数 列

发现引入

某人上楼梯 , 一次上一步或上两步 , 该楼道共有十级 , 问有多少种不同的走法 ?

我们记走完一级楼道的走法为 1a记走完二级楼道的走法为 2a记走完三级楼道的走法为 3a

显然有 3 1 2a a a …; 依次类推 : 1 23 , n n nn a a a 当 时 有

1 、观察下面数列特点，用适当的数填空：

，再写出它的一个通项公式 .1, 2, ( ), 2, 5, ( ), 7,...

2 、下面四个数中 , 哪个是数列 中的一项

A 、 380 B 、 39 C 、 35 D 、 23

( 1)n n

3 、 2 21 2 1 2 41, 3, ( 1) , .n n n na a a a a a a ,数列 中 求

4 、 2 4 12, .n na n n a 已知 则数列 从第几项起各项为正数

基础练习

数列的有关概念1 、定义

2 、名称

3 、通项公式：

4 、实质：

按一定次序排列的一列数

(1) 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 .

(2) 序号 : 项数 .

(3) 一般形式 :a1,a2,…,an ，简记为数列 {an}

( 数列的确定性、有序性 )

如果数列 {an} 的第 n 项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .

从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N* （或它的有限子集 {1 ， 2 ，…，n} ）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式，即数列是特殊的函数 .

概念回顾

11 、集合、集合 {4{4 ，， 55 ，， 66 ，， 77 ，， 88 ，， 99 ，， 10}10} 与数列与数列 4,5,6,7,8,9,10 4,5,6,7,8,9,10 是否相同？是否相同？

22 、数列、数列 1010 ，， 99 ，， 88 ，， 77 ，， 66 ，， 55 ，， 44 与数列与数列 4,5,6,7,8,9,104,5,6,7,8,9,10是否相同？是否相同？

不相同 . 因为集合元素无序而数列元素有序 .

不相同 . 因为数列元素是有序的 .

33 、 、 aann 与与 {{aann}} 是否一样？数列的项与项数是否一是否一样？数列的项与项数是否一样？样？不一样 .

概念回顾

概念回顾

3 、观察数列 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ，分别给出它的通项公式，以及递推公式

通项公式： 3( , 7)na n n N n 递推公式： 1 14, 1 ( , 6)n na a a n N n

通项公式和递推公式，

是给出一个数列的两种重要方法 .

3 、数列 {an} 通项公式 :an= n+3(1≦n≦7).

作其图象

1 2 3 4 5 6 7 x0

4

5

6

7

8

9

10

y

(n)

(an)

图象表示

概念回顾

数列也可用图象来表示 ,它们是一群孤立的点 .

22( , 7)na n n N n 1 1 ( , 6)n na a n N n

通项公式：

递推公式：

23, 24, 25 26 , 27 , 28 , 29

通项公式和递推公式，

是给出一个数列的两种重要方法 .

复习铺垫复习铺垫

22( , 7)na n n N n

1 1 ( , 6)n na a n N n

通项公式：

递推公式：

23, 24, 25, 26 , 27 , 28 , 29

某剧场前 8 排的座位数分别是：52 ， 50 ， 48 ， 46 ， 44 ， 42 ， 40 ， 38.

从 1984 年到 2000 年，我国体育健儿共参加了五次奥运会，获得的金牌数分别为：

15, 5, 16, 16, 28.

某长跑运动员一周里每天的训练量（单位： m ）是： 8000 ， 8500 ， 9000 ， 9500 ， 10000 ， 10500

被 7 除余 1 的自然数：

1 ， 8 ， 15 ， 22 ， 29 ， 36 ，…

发现引入

正整数的倒数：

1 1 1 1 1 11, , , , , , ,

2 3 4 5 6 7

① 23 ， 24 ， 25 ， 26 ， 27 ， 28 ， 29.

② 15 ， 5 ， 16 ， 16 ， 28.

③ 52 ， 50 ， 48 ， 46 ， 44 ， 42 ， 40 ， 38.

④ 1 ， 8 ， 15 ， 22 ， 29 ， 36 ，…

⑤ 8000 ， 8500 ， 9000 ， 9500 ， 10000, 10500.

