第四章 导热问题的数值解法Numerical method for heat conduction

1 求解导热问题的三种基本方法： (1) 理论分析法； (2) 数值计算法； (3) 实验法

2. 三种方法的基本求解过程 : (1) 理论分析方法 : 直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，获得解析解 (close solution)

(2) 数值计算法 : 把在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些点上的物理量值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 (numerical solution)

(3) 实验法 : 在传热学基本理论的指导下，采用实验的方法对所研究对象的传热过程进行实验研究，从而求得所求量的方法

3 三种方法的特点(1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。(3) 实验法 传热学的基本研究方法， a 适应性不好； b 费用昂贵。 数值解法：有限差分法 (finite-difference method) 、有限元法 (finite element method) 、 有限体积法 (finite volume method) 、边界元法 (boundary- element method) 、离散元法 (discrete element method)······

传热（物理）问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件

区域离散化

建立节点物理量的代数方程

求解代数方程组

获得数值解并分析结果

4.1 有限差分法的基本原理

• 将求解区域离散、以节点网格代替物体，以每个节点的温度作为未知量

• 在节点上用差分代替微分，将微分方程式近似地变成差分方程式——线性的代数方程组

• 解此代数方程组，得到节点上温度的近似值

1 、基本思想：

)(xf 0x 函数 在点 的泰勒级数展开形式为：

)(!3

)()(

!2

)()()()()( 0

30

0

20

000 xfxx

xfxx

xfxxxfxf

函数 、 、 、 在点 x 的泰勒级数展开式分别为：

)( hxf )( hxf )2( hxf )2( hxf

)(!3

)(!2

)()()(32

xfh

xfh

xfhxfhxf

)(!3

)(!2

)()()(32

xfh

xfh

xfhxfhxf

)(3

4)(2)(2)()2(

32 xf

hxfhxfhxfhxf

)(3

4)(2)(2)()2(

32 xf

hxfhxfhxfhxf

(a)

(b)

(c)

(d)

2 、函数 f （ x ）在点 x 的导数的有限差分表达式：

由式 (a) 得： ( ) ( )( ) ( )

f x h f xf x O h

h

由式 (b) 得： ( ) ( )( ) ( )

f x f x hf x O h

h

由式 (a) 与式 (b) 相减得：2( ) ( )

( ) ( )2

f x h f x hf x O h

h

由式 (a)和式 (c)消去

)(xf 得：2

2

( ) ( 2 ) 2 ( )( ) ( )

f x f x h f x hf x O h

h

由式 (b) 和式 (d) 消去 )(xf 得：2

2

( ) ( 2 ) 2 ( )( ) ( )

f x f x h f x hf x O h

h

(e)

(f)

(g)

(i)

(h)

由式 (a)和式 (b)消去 )(xf 得：3

2

( ) ( ) 2 ( )( ) ( )

f x h f x h f xf x O h

h

h 2h 3h由 (e)式～ (j) 式分别略去 以上各项得一阶、二阶导数向前、向后及中心差分公式为：

、

及

(j)

、

一阶导数向前差分：

一阶导数向后差分：

一阶导数中心差分：

h

xfhxfxf

)()()(

h

hxfxfxf

)()()(

h

hxfhxfxf

2

)()()(

二阶导数向前差分：

二阶导数向后差分：

二阶导数中心差分：

2

)(2)2()()(

h

hxfhxfxfxf

2

)(2)2()()(

h

hxfhxfxfxf

2

)(2)()()(

h

xfhxfhxfxf

x

)(xf

hx hx x

)(' xf

)(xfh

xfhxfxf

)()()(

h

hxfxfxf

)()()(

h

hxfhxfxf

2

)()()(

一阶导数的差分及其误差：

引入下列关系式：

1 1

, ( 1) , ( 1)

