าใหสมการ 22 5 0x cx มค าตอบทเปนจ านวนจรงเพยงคาเดยว ข. มจ านวนจรง c ทท าใหสมการ 22 5 0x cx มค าตอบทเปนจ านวนจรงหลายคา


11. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 2 1 2 11 1

x xx x

x x

ข. 2|x x x เปนเซตอนนต



26

3. แบบทดสอบ

ลบบยดสอบ ใชเอยดสอบความรความสามารถกนนสงองผเรยน ประกอบดวยอค าถามลบบปรนกยลบบ 4 ตกวเะอก านวน 10 อ รอมเฉะย ครอบคะฬมตามฬดประสงคการเรยนรยก าหนด โดยผกดย าไดออกลบบใหโปรลกรมสามารถสฬมอค าถาม เอสรางเปนลบบฝกหกดยมความลตกตางกกนไดมากถกง 103 ลบบ


27

โยยอ 1 เนนอหาหะกก : สมการ

1.1 ให 4 2 1| 2 3.2 8 0x xA x และ | 2 1 1 1B x x x แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก. A A ข. B 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด เฉลย 1 วธท า หาเซต A

4 2

22 2

2 2

2 6.2 8 0

2 6 2 8 0

2 2 2 4 0

x x

x x

x x

22 2x หรอ 22 4x 2 12 2x หรอ 2 22 2x

1,1

2x

ดกงนกนน 1,1

2A

ย าให 1A A อ ก กงถกตอง

หาเซต B

2

2

2 1 1 1

2 1 1 1

2 1 1 2 1 1

1 2 1

2 1 4 1

6 3 0

6 36 12

2

6 48

2

3 2 3

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x

ดกงนกนน 3 2 3B ย าให B อ กงถกตอง


28

1.2 ให 4 2| 3 4.3 3x xA x และ | 1 1B x x x แลว a b a A และ b B คอขอใด

1. 2. A 3. B 4. A B เฉลย 2 วธท า หาเซต A

4 2

22 2

2 2

3 4.3 3

3 4 3 3 0

3 1 3 3 0

x x

x x

x x

23 1x หรอ 23 3x

10,

2x

ดกงนกนน 10,

2A

หาเซต B

1 1

1 2 1 1

2 1 2

1 1

1 1

0

x x

x x x

x

x

x

x

ดกงนกนน 0B ย าให a b a A ละะ b B1 1

0 0, 0 0,2 2

A

1.3 ให 111 2

2

x

xA x

และ 1 1

2

xB x

x

แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก. 0A B ข. B A 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด เฉลย 1 วธท า หาเซต A


