!Решение задач на совместную работу_опыт_

Задачи на совместную работу

в курсе математики средней школы

Из опыта работы

учителя ОШ №54

г. Запорожья

Телятник К.В.

Запорожье, 2005

2 Реферат

Опыт работы: 44 страницы, таблицы, 8 источников, сборник из 43 задач с

решениями (или указаниями к решению) и ответами по теме «Задачи на совместную

работу в курсе математики средней школы».

Объект исследования: задачи на совместную работу, рассматриваемые в 5-11

классах общеобразовательной школы.

Метод исследования: практический.

Цель работы: изложение темы «Задачи на совместную работу в курсе

математики средней школы» с целью панорамной демонстрации методов решения

указанного класса задач.

Основные понятия: методы решения (арифметический, алгебраический),

переменные, уравнения (линейные, дробно-рациональные, квадратные), системы

уравнений, ограничения, таблицы (иллюстративная, стандартная, модифицированная),

шаблоны рассуждений, алгоритмы решения; производительность труда, объем работы,

время работы, суммарная производительность.

3 Содержание

Введение ............................................................................................................................................4

Текстовые задачи на совместную работу.........................................................................................5

Как можно обойтись без уравнений...............................................................................................5

Задачи «для начинающих»..........................................................................................................5

Знакомимся с понятием «производительность труда»..............................................................6

Нестандартные задачи для шестиклассников ...........................................................................8

Задачи на долевое участие персонажей .....................................................................................9

Конкурсные задачи ...................................................................................................................10

Стандартная схема решения текстовых задач .............................................................................12

Выбор неизвестных...................................................................................................................12

Составление уравнений (ограничений)....................................................................................13

Задачи на совместную работу, решаемые с помощью уравнений. .............................................14

Задачи, решаемые с помощью системы линейных уравнений................................................14

Задачи, приводящие к дробно-рациональному уравнению.....................................................15

Числовые последовательности и задачи на совместную работу.............................................17

Задачи, решаемые составлением системы нелинейных уравнений........................................17

Другие задачи............................................................................................................................18

Сборник задач .................................................................................................................................23

Решения задач ................................................................................................................................31

Заключение......................................................................................................................................39

Список использованных источников .............................................................................................40

4

Введение

Рассматриваемые в данной работе задачи на совместную работу из школьного

курса математики традиционно являются одними из самых нелюбимых школьниками

задач, наряду с задачами на движение. В рамках школьного курса математики эти

задачи не выделены отдельной темой, со спецификой их решения школьников знакомят

недостаточно полно. В то же время в любой группе текстовых задач ученик может

встретиться с задачей именно этого класса. Объясняется это тем, что содержание

условия задач такого типа напрямую связано с повседневной жизнью людей. Так еще в

первом печатном русском учебнике математики, в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого

(1703), предлагаются подобные задачи:

1.Украшательство. Некто хотел нанять маляра для расписания своих

покоев, но к нему представилось трое, из коих один обещал расписать все

покои в 6 месяцев, другой – в 4 месяца, а третий – в 3. Хозяин заблагорассудил

нанять их всех троих и желает знать, во сколько времени они распишут дом

его?

2. Питие. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет

ту же кадь в 10 дней. Интересно, за сколько дней жена его одна выпьет ту же

кадь?

Современным школьникам приходится решать задачи того же класса, но более

высокого уровня сложности. Эти задачи встречаются в заданиях Всеукраинской

олимпиады (в различных ее турах), в материалах для государственной итоговой

аттестации по алгебре (9 класс), в книгах по «занимательной математике», предлагаются

для факультативных занятий. Они требуют применения не только арифметических, но и

алгебраических методов.

Цели данной работы:

представить систематизированную панораму текстовых задач на совместную работу,

которая могла бы облегчить работу учителя, в том числе и с одаренными детьми,

изложить основные умения и навыки учащихся, необходимые им при решении задач

этого класса,

дать алгоритмы и шаблоны рассуждений, применяющихся при решении таких задач,

подобрать ряд задач, относящихся к рассматриваемой теме.

5 Текстовые задачи на совместную работу

Как можно обойтись без уравнений

Здесь речь пойдет о задачах, для решения которых нет необходимости применять

алгебраические методы. В этих задачах можно найти решение путем рассуждений.

Задачи «для начинающих»

Ученики 3-4 классов общеобразовательной школы еще не владеют умениями

работы с обыкновенными дробями (сложение и вычитание таких дробей, умножение их

на произвольное число, деление на такую дробь). Но первые задачи, в условиях которых

описана совместная деятельность персонажей, занятых общим делом, встречаются в

курсе школьной математики именно в это время. В данном случае полезно

руководствоваться рекомендацией древних египтян: «Считай от целого числа…».

Рассмотрим такую задачу*:

Малыш может съесть банку варенья за 6 минут, а Карлсон – за три минуты.

Какое время им понадобится, чтобы справиться с этой банкой варенья вдвоем?

Самой распространенной ошибкой школьников, впервые встретившихся с такой

«коварной» задачей, является попытка немедленно сложить время, необходимое

Малышу, со временем, необходимым Карлсону. Так поступают практически все. Потом,

осознав нелепость полученного ответа, находят среднее арифметическое, затем делят

пополам каждое из известных времен и тогда уже запутываются окончательно. К успеху

же приводит совсем другое рассуждение. Приблизительно такое…

Решение. Малыш может съесть банку варенья за 6 минут. Если в это время Карлсон

тоже не будет сидеть без дела, то он успеет за те же 6 минут съесть 6:3=2 банки варенья.

Значит, вдвоем за 6 минут они съедят 1+2=3 банки варенья. А раз за 6 минут могут быть

съедены 3 банки варенья, то с одной банкой они расправятся за 6:3=2 минуты.

Ответ: 2 минуты.

Сразу становится ясно, что складывать время в задачах на совместную работу

нелепо. Но еще непонятно, почему так происходит.

* Аналогичной является задача № 1 из раздела «Сборник задач» данной работы

6

Знакомимся с понятием «производительность труда»

В школьном курсе математики в 5-6 классах происходит солидный качественный скачок в

познаниях учащихся. Умения и навыки в сложении и вычитании обыкновенных дробей,

умножении их на произвольное число, делении на такую дробь позволяют усложнить условия

рассматриваемого класса задач. Также определенный набор элементарных навыков

шестиклассникам дают задачи, аналогичные задачам №№ 2-6 из раздела «Сборник задач»

данной курсовой работы, с которых и начинается для школьников «знакомство всерьез» с

задачами на совместную работу. Кроме того, аналогия между задачами на совместную работу и

задачами на движение становится доступной пониманию учащихся, хотя и с подачи учителя. В

соответствии с этой аналогией идентичны время движения и время работы, расстояние и объем

работы. Умения, навыки и опыт учащихся в решении задач на движение позволяют ввести

понятие производительности труда как скорости, с которой выполняется работа. Так как в

задачах на движение к этому времени уже становится ясно, что сложению (или вычитанию)

подлежит не время, а скорость движения объектов, то проведение аналогии между этими двумя

типами задач дает школьникам возможность понять, почему бессмысленно проводить сложение

времени работы в задачах на совместную работу.

Для решения таких задач уже можно составить общий план, включающий в себя

заполнение стандартной таблицы*.