( ) , ( ) , ( )i i i

x ih x h i h x h i h

f x f f x h f f x h f

……

……

x

函数 f （ x ）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：

图 4-2 有限差分表达式的几何意义式中：

ii x

ff

d

d

i

i x

ff

2

2

d

d

向前和向后差分的误差比中心差分的误差高，中心差分应用较广。

1

1

1 1

1 22

2 12

1 12

'

'

'22

''

2

2

i i

i i

i i

i i ii

i i ii

i i ii

f f

hf f

hf f

hf f f

fh

f f ff

hf f f

fh

i

i

i

一阶导数向前差分：f

一阶导数向后差分：f

一阶导数中心差分：f

二阶导数向前差分：

二阶导数向后差分：

二阶导数中心差分：

4.2 稳态导热问题的差分表达式1 。内部节点的差分方程式 物理性质参数为常数的具有内热源的二维稳态导热方程：

xix 02

2

2

2

vq

y

t

x

t

图 4-3 间距为 Δx 、 Δy 的矩形网格

（ a ）

将整个区域划分步长为 的矩形有限差分网格，节点 的坐标 (x ， y) 为：x y 、

p

xix yjy

( , )p i j

i 、 j 为整数

节点 P 的温度 t （ x ， y ）和热源 可表示为： ),( yxqv

jiPtyjxityxt ,),(),(

jvivPv qyjxiqyxq ,),(),(

在节点 P ，温度对 x 和 y 的二阶导数的有限差分表达式：

2

,1,,1

,

2

2

2

2

)(

2

x

ttt

x

t

x

t jijiji

jiP

2

1,,1,

,

2

2

2

2

)(

2

y

ttt

y

t

y

t jijiji

jiP

将上式代入方程 (a) 中可得二维稳态导热方程的有限差分形式为：

0)(

2

)(

2 ,

2

1,,1,

2

,1,,1

jvijijijijijiji q

y

ttt

x

ttt

如果假定正方形网格为 , 则： lyx

04 ,

2

,1,1,,1,1 jvijijijijiji ql

ttttt

物理意义：节点热平衡

2 边界上节点的差分方程式

1. 对流边界节点 (i， j) 边界面上的节点 (i， j) 满足下面的第三类边界条件：

fttx

t

图 4-4 对流边界节点

（ e ）

假想节点 那么，在节点 (i， j) 处的导热方程的有限差分形式为：

]),1([ ji

，

04 ,

2

,1,1,,1,1 jvijijijijiji ql

ttttt）（

再利用中心差分公式，边界条件 (e) 式的有限差分形式为：

（ f ）

f,,1),1(

2tt

l

ttji

jiji

(g)

联立式 (f) 和式 (g) ，并消去 得 jit ),1(

0)2

(])2

4(2[ ,

2

f,1,1,,1 jvijijijiji ql

tl

tl

ttt

如果图中所示边界为绝热边界，则导热方程在节点 (i， j) 的有限差分形式可直接在上式中令 得到，即 0

0]42[ ,

2

,1,1,,1 jvijijijiji ql

tttt

2. 两对流边界相交处的节点 (i， j)

图 4-4 对流边界节点

由于其处于两个边界上，则其边界条件为 :

f11 ttx

t

f22 ttx

t

在节点 (i， j) 处导热方程的有限差分形式可写为：

04 ,

2

,1,1,,1,1 jvijijijijiji ql

ttttt）（）（

边界条件的有限差分形式为：

f1,1,1),1(

2tt

l

ttji

jiji

f2,2)1(,1,

2tt

l

ttji

jiji

(j)

(k)

(m)