发现引入

⑥ 1 1 1 1 1 11, , , , , ,2 3 4 5 6 7

，…

发现

发现引入

① 23 ， 24 ， 25 ， 26 ， 27 ， 28 ， 29.

② 15 ， 5 ， 16 ， 16 ， 28.

③ 52 ， 50 ， 48 ， 46 ， 44 ， 42 ， 40 ， 38.

④ 1 ， 8 ， 15 ， 22 ， 29 ， 36 ，…

⑤ 8000 ， 8500 ， 9000 ， 9500 ， 10000, 10500.1 1 1 1 1 11, , , , , , ,

2 3 4 5 6 7⑥

等差数列： 一般地，如果一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示 .

概念建构

判断下列数列是否为等差数列：

① 23 ， 25 ， 26 ， 27 ， 28 ， 29 ， 30.

② 7, 7, 7, 7, 7, 7, …

③ 52 ， 50 ， 48 ， 46 ， 44 ， 42 ， 40 ， 35.

④ － 1 ，－ 8 ，－ 15 ，－ 22 ，－ 29.

⑤ － 1 ， 1 ，－ 1 ， 1 ，－ 1 ， 1 ，－ 1 ，1 ，…

引子

已知数列 满足：{ }na

1 12, 3( , 2)n na a a n N n

2 3 4a a a求 、 、 的值；

引子

已知数列 满足：{ }na

1 12, 3( , 2)n na a a n N n

2 3 4a a a求 、 、 的值；

2 1 2 13 3 1a a a a

3 2 3 23 3 4a a a a

4 3 4 33 3 7a a a a

2003 ?a

2 1 2 1 a a d a a d

3 2 3 2 1 2a a d a a d a d

4 3 4 3 1 3a a d a a d a d

1n na a d

5 4 5 4 1 4a a d a a d a d …… ……

＋）

公式推导

1 ( 1)na a n d 1 ( 1)na a n d

1a d n na

9.2110.4(4)45 31 － 45(3)

105 45(2)152 － 8(1)

量数字编号

2026

35.2

小练习

在等差数列中，填写下表：

例 1 、（ 1 ）求等差数列

－ 2 ， 1 ， 4 ，……

的第 5 项和第 12 项；

（ 2 ） 1126 是不是上述等差数列的项？如果是，是第几项？

综合应用

变式Ⅰ：在等差数列 中，已知：{ }na

5 1210, 31.a a

综合应用

d（ 1 ）求公差 ；

7a（ 2 ）求 .

( ) ( , )n ka a n k d n k N

1 ( 1) na a n d

1 ( 1)ka a k d －）

综合应用

变式Ⅱ：在等差数列 中，已知 ，求下列各式的值：

{ }na

7 16a

3 11(2) ;a a

6 8(1) a a ；

综合应用

m n p qm n p q a a a a ( , , , )m n p q N

综合应用

例 2 、已知数列的通项公式为，na pn q

其中 是常数，且 ，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

,p q 0p

判断证明

●

●

●

●

●

●

●

●

n

na

1 2 3 4 5 6 7 8 9o－ 2

1

4

7

10

13

16

19

22

几何直观

2 ( 1) 3 3 5na n n

●

●

●

●

●

●

●

●

n

na

1 2 3 4 5 6 7 8 9o－ 2

1

4

7

10

13

16

19

22

几何直观

（Ⅰ）在 23 和 29 之间填上两个数，使得这四个数成等差数列；若在 a 、 b 之间填上两个数呢？

例 3 、在上面的日历表中：

（Ⅱ） 已知方程

的四个根组成一个首项为 23 的等差数列，求 m＋ n 的值 .

2 2( 52 )( 52 ) 0x x m x x n

综合应用

（Ⅲ）后续研究：继续观察日历表，你能找出几个公差不同的等差数列？试写出它们的通项公式 .你能写出这些等差数列的公差构成的集合吗？

小结：

知识·方法·思想

等差数列

数列( 特殊 )

公式应用

简单性质

通项公式

正用

逆用

变用

小结提高

定义（递推公式）

作业：

1,2,10114P

（一）阅读作业：通读教材，复习巩 固，思考等差数列的前项和的求法；

（二）书面作业：（三）弹性作业：模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列” . 如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质 .

作业巩固

谢谢合作

欢迎交流