Содержание1 Числовые неравенства и их свойства• Понятие неравенства

• Свойства неравенств

2 Основные методы установления истинности числовых

неравенств• Сравнение чисел с помощью составления разности • Сравнение чисел с помощью составления отношения

и сравнение с 1

• Текстовые задачи на сравнение чисел

1 Числовые неравенства и их свойства• Понятие неравенства

• Свойства неравенств

2 Основные методы установления истинности числовых

неравенств• Сравнение чисел с помощью составления разности • Сравнение чисел с помощью составления отношения

и сравнение с 1

• Текстовые задачи на сравнение чисел

3 Доказательства неравенств• Метод перехода к равносильному неравенству •Метод вставки или метод усиления неравенств 4 Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств• Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами • Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши) • Неравенство Бернулли •Векторные неравенство Коши – Буняковского • Доказательство неравенств с помощью производной

3 Доказательства неравенств• Метод перехода к равносильному неравенству •Метод вставки или метод усиления неравенств 4 Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств• Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами • Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши) • Неравенство Бернулли •Векторные неравенство Коши – Буняковского • Доказательство неравенств с помощью производной

Числовые неравенства и их свойства

• Понятие неравенства• Свойства неравенств• Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c.• Свойство 2. Если а > b, то a+с > b+c. • Свойство 3. Если а > b и m>0, то am > bm. Если а > b и m<0, то am < bm.• Свойство 4. Если а > b и с > d, то а + c > b+d.• Свойство 5. Если а,b,с,d –положительные числа, и а>b, с>d, то ас > bd.• Свойство 6. Если а и b – неотрицательные числа и а > b, то аⁿ > bⁿ, где n є N.

• Понятие неравенства• Свойства неравенств• Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c.• Свойство 2. Если а > b, то a+с > b+c. • Свойство 3. Если а > b и m>0, то am > bm. Если а > b и m<0, то am < bm.• Свойство 4. Если а > b и с > d, то а + c > b+d.• Свойство 5. Если а,b,с,d –положительные числа, и а>b, с>d, то ас > bd.• Свойство 6. Если а и b – неотрицательные числа и а > b, то аⁿ > bⁿ, где n є N.

Основные методы установления истинности числовых неравенств

• Сравнение чисел с помощью составления разности

• Пример 1. Что больше а) 222221/333333 или 444443/666665 ; б) в) 199910+200120 или 2 200010?

• Сравнение чисел с помощью составления разности

• Пример 1. Что больше а) 222221/333333 или 444443/666665 ; б) в) 199910+200120 или 2 200010?

Сравнение чисел с помощью составления отношения и сравнение с 1

• Пример 2. Что больше: а) б) 202505 или 505202?

• Пример 2. Что больше: а) б) 202505 или 505202?

Текстовые задачи на сравнение чисел• Задача 1. Пункты А и В расположены на берегу

реки в 10 километрах друг от друга. Катер проплыл из А в В и обратно без остановки. Больше или меньше времени понадобится ему для того, чтобы проплыть 20 км по озеру, в котором нет течения? Ответ: меньше.

• Задача 2. Если первая грузовая автомашина сделает 4 рейса, а вторая-3, то вместе они перевезут меньше 21 т груза. Если же первая автомашина сделает 7 рейсов, а вторая 4, то вместе они перевезут больше 33 т груза. Какая автомашина имеет большую грузоподъемность? Ответ: первая.

• Задача 1. Пункты А и В расположены на берегу реки в 10 километрах друг от друга. Катер проплыл из А в В и обратно без остановки. Больше или меньше времени понадобится ему для того, чтобы проплыть 20 км по озеру, в котором нет течения? Ответ: меньше.

• Задача 2. Если первая грузовая автомашина сделает 4 рейса, а вторая-3, то вместе они перевезут меньше 21 т груза. Если же первая автомашина сделает 7 рейсов, а вторая 4, то вместе они перевезут больше 33 т груза. Какая автомашина имеет большую грузоподъемность? Ответ: первая.

• Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную чашку кофе, выпил половину, затем доверху налил молоко; потом выпил 1/4 и снова налил доверху молоко; выпил 1/8 новой смеси и опять долил чашку доверху молоком; и т.д., кроме последнего раза, когда он выпил чашку до дна. Чего он выпил больше: кофе или молока?

• Ответ: кофе.

• Задача 3. Человек пил кофе следующим образом: сначала он налил полную чашку кофе, выпил половину, затем доверху налил молоко; потом выпил 1/4 и снова налил доверху молоко; выпил 1/8 новой смеси и опять долил чашку доверху молоком; и т.д., кроме последнего раза, когда он выпил чашку до дна. Чего он выпил больше: кофе или молока?

• Ответ: кофе.

Доказательства неравенств• Метод перехода к равносильному

неравенству• 1.Докажите неравенство: (Х-3)(Х-4)(Х-5)(Х-6)+1≥0• 2. Верно ли, что при всех действительных

значениях Х Х4+(Х+2)4≥2?• Докажите неравенство:

• Метод перехода к равносильному неравенству

• 1.Докажите неравенство: (Х-3)(Х-4)(Х-5)(Х-6)+1≥0• 2. Верно ли, что при всех действительных

значениях Х Х4+(Х+2)4≥2?• Докажите неравенство:

Метод вставки или метод усиления неравенств

• При доказательстве неравенств нередко используется метод вставки или метод усиления неравенств. Заключается он в следующем: для того, чтобы доказать неравенство а>b, достаточно доказать, что существует такое число (или выражение) с, что а>с и с>b.

• Как найти число с? Кроме того, иногда приходится вставлять между а и b не одно промежуточное число с, а два-три, а то и больше.

