МНОГОГРАННИК ТА ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ Фігури, які вивчає стереометрія, називають тілами.

Тіло – це частина простору, яку займає фізичне тіло, і яка обмежена його поверхнею.

Геометричні тіла, які ми будемо вивчати, подано у вигляді схеми.

Многогранником називають тіло (частину простору), обмежене скінченною кількістю плоских

многокутників.

Гранями многогранника – називають многокутники, які

обмежують многогранник.

Грані: ABCD, MNKL, AMLD, AMNB, BNKC, CKLD.

Ребрами многогранника – називають сторони многокутників.

Ребра: AB, BC, CD, DA, MN, NK, KL, LM, AM, DN, CK, DL.

Вершинами многогранника – називають вершини многокутників.

Вершини: A, B, C, D, M, N, K, L.

Многогранник називають опуклим, якщо він лежить по один бік

від площини будь-якої його грані.

ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАННИКИ Правильним називають опуклий многогранник, гранями якого є правильні многокутники з однією

і тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те саме число

ребер.

Існує п′ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр,

додекаедр, ікосаедр.

Тетраедр – це трикутна піраміда, всі ребра якої рівні. У правильного тетраедра

грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по три ребра. У

правильного тетраедра 4 грані, 6 ребер, 4 вершини.

Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні. У куба всі грані –

квадрати; у кожній вершині сходиться по три ребра. У куба 6 граней, 12 ребер, 8

вершин.

У октаедра всі грані – правильні трикутники; у кожній його вершині сходиться по

чотири ребра. У октаедра 8 граней, 12 ребер, 6 вершин.

У додекаедра всі грані – правильні п′ятикутники; у кожній вершині сходиться по

три ребра. У додекаедра 12 граней, 30 ребер, 20 вершин.

У ікосаедра всі грані – правильні трикутники; у кожній вершині сходиться по

п′ять ребер. У ікосаедра 20 граней, 30 ребер, 12 вершин.

ПРИЗМА. ВИДИ ПРИЗМ Призма – це многогранник, який складається з двох плоских многокутників, які лежать в різних

площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні

точки цих многокутників.

Основні елементи призми та їх властивості

Многогранник ABCDEA1B1C1D1E1 – п'ятикутна призма.

1) Многокутники ABCDE і A1B1C1D1E1 називаються основами

призми.

Призма має дві основи. Основи призми паралельні і рівні.

2) Відрізки AA1, BB1, CC1, DD1,EE1 називаються бічними ребрами

призми.

Бічні ребра призми паралельні і рівні.

3) Вершини многокутників ABCDE і A1B1C1D1E1 є вершинами

призми.

4) Бічні грані призми – паралелограми.

AEE1A1, BAA1B1, BCC1B1, CDD1C1, DD1E1E – бічні грані призми.

5) Висота призми – це відстань між площинами її основ.

6) Діагональ призми – це відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не лежать в одній

грані.

Діагоналі призми – AC1, A1C, BD1, B1D, EB1, E1B, EC1, E1C, AD1, A1D

Перерізом називається плоска фігура, утворена при перетині геометричного тіла січною

площиною.

Діагональним перерізом призми є паралелограм.

ACC1A1 – діагональний переріз призми.

Побудова перерізу призми методом слідів.

Пряма m називається слід. Це пряма перетину січної площини і площини основи призми.

Початкова умова: січна площина проходить через точку М

призми і пряму т.

Щоб побудувати переріз призми, потрібно визначити всі

точки перетину січної площини з ребрами призми.

MRFKS – переріз призми.

Побудова перерізу призми методом внутрішнього проектування.

Початкова умова: січна площина проходить через точки M, N, P призми.

ABCD – переріз призми.

Пряма призма – це призма, в якої бічні ребра перпендикулярні до основ.

Похила призма – це призма, в якої бічні ребра не перпендикулярні до основ.

Правильна призма – це пряма призма, основами якої є правильні многокутники.

Повна поверхня призми складається з двох основ та бічної поверхні.

Бічна поверхня складається з усіх бічних граней призми.

Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней.

Sбіч = S1+S2+…+Sn

Повною поверхнею призми називається сума бічної поверхні і площі основ.

Sпов = Sбіч+2⋅ Sосн

Теорема. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми,

тобто на довжину бічного ребра.

Sбіч = p⋅ l,

p – периметр основи; l – довжина бічного ребра.

Паралелепіпед – це призма, основами якої є паралелограм.

Види паралелепіпеда: прямий, похилий, прямокутний.

Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є

прямокутник.

Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.

Теорема. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

Теорема. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться

пополам.

Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелепіпеда.

Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються

його лінійними вимірами.

Теорема. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів

трьох його вимірів.

ПІРАМІДА. ВИДИ ПІРАМІД Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника і точки, яка

йому не належить, та всіх відрізків, які сполучають дану точку з вершинами многокутника.

Основні елементи піраміди

SABCD – чотирикутна піраміда.

S – вершина піраміди

ABCD – основа піраміди

SA, SB, SC, SD – бічні ребра піраміди

SAB, SBC, SCD, SDA – бічні грані піраміди

SO – висота піраміди, SO ⊥ (ABCD)

Бічні грані піраміди є трикутниками.

Трикутну піраміду називають тетраедром.

