Харилцан урвуу функц түүний чанарууд

Урвуу функцийг тодорхойлохын тулд харилцан нэг утгатай функц гэсэн ойлголттой танилцъя.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. D мужид тодорхойлогдсон y=f ( x ) функц x аргументийн аливаа

ялгаатай x1 , x2∈D утгуудад ( x1≠x2 ) харгалзах функцийн утгууд y1=f (x1 ) , y 2= f ( x2)нь

ялгаатай, өөрөөр хэлбэл y1=f (x1 )≠f ( x2 )= y2 бол уг функцийг харилцан нэг утгатай (Х.Н.У) функц гэнэ.

1-р жишээ. y=x2 функц [ 0;∞[ муж дээр харилцан нэг утгатай байна.

Үнэхээр x1 , x2∈[ 0 ;∞[ ба x1≠x2 бол x12≠x2

2 байна.

2-р жишээ. D=]−∞ ;∞[ муж дээр y=x2 функц харилцан нэг утгатай биш.

Үнэндээ x1=−1, x2=1, (x1≠x2 ) утгуудад харгалзах функцийн утга

тул y1= y2 . Иймд y=x2 функц D муж дээр Х.Н.У-тай биш.

3-р жишээ. y=sin x функц [−π2

;π2 ]

завсар дээр харилцан нэг утгатай байна. Үнэхээр

OX тэнхлэгтэй параллель аливаа y=a ,−1≤a≤1 шулуун, энэ графиктай ганц цэгээр огтлолцоно.

4-р жишээ. y=10x илтгэгч функц, харилцан нэг утгатай.

Үнэхээр x1≠x2 ба 10x1=10x2

байх x1 , x2 олдоно гэж үзвэл 10x1 (10x 2− x1−1)=0

болох ба 10x2−x1=1 буюу x2−x1=0⇔ x1=x2болж анхны нөхцөлд харшилна.

ТЕОРЕМ. y=f ( x ) функц ямар нэг муж дээр эрс өсөх (буурах) функц бол уг муж дээр энэ функц харилцан нэг утгатай.

y=f ( x ) функц D муж дээр эрс өсөх функц байг. Аргументийн x1 , x2∈D гэсэн

ялгаатай утгын хувьд x1>x2 юмуу эсвэл x1<x2 байна. x1<x2 гэж үзье. y=f ( x )

эрс өсөх тул f ( x1 )< f ( x2) болно. Тэгэхээр f ( x1 )≠f ( x2 ). Иймд y=f ( x )эрс

өсөх функц энэ муж дээр харилцан нэг утгатай байна.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. D муж дээр тодорхойлогдсон E утгын мужтай y=f ( x ) функц, E

мужид тодорхойлогдсон D мужид утгатай y=ϕ (x ) функцүүд нь x0∈D

y0= f ( x0 )∈E

байх аливаа ( x0 , y0 )-ийн хувьд ϕ ( y0 )=x 0 бол y=f ( x ) , y=ϕ (x )

функцүүдийг харилцан урвуу функц гэнэ. D=D ( f )=E( ϕ ); E=E( f )=D (ϕ ) Энэ

тодорхойлолтоос доорх дүгнэлт гарна.

Дүгнэлт. f ( x ) , ϕ( x ) функцүүд харилцан урвуу бол ∀ x∈E -ийн хувьд f (ϕ ( x ))=x ба

∀ x∈D -ийн хувьд ϕ ( f ( x ))=x байна.

Функц хэдийд урвуу функцтэй байх вэ?

Урвуу функцийн нь яаж олох вэ?гэсэн асуултанд хариулъя.

ТЕОРЕМ. y=f ( x ) функц урвуутай бол Х.Н.У байна. Мөн y=f ( x ) функц Х.Н.У бол урвуу

функцтэй байна.

Энэ теоремыг баталгаагүй хэрэглэе. y=f ( x ) функцийн урвууг олоход f ( x )= y

тэгшитгэлийг x -ийн хувьд бодож x -ийг y -ээр x=ϕ( y ) гэж илэрхийлээд. Дараа нь

функцийг тэмдэглэдэг заншлын дагуу x -ийг y -ээр , y -ийг x -ээр сольж урвуу функцийг

y=ϕ (x ) гэж тэмдэглэнэ.

5-р жишээ. y=3 x+4 функц ]−∞ ;∞[ завсарт өсөх тул Х.Н.У. Иймд урвуу функцтэй байна.