І ІІ Вместе

Время работы

Производительность

Объем работы

При этом часть данных заносится в таблицу непосредственно из условия. Чаще

всего в задачах «на совместную работу», решаемых в 6-м классе, из условия известно

время работы персонажей и объем выполненной ими работы. Если в условии не указан

объем работы, то его считают равным единице. После того, как в таблицу внесены все

данные из условия, их приводят к однообразным единицам измерения** и приступают к

заполнению оставшихся клеток таблицы. При заполнении учитывают следующее

соотношение

* У этой таблицы стандартны только названия строк, - время работы, производительность труда, объем работы. Названия столбцов «стандартной таблицы» несколько вариативны и определяются «персонажами» задачи и их взаимоотношениями, - «первый рабочий», « второй рабочий», «вдвоем» или « первая машинистка», «вторая машинистка». «на … страниц больше» и т.д. ** Например, время задано в минутах, а производительность – в единицах продукции в час. Следует время также выразить в дробных долях часа и т.п.

7

работывремяработыобъемельностьпроизводит

__

.

Кроме того, в строке «производительность» для определения общей

производительности необходимо суммировать производительности отдельных

персонажей. (Как было ясно еще в 3-4 классах, суммировать время нельзя, а при

совместной работе для достижения результата суммируется именно производительность,

т.е. скорость работы).

Рассмотрим задачу*:

Первая бригада может выполнить определенную работу за 18 дней, а вторая – за

24 дня. За сколько дней обе бригады выполнят эту работу, работая вместе?

Решение. Заполняем стандартную таблицу, внося в нее данные из условия

І бригада ІІ бригада Вместе

Время работы 18 дней 24 дня


Объем работы 1 работа 1 работа 1 работа

Далее определяем производительность каждой бригады



Производительность 181 работы в

день

241 работы в

день


Определяем общую производительность 727

7234

241

181

работы в день и вносим ее

в таблицу




день

241 работы в

день

727 работы в

день


Время работы двух бригад над одной работой определяем как частное от деления объема

работы на общую производительность 7210

772

727:1 (дня). Его тоже можно занести в

таблицу:

* Литвиненко Г.М., Возняк Г.М.: Математика:Проб.підруч. для 6 кл. серед. шк.- К.: Освіта, 1995.-287с., №381

8


Время работы 18 дней 24 дня 7210 дня


день

241 работы в

день

727 работы в

день


Ответ: 7210 дня.

Собственно говоря, в данной задаче и задачах, аналогичных ей*, можно не

использовать таблицу, а просто выполнять действия в определенной последовательности

согласно приведенному алгоритму. Заполнение таблицы преследует несколько целей:

– соотнесение текста условия с формальными характеристиками процесса работы,

представленными в таблице, способствует развитию умения интерпретировать

условие в необходимом ракурсе;

– заполнение таблицы придает решению задачи большую наглядность, так как

становится одной из целей решения; кроме того, с помощью таблицы легче заметить

необходимость преобразования именованных чисел;

– умение заполнять таблицу, приобретенное при решении задач в 6-м классе,

пригодится при решении текстовых задач на совместную работу и в тех случаях,

когда в ячейках таблицы расположатся переменные величины, а сама таблица будет

не столько заполняться при решении, сколько служить инструментом для

составления уравнений.

Нестандартные задачи для шестиклассников

В 6-м классе в поле зрения учащихся попадают и нешаблонные задачи. Их

необычность состоит в необходимости предпринимать дополнительные шаги для

приведения условия или окончательного ответа к стандартной для этого уровня задач

форме. В учебнике эти задачи могут быть отмечены «звездочкой», а могут встретиться в

ряду самых обычных на первый взгляд задач.

Рассмотрим**:

* Задачи №№ 7- 12 из раздела «Сборник задач» данной работы, задачи из раздела «Введение» там же. ** Литвиненко Г.М., Возняк Г.М.: Математика:Проб.підруч. для 6 кл. серед. шк.- К.: Освіта, 1995.-287с., №489

9 Один рабочий может выполнить некоторую работу за 12,5 ч, а его товарищ

выполняет 0,03 этой работы за 1,5 ч. За какое время выполнят всю работу оба, работая

вместе?

Решение. Очевидно, что перед заполнением стандартной таблицы (или решением

по стандартной схеме) необходимо привести условие к обычному виду, то есть найти

время, за которое второй рабочий может выполнить эту работу. Умение решить такую

подзадачу с помощью свойства прямой пропорциональности (или другим способом)

также входит в программу для 6-го класса. Итак, второму работнику на выполнение всей

работы необходимо 1,5:0,03=50 (ч). Далее действуем шаблонно. В окончательном виде

стандартная таблица будет выглядеть так:

І рабочий ІІ рабочий Вместе

Время работы 12,5 ч 50 ч 10 ч

Производительность 0,08 работы в

час

0,02 работы в

час

0,1 работы в

час


Ответ: за 10 ч.*

Задачи на долевое участие персонажей

Интересная разновидность рассматриваемых задач связана не с расчетом стандартных

характеристик работы (объема работы, времени или производительности), а с определением

долевого участия персонажей в проделанной работе.

Рассмотрим:

Первая машинистка может перепечатать рукопись за 944 часа, вторая – за

315 часа. После того, как они какое-то время проработали вместе, оказалось

перепечатано 132 страницы рукописи. Сколько страниц напечатала каждая

машинистка?

Решение. Очевидно, что чем быстрее работает машинистка, тем больше она успевает

напечатать за отведенное время. В данном случае важно, во сколько раз быстрее печатает одна

* См. также №13 из раздела «Сборник задач» данной работы

10 из машинисток, чем другая. Для ответа на этот вопрос надо найти отношение их

производительностей* 5:63

151:

9441

. Это отношение показывает долю участия каждой из

машинисток в общем результате: если все сделанное разделить на 1156 частей, то первой

будут сделаны шесть таких частей, а второй – пять. Значит, из 132 страниц первой машинисткой

напечатаны 72116132 страницы, а второй – 60

115132 .

Ответ. 72 страницы, 60 страниц.

Конкурсные задачи

Без составления уравнений можно решать и некоторые достаточно сложные

задачи, взятые, например, из конкурсного экзамена.

В порту для загрузки танкеров имеется три трубопровода. По первому из них

закачивается в час 300 т нефти, по второму – 400т, по третьему – 500 т. Нужно

загрузить два танкера. Если загрузку производить первыми двумя трубопроводами,

подключив к одному из танкеров первый трубопровод, а к другому танкеру – второй

трубопровод, то загрузка обоих танкеров при наиболее быстром из двух возможных

способов подключения займет 12 ч. При этом какой-то из танкеров, может быть,

окажется заполненным раньше, и тогда подключенный к нему трубопровод

отключается и в дальнейшей загрузке не используется. Если бы вместимость меньшего

по объему танкера была вдвое больше, чем на самом деле, и загрузка производилась бы

вторым и третьим трубопроводом, то при быстрейшем способе подключения загрузка

заняла бы 14 ч. Определить, сколько тонн нефти вмещает каждый из танкеров.

Решение. Очевидно, что более производительный трубопровод следует подключать

к танкеру с большей вместимостью. Поскольку один из танкеров был заполнен ровно за

12 часов, то либо меньший вмещает 12300=3600 т нефти, либо больший - 12400=4800 т.

Первый случай невозможен, так как при удвоении вместимости первого танкера

получим танкер, вмещающий 7200т, для заполнения которого даже третьим

трубопроводом требуется более 14 часов.

* Или можно найти отношение времени работы, т.к. отношение прямых величин равно отношению обратных

11 Следовательно, больший танкер вмещает 4800 т и заполняется вторым (и тем более

третьим) трубопроводом быстрее, чем за 14 ч. Значит, меньший танкер вмещает

0,5(14500)=3500 т.