联立式 (j) 、式 (k) 和式 (m) ，并消去 和 得：jit ),1( )1(, jit

0)22

(])22

4(22[ ,

2

f21

,21

1,,1 jvijijiji ql

tll

tll

tt

若两个边界都是绝热的，在上式中令 得 ：021

0422 ,

2

,1,,1 jvijijiji ql

ttt

用有限差分法求解二维稳态导热问题的步骤：1 领域划分。 将物体分割成很多小方块，以每个小方块的中心为节

点，形成有很多节点的网络。2 列方程。根据表 4-1 中所列出的公式，找出对应节点

的节点方程。有多少个温度未知的节点就列出多少个方程，将这些线性方程组成线性方程组。

3 求解线性方程组。便得到各节点的温度值。 计算精度取决于网格疏密程度。对于传热和流

体力学问题的求解，一般认为差分法优于其他数值方法。

4.3 线性代数方程组的求解4.3.1 直接法 高斯一约当消元法

对于 n阶线性方程组

),2,1(1

nibxan

jijij

用矩阵形式表示

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

消元步骤： (1)     首先使第一行主对角线上的元素 为主元素——绝对值最大的元素。如果主对角线上的元素不为主元素，那么可以利用换行的方法把主元素调到主对角钱上来，使得其绝对值最大。 再将第一个方程乘以 分别与第 i个方程相加（ i ＝ 2，… ,n）得一个新的 n阶线性方程组

)1(

)1(3

)1(2

1

3

2

1

)1()1(3

)1(2

)1(3

)1(33

)1(32

)1(2

)1(23

)1(22

1131211

0

0

0

nnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

aaaa

第一列中主元素以下的各元素都化为零

11a

111 / aai

(2)    对 n-1阶线性方程组

),2(2

)1()1( nibxan

jijij

进行消元，消元法同上，经过消元以后得另一个新的 n阶线性方程组

)2(

)2(3

)1(2

1

3

2

1

)2()2(3

)2(3

)2(33

)1(2

)1(23

)1(22

1131211

00

00

0

nnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aa

aa

aaa

aaaa

(3) 用同样方法进行 n—1 次消元，最后能得到一个三角形矩阵，消元过程结束。三角形矩阵为

=

)1(

)2(,1

)2(1,1

)2(3

)2(1,3

)2(33

)1(2

)1(1,2

)1(23

)1(22

11,1131211

0000

000

00

0

nnn

nnn

nnn

nn

nn

nn

a

aa

aaa

aaaa

aaaaa

n

n

x

x

x

x

x

1

3

2

1

)1(

)2(1

)2(3

)1(2

1

nn

nn

b

b

b

b

b

回代步骤从第 n个方程可得 )1(

)1(

nnn

nn

na

bx

再将解得的 代入第 n-1个方程解出 ，再将 ，代人第 n-2个方程解出 。如此不断地回代，最后可解得 。以上的消元过程及回代过程都可编成计算机通用程序。

4.3.2 迭代法 --- 逐步逼近求解方程的方法

分类：简单选代法和高斯一赛德尔迭代法

简单迭代法 ：

)(1

1

n

ijj

jijiiii xabax ni ,,2,1

),2,1(1

nibxan

jijij

将方程

改写为

nx 1nx nx 1nx2nx

1x

假定初值为 )0()0(2

)0(1 ,,, nxxx

将其代入方程上式得

)(1

01)1(

n

ijj

jijiiii xabax ）（ ni ,,2,1

此式为解的第一次近似，把第一次近似得到的解再代入前式，得到解的第二次近似。在已得到解的第 k 次近似 后，代入前式的右端，得

)(kix

)(1

1)1(

n

ijj

kjijiii

ki xabax ）（ ni ,,2,1 ***

为解的第 k ＋ l 次近似。只要方程组存在唯一解，且采用适当的迭代，则不论初值如何选取，当 k充分大时，所得到的解必然收敛，且收敛于方程组的解。实际计算中

)()1( ki

ki xx ni ,,2,1

就结束迭代过程，而取 ( )作为方程组的近似解。 )1( kix ni ,,2,1

高斯一赛德尔迭代法

)(1

)(1

1

)1(1)1(

n

ij

kjij

i

j

kjijiii

ki xaxabax

将 ***式改写为

计算机只需一套单元存放 或 ，节省了工作单元。同时，由于在迭代过程中尽可能地采用了新值，加快了收敛速度。

)(kix )1( k

ix

例 4-1 如图所示为物体的一部分。上表面绝热，左侧面为对流边界， ，下表面与右侧面温度给定，物体的导热系数为 ， 试用高斯一赛德尔迭代法求节点 1、 2、 4、 5的温度。解 列出各节点的差分方程，并注意区域无内热源，使 。

