ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ

Embed Size (px)

Text of ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ

  • -

    911

    ,

    2010

    330.1 65.012 54

    911 . . / . . . . 2- ., . . . -. , 2010. 108 .

    911 -

    , , . - -.

    . . , . .

    ..-.., . .

    , 2010 , 2010 . . 2010

  • ..

    3

    -

    - . - ; ; - - , .

    - :

    - ;

    - ;

    1011 .

    , - .

    , , -. - - , -.

    , - - . , - - - , -, , , , .

    4

    , - .

    28 - .

    , - , . - , - , , . , - 3040 . .

    , .

    , - .

    - , . , , -, .

    , , - . .

    - - .

    . , , , - . , .

  • ..

    5

    - , , . , , . - . - , , , -. , .

    .

    , .

    !

    6

    1.

    1. : [ ][ ]

    1000,

    1996.

    x y

    x y

    = =

    2. , ,a b c , 2 2 2 1a b c+ + = . -: ( ) 2 2.b a c+

    3. 1995. - 1?

    4. - 4 . - , . , .

    5. ABCD ( || )AB CD , , - ABD , . , , BCD ,

    .AD 6. . -

    , . - , . , ?

    7. , , 8 , - 3 5 .

    8. , 0,123...91011...a = ( - ) .

    9. , . , 27.

    10. 1. , .

    1 .

  • ..

    7

    2.

    1. , AB BC AC . , , , - , .

    2. ABCD AB CD ,K L ,M N . ,

    13KLMN ABCD

    S S= . 3. , -

    , ,a b c : 0 1 2 3a b c ?

    4. . , .

    5. ABCD 60CAD = . , F , K , CD . , - FKM .

    6. . , - - .

    7. S , , - , , , M N . SO K. , , , ,M N K O .

    8. R - , . , , . .

    2 2 2MA MB MC+ + . 9. 1, 2, 3

    . , .

    8

    3. .

    1. 2, 3, , 9 (

    ). ?

    2. , 3 1a + .

    3. ( )1, 1 ,n na a + ,n N a N .

    4. ,

    : 1,1

    a ab b

    ++ + , a b N . 5. ,p q , 3( ) .p q p q+ = 6. n , -

    , 1, 2, 3n n n n+ + + . , 60398 . - , , ?

    7. , ( 1 ) - 2009 ?

    8. , 2009. - ,a b c+ , ,a b c - . , 2009?

    9. , , ,a b c .c b , ( )2A ax bx c= + + ( ) 2 ( ) ( )B c b x c a x a b= + + + - , . , ( )2 3.a b c+ + #

    10. 1 ,p

    5p > , 2000- .

    .ab

    , .b p#

  • ..

    9

    11. 1 999999 : , , , . - ?

    12. 2ax bx c+ + 2( 1) ( 1) ( 1)a x b x c+ + + + + ,

    ?

    4. , ,

    1.

    . . , .

    2. BD CE . ED BF CG . , EF DG= .

    3. ,ABCD AB BC , - :AC BD k= . AD - , BD , .

    :AM BM . 4. -

    . , -, -, .

    5.

    -

    . , . - -. , , - . , .

    10

    , , -. , , , .

    1. 3 3 , 6 ( ) - .

    2. 36 1 . -, 11 .

    3. 2009 2009 4 4, 3 3, 2 2, 1 1 . , 4 4, 2 2, 1 1 2009?

    4. 1 64 , ( ). 8 , . , ?

    5. 10 10 , - 10. . , - 17 .

    6. Intel -5 : 1, - , (, 1004 1500 5100). 12345, 400 100 000. - , 0?

    7. , , - . 20 . , 1 % ( ). , - . - : , . , -

  • ..

    11

    . , . - . , . - ?

    8. , 3 3 3 2x y z+ + = .

    9. 1, 2, , 25, 26 - 13- , - , , ?

    6.

    1. .

    M N . K , . , KN MC CN= + .

    2. , 3 , .

    3. . 'B , 'AB AB= , 'B . , 'C B w , -, , Q . , , w Q , - .

    4. R - , ABCD . , -, , AMD , R .

    7. 1

    ,

    .

    12

    , . , , , , .

    1. 11 : 6 5 . 10 : , , , . ?