Ответ: 3500 тонн и 4800 тонн.

Интересно, что решение этой задачи короче, чем условие.

12

Стандартная схема решения текстовых задач

Стандартная схема решения текстовых задач основана на алгебраическом методе

решения (решение с помощью составления уравнения или системы уравнений) и состоит

из трех этапов:

1. Выбор неизвестных

2. Составление уравнений (возможно, неравенств)

3. Решение системы или, точнее, нахождение нужного неизвестного или

нужной комбинации неизвестных

Рассмотрим эту схему поэтапно.

Выбор неизвестных

Основные рекомендации здесь просты, хотя и несколько расплывчаты.

Неизвестные должны быть естественными. При этом не следует пытаться обойтись

небольшим числом неизвестных. Наоборот, чем больше количество неизвестных, тем

лучше, тем легче составляются уравнения (или неравенства).

Требование «естественности» неизвестных в простейших случаях означает, что

выбор неизвестных диктуется структурой задачи, ее типом. Задачи на совместную

работу, как указывалось ранее, аналогичны задачам на движение. В них за основу

берутся производительность (та же скорость, только скорость работы), объем работы,

реже – время.

Выбирая неизвестные, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в

условиях задачи; точнее, набор неизвестных представляет собой список параметров,

определяющих эту модель. Обычно стараются, чтобы эти параметры были независимы.

Это означает, что все соотношения должны следовать из условия задачи, а в принципе

каждый параметр может меняться в известном диапазоне, независимо от значений

остальных параметров.

Если будем считать, что первое прочтение условия задачи – ознакомительное, то

второе имеет своей целью выбор неизвестных; при этом мы не обращаем внимания на

числа и иные «мелочи». Иногда уже в процессе составления ограничений приходится

для облегчения этого процесса «добирать» неизвестные.

13

Составление уравнений (ограничений)

Выбрав неизвестные, мы в третий раз читаем задачу, расчленяя ее условие на

логические части, каждой из которых соответствует одно ограничение. Таким образом,

если неизвестных надо брать, сколько потребуется, то ограничений будет столько,

сколько получится. В простейших случаях мы приходим к системе уравнений, в которых

число уравнений совпадает с числом неизвестных. Но нередки задачи, в которых это не

так. Если число уравнений оказалось меньше числа неизвестных, и при этом были

использованы все условия задачи (иногда эти условия оказываются замаскированными),

нужно не мучить себя в поисках дополнительного уравнения, а внимательно прочесть,

что нужно найти.

Следует попытаться выразить то, что нужно найти, через введенные неизвестные

(если, конечно, требуемое в задаче не принято за соответствующее неизвестное). Если

все условия задачи использованы, то искомое неизвестное или искомая комбинация

неизвестных обязательно найдутся. Об этом позаботились авторы задачи (за

исключением тех редких случаев, когда ошиблись и они).

14

Задачи на совместную работу, решаемые с помощью уравнений.

Задачи, решаемые с помощью системы линейных уравнений

К началу 7-го класса школьники уже имеют некоторые навыки решения задач с

помощью уравнений. В частности, они знают основные принципы выбора неизвестных,

умеют отражать отношения между компонентами задачи с помощью выражений. Кроме

того, семиклассники умеют решать произвольные линейные уравнения, некоторые из

квадратных уравнений, а также системы двух линейных уравнений с двумя

неизвестными. Поэтому одна из разновидностей рассматриваемого класса задач

посильна именно для семиклассников. Рассмотрим подробнее*:

На поле растет трава. Если на это поле пустить 9 коров, то они

опустошат поле за 4 дня. Если на это поле пустить 8 коров, то они опустошат

его за 6 дней. Сколько коров может кормиться на этом поле, пока растет трава?

Решение. Если обозначить через x массу травы на поле, через y - массу травы,

ежедневно вырастающей на поле, и через z – количество травы, съедаемой в день

одной коровой, то, согласно условиям задачи, можно записать следующие уравнения:

4z9=x+y4 и 6z8=x+y6.

Вычитая из второго уравнения первое, получим 12z=2y, откуда y=6z.

Таким образом, пока растёт трава, на поле могут пастись 6 коров.

Ответ: 6 коров.

Эта система уравнений сложнее, чем изучаемые в 7-м классе, так как состоит из

двух уравнений с тремя неизвестными**. Но при применении к ней метода сложения

оказывается возможным ответить на содержащийся в задаче вопрос. К той же группе

задач можно отнести задачи № 14-21 из раздела «Сборник задач» данной работы.

* Міністерство освіти і науки, 45-а всеукраїнська олімпіада юних математиків, ІІІ етап, 7 клас ** Возможно, следовало бы выделить подгруппу задач, в которых число неизвестных превышает число уравнений системы, и определить в нее данную задачу.

15

Задачи, приводящие к дробно-рациональному уравнению

Таковыми являются все стандартные задачи рассматриваемого типа, предлагаемые

учащимся в 8-9 классах и на итоговой государственной аттестации по алгебре в 9-м

классе. Условия таких задач типизированы, для составления уравнения необходимо

заполнить стандартную таблицу. В таблице переменной x , как правило, соответствует

время, за которое медленнее работающий персонаж выполнил бы самостоятельно

причитающуюся обоим работу. Рассмотрим типичную для этой категории задачу*:

Две бригады, работая вместе, закончили асфальтирование дороги за 4 дня. Сколько

дней понадобилось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из

них могла бы закончить асфальтирование дороги на 6 дней раньше другой?

Решение. Заполняем стандартную таблицу. Объем работы полагаем равным

единице.


Время работы x дней )6( x дней 4 дня

Производительность x1 работы в

день

61x

работы в

день

41 работы в

день


Так как суммируется не время работы, а производительность, то уравнение будет

составлено по содержанию второй строки таблицы и примет вид: 41

611

xx

. Для его

решения необходимы следующие элементарные умения: привести дроби к общему

знаменателю, определить ОДЗ, решить квадратное уравнение, проверить соответствие

найденных корней уравнения ОДЗ. Кроме того, найденные корни необходимо проверить

на соответствие условию задачи. В приведенной задаче из корней уравнения 6;4 оба

соответствуют ОДЗ, но отрицательный корень не имеет смысла, так как переменная

x выражает время работы.

После того, как из составленного уравнения определено значение переменной,

необходимо закончить решение задачи, т.е. ответить на все вопросы, заданные в условии

задачи, подставив в соответствующие выражения найденные значения переменной.

Ответ: 6 дней, 12 дней.

* Бевз Г.П. Алгебра: Проб. учеб. для 7-9 кл. сред. шк.- К.: Освіта, 1996.- 303с., 8 кл., № 391

16 Так же просто решаются и задачи №№ 22-26 из раздела «Сборник задач» данной

работы.

Немного больше изобретательности требуют другие задачи, также приводящие к

дробно-рациональным уравнениям. Рассмотрим*:

Один тракторист работал на вспашке поля 9 ч, после чего к нему присоединился

другой тракторист. После 7 ч совместной работы они закончили вспашку поля. За

сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, если первому для этого нужно

на 3 ч больше, чем второму?

Решение. В данном случае искомое уравнение не возникает автоматически в одной

из строк заполненной стандартной таблицы, содержащей сведения о «работе вообще».

Таблица, тем не менее, будет весьма полезна при решении, только в несколько

модифицированной форме. Это связано с суммированием не производительности, как в

более простом случае, а частей работы, выполняемых отдельными персонажами.