2=28W/(m K) 23.5W/(m K) 7 8 9 3 6 f38 C 10 C 0 Ct t t t t t ， ，

2 4 1 f(2 ) 0al al

t t t t

5 1 3 2 f

2 22 (4 ) 0

al alt t t t t

5 1 7 42 4 0t t t t

15x y l cm

2 4 6 8 54 0t t t t t

节点 1

节点 2

节点 4

节点 5

30cm

30cm

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

其中， ，把各已知量代入上面各节点

方程，整理得：

假定各节点的初始值为 进行迭代计算，各次迭代计算结果列于表 4-2。

228 15 10 / 3.5 1.2al

1 2 40.31( )t t t

2 1 50.16 0.31 1.56t t t

4 1 50.25 0.5 9.5t t t

5 2 40.25( ) 12t t t

1 2 4 55 C, 20 Ct t t t

节点温度

迭代次数

0 5.00 5.00 20.00 20.00

1 7.75 9.00 21.44 19.61

2 9.44 9.15 21.67 19.71

3 9.55 9.20 21.74 19.74

4 9.60 9.22 21.77 19.75

1t 2t 4t 5t

4.4 非稳态导热问题的有限差分法• 稳态导热 ：边界值问题• 非稳态导热 ：初值问题、边界值问题• 非稳态导热过程的有限差分法： 也是将导热微分方程变成差分方程。 节点温度不仅和周围节点温度有关，而且还

和时间有关。将时间用等间隔划分为若干等分，则当需要确定（ k＋ l ）时刻的温度分布时必须知道前一时间间隔 k 时刻的温度分布。

空间离散和时间离散

二维非稳态导热微分方程式的有限差分表达式常物性、无热源二维非稳态导热问题的微分方程式：

)(2

2

2

2

y

t

x

ta

t

将求解区域离散成有限个网格，从过程开始起计算，以 划分时间间隔，以 k 表示其序号。节点 在 时刻的温度可表示为：

),( ji k

kjit ,

(4-23)

i x

i yy

xx

y

y

x

kjit ,

o

oo

k

节点 时刻的温度对坐标的二阶导数的中心差分公式为 ( , ) ki j 在

)2()(

1)( ,,1,12),,(2

2kji

kji

kjikji ttt

xx

t

)2()(

1)( ,1,1,2),,(2

2kji

kji

kjikji ttt

yy

t

(a)

(b)

对时间的一阶偏导数的向前差分可表示为

)(1

)( ,1

,),,(kji

kjikji tt

t

(c)

取 ，再将式 (a) 、 (b) 、 (c) 代入微分方程式 (4-23)得

lyx

kji

kji

kji

kji

kji

kji t

l

atttt

l

at ,21,1,,1,12

1, )

41()(

(4-24)

(4-25)

以准则 代入上式，得二维非稳态导热的节点差分方程 20l

aF

kji

kji

kji

kji

kji

kji tFttttFt ,01,1,,1,101

, )41()(

已知初始时刻各节点温度时 , 可由上式计算出下一时刻各节点的温度。对各个节点列式，不需解联立方程，式（ 4-24 ）称为显式格式。

对于一维非稳态导热问题可用同样的方法得到其节点差分方程。

ki

ki

ki

ki tFttFt )21()( 0110

1

(4-26)

差分方程求解非稳态导热问题时收敛与稳定的必要条件 ：

式（ 4-24 ）及式（ 4-26 ）右端第二项可能出现负值而导致温度计算值波动，出现不稳定。为避免这种异常情况出现，在选择 、 和 时，必须满足下面的条件： x y

对于一维非稳态导热问题

对于二维非稳态导热问题

20l

aF

2

1

20l

aF

4

1

Why?