29

1

2

2

11 2

2

2 1 2.2

2.2 2 1 0

2.2 1 2 1 0

2 1 0

0

x

x

x x

x x

x x

x

x

ดกงนกนน 0A หาเซต B

1 1

2

2 1

4 1

3 4

4

3

x

x

x x

x x

x

x

ลตถา 4

3x ละว x ไมมความหมาย ดกงนกนน B

าก 0A ละะ B เรากงไดวา 0A B ลต B A อ ก ละะ กงถกตองยกนงค


30

โยยอ 2 เนนอหาหะกก : การลกสมการ

2.1 ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 2|x x x เปนเซตจ ากด

ข. 2 2| |x x x x x x


เฉลย 3 วธท า พจารณาขอ ก เราะวา 2x x ละะ x x กตอเมอ 0x

ดกงนกนน 2 0,x x x ซกงเปนเซตอนกนต อ ก กงไมถกตอง

พจารณาขอ ข เราะวา 2 0,x x x ละะ 2 ,0x x x

ดกงนกนน 2 2| |x x x x x x อ กงถกตอง


ก. 2|x x x เปนเซตอนนต

ข. 2 2| |x x x x x x


เฉลย 2 วธท า พจารณาขอ ก เราะวา 2x x x กตอเมอ ,0x ดกงนกนน

2 ,0x x x เปนเซตอนกนต อ ก กงถกตอง

พจารณาขอ ข เราะวา 2 2| | 0, ,0 0x x x x x x ซกงไมใชเซตวาง

ดกงนกนน อ กงไมถกตอง


ก. 2 2 1 1x x x x

ข. 2

21 11

x xx x x x x

x


เฉลย 4


31

วธท า พจารณาขอ ก

2

2

2 1 1

1 1

1 1

1 0

1

x x x

x x

x x

x

x

ดกงนกนน 2 2 1 1 1,x x x x อ ก กงไมถกตอง

พจารณาขอ ข เนองาก 21 1x x x x ลต 2

1 11

x xx

x


2

21 11

x xx x x x x

x

อ กงไมถกตอง


32

โยยอ 3 เนนอหาหะกก : การลกสมการ

3.1 ให 2

11

2 1A x

x x

และ 11

1B x

x


1. A B 2. A B ลต A B 3. B A ลต A B 4. A B เฉลย 3 วธท า หาเซต A

2

2

2

11

2 1

2 1 1

1 1

1 1

x x

x x

x

x

1 1x หรอ 1 1x 0x หรอ 2 ดกงนกนน 0, 2A หาเซต B

11

1

1 1

0

x

x

x

ดกงนกนน 0B ย าให B A ละะ A B

3.2 ให 22 1A x x และ 2 1B x x ขอใดตอไปนถกตอง


2

2 1

2 1

x

x

2 1x หรอ 2 1x 1x หรอ 3x


33

ดกงนกนน 3, 1A หาเซต B

2 1

1

x

x

ดกงนกนน 1B นกนคอ B A ละะ A B

3.3 ให 2

12

4 4A x

x x

และ 12

2B x

x



2

2

2

12

4 4

14 4

2

12

2

12

2

x x

x x

x

x

12

2x หรอ 1

22

x

5

2x หรอ 3

2

ดกงนกนน 5 3,

2 2A

หาเซต B

12

2

12

2

5

2

x

x

x

ดกงนกนน 5

2B

ย าให B A ละะ A B


34

โยยอ 4 เนนอหาหะกก : สมการดกรสง

4.1 ขอใดตอไปนถกตอง ก. ถา 5 4 23 2 1f x x x x x แลว 1 เปนรากของสมการ 2f x ข. ถา 5 4f x x x x a และ 1 เปนรากของสมการ 0f x แลว 1a 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

เฉลย 1 วธท า ก. เราะวา 1 1 3 2 1 1 2f ดกงนกนน 1 กงเปนรากองสมการ 2f x . ถา 1 เปนรากองสมการ 0f x ะไดวา 1 0f ดกงนกนน 1 1 1 0a นกนคอ 1a

4.2 ขอใดตอไปนถกตอง ก. ถา 5 3 28 10f x x x x x แลว 2 เปนรากของสมการ 0f x ข. ถา 4 3 2 5f x x ax x และ 1 เปนรากของสมการ 0f x แลว 1a 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

เฉลย 2 วธท า ก. เราะวา 2 32 8 32 2 10 0f ดกงนกนน 2 กงเปนรากองสมการ 0f x . ถา 1 เปนรากองสมการ 0f x ะไดวา 1 0f ดกงนกนน 1 1 5 0a นกนคอ 3a

4.3 ขอใดตอไปนถกตอง ก. ถา 4 3 22 3 5f x x x x x แลว 1 เปนรากของสมการ 2f x ข. ถา 5 4 2 1f x x x ax x และ 1 เปนรากของสมการ 0f x แลว 2a 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

เฉลย 2 วธท า เราะวา 1 1 2 3 1 5 2f ดกงนกนน 1 กงเปนรากองสมการ 2f x . ถา 1 เปนรากองสมการ 0f x ะไดวา 1 0f ดกงนกนน 1 1 1 1 0a นกนคอ 0a


35

โยยอ 5 เนนอหาหะกก :