При работе вообще При данном режиме работы

Первый

тракторист

Второй


Первый


Второй


Вместе

Времени на работу,

часов

3x x 16 7


, часть поля в час 31x

x1

31x

x1

Количество работы,

часть поля

1 1 3

116

x

x17 1

По содержанию дополнительных ячеек этой таблицы, суммируя части работы,

несложно составить уравнение: 1173

116

xx

.

Корни этого уравнения - 1;21 . Отрицательный корень в данном случае не имеет

смысла.

Ответ: 24 дня, 21 день.

«Сценарий» суммирования частей работы, выполненной каждым действующим

лицом задачи, характерен для №№ 27-31 из раздела «Сборник задач» данной работы.

* Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по алгебре. 9 класс.- Харьков, «Гимназия», 2002.- 144с., АР № 6, в.1, п.9

17

Числовые последовательности и задачи на совместную работу

Интересную группу рассматриваемого класса задач составляют подобные задачи*:

Бригада рабочих одинаковой квалификации должна была изготовить партию

деталей. Сначала к работе приступил один рабочий, через час к нему присоединился

второй, еще через час – третий и т.д., до тех пор, пока к работе не приступила вся

бригада. Если бы с самого начала работали все члены бригады, то работа была бы

выполнена на 2 ч быстрее. Сколько рабочих в бригаде?

Решение. Пусть в бригаде n рабочих. Тогда, с одной стороны, количество

человеко-часов, понадобившихся на выполнение данной работы можно определить с

помощью суммы n членов арифметической прогрессии:

2

)1(2

)1(1122

)1(2 1 nnnnnnda

С другой стороны, чтобы выполнить ту же

работу, n человек работали бы )2( n часа. Искомое уравнение имеет вид

)2(2

)1(

nnnn . Нулевое решение не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 5 человек.

№№32,33 из раздела «Сборник задач» данной работы дополняют эту группу задач.

Задачи, решаемые составлением системы нелинейных уравнений

Самой многочисленной и разнообразной в рассматриваемом классе является

группа задач на совместную работу, для решения которых необходимо составить

систему нелинейных уравнений.

Двое рабочих, работая вместе, окончили работу за два дня. За сколько дней

окончит эту же работу каждый из них, работая отдельно, зная, что, если бы первый

проработал два дня, а второй всего один день, то они вместе сделали бы 5/6 всей

работы?

Решение. Заполним стандартную таблицу

* Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.-М.: Просвещение,1989.-252с.; п.19 №151

18

Первый

рабочий

Второй

рабочий

Вместе

Времени на всю

работу, дней

x y 2


, часть работы в день x1

y1

21

Количество работы 1 1 1

Непосредственно из таблицы следует первое уравнение: 2111

yx

.

Второе уравнение системы получается, если записать на математическом языке

вторую часть второго предложения из условия задачи: 65112

yx.

Таким образом, получим систему уравнений

2111

yx

6512

yx

, решения которой есть x=3, y=6.

Ответ: 3 дня, 6 дней.*

Другие задачи

Конечно, целый ряд интереснейших задач вместе с категориями, к которым они

относятся, остался за пределами нашего внимания. Каждая из них по-своему уникальна,

и все они предназначены для дополнительной работы с одаренными детьми. Таковы

задачи №№ 37-43 из раздела «Сборник задач» данной работы. К сожалению, объем

данной работы позволяет только обратить на них внимание.

Задачи с параметрами

В рассматриваемом классе задач нередки и задачи с параметрами. Рассмотрим

решение одной из них**:

* См. также №№ 34- 36 из раздела «Сборник задач» данной работы ** Математика. В помощь поступающим в вузы. Бородин А.И., Евдокимов Д.К., Каменская М.В., Палант Ю.А., Пуляев А.В.-К.: Вища школа, 1974.-256с.; с.100

19 В бассейн проведено две трубы. Через первую трубу бассейн заполняется, а через

вторую – опорожняется. При совместном действии обеих труб бассейн наполняется за

a часов. За сколько часов первая труба наполнит бассейн, если известно, что первая

труба наполняет бассейн на h часов быстрее, чем вторая опорожняет?

Решение. Пусть через первую трубу бассейн наполняется за x часов, тогда можно

заполнить стандартную таблицу:

Первая труба Вторая труба Вместе

Времени на всю

работу, часов

x hx a


, часть бассейна в час x1

hx 1

hxx

11

Количество работы,

бассейнов

1 1 1

Уравнение получается из компонентов последнего столбца таблицы. Кроме того, на

переменную x накладываются определенные ограничения. Получим систему:

1)11(

hxx

a

ax 0 Упростим входящее в нее неравенство. Для этого запишем

уравнение системы в виде ahxx111

. По условию задачи 0,0,0 xha , поэтому

имеет место неравенство 1ax , или ax . Тогда предыдущую систему можно заменить

системой:

ahxx111

0x . Приведем уравнение системы к виду 02 ahhxx , откуда

242

1ahhhx

, 2

42

2ahhhx

. Очевидно, что 02 x .

Исследуем, при каких соотношениях между параметрами имеет место неравенство

aahhh

2

42

. Заменим это неравенство ему эквивалентным: haahh 242 .

Заметив, что обе части последнего неравенства положительны, возведем их в квадрат и

получим неравенство 222 444 hahaahh , которое выполняется при всех

действительных a и h . Проверкой можно убедиться, что 1x есть решение данной задачи.

20

Ответ: 242 hahh .

Задачи с альтернативным условием

Особенностью данной категории задач является формулировка условия таким

образом, что при составлении одного из уравнений возникает альтернатива, в

зависимости от возможных вариантов трактовки условия. Такое явление нередко

встречается и в других разделах математики: выражения, стоящие под знаком модуля,

решение логарифмических неравенств. Каждый из таких случаев требует рассмотрения

всех возможных вариантов, и решение находится лишь после того, как все эти

возможности будут исследованы. Рассмотрим*:

В бассейн проведены две трубы разной пропускной способности. Первая из труб

расположена на боковой стене, а вторая – на дне бассейна. Обе трубы могут работать

на слив и на наполнение. Пропускная способность каждой трубы не меняется при

переходе от наполнения к сливу и не зависит от уровня воды над ней. Первая труба

работает на слив лишь тогда, когда уровень воды выше уровня расположения ее входа.

Бассейн наполнили на 1/4 и включили первую трубу на слив, а вторую – на наполнение.

При этом оказалось, что бассейн наполнился за время, в 13/12 раза больше, чем то,

которое потребуется для наполнения первоначально пустого бассейна только второй

трубой. В другой раз при наполненном доверху бассейне включили обе трубы на слив, и

тогда оказалось, что вся вода вытекла из бассейна за время, составляющее 5/18 от

времени, необходимого для наполнения первоначально пустого бассейна одной первой

трубой. Во сколько раз пропускная способность второй трубы больше пропускной

способности первой?

Решение. Исходя из условия задачи нельзя сказать сразу, находится ли вход в

первую трубу выше 1/4 высоты бассейна или он ниже этого уровня. В то же время

первое условие задачи (первую трубу включили на слив, а вторую – на наполнение),

приводит в каждом из возможных случаев расположения входа первой трубы к разным

уравнениям. Для того чтобы найти решение, необходимо рассмотреть оба возможных

варианта.

* Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство. – М.: Наука,. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1990.-96с., с.53

21

І случай: 4hx . Здесь h - высота бассейна, x - уровень расположения входа первой

трубы. Обозначив пропускные способности труб буквами 1v и 2v соответственно, а

площадь дна бассейна приняв равной 1, получим систему уравнений:

221 12

134/3vh

vvh

или, превращая данную систему

1212 /1

1213

1/4/3

vvvv

1221 18

5vh

vx

vvxh

в систему с двумя переменными

185

//

/1/1

1212

vvhx

vvhx .

