Скачано с http://antigtu.ru

Задача Кузнецов Пределы 1-15

Условие задачи

Доказать, что (указать ).

Решение

По определению предела:

:

Проведем преобразования:

(*)

Очевидно, что предел существует и равен .

Из (*) легко посчитать :

Задача Кузнецов Пределы 2-15

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

Задача Кузнецов Пределы 3-15

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

Задача Кузнецов Пределы 4-15

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

Задача Кузнецов Пределы 5-15

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

Задача Кузнецов Пределы 6-15

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

={Используем второй замечательный предел}=

Задача Кузнецов Пределы 7-15

Условие задачи

Доказать, что (найти ):

Решение

Согласно определению предела функции по Коши:

если дана функция и — предельная точка множества Число

называется пределом функции при стремящемся к , если

Следовательно, необходимо доказать, что при произвольном найдется такое , для

которого будет выполняться неравенство:

, если выполнено

При :

или

Таким образом, при произвольном неравенство

будет выполняться, если будет выполняться неравенство

, где .

Следовательно, при предел функции существует и равен , а .

Задача Кузнецов Пределы 8-15

Условие задачи

Доказать, что функция непрерывна в точке (найти ):

Решение

По определению функция непрерывна в точке , если .

Покажем, что при любом найдется такое , что при

.

Следовательно:

Т.е. неравенство выполняется при . Значит,

функция непрерывна в точке и .

Задача Кузнецов Пределы 9-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Задача Кузнецов Пределы 10-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Задача Кузнецов Пределы 11-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 12-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Замена:

Получаем:

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 13-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Замена:

Получаем:

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 14-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

, при

, при

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 15-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 16-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

, при

Получаем:

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

Получаем:

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 17-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Задача Кузнецов Пределы 18-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Замена:

Получаем:

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 19-15

Условие задачи

Вычислить предел функции:

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

, при

Получаем:

Задача Кузнецов Пределы 20-15

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

Решение

Так как - ограничена, то

, при

Тогда: