第八章

电磁波辐射

第六章讨论了电磁波在无界空间的传播问题和在分界面上的反射与透射问题，第七章讨论了电磁波在均匀导波系统内的传播问题，所有这些讨论都是假定电磁波已经建立，那么电磁波究竟是如何产生的呢？本章将着手讨论该问题。

产生电磁波的振荡源一般称为天线。对于天线，所关心的是它的辐射场强、方向性、辐射功率和效率等。

天线按结构可分为线天线和面天线两大类，线状天线如八木天线、拉杆天线等称为线天线，面状天线如抛物面天线等称为面天线。

本章将首先从滞后位出发，根据矢量位求电流元和电流环产生的电磁场，再介绍天线的电参数和一些常用的天线。

8.1 电流元的辐射 如图 8-1 所示，设一个时变电流元 位于坐标原

点，沿 Z 轴放置，空间的媒质为线性均匀各向同性的理想介质。所谓电流元是指 很短，沿 上的电流振幅相等，相位相同。由第五章介绍的滞后位知：电流元 产生的矢量位为

zzzjkr Ae

r

IleerA

π4)(

(8-1)

lI

rE

E

H

z

x

12r

图 8-1 电流元的坐标

l l

lI

lI

利用球坐标与直角坐标单位矢量之间的互换关系式（ 1-20 ），可得矢量位 在球坐标系中的三个分量为

（ 8-2 ）

则电流元产生的磁场强度为

将式（ 8-2 ）代入上式，得

0

sin

cos

A

AA

AA

z

zr

0

sin

sin

112

rAA

r

rr

rr

r

eee

AH

A

（ 8-3 ）

将式（ 8-3 ）代入麦克斯韦方程 ，得其中

（ 8-4a ）

（ 8-4b ）

（ 8-4c)

kr

r

rk

r

lIH

H

H

je1

j4π

sin

0

0

eee

eee

HE EEE

Hrr

rr

rrr

r

sin00

sin

sinj

1

j

12

krr r

jkr

IlE j

2e

1

2π

cosj

kr

rkrk

r

IlE j2

2e

1j

4π

sinj

0E

EH j

下面分别讨论电流元附近和远距离处的电磁场表达式。这里所讲的远近是相对于波长而言的，距离远小于波长 的区域称为近区，反之，距离远大于波长 的区域称为远区。

(1) 当 ，即 或 时， ，那么由式（ 8-3 ）和式（ 8-4 ）得

(8-5a)

(8-5b)

(8-5c)

)( r)( r

r 1krr

k1

1 jkre

π4

sin 2r

lIH

3 2π

cos j

r

lIEr

3 π4

sinj

r

lIE

从以上结果可以看出，式 (8-5a) 与恒定电流元 产生的磁场相同。考虑到 ，式 (8-5b) 和式 (8-5c)与电偶极子 产生的静电场相同。所以可把时变电流元产生的近区场称为似稳场。

由式 (8-5) 还可以看出，电场与磁场的相位差为 ，平均能流密度矢量

这表明近区场没有电磁能量向外辐射，能量被束缚

在源的周围，因此近区场又称为束缚场。

qI jlI

lq

2

0Re2

1 HESav

(2) 当 ，即 或 时，式（ 8-3 ）和式（ 8-4 ）中的 及其高次项可以忽略，并将 代入得

(8-6a) (8-6b)

式中 为媒质的本质阻抗。由上式可见，电流元产生的远区场具有如下特点：

(a) 在远区，平均能流密度矢量

这表明有电磁能量沿径向辐射，所以远区场又称为辐射场。

r 1krr

k1

2

1

r 2

k

sin 2

j jkre

r

lIH

sin 2

j jkre

r

lIE

rr

av

r

lIE

HE

ee

eeHES

22

sin 2

22

Re2

1Re

2

1

(b) 远区电场与磁场相互垂直，且与传播方向垂直，电场与磁场的比值等于媒质的本质阻抗，即 。

(c) 远区电磁场只有横向分量，在传播方向上的分量等于零，所以远区场为 TEM波。

(d) 远区场的振幅不仅与距离有关，而且还与观察点的方位有关，即在离开电流元一定距离处，场强随角度变化的函数称为方向图函数，用 表示。由式（ 8-6 ）可见，沿 Z 轴放置的电流元的方向图函数为 ，在电流元的轴线方向 上辐射为零，在垂直于电流元轴线的方向 上辐射最强。电流元的辐射场强与方位角 无关。

H

E

),( f

sin),( f )0( )90(

下面讨论电流元在远区产生的辐射功率。用一个球面将电流元包围起来，电流元的辐射功率将全部穿过球面，则电流元产生的总辐射功率为

将 代入上式，可得自由空间中电流元的辐射功率为

(8-7) 此辐射功率是由与电流元相连的电源供给的，可用

一个电阻上的消耗功率来等效，则此等效电阻称为辐射电阻。

2

2

0 0

22

r 3sinsin

2

2

Il

ddrr

lIdP S av SS

1200

222

r π40

l

IP

根据

和式（ 8-7），可得电流元的辐射电阻为

(8-8)

辐射电阻是用来衡量天线的辐射能力的，辐射电阻越大意味着天线向外辐射的功率越大，天线的辐射能力越强。

rr RIP 2

2

1

22

r π80

l

R

8.2 天线的电参数 一、方向图函数和方向图 在离开天线一定距离处，辐射场在空间随角度变化的函数称为天线的方向图函数，用 表示。根据方向图函数绘制的图形称为天线的方向图。由于天线的辐射场分布在整个空间，所以天线的方向图通常是一个三维的立体图形。要绘制这样的三维立体方向图是不方便的，通常工程上采用两个相互垂直的主平面上的方向图来表示，即 E面方向图和 H面方向图。

),( f

E面是指电场强度矢量所在并包含最大辐射方向的平面， H面是指磁场强度矢量所在并包含最大辐射方向的平面。

对于上节介绍的电流元，其方向图函数为 。采用极坐标，以 为变量，在 等于常数的平面内，方向图函数 的变化轨迹为两个圆，如图 8-2a所示。由于方向图函数与 无关，所以在 的平面内，方向图函数 的变化轨迹为一个圆，如图8-2b 所示。电流元的立体方向图如图 8-2c 所示。

sin),( f sin),( f

2

yo

z

sin

图 8-2a 电流元 E面方向图

yz

x

190sin 0

图 8-2b 电流元 H面方向图

x

y

z

图 8-2c 电流元立体 方向图

实际天线的方向图要比图 8-2复杂。图 8-3 为某天线的方向图，它有很多波瓣，分别称为主瓣、副瓣和后瓣。其中最大辐射方向的波瓣称为主瓣，其他波瓣统称为副瓣，把位于主瓣正后方的波瓣称为后瓣。

主瓣

第一副瓣

后瓣主轴

5.0202

00

5.00

图 8-3 天线方向图的一般形状

主瓣最大辐射方向两侧的两个半功率点（即场强为最大值的 倍）之间的夹角，称为主瓣宽度，也称半功率波瓣宽度，用 或 表示。主瓣宽度愈小，天线辐射的电磁能量愈集中，定向性愈好。在主瓣最大方向两侧，两个零辐射方向之间的夹角，称为零功率波瓣宽度，用 表示。由图 8-2 可见，电流元的主瓣宽度 ，零功率波瓣宽度 。

2

1

5.02 5.02

02902 5.0

1802 0

副瓣最大辐射方向上的功率密度与主瓣最大辐射方向上的功率密度之比的对数值，称为副瓣电平，用 dB表示。通常离主瓣近的副瓣电平要比远的高，所以副瓣电平通常是指第一副瓣电平。一般要求副瓣电平尽可能低。

主瓣最大辐射方向上的功率密度与后瓣最大辐射方向上的功率密度之比的对数值，称为前后比。前后比愈大，天线辐射的电磁能量愈集中于主辐射方向。

二、方向性系数 为了从数量上说明天线辐射功率的集中程度，可

用一个参数—方向性系数来衡量。方向性系数的定义为：在相等的辐射功率下，天线在其最大辐射方向上产生的功率密度与理想的无方向性天线在同一点产生的功率密度之比，即

（ 8-9） 式中 和 分别表示被研究天线的辐射功率密度和场

强， 和 分别表示理想无方向性天线的辐射功率密度和场强。

00

20

2max

0

max

rrrr PPPP E

E

S

SD

maxS maxE

0S 0E

天线的方向性系数也可以定义为：在天线最大辐射方向上产生相等电场强度的条件下，理想的无方向性天线所需的辐射功率 与被研究天线的辐射功率 之比，即

（ 8-10） 对于被研究的天线，其辐射功率

（ 8-11 ）

0rP

rP

0max

0

EEr

r

P

PD

20 0

2

0

22max

2

0 0

2

0

22max

0

2

r

sin),(2

sin),(

2

1),(

2

1

ddFrE

ddrFE

dSE

dPS

S av

SS

式中， 为归一化的方向图函数，其定义为 为方向图函数 的最大值。 对于理想的无方向性天线，其辐射功率为 （ 8-12 ） 将式（ 8-11 ）和（ 8-12 ）代入式（ 8-10）得 （ 8-13 ） 由上式可以求得电流元的方向性系数为 1.5 。

),( F

mf

fF

),(),(

mf ),( f

2

0

20

0 42

rE

Pr

π2 0

π0

2 d sin),(

π4

dFD

三、辐射效率 实际使用的天线均具有一定的损耗，根据能量守

恒定律，天线的输入功率一部分向空间辐射，一部分被天线自身消耗。因此，实际天线的输入功率大于辐射功率。天线的辐射功率 与输入功率 之比称为天线的辐射效率，用 表示，即

（ 8-14 ）

rP

inP A

in

rA P

P

四、增益系数 方向性系数是表征天线辐射电磁能量的集中程度，

辐射效率则是表征天线的能量转换效率，将两者结合起来就可以得到天线的另一个参数—增益系数，其定义为：在相同的输入功率下，天线在其最大辐射方向上产生的功率密度与理想的无方向性天线在同一点产生的功率密度之比，即

（ 8-15 ） 0

0

20

2max

0

max

inininin PPPP E

E

S

SG

增益系数也可以定义为：在天线最大辐射方向上产生相等电场强度的条件下，理想的无方向性天线所需的输入功率 与被研究天线的输入功率 之比，即

（ 8-16 ） 若假定理想的无方向性天线的效率 ，那么由上述关系，可得

（ 8-17）

0inPinP

0max

0

EEin

in

P

PG

10 A

DG A

8.3 电流环的辐射 如图所示，一个半径为 （ ），载有电流

的细导线圆环，通常称之为电流环或磁偶极子。此时可认为流过电流环的电流大小和相位处处相等。

为了简单起见，把观察点放在 平面，即

平面上，不失一般性。电流环的矢量位

(8-18)

y

x

r

a

a atIti cos)(

xoz 0

kR

ce

R

Id j

4

lA

由【例 3-2】知 : （ 8-19）

因为 ，将上式展开为泰勒级数，取前两项，得

则

el add '21

2

2

cossin2

1

r

a

r

arR

ar

cossinarR

)cossin1(11

r

a

rR

cossinjjj karkkR eee

因为 ，所以 则 (8-20) 将式（ 8-19）和式（ 8-20）代入式（ 8-18 ），得 (8-21)

12

aka

cossinj1cossinj kae ka

)cossincossin1(

)cossin1)(cossin1(

j

jj

jkar

a

r

e

jkar

a

r

e

R

e

kr

krkR

eA rkekrr

aI j2

2

sin)j1(4

根据 ，求得电流环产生的磁场为

(8-22a)

(8-22b)

(8-22c) 再根据麦克斯韦方程 ，可得电流环产生的电场

为

(8-23a)

(8-23b)