Решив систему, найдем неизвестные 288169

hx ,

413

1

2 vv . Данное решение не

удовлетворяет принятому ограничению 4hx и, соответственно, условию задачи.

ІІ случай: 4hx . В этом случае система уравнений задачи имеет другой вид:

2122 12

134/vh

vvxh

vhx

преобразуя эту

121212 /1

1213

1//1

/4/1/

vvvvhx

vvhx

1221 18

5vh

vx

vvxh

систему, получим

185

//

/1/1

1212

vvhx

vvhx .

Решив систему, найдем неизвестные 31

hx , 3

1

2 vv . Данное решение

удовлетворяет принятому ограничению 4hx и, соответственно, условию задачи.

Итак, решение этой задачи удалось найти, рассмотрев оба возможных случая.

Ответ. 31

2 vv

Задачи с экстремумами

Отличительная особенность таких задач состоит в том, что одно или несколько

условий в ее формулировке, позволяющие получить либо дополнительное уравнение,

либо выделить единственное решение из многих возможных, составляют задачу на

22 отыскание наибольшего или наименьшего значения некоторой функции. Рассмотрим это

на примере*:

Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей,

вторая – на m деталей меньше, чем первая (0<m<200), а третья – на 5m деталей

больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют 1/5

всей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиеся 4/5

работы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая,

чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее?

Решение. Из условия задачи понятно, что вторая бригада делает в день 200-m

деталей, а третья бригада – 200+5m деталей. Если обозначить через Q общее количество

деталей, которые нужно сделать, то время всей работы t слагается из двух частей:

mQt

400

5/1 - времени работы отдельно первой и второй бригад ,

m

Qt56005/4

2 - времени совместной работы бригад, так что

221 25060000110

6005/4

4005/)(

mmQ

mQ

mQttmt

.

Таким образом, время всей работы t является функцией только одной переменной

m. Необходимо выяснить, при каком значении переменной m функция t(m) достигает

минимума. Чтобы решить эту проблему, можно прибегнуть к дифференцированию

функции t(m), но в этом нет непременной необходимости. В самом деле, так как

числитель дроби t(m) не зависит от m, то значение этой функции будет минимальным

при максимальном значении знаменателя. Это достигается при m=125, причем это

значение находится в допустимом для данной задачи интервале: 0<m<200.

Ответ. 125 деталей.

* Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство. – М.: Наука,. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1990.-96с., с.61

23

Сборник задач

1. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова может съесть такую же копну за 3

суток, а овца – за 6 суток. За какое время съедят эту копну лошадь, корова и овца

вместе?

(Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие

для 10 кл. сред. шк.-М.: Просвещение,1989.-252с.; п.19 №15)

2. Один рабочий может закончить работу за 20 ч, второй – за 12 ч, а третий – за 15 ч.

Какую часть работы каждый рабочий может выполнить за один час? Выразите эти

числа в одинаковых частях и разместите их по величине, начиная с наименьшего.

(Литвиненко Г.М., Возняк Г.М.: Математика: Проб.уч.для 6 кл. сред. шк..-К.: Освіта,

1995.-287 с., № 277)

3. Через первую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через вторую за 4 ч. Какая труба

дает меньше воды – вторая за 3 ч или первая за 7 ч?


1995.-287 с., № 281)

4. Один кран заполняет ванну за 15 мин, другой за 10 мин. Какая часть ванны будет

заполнена за 1 мин, за 2 мин, за 5 мин, если открыть оба крана?

(Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э.: Математика: Учеб. для 6 кл. сред. шк. – 2-е изд.- М.:

Просвещение,1991.- 224с., № 247)

5. Один кран заполняет бак за 6 мин, другой – за 12 мин. Какая часть бака останется

незаполненной, если открыть оба крана на 1 мин?

(Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э.: Математика: Учеб. для 6 кл. сред. шк. – 2-е изд.- М.:

Просвещение,1991.- 224с., № 248)

6. Через большую трубу бассейн наполняется за 2 ч, а через меньшую из полного

бассейна вся вода вытекает за 3 ч. Какая часть бассейна наполнится за 1 ч, если

открыть обе трубы? За сколько часов наполнится пустой бассейн, если одновременно

открыть обе трубы?


1995.-287 с., № 975)

7. За десять дней пират Ерёма способен выпить бочку рома.

А у пирата у Емели ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром пираты, действуя вдвоём?

24 ( Савин А.П. Занимательные математические задачи.-М.:АСТ,1995.-176с., с.15)

8. Один рабочий сможет выполнить работу за 3 ч, а другой за 433 ч…За какое время

они смогут выполнить работу, если будут работать вместе с указанной

производительностью труда?


1995.-287 с., № 376)

9. Первая труба наполняет бассейн за 212 часа, а вторая – за 3,75 часа. За какое время

эти трубы наполнят бассейн, если будут открыты одновременно?


1995.-287 с., № 466)

10. Бассейн заполняется первой трубой за 4 часа, а через вторую трубу вода из него

выливается за 5 часов. За сколько часов бассейн будет заполнен, если одновременно

открыть обе трубы?


1995.-287 с., № 467)

11. Две машинистки перепечатали работу за 1,6 ч. Одна из них тратит на

перепечатывание такой работы 2,5 ч. За какое время может выполнить эту работу

вторая машинистка? Ответ дать с точностью до 0,1 ч.


1995.-287 с., № 488)

12. Два тракториста могут вспахать поле за 8 ч. За сколько времени первый

тракторист может вспахать поле, если второму для этого нужно 24 ч?


1995.-287 с., № 974)

13. Два насоса могут наполнить бассейн за четыре часа. Второй насос наполняет

бассейн за 12 часов. За какое время первый насос наполнит половину бассейна?


1995.-287 с., № 862)

14. Паганель, путешествуя по Африке, однажды остановился на ночлег на берегу

небольшого озера с чистейшей водой ( на дне озера били ключи). Однако утром

к озеру подошло стадо слонов. Паганель насчитал 183 головы. На следующее

утро они ушли, оставив вместо озера грязную лужу. Через год Паганель вновь

попал на это место. Озеро вновь было полно воды, но утром опять появилось

25 стадо слонов. На этот раз в стаде было 37 слонов и воды им хватило на 5 дней.

Покидая берега выпитого до дна озера, Паганель задумался: за сколько дней

сможет осушить озеро один слон?

( Савин А.П. Занимательные математические задачи.-М.:АСТ,1995.-176с., с.45)

15. Два мастера, работая вместе, могут закончить определенную работу за 12 дней.

Если же первый мастер будет работать 4 дня, а второй 6 дней, то они выполнят только

40 % всей работы. За сколько дней может выполнить всю работу каждый мастер,

работая отдельно?

(Бевз Г.П. Алгебра: Проб. учеб. для 7-9 кл. сред. шк.- К.: Освіта, 1996.- 303с., 7 кл., №

467)

16. 6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га, 8 коров за 4 дня съедают траву на

участке 0,3 га. Сколько дней смогут пастись 12 коров на участке площадью 0,6 га?

(Прирост травы на участке пропорционален его площади и времени.)


для 10 кл. сред. шк.-М.: Просвещение,1989.-252с.; п.19 №147 )

17. Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причем

первый каменщик проработал 6ч, второй – 4ч и третий – 7ч. Если бы первый

каменщик работал 4ч, второй – 2ч и третий – 5ч, то было бы выполнено лишь 2/3 всей

работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все

вместе в одно и то же время?



