第1章　「数列」

hmb-1-21(pdfファイル)

21. 漸化式の考え方

B-00800

学習マップ学習マップ

数列の基本概念 数列についての基本操作

最も基本的な数列等差数列

等比数列

数列についての基本操作第 項までの和， 記号

階差数列

応用的数列いろいろな数列

群数列の考え

回帰的定義漸化式

数学的帰納法

B-03001

漸化式漸化式　数列 が，関係式

，，，を満たしているとする．

このとき， であるとすると，

のように， 以降の項が順にすべて定まる．

式 のように，数列の各項を，その前の項から順に定める規則をあらわす式を

ぜん

漸か

化しき

式 という．

B-03002

漸化式についての注意漸化式についての注意

　漸化式 ，，，において， ， ， ， という記述は省かれることが多いが， である．

　実際， は，， ， ，

と を意味している．

したがって， を，，，，，，

などと表すこともできる．

理論的にはこれが重要理論的にはこれが重要

限りなく続く式の全体限りなく続く式の全体

B-03003

帰納的定義帰納的定義

　一般に，，，，

のような 漸化式 と 初項 が与えられれば，それによって，数列 のすべての項を定めることができる．このように， 最初の項を定める条件 と， 先立つ諸項の条件から次の項を定める規則 によって，次々と順にすべての項を定めていくという形の定義を 帰納的定義 という．本来は回帰的定義 という．

帰納的定義では，「最初の項を定める条件」も重要である．初項などが与えられないと 漸化式だけ では，数列をただ一つに決めることはできない．

注意注意

B-03004

最も基本的な漸化式最も基本的な漸化式漸化式

，，，

は， が，公差 の等差数列をなすことを表す．この数列の一般項は，初項を として

で与えられる．

漸化式，，，

は， が，公比 の等比数列をなすことを表す．この数列の一般項は，初項を として

で与えられる．

B-02304 end

【発展】Σ記号の数学的に厳密な定義【発展】Σ記号の数学的に厳密な定義

　数列 に対して

は，数列 の 第 部分和 と呼ばれ，本来は，のとき

のときすなわち，

，

，，，という式で定義されるものである．