    2. , . 10 . - - , - - , . ? 7?

    3. 1, 2, 3, , 2009. - . , ?

    4. 6 , . - . - ?

    5. 1, 2, 3, , 19, 20. - b , 1a b+ . 19 ?

    6. 1, 2, 3, , 20. b , ( )ab a b+ + . 19 ?

    7. , 6 4 . - , ?

    8. 8 8 , . , , -. - .

    8.

    2 1. 8 7 3 3 .

  • ..

    13

    . 2. 1 . ,

    1 . 10 ., 1 . 10 . , ?

    3. , , , - . , , , ?

    4. 13 , 15 17 . - , . , ?

    5. 12- (+1) (1) , , , +1. - k . - , (1) , 3,k = 4, 6?

    6. 1, 2, 3, ..., n . - . , , 1, 2, 3, ..., n .

    7. 10 , 10 . - 2009 ?

    8. , - . , -. - ?

    9. 3

    , -

    .

    14

    1. m n . - - - . , - , .

    2. , 2n - n .

    3. . -, , - .

    4. 2N , 1N . , - , .

    5. . - , - , ( ). , , , - ( ). n . .

    6. . -, 5 , . 20087 . 72008 ?

    10.

    1. , , G

    .

    2. . , , - K. , BK -

  • ..

    15

    . 3. . -

    . , - , , B , E F . BK, K . , BK EKF .

    11. 1

    ,

    . . , .

    , , , - . , . , , .

    , .

    , , .

    , - , .

    , , -, , , , -, , - .

    , - . - .

    , .

    , . ,

    .

    16

    . , .

    . . , , - . , , - . , . .

    . . -

    , : 1) , -

    (, ) ;

    2) , , ;

    3) 2 , - , , ;

    4) .

    1. 15 . , 5 ?

    2. 30 . , 9 - 3 , 11 4 10 5?

    3. , - 3 , 100 ?

    4. 15 , , 7 . , - .

    5. -. 21 , , 20. , - .

    6. 101 , - .

  • ..

    17

    . ? 7.

    50 600 . - , ?

    8. 1 9 , , - , 7, 13.

    12. 2

    1. , 17 ,

    4 , , - .

    2. , , . , - , . , - .

    3. 100 , - . - , - . , .

    4. . - . , , ?

    5. 9 - . : , - , , , , , -, , . ?

    . 1

    6. , -, . 1, , . 2?

    . 2

    18

    13.

    1. .

    , , -, , ( ). , , , .

    2. , - , . - 'O "O - , . , ' "O A O A= , .

    3. , . ;M N , 2 MON AOC = . , - MBN .

    4. BD - K. M N , K CKD . ,

    .OM KN=

    14.

    1. ( ),f x 2.1

    xf xx

    = + 2. ( ),f x -

    1( ) 2 2 ,xf x fx

    = 0x .

    3. ( )f x , : 1( )1

    f x f xx

    + = . 4. ( )f n , : ( ) ( 1)( ) 1 1 ,f nf nn n = 2n .

  • ..

    19

    5. ( )f x , : ( ) ( )kf x y y f x = . 6. ( )f x , ( ) 2 ( )f x y f x y+ + ( ) 2 ( ) 2f x f y y+ = . 7. ( )f x , : ( ) ( ), 0yf x y f x x= > . 8. ( )f x , : ( ) ( )

    2 2x y f x f yf + + = .

    9. S . ( )f x , S - , ( ( )) ( ( )) ( )f m f n f f m f n+ = + .

    10. . , , :x D 22 ( ) (1 )f x f x x+ = .

    15. :

    1. 5 530 2x x+ + = . 2. , cos(sin ) sin(cos ),x x> 0

    2x < < .

    3. ( )f x , , k , , -

    : 1 ( )( )1 ( )

    f xf x kf x

    ++ = . , ( )f x .

    4. tg(sin )y x= . .

    16.

    1. .

    , . , - .

    2. -, - , . ,

    20

    n . , (3 2)n , - .

    3. ,n 2n , , - . , -. ,

    2

    3n n+ .

    4. ( 1)n ( 1)a ( 1)b , , ,n a b - , , 2ab n= . - , -, 2 -, . , a b= .

    5. , - 1, 100. , 1, , , . , - , .

    17.