18. Вдвоем с женою Елисей съедает десять карасей,

А с сыном вместе восемь съест, жена же с сыном – только шесть.

Так сколько для семейки всей зажарить надо карасей?


184)

19. Два экскаватора разной конструкции должны проложить две траншеи одинакового

поперечного сечения длиной в 960м и 180м. Вся работа продолжалась 22 дня, в

течение которых первый экскаватор прокладывал первую траншею. Второй же

экскаватор начал работать на 6 дней позже первого, отрыл меньшую траншею, 3 дня

ремонтировался и затем помогал первому. Если бы не нужно было тратить время на

ремонт, то работа была бы кончена за 21 день. Сколько метров траншеи в день может

отрыть каждый экскаватор?

26 (Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие


20. Три бригады вспахали два поля общей площадью 120га. Первое поле было

вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было

вспахано за 6 дней первой и второй бригадами. Если бы все три бригады проработали

на втором поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла бы

вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивала вторая бригада?



21. Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая труба наполняет резервуар за

40 мин, вторая, третья и четвертая, работая одновременно, - за 10 мин; вторая, третья

и пятая – за 20 мин,и, наконец, четвертая и пятая – за 30 мин. За сколько времени

наполнят резервуар все пять труб при одновременной работе?



22. Бассейн наполняется водой через две трубы за 6 ч. Одна первая труба заполняет

его на 5ч скорее, чем одна вторая. За сколько времени каждая труба, действуя

отдельно, может заполнить этот бассейн?



23. Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может

наполнить его на 2 ч быстрее второй. За какое время каждая труба отдельно может

наполнить бак?


396)

24. Два маляра, работая вместе, могут покрасить фасад дома за 16 ч. За сколько часов

может выполнить эту работу каждый из них, если одному для этого надо на 24 ч

меньше, чем другому?

(Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по алгебре. 9 класс.-

Харьков, «Гимназия», 2002.- 144с., АР № 3, в.1, п.9)

25. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20

дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая

самостоятельно, если одному для этого надо на 9 дней больше, чем другому?

27 (Литвиненко Г.М., Возняк Г.М.: Математика: Проб.уч.для 6 кл. сред. шк..-К.: Освіта,

1995.-287 с., АР № 3, в.2, п.9)

26. Два экскаватора разных марок (А и В), работая одновременно, выкапывают

котлован вместимостью 20000 м3 за 10 суток. Если бы работал только экскаватор

марки В, то он выкопал бы этот котлован на 8и1/3 суток скорее, чем тот же котлован

выкопал бы один экскаватор марки А. Сколько кубических метров в сутки

выкапывает каждый из экскаваторов?



27. Два каменщика, из которых второй начинает работу на полтора дня позже

первого, могут выстроить стену за 7 дней. Если бы каждый каменщик работал

отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько

дней каждый из них отдельно выстроит стену?

( Математика. В помощь поступающим в вузы. Бородин А.И., Евдокимов Д.К.,

Каменская М.В., Палант Ю.А., Пуляев А.В.-К.: Вища школа, 1974.-256с.; с.102 №5)

28. Бассейн наполняется водой при помощи двух труб. Когда первая труба

проработала 7 ч, включили вторую трубу. Вместе они проработали 2 ч. За сколько

часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно, если первой нужно

на это на 4 ч больше, чем второй?



29. Одна бригада работала на ремонте дороги 9 ч, после чего к ней присоединилась

другая бригада. Через 6 ч совместной работы выяснилось, что отремонтирована

половина дороги. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада,

работая самостоятельно, если первой бригаде на это надо на 9 ч больше, чем второй?



30. Один насос может наполнить бассейн на 24 ч быстрее, чем другой. Через 8 ч

после того, как был включен второй насос, включили первый, и через 20 ч совместной

работы оказалось, что наполнено 32 бассейна. За сколько часов может наполнить

бассейн каждый насос, работая самостоятельно?



28 31. Один из рабочих может выполнить производственное здание на 3 ч быстрее, чем

другой. Если первый рабочий будет работать 4 ч, а потом его сменит второй, то

последнему нужно будет работать 3 ч, чтобы закончить задание. За сколько часов

может выполнить все задание первый рабочий?



32. Один рабочий может изготовить партию деталей за 12ч. Работу начал один

рабочий, через час к нему присоединился еще один, еще через час – третий и т.д., пока

работа не была выполнена. Сколько времени проработал первый рабочий, если

производительность труда всех рабочих одинакова?



33. Несколько насосов одинаковой производительности начали наполнять бассейн.

Насосы включались один за другим с равными интервалами. К моменту включения

последнего насоса оказалась заполненной 1/6 часть бассейна. Какая часть бассейна

была бы заполнена за половину времени, прошедшего с начала работы первого насоса

до заполнения всего бассейна?



34. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причем первая работала на один

час больше второй. Однако вторая машинистка печатает в час на две страницы больше

первой, и поэтому она напечатала на 5 страниц больше. Сколько страниц в час

печатает каждая машинистка?



35. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов разной

производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый

насос, а затем, выключив его, продолжать наполнение с помощью второго насоса, то

весь бассейн наполнится за 2ч30 мин. При одновременной работе обоих насосов

бассейн наполняется за 1ч12мин. Какую часть бассейна наполняет за 20мин работы

насос меньшей производительности?



29 36. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 дней. Если бы сначала

первый сделал половину работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была

бы выполнена за 25 дней. За какое время мог выполнить эту работу каждый в

отдельности?



37. К бассейну объемом в 300м3 подведены три трубы: через первую и вторую вода

поступает, а через третью выливается. Если все три трубы включены одновременно,

то объем воды в бассейне увеличивается ежеминутно на 20 м3. Бассейн начали

наполнять водой, включив первую и третью трубы. Более чем через 12 мин после

начала работы в бассейне оказалось 100 м3 воды. В этот момент первую и третью

трубы закрыли и включили вторую трубу, завершившую заполнение бассейна. Всего

на наполнение бассейна было затрачено 30 мин. За какое бы время наполнялся

бассейн, если бы его с начала и до конца наполняла только вторая труба?



38. Имеется два картофельных поля. Сначала первое поле было убрано бригадой А,

затем второе поле было убрано бригадами А и В. После того, как было убрано 1/3 всей

площади, оказалось, что время, необходимое на окончание уборки, в 21/13 раза

меньше времени, за которое могла бы убрать оба поля одна бригада А. Известно,

кроме того, что если бы второе поле убирала бы только бригада В, то ей для этого

потребовалось бы время, вдвое большее времени, за которое могла бы убрать оба поля

одна бригада А. Во сколько раз производительность бригады А больше

производительности бригады В?



39. Имеется два различных ковшовых экскаватора. Первый экскаватор за 3 приема

может вынуть столько же грунта, сколько второй за 5 приемов. Первый экскаватор

может 4 раза взять грунт за то же время, за которое второй экскаватор может это

сделать 7 раз. Два экскаватора вырыли фундамент дома за 7 дней, работая по 6 часов

ежедневно. За какое время может вырыть фундамент такого же дома один экскаватор

второго типа?



30 40. Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину

времени, необходимого двум другим, для того, чтобы вырыть всю канаву, затем

второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы

вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени,

необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была

вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого начала

работали все трое рабочих одновременно?



41. Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали

работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая

бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада

делал в час на одну деталь больше, а вторая бригада – на одну деталь меньше, чем

накануне. Работу бригады вновь начали в 8 часов и, сделав 72 детали, стали работать

раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей

больше уже к 13 часам. Сколько деталей в час делала каждая бригада?