AH 1

krr

krkr

kaIH j

32

32

e cos)(

1

)(

j

π2

kr

krkrkr

kaIH j

32

32

e sin)(

1

)(

j1

π4

0H

HE j

1

kr

krkr

kaIE j

2

22

e sin)(

1j

π4

j

0 EEr

对于电流环感兴趣的是其远区场，因 ，由式（ 8-22 ）和式（ 8-23 ）得

(8-24a) (8-24b)

式中 。上式表明电流环产生的远区电场与磁场相互垂直，且与波的传播方向垂直。

1kr

krjkrkr

r

kaIe

r

IS

r

kaIH j

2

2j

22

e sinπ4

sine sinπ4

jkrkr er

ISH

r

kaIE

sine sinπ4 2

j2

2aS

电流环的平均功率密度为 (8-25) 辐射功率为 (8-26) 利用关系式 ，可得电流环的辐射电阻为 (8-27)

rr

av

r

kaIE

HE

ee

eeHES

2

222

sinπ42

1

2

)(Re2

1Re

2

1

425

2

0 0

22

22

r

3

4

sinsinπ42

1

aI

ddrr

kaIdP S av SS

rr RIP 2

2

1

46

45 320

3

8

aa

Rr

8.4 缝隙的辐射

如图 8-5 所示，在无限大且无限薄的理想导体平面上开一个窄缝隙，缝隙的长度 ，宽度 。当缝隙被激励后，会向外辐射电磁能量而形成一个辐射单元。在高速飞行器上使用这种辐射单元组成的天线，由于它与飞行器的结构共形，因而不会妨碍飞行器的高速飞行。

l w

在高频电源的激励下，缝隙中将会产生电场，由于 ，再忽略缝隙两端的边缘效应，可以认为缝隙中的电场是均匀的。根据理想导体的边界条件，在 平面上缝隙以外区域，电场的切向分量

z

y

z

l

w

图 8-5缝隙的结构

y

z

x

l

d

图 8-6 磁流元

lw

yoz

　为零，缝隙中电场的切向分量　　　。在　　的半空间，缝隙相当于一个等效磁流元，其等效磁流密度为

　　　　　　　　　　　　　　　　 (8-28)　也就是说，缝隙可以被等效为一个片状的沿　轴放

置的线磁流元，如图 8-6 所示。根据与全电流定律对偶的全磁流定律　 　　　　　　 (8-29)　积分路径　紧贴着磁流源，可得等效磁流强度为　 　　　　　　 (8-30)

w

UE y 0x

zyyyxxm EE eeeEnJ )(0

Z

cm dI lE

cUwEI ym 22

　　　根据电流元的远区辐射场公式（ 8-6 ）和对偶原理，可得磁流元的辐射场为

　　　　　　　　 (8-31a)

　　　　　　　　　　　 (8-31b) 将式（ 8-30）代入上式，得缝隙在　　半空间的

辐射场为

　　　　　　　　 (8-32a)

　　　　　　　　　　　　 (8-32b)

sin 2

j jkrm e

r

lIE

sin2

j jkrm er

lIH

0x

sin

j jkrer

lUE

sin j jkrer

lUH

　　　在　　的半空间，由于等效磁流与　　半空间的等效磁流大小相等方向相反，所以缝隙在　　半空间的辐射场为式（ 8-32 ）的负值。　　　缝隙的总辐射功率和辐射电阻分别为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8-33)　

　　　　　　 (8-34)

0x 0x

0x

2

223

0

2

2

2

S

902sin

2

1

sin2

1)(Re

2

1

lUd

lU

ddrE

dHEP

S

r

See

22

452

lP

UR

rr

8.5 对称振子天线 对称振子天线是由两段同样粗细和等长的导线构成，在两段导线中间的两个端点对称馈电，如图 8-7所示。振子两臂的长为 ，半径为 。

l

l

a

z

y

x

l a

图 8-7 对称振子天线

对称振子天线是一种最基本最常用的线天线，既可以单独使用，也可以作为阵列天线的组成单元。

知道对称振子天线上的电流分布，就可以求出其辐射场。要精确计算对称振子天线上的电流分布，需要采用数值分析方法，计算比较麻烦。实际上，对称振子可以看成是由终端开路的平行双线张开而成，理论和实验均表明，细对称振子的电流分布可以认为具有正弦驻波分布。设对称振子沿 Z 轴放置，馈电中心位于坐标原点，如图 8-8 所示，则对