Урвуу функцийг олохын тулд y=3 x+4 тэгшитгэлээс x -ийг олбол: x=13

y−43 болно.

6-р жишээ. y=x2функцийг D=[ 0;∞[муж дээр авч үзье.

Энэ мужид функц эрс өсөх, Х.Н.У тул урвуу функцтэй x2= y тэгшитгэл x=+−√ y гэсэн

хоёр шийдтэй ба x=√ y шийд нөхцөлд тохирно. Иймд y=√x функц урвуу функц болно

Харилцан урвуу функцын чанарууд

Графикийн чанар. Харилцан урвуу y=f ( x ) , y=ϕ( x )функцүүдийн графикууд y=x

шулууны хувьд тэгш хэмтэй байрлана

Үнэхээр, дурын M 1( x1 , y1 ) цэг y=f ( x ) -ийн График дээр оршиж байвал y1=f 1 ( x )

болно. Урвуу функцийн тодорхойлолт ёсоор ϕ ( y1 )=x1 болно. M 1( x1 , y1 ) цэг

y=ϕ (x )-ийн График дээр оршино. Иймд M 1( x1 , y1 ), M 2( y1 , x1 ) цэгүүд y=x

шулууны хувьд тэгш хэмтэй. Тэгвэл График бас y=x шулууны хувьд тэгш хэмтэй

байна. Жишээ нь:

(3;9) цэг y=x2 -ийн график дээр орших тул (9;3) цэг y=√x -ийн график дээр оршино. (3;9)

ба (9;3) цэгүүд y=x -шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэгүүд тул y=x2 ба y=√x -функцийн

график y=x -шулууны хувьд тэгш хэмтэй.

Өсөх буурах чанар. y=f ( x ) ба y=ϕ (x ) харилцан урвуу бөгөөд y=f ( x )өсөх(буурах)

функц бол y=ϕ (x ) мөн өсөх(буурах) функц байна.

f ( x ) өсөх функц байг.

x1<x2⇒ y1=f ( x1)< f ( x2 )= y2⇒ϕ( y1 )=ϕ ( f ( x1 ))=x1<x2=ϕ ( f ( x2))=ϕ ( y2 )

өөрөөр хэлбэл y1< y2⇒ϕ ( y1 )<ϕ ( y2 ). Иймд ϕ ( x ) бас өсөх функц юм.

Тасралтгүй чанар. y=f ( x ) ба y=ϕ (x ) харилцан урвуу бөгөөд f ( x ) тасралтгүй бол

y=ϕ (x ) функц бас тасралтгүй байна.

Дасгал бодлого.

1. Дараах функцүүдийн урвуу функцийг ол. / 5,6-р жишээтэй адил /

a) y=-4x+1 б) y=3+x в) y=2x 2 г) y=10x д)y=lg(x+2)

е) y=√x−1 ё) y=√2−x2 ж) y=1−x1+x з)

y=3−2x5 x+3

2. Дараах функцүүдийн урвуу олж, тэдгээрийн графикийг байгуул.

а) y=2x+1 б) y=0.5x в) y=3-x г) y=2-0.5x д) y=3x+2

Сэдэв: Тригонометрийн урвуу функцүүд

Тодорхойлолт.Аливаа −1≤x≤1 тооны хувьд x=siny байх y∈[− π

2;

π2 ]

тоог (радиан өнцгийг) өгөгдсөн х тооны арксинус гэнэ. y=arcsinx гэж тэмдэглэнэ.

Арксинус функц дараах чанаруудтай

1. y=arcsinx функцийн тодорхойлогдох муж-[−1 ;1 ] , утгын муж-[−π2

;π2 ]

2. sin(arcsinx)=x ; −1≤x≤1 arcsin(sinx)=x ; −π2≤x≤π

2

3. y=arcsinx функц [−1 ;1 ] завсарт эрс өсөх, тасралтгүй функц байна.

4. y=arcsinx функц сондгой функц. Иймд arcsin(-x)=-arcsinx байна.

Тодорхойлолт.Аливаа −1≤x≤1 тооны хувьд x=cosy байх y∈ [0 ; π ] тоог (радиан өнцгийг) өгөгдсөн х тооны арккосинус гэнэ. y=arccosx гэж тэмдэглэнэ.

Арккосинус функц дараах чанаруудтай

1. y=arccosx функцийн тодорхойлогдох муж-[−1 ;1 ] , утгын муж-[0 ;π ]

2. cos(arccosx)=x ; −1≤x≤1 arccos(cosx)=x ; 0≤x≤π

3. y=arccosx функц [−1 ;1 ] завсарт эрс буурах, тасралтгүй функц байна.