Бічна поверхня піраміди дорівнює сумі площ бічних граней цієї піраміди.

Sбіч = S1+S2+…+Sn Повна поверхня піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площі основи.

Sпов = Sбіч+ Sосн

Переріз піраміди січною площиною, яка проходить через її вершину, є трикутником.

Діагональним перерізом піраміди називається переріз, утворений січною площиною, яка

проходить через два не сусідні бічні ребра піраміди.

Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а

основа висоти піраміди збігається з центром цього многокутника.

Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини.

Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

2

lpSбіч

⋅

=

Зрізаною пірамідою називається частина піраміди, що обмежена основою піраміди і січною

площиною, яка паралельна основі.

ABCA1B1C1 – зрізана піраміда.

ABC і A1B1C1 – основи зрізаної піраміди.

Основи зрізаної піраміди паралельні і подібні.

Бічні грані зрізаної піраміди – трапеції.

Висота зрізаної піраміди – це довжина перпендикуляра, проведеного з точки

однієї основи до площини другої основи.

Діагональним перерізом зрізаної піраміди є трапеція.

Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ на

апофему.

lbnanSбіч

⋅+= )(2

1

a, b – сторони основ правильної зрізаної піраміди;

an, bn – периметри основ правильної зрізаної піраміди;

l – апофема правильної зрізаної піраміди.

Повна поверхня зрізаної піраміди дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.

Sпов = Sбіч+ Sосн1+ Sосн2

ОБ'ЄМ ПРИЗМИ Тіла простору мають об'єм. Ми вивчаємо прості тіла.

Простим називається тіло, яке складається зі скінченної кількості трикутних пірамід.

Призми і піраміди є простими тілами.

Для простих тіл об'єм – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:

1) рівні тіла мають рівні об'єми;

2) якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то об'єм тіла дорівнює сумі об'ємів

його частин;

3) об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда з лінійними вимірами a, b, c обчислюється за формулою:

V = a⋅ b⋅ c

Дану формулу можна вивести використовуючи таку властивість: об'єми двох прямокутних

паралелепіпедів з рівними основами відносяться, як їх висоти.

11H

H

V

V=

Об'єм куба обчислюється за формулою: Vкуб = a3

Ребро куба можна обчислити за формулою: 3кубVa =

Об'єм будь-якого паралелепіпеда обчислюється за формулою: V = Sосн⋅H

Об'єм призми обчислюється за формулою: V = Sосн⋅H

ОБ'ЄМ ПІРАМІДИ Два тіла називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні об'єми.

Дві трикутні піраміди з рівними площами основ і рівними висотами – рівновеликі.

Об'єм піраміди обчислюється за формулою:

HSVосн

⋅=

3

1

Об'єм зрізаної піраміди обчислюється за формулою:

( )2121

3SSSS

HV ++=

ПЛОЩІ ПОВЕРХОНЬ МНОГОГРАННИКІВ Оскільки поверхня будь-якого многогранника складається із скінченної кількості плоских

многокутників, то площу поверхні такого многогранника можна визначити через суму площ всіх

його граней.

Площа поверхні правильного многогранника Sпов = n·Sграні, де n – кількість граней, Sграні – площа грані правильного многогранника.

Площа поверхні призми Sпов = Sбіч + 2·Sосн

Sбіч = S1 + S2 +…+Sn, де S1, S2, … - площі бічних граней призми.

Бічну поверхню прямої призми обчислюють за такою формулою:

Sбіч = p·l, де p – периметр основи призми, l – довжина бічного ребра призми (висота).

Для паралелепіпеда:

Sпов = Sбіч + 2·Sосн

або

Sпов = 2(S1 + S2 + S3), де S1, S2, S3 – площі непротилежних (сусідніх) граней паралелепіпеда.

Для куба:

Sпов = 6·Sграні

Площа поверхні піраміди Sпов = Sбіч + Sосн

Sбіч = S1 + S2 +…+Sn, де S1, S2, … - площі бічних граней піраміди.

Бічну поверхню правильної піраміди обчислюють за такою формулою:

Sбіч = 2

1p·l, де p – периметр основи правильної піраміди, l – апофема.

Для зрізаної піраміди: Sпов = Sбіч + Sосн1 + Sосн2

Бічну поверхню правильної зрізаної піраміди обчислюють за такою формулою:

Sбіч = 2

1(p1 + p2)·l, де p1, р2 – периметри основ правильної зрізаної піраміди, l – апофема.

Враховуючи те, що грані многогранника можуть бути трикутниками, чотирикутниками,

многокутниками, потрібно знати формули площ відповідних многокутників.

Формули площ трикутників

- для прямокутного трикутника: baS ⋅=

2

1

- для довільного трикутника: ahaS ⋅=

2

1 αsin

2

1⋅⋅= baS

2

,))()((cba

pcpbpappS++

=−−−= (формула Герона)

Формули площ чотирикутників

- для прямокутника: S = a ⋅ b

- для трапеції: hba

S ⋅+

=

2

- для паралелограма: S = a ⋅ ha S = a⋅ b sin α

- для ромба: 21

2

1ddS ⋅= S = a

2⋅ sin α

- для квадрата: S = a2

2

2

1dS =

- для правильного многокутника:

2

rnaS

n

= n

nRS

o

360sin

2

1 2= , де п – кількість сторін многокутника.