5.1 ผลบวกของคาของ x ทสอดคลองสมการ 2 22 12 5 2 4 0x x x x คอขอใด

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

เฉลย 2 วธท า

2 2

2 2

2 2

2 1

2 2

2 5 2 4 0

2 5 2 2 4 2 0

2 4.2 2 2 0

x x x x

x x x x

x x x x

2 22 2x x หรอ 2

2 2x x 2 2x x หรอ 2x x

2 2 0x x หรอ 2 0x x 2 1 0x x หรอ 1 0x x

1, 2x หรอ 0,1x ดกงนกนน ผะบวกองคา x ยกนงหมดคอ 1 2 0 1 2

5.2 ผลบวกของคาของ x ทสอดคลองสมการ 2 22 2 4 33 28 3 3 0x x x x คอขอใด

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 4 3

2 22 2

2 2

2 2 3

3 28 3 3 0

3 28 3 3 27 3 0

3 3 3 27.3 0

3 3 3 3 0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

2 23 3x x หรอ 2 2 33 3x x

2 2x x หรอ 2 2 3x x 2 2 0x x หรอ 2 2 3 0x x

2 0x x หรอ 1 3 0x x 0, 2x หรอ 1,3x

ดกงนกนน ผะบวกองคา x ยกนงหมดคอ 0 2 1 3 4


36

5.3 ผลบวกของคาของ x ทสอดคลองสมการ 2 1 2 42 3 2 2 0x x x x คอขอใด

1. 2 2. 3 3. 4 4. 5


2 1 2 4

222 2

2 2

2 3 2 2 0

2. 2 3 2 2 2 0

2.2 2 2 2 0

x x x x

x x x x

x x x x

1 22 2x x หรอ 22 2x x 1 2x x หรอ 2x x

2 1 0x x หรอ 2 0x x

2

1 0x หรอ 2 0x x

1x หรอ 0, 4x ดกงนกนน ผะบวกองคา x ยกนงหมดคอ 1 0 4 5


37


6.1 ขอใดตอไปนถกตอง ก. 2 2 3 0x x x

ข. ให 3 1f x x และ 1g x x จะไดวา |x f x g x


เฉลย 3 วธท า พจารณาขอ ก เนองาก

2 2

2

2 3 2 1 2

1 2 0

x x x x

x

ดกงนกนนกงไมม านวนรง x ยย าให 2 2 3 0x x ดกงนกนน 2 2 3 0x x x อ ก กงไมถกตอง

พจารณาขอ ข

3 1 1

f x g x

x x

29 6 1 1x x x โดยย 1 0x

29 5 2 0x x

5 25 72

18

5 47

18

x

ดกงนกนน กงไมม านวนรง x ยสอดคะองกกบสมการ f x g x อ กงถกตอง

6.2 ขอใดตอไปนถกตอง ก. 2 3 4 0x x x

ข. ให 3 1f x x และ 1g x x จะไดวา |x f x g x


เฉลย 1 วธท า พจารณาขอ ก ลสดงไดย านองเดยวกกนกกบอ 6.1 วาอ 2 2 3 0x x x อ ก กงถกตอง


38


3 1 1

f x g x

x x

29 6 1 1x x x โดยย 1x

29 7 0

9 7 0

x x

x x

70,

9x

ลตากการตรวสอบค าตอบ 0x ไมเปนค าตอบอง f x g x


|9

x f x g x

ซกงไมเยากกบ อ กงถกตอง


ก. 2 6 10 0x x x

ข. ให 2f x x และ 2 1g x x จะไดวา |x f x g x


เฉลย 1 วธท า พจารณาขอ ก ลสดงไดย านองเดยวกกบอ 6.1 วา 2 2 3 0x x x อ ก กงถกตอง


2 2 1

f x g x

x x

22 4 4 1x x x โดยย 2x

24 3 3 0x x

3 9 48

8x

เราะวา 39 ไมใช านวนรง ดกงนกนน |x f x g x


39



ก. 211 1x x x x x

x

ข. 2

20 0x x

x x x xx


เฉลย 2

พจารณาขอ ก ถา 0x ละะ 11x

x ละวะไดวา 2 1x x

ากเหตฬผะางตนละะความรงยวา 20 1x x x

เรากงไดวา 211 1x x x x x

x

ดกงนกนน อ ก กงถกตอง

พจารณาขอ ข เนองาก 2

0 0x x

xx

ลต 20 0x x x


20 0x x

x x x xx

อ กงไมถกตอง


ก. 21

11

aa a

a

ข. คา x ทสอดคลองกบสมการ 1 1x x ตองไมเปนจ านวนจรงลบ 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

เฉลย 4

พจารณาขอ ก เนองาก 21

1 11

aa a

a


211

1

aa a

a

อ ก กงไมถกตอง


2

1 1

1 1

1 1

1 2 1

x x

x x

x x

x x x


40

2 0

1 0

0, 1

x x

x x

x

เมอน าไปลยนคาในสมการ 1 1x x ะไดวา 0, 1x สอดคะองกกบสมการ ดกงนกนนอ กงไมถกตอง


ก. 1x

xx

ข. ไมมจ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการ 1 2 5x x 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

เฉลย 3

พจารณาขอ ก เนองาก 0 1x

xx

ดกงนกนน 1x

xx

อ ก กงไมถกตอง


1 2 5

1 2 5

4

x x

x x

x

เมอน าไปลยนคาในสมการ 1 2 5x x ะไดวา 4x ไมสอดคะองกกบสมการ ดกงนกนนอ กงถกตอง


41



ก. ถา a เปนรากของสมการ 0f x แลว a จะเปนรากของสมการ 2

0f x เสมอ ข. ถา a เปนรากของสมการ 0f x แลว a จะเปนรากของสมการ 0f x เสมอ


เฉลย 1 พจารณาขอ ก ถา 0f a ะไดวา

2 20 0f a ดกงนกนน อ ก กงถกตอง พจารณาขอ ข ถา 0f a ะไดวา 0 0f a ดกงนกนน อ กงถกตอง


ก. ถา a เปนรากของสมการ 0f x แลว a จะเปนรากของสมการ

0

f x

g x เสมอ

ข. ถา a เปนรากของสมการ

0

f x

g x แลว a จะเปนรากของสมการ 0f x เสมอ


เฉลย 3

พจารณาขอ ก ให 1f x x ละะ 1g x x ะเหนวา 1 0f ลต

1

1

f

g

หาคาไมได

ดกงนกนน อ ก กงไมถกตอง

พจารณาขอ ข ถา

0

f a

g a ดกงนกนน 0f a ละะ 0g a อ กงถกตอง


ก. ถา a เปนรากของสมการ 0f x แลว a จะเปนรากของสมการ 0f x g x เสมอ ข. ถา a เปนรากของสมการ 0f x g x แลว a จะเปนรากของสมการ 0f x เสมอ 1. ก ถก ถก 2. ก ถก ผด 3. ก ผด ถก 4. ก ผด ผด