• При доказательстве неравенств нередко используется метод вставки или метод усиления неравенств. Заключается он в следующем: для того, чтобы доказать неравенство а>b, достаточно доказать, что существует такое число (или выражение) с, что а>с и с>b.

• Как найти число с? Кроме того, иногда приходится вставлять между а и b не одно промежуточное число с, а два-три, а то и больше.

• Докажите неравенство: а) , б) .• Докажите, что если =1, то S= . • Докажите, что если a>1,b>1,то S=

• Докажите неравенство: а) , б) .• Докажите, что если =1, то S= . • Докажите, что если a>1,b>1,то S=

Доказательства неравенств с помощью теоретических (опорных) неравенств

• Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами

• Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2: (а +1/a) ≥2 (4.1), причем равенство достигается только при а=1.

• Докажите неравенство:• Докажите, что если числа а и b

положительные, то выполняется неравенство

• Доказательства неравенств со взаимно – обратными числами

• Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2: (а +1/a) ≥2 (4.1), причем равенство достигается только при а=1.

• Докажите неравенство:• Докажите, что если числа а и b

положительные, то выполняется неравенство

• Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то

Когда это неравенство превращается в равенство?

• Докажите, что если а, b, с – длины сторон треугольника, то

Когда это неравенство превращается в равенство?

Неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши)

• Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического:

Причем равенство достигается только при а=b.• Докажите, что среднее арифметическое любых

четырех неотрицательных чисел а,b,c,d не меньше их среднего геометрического:

Причем равенство достигается только при a=b=c=d.

• Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не меньше их среднего геометрического:

Причем равенство достигается только при а=b.• Докажите, что среднее арифметическое любых

четырех неотрицательных чисел а,b,c,d не меньше их среднего геометрического:

Причем равенство достигается только при a=b=c=d.

• Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a,b,c не меньше их среднего геометрического: ,

причем равенство достигается при a=b=c.

Вывод: Cреднее арифметическое любых n неотрицательных чисел a1,a2…an не меньше их среднего геометрического:

Причем это неравенство превращается в равенство только при равенстве всех чисел между собой a1=a2=…=an.

• Неравенство было впервые доказано знаменитым французским математиком 19 века О. Коши и называется неравенство Коши.

• Докажите, что среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a,b,c не меньше их среднего геометрического: ,

причем равенство достигается при a=b=c.

Вывод: Cреднее арифметическое любых n неотрицательных чисел a1,a2…an не меньше их среднего геометрического:

Причем это неравенство превращается в равенство только при равенстве всех чисел между собой a1=a2=…=an.

• Неравенство было впервые доказано знаменитым французским математиком 19 века О. Коши и называется неравенство Коши.

Докажите неравенства

• а)

• б) (а+2)(b+2)(a+b) ≥16ab (a≥0, b≥0)

• в)

• а)

• б) (а+2)(b+2)(a+b) ≥16ab (a≥0, b≥0)

• в)

Неравенство Бернулли

• При любом натуральном n и любом а≥-1 выполняется неравенство (1+а)n ≥1+na , причем равенство возможно только при n=1 или а=0

• Это неравенство называется неравенством Бернулли

• Докажите неравенство: а) (1,01)100>2 б) 1036>937

• При любом натуральном n и любом а≥-1 выполняется неравенство (1+а)n ≥1+na , причем равенство возможно только при n=1 или а=0

• Это неравенство называется неравенством Бернулли

• Докажите неравенство: а) (1,01)100>2 б) 1036>937

• Докажите, что если у арифметической прогрессии (аn) с положительными числами и геометрической прогрессии (bn) равны два первых члена: a1=b1, a2=b2, то при любом n>2 справедливо неравенство bn ≥ аn .

• Докажите, что если у арифметической прогрессии (аn) с положительными числами и геометрической прогрессии (bn) равны два первых члена: a1=b1, a2=b2, то при любом n>2 справедливо неравенство bn ≥ аn .

Векторное неравенство Коши - Буняковского

• Векторным неравенством Коши- Буняковского, названным так по имени двух выдающихся математиков XXI века-французского О.Коши (1789-1855) и русского В.Я. Буняковского (1804-1889), называется неравенство , где - векторы, - их скалярное произведение, - длины этих векторов.

• Векторным неравенством Коши- Буняковского, названным так по имени двух выдающихся математиков XXI века-французского О.Коши (1789-1855) и русского В.Я. Буняковского (1804-1889), называется неравенство , где - векторы, - их скалярное произведение, - длины этих векторов.

Докажите неравенства

• 1.• 2.• 3.• 4. Докажите, что если a+b+c=3, то

• 1.• 2.• 3.• 4. Докажите, что если a+b+c=3, то

Доказательство неравенств с помощью производной

• Признак возрастания и убывания функции: если производная функции положительна (отрицательна) на некотором промежутке, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

• Признак экстремума: если производная функции в критической точке (то есть точке из области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует) меняет знак с плюса на минус, то эта точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума функции.

• Признак возрастания и убывания функции: если производная функции положительна (отрицательна) на некотором промежутке, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

• Признак экстремума: если производная функции в критической точке (то есть точке из области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует) меняет знак с плюса на минус, то эта точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума функции.

Доказательство неравенств

• Докажите, что если• Докажите неравенство:• Докажем неравенство Бернулли с

помощью производной , причем

равенство достигается при

• Докажите, что если• Докажите неравенство:• Докажем неравенство Бернулли с

помощью производной , причем

равенство достигается при

• Что больше: а) б) в) • Решим более общую задачу: выясним,

когда , а когда , если a>1, b>1 и числа a и b различны.

• Что больше: а) б) в) • Решим более общую задачу: выясним,

когда , а когда , если a>1, b>1 и числа a и b различны.

Докажите неравенства

• а)

• б)

• а)

• б)