称振子上的电流分布可以表示为 (8-35) 式中 为电流波幅， 。

)(sin)( zlkIzI m

mI2

k

z

y

x

P

r

dz'

z'

z'cos

r'

图 8-8 对称振子的辐射场

将对称振子看成是由许多电流振幅不同相位相同的电流元组成。根据叠加原理，对称振子在空间P点的辐射场就等于这些电流元在该点的辐射场的叠加。

根据式 (8-6) ，电流元 产生的远区辐射场为 (8-36) 由于 ，可以认为 ，在计算电流元至观察点的距离

时，可近似认为 ，在计算电流元至观察点的相位差时， 。那么对称振子的远区电场为

zdzI )(

sin 2

)(sinj j rkm e

r

zdzlkIdE

lr rr //

rr

coszrr

(8-37) 根据方向图函数的定义，可得对称振子天线的方

向图函数为 (8-38) 由此可见，沿 Z 轴放置的对称振子天线的方向图函

数与方位角 无关，仅与方位角 和振子长度 有关。

sin

)cos()coscos(60j

)(sinsin 60

j

sin 2

)(sinj

j

cosjj

j

krm

ll

zkkr

m

l

l

rkm

eklkl

r

I

zdezlkr

eI

er

zdzlkIE

sin

)cos()coscos(),(

klklf

l

图 8-9 绘出了几种不同长度的对称振子在天线所在平面内的方向图，将这些平面方向图沿 Z 轴旋转一周即构成空间方向图。由图可见，无论对称振子的长度如何，天线在 和 的轴线方向上都没有辐射，这是因为每个电流元在轴线方向上辐射为零。当天线的长度 时，振子臂上的电流是同相的，在 上辐射场是同相叠加，合成场强最强，所以 的方向为主辐射方向。当天线的长度 时，振子臂上出现反向电流，出现了副瓣。

0 180

l290

90 l2

2l = /2

2/32 l

l2

22 l

图 8-9几种对称振子天线的方向图

长度为半个波长的对称振子天线称为半波天线。将 代入式（ 8-38 ），得半波天线的方向图函数为

(8-39) 由式（ 8-37）得半波天线的远区电场为 (8-40) 因此，半波天线的辐射功率

4

l

sin

cos2

cos

),(

f

sin

cos2

cos60

j jkrm er

IE

(8-41)

由此可得半波天线的辐射电阻为

(8-42)

dI

ddrr

I

dE

dP

m

m

SS av

0

2

2

2

0 0

2

2

2

r

sin

cos2

cos

30

sinsin

cos2

cos60

2

1

2SSS

dI

PR

m

rr

0

2

2 sin

cos2

cos

602

上式中的积分用数值方法求得其值约为 1.218 ，那么半波天线的辐射电阻为

由式（ 8-13 ）可求得半波天线的方向性系数为 (8-43)

1.73rR

64.1

sinsin

cos2

cos

4

d sin),(

π4

22

0 0

π2 0

π0

2

dd

dFD

8.6 天线阵

一、 方向图相乘原理 工程上需要天线具有高增益、高方向性，需要各种形状的方向图，有时需要方向图尖锐，有时需要方向图均匀，而前面介绍的单元天线很难满足这些要求，人们自然想起将许多天线放在一起构成一个天线阵，天线阵的方向图与每个天线的类型，馈电电流的大小和相位有关，因此调整天线间的位置，馈电电流的大小和相位，可以得到不同形状的方向图，以适应工程的需要。