เฉลย 2 พจารณาขอ ก ถา 0f a ะไดวา 0 0f a g a g a ดกงนกนน อ ก กงถกตอง พจารณาขอ ข ให 2 1f x x ละะ 1g x x ะเหนไดวา 1 1 2 0 0f g ลต 1 2 0f ดกงนกนน อ กงไมถกตอง


42


9.1 ให 3 2 2f x x mx x n และ 3 เปนรากของสมการ 1f x แลว 9m n มคาเทาใด 1. 20 2. 6 3. 7 4. อมะไมเยงอ เฉลย 1 วธท า เนองจาก 3 เปนรากของสมการ 1f x เราจะไดวา

3 1

27 9 6 1

9 20

f

m n

m n

9.2 ให 3 2 5f x x mx nx และ 2 เปนรากของสมการ 1f x แลว 2m n มคาเทาใด

1. 12 2. 6 3. 7 4. อมะไมเยงอ เฉลย 2 วธท า เนองจาก 2 เปนรากของสมการ 1f x เราจะไดวา

2 1

8 4 2 5 1

4 2 12

2 6

f

m n

m n

m n

9.3 ให 4 3 2 5 2f x x mx nx x และ 1 เปนรากของสมการ 1f x แลว m n มคาเทาใด

1. 20 2. 6 3. 7 4. อมะไมเยงอ เฉลย 3 วธท า เนองจาก 1 เปนรากของสมการ 1f x เราจะไดวา

1 1

1 5 2 1

7

f

m n

m n


43


10.1 คา x ทสอดคลองสมการ 4 3 23 9 6x x x x เปนสมาชกของเซตในขอใด 1. 2,2 2. 3,1 3. 0,3 4. 3,0 เฉลย 1 ให 4 3 23 9 6f x x x x x เราะวา 1 1 3 1 9 6 0f ดกงนกนน 1x หาร f x ะงตกว ดกงนกนน

4 3 2 3 2

3 2

2

2

3 9 6 1 2 3 6

1 2 3 6

1 2 3 2

1 2 3

1 2 3 3

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

ดกงนกนนคารากองสมการ 4 3 23 9 6 0x x x x คอ 1, 2, 3, 3x ซกงยฬกตกวเปนสมาชกอง 2,2

10.2 คา x ทสอดคลองสมการ 4 33 6 4x x x เปนสมาชกของเซตในขอใด 1. 2,2 2. 3,1 3. 0,3 4. 3,0 เฉลย 1 ให 4 33 6 4f x x x x

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

2 3 6

1 3 9 6

2 9 6

2 2

3 9 6

3 3

6 6

6 6

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x


44

เราะวา 1 1 3 6 4 0f ดกงนกนน 1x หาร f x ะงตกว ดกงนกนน

4 3 3 2

3 2

2

2

3 6 4 1 2 2 4

1 2 2 4

1 2 2 2

1 2 2

1 2 2 2

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

ดกงนกนนคารากองสมการ 4 33 6 4 0x x x คอ 1, 2, 2, 2x ซกงยฬกตกวเปนสมาชกอง 2,2

10.3 คา x ทสอดคลองสมการ 4 3 24 2 4 0x x x x เปนสมาชกของเซตในขอใด 1. 2,2 2. 3,1 3. 0,3 4. 3,0 เฉลย 1 ให 4 3 24 2 4f x x x x x เราะวา 1 1 1 4 2 4 0f ดกงนกนน 1x หาร f x ะงตกว

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

2 2 4

1 3 0 6 4

2 0 6 4

2 2

2 6 4

2 2

4 4

4 4

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x


45


4 3 2 3 2

3 2

2

2

4 2 4 1 2 2 4

1 2 2 4

1 2 2 2

1 2 2

1 2 2 2

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

ดกงนกนนคารากองสมการ 4 3 24 2 4 0x x x x คอ 1, 2, 2, 2x ซกงยฬกตกวเปนสมาชกอง 2,2

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

2 2 4

1 4 2 4

2 4 2 4

2 2

2 2 4

2 2

4 4

4 4

x x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 3)



แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)

ผ-5


ปงบประมาณ 2554-2555

ผ-6


คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร

Documents

ตอนที่ 54 戎㌎ᤎ ᤎ屢ริง ตอนที่ 3a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b3… · เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ - เส้นุ านวนละะ่วง