4. y=arccosx функц тэгш функц. Иймд arccos(-x)=π -arccosx байна.

Тодорхойлолт.Аливаа −∞≤x≤∞ тооны хувьд x=tgy байх y∈]−π

2;

π2

[ тоог (радиан

өнцгийг) өгөгдсөн х тооны арктангенс гэнэ. y=arctgx гэж тэмдэглэнэ.

Арктангенс функц дараах чанаруудтай

1. y=arctgx функцийн тодорхойлогдох муж-]−∞ ;∞[ , утгын муж-]−π2

;π2

[

2. tg(arctgx)=x ; arctg(tgx)=x ;

3. y=arctgx функц эрс өсөх, тасралтгүй функц байна.

4. y=arctgx функц сондгой функц. Иймд arctg(-x)=-arctgx байна.

Тодорхойлолт.Аливаа −∞≤x≤∞ тооны хувьд x=ctgy байх y∈]0 ; π [ тоог (радиан өнцгийг) өгөгдсөн х тооны арккотангенс гэнэ. y=arcctgx гэж тэмдэглэнэ.

Арккотангенс функц дараах чанаруудтай

1. y=arcctgx функцийн тодорхойлогдох муж-]−∞ ;∞[ , утгын муж-]0 ; π [

2. ctg(arcctgx)=x ; arcctg(ctgx)=x ;

3. y=arcctgx функц эрс буурах, тасралтгүй функц байна.

4. y=arcctgx функц. arcctg(-x)=π -arcctgx байна.

α0

π6

π4

π3

π2

0∘ 30∘ 45∘ 60∘ 90∘

Sinα 012

√22

√32

1

Cosα 1√32

√22

12

0

tgα 01

√31 √3

ctgα √3 13

10

arcsin √22 утгыг олохдоо тригонометр функцийн холбогдлын хүснэгт ашиглана.

Жишээ нь: а) Хүснэгтэнд sin

π4=√22 байгаа тул

arcsin √22

=π4 байна.

tgπ3=√3

байгаа

тул arctg √3=π

3 байна. arcsin (−1)-ийг олохдоо arcsin(-x)=-arcsinx чанарыг

ашиглахаар

arcsin (−1)=−arcsin1=− π2 байна.

arccos(− 1

√2) -ийг олохдоо arccos(-x)=π -arccosx

чанарыг ашиглахаарarccos(−√2

2)=π−arccos √2

2=π− π

4=3π4 байна.

б) sin( arcsin0,1 )=0 .1 arcctg (ctg 2)=2 arccos(cos 60° )=60∘

в) arccos(−1) ба arccos 1 -ийг жишэхдээ y=arccosx функц [−1 ;1 ] завсарт эрс буурах функц

гэдгийг ашиглахаар -1<1 тул arccos(−1) > arccos 1 байна. arctg 0 ба arctg 2-ийг жишихдээ

y=arctgx функц эрс өсөх функц байна гэдгийг ашиглахаар 0<2 тул arctg 0< arctg 2 байна.

Дасгал бодлого

1. Дараах илэрхийллийн утгыг ол.

а) arcsin (−1

2) б) arcsin 0 в) arcsin (−1) г)arcsin 1,5д) arcsin (−2)

е) arccos

12 ё) arccos1 ж) arccos0 з) arctg (−1) и) arctg (−√3 )

к) arcctg (−√3 ) л) arcctg (−1) м) arctg1

2. Дараах илэрхийллүүдийг жиш.

а) arcsin (−0,5 ) ба arcsin 0 б) arccos(−1

2) ба arccos0 в) arccos 0,5 ба arccos1

г) arccos(1,5 ) ба arccos

12 д) arctg √3 ба arctg5 е) arctg (−2) ба arctg (−π )

ё) arcctg 3 ба arcctg 1

3. Дараах илэрхийллийн утгыг ол.

a). sin( arcsin 1

2) б).

sin( arcsin(−√32

)) в).

arcsin (sin π3

) г).

arcsin (sin(−π4

))

д). arcsin (sin 5π

2) е)

arccos(cos π4

) ё)

arccos(cos 5 π3

) ж) cos (arccos √3

2)

з) cos (arccos(−√2

2))

и) cos (arccos1,2) к) arctg ( tg(− π

4))

л) arcctg (ctg

π3

)

м) arctg ( tg0 ) н) arctg ( tg

π3

) о) tg (arctg2 )

Сэдэв: Тригонометр урвуу функцүүдийн хоорондын хамаарал

cos (arctgx ) илэрхийллийн утгыг олоход доорхи хүснэгтийг ашиглана.