Because:

对于一维非稳态导热问题ki

ki

ki

ki tFttFt )21()( 0110

1

若右端第二项出现负值，即

20l

aF

2

1

不合理

i k k k+1i i那末，点 时刻的温度t 越高,则其k+1时刻的温度t 就越低。

边界条件的有限差分表达式

已知对流换热系数 和流体的温度 恒定，边界条件为 ft

)( fttt

对于一维问题如图所示的边界点 1 ，假设在边界点 1 以外再虚设一节点 0 ，根据式（ 4-26 ）得到其差分方程 ：

kkkk tFttFt 100201

1 )21()(

边界条件式（ a ）的中心差分公式为

（ a ）

（ b ）

)()(2 f102 ttttx

kkk

(c)

ft

x x

x1 20

联立两式消去虚设节点的温度 ，并令 ，得kt0 x

Bi

kii

kk tFFBtBtFt 100f201

1 )221()(2 (4-29)

式（ 4-29 ）计算值稳定的条件为

0221 00 FFBi即

22

10

iBF

对于第二类边界条件，当 q=0 时，绝热边界条件的差分方程可在式（ 4-29 ）中令 ，即 得到0 0iB

kkk tFtFt 10201

1 )21(2 (4-31)

(4-30)

(4-29)

例 4-2 保温炉内隔墙由耐火粘土砖构成。停炉检修时此隔墙由 800℃开始降温，问壁面温度降至 150℃以下需要多少时间？隔墙厚 160mm ，材料的导温系数 ，导热系数 。隔墙表面由于冷空气的自然对流而冷却，对流换热系数 ，空气温度 ℃ 。请列出降温 2 、 4 、 6 、 8 、 10h 时的温度分布。为简化计算可把隔墙视作无限大平板。

3 20.742 10 /a m s 0.25 /( )w m k

29 /( )w m k

f 35t

分析：由于降温过程开始时墙内温度均匀，且其两侧表面的对流换热系数和空气温度均相同，所以降温过程中不同时刻墙内的温度分布均对称于中心线。

一维非稳态导热问题

解： 选取 , 网格划分如图，则s4.0,mm40 x

5.0118.0)1040(

4.010742.0

)( 23

3

20

x

aF

44.125.0

10409 3

x

Bi

2049.022

10

iBF

1

1

160 mm

3 2

由式（ 4-31 ） 、（ 4-26 ）和式（ 4-29 ）可求得不同时刻各节点的温度，即

kkk tFtFt 10201

1 )21(2

kkkk tFttFt 201301

2 )21()(

kii

kk tFFBtBtFt 300f201

3 )221()(2

将初始值 代入上式可求得不同时刻各节点的温度，列于表 4-3 。

Cttt 80003

02

01

由表 4-3 可见， 10h 后表面温度可冷却至 150℃以下

1 点：

2 点：

3 点：

)(hk )(3 Ct )(2 Ct )(1 Ct )(hk )(3 Ct )(2 Ct )(1 Ct

表 4-3 计算结果

0 800 800 800 2.0 322.6 665.6 759.6

0.4 540.1 800 800 4.0 258.0 538.2 639.5

0.8 429.8 769.3 800 6.0 214.7 441.8 526.6

1.2 375.8 732.9 792.8 8.0. 181.0 366.3 434.5

1.6 344.3 697.8 778.6 10.0 153.6 303.4 358.0

从初始时刻开始，逐步求出各点的值，不需要迭代。

本章作业： 4 、 7 、 8

FDM始于 1910年，随着计算机的发展，它的应用范围不断

扩大。对于传热学和流体力学问题，差分法依然是最有力的数值

计算方法。当然，网格划分越细，计算精度越高。

数值风洞—差分法在空气动力学中的应用。