42. Два самосвала должны были перевезти груз за 3 часа 20 минут, но второй опоздал

и прибыл на место погрузки, когда первый уже перевез 2/3 всего груза. После этого

оставшийся груз перевозил только второй самосвал. Перевозка груза заняла 8 часов.

За сколько часов каждый самосвал в отдельности может перевезти этот груз?



43. Двое рабочих должны выполнить какую-то работу в определенный срок. Первый

работал на a дней меньше срока и заработал b рублей, а второй – на a дней больше

срока и заработал c рублей. Если бы первый работал столько дней, сколько второй, а

второй столько дней, сколько первый, то они получили бы поровну. В какой срок

каждый рабочий выполнит эту работу?



31

Решения задач

1. За шесть суток лошадь съест три копны сена, корова – две копны, а овца – одну.

Следовательно, на шесть суток им необходимо шесть копен, а одной копны сена им

хватит на одни сутки.

Ответ: за 1 сутки.

2. Первый рабочий в час выполняет 201 часть работы, второй -

121 часть, третий -

151

часть. В одинаковых долях это будет, соответственно,604,

605,

603 части работы. Далее

несложно разместить их по возрастанию.

Ответ: 605,

604,

603 .

3. Через первую трубу за указанное время заполнится 107 бассейна, а через вторую -

43 .

43

107 (потому, что при приведении к общему знаменателю

2015

2014

).

Ответ: Первая.

4. За 1 мин :61

305

101

151

(часть), за 2 мин - 31

622

61

(часть), за 5 мин -

655

61

(части).

Ответ: 65,

31,

61 .

5. 43

411

121

611

(части).

Ответ: 43 .

6. 61

31

21

(часть); 661:1 (часов).

Ответ: 61 часть бассейна; за 6 часов.

7. Ерёма в день выпивает бочки, а Емеля - . Вместе они выпивают

бочки. Следовательно, бочку они выпьют за дня. Таким

образом, шести дней им хватит.

32 Ответ: 5 дней и 20 часов

8. Указание. Определить производительность каждого рабочего по известному

соотношению, суммировать производительность, найти время работы.

Ответ: 1 ч 40 мин.

9. Указание. Определить производительность каждой трубы по известному

соотношению, суммировать производительность, найти время заполнения бассейна.

Ответ: 1,5 ч.

10. Указание. Определить производительность каждой трубы по известному

соотношению; находя общую производительность, учесть, что через одну из труб вода

выливается; найти время работы.

Ответ: 20 ч.

11. Указание. Вначале следует определить общую производительность; затем –

производительность второй машинистки как разность между общей

производительностью и производительностью первой машинистки; далее найти

время, необходимое второй машинистке.

Ответ: 4,7 ч.

12. Указание. Вначале следует определить общую производительность; затем –

производительность первого тракториста как разность между общей

производительностью и производительностью второго тракториста; далее найти

время, необходимое первому трактористу.

Ответ: 12 ч.

13. Указание. Решать задачу в соответствии со стандартной схемой. При определении

окончательного ответа обратить внимание на формулировку вопроса задачи (объем

работы).

Ответ: 3ч.

14. Если обозначить через v объём воды в озере, через w - объём воды,

вытекающий в сутки из родников, и через z - количество воды, выпиваемой в

сутки одним слоном, то условия задачи запишутся в виде двух уравнений:

zwv 183

zvw 3755

Вычитая из второго уравнения первое, получим, что 4w=2z или z=2w.

Подставив это соотношение в первое уравнение, получим, что v=365w.

Пусть один слон выпивает озеро за x дней, тогда v+xw=xz. Подставляя z=2w,

получаем v=xw, или x=v/w=365w/w=365. Итак, слон осушит озеро за 365 дней.

33 Ответ: 365 дней.

15. Принимая за x производительность первого мастера, за y – производительность

второго, общий объем работы за единицу, составим уравнения

11212 yx

4,064 yx . Решив, получим 201

x , 301

y .

Соответственно, время, необходимое первому мастеру – 20 дней, второму – 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней.

16. Указание. x – количество травы, съедаемое одной коровой в день; y - начальное

количество травы на 1 га, z - прирост травы на 1 га в день. Отсюда

63x=0,2y+0,23z; 84x=0,3y+0,34z, откуда

yx401

, yz125

. Надо найти t из равенства tzytx 6,06,012 .

Ответ: 12 дней.

17. Указание. Пусть zyx ,, (стены в час) - производительность первого, второго и

третьего каменщиков соответственно. Тогда условию задачи отвечает система

уравнений:

1746 zyx

32524 zyx . Вычтя из первого уравнения второе, получим

31222 zyx

или 61

zyx . Соответственно, время, за которое каменщики закончили бы

кладку – 6 часов.

Ответ: за 6 часов.

18. Указание. Принимая за zyx ,, «производительности» членов семьи Елисея при

поедании карасей, получим уравнения 10 yx , 8 zx , 6 zy . Отсюда

12 zyx .

Ответ. 12 карасей

19. Указание. Пусть yx, метров траншеи в день – производительность работы

каждого из экскаваторов. Выполняя необходимые перерасчеты, можно получить

систему линейных уравнений 11401322 yx

11401521 yx .

Ответ: 40 м и 20 м.

34 20. Указание. Принимая за zyx ,, га в день производительности трех бригад, составим

систему линейных уравнений

1206)(3)( yxzyx

12084)( xzyx . Значение переменной y , соответствующее

производительности второй бригады, определяется однозначно.

Ответ: 5 га.

21. Указание. Принимая объем резервуара за единицу, а производительности насосов

за 51..xx соответственно, можно получить четыре уравнения: 41

1 x , 101

432 xxx ,

201

532 xxx , 301

54 xx . Используя метод сложения, можно однозначно

определить искомую сумму производительностей, а, соответственно, и время.

Ответ: 748 мин.

22. Указание. Принимая за x ч время заполнения бассейна через вторую трубу и

используя стандартную таблицу, получаем дробно-рациональное уравнение

61

511

xx

, характеризующее условие задачи. Корнями этого уравнения есть

числа 10 и –3. Отрицательное значение не соответствует условию.

Ответ: 10 часов и 15 часов.

23. Указание. Принимая за x ч время заполнения бассейна через первую трубу и

используя стандартную таблицу, получаем дробно-рациональное уравнение

3512

211

xx

, характеризующее условие задачи. Корнями этого уравнения есть

числа 5 и –2. Отрицательное значение не соответствует условию.

Ответ: 5 часов и 7 часов.

24. Указание. Принимая за x ч время работы первого мастера и используя

стандартную таблицу, получаем дробно-рациональное уравнение 161

2411

xx

,

характеризующее условие задачи. Корнями этого уравнения есть числа 24 и –16.

Отрицательное значение не соответствует условию.

Ответ: 24 часа и 48 часов.

25. Указание. Принимая за x дней время работы первого рабочего и используя

стандартную таблицу, получаем дробно-рациональное уравнение 201

911

xx

,

35 характеризующее условие задачи. Корнями этого уравнения есть числа 24 и –16.

Отрицательное значение не соответствует условию.

Ответ: 24 часа и 48 часов.

26. Указание. Объем работы, который необходимо выполнить, при составлении

уравнения целесообразно принять за единицу. Далее, принимая за x суток время

работы первого экскаватора и используя стандартную таблицу, получаем дробно-

рациональное уравнение 1011

318

1

xx. Корнями этого уравнения есть числа

3216 и –

5. Очевидно, что отрицательное значение не соответствует условию. Для ответа на

вопросы задачи необходимо определить производительность экскаваторов как частное

от деления реального объема работы на найденное время работы.