№I II III IV

α=arcsin x α=arccos x α=arctgx α=arcctgx

1 sinαx

(−1≤x≤1 )

√1−x2

(0≤x≤1)

x

√1+x2

( x≥0 )

1

1+ x2

( x≥0 )

2 cos α√1−x2

(0≤x≤1)

x

(−1≤x≤1 )

1

√1+x2

( x≥0 )

x

1+ x2

( x≥0 )

3 tg α

x

√1−x2

(0≤x<1 )

√1−x2

x

(0<x≤1 )

x

(−∞<x<∞)

1x

( x>0 )

4 ctg α

√1−x2

x

(0<x≤1 )

x

√1−x2

(0≤x<1 )

1x

( x>0 )

x

(−∞<x<∞)

Тухайлбал arctgx -ийг arcsin x -ээр илэрхийлэхийн тулд sinα бичигдсэн 1-р мөр α=arctgx

бичигдсэн III баганын огтлолцол дээрх sin( arctgx )= x

√1+x2 томъёог адилтгалаар хувиргаж

arctgx=arcsin ( x

√1+x2 )( x≥0 ) томъёог гаргана.

1-р жишээ. а. tg (arcsin x ) -ийг −1<x≤0 үед

б. cos (arcctgx )-ийг x<0 үед x -ээр илэрхийлье.

а.

tg (arcsin x )=tg (−arcsin (−x ))=−tg (arcsin (−x ))=− x

√1−(−x )2=− x

√1−x2

б.

2-р жишээ. α=arcsin x+arccosx бол sinα -ийг олъё. −1≤x≤1 .

sinα=sin (arcsin x+arccos x )=sin (arcsin x )cos (arcsin x )+sin (arccos x )cos (arcsin x )=

буюу sin( arcsin x+arccos x )=1

3-р жишээ. β=arctgx+arcctgx бол ctg β -ийг олъё.

ctg β=ctg(arctgx+arcctgx )=ctg( arctgx )⋅ctg( arcctgx )−1

ctg(arctgx )+ctg(arcctgx )=

1x⋅x−1

1x+x

=0

буюу

ctg β=ctg(arctgx+arcctgx)=0

2, 3-р жишээнээс харвал arcsin x+arccos x ба arctgx+arcctgx илэрхийлэлүүд x -ээс

хамаарахгүй тогтмол утгатай ба −π2≤arcsin x+arccos x≤3π

2 ба

−π2<arctgx+arcctgx< 3π

2 гэдгийг анхаарвал дараах дүгнэлт гарна.

ТЕОРОМ. −1≤x≤1 байх x -ийн хувьд arcsin x+arccos x= π

2 ба аливаа бодит x -ийн хувьд

arctgx+arcctgx=π2

4-р жишээ. а. sin(2arctg3 ) б. arccos(sin 3 π

5 ) в.

arcsin17+arccos 1

2 тус тус ол.

а. sin(2arctg3 )=2sin (arctg3 )cos (arctg3 )=2⋅ 3

√1+32⋅ 1

√1+32=35

./sin-ийн давхар

өнцгийн томьёо хэрэглэв/

б. arccos(sin 3 π

5 )=arccos(cos ( π2−3 π5 ))arccos (cos (− π

10 ))=arccos(cos π10 )= π

10

/эмхэтгэлийн томьёо хэрэглэв/

в. α=arcsin 1

7+arccos 1

2 гэж тэмдэглэвэл sinα=sin (arcsin 17 +arccos 1

2 )=

=sin(arcsin 17 )cos(arcc cos

12 )+cos (arcsin 17 )sin(arccos 12 )=17⋅12 +

+√1− 1

49⋅√1−14= 1

14+ √48√314

=1314

Дасгал бодлого.

1. Илэрхийллийн утгыг ол.

а) arctg (ctg

4 π5

) б) sin ( arctg(−√3)) в)

arccos(sin π7

)г) tg(arcctg1 )

д) sin( arcctg√3) е) arctg ( tg

6 π7

) ж) cos (arctg0 ) з) sin( arcctg√3)

и) cos (arctg

34

)к) sin( arctg(−2))

2.Давхар өнцгийн томьёо ашиглан илэрхийллийн утгыг ол.

