Задачи на нахождение расстояния от точки до

плоскости( типовые задачи С2)

Методическая разработка учителя МОУ Гимназии №2 г. Черняховска

Жуковой Л.А.

А

Н М

Длина перпендикуляра, проведенного из точки А до плоскости α,называется расстоянием от точки А до плоскости α

α

Вычислительный метод Метод объемов

Координатный метод Метод опорных задач

Векторный метод

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ :

АВ

С D

A₁

D₁C₁

B₁

O

O₁

H

С1 А1С1, А1С1 (АВ1С) Значит, d(С1; (АВ1С)) равно расстоянию от произвольной

точки прямой А1С1 до (АВ1С),

например, d(О1; (АВ1С)). Проведем О1Н В1О.

О1Н АС,

т.к. АС (ВВ1D1), О1Н(ВВ1D1) Значит, О1Н (АВ1С) и

d(О1; (АВ1С))= О1Н

Вычислительный метод№1. В кубе А …D₁ найти расстояние от точки С₁ до плоскости АВ₁С.

АВ

С D

A₁

D₁C₁

B₁

O

O₁

H

Пусть ребро куба 1.

Рассмотрим прямоугольный В1О1О:

О1О = 1, В1О1= ξ22 , ОВ1= ට32

Ответ : ξ33

42

21

11111 OOOBS OOB

OBHOS OOB 1121

11

332

11

11 OB

SНО OOB

АВ

С

D E

F

A₁B₁C₁

D₁ E₁

F₁

H

Построим плоскость, перпендикулярную, данной плоскости.

(АА1Е1) ( А1ЕD), т.к.

в (А1В1D) лежит

прямая А1В1 (АА1Е1) (АА1Е1) ( А1ЕD) = А1Е

Построим АН А1Е,

АН ( А1ЕD),

d(A , ( А1ЕD)) = AH

№2. В правильной шестиугольной призме А…F₁, все ребра которой 1, найти расстояние от точки А до плоскости DEA₁.

АВ

С

D E

F

A₁B₁C₁

D₁ E₁

F₁

H

Рассмотрим прямоугольный АА1Е:

АА1= 1, АЕ =ξ3, А1Е =ξ2.

Ответ : ξ32

23

21

11 AEAAS EAA

AHEAS EAA 121

1

232

1

1 EA

SАН EAA

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до , содержащей АВС

вычисляют по формуле( М;) = (М;АВС) =

В общем случае рассматривают равенство объемов одной фигуры,

выраженные двумя независимыми способами.

Метод объемов

№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС . Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если АD = 25, АВ= АС =10, ВС =45.

D

M

N

K

Искомое расстояние равно высоте АН,

опущенной в пирамиде АКМN из

вершины А на основание КМN.

H

AC

B

AHSV KMN 31

5221

BCMN

30KNКМ

555305221

21

hMNSKMN

D

M

N

K

H

Ответ : 2

A

C

B

AKSV AMN 31

105255221

21

1 hMNSAMN

3510

31

AKSV AMN

23

KMNSVАН

С другой стороны

Тогда

Расстояние от точки М до плоскости можновычислить по формуле

M(и плоскость задана уравнением ax + by + cz + d=0

A B

CD

A₁ B₁

C₁D₁

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке.

у

х

zСоставим уравнение плоскости, проходящей через точки

В(0;1;0), D( 1;0;0), C₁(1;1;1).

Подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости ax +by +cz +d =0.

Тогда -dx –dy +dz +d =0, x+y-z-1=0

Ответ : 2ξ33

000

dcbadadb

dcdadb

3

321111100

; 11

BDCA

№4. В единичном кубе А…D₁ найдите расстояние от точки А₁ до (ВDC₁ ).

Координатный метод

Расстояние от точки М до плоскости можно вычислитьпо формуле =

, ; ) , r = OM, r₁ = OM₁ , MM₁=O

MM₁

O𝝆𝝆₁

O

M

𝝆 ₁

𝝆

r₁

r₁r

r

Метод опорных задач

АВ

С D

A₁

D₁C₁

B₁

O

O₁

H

№5. В единичном кубе А…D₁ найти расстояние от точки D₁ до плоскости АВ₁С.

Проведем D₁F B₁O.

F

Используем найденное расстояние от точки О1 до (АВ1С) ( смотри задачу №1)

О1Н = ξ33

Ответ : 2ξ33

332),(),(

11

111111

OBDBCABOCABD

АВ

С D

A₁

D₁C₁

B₁

c

ba

Векторный метод№5. В единичном кубе А…D₁ найти расстояние от точки A₁ до плоскости BDС₁.

M

aAD bAB cAA 1

1 cba 0 cbcaba

Пусть

111,, ACDCDBВыразим

abDB cbDC 1abAC 11

11 BDCMA Пусть ,где М ϵ 1BDC

11 DCyDBxMC

1111111 DCyDBxACMCACMA

011 DBAC

Ответ : 2ξ33

0

0

11

1

DCMA

DBMAДалее имеем

11

1

DCMA

DBMA

11 DBDC 1111 ACDC

22DB 2

2

1 DC

Учитывая, что

0)2(10)2(0

ухух

32

31

у

х

cbaMA 32

32

32

1

332

94

94

94

32

32

32 2

1

cbaMA

Литература

Корянов А.Г., Прокофьв А.А. Многогранники: виды задач и методы их решенияМодель правильной шестиугольной призмы взята из работ Савченко Е.М.