离散型随机变量

的期望与方差( 二 )

一 : 复习 :1. 离散型随机变量的分布列 .2. 离散型随机变量的期望 : Eξ= nn pxpxpx 2211

3. 期望的运算性质 :E(aξ+b)=aEξ+b.4. 若 ξ∽B(n,p), 有 Eξ=np.5. 期望反映了离散型随机变量的取值的平均水平 .

二 : 引入 :1. 初中所学的一组数据的方差的定义 .

2. 数据的方差说明了这组数据的波动情况 .

三 : 离散型随机变量的方差 :

ix设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 ，ξ 取每一个值 (i ＝ 1 ， 2 ，… ) 的概率 P(ξ ＝ ，则称 Dξ= 为随机变量 ξ 的均方差 , 简称为方差 .

,,,, 21 nxxx

ii px ) nn pExpExpEx 2

22

212

1 )()()(

Dξ 的算术平方根 叫随机变量 ξ 的标准差 , 记作 σξ.D

方差与标准差都反映了随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度 . 其中标准差与随机变量有相同的单位 .方差计算的性质 :1 、 D(aξ+b)= Dξ.2a2 、如果 ξ∽B(n,p) ，那么 Dξ=npq ，其中 q=1-p.3 、 22 )( EED

例 1 、已知离散型随机变量 ξ ， η 的概率分布如下，试求这两个随机变量的期望、方差与标准差。

ξ 1 2 3 4 5 6 7

p 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7

η 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3

p 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7

答案：直接利用公式求解即得： Eξ=4,Dξ=4,σξ=2; Eη=4,Dη=0.04,ση=0.2.

四 : 例题选讲

练习、随机变量 ξ 的分布为 P(ξ=k)=pk(1-p)1-k

(0<p<1,k=0,1) ，则 Eξ= ,Dξ= 。

解：∵ P(ξ=k)=pk(1-p)1-k(0<p<1,k=0,1)∴P(ξ=0)=p0(1-p)1-0=1-p P(ξ=1)=p1(1-p)0=p∴Eξ=0×(1-p)+1×p=p Dξ=(0-p)2·(1-p)+(1-p)2·p=p(1-p)

例 2 、甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ξ 与 η ，且 ξ ， η 分布列为

求：（ I ） a,b 的值。

（ II ）计算 ξ,η 的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况。

ξ 1 2 3

p a 0.1 0.6

η 1 2 3

p 0.3 b 0.3

解 ; （ I ）由离散型随机变量的分布列性质可知 ,a+0.1+0.6=1 ，∴ a=0.3. 同理 0.3+b+0.3=1 ， b=0.4.

由计算结果知， Eξ>Eη 说明在一次射击中的平均得分甲比乙高，但 Dξ>Dη 说明甲得分的稳定性不如乙，因而甲，乙两个人技术都不够全面。

(II)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3; 同理： Eη=2 ，Dξ=0.81 ， Dη=0.6.

说明：在实际问题中，若有两个随机变量 ξ 和 η ，且 Eξ=Eη 或 Eξ 和 Eη 比较接近时，我们常用 Dξ 与Dη 来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明 ξ较为离散，反之则表明 ξ 较为集中。

例 3 ：每人在一轮投篮练习中最多可投篮 4 次，现规定一旦命中即停止练习，否则一直试投到 4 次为止。已知一选手的投篮命中率为 0.7 ，求一轮练习中该选手的实际投篮次数 ξ 的分布列 ,并求出 ξ 的期望 Eξ 与方差 Dξ （保留 3 位有效数字）。解 :ξ 的取值为 1 、 2 、 3 、 4 。

ξ=1 ，表示第一次即投中，故 P(ξ=1)=0.7;ξ=2 ，表示第一次未投中，第二次投中，故 P(ξ=2)=(1-0.7)•0.7=0.21.ξ=3 ，表示第一、二次未投中，第三次投中，故 P(ξ=3)=(1-0.7)•(1-0.7)•0.7=0.063.特别的 ,P(ξ=4)=(1-0.7)•(1-0.7)•(1-0.7)=0.027.所以 ξ 的分布列为：ξ 1 2 3 4

P 0.7 0.210.063

0.027Eξ=1•0.7+2•0.21+3•0.063+4•0.027=1.417,

Dξ=531.0027.0)417.14(063.0)417.13(

21.0)417.12(7.0)417.11(22

22

例 4 ：某寻呼台共有 3000 客户，若寻呼台准备了 100 份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为 4% ，问：寻呼台能否向每一位客户都发出邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？

解：设来领奖的人数 ξ=k,(k=0,1,2,…,3000), 则 P(ξ=k)= , kkkC 3000

3000 )04.01()04.0(

可见， ξ∽B(3000,0.04),

所以， Eξ=3000•0.04=120>100.故，不能都发出邀请，至少准备 120 份礼品。

1 、方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度 .

小结 :

4 、对于 ξ∽B(n,p) 有 :Dξ=npq. 这里 q=1-p.

作业 : 习题 1.2 6,7,8

2 、方差的算术平方根叫标准差，标准差与随机变量有相同的单位，较之方差使用起来更方便 .3 、 D(aξ+b)= Dξ.(a,b 为常数 ).2a

5 、期望与方差是离散型随机变量重要的特征数 . 离散型随机变量的分布列直观地反映了随机变量的取值规律 , 但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些数量特点 , 这就需要特征数 ---- 期望与方差来反映 .

一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个数的数学期望是 ______________ ．（用数字作答）．

A 、 B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1 ， A2 ， A3 ， B 队队员是 B1 ， B2 ， B3 。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率A1 对 B1 2/3 1/3

A2 对 B2 2/5 3/5

A3 对 B3 2/5 3/5

现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分。设 A队、 B 队最后所得总分分别为 ξ 、η （ 1 ）求 ξ 、 η 的概率分布（ 2 ）求 Eξ 、 Eη 。

例 5: 一个口袋中放有若干个球 , 每个球上标有 1~n 中间 的一个整数 , 设标有数 k 的球有 k 个 , 现从中任取一球 ,ξ为取的球上所标数字 , 求 ξ 的分布列、 Eξ 及Dξ. 解 : 共有 1+2+…+n=n(n+1)/2 个球 , 取到 k 号的概率为P(ξ=k)=2k/[n(n+1)](k=1,2,…,n). 此即为 ξ 的分布列 .

3

12

)1(

2]

)1(

2[

1

2

1

nk

nnnn

kkE

n

k

n

k

2

1

3

1

22 ]2

)1([

)1(

2

)1(

2]

)1(

2[

nn

nnk

nnnn

kkE

n

k

n

k

18

2)(

222

nnEED 故