下面以二元阵为例，说明天线阵的基本原理和特性。如图 8-10所示，假设天线 1 与天线 2 为同一类型的天线，在空间的取向相同，天线间的距离为 ，它们至观察点的距离分别为 和 ，对于远区场，可以近似认为 与 平行，在计算两天线至观察点的距离时，可近似认为 ，在计算两天线至观察点的相位差时， 。

d

1r 2r

1r 2r

21 rr

cos12 drr

图 8-10 二元阵的辐射

d

z

y

x

1I

2I

P

假设天线 2 与天线 1 之间的电流关系为 (8-44) 式中 、 为常数。那么天线 2 的辐射波到达观察点 P

点时比天线 1 的辐射波到达 P点时超前相位

第一项是两天线的波程差引起的，第二项是两天线的电流相对相位引起的。式中的 表示天线阵轴线与平行射线之间的夹角。

jemII 12 m

coskd

若天线 1 在观察点 P产生的场强为 ，由于电场强度与电流 成正比，所以天线 2 在 P点产生的场强为 ，那么二元阵在观察点 P产生的合成场强为

(8-45) 由此可见，合成场由两部分相乘得到，即第一部分

是天线 1 单独在观察点 P产生的场强，与单元天线的类型和空间取向有关，而与天线阵的排列方式无关。第二部分 与单元天线无关，只与天线的相互位置、馈电电流的大小和相位有关，这一部分称为阵因子。因此，式（ 8-45 ）表明天线阵的方向图等于单元天线的方向图与阵因子方向图的乘积，称为方向图相乘原理。

1EI

j1emE

)1( j121

meEEEE

j1 me

二、均匀直线阵 所谓均匀直线式天线阵是指各单元天线以相同

的取向和相等的间距排列成一直线，它们的馈电电流大小相等，而相位以相同的比例递增或递减。

d

1I 2I 1NI

2r1r Nr

NI3I

Nr3r

y

x

z

o

图 8-11 N 元均匀直线阵

图 8-11 所示为一个 元均匀直线阵，相邻两单元天线间的距离为 ，电流相位差为 。类似于二元阵，相邻两单元天线间的相位差为

(8-46) 则在观察点的合成电场强度为 利用等比级数求和公式，可得 (8-47) 式中， 为 元均匀直线阵的阵因子。

Nd

coskd

)1( 1)-j(Nj2j1

321

eeeE

EEEEE N

)(

2sin

2sin

1

111j

j

1

fE

N

Ee

eEE

N

2sin

2sin

)(

N

f N

根据 ，可以得到阵因子达到最大值的条件是： 。由式（ 8-47）知， 时各单元天线在观察点的电场同相叠加，得到最大值。由式（ 8-46 ）可求出阵因子达到最大值的角度

(8-48) 由此可见，阵因子的最大辐射方向取决于单元天线

之间的电流相位差和间距。如果不考虑单元天线的方向性或单元天线的方向性很弱，那么天线阵的方向性主要决定于阵因子。若电源天线的电流相位差 是可调的，那么天线阵的最大辐射方向也是可调的，这就是相控阵天线的工作原理。

若均匀直线阵各单元天线同相馈电时，即 时，由式（ 8-48 ）得

0)(

d

df

0 0

)arccos(kdm

0

(8-49) 由此可见 : 天线阵的最大辐射方向垂直于天线阵的轴

线，即天线阵的最大辐射方向在天线阵轴线的两侧，所以称之为侧射式天线阵。图 8-12 为间距 的四元侧射式天线阵的阵因子方向图。

),2,1,0(2

)12( mmm

2

d

0o

30o

60o90o

120o

150o

180o

210o

240o

270o300o

330o

0

y

z

图 8-12四元侧射式天线阵的阵因子方向图

若均匀直线阵各单元天线之间的电流相位差 时，由式（ 8-46 ）得

(8-50) 天线阵的最大辐射方向在天线阵的轴线方向，称之为端射式天线阵。图 8-13 为间距 的八元端射式天线阵的阵因子方向图。

kd

),2,1,0( mmm

4

d

0o

30o

60o90o

120o

150o

180o

210o

240o

270o300o

330o

0

y

z

图 8-13 八元端射式天线阵的阵因子方向图