Ответ: 800 м3 и 1200 м3.

27. Указание. Принимая за x дней время, необходимое первому каменщику и

используя модифицированную таблицу, получаем дробно-рациональное уравнение

15,53

7

xx. Корни уравнения - 5,1;11 . Отрицательное значение не соответствует

условию.

Ответ: 11дней и 14 дней.

28. Указание. Принимая за x ч время, за которое бассейн наполняется через вторую

трубу, и, используя модифицированную таблицу, получаем дробно-рациональное

уравнение 124

9

xx. Корни уравнения - 1;8 . Отрицательное значение не

соответствует условию.

Ответ: 12 ч и 8 ч.

29. Указание. Принимая за x ч время, необходимое первой бригаде, и, используя

модифицированную таблицу, получаем дробно-рациональное уравнение 216

915

xx

.

Корни уравнения - 36;3 . Отрицательное значение не соответствует условию.


30. Указание. Принимая за x ч время, необходимое для наполнения бассейна вторым

насосом, и, используя модифицированную таблицу, получаем дробно-рациональное

уравнение 32

242820

xx

. Корни уравнения - 60;12 . Отрицательное значение не

соответствует условию.


36 31. Указание. Принимая за x ч время, необходимое первому рабочему, и, используя

модифицированную таблицу, получаем дробно-рациональное уравнение 13

34

xx.

Корни уравнения - 2;6 . Отрицательное значение не соответствует условию.


32. Указание. Можно заполнить вспомогательную таблицу

Время, ч и кол-во рабочих,

чел.

1 2 3 4

Производительность всех

рабочих, работы в час 121

122

123

124

Объем выполненной работы

по истечении указанного

времени, часть

121

123

126

1210

Очевидно, что пятеро рабочих закончат выполнять работу, так как на их долю

остается 122 части работы, а их общая производительность

125 работы в час. Дальше

легко найти и время, которое проработал первый рабочий.

Ответ: 4 часа 24 минут.

33. Указание. n – число насосов. За единицу времени приняли интервал между

включениями двух насосов; единица объема – количество воды, перекачиваемой в

единицу времени; v – объем бассейна. Имеем 62

)1( vnn

, )1(25

65

nnv . Время

работы всех насосов будет 2

)1(52

)1(25

nnn . Все время работы

)1(27

2)1(5)1(

nnn . За половину времени будет заполнено

125

46)1(

43

6)1()1(

47

6vvvnnvnnnv

.

Ответ: 5/12.

34. Указание. Если принять, что первая машинистка печатала x страниц в час, вторая

машинистка работала y часов и заполнить стандартную таблицу, то в соответствии с

условием задачи получим систему уравнений

5)1()2( yxxy

37 65)1()2( yxxy . Решив, получим 5,3;5 x . Отрицательный корень не

удовлетворяет условию задачи, следовательно, первая машинистка печатала 5 страниц

в час.

Ответ: 5 страниц и 7 страниц.

35. Указание. Полагая, что время, за которое бассейн можно наполнить, включив

только первый насос, равно x часов, только второй - y часов и, заполняя

стандартную таблицу, получим систему уравнений:

25

22

yx

726011

yx

,откуда 2x часа и 3y часа.

Если насос меньшей производительности наполняет бассейн за 3 часа, то есть за 180

мин, то за 20 мин он наполнит 1/9 часть бассейна.

Ответ: 1/9 бассейна.

36. Указание. Полагая, что время, за которое первый рабочий может сделать всю

работу, составляет x дней, а второй - y дней и, заполняя стандартную таблицу,

получим систему уравнений:

2522

yx

12111

yx

, решения которой - 30,20 .

Ответ: 20 дней и 30 дней.

37. Указание. Анализируя условие, можно составить следующий список ограничений:

20321 xxx , 100)( 31 txx , 200)30( 2 xt , 12t . Решая уравнения

совместно, получим 2

103 2 xt . Подстановка этого выражения в третье уравнение

даст возможность определить

340;102x . Посторонним является корень 102 x , т.к.

при этом 10t , что не соответствует условию неравенства. При 340

2 x 15t . Далее

находим время по известному объему работы и производительности.

Ответ: 22,5 мин.

38. Указание. Пусть S и P – площади полей. Надо разобрать два случая:

1) S(S+P)/3, т.е. SP/2 и 2)SP/2

Ответ: в 6 раз.

38 39. Указание. 5x – объем ковша первого экскаватора, 3x – второго, 4y – столько раз

берет грунт в час первый экскаватор, 7y – второй. Объем фундамента -

(5x4y+3x7y)76=4142xy. Время, необходимое для работы второму экскаватору,

будет 8221

4241

xy

xy часа.

Ответ: 82 часа.

40. Указание. Если бы все время копали все трое, то они выкопали бы 1+30,5=2,5

канавы.

Ответ: В 2,5 раза.

41. Ответ: 13 деталей, 11 деталей.

42. Ответ: 5час и 10 час, или 3113 час и

944 час.

43. Ответ: bcaba

)( дней и

cbbca

)( дней.

39

Заключение

В данной работе был представлен один из возможных вариантов систематизации

текстовых задач на совместную работу. Систематизация была проведена с учетом

основных умений и навыков учащихся, необходимых им при решении задач этого

класса, и нацелена, прежде всего, на облегчение работы учителя с одаренными детьми.

Был представлен ряд алгоритмов и шаблонов рассуждений, применяющихся при

решении таких задач. Все они были апробированы на уроках и во внеклассной работе с

учащимися 6-10 классов. Особенно эффективными они оказались при подготовке

одаренных детей к олимпиадам и конкурсам различного ранга (Всеукраинская

олимпиада, конкурсы «Кенгуру» и «Колосок»). Некоторые из этих методов и приемов

были безусловно полезными и для учащихся 9-х классов при подготовке к

государственной итоговой аттестации, так как оказались посильными и для школьников

со средним уровнем обучаемости.

Также в работе собран ряд задач, относящихся к рассматриваемой теме, приведены

их решения (или указания к решению) и ответы. Задачи упорядочены согласно

критериям, обозначенным содержанием данной работы.

Несомненно, все многообразие задач на совместную работу не исчерпывается

приведенными образцами. Кроме того, для задач данного класса, возможно, существуют

систематизации и по другим признакам, рассмотрение которых не отвечало целям и

объему данной работы.

40

Список использованных источников

1. Литвиненко Г.М., Возняк Г.М.: Математика: Проб.уч.для 6 кл. сред.

шк..-К.: Освіта, 1995.-287 с.

2. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э.: Математика: Учеб. для 6 кл. сред. шк. – 2-е

изд.- М.: Просвещение,1991.- 224с.

3. Бевз Г.П. Алгебра: Проб. учеб. для 7-9 кл. сред. шк.- К.: Освіта, 1996.-

303с.

4. Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по

алгебре. 9 класс.- Харьков, «Гимназия», 2002.- 144с.

5. Савин А.П. Занимательные математические задачи.-М.:АСТ,1995.-

176с.

6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач:

Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.-М.: Просвещение,1989.-252с.

7. Бородин А.И., Евдокимов Д.К., Каменская М.В., Палант Ю.А.,

Пуляев А.В. Математика. В помощь поступающим в вузы. -К.: Вища школа,

1974.-256с.

8. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений:

Учеб. руководство. – М.: Наука,. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1990.-96с.

Documents

!Решение задач на совместную работу_опыт_