а) cos (2arcsin √2

2)

б) tg (2arctg3 ) в) sin(2arctg 2) г) ctg(2arccos 1

3)

д)

ctg(2arcctg (− 1

√3 )) е) sin(2arcsin 12 )=¿

3. 2 өнцгийн нийлбэр ба ялгаварын томьёо ашиглан илэрхийллийн утгыг ол.

а) cos (arccos 0 .3+arcsin0 .7) б)

в) tg(arctgx+arctg

1x)

г) sin( arcsin 3

5−arcsin 8

17)

4. Тоон илэрхийллийн утгыг олоорой.

а) arcsin

513

+arcsin 1213 б)

arccos12+arcsin 1

7 в) arctg

12+arctg

13

г) arcctg

17+arcctg

37 д)

2arctg15+arctg

14

Сэдэв: Тригонометрийн урвуу функцүүдийн уламжлал.

а) y=arcsin x функцийн уламжлал

f (u)=sin u , ϕ ( x )=arcsin x гэж тэмдэглэвэл f (ϕ ( x ))=sin(arcsin x )=x гэсэн адилтгал

биелнэ. f'(u )=cos uбайдгийг тооцож f (ϕ ( x ))=xадилтгалын хоёр талаас уламжлал

авбал [ f (ϕ ( x ))]'=x'буюу f

'( ϕ (x ))ϕ '( x )=1 . Эндээс ϕ' ( x )=(arcsin x )'

уламжлалыг олоё.

(arcsin x )'=ϕ ' (x )= 1

f ' (ϕ ( x ))= 1cos(arcsin x )

= 1

√1−sin2 (arcsin x )= 1

√1−x2 .

Дүгнэлт

1. y=f ( x ) ба y=ϕ (x ) функцууд харилцан урвуу буюу f (ϕ ( x ))=xбол

ϕ ' ( x )= 1

f '( ϕ( x ))

2.(arcsin x )'= 1

√1−x2

Энэ дүгнэлтийг ашиглан б) y=arccos x ; в) y=arctgx ; г) y=arcctgx функцуудийн уламжлалыг олоод эмхэтгэн бичвэл:

(arcsin x )'= 1

√1−x2 ;(arctgx { )'= 1

1+ x2¿

(arccos x )'=− 1

√1−x2(arcctgx { )'=− 1

1+x2¿

Жишээ: Дараах функцуудын уламжлалыг олоорой.

а) y=sin x+3arcsin x б) y=arccos2 x+x2

в) y=arctg(3 x−1 )−arcctg (1−2 x ) г) y=4 tgx+arcsin x

arccos x

д) y=(3 x2−2 x+1)arccos x

∇ а) y=sin x+3arcsin x ;y '=(sin x )'+(3arcsin x )'=cos x+ 3

√1−x2

б) y=arccos2 x+x2 . Уламжлал авах дүрэм ба давхар функцийн уламжлал ашиглан

y '=(arccos2 x )'+( x2 )= −1

√1−4 x2(2 x )'+2x= −2

√1−4 x2+2x

.

в)y=arctg(3 x−1 )−arcctg (1−2 x )

y '=(3 x−1)'

1+(3 x−1)2−

(1−2x )'

1+(1−2 x )2= 39 x2−6 x+2

− −24 x2−4 x+2

= 39 x2−6 x+2

+ −24 x2−4 x+2 г)

y=4 tgx+arcsin xarccosx

y '=4⋅1cos2 x

+(arcsin x )'arccos x−(arccos x )' arcsin x

(arccos x )2=

4

cos2 x+

1

√1−x2arccos x+ 1

√1−x2arcsin x

(arccos x )2=

= 4

cos2 x+arccos x+arcsin x

√1−x2(arccos x )2= 4

cos2 x+ π

2√1−x2 (arccos x )2

д) y=(3 x2−2 x+1)arccos x ; y '=(6 x−2)arccos x− 1

√1−x2(3 x2−2x+1) . Δ

Дасгал бодлого. Дараах функцуудын уламжлалыг олоорой

а) y=2arccosx б) y=5arctg3 в) y=arcsin(1-2x) г) y=8x+ arctg(x+2)

д) y=4 arcsin(1-x2) е) y=x arccosx ё) y=√ x arcctgx ж) y= arctgx3

з) y=arcsin2 x и) y=x2 arccos(x+3) к) y=cosx- arcctgx

л) y= arcos(